Fundamental integration Questions in Hindi

(A) यहाँ समाकलन $a$ चर के सापेक्ष किया जाना है।
चूँकि $x$ को एक अचर माना जाता है,हम समाकलन के घात नियम का उपयोग करते हैं: $\int a^n \, da = \frac{a^{n+1}}{n+1} + c$।
$n = x$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\int a^x \, da = \frac{a^{x+1}}{x+1} + c$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) हम जानते हैं कि $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$ होता है।
अतः,$\int \cot x \, dx = \int \frac{\cos x}{\sin x} \, dx$ है।
माना $u = \sin x$,तब $du = \cos x \, dx$ होगा।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\int \frac{1}{u} \, du = \log |u| + c$ प्राप्त होता है।
$u = \sin x$ वापस रखने पर,हमें $\log |\sin x| + c$ प्राप्त होता है।

(A) समाकलन $\int \frac{1}{x^4} \, dx$ ज्ञात करने के लिए,हम समाकल्य को $x$ की घात के रूप में लिखते हैं:
$\int x^{-4} \, dx$.
समाकलन के लिए घात नियम का उपयोग करते हुए,$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c$ (जहाँ $n \neq -1$):
$\int x^{-4} \, dx = \frac{x^{-4+1}}{-4+1} + c = \frac{x^{-3}}{-3} + c$.
व्यंजक को सरल करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$-\frac{1}{3x^3} + c$.

(C) हम जानते हैं कि ${e^{\log f(x)}} = f(x)$.
अतः,समाकलन इस प्रकार होगा:
$\int {\frac{{{x^5} - {x^4}}}{{{x^3} - {x^2}}}\,dx}$
$= \int {\frac{{{x^4}(x - 1)}}{{{x^2}(x - 1)}}\,dx}$
$= \int {{x^2}\,dx}$
$= \frac{{{x^3}}}{3} + c$.

(A) समाकलन $\int {\frac{{{x^4} + {x^2} + 1}}{{{x^2} - x + 1}}\,dx}$ को हल करने के लिए,हम अंश का गुणनखंड करके समाकल्य को सरल बनाते हैं।
हम जानते हैं कि ${x^4} + {x^2} + 1 = ({x^2} + 1)^2 - {x^2} = ({x^2} + 1 - x)({x^2} + 1 + x)$.
इसे समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\int {\frac{({x^2} - x + 1)({x^2} + x + 1)}{{{x^2} - x + 1}}\,dx} = \int {({x^2} + x + 1)\,dx}$.
अब,प्रत्येक पद का समाकलन करने पर:
$\int {x^2\,dx} + \int {x\,dx} + \int {1\,dx} = \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2} + x + c$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) $\sec x$ का समाकलन इस प्रकार है:
$\int \sec x \, dx = \log |\sec x + \tan x| + c$
हम जानते हैं कि $\sec x + \tan x = \frac{1}{\sec x - \tan x}$ होता है।
इस मान को व्यंजक में रखने पर:
$\int \sec x \, dx = \log \left| \frac{1}{\sec x - \tan x} \right| + c$
लघुगणक के गुणधर्म $\log(a^{-1}) = -\log(a)$ का उपयोग करने पर:
$\int \sec x \, dx = -\log |\sec x - \tan x| + c$
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(D) हम जानते हैं कि $1 + \sin x = \cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2} + 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = (\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2$।
अतः,$\int \sqrt{1 + \sin x} \, dx = \int |\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}| \, dx$।
मान लीजिए कि अंतराल जहाँ $\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2} > 0$ है,तब:
$\int (\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}) \, dx = 2 \sin \frac{x}{2} - 2 \cos \frac{x}{2} + c = -2(\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}) + c$।
चूँकि $(\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})^2 = \cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2} - 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = 1 - \sin x$,इसलिए परिणाम को $-2\sqrt{1 - \sin x} + c$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(B) हम जानते हैं कि $x$ के सापेक्ष $\cot x$ का अवकलन $-\csc^2 x$ होता है।
अतः,अनिश्चित समाकलन की परिभाषा के अनुसार,$\int \csc^2 x \, dx = -\cot x + c$,जहाँ $c$ समाकलन का स्थिरांक है।

(A) समाकलन $\int (2\sin x + \frac{1}{x}) \, dx$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम समाकलन के रैखिकता गुण का उपयोग करते हैं:
$\int (2\sin x + \frac{1}{x}) \, dx = \int 2\sin x \, dx + \int \frac{1}{x} \, dx$
हम जानते हैं कि $\int \sin x \, dx = -\cos x + c_1$ और $\int \frac{1}{x} \, dx = \log |x| + c_2$.
अतः,$\int 2\sin x \, dx + \int \frac{1}{x} \, dx = 2(-\cos x) + \log |x| + c = -2\cos x + \log |x| + c$.
इस प्रकार,सही विकल्प $A$ है।

(A) हम जानते हैं कि $1 + \cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$ होता है।
इस मान को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \sqrt{2 \cos^2 \frac{x}{2}} \, dx$
$I = \sqrt{2} \int \cos \frac{x}{2} \, dx$
समाकलन के सूत्र $\int \cos(ax) \, dx = \frac{1}{a} \sin(ax) + c$ का उपयोग करने पर,जहाँ $a = \frac{1}{2}$ है:
$I = \sqrt{2} \cdot \frac{\sin(x/2)}{1/2} + c$
$I = 2\sqrt{2} \sin \frac{x}{2} + c$.

(D) हम जानते हैं कि $2\sin x \cos x = \sin 2x$ होता है।
इस मान को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \sin 2x \,dx$
समाकलन के सूत्र $\int \sin(ax) \,dx = -\frac{\cos(ax)}{a} + c$ का उपयोग करने पर:
$I = -\frac{\cos 2x}{2} + c$
वैकल्पिक रूप से,सर्वसमिका $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ का उपयोग करने पर:
$I = -\frac{1 - 2\sin^2 x}{2} + c$
$I = -\frac{1}{2} + \sin^2 x + c$
चूंकि $c$ एक स्वेच्छ अचर है,इसलिए $- \frac{1}{2} + c$ को एक नए अचर $C$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,$I = \sin^2 x + C$।
इसलिए,सही विकल्प $(d)$ है।

(B) $\int \tan^2 x \, dx$ का समाकलन करने के लिए,हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ का उपयोग करते हैं।
इस मान को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$\int \tan^2 x \, dx = \int (\sec^2 x - 1) \, dx$
समाकलन के रैखिकता गुण का उपयोग करके,हम इसे अलग करते हैं:
$= \int \sec^2 x \, dx - \int 1 \, dx$
हम जानते हैं कि $\int \sec^2 x \, dx = \tan x$ और $\int 1 \, dx = x$ होता है।
अतः,अंतिम उत्तर $\tan x - x + c$ प्राप्त होता है।

(A) हम जानते हैं कि $e^{\log(f(x))} = f(x)$ होता है।
अतः,दिया गया समाकलन $\int {e^{\log (\sin x)}} \, dx = \int \sin x \, dx$ हो जाता है।
$\sin x$ का $x$ के सापेक्ष समाकलन $-\cos x + c$ होता है।
इस प्रकार,$\int \sin x \, dx = -\cos x + c$।

(B) हमें समाकलन $I = \int e^{x \log a} \cdot e^x \, dx$ दिया गया है।
लघुगणक के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$e^{x \log a} = e^{\log(a^x)} = a^x$ होता है।
इस मान को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,$I = \int a^x \cdot e^x \, dx$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $I = \int (ae)^x \, dx$ प्राप्त होता है।
मानक समाकलन सूत्र $\int k^x \, dx = \frac{k^x}{\log k} + C$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $k = ae$,हमें $I = \frac{(ae)^x}{\log(ae)} + C$ प्राप्त होता है।

(A) हम जानते हैं कि $1 + \cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$.
इस मान को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$\int \frac{1}{\sqrt{2 \cos^2 \frac{x}{2}}} \, dx = \int \frac{1}{\sqrt{2} \cos \frac{x}{2}} \, dx$
$= \frac{1}{\sqrt{2}} \int \sec \frac{x}{2} \, dx$
सूत्र $\int \sec \theta \, d\theta = \log |\sec \theta + \tan \theta| + C$ का उपयोग करने पर और $\frac{x}{2}$ के लिए श्रृंखला नियम (chain rule) लागू करने पर (जहाँ अवकलन $\frac{1}{2}$ है):
$= \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\log |\sec \frac{x}{2} + \tan \frac{x}{2}|}{1/2} + K$
$= \frac{2}{\sqrt{2}} \log |\sec \frac{x}{2} + \tan \frac{x}{2}| + K$
$= \sqrt{2} \log |\sec \frac{x}{2} + \tan \frac{x}{2}| + K$.

(C) माना $I = \int \frac{\cos 2x - 1}{\cos 2x + 1} dx$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ और $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \frac{(1 - 2\sin^2 x) - 1}{(2\cos^2 x - 1) + 1} dx$
$I = \int \frac{-2\sin^2 x}{2\cos^2 x} dx$
$I = - \int \tan^2 x dx$
सर्वसमिका $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ का उपयोग करने पर:
$I = - \int (\sec^2 x - 1) dx$
$I = - \int \sec^2 x dx + \int 1 dx$
$I = - \tan x + x + c$
$I = x - \tan x + c$

(C) दिया गया समाकलन: $I = \int {\frac{{a{x^3} + b{x^2} + c}}{{{x^4}}}dx}$
अंश के प्रत्येक पद को हर से विभाजित करने पर:
$I = \int {\left( {\frac{{a{x^3}}}{{{x^4}}} + \frac{{b{x^2}}}{{{x^4}}} + \frac{c}{{{x^4}}}} \right)dx}$
$I = \int {\left( {\frac{a}{x} + \frac{b}{{{x^2}}} + \frac{c}{{{x^4}}}} \right)dx}$
$I = \int {\frac{a}{x}dx + \int {b{x^{ - 2}}dx + \int {c{x^{ - 4}}dx} } }$
समाकलन के सूत्रों $\int {\frac{1}{x}dx = \log |x|}$ और $\int {{x^n}dx = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}}$ का उपयोग करने पर:
$I = a\log |x| + b\left( {\frac{{{x^{ - 1}}}}{{ - 1}}} \right) + c\left( {\frac{{{x^{ - 3}}}}{{ - 3}}} \right) + C$
$I = a\log |x| - \frac{b}{x} - \frac{c}{{3{x^3}}} + C$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) माना $I = \int {\frac{1}{{{{(x - 5)}^2}}}dx} $.
हम समाकल्य को $(x - 5)^{-2}$ के रूप में लिख सकते हैं।
समाकलन के लिए घात नियम का उपयोग करते हुए,$\int {x^n dx} = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c$ (जहाँ $n \neq -1$):
$I = \int {(x - 5)^{-2} dx} = \frac{{{{(x - 5)}^{ - 2 + 1}}}}{{ - 2 + 1}} + c$
$I = \frac{{{{(x - 5)}^{ - 1}}}}{{ - 1}} + c$
$I = - \frac{1}{{(x - 5)}} + c$.

(A) दिया गया समाकलन: $I = \int \sqrt{2} \sqrt{1 + \sin x} \, dx$.
सर्वसमिका $1 + \sin x = (\sin(x/2) + \cos(x/2))^2$ का उपयोग करने पर।
अतः,$I = \int \sqrt{2} (\sin(x/2) + \cos(x/2)) \, dx$.
$I = \sqrt{2} \int \sin(x/2) \, dx + \sqrt{2} \int \cos(x/2) \, dx$.
$I = \sqrt{2} [ -2 \cos(x/2) + 2 \sin(x/2) ] + c$.
$I = 2\sqrt{2} [ \sin(x/2) - \cos(x/2) ] + c$.
$\sqrt{2}$ से गुणा और भाग करने पर:
$I = 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} [ \frac{1}{\sqrt{2}} \sin(x/2) - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos(x/2) ] + c$.
$I = 4 [ \sin(x/2) \cos(\pi/4) - \cos(x/2) \sin(\pi/4) ] + c$.
$I = 4 \sin(x/2 - \pi/4) + c$.
चूंकि $\sin(\theta) = -\cos(\theta + \pi/2)$,इसलिए:
$I = -4 \cos(x/2 - \pi/4 + \pi/2) + c = -4 \cos(x/2 + \pi/4) + c$.
$-4 \cos(ax + b) + c$ से तुलना करने पर,$a = 1/2$ और $b = \pi/4$ प्राप्त होता है।

(A) घातांकीय फलन $\int a^x \, dx$ का समाकलन सूत्र $\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + c$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a > 0$ और $a \neq 1$ है।
यहाँ,$a = 13$ है।
अतः,$\int 13^x \, dx = \frac{13^x}{\ln 13} + c$ होगा।
कलन (calculus) में $\log 13$ आमतौर पर प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) को दर्शाता है,इसलिए सही विकल्प $A$ है।

(A) हमें समाकलन $I = \int a^x \, dx$ का मान ज्ञात करना है।
$x$ के सापेक्ष चरघातांकी फलन $a^x$ का अवकलन याद करें:
$\frac{d}{dx}(a^x) = a^x \log a$.
दोनों पक्षों को $\log a$ से विभाजित करने पर (जहाँ $a > 0$ और $a \neq 1$),हमें प्राप्त होता है:
$\frac{d}{dx} \left( \frac{a^x}{\log a} \right) = a^x$.
अनिश्चित समाकलन की परिभाषा के अनुसार,यदि $\frac{d}{dx} F(x) = f(x)$ है,तो $\int f(x) \, dx = F(x) + c$ होता है।
अतः,$\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\log a} + c$।

(B) हम जानते हैं कि $x$ के सापेक्ष $\sec x$ का अवकलन इस प्रकार है:
$\frac{d}{dx}(\sec x) = \sec x \tan x$
अनिश्चित समाकलन की परिभाषा के अनुसार,यदि $\frac{d}{dx}(F(x)) = f(x)$ है,तो $\int f(x) \, dx = F(x) + c$ होता है।
इसलिए,$\int \sec x \tan x \, dx = \sec x + c$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) हमें समाकलन $I = \int (\sin^4 x - \cos^4 x) \, dx$ दिया गया है।
बीजगणितीय सर्वसमिका $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ का उपयोग करते हुए:
$\sin^4 x - \cos^4 x = (\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x)$.
चूँकि $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$,व्यंजक इस प्रकार सरल हो जाता है:
$\sin^4 x - \cos^4 x = \sin^2 x - \cos^2 x = -(\cos^2 x - \sin^2 x)$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ का उपयोग करने पर:
$\sin^4 x - \cos^4 x = -\cos 2x$.
अब,इस मान को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int -\cos 2x \, dx = -\frac{\sin 2x}{2} + c$.

(B) हमें दिया गया समाकलन $I = \int \frac{(x + 1)^2}{x(x^2 + 1)} \, dx$ है।
अंश का विस्तार करने पर,$(x + 1)^2 = x^2 + 1 + 2x$ प्राप्त होता है।
इसे समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,$I = \int \frac{x^2 + 1 + 2x}{x(x^2 + 1)} \, dx$।
समाकलन को अलग करने पर,$I = \int \frac{x^2 + 1}{x(x^2 + 1)} \, dx + \int \frac{2x}{x(x^2 + 1)} \, dx$।
पदों को सरल करने पर,$I = \int \frac{1}{x} \, dx + 2 \int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx$।
इन मानक रूपों का समाकलन करने पर,हमें $I = \log_e |x| + 2\tan^{-1} x + c$ प्राप्त होता है।

(B) माना $I = \int \frac{dx}{\sqrt{1 - x}}$.
हम समाकलन को $I = \int (1 - x)^{-1/2} dx$ के रूप में लिख सकते हैं।
समाकलन सूत्र $\int (ax + b)^n dx = \frac{(ax + b)^{n+1}}{a(n+1)} + c$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = -1$,$b = 1$,और $n = -1/2$ है:
$I = \frac{(1 - x)^{-1/2 + 1}}{(-1)(-1/2 + 1)} + c$
$I = \frac{(1 - x)^{1/2}}{(-1)(1/2)} + c$
$I = \frac{\sqrt{1 - x}}{-1/2} + c$
$I = -2\sqrt{1 - x} + c$.

(C) हमें समाकलन $I = \int \frac{dx}{4x^2 + 9}$ का मान ज्ञात करना है।
हर से $4$ को बाहर निकालने पर:
$I = \int \frac{dx}{4(x^2 + \frac{9}{4})} = \frac{1}{4} \int \frac{dx}{x^2 + (\frac{3}{2})^2}$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + c$ का उपयोग करने पर,जहाँ $a = \frac{3}{2}$ है:
$I = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3/2} \tan^{-1}(\frac{x}{3/2}) + c$.
$I = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} \tan^{-1}(\frac{2x}{3}) + c$.
$I = \frac{1}{6} \tan^{-1}(\frac{2x}{3}) + c$.

(B) माना $I = \int \frac{dx}{\sqrt{x^2 - a^2}}$.
$x = a \sec \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = a \sec \theta \tan \theta \, d\theta$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{a \sec \theta \tan \theta \, d\theta}{\sqrt{a^2 \sec^2 \theta - a^2}} = \int \frac{a \sec \theta \tan \theta \, d\theta}{a \tan \theta} = \int \sec \theta \, d\theta$.
$\sec \theta$ का समाकलन $\log_e |\sec \theta + \tan \theta| + c$ होता है।
चूँकि $x = a \sec \theta$,इसलिए $\sec \theta = \frac{x}{a}$ और $\tan \theta = \sqrt{\sec^2 \theta - 1} = \frac{\sqrt{x^2 - a^2}}{a}$ है।
अतः,$I = \log_e \left| \frac{x}{a} + \frac{\sqrt{x^2 - a^2}}{a} \right| + c = \log_e \left| \frac{x + \sqrt{x^2 - a^2}}{a} \right| + c$.
लघुगणक के नियम का उपयोग करते हुए,$I = \log_e |x + \sqrt{x^2 - a^2}| - \log_e |a| + c$. यहाँ $-\log_e |a| + c$ को एक नए अचर $c$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,$I = \log_e |x + \sqrt{x^2 - a^2}| + c$.

(A) माना $I = \int \frac{x^2}{x^2 + 4} dx$ है।
हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I = \int \frac{x^2 + 4 - 4}{x^2 + 4} dx$
$I = \int \left( 1 - \frac{4}{x^2 + 4} \right) dx$
$I = \int 1 dx - 4 \int \frac{1}{x^2 + 2^2} dx$
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{1}{x^2 + a^2} dx = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + c$ का उपयोग करने पर:
$I = x - 4 \left( \frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{x}{2}) \right) + c$
$I = x - 2 \tan^{-1}(\frac{x}{2}) + c$.

(C) समाकलन $I = \int \frac{dx}{a^2 - x^2}$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम आंशिक भिन्न विधि का उपयोग करते हैं।
हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\frac{1}{a^2 - x^2} = \frac{1}{(a - x)(a + x)} = \frac{1}{2a} \left( \frac{1}{a + x} + \frac{1}{a - x} \right)$.
अब,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$I = \frac{1}{2a} \int \left( \frac{1}{a + x} + \frac{1}{a - x} \right) dx$
$I = \frac{1}{2a} \left( \int \frac{1}{a + x} dx + \int \frac{1}{a - x} dx \right)$
$I = \frac{1}{2a} \left( \log |a + x| - \log |a - x| \right) + C$
लघुगणक के गुणधर्म $\log m - \log n = \log \left( \frac{m}{n} \right)$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{a + x}{a - x} \right| + C$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) समाकलन $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + a^2}}$ एक मानक समाकलन सूत्र है।
प्रतिस्थापन $x = a \tan \theta$ का उपयोग करने पर,$dx = a \sec^2 \theta \ d\theta$ प्राप्त होता है।
अतः,$\sqrt{x^2 + a^2} = \sqrt{a^2 \tan^2 \theta + a^2} = a \sec \theta$ होता है।
समाकलन $\int \frac{a \sec^2 \theta \ d\theta}{a \sec \theta} = \int \sec \theta \ d\theta$ में बदल जाता है।
$\sec \theta$ का समाकलन $\log |\sec \theta + \tan \theta| + c$ होता है।
अब $\tan \theta = \frac{x}{a}$ और $\sec \theta = \frac{\sqrt{x^2 + a^2}}{a}$ मान रखने पर,हमें $\log |\frac{\sqrt{x^2 + a^2}}{a} + \frac{x}{a}| + c = \log |\frac{x + \sqrt{x^2 + a^2}}{a}| + c = \log |x + \sqrt{x^2 + a^2}| - \log |a| + c$ प्राप्त होता है।
चूंकि $-\log |a| + c$ एक स्थिरांक है,इसलिए अंतिम उत्तर $\log |x + \sqrt{x^2 + a^2}| + c$ है।

(A) माना $I = \int \frac{x - 2}{x^2 - 4x + 3} dx$.
$t = x^2 - 4x + 3$ प्रतिस्थापित करने पर।
तब $dt = (2x - 4) dx = 2(x - 2) dx$,जिसका अर्थ है कि $(x - 2) dx = \frac{1}{2} dt$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{1}{2t} dt = \frac{1}{2} \log |t| + c$.
$t = x^2 - 4x + 3$ वापस रखने पर:
$I = \frac{1}{2} \log |x^2 - 4x + 3| + c = \log \sqrt{|x^2 - 4x + 3|} + c$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) हमें समाकलन $I = \int \frac{x + 1}{\sqrt{x^2 + 1}} dx$ का मान ज्ञात करना है।
समाकलन को दो भागों में विभाजित करें: $I = \int \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} dx + \int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} dx$.
पहले भाग के लिए,मान लीजिए $t = x^2 + 1$,तो $dt = 2x dx$,जिसका अर्थ है $x dx = \frac{1}{2} dt$.
अतः,$\int \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} dx = \frac{1}{2} \int t^{-1/2} dt = \frac{1}{2} \cdot \frac{t^{1/2}}{1/2} = \sqrt{t} = \sqrt{x^2 + 1}$.
दूसरे भाग के लिए,हम मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} dx = \log |x + \sqrt{x^2 + a^2}| + c$ का उपयोग करते हैं।
इस प्रकार,$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} dx = \log |x + \sqrt{x^2 + 1}| + c$.
दोनों भागों को जोड़ने पर,हमें $I = \sqrt{x^2 + 1} + \log |x + \sqrt{x^2 + 1}| + c$ प्राप्त होता है।

(B) माना कि $t = 3x - 5$ है। तब,$dt = 3 \, dx$,जिसका अर्थ है कि $dx = \frac{1}{3} \, dt$।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$\int \tan(3x - 5) \sec(3x - 5) \, dx = \int \tan(t) \sec(t) \cdot \frac{1}{3} \, dt$
$= \frac{1}{3} \int \sec(t) \tan(t) \, dt$
चूंकि $\sec(t) \tan(t)$ का समाकलन $\sec(t) + c$ होता है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$= \frac{1}{3} \sec(t) + c$
$t = 3x - 5$ का मान वापस रखने पर:
$= \frac{1}{3} \sec(3x - 5) + c$.

(B) $\int \tan^4 x \, dx$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम सर्वसमिका $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ का उपयोग करते हैं।
$\int \tan^4 x \, dx = \int \tan^2 x (\tan^2 x) \, dx$
$= \int \tan^2 x (\sec^2 x - 1) \, dx$
$= \int \tan^2 x \sec^2 x \, dx - \int \tan^2 x \, dx$
$= \int \tan^2 x \sec^2 x \, dx - \int (\sec^2 x - 1) \, dx$
प्रथम भाग के लिए,मान लीजिए $u = \tan x$,तो $du = \sec^2 x \, dx$ होगा।
$\int u^2 \, du = \frac{u^3}{3} = \frac{\tan^3 x}{3}$।
दूसरे भाग के लिए,$\int (\sec^2 x - 1) \, dx = \tan x - x$।
इन दोनों को मिलाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{3} \tan^3 x - (\tan x - x) + c = \frac{1}{3} \tan^3 x - \tan x + x + c$।

(A) माना $f(x) = t$. तब,$f'(x) \, dx = dt$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\int \frac{f'(x)}{[f(x)]^2} \, dx = \int \frac{1}{t^2} \, dt$
$= \int t^{-2} \, dt$
$= \frac{t^{-2+1}}{-2+1} + c$
$= \frac{t^{-1}}{-1} + c$
$= -\frac{1}{t} + c$
$= -\frac{1}{f(x)} + c$
$= -[f(x)]^{-1} + c$.

(C) हमारे पास समाकलन $I = \int \frac{\sin 2x}{\sin 5x \sin 3x} \, dx$ है।
चूंकि $2x = 5x - 3x$,हम $\sin 2x = \sin(5x - 3x)$ लिख सकते हैं।
सर्वसमिका $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \frac{\sin 5x \cos 3x - \cos 5x \sin 3x}{\sin 5x \sin 3x} \, dx$
$I = \int \left( \frac{\sin 5x \cos 3x}{\sin 5x \sin 3x} - \frac{\cos 5x \sin 3x}{\sin 5x \sin 3x} \right) \, dx$
$I = \int \left( \cot 3x - \cot 5x \right) \, dx$
सूत्र $\int \cot(ax) \, dx = \frac{1}{a} \log |\sin(ax)| + c$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{3} \log |\sin 3x| - \frac{1}{5} \log |\sin 5x| + c$.

(B) माना $I = \int \frac{a^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} dx$.
$\sqrt{x} = t$ प्रतिस्थापित करने पर।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{1}{2\sqrt{x}} dx = dt$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{dx}{\sqrt{x}} = 2 dt$।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int a^t (2 dt) = 2 \int a^t dt$।
मानक समाकलन सूत्र $\int a^t dt = \frac{a^t}{\log_e a} + c$ का उपयोग करने पर:
$I = 2 \left( \frac{a^t}{\log_e a} \right) + c$।
चूंकि $\frac{1}{\log_e a} = \log_a e$,इसलिए:
$I = 2 a^t \log_a e + c$।
$t = \sqrt{x}$ वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = 2 a^{\sqrt{x}} \log_a e + c$।

(B) समाकलन $I = \int a^{3x + 3} dx$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करते हैं।
माना $t = 3x + 3$ है।
अतः,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $dt = 3 dx$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $dx = \frac{1}{3} dt$।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int a^t \cdot \frac{1}{3} dt = \frac{1}{3} \int a^t dt$।
मानक समाकलन सूत्र $\int a^t dt = \frac{a^t}{\log_e a} + c$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^t}{\log_e a} + c$।
अंत में,$t = 3x + 3$ का मान वापस रखने पर:
$I = \frac{a^{3x + 3}}{3 \log_e a} + c$।

(A) माना $I = \int \frac{1 + x^2}{\sqrt{1 - x^2}} dx$.
$x = \sin \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = \cos \theta d\theta$.
समाकलन $I = \int \frac{1 + \sin^2 \theta}{\cos \theta} \cos \theta d\theta = \int (1 + \sin^2 \theta) d\theta$ हो जाता है।
सर्वसमिका $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर,$I = \int (1 + \frac{1 - \cos 2\theta}{2}) d\theta = \int (\frac{3}{2} - \frac{1}{2} \cos 2\theta) d\theta$.
समाकलन करने पर,$I = \frac{3}{2} \theta - \frac{1}{4} \sin 2\theta + c = \frac{3}{2} \theta - \frac{1}{2} \sin \theta \cos \theta + c$.
चूंकि $\theta = \sin^{-1} x$ और $\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \sqrt{1 - x^2}$,इसलिए $I = \frac{3}{2} \sin^{-1} x - \frac{1}{2} x \sqrt{1 - x^2} + c$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है $I = \int \frac{\sin x}{\cos^2 x} \, dx$।
हम समाकलन को इस प्रकार लिख सकते हैं: $I = \int \frac{1}{\cos x} \cdot \frac{\sin x}{\cos x} \, dx = \int \sec x \tan x \, dx$।
हम जानते हैं कि $\sec x$ का अवकलन $\sec x \tan x$ होता है।
अतः,$\int \sec x \tan x \, dx = \sec x + k$,जहाँ $k$ समाकलन का स्थिरांक है।

(A) माना $I = \int \frac{dx}{x\sqrt{x^4 - 1}}$.
अंश और हर को $x$ से गुणा करने पर:
$I = \int \frac{x \, dx}{x^2 \sqrt{(x^2)^2 - 1}}$.
$t = x^2$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt = 2x \, dx$,जिसका अर्थ है $x \, dx = \frac{dt}{2}$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{dt/2}{t \sqrt{t^2 - 1}} = \frac{1}{2} \int \frac{dt}{t \sqrt{t^2 - 1}}$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{dt}{t \sqrt{t^2 - 1}} = \sec^{-1}(t) + k$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{2} \sec^{-1}(t) + k$.
$t = x^2$ वापस रखने पर:
$I = \frac{1}{2} \sec^{-1}(x^2) + k$.

(C) हमें समाकलन $I = \int \sin^3 x \, dx$ का मान ज्ञात करना है।
सर्वसमिका $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ का उपयोग करते हुए,हम समाकलन को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I = \int \sin^2 x \cdot \sin x \, dx = \int (1 - \cos^2 x) \sin x \, dx$.
माना $u = \cos x$,तब $du = -\sin x \, dx$,जिसका अर्थ है कि $\sin x \, dx = -du$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int (1 - u^2) (-du) = \int (u^2 - 1) \, du$.
$u$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$I = \frac{u^3}{3} - u + C$.
अब $u = \cos x$ वापस रखने पर:
$I = \frac{\cos^3 x}{3} - \cos x + C$.

(A) माना $I = \int {{x^x}(1 + \log x)\,dx} $ है।
फलन $f(x) = x^x$ पर विचार करें।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $\log f(x) = x \log x$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{1}{f(x)} f'(x) = 1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$f'(x) = f(x)(1 + \log x) = x^x(1 + \log x)$ है।
चूंकि $x^x$ का अवकलज $x^x(1 + \log x)$ है,इसलिए $x^x(1 + \log x)$ का समाकलन $x^x + C$ होगा।

(D) माना $I = \int {\frac{{1 + {{\tan }^2}x}}{{1 - {{\tan }^2}x}}dx} $.
सर्वसमिका $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $I = \int {\frac{{{{\sec }^2}x}}{{1 - {{\tan }^2}x}}dx} $.
$\tan x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$\sec^2 x \, dx = dt$ प्राप्त होता है।
अतः समाकलन $I = \int {\frac{{dt}}{{1 - {t^2}}}} $ हो जाता है।
मानक सूत्र $\int \frac{dx}{a^2 - x^2} = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{a+x}{a-x} \right| + c$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{2(1)} \log \left| \frac{1+t}{1-t} \right| + c$.
$t = \tan x$ वापस रखने पर,हमें $I = \frac{1}{2} \log \left| \frac{1 + \tan x}{1 - \tan x} \right| + c$ प्राप्त होता है।

(C) माना $I = \int \csc^4 x \, dx$ है।
हम $\csc^4 x$ को $\csc^2 x \cdot \csc^2 x$ के रूप में लिख सकते हैं।
सर्वसमिका $\csc^2 x = 1 + \cot^2 x$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \csc^2 x (1 + \cot^2 x) \, dx$
$I = \int \csc^2 x \, dx + \int \cot^2 x \csc^2 x \, dx$
दूसरे समाकलन के लिए,माना $u = \cot x$,तब $du = -\csc^2 x \, dx$,अर्थात $\csc^2 x \, dx = -du$।
$I = -\cot x + \int u^2 (-du)$
$I = -\cot x - \frac{u^3}{3} + c$
$I = -\cot x - \frac{\cot^3 x}{3} + c$।

(B) हम सर्वसमिका $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ का उपयोग करते हैं।
$\int x \cos^2 x \, dx = \int x \left( \frac{1 + \cos 2x}{2} \right) \, dx = \frac{1}{2} \int x \, dx + \frac{1}{2} \int x \cos 2x \, dx$.
प्रथम भाग का समाकलन करने पर: $\frac{1}{2} \int x \, dx = \frac{x^2}{4}$.
दूसरे भाग के लिए,खंडशः समाकलन का उपयोग करें: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$,जहाँ $u = x$ और $dv = \cos 2x \, dx$ है। तब $du = dx$ और $v = \frac{\sin 2x}{2}$ होगा।
$\frac{1}{2} \int x \cos 2x \, dx = \frac{1}{2} \left( \frac{x \sin 2x}{2} - \int \frac{\sin 2x}{2} \, dx \right) = \frac{x \sin 2x}{4} - \frac{1}{4} \int \sin 2x \, dx$.
$= \frac{x \sin 2x}{4} - \frac{1}{4} \left( -\frac{\cos 2x}{2} \right) = \frac{x \sin 2x}{4} + \frac{\cos 2x}{8}$.
दोनों भागों को जोड़ने पर: $\frac{x^2}{4} + \frac{x \sin 2x}{4} + \frac{\cos 2x}{8} + c$.

(D) हम जानते हैं कि $\log_{10} x = \frac{\log_e x}{\log_e 10}$.
अतः,$\int \log_{10} x \, dx = \int \frac{\log_e x}{\log_e 10} \, dx = \frac{1}{\log_e 10} \int \log_e x \, dx$.
खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करने पर,$\int \log_e x \, dx = x \log_e x - x + c$.
इसलिए,$\int \log_{10} x \, dx = \frac{1}{\log_e 10} (x \log_e x - x) + c$.
$= \frac{x \log_e x}{\log_e 10} - \frac{x}{\log_e 10} + c$.
चूंकि $\frac{\log_e x}{\log_e 10} = \log_{10} x$ और $\frac{1}{\log_e 10} = \log_{10} e$,हमें प्राप्त होता है:
$= x \log_{10} x - x \log_{10} e + c = x(\log_{10} x - \log_{10} e) + c$.

(C) हम जानते हैं कि $\log_x e = \frac{1}{\log_e x}$.
अतः,$\frac{1}{\log_x e} = \log_e x$.
समाकलन $\int \log_e x \, dx$ हो जाता है।
खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करते हुए,$\int u \cdot v \, dx = u \int v \, dx - \int (u' \int v \, dx) \, dx$,जहाँ $u = \log_e x$ और $v = 1$.
$\int \log_e x \cdot 1 \, dx = (\log_e x) \cdot x - \int \left( \frac{1}{x} \cdot x \right) \, dx$.
$= x \log_e x - \int 1 \, dx = x \log_e x - x + c$.
$= x(\log_e x - \log_e e) + c = x \log_e \left( \frac{x}{e} \right) + c$.

(D) समाकलन $I = \int \frac{1}{\cos x(1 + \cos x)} \, dx$ को हल करने के लिए,हम आंशिक भिन्न या बीजगणितीय हेरफेर का उपयोग करते हैं।
हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं: $\frac{1}{\cos x(1 + \cos x)} = \frac{(1 + \cos x) - \cos x}{\cos x(1 + \cos x)} = \frac{1}{\cos x} - \frac{1}{1 + \cos x}$.
अब,प्रत्येक पद का अलग-अलग समाकलन करें:
$I = \int \sec x \, dx - \int \frac{1}{1 + \cos x} \, dx$.
सर्वसमिका $1 + \cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$ का उपयोग करते हुए:
$I = \log |\sec x + \tan x| - \int \frac{1}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} \, dx$.
$I = \log |\sec x + \tan x| - \frac{1}{2} \int \sec^2 \frac{x}{2} \, dx$.
$\sec^2 \frac{x}{2}$ का समाकलन $2 \tan \frac{x}{2}$ होता है:
$I = \log |\sec x + \tan x| - \frac{1}{2} \cdot 2 \tan \frac{x}{2} + c$.
$I = \log |\sec x + \tan x| - \tan \frac{x}{2} + c$.

(B) हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$ का उपयोग करते हैं।
$\int \sin 5x \cos 3x \; dx = \frac{1}{2} \int (\sin(5x+3x) + \sin(5x-3x)) \; dx$
$= \frac{1}{2} \int (\sin 8x + \sin 2x) \; dx$
$= \frac{1}{2} \left( -\frac{\cos 8x}{8} - \frac{\cos 2x}{2} \right) + C$
$= -\frac{\cos 8x}{16} - \frac{\cos 2x}{4} + C$
इसे दिए गए व्यंजक $-\frac{\cos 8x}{16} + A$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है कि $A = -\frac{\cos 2x}{4} + C$.