Collision theory, Energy of activation and Arrhenius equation Questions in Gujarati

(B) આર્હેનિયસ સમીકરણ: $\log \frac{K_2}{K_1} = \frac{E_a}{2.303R} \left[ \frac{T_2 - T_1}{T_1 T_2} \right]$
આપેલ છે: $\frac{K_2}{K_1} = 2$,$T_1 = 300 \, K$,$T_2 = 310 \, K$,$R = 8.314 \, J \, K^{-1} \, mol^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $\log 2 = \frac{E_a}{2.303 \times 8.314} \left[ \frac{310 - 300}{300 \times 310} \right]$
$0.3010 = \frac{E_a}{19.147} \times \frac{10}{93000}$
$E_a = \frac{0.3010 \times 19.147 \times 93000}{10} \approx 53598 \, J \, mol^{-1} \approx 53.6 \, kJ \, mol^{-1}$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં,સક્રિયકરણ ઊર્જા $54 \, kJ \, mol^{-1}$ છે.

(D) આર્હેનિયસ સમીકરણ મુજબ,$k = A e^{-E_a / RT}$.
જ્યારે સક્રિયકરણ ઊર્જા $E_a = 0$ હોય,ત્યારે સમીકરણ $k = A e^0 = A$ બને છે.
આમ,$A$ (આવૃત્તિ અવયવ) અચળ હોવાથી,વેગ અચળાંક $k$ તાપમાનથી સ્વતંત્ર રહે છે.

(C) વેગ અચળાંક $k$ એ આર્હેનિયસ સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $k = p Z e^{-E_a/RT}$.
પ્રક્રિયા ઝડપથી આગળ વધે તે માટે,વેગ અચળાંક $k$ વધવો જોઈએ.
$k = p Z e^{-E_a/RT}$ સમીકરણમાં,$p$ એ સ્ટેરિક ફેક્ટર છે,$Z$ એ અથડામણ આવૃત્તિ છે,$E_a$ એ સક્રિયકરણ ઉર્જા છે,$R$ એ વાયુ અચળાંક છે અને $T$ એ તાપમાન છે.
$k$ વધારવા માટે,ઘાતાંકીય પદ $e^{-E_a/RT}$ નું મૂલ્ય વધવું જોઈએ.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે ઘાતાંક $-E_a/RT$ ઓછો ઋણ બને,જે ત્યારે થાય છે જો સક્રિયકરણ ઉર્જા $E_a$ ઘટે અથવા તાપમાન $T$ વધે.
તેથી,સક્રિયકરણ ઉર્જા $E_a$ માં ઘટાડો થવાથી પ્રક્રિયા વધુ ઝડપથી આગળ વધશે.

(C) ઉષ્માશોષક પ્રક્રિયામાં,નીપજો $(P)$ ની સ્થિતિ ઊર્જા પ્રક્રિયકો $(R)$ કરતા વધારે હોય છે.
સક્રિયકરણ ઊર્જા $(E_a)$ એ સંક્રાંતિ અવસ્થા (વક્રની ટોચ) અને પ્રક્રિયકો $(R)$ વચ્ચેનો ઊર્જાનો તફાવત છે.
આકૃતિ $C$ દર્શાવે છે કે નીપજોની ઊર્જા પ્રક્રિયકો કરતા વધારે છે (ઉષ્માશોષક) અને ઊર્જા અવરોધ (ટોચ) પ્રક્રિયકની ઊર્જા કરતા નોંધપાત્ર રીતે વધારે છે,જે ઊંચી સક્રિયકરણ ઊર્જા સૂચવે છે.

(A) ઉષ્માશોષક પ્રક્રિયા માટે,એન્થાલ્પી ફેરફાર $\Delta H$ ધન $(+ve)$ હોય છે.
એન્થાલ્પી ફેરફાર,પુરોગામી સક્રિયકરણ ઊર્જા $(E_f)$ અને પ્રતિગામી સક્રિયકરણ ઊર્જા $(E_b)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $\Delta H = E_f - E_b$.
કારણ કે $\Delta H > 0$,તેથી $E_f - E_b > 0$,જેનો અર્થ છે કે $E_f > E_b$ અથવા $E_b < E_f$.

(A) આર્હેનિયસ સમીકરણ દર અચળાંક $(k)$ અને તાપમાન $(T)$ વચ્ચેનો સંબંધ દર્શાવે છે:
$k = A e^{-E_a/RT}$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$\ln k = \ln A - \frac{E_a}{RT}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(A)$ છે.

(C) આર્હેનિયસ સમીકરણ $K = A \, e^{-E_a / RT}$ છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$\ln \, K = \ln \, A - \frac{E_a}{RT}$ મળે.
આને $10$ ના આધારમાં ફેરવવા માટે $2.303$ વડે ભાગતા,$\log \, K = \log \, A - \frac{E_a}{2.303 \, RT}$ મળે.
આ સમીકરણને સુરેખ રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = \log \, K$ અને $x = \frac{1}{T}$ છે,તેથી ઢાળ $m = -\frac{E_a}{2.303 \, R}$ થાય.

(C) એન્ડોથર્મિક પ્રક્રિયા માટે,એન્થાલ્પી ફેરફાર $\Delta H$ ધન હોય છે.
પુરોગામી પ્રક્રિયાની સક્રિયકરણ ઉર્જા $(E_{a(f)})$,પ્રતિગામી પ્રક્રિયાની સક્રિયકરણ ઉર્જા $(E_{a(b)})$ અને પ્રક્રિયાની એન્થાલ્પી વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $E_{a(f)} = E_{a(b)} + \Delta H$.
કોઈપણ પ્રક્રિયા થવા માટે $E_{a(b)}$ હંમેશા ધન મૂલ્ય હોવું જોઈએ,તેથી $E_{a(f)} > \Delta H$ થાય.
તેથી,સક્રિયકરણ ઉર્જાનું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $\Delta H$ કરતા વધારે હોય છે.

(C) આર્હેનિયસ સમીકરણ મુજબ,$K = A e^{-E_a / RT}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$\ln K = \ln A - \frac{E_a}{RT}$.
આ દર્શાવે છે કે આપેલ તાપમાન અને આવૃત્તિ અવયવ $A$ માટે વેગ અચળાંક $K$ એ સક્રિયકરણ ઊર્જા $E_a$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.
કારણ કે $K' = 2K''$,તેનો અર્થ એ છે કે $K' > K''$.
તેથી,જે પ્રક્રિયાનો વેગ અચળાંક વધારે હોય તેની સક્રિયકરણ ઊર્જા ઓછી હોય છે.
આમ,${E_a}' < {E_a}''$.

(B) આર્હેનિયસ સમીકરણ $k = A e^{-E_a / RT}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે $T \to \infty$ થાય,ત્યારે પદ $\frac{E_a}{RT} \to 0$ થાય છે.
તેથી,વેગ અચળાંક $k$ એ પ્રી-એક્સપોનેન્શિયલ ફેક્ટર $A$ (આર્હેનિયસ પેરામીટર) ની નજીક પહોંચે છે.
આપેલ છે કે આર્હેનિયસ પેરામીટર $A = 6.0 \times 10^{14}\,s^{-1}$ છે,તેથી $T \to \infty$ હોય ત્યારે વેગ અચળાંકનું મૂલ્ય $6.0 \times 10^{14}\,s^{-1}$ થાય છે.

(A) આપેલ પ્રક્રિયા માટે,$\Delta H = -44.12 \ kcal$. $\Delta H < 0$ હોવાથી,પ્રક્રિયા ઉષ્માક્ષેપક છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે એન્થાલ્પી ફેરફાર અને સક્રિયકરણ ઉર્જા વચ્ચેનો સંબંધ $\Delta H = E_f - E_b$ છે,જ્યાં $E_f$ એ પુરોગામી પ્રક્રિયાની સક્રિયકરણ ઉર્જા $(E_2)$ છે અને $E_b$ એ પ્રતિગામી પ્રક્રિયાની સક્રિયકરણ ઉર્જા $(E_1)$ છે.
તેથી,$\Delta H = E_2 - E_1$.
$\Delta H$ ઋણ હોવાથી,$E_2 - E_1 < 0$,જે સૂચવે છે કે $E_1 > E_2$.

(A) આર્હેનિયસ સમીકરણ $k = A e^{-E^*/RT}$ છે.
બંને બાજુ લઘુગણક લેતા,$\log \, k = \log \, A - \frac{E^*}{2.303 R} \cdot \frac{1}{T}$ મળે છે.
આ સમીકરણ $y = mx + c$ ના રેખીય સ્વરૂપ જેવું છે,જ્યાં $y = \log \, k$ અને $x = \frac{1}{T}$ છે.
$\log \, k$ વિરુદ્ધ $\frac{1}{T}$ નો આલેખ દોરતા એક સીધી રેખા મળે છે જેનો ઢાળ $-\frac{E^*}{2.303 R}$ જેટલો હોય છે.
આમ,આ ઢાળ પરથી સક્રિયકરણ ઊર્જા $E^*$ શોધી શકાય છે.

(C) સક્રિયકરણ ઉર્જા $(E_a)$ બે અલગ-અલગ તાપમાને ($T_1$ અને $T_2$) આર્હેનિયસ સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને નક્કી કરવામાં આવે છે.
આર્હેનિયસ સમીકરણ મુજબ: $\log \frac{K_2}{K_1} = \frac{E_a}{2.303R} \left[ \frac{T_2 - T_1}{T_1 T_2} \right]$.
બે અલગ-અલગ તાપમાને વેગ અચળાંકો ($K_1$ અને $K_2$) માપીને,સક્રિયકરણ ઉર્જાની ગણતરી કરી શકાય છે.

(A) આર્હેનિયસ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\log \frac{K_2}{K_1} = \frac{E_a}{2.303 \times R} \left[ \frac{T_2 - T_1}{T_1 T_2} \right]$
આપેલ છે: $E_a = 9000 \, cal/mol$,$R \approx 2 \, cal \, K^{-1} \, mol^{-1}$,$T_1 = 298 \, K$,$T_2 = 308 \, K$.
ગણતરી કરતા $\frac{K_2}{K_1} \approx 1.632$ મળે છે.
ટકાવારી વધારો = $\frac{K_2 - K_1}{K_1} \times 100 = 63.2 \% \approx 63 \%$.
સૌથી નજીકનો વિકલ્પ $65 \%$ છે.

(D) પ્રક્રિયાનો એન્થાલ્પી ફેરફાર $(\Delta H)$ એ પુરોગામી પ્રક્રિયાની સક્રિયકરણ ઊર્જા $(E_{af})$ અને પ્રતિગામી પ્રક્રિયાની સક્રિયકરણ ઊર્જા $(E_{ab})$ વચ્ચેના તફાવત દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\Delta H = E_{af} - E_{ab}$
શરૂઆતમાં,$\Delta H = 180 \ kJ \ mol^{-1} - 200 \ kJ \ mol^{-1} = -20 \ kJ \ mol^{-1}$.
ઉદ્દીપક પુરોગામી અને પ્રતિગામી બંને પ્રક્રિયાઓની સક્રિયકરણ ઊર્જામાં સમાન ઘટાડો $(100 \ kJ \ mol^{-1})$ કરે છે.
નવી $E_{af}' = 180 - 100 = 80 \ kJ \ mol^{-1}$.
નવી $E_{ab}' = 200 - 100 = 100 \ kJ \ mol^{-1}$.
નવી $\Delta H' = E_{af}' - E_{ab}' = 80 - 100 = -20 \ kJ \ mol^{-1}$.
ઉદ્દીપક પ્રક્રિયાની એન્થાલ્પીમાં ફેરફાર કરતું નથી,તેથી મૂલ્ય $-20 \ kJ \ mol^{-1}$ જ રહે છે.

(C) આર્હેનિયસ સમીકરણ $k = A \cdot e^{-E_a / (RT)}$ છે.
બંને બાજુ લોગ લેતા,$\ln \, k = \ln \, A - \frac{E_a}{RT}$ મળે છે.
આધાર $10$ ના લોગેરિધમમાં ફેરવતા,$\log \, k = \log \, A - \frac{E_a}{2.303 \, R} \cdot \frac{1}{T}$ મળે છે.
આને સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = \log \, k$,$x = 1/T$,$m = -E_a / (2.303 \, R)$,અને $c = \log \, A$ છે.
તેથી,$\log \, k$ વિરુદ્ધ $1/T$ નો આલેખ સીધી રેખા આપે છે.

(B) $K_1 = K_2$ આપેલ હોવાથી:
$10^{16} \cdot e^{-2000/T} = 10^{15} \cdot e^{-1000/T}$
બંને બાજુ $10^{15}$ અને $e^{-1000/T}$ વડે ભાગતા:
$\frac{10^{16}}{10^{15}} = \frac{e^{-1000/T}}{e^{-2000/T}}$
$10 = e^{(-1000/T) - (-2000/T)}$
$10 = e^{1000/T}$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક $(\ln)$ લેતા:
$\ln(10) = \frac{1000}{T}$
$2.303 \cdot \log_{10}(10) = \frac{1000}{T}$
$2.303 = \frac{1000}{T}$
તેથી,$T = \frac{1000}{2.303} \, K$.

(B) રાસાયણિક પ્રક્રિયાઓના અથડામણના સિદ્ધાંત મુજબ,પ્રક્રિયા થવા માટે પ્રક્રિયક અણુઓએ એકબીજા સાથે અથડાવું જરૂરી છે.
જોકે,બધી જ અથડામણો નીપજમાં પરિણમતી નથી.
માત્ર એવી અથડામણો જેમાં અણુઓ પાસે સક્રિયકરણ ઉર્જા $(E_a)$ જેટલી કે તેથી વધુ ઉર્જા હોય અને યોગ્ય દિશાવિન્યાસ હોય,તેને 'અસરકારક' અથવા 'સફળ' અથડામણ ગણવામાં આવે છે.
તેથી,'બધા જ પ્રક્રિયકો વચ્ચેની અથડામણ નીપજ બનાવે છે' તે વિધાન ખોટું છે.

(D) પુરોગામી પ્રક્રિયા $A \rightarrow B$ માટે,સક્રિયકરણ ઊર્જા $E_a(f) = 17 \, kJ/mol$ છે.
પ્રક્રિયા ઉષ્માક્ષેપક હોવાથી,એન્થાલ્પી ફેરફાર $\Delta H = -40 \, kJ/mol$ છે.
પુરોગામી $(E_a(f))$ અને પ્રતિવર્તી $(E_a(r))$ પ્રક્રિયાઓની સક્રિયકરણ ઊર્જા વચ્ચેનો સંબંધ: $\Delta H = E_a(f) - E_a(r)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $-40 = 17 - E_a(r)$.
તેથી,$E_a(r) = 17 + 40 = 57 \, kJ/mol$.

(C) આપેલ છે: $T_1 = 27\,^oC = 300\,K$,$k_1 = k$
$T_2 = 37\,^oC = 310\,K$,$k_2 = 2k$
આરેનિયસ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\log \frac{k_2}{k_1} = \frac{E_a}{2.303R} \left( \frac{T_2 - T_1}{T_1 T_2} \right)$
કિંમતો મૂકતા:
$\log \frac{2k}{k} = \frac{E_a}{2.303 \times 8.314} \times \frac{310 - 300}{300 \times 310}$
$\log 2 = \frac{E_a}{2.303 \times 8.314} \times \frac{10}{93000}$
$0.3010 = \frac{E_a}{19.147} \times 0.0001075$
$E_a = \frac{0.3010 \times 19.147}{0.0001075} \approx 53598.6\,J\,mol^{-1}$
$E_a \approx 53.6\,kJ\,mol^{-1}$

(A) આર્હેનિયસ સમીકરણ મુજબ: $k = Ae^{-E_a/RT}$
બંને બાજુ લઘુગણક લેતા: $\log \, k = \log \, A - \frac{E_a}{2.303R} \times \frac{1}{T}$
આને સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,ઢાળ $(m)$ નીચે મુજબ મળે છે: $m = -\frac{E_a}{2.303R}$
અહીં ઢાળ $-8000$ આપેલ છે,તેથી: $\frac{E_a}{2.303R} = 8000$
$R = 1.987 \, cal \, K^{-1} \, mol^{-1}$ લેતા:
$E_a = 8000 \times 2.303 \times 1.987$
$E_a = 36608 \, cal \, mol^{-1}$

(C) સક્રિયકરણ ઊર્જા $(E_a)$ એ પ્રક્રિયા થવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ ઊર્જા છે.
તે પ્રક્રિયાની ક્રિયાવિધિ અને સંક્રાંતિ અવસ્થાનો લાક્ષણિક ગુણધર્મ છે,જે પ્રક્રિયકોના સ્વભાવ અને માર્ગ પર આધાર રાખે છે,પરંતુ રાસાયણિક સમીકરણને સંતુલિત કરવા માટે વપરાતા તત્વયોગમિતિય સહગુણકો પર આધાર રાખતું નથી.
જ્યારે આપણે સંતુલિત રાસાયણિક સમીકરણના તત્વયોગમિતિય સહગુણકોને કોઈ અચળ સંખ્યા વડે ગુણીએ અથવા ભાગીએ,ત્યારે પ્રક્રિયાનો માર્ગ અને સંક્રાંતિ અવસ્થા સમાન રહે છે.
તેથી,તત્વયોગમિતિય સહગુણકો ગમે તે હોય,સક્રિયકરણ ઊર્જા $E_a$ બદલાતી નથી.
આમ,$E_a = E_a'$.

(B) વેગ અચળાંક $(K)$ એ પ્રક્રિયકોની સાંદ્રતાથી સ્વતંત્ર છે.
તે માત્ર પ્રક્રિયાના તાપમાન પર આધાર રાખે છે.
આર્હેનિયસ સમીકરણ $K = Ae^{-E_a/RT}$ મુજબ,તાપમાન $(T)$ વધારવાથી વેગ અચળાંક $(K)$ નું મૂલ્ય વધે છે.

(D) આર્હેનિયસ સમીકરણ $\log \, k = \log \, A - \frac{E_a}{2.303 \, RT}$ છે.
આપેલ સમીકરણ $\log \, k = - \frac{2000}{T} + 6$ સાથે સરખાવતા:
$\log \, A = 6 \implies A = 10^6 \, s^{-1}$.
$\frac{E_a}{2.303 \, R} = 2000$.
$E_a = 2000 \times 2.303 \times 8.314 \, J \, mol^{-1} \approx 38.3 \, kJ \, mol^{-1}$.

(C) પ્રતિવર્તી પ્રક્રિયા $A \rightleftharpoons B$ માટે,પુરોગામી પ્રક્રિયાની સક્રિયકરણ ઊર્જા $(E_{a,f})$ અને પ્રતિગામી પ્રક્રિયાની સક્રિયકરણ ઊર્જા $(E_{a,b})$ વચ્ચેનો સંબંધ $\Delta H = E_{a,f} - E_{a,b}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો પ્રક્રિયા ઉષ્માક્ષેપક $(\Delta H < 0)$ હોય,તો $E_{a,b} > E_{a,f}$ થાય.
જો પ્રક્રિયા ઉષ્માશોષક $(\Delta H > 0)$ હોય,તો $E_{a,b} < E_{a,f}$ થાય.
તેથી,પ્રતિગામી પ્રક્રિયાની સક્રિયકરણ ઊર્જા પ્રક્રિયાના એન્થાલ્પી ફેરફાર પર આધારિત હોવાથી તે $E_a$ કરતાં વધુ કે ઓછી હોઈ શકે છે.

(B) આર્હેનિયસ સમીકરણ $k = A \cdot e^{-E_a / (RT)}$ છે.
જ્યારે $T \rightarrow \infty$ થાય,ત્યારે ઘાતાંક પદ $-E_a / (RT) \rightarrow 0$ થાય છે.
તેથી,$e^{-E_a / (RT)} \rightarrow e^0 = 1$.
આમ,દર અચળાંક $k$ એ આર્હેનિયસ અવયવ $A$ ની નજીક પહોંચે છે.
આપેલ $A = 6.0 \times 10^{14} \, s^{-1}$ હોવાથી,$T \rightarrow \infty$ સમયે દર અચળાંકનું મૂલ્ય $6.0 \times 10^{14} \, s^{-1}$ થશે.

(A) પ્રક્રિયાનો દર $2^{\Delta T/10}$ ના ગુણાંકમાં વધે છે,જ્યાં $\Delta T$ એ તાપમાનમાં થતો ફેરફાર છે.
આપેલ છે,પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 0\,^{\circ}C$ અને અંતિમ તાપમાન $T_2 = 50\,^{\circ}C$.
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = T_2 - T_1 = 50\,^{\circ}C - 0\,^{\circ}C = 50\,^{\circ}C$.
$10\,^{\circ}C$ ના અંતરાલની સંખ્યા $n = \frac{50}{10} = 5$ છે.
તેથી,પ્રક્રિયાનો દર $2^n = 2^5 = 32$ ગણો વધશે.

(B) તાપમાનમાં દર $10^\circ C$ ના વધારા સાથે પ્રક્રિયાનો વેગ બમણો થાય છે.
$10^\circ C$ ના અંતરાલોની સંખ્યા $n = \frac{100^\circ C - 10^\circ C}{10^\circ C} = 9$ છે.
વેગમાં થતો વધારો $2^n$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,વેગમાં વધારાનું પ્રમાણ $2^9 = 512$ ગણું થશે.

(B) ઉષ્માશોષક પ્રક્રિયા માટે,નીપજોની ઊર્જા પ્રક્રિયકોની ઊર્જા કરતા વધારે હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,એન્થાલ્પી ફેરફાર $\Delta H = E_f - E_b > 0$.
આનો અર્થ એ થાય કે $E_f > E_b$,જેને $E_b < E_f$ તરીકે લખી શકાય.

(B) આપેલ છે: તાપમાન સહઅચળાંક $= \frac{K_2}{K_1} = 2$.
$T_1 = 25^{\circ}C = 298 \ K$,$T_2 = 35^{\circ}C = 308 \ K$.
આર્હેનિયસ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\log \frac{K_2}{K_1} = \frac{E_a}{2.303R} \left( \frac{T_2 - T_1}{T_1 T_2} \right)$.
કિંમતો મૂકતા: $\log 2 = \frac{E_a}{2.303 \times 8.314} \left( \frac{308 - 298}{298 \times 308} \right)$.
$0.3010 = \frac{E_a}{19.147} \left( \frac{10}{91784} \right)$.
$E_a = \frac{0.3010 \times 19.147 \times 91784}{10} \approx 52897 \ J/mol \approx 52.9 \ kJ/mol$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,$E_a = 52.31 \ kJ/mol$.

(B) આર્હેનિયસ સમીકરણ મુજબ,તાપમાન $T$ પર વેગ અચળાંક $k = A e^{-E_a/RT}$ છે.
બે અલગ તાપમાન $T_1$ અને $T_2$ માટે:
$\ln k_1 = \ln A - \frac{E_a}{RT_1}$ અને $\ln k_2 = \ln A - \frac{E_a}{RT_2}$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$\ln k_2 - \ln k_1 = \frac{E_a}{RT_1} - \frac{E_a}{RT_2} = \frac{E_a}{R} \left( \frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2} \right) = \frac{E_a}{R} \left( \frac{T_2 - T_1}{T_1 T_2} \right)$.
$10$ ના આધાર વાળા લઘુગણકમાં ફેરવતા:
$\log \frac{k_2}{k_1} = \frac{E_a}{2.303 R} \left( \frac{T_2 - T_1}{T_1 T_2} \right)$.
બંને બાજુ $-1$ વડે ગુણતા:
$\log \frac{k_1}{k_2} = \frac{E_a}{2.303 R} \left( \frac{T_1 - T_2}{T_1 T_2} \right)$.

(A) આર્હેનિયસ સમીકરણ $k = Ae^{-E_a/RT}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ તાપમાન $(T)$ વધે છે,તેમ પદ $e^{-E_a/RT}$ ઘાતાંકીય રીતે વધે છે.
તેથી,તાપમાન $(T)$ માં વધારા સાથે વેગ અચળાંક $(k)$ ઘાતાંકીય રીતે વધે છે.
આ સંબંધ ઘાતાંકીય વૃદ્ધિ વક્ર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જે વિકલ્પ $A$ માં આપેલા આલેખને અનુરૂપ છે.

(A) આર્હેનિયસ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$\log_{10} \frac{K_2}{K_1} = \frac{E_a}{2.303 \times R} \left[ \frac{T_2 - T_1}{T_1 \times T_2} \right]$
આપેલ છે:
$\frac{K_2}{K_1} = 3$,
$R = 8.314 \, J \, K^{-1} \, mol^{-1}$,
$T_1 = 20 + 273 = 293 \, K$,
$T_2 = 50 + 273 = 323 \, K$,
$\log_{10} 3 \approx 0.4771$.
કિંમતો મૂકતા:
$0.4771 = \frac{E_a}{2.303 \times 8.314} \left[ \frac{323 - 293}{323 \times 293} \right]$
$E_a = \frac{0.4771 \times 2.303 \times 8.314 \times 323 \times 293}{30}$
$E_a \approx 28811.8 \, J \, mol^{-1} = 28.81 \, kJ \, mol^{-1}$.

(C) તાપમાન સહગુણક $\mu = 2$ છે.
વેગ અચળાંક અને તાપમાનના ફેરફાર વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$\frac{K_2}{K_1} = \mu^{\frac{\Delta T}{10}}$
અહીં $\Delta T = 50^\circ \text{C}$ અને $\mu = 2$ આપેલ છે:
$\frac{K_2}{K_1} = 2^{\frac{50}{10}}$
$\frac{K_2}{K_1} = 2^5 = 32$
આમ,પ્રક્રિયાનો વેગ $32$ ગણો વધશે.

(B) આર્હેનિયસનું સમીકરણ $K = A e^{-E_a/RT}$ છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$\ln K = \ln A - \frac{E_a}{RT}$ મળે છે.
તાપમાન $T$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,$\frac{d}{dT}(\ln K) = \frac{d}{dT}(\ln A) - \frac{d}{dT}(\frac{E_a}{RT})$ મળે છે.
અહીં $A$ અને $E_a$ અચળાંક હોવાથી,$\frac{d}{dT}(\ln A) = 0$ થાય.
તેથી,$\frac{d}{dT}(\ln K) = -E_a \cdot \frac{d}{dT}(T^{-1}) = -E_a \cdot (-T^{-2}) = \frac{E_a}{RT^2}$.

(A) ઉત્સેચકો જૈવિક ઉદ્દીપક તરીકે કાર્ય કરે છે.
ઉદ્દીપકો પ્રક્રિયા માટે વૈકલ્પિક માર્ગ પૂરો પાડે છે જેની સક્રિયકરણ ઊર્જા $(E_a)$ ઓછી હોય છે.
સક્રિયકરણ ઊર્જા ઘટાડીને,અસરકારક અથડામણોની સંખ્યા વધે છે,જે પ્રક્રિયાના દરને નોંધપાત્ર રીતે વધારે છે.
તેથી,ઉત્સેચકોની હાજરીમાં પ્રક્રિયાની સક્રિયકરણ ઊર્જા $(E_a)$ ઘટે છે.

(C) આર્હેનિયસ સમીકરણ $k = A e^{-E_a/RT}$ છે.
$k$ ને $A$ ની બરાબર થવા માટે,ઘાતાંકીય પદ $e^{-E_a/RT}$ નું મૂલ્ય $1$ હોવું જોઈએ.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે ઘાતાંક $-E_a/RT = 0$ હોય.
જેમ $T \to \infty$ થાય,તેમ પદ $E_a/RT$ એ $0$ ની નજીક પહોંચે છે,અને $e^0 = 1$ થાય છે.
તેથી,જ્યારે $T \to \infty$ હોય ત્યારે $k = A$ થાય છે.

(D) ઉત્સેચકો જૈવિક ઉદ્દીપક તરીકે કાર્ય કરે છે જે સક્રિયકરણ ઉર્જા $(E_a)$ ઘટાડીને પ્રક્રિયાનો વેગ વધારે છે.
ઉત્સેચકની હાજરીમાં પ્રક્રિયાનો વેગ નોંધપાત્ર રીતે વધતો હોવાથી,ઉદ્દીપિત પ્રક્રિયાની સક્રિયકરણ ઉર્જા ઉદ્દીપક વગરની પ્રક્રિયા કરતા ઓછી હોય છે.
જોકે,ચોક્કસ આર્હેનિયસ પરિમાણો અથવા તાપમાન જાણ્યા વિના માત્ર વેગ વધારાના પરિબળ પરથી સક્રિયકરણ ઉર્જાનું ચોક્કસ મૂલ્ય નક્કી કરી શકાતું નથી.

(B) આર્હેનિયસ સમીકરણ: $\log \frac{K_2}{K_1} = \frac{E_a}{2.303R} \left( \frac{T_2 - T_1}{T_1 T_2} \right)$.
આપેલ છે: $T_1 = 298 \, K$,$T_2 = 308 \, K$,અને $K_2 = 2K_1$.
કિંમતો મૂકતા: $\log 2 = \frac{E_a}{2.303R} \left( \frac{10}{298 \times 308} \right)$.
$E_a$ માટે સૂત્ર: $E_a = \frac{2.303 \times R \times 298 \times 308 \times \log 2}{10}$.

(D) એન્થાલ્પી ફેરફાર $(\Delta H)$ એ પુરોગામી પ્રક્રિયાની સક્રિયકરણ ઊર્જા $(E_{a,f})$ અને પ્રતિગામી પ્રક્રિયાની સક્રિયકરણ ઊર્જા $(E_{a,b})$ વચ્ચેનો તફાવત છે.
$\Delta H = E_{a,f} - E_{a,b}$
ઉદ્દીપક પ્રક્રિયાની એન્થાલ્પીમાં ફેરફાર કરતું નથી.
પ્રારંભિક સ્થિતિમાં: $\Delta H = 180 - 200 = -20 \, kJ \, mol^{-1}$
ઉદ્દીપકની હાજરીમાં,નવી સક્રિયકરણ ઊર્જા:
$E'_{a,f} = 180 - 100 = 80 \, kJ \, mol^{-1}$
$E'_{a,b} = 200 - 100 = 100 \, kJ \, mol^{-1}$
નવો એન્થાલ્પી ફેરફાર: $\Delta H' = E'_{a,f} - E'_{a,b} = 80 - 100 = -20 \, kJ \, mol^{-1}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) પુરોગામી પ્રક્રિયાની સક્રિયકરણ ઊર્જા $(E_{a,f})$,પ્રતિગામી પ્રક્રિયાની સક્રિયકરણ ઊર્જા $(E_{a,r})$ અને એન્થાલ્પી ફેરફાર $(\Delta H)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $\Delta H = E_{a,f} - E_{a,r}$.
આપેલ છે: $E_{a,f} = 60 \ kJ \ mol^{-1}$ અને $\Delta H = -20 \ kJ \ mol^{-1}$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $-20 = 60 - E_{a,r}$.
$E_{a,r}$ માટે ગણતરી કરતા: $E_{a,r} = 60 + 20 = 80 \ kJ \ mol^{-1}$.

(B) આર્હેનિયસ સમીકરણ: $\log K = \log A - \frac{E_a}{2.303 \, RT}$.
સમીકરણને ગોઠવતા: $\log K - \log A = -\frac{E_a}{2.303 \, RT}$.
$\log(K/A) = -\frac{E_a}{2.303 \, RT}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E_a = 2.303 \, RT$ કિંમત મૂકતા:
$\log(K/A) = -\frac{2.303 \, RT}{2.303 \, RT} = -1$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{K}{A} = \text{antilog}(-1) = 10^{-1} = 0.1$.

(C) આર્હેનિયસ સમીકરણ: $\log \frac{k_2}{k_1} = \frac{E_a}{2.303R} \left[ \frac{T_2 - T_1}{T_1 T_2} \right]$
આપેલ છે: $k_2 = 2k_1$,$T_1 = 298 \, K$,$T_2 = 308 \, K$,$R = 8.314 \, J \, mol^{-1} \, K^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $\log(2) = \frac{E_a}{2.303 \times 8.314} \left[ \frac{308 - 298}{308 \times 298} \right]$
$0.3010 = \frac{E_a}{19.147} \left[ \frac{10}{91784} \right]$
$E_a = \frac{0.3010 \times 19.147 \times 91784}{10} \approx 52897 \, J \, mol^{-1} \approx 52.9 \, kJ \, mol^{-1}$.

(C) કોઈપણ રાસાયણિક પ્રક્રિયા માટે,સક્રિયકરણ ઊર્જા $(E_a)$ એ પ્રક્રિયકો માટે સક્રિયકૃત સંકુલ બનાવવા માટે જરૂરી ન્યૂનતમ ઊર્જા છે.
ઉષ્માક્ષેપક પ્રક્રિયામાં,નીપજોની ઊર્જા પ્રક્રિયકોની ઊર્જા કરતા ઓછી હોય છે.
સક્રિયકરણ ઊર્જા $(E_a)$,પ્રક્રિયાની એન્થાલ્પી $(\Delta H)$ અને પ્રતિગામી પ્રક્રિયાની સક્રિયકરણ ઊર્જા $(E_{a,reverse})$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$E_a - E_{a,reverse} = \Delta H$.
કારણ કે $E_{a,reverse}$ હંમેશા ધન મૂલ્ય હોવું જોઈએ,તેથી $E_a$ એ $\Delta H$ કરતા વધારે હોવું જોઈએ (ઉષ્માક્ષેપક પ્રક્રિયા માટે $\Delta H$ નું મૂલ્ય ધ્યાનમાં લેતા).
તેથી,સક્રિયકરણ ઊર્જા હંમેશા ધન મૂલ્ય હોય છે અને તે પ્રક્રિયાના એન્થાલ્પી ફેરફાર કરતા વધારે હોય છે.

(A) સક્રિયકરણ ઉર્જા $(E_a)$ એટલે પ્રક્રિયક અણુઓ દ્વારા શોષવામાં આવતી વધારાની લઘુત્તમ ઉર્જા,જેથી તેમની કુલ ઉર્જા દેહલી ઉર્જા $(E_T)$ જેટલી થાય.
ગાણિતિક રીતે,$E_a = E_T - E_{\text{average}}$.

(A) આર્હેનિયસ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\log \frac{k_2}{k_1} = \frac{E_a}{2.303R} \left[ \frac{T_2 - T_1}{T_1 T_2} \right]$
આપેલ છે: $k_2 = 2k_1$,$T_1 = 300 \ K$,$T_2 = 310 \ K$,$R = 8.314 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$.
$\log 2 = \frac{E_a}{2.303 \times 8.314} \left[ \frac{310 - 300}{300 \times 310} \right]$
$0.301 = \frac{E_a}{19.147} \left[ \frac{10}{93000} \right]$
$E_a = \frac{0.301 \times 19.147 \times 9300}{10} \approx 53598 \ J \ mol^{-1} \approx 53.6 \ kJ \ mol^{-1}$.

(D) આર્હેનિયસ સમીકરણ મુજબ,$K_1 = A_1 e^{-Ea_1/RT}$ અને $K_2 = A_2 e^{-Ea_2/RT}$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{K_1}{K_2} = \frac{A_1}{A_2} e^{(Ea_2 - Ea_1)/RT}$.
આપેલ છે કે $Ea_2 = 2 Ea_1$,આ કિંમત ઘાતાંકમાં મૂકતા: $\frac{K_1}{K_2} = \frac{A_1}{A_2} e^{(2 Ea_1 - Ea_1)/RT} = \frac{A_1}{A_2} e^{Ea_1/RT}$.
તેથી,$K_1 = A' K_2 e^{Ea_1/RT}$,જ્યાં $A' = \frac{A_1}{A_2}$.

(D) પ્રક્રિયાનો દર અચળાંક $(k)$ એ એક લાક્ષણિક ગુણધર્મ છે જે મુખ્યત્વે પ્રક્રિયાના તાપમાન પર આધાર રાખે છે,જે આર્હેનિયસ સમીકરણ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે: $k = A e^{-E_a / RT}$.
તે પ્રક્રિયકોની સાંદ્રતા,નિપજોની સાંદ્રતા અથવા સમયથી સ્વતંત્ર છે.

(B) આર્હેનિયસ સમીકરણ મુજબ: $k = A e^{-E_a / RT}$.
બંને બાજુ લઘુગણક લેતા:
$\ln \, k = \ln \, A - \frac{E_a}{RT}$
$10$ ના આધારમાં ફેરવતા:
$\log \, k = \log \, A - \frac{E_a}{2.303 \, R} \left( \frac{1}{T} \right)$
આ સમીકરણ $y = mx + c$ પ્રકારની સીધી રેખાનું છે,જ્યાં $y = \log \, k$,$x = 1/T$,અને ઢાળ $m = -\frac{E_a}{2.303 \, R}$ છે.
ઢાળ ઋણ હોવાથી,$\log \, k$ વિરુદ્ધ $1/T$ નો આલેખ ઋણ ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા મળે છે,જે વિકલ્પ $B$ માં દર્શાવેલ છે.