જો $A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 \\ -4 & 2 & 5 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$ હોય,તો $AB$ અને $BA$ શોધો. સાબિત કરો કે $AB \neq BA$.

અહીં $A$ એ $2 \times 3$ શ્રેણિક છે અને $B$ એ $3 \times 2$ શ્રેણિક છે,તેથી $AB$ અને $BA$ બંને વ્યાખ્યાયિત છે. $AB$ નો ક્રમ $2 \times 2$ છે અને $BA$ નો ક્રમ $3 \times 3$ છે.
$AB = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 \\ -4 & 2 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1)(2) + (-2)(4) + (3)(2) & (1)(3) + (-2)(5) + (3)(1) \\ (-4)(2) + (2)(4) + (5)(2) & (-4)(3) + (2)(5) + (5)(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 - 8 + 6 & 3 - 10 + 3 \\ -8 + 8 + 10 & -12 + 10 + 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -4 \\ 10 & 3 \end{bmatrix}$.
$BA = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 \\ -4 & 2 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (2)(1) + (3)(-4) & (2)(-2) + (3)(2) & (2)(3) + (3)(5) \\ (4)(1) + (5)(-4) & (4)(-2) + (5)(2) & (4)(3) + (5)(5) \\ (2)(1) + (1)(-4) & (2)(-2) + (1)(2) & (2)(3) + (1)(5) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 - 12 & -4 + 6 & 6 + 15 \\ 4 - 20 & -8 + 10 & 12 + 25 \\ 2 - 4 & -4 + 2 & 6 + 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -10 & 2 & 21 \\ -16 & 2 & 37 \\ -2 & -2 & 11 \end{bmatrix}$.
સ્પષ્ટ છે કે $AB$ એ $2 \times 2$ શ્રેણિક છે અને $BA$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે,તેથી $AB \neq BA$.