Mathematical analysis of cubic system and Bragg’s equation Questions in Hindi

(A) फलक-केंद्रित घनीय $(FCC)$ इकाई सेल में, परमाणु फलक विकर्ण के साथ एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं।
माना इकाई सेल की कोर की लंबाई $a = x \text{ pm}$ है और परमाणु की त्रिज्या $r$ है।
फलक विकर्ण की लंबाई $d = \sqrt{2}a = \sqrt{2}x$ होती है।
चूंकि परमाणु फलक विकर्ण पर स्पर्श करते हैं, इसलिए विकर्ण की लंबाई $4r$ होती है।
अतः, $4r = \sqrt{2}x$, जिससे $r = \frac{\sqrt{2}x}{4} = \frac{x}{2\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
परमाणु का व्यास $D = 2r = 2 \times \frac{x}{2\sqrt{2}} = \frac{x}{\sqrt{2}} \text{ pm}$ होगा।

(A) इकाई सेल के घनत्व का सूत्र: $d = \frac{ZM}{a^3 N_0}$ है।
$bcc$ इकाई सेल के लिए: $Z = 2$ और $a = \frac{4r}{\sqrt{3}}$.
अतः,$d_{bcc} = \frac{2M}{(\frac{4r}{\sqrt{3}})^3 N_0}$.
$fcc$ इकाई सेल के लिए: $Z = 4$ और $a = \frac{4r}{\sqrt{2}}$.
अतः,$d_{fcc} = \frac{4M}{(\frac{4r}{\sqrt{2}})^3 N_0}$.
घनत्व का अनुपात $\frac{d_{bcc}}{d_{fcc}} = \frac{2}{a_{bcc}^3} \times \frac{a_{fcc}^3}{4} = \frac{1}{2} \times (\frac{a_{fcc}}{a_{bcc}})^3 = \frac{1}{2} \times (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})^3 = \frac{3\sqrt{3}}{4\sqrt{2}}$.

(D) $NaCl$ का मोलर द्रव्यमान $= 58.5 \ g/mol$.
$1 \ g \ NaCl = \frac{1}{58.5} \text{ मोल } NaCl$.
$NaCl$ के सूत्र इकाइयों की संख्या $= \frac{1}{58.5} \times 6.022 \times 10^{23} \approx 1.03 \times 10^{22} \text{ इकाइयाँ}$.
चूंकि $NaCl$ की संरचना $fcc$ होती है,प्रत्येक एकक कोष्ठिका में $4$ सूत्र इकाइयाँ होती हैं।
एकक कोष्ठिकाओं की संख्या $= \frac{\text{कुल सूत्र इकाइयाँ}}{4} = \frac{1.03 \times 10^{22}}{4} \approx 2.57 \times 10^{21} \text{ एकक कोष्ठिका}$.

(B) दिया गया है: परमाणु द्रव्यमान $(M) = 120 \ g \ mol^{-1}$,घनत्व $(d) = 6.25 \ g \ cm^{-3}$,किनारे की लंबाई $(a) = 400 \ pm = 400 \times 10^{-10} \ cm$,आवोगाद्रो संख्या $(N_A) = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
घनत्व के सूत्र का उपयोग करते हुए: $d = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$.
मान रखने पर: $6.25 = \frac{Z \times 120}{6.022 \times 10^{23} \times (400 \times 10^{-10})^3}$.
गणना करने पर $Z = 2$ प्राप्त होता है।
चूंकि प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $(Z)$ $2$ है,इसलिए क्रिस्टल जालक काय केंद्रित (body centered) है।

(B) $fcc$ इकाई सेल के लिए,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $Z = 4$ है।
कोर लंबाई $a = x \ \mathring{A} = x \times 10^{-8} \ cm$.
$Cu$ का परमाणु द्रव्यमान $= 63.5 \ g \ mol^{-1}$.
एवोगाड्रो संख्या $N_A = 6.0 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
घनत्व $d$ के लिए सूत्र:
$d = \frac{Z \times M}{a^3 \times N_A}$
मान रखने पर:
$d = \frac{4 \times 63.5}{(x \times 10^{-8})^3 \times 6.0 \times 10^{23}}$
$d = \frac{254}{x^3 \times 10^{-24} \times 6.0 \times 10^{23}}$
$d = \frac{254}{x^3 \times 0.6} = \frac{423.33}{x^3} \approx \frac{423}{x^3} \ g \ cm^{-3}$.
अतः,सही विकल्प $(B)$ या $(C)$ है।

(B) दिया गया है, बॉडी सेंटर्ड क्यूबिक $(bcc)$ यूनिट सेल में परमाणु की त्रिज्या, $r = 173.2 \ pm = 173.2 \times 10^{-10} \ cm$.
$bcc$ संरचना के लिए, किनारे की लंबाई $a$ और त्रिज्या $r$ के बीच संबंध $\sqrt{3} \cdot a = 4r$ है।
अतः, $a = \frac{4r}{\sqrt{3}} = \frac{4 \times 173.2 \times 10^{-10}}{1.732} \ cm$.
$a = 4 \times 100 \times 10^{-10} \ cm = 400 \times 10^{-10} \ cm = 4 \times 10^{-8} \ cm$.
यूनिट सेल का आयतन $V = a^3 = (4 \times 10^{-8} \ cm)^3$.
$V = 64 \times 10^{-24} \ cm^3 = 6.4 \times 10^{-23} \ cm^3$.

(C) घनत्व $(d)$ का सूत्र $d = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$ है,जहाँ $Z$ प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या है,$M$ मोलर द्रव्यमान है,$N_A$ आवोगाद्रो संख्या है और $a$ कोर की लंबाई है।
$fcc$ के लिए,$Z_1 = 4$ और $a_1 = 3.5 \ \mathring{A}$ है।
$bcc$ के लिए,$Z_2 = 2$ और $a_2 = 3.0 \ \mathring{A}$ है।
घनत्वों का अनुपात $\frac{d_{fcc}}{d_{bcc}} = \frac{Z_1}{Z_2} \times \frac{a_2^3}{a_1^3}$ है।
मान रखने पर: $\frac{d_{fcc}}{d_{bcc}} = \frac{4}{2} \times \frac{(3.0)^3}{(3.5)^3} = 2 \times \frac{27}{42.875} = 2 \times 0.6297 = 1.2594 \approx 1.26 : 1$.

(D) $FCC$ इकाई कोष्ठिका के लिए, कोर की लंबाई $(a)$ और त्रिज्या $(r)$ के बीच संबंध $a = 2\sqrt{2}r$ है।
दिया गया है $r = 25 \ pm = 25 \times 10^{-10} \ cm$.
$a = 2 \times 1.414 \times 25 \times 10^{-10} \ cm = 70.7 \times 10^{-10} \ cm = 7.07 \times 10^{-9} \ cm$.
एक इकाई कोष्ठिका का आयतन $(V_{cell})$ $a^3 = (7.07 \times 10^{-9} \ cm)^3 \approx 353.5 \times 10^{-27} \ cm^3 = 3.535 \times 10^{-25} \ cm^3$ है।
$1.0 \ cm^3$ में इकाई कोष्ठिकाओं की संख्या $\frac{1.0 \ cm^3}{V_{cell}} = \frac{1}{3.535 \times 10^{-25}} \approx 0.2828 \times 10^{25} = 2.828 \times 10^{24}$ है।

(C) इकाई सेल के घनत्व का सूत्र है: $\rho = \frac{Z \times M}{a^3 \times N_A}$
$fcc$ जालक के लिए,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $Z = 4$ और कोर लंबाई $a = 3.5 \mathring{A}$ है।
$\rho_{fcc} = \frac{4 \times M}{(3.5)^3 \times N_A}$
$bcc$ जालक के लिए,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $Z = 2$ और कोर लंबाई $a = 3.0 \mathring{A}$ है।
$\rho_{bcc} = \frac{2 \times M}{(3.0)^3 \times N_A}$
दोनों घनत्वों का अनुपात लेने पर:
$\frac{\rho_{fcc}}{\rho_{bcc}} = \frac{4 \times (3.0)^3}{2 \times (3.5)^3} = \frac{4 \times 27}{2 \times 42.875} = \frac{108}{85.75} \approx 1.26$
अतः,$fcc$ और $bcc$ चरणों के घनत्व का अनुपात लगभग $1.26:1$ है।

(A) इकाई सेल का घनत्व $(d)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $d = \frac{Z \times M}{N \times a^3}$,जहाँ $Z$ प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या है,$M$ मोलर द्रव्यमान है,$N$ आवोगाद्रो संख्या है,और $a$ इकाई सेल की कोर लंबाई है।
$bcc$ (बॉडी-सेंटर्ड क्यूबिक) जालक के लिए,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $(Z)$ $2$ होती है।
घनत्व सूत्र में $Z = 2$ रखने पर: $d = \frac{2M}{N \times a^3}$.
$a^3$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $a^3 = \frac{2M}{Nd}$.
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर: $a = \left( \frac{2M}{Nd} \right)^{\frac{1}{3}}$.

(D) बॉडी-सेंटर्ड क्यूबिक $(bcc)$ संरचना के लिए, प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $(Z)$ = $2$ है।
दी गई किनारे की लंबाई $(a)$ = $400 \ pm = 4 \times 10^{-8} \ cm$.
परमाणु द्रव्यमान $(M)$ = $24 \ g \ mol^{-1}$.
एवोगाद्रो संख्या $(N_A)$ = $6 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
घनत्व $(d)$ का सूत्र:
$d = \frac{Z \times M}{a^3 \times N_A}$
मान रखने पर:
$d = \frac{2 \times 24}{(4 \times 10^{-8})^3 \times 6 \times 10^{23}}$
$d = \frac{48}{64 \times 10^{-24} \times 6 \times 10^{23}}$
$d = \frac{48}{38.4} = 1.25 \ g \ cm^{-3}$.

(A) इकाई सेल के घनत्व का सूत्र: $d = \frac{Z \times M}{a^3 \times N_A}$ है。
दिया गया है:
घनत्व $d = 2.7 \times 10^3 \ kg \ m^{-3} = 2.7 \ \text{g} \ cm^{-3}$.
मोलर द्रव्यमान $M = 2.7 \times 10^{-2} \ kg \ mol^{-1} = 27 \ \text{g} \ mol^{-1}$.
किनारे की लंबाई $a = 405 \ pm = 405 \times 10^{-10} \ cm = 4.05 \times 10^{-8} \ cm$.
एवोगाड्रो संख्या $N_A = 6.02 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
$Z$ ज्ञात करने के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$Z = \frac{d \times a^3 \times N_A}{M}$.
मान रखने पर:
$Z = \frac{2.7 \times (4.05 \times 10^{-8})^3 \times 6.02 \times 10^{23}}{27}$.
$Z = \frac{2.7 \times 66.43 \times 10^{-24} \times 6.02 \times 10^{23}}{27}$.
$Z = \frac{1079.7 \times 10^{-1}}{27} = \frac{107.97}{27} \approx 4$.
चूंकि प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $Z = 4$ है, इसलिए इकाई सेल $\text{फलक केंद्रित घनीय } (FCC)$ है。

(A) पाउडर $X$-रे विवर्तन $(PXRD)$ पैटर्न में,डेटा को तीव्रता ($y$-अक्ष) बनाम विवर्तन कोण $2 \theta$ ($x$-अक्ष) के रूप में आलेखित किया जाता है।
इस तकनीक का उपयोग क्रिस्टलीय पदार्थों के लक्षण वर्णन के लिए व्यापक रूप से किया जाता है।

(A) ब्रैग के समीकरण के अनुसार:
$n \lambda = 2 \ d \sin \theta$
दिया गया है: $n = 1$, $d = 280 \ pm = 280 \times 10^{-12} \ m$, $\sin \theta = 0.09$.
मान रखने पर:
$\lambda = \frac{2 \times 280 \times 10^{-12} \ m \times 0.09}{1}$
$\lambda = 50.4 \times 10^{-12} \ m$
$\lambda = 0.504 \times 10^{-10} \ m = 0.504 \ \mathring{A}$

(C) $fcc$ (फलक-केंद्रित घनीय) जालक के लिए,कोर लंबाई $(a)$ और परमाणु त्रिज्या $(r)$ के बीच का संबंध है: $a = 2\sqrt{2}r$.
दिया गया है कि $a = 4.242 \mathring{A}$ और $\sqrt{2} \approx 1.414$ है।
मान रखने पर: $4.242 = 2 \times 1.414 \times r$.
$4.242 = 2.828 \times r$.
$r = \frac{4.242}{2.828} \approx 1.5 \mathring{A}$.
अतः,$M$ परमाणु की त्रिज्या $1.5 \mathring{A}$ है।

(B) इकाई सेल के घनत्व का सूत्र है: $d = \frac{Z \times M}{a^3 \times N_A}$
$fcc$ क्रिस्टल के लिए,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $Z = 4$ है।
दिया गया है: $d = 2 \ g \ cm^{-3}$,$a = 600 \ pm = 6 \times 10^{-8} \ cm$,$N_A = 6 \times 10^{23} \ mol^{-1}$।
मान रखने पर: $2 = \frac{4 \times M}{(6 \times 10^{-8})^3 \times 6 \times 10^{23}}$
$2 = \frac{4 \times M}{216 \times 10^{-24} \times 6 \times 10^{23}}$
$2 = \frac{4 \times M}{129.6}$
$M = \frac{2 \times 129.6}{4} = 64.8 \ g \ mol^{-1}$।

(B) इकाई सेल का घनत्व $\rho = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $Z$ प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या है,$M$ मोलर द्रव्यमान है,$N_A$ आवोगाद्रो संख्या है,और $a$ कोर की लंबाई है।
$fcc$ के लिए,$Z_{fcc} = 4$ और $a_{fcc} = 3.5 \ \mathring{A}$ है।
$bcc$ के लिए,$Z_{bcc} = 2$ और $a_{bcc} = 3 \ \mathring{A}$ है।
घनत्वों का अनुपात $\frac{\rho_{fcc}}{\rho_{bcc}} = \frac{Z_{fcc}}{Z_{bcc}} \times \left(\frac{a_{bcc}}{a_{fcc}}\right)^3$ है।
मान रखने पर: $\frac{\rho_{fcc}}{\rho_{bcc}} = \frac{4}{2} \times \left(\frac{3}{3.5}\right)^3 = 2 \times \left(\frac{6}{7}\right)^3 = 2 \times \frac{216}{343} = \frac{432}{343} \approx 1.26$.

(A) बॉडी-सेंटर्ड क्यूबिक $(BCC)$ जालक के लिए,कोर लंबाई $(x)$ और परमाणु त्रिज्या $(r)$ के बीच का संबंध है: $x = \frac{4r}{\sqrt{3}}$.
यहाँ $r = 1.86 \ \mathring{A}$ दिया गया है,इसलिए:
$x = \frac{4 \times 1.86}{\sqrt{3}}$
$x = \frac{7.44}{1.732}$
$x \approx 4.29 \ \mathring{A}$.
अतः,$x$ का सही मान $4.29 \ \mathring{A}$ है।

(B) इकाई सेल के घनत्व का सूत्र: $\rho = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$
जहाँ $Z$ प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या है, $M$ मोलर द्रव्यमान है, $N_A$ आवोगाद्रो संख्या है, और $a$ किनारे की लंबाई है।
$Z$ के लिए सूत्र: $Z = \frac{\rho \times N_A \times a^3}{M}$
दिया गया है:
$\rho = 2.7 \times 10^3 \ kg \ m^{-3}$
$M = 2.7 \times 10^{-2} \ kg \ mol^{-1}$
$a = 405 \ pm = 4.05 \times 10^{-10} \ m$
$N_A = 6.023 \times 10^{23} \ mol^{-1}$
मान रखने पर:
$Z = \frac{(2.7 \times 10^3) \times (6.023 \times 10^{23}) \times (4.05 \times 10^{-10})^3}{2.7 \times 10^{-2}}$
$Z \approx 4$
अतः, प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $4$ है।

(C) इकाई सेल का घनत्व $(d)$ ज्ञात करने का सूत्र: $d = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$
$fcc$ संरचना के लिए,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $(Z)$ $= 4$ है।
किनारे की लंबाई $(a)$ $= x \ \mathring{A} = x \times 10^{-8} \ cm$.
दिया गया है $M = 63.5 \ g \ mol^{-1}$ और $N_A = 6.0 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
मान रखने पर:
$d = \frac{4 \times 63.5}{(6.0 \times 10^{23}) \times (x \times 10^{-8})^3} \ g \ cm^{-3}$
$d = \frac{254}{6.0 \times 10^{23} \times x^3 \times 10^{-24}} \ g \ cm^{-3}$
$d = \frac{254}{0.6 \times x^3} \ g \ cm^{-3} = \frac{423.33}{x^3} \ g \ cm^{-3}$
अतः,लगभग घनत्व $\frac{423}{x^3} \ g \ cm^{-3}$ है।

(A) $ccp$ (या $fcc$) इकाई सेल के लिए,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $Z = 4$ है।
कोर की लंबाई $a$ और त्रिज्या $r$ के बीच संबंध $a = 2\sqrt{2}r$ है।
दिया गया है $r = 1.28 \ \mathring{A} = 1.28 \times 10^{-8} \ cm$.
$a = 2 \times 1.414 \times 1.28 \times 10^{-8} \ cm = 3.62 \times 10^{-8} \ cm$.
घनत्व का सूत्र $\rho = \frac{Z \times M}{a^3 \times N_A}$ है।
मान रखने पर: $\rho = \frac{4 \times 63.5}{(3.62 \times 10^{-8})^3 \times 6.022 \times 10^{23}}$.
$\rho = \frac{254}{47.45 \times 10^{-24} \times 6.022 \times 10^{23}} = \frac{254}{28.57} \approx 8.89 \ g/cm^3$.
निकटतम मानक मान के अनुसार,घनत्व लगभग $8.96 \ g/cm^3$ है।
अतः,विकल्प $(A)$ सही है।

(A) $bcc$ जालक के लिए, काय विकर्ण (body diagonal) $\sqrt{3}a = 2r^{+} + 2r^{-}$ द्वारा दिया जाता है।
दी गई कोर लंबाई $a = 200 \ pm$ और धनायन त्रिज्या $r^{+} = 70 \ pm$ है।
$\sqrt{3} = 1.7$ का उपयोग करने पर, काय विकर्ण $1.7 \times 200 = 340 \ pm$ है।
अतः, $2(70) + 2r^{-} = 340 \ pm$.
$140 + 2r^{-} = 340 \ pm$.
$2r^{-} = 200 \ pm$, इसलिए $r^{-} = 100 \ pm$.
त्रिज्या अनुपात $\frac{r^{+}}{r^{-}} = \frac{70}{100} = 0.7$ है।

(B) इकाई सेल का घनत्व $\rho = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$ द्वारा दिया जाता है।
$\alpha$-रूप $(fcc)$ के लिए: $Z_1 = 4$, $a_1 = 2 \ pm$ है।
$\beta$-रूप $(bcc)$ के लिए: $Z_2 = 2$, $a_2 = 4 \ pm$ है।
घनत्वों का अनुपात $\frac{\rho_\alpha}{\rho_\beta} = \frac{Z_1}{Z_2} \times \left(\frac{a_2}{a_1}\right)^3$ है।
मान रखने पर: $\frac{\rho_\alpha}{\rho_\beta} = \frac{4}{2} \times \left(\frac{4}{2}\right)^3 = 2 \times (2)^3 = 2 \times 8 = 16$।

(D) दिया गया है: घनत्व $(d) = 10.3 \ g \ cm^{-3}$, कोर लंबाई $(a) = 314 \ pm = 314 \times 10^{-10} \ cm$, मोलर द्रव्यमान $(M) = 247 \ g \ mol^{-1}$ ($\text{$96$ परमाणु क्रमांक वाले तत्व के लिए}$), आवोगाद्रो संख्या $(N_A) = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
सूत्र का उपयोग करते हुए: $d = \frac{Z \times M}{a^3 \times N_A}$.
$Z$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $Z = \frac{d \times a^3 \times N_A}{M}$.
मान रखने पर: $Z = \frac{10.3 \times (314 \times 10^{-10})^3 \times 6.022 \times 10^{23}}{247}$.
$Z = \frac{10.3 \times 3.0959 \times 10^{-23} \times 6.022 \times 10^{23}}{247} \approx \frac{192.0}{247} \approx 0.777 \approx 1$.
चूंकि $Z = 1$ है, इसलिए ठोस की संरचना सरल घनीय (simple cubic) है।

(B) घनत्व का सूत्र $d = \frac{M \times Z}{N_A \times a^3}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $Z$ प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या है।
$Z$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $Z = \frac{d \times N_A \times a^3}{M}$.
दिया गया है: $d = 8.92 \ g \ cm^{-3}$, $M = 63.55 \ g \ mol^{-1}$, $a = 362 \ pm = 362 \times 10^{-10} \ cm$, और $N_A = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
मान रखने पर:
$Z = \frac{8.92 \times 6.022 \times 10^{23} \times (362 \times 10^{-10})^3}{63.55} \approx 4$.
चूंकि $Z = 4$ है, इसलिए इकाई सेल फलक केंद्रित घनीय $(FCC)$ है।

(D) रॉक साल्ट संरचना ($NaCl$ प्रकार) के लिए,प्रति इकाई सेल सूत्र इकाइयों की संख्या $(Z)$ $4$ होती है।
दिया गया है: घनत्व $(\rho)$ $= 3.70 \ g/cm^3$,मोलर द्रव्यमान $(M)$ $= 120 \ g/mol$,आवोगाद्रो संख्या $(N_A)$ $\approx 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$।
सूत्र का उपयोग करते हुए: $\rho = \frac{Z \times M}{a^3 \times N_A}$
$a^3 = \frac{Z \times M}{\rho \times N_A} = \frac{4 \times 120}{3.70 \times 6.022 \times 10^{23}}$
$a^3 = \frac{480}{22.28 \times 10^{23}} \approx 21.54 \times 10^{-23} = 215.4 \times 10^{-24} \ cm^3$
$a = \sqrt[3]{215.4 \times 10^{-24}} \approx 5.99 \times 10^{-8} \ cm \approx 6 \times 10^{-8} \ cm$.

(A) दिया गया है: विवर्तन कोण $(2 \theta) = 90^{\circ}$।
अतः,$\theta = 45^{\circ}$।
दो तलों के बीच की दूरी,$d = 2.28 \ \text{Å}$।
विवर्तन का क्रम,$n = 2$।
ब्रैग का समीकरण $n \lambda = 2 d \sin \theta$ है।
मान रखने पर: $2 \times \lambda = 2 \times 2.28 \times \sin 45^{\circ}$।
चूंकि $\sin 45^{\circ} = 0.7071$,इसलिए $2 \lambda = 2 \times 2.28 \times 0.7071$।
$\lambda = 2.28 \times 0.7071 = 1.612 \ \text{Å}$।

(D) बॉडी-सेंटर्ड क्यूबिक $(BCC)$ इकाई कोशिका के लिए, कोर लंबाई $(a)$ और परमाणु त्रिज्या $(r)$ के बीच का संबंध है: $4r = \sqrt{3}a$.
दिया गया है कि परमाणु त्रिज्या $r = 75 \ pm$ है।
सूत्र में $r$ का मान रखने पर: $a = \frac{4r}{\sqrt{3}}$.
$a = \frac{4 \times 75}{\sqrt{3}} = \frac{300}{\sqrt{3}}$.
हर का परिमेयकरण करने पर: $a = \frac{300 \times \sqrt{3}}{3} = 100 \times \sqrt{3}$.
चूंकि $\sqrt{3} \approx 1.732$, इसलिए $a = 100 \times 1.732 = 173.2 \ pm$.

(D) बॉडी-सेंटर्ड क्यूबिक $(BCC)$ जालक के लिए, प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $Z = 2$ है।
घनत्व का सूत्र $\rho = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$ है।
दिया गया है: $\rho = 5.0 \ g \ cm^{-3}$, $a = 200 \ pm = 2 \times 10^{-8} \ cm$.
$5.0 = \frac{2 \times M}{6.022 \times 10^{23} \times (2 \times 10^{-8})^3}$.
$M = \frac{5.0 \times 6.022 \times 10^{23} \times 8 \times 10^{-24}}{2} = 12.044 \ g \ mol^{-1}$.
$100 \ g$ में मोलों की संख्या $= \frac{100}{M} = \frac{100}{12.044} \approx 8.303 \ mol$.
परमाणुओं की संख्या $= \text{मोल} \times N_A = \frac{100}{M} \times N_A$.
$M$ का मान रखने पर:
परमाणुओं की संख्या $= \frac{100 \times 2}{5.0 \times 8 \times 10^{-24}} = \frac{200}{40 \times 10^{-24}} = 5 \times 10^{24}$.

(D) बॉडी-सेंटर्ड क्यूबिक $(bcc)$ इकाई सेल में,परमाणु मुख्य विकर्ण (body diagonal) पर एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं।
मुख्य विकर्ण की लंबाई $\sqrt{3} a$ होती है।
चूंकि मुख्य विकर्ण कोने के दो परमाणुओं की त्रिज्या और केंद्र के परमाणु के पूर्ण व्यास से बना होता है,इसलिए $\sqrt{3} a = 4r$ होता है।
अतः,परमाणु त्रिज्या $r = \frac{\sqrt{3}}{4} a$ है।

(A) दिया गया है कि,
एक $Ag$-परमाणु का द्रव्यमान $= m$ है।
$Ag$ धातु $fcc$ जालक में क्रिस्टलीकृत होती है।
$fcc$ जालक में प्रति इकाई कोशिका परमाणुओं की संख्या $Z = 4$ होती है।
इसलिए,इकाई कोशिका का कुल द्रव्यमान $= Z \times m = 4m$ है।
$a$ किनारे की लंबाई वाली इकाई कोशिका का आयतन $V = a^{3}$ है।
घनत्व $(\rho) = \frac{\text{इकाई कोशिका का द्रव्यमान}}{\text{इकाई कोशिका का आयतन}} = \frac{4m}{a^{3}}$।