Collision theory, Energy of activation and Arrhenius equation Questions in Gujarati

(D) સક્રિયકરણ ઊર્જા $(E_a)$ એ રાસાયણિક પ્રક્રિયા થવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ ઊર્જા છે.
આર્હેનિયસ સમીકરણ $k = A e^{-E_a / RT}$ મુજબ,જ્યાં $k$ વેગ અચળાંક છે,$A$ આવૃત્તિ અવયવ છે,$R$ વાયુ અચળાંક છે અને $T$ તાપમાન છે.
મોટાભાગની પ્રક્રિયાઓ માટે,સક્રિયકરણ ઊર્જા $(E_a)$ ને પ્રક્રિયાના માર્ગનો લાક્ષણિક ગુણધર્મ માનવામાં આવે છે અને તે તાપમાનના વિશાળ ગાળામાં તાપમાનથી લગભગ સ્વતંત્ર રહે છે.
તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચું વિધાન છે.

(C) આર્હેનિયસ સમીકરણ $k = A e^{-E_{a} / RT}$ છે.
આપેલ સમીકરણ $k = (4.5 \times 10^{11} \ s^{-1}) e^{-(28000 \ K) / T}$ ને આર્હેનિયસ સમીકરણ સાથે સરખાવતા,ઘાતાંક પદ:
$E_{a} / R = 28000 \ K$.
તેથી,સક્રિયકરણ ઊર્જા $E_{a} = 28000 \times R$.
વાયુ અચળાંક $R = 8.314 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E_{a} = 28000 \times 8.314 \ J/mol = 232792 \ J/mol$.

(D) Arrhenius સમીકરણ $k = A e^{-E_a / (RT)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(1)$ વેગ અચળાંક $k$ એ તાપમાન $T$ નું વિધેય છે.
$(2)$ જેમ તાપમાન $T$ વધે છે,તેમ થ્રેશોલ્ડ ઉર્જા કરતા વધુ ઉર્જા ધરાવતા અણુઓનો અંશ વધે છે,જે વધુ અસરકારક અથડામણો તરફ દોરી જાય છે.
$(3)$ પ્રમાણભૂત Arrhenius મોડેલમાં,સક્રિયકરણ ઉર્જા $E_a$ અને પ્રી-એક્સપોનેન્શિયલ અવયવ $A$ ને તાપમાનથી સ્વતંત્ર અચળાંકો માનવામાં આવે છે.

(A) આર્હેનિયસ સમીકરણ $k = A e^{-E_a / RT}$ છે.
આપેલ $k = (\frac{k_1 k_2}{k_3})^{2/3}$ માં $k_i = A_i e^{-E_{a_i} / RT}$ મૂકતા:
$A e^{-E_a / RT} = [\frac{A_1 e^{-E_{a_1} / RT} \times A_2 e^{-E_{a_2} / RT}}{A_3 e^{-E_{a_3} / RT}}]^{2/3}$
$A e^{-E_a / RT} = [\frac{A_1 A_2}{A_3}]^{2/3} \times e^{(-E_{a_1} - E_{a_2} + E_{a_3}) \times \frac{2}{3RT}}$
ઘાતાંકની સરખામણી કરતા:
$-\frac{E_a}{RT} = \frac{2}{3} \times \frac{(-E_{a_1} - E_{a_2} + E_{a_3})}{RT}$
$E_a = \frac{2}{3} [E_{a_1} + E_{a_2} - E_{a_3}]$
કિંમતો મૂકતા:
$E_a = \frac{2}{3} [180 + 80 - 50]$
$E_a = \frac{2}{3} [210] = 140\ kJ/mol$.

(A) આપેલ વેગ અચળાંકો $k_1 = 10^{15} e^{-25000 / 8.34 T}$ અને $k_2 = 10^{14} e^{-15000 / 8.34 T}$ છે.
$k_1 = k_2$ લેતા:
$10^{15} e^{-25000 / 8.34 T} = 10^{14} e^{-15000 / 8.34 T}$
$\frac{10^{15}}{10^{14}} = e^{10000 / 8.34 T}$
$10 = e^{10000 / 8.34 T}$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$\ln(10) = \frac{10000}{8.34 T}$
$2.303 = \frac{10000}{8.34 T}$
$T = \frac{10000}{8.34 \times 2.303} \approx 520 \ K$
આમ,સાચો જવાબ $(A)$ છે.

(D) આર્હેનિયસ સમીકરણ મુજબ,$K = Ae^{-E_a/RT}$.
$(1)$ પદ $e^{-E_a/RT}$ એ સક્રિયકરણ ઉર્જા $(E_a)$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલી ઉર્જા ધરાવતા અણુઓનો અંશ દર્શાવે છે. આ સાચું છે.
$(2)$ જેમ $E_a$ ઘટે છે,તેમ $e^{-E_a/RT}$ નું મૂલ્ય વધે છે,જેનાથી વેગ અચળાંક $K$ મોટો થાય છે,તેથી પ્રક્રિયા ઝડપી બને છે. આ સાચું છે.
$(3)$ આર્હેનિયસ અવયવ $A$ (આવૃત્તિ અવયવ) એ અથડામણ આવૃત્તિ $(Z)$ અને અવકાશી/સંભાવના અવયવ $(P)$ નો ગુણાકાર છે,એટલે કે $A = PZ$. આ સાચું છે.
$(4)$ પ્રક્રિયાની તાપમાન પરની નિર્ભરતા સક્રિયકરણ ઉર્જા દ્વારા નક્કી થાય છે. ઉચ્ચ $E_a$ ધરાવતી પ્રક્રિયા તાપમાનના ફેરફારો પ્રત્યે વધુ સંવેદનશીલ હોય છે કારણ કે ઘાતાંકીય પદ $e^{-E_a/RT}$ તાપમાન સાથે નોંધપાત્ર રીતે બદલાય છે. તેથી,તે 'તાપમાન પર ઓછી આધારિત છે' તેવું વિધાન ખોટું છે.

(B) રાસાયણિક પ્રક્રિયાનો દર અસરકારક સંઘાતોની સંખ્યાના પ્રમાણમાં હોય છે,જે સક્રિયકરણ ઉર્જા $(E_a)$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલી ઉર્જા ધરાવતા અણુઓના અંશ પર આધાર રાખે છે.
આર્હેનિયસ સમીકરણ મુજબ,$E_a$ જેટલી કે તેથી વધુ ઉર્જા ધરાવતા અણુઓનો અંશ $f = e^{-E_a/RT}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તાપમાનમાં $10^{\circ}C$ ના વધારા માટે,આ અંશ આશરે બમણો થાય છે,જેના પરિણામે પ્રક્રિયાનો દર બમણો થાય છે.
વિકલ્પ $(A)$ ખોટો છે કારણ કે સરેરાશ ઝડપ $u$ એ $\sqrt{T}$ ના પ્રમાણમાં છે,તેથી તે બમણી થતી નથી.
વિકલ્પ $(C)$ ખોટો છે કારણ કે સાંદ્રતા તાપમાનથી સ્વતંત્ર છે.
વિકલ્પ $(D)$ ખોટો છે કારણ કે સંઘાત આવૃત્તિ માત્ર નાના પરિબળ ($\sqrt{T}$ ના પ્રમાણમાં) દ્વારા વધે છે,$2$ ના પરિબળ દ્વારા નહીં.

(A) આપેલ છે: $T_{1} = 27\,^{\circ}C = 300\,K$,$(K_{eq})_{1} = 30$.
$T_{2} = 127\,^{\circ}C = 400\,K$,$(K_{eq})_{2} = 40$.
જેમ તાપમાન વધે છે તેમ સંતુલન અચળાંક વધે છે,તેથી પ્રક્રિયા ઉષ્માશોષક છે.
ઉષ્માશોષક પ્રક્રિયા માટે,એન્થાલ્પી ફેરફાર $\Delta H = (E_{a})_{f} - (E_{a})_{b} > 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $(E_{a})_{f} > (E_{a})_{b}$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{(E_{a})_{f}}{(E_{a})_{b}} > 1$ થશે.

(D) આર્હેનિયસ સમીકરણ મુજબ:
$k = A \cdot e^{-E_a/RT}$ (ઉદ્દીપક ગેરહાજર)
$k' = A \cdot e^{-E'_a/RT}$ (ઉદ્દીપક હાજર)
આપેલ છે $E'_a = 4.15 \, kJ \, mol^{-1}$ અને $\frac{k'}{k} = 2.718 = e^1$.
ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{k'}{k} = e^{(E_a - E'_a)/RT}$
$e^1 = e^{(E_a - E'_a)/RT}$
તેથી,$1 = \frac{E_a - E'_a}{RT}$
$E_a = E'_a + RT$
કિંમતો મૂકતા ($R = 8.314 \times 10^{-3} \, kJ \, K^{-1} \, mol^{-1}$,$T = 500 \, K$):
$E_a = 4.15 + (8.314 \times 10^{-3} \times 500)$
$E_a = 4.15 + 4.157 = 8.307 \, kJ \, mol^{-1} \approx 8.3 \, kJ \, mol^{-1}$.

(D) $1$. આપેલ ઉર્જા પ્રોફાઇલ આકૃતિમાં,વક્ર $N$ ઉદ્દીપક વિનાની પ્રતિક્રિયા દર્શાવે છે,અને વક્ર $M$ ઉદ્દીપક સાથેની પ્રતિક્રિયા દર્શાવે છે.
$2$. પછાત પ્રતિક્રિયા માટે સક્રિયકરણ ઉર્જા એ સંક્રમણ સ્થિતિ (વક્રની ટોચ) અને નીપજો $(C+D)$ ના ઉર્જા સ્તર વચ્ચેનો ઉર્જા તફાવત છે.
$3$. ઉદ્દીપકની હાજરીમાં,સંક્રમણ સ્થિતિ વક્ર $M$ ને અનુરૂપ ઉર્જા સ્તર પર છે.
$4$. નીપજો $(C+D)$ નું ઉર્જા સ્તર પ્રક્રિયકો $(A+B)$ ના ઉર્જા સ્તરથી $P$ જેટલા અંતરે નીચે છે.
$5$. ઉદ્દીપકયુક્ત પ્રતિક્રિયા $(M)$ માટે સંક્રમણ સ્થિતિનું ઉર્જા સ્તર પ્રક્રિયકો $(A+B)$ થી $Q$ જેટલા અંતરે ઉપર છે.
$6$. તેથી,ઉદ્દીપકની હાજરીમાં પછાત પ્રતિક્રિયા માટે સક્રિયકરણ ઉર્જા એ નીપજો અને પ્રક્રિયકો $(P)$ વચ્ચેનો ઉર્જા તફાવત અને પ્રક્રિયકો તથા ઉદ્દીપકયુક્ત સંક્રમણ સ્થિતિ $(Q)$ વચ્ચેના ઉર્જા તફાવતનો સરવાળો છે,જે $P+Q$ છે.

(B) ઉષ્માક્ષેપક પ્રક્રિયા માટે,પુરોગામી પ્રક્રિયાની સક્રિયકરણ ઊર્જા $(E_{a(f)})$,પ્રતિગામી પ્રક્રિયાની સક્રિયકરણ ઊર્જા $(E_{a(b)})$ અને એન્થાલ્પી ફેરફાર $(\Delta H)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$\Delta H = E_{a(f)} - E_{a(b)}$
આપેલ છે:
$E_{a(f)} = 65 \ kJ \ mol^{-1}$
$\Delta H = -42 \ kJ \ mol^{-1}$
કિંમતો મૂકતા:
$-42 = 65 - E_{a(b)}$
$E_{a(b)} = 65 + 42 = 107 \ kJ \ mol^{-1}$

(B) આર્હેનિયસ સમીકરણ $k = A \times e^{-E_a/RT}$ છે.
વિધાન $(i)$ ખોટું છે કારણ કે શૂન્ય ક્રમની પ્રક્રિયાનો વેગ પ્રક્રિયકની સાંદ્રતા પર આધારિત નથી.
વિધાન $(ii)$ સાચું છે કારણ કે જો $E_a = 0$ હોય,તો $k = A \times e^0 = A$.
વિધાન $(iii)$ ખોટું છે કારણ કે જો $E_a = \infty$ હોય,તો $k = A \times e^{-\infty} = 0$.
વિધાન $(iv)$ ખોટું છે કારણ કે $\ln k = \ln A - \frac{E_a}{RT}$,જે દર્શાવે છે કે $\ln k$ એ $1/T$ નું વિધેય છે,$T$ નું નહીં.
વિધાન $(v)$ સાચું છે કારણ કે $\ln k = \ln A - \frac{E_a}{R} \times (1/T)$ સમીકરણ $\ln k$ વિરુદ્ધ $1/T$ નો આલેખ દોરતા $-E_a/R$ જેટલા ઢાળવાળી સીધી રેખા આપે છે.
તેથી,વિધાનો $(ii)$ અને $(v)$ સાચા છે.

(D) આપેલ છે કે $k_1 = k_2$,તેથી $A_1 e^{-E_{a_1} / RT} = A_2 e^{-E_{a_2} / RT}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $10^8 e^{-600 / RT} = 10^{10} e^{-1800 / RT}$.
પદોને ગોઠવતા: $\frac{e^{-600 / RT}}{e^{-1800 / RT}} = \frac{10^{10}}{10^8}$.
$e^{(1800 - 600) / RT} = 10^2$.
$e^{1200 / RT} = 100$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\frac{1200}{RT} = \ln(100) = 2 \ln(10)$.
$\ln(10) \approx 2.303$ અને $R = 2 \ cal/K \cdot mol$ લેતા:
$\frac{1200}{2 \times T} = 2 \times 2.303$.
$\frac{600}{T} = 4.606$.
$T = \frac{600}{4.606} \ K$.

(A) કુલ વેગ અચળાંક $k = (\frac{k_1 k_2}{k_3})^{2/3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આર્હેનિયસ સમીકરણ $k = A e^{-E_a/RT}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે દરેક વેગ અચળાંક માટેના પદો મૂકીએ છીએ:
$e^{-E_a/RT} = [\frac{e^{-E_{a1}/RT} \times e^{-E_{a2}/RT}}{e^{-E_{a3}/RT}}]^{2/3}$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$-\frac{E_a}{RT} = \frac{2}{3} [-\frac{E_{a1}}{RT} - \frac{E_{a2}}{RT} + \frac{E_{a3}}{RT}]$
$E_a = \frac{2}{3} [E_{a1} + E_{a2} - E_{a3}]$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$E_a = \frac{2}{3} [180 + 80 - 50] = \frac{2}{3} [210] = 140 \ kJ/mol$.

(D) આર્હેનિયસ સમીકરણ $k = A \, e^{-E_a/RT}$ છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln \, k = \ln \, A - \frac{E_a}{RT}$.
$10$ ના આધારવાળા લઘુગણકમાં રૂપાંતર કરતા: $\log \, k = \log \, A - \frac{E_a}{2.303 \, R} \times \frac{1}{T}$.
આને સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = \log \, k$ અને $x = \frac{1}{T}$,ઢાળ $m = -\frac{E_a}{2.303 \, R}$ મળે છે.
તેથી,$\log \, k$ વિરુદ્ધ $\frac{1}{T}$ નો આલેખ સીધી રેખા આપે છે.

(A) તાપમાન ગુણાંક $\mu$ એ $(T + 10) \ K$ અને $T \ K$ તાપમાને વેગ અચળાંકોનો ગુણોત્તર છે.
આર્હેનિયસ સમીકરણ $k = Ae^{-E_a / RT}$ પરથી સાબિત કરી શકાય છે કે $\log \mu \propto E_a$.
આનો અર્થ એ છે કે સક્રિયકરણ ઊર્જા $E_a$ વધે તેમ તાપમાન ગુણાંક $\mu$ વધે છે.
આપેલ છે કે $E_{a_1} > E_{a_2}$,તેથી $\mu_1 > \mu_2$ થશે.

(C) આર્હેનિયસ સમીકરણ $k = A \times e^{-E_a / (RT)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે સક્રિયકરણ ઉર્જા $E_a = 0$ છે.
સમીકરણમાં $E_a = 0$ મૂકતા,આપણને $k = A \times e^0 = A \times 1 = A$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે વેગ અચળાંક $k$ એ ફ્રીક્વન્સી ફેક્ટર $A$ જેટલો છે અને તે તાપમાન $T$ પર આધારિત નથી.
$300 \ K$ તાપમાને $k = 3.2 \times 10^8 \ s^{-1}$ હોવાથી,ફ્રીક્વન્સી ફેક્ટર $A$ નું મૂલ્ય $3.2 \times 10^8 \ s^{-1}$ છે.
તેથી,$400 \ K$ તાપમાને પણ ફ્રીક્વન્સી ફેક્ટર $A$ નું મૂલ્ય $3.2 \times 10^8 \ s^{-1}$ રહેશે.

(C) તાપમાન ગુણાંક $\mu = 3$ છે,જે $10^\circ C$ તાપમાનના વધારા માટે છે.
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = 60^\circ C$ છે.
પ્રક્રિયાના વેગમાં વધારો $= \mu^{(\Delta T / 10)} = 3^{(60 / 10)} = 3^6$ દ્વારા મળે છે.
ગણતરી કરતા: $3^6 = 729$.

(A) આર્હેનિયસ સમીકરણ $\ln(\frac{k_2}{k_1}) = \frac{E_a}{R} (\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2})$ છે.
આપેલ છે: $T_1 = 300 \ K$,$T_2 = 600 \ K$,$E_a = 24942 \ J \ mol^{-1}$,$R = 8.314 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $\ln(\frac{k_2}{k_1}) = \frac{24942}{8.314} (\frac{1}{300} - \frac{1}{600}) = 5$.
તેથી,$\frac{k_2}{k_1} = e^5 = 150$.
પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે વેગ એ વેગ અચળાંકના સમપ્રમાણમાં હોય છે,તેથી $Rate_2 = 150 \times Rate_1 = 150 \times 2.4 \times 10^{-3} = 0.36 \ mol \ L^{-1} \ s^{-1}$.

(A) આપેલ છે કે $k_1 = k_2$:
$10^{15} e^{-25000 / 8.314\, T} = 10^{14} e^{-15000 / 8.314\, T}$
$\frac{10^{15}}{10^{14}} = e^{(25000 - 15000) / 8.314\, T}$
$10 = e^{10000 / 8.314\, T}$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$ln(10) = \frac{10000}{8.314\, T}$
$ln(10) = 2.3$ આપેલ છે:
$2.3 = \frac{10000}{8.314\, T}$
$T = \frac{10000}{8.314 \times 2.3} \approx 522\, K$
આમ,તાપમાન $522\, K$ છે.

(B) સંઘાતવાદ (collision theory) દ્વારા સુધારેલા આર્હેનિયસ સમીકરણ $r = P Z_{AB} e^{-E_a/RT}$ માં,પદ $P$ ને સ્ટેરિક ફેક્ટર અથવા સંભાવના અવયવ (probability factor) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
તે એ જરૂરિયાતને દર્શાવે છે કે રાસાયણિક પ્રક્રિયા થવા માટે અણુઓ અથડામણ દરમિયાન યોગ્ય રીતે ગોઠવાયેલા હોવા જોઈએ.

(C) આર્હેનિયસ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\log \frac{K_{2}}{K_{1}} = \frac{E_{a}}{2.303 R} \left[ \frac{T_{2} - T_{1}}{T_{1} T_{2}} \right]$
આપેલ છે: $E_{a} = 65,000 \, J/mol$,$R = 8.314 \, J/K \cdot mol$,$T_{1} = 273 \, K$,$T_{2} = 298 \, K$.
કિંમતો મૂકતા:
$\log \frac{K_{2}}{K_{1}} = \frac{65000}{2.303 \times 8.314} \left[ \frac{298 - 273}{273 \times 298} \right]$
$\log \frac{K_{2}}{K_{1}} \approx 1.043$
$\frac{K_{2}}{K_{1}} = 10^{1.043} \approx 11$
આમ,પ્રક્રિયા આશરે $11$ ગણી ઝડપથી આગળ વધશે.

(A, B) આર્હેનિયસ સમીકરણ $k = A e^{-E_a/RT}$ છે.
વેગ અચળાંક $k$ એ આર્હેનિયસ અચળાંક $A$ જેટલો થાય તે માટે ઘાતાંકીય પદ $e^{-E_a/RT}$ નું મૂલ્ય $1$ હોવું જોઈએ.
આ ત્યારે શક્ય છે જ્યારે ઘાતાંક $0$ હોય,એટલે કે $-E_a/RT = 0$.
આ શરત $E_a = 0$ (સક્રિયકરણ ઊર્જા શૂન્ય હોય) ત્યારે સંતોષાય છે.
વૈકલ્પિક રીતે,જેમ $T \to \infty$ થાય,તેમ $E_a/RT \to 0$ થાય,તેથી $e^0 = 1$ થાય,જે $k = A$ બનાવે છે.

(B) આર્હેનિયસ સમીકરણ $k = A e^{-E_a / RT}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$\ln k = \ln A - \frac{E_a}{RT}$.
આને આધાર $10$ ના લઘુગણકમાં ફેરવવા માટે,આપણે $2.303$ વડે ભાગીએ છીએ:
$\log k = \log A - \frac{E_a}{2.303 RT}$.
આ સમીકરણ સીધી રેખા $y = mx + c$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $y = \log k$,$x = 1/T$,$m = -\frac{E_a}{2.303 R}$,અને $c = \log A$.
તેથી,આલેખનો ઢાળ $-\frac{E_a}{2.303 R}$ છે.

(C) આર્હેનિયસ સમીકરણ $K = A \cdot e^{-E_a / RT}$ છે.
આપેલ સમીકરણ $K = A \cdot e^{-40000/T}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\frac{E_a}{R} = 40000$ મળે છે.
વાયુ અચળાંક $R \approx 2 \, cal \cdot K^{-1} \cdot mol^{-1}$ લેતા,
તેથી,$E_a = 40000 \times 2 = 80000 \, cal$.

(D) તાપમાનમાં દર $10 ^\circ C$ ના વધારા માટે પ્રક્રિયાનો વેગ $2^{\frac{\Delta T}{10}}$ ના ગુણાંકમાં વધે છે.
અહીં,$\Delta T = 100 ^\circ C - 10 ^\circ C = 90 ^\circ C$.
તેથી,પ્રક્રિયાનો વેગ $(2)^{\frac{90}{10}}$ ગણો થશે.
$= 2^9 = 512$ ગણો.

(A) આર્હેનિયસ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\log \frac{K_{2}}{K_{1}} = \frac{E_a}{2.303 \ R} \left( \frac{T_{2} - T_{1}}{T_{1} T_{2}} \right)$
આપેલ છે: $K_{2} = 2K_{1}$,$T_{1} = 300 \ K$,$T_{2} = 310 \ K$,$R = 8.314 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$.
$\log 2 = \frac{E_a}{2.303 \times 8.314} \left( \frac{310 - 300}{300 \times 310} \right)$
$0.3010 = \frac{E_a}{19.147} \left( \frac{10}{93000} \right)$
$E_a = \frac{0.3010 \times 19.147 \times 93000}{10} \ J/mol$
$E_a \approx 53598 \ J/mol = 53.6 \ kJ/mol$.

(A) પ્રક્રિયાનો વેગ તાપમાન સાથે નીચેના સૂત્ર મુજબ બદલાય છે: $\frac{R_{2}}{R_{1}} = (\mu)^{\frac{\Delta T}{10}}$.
અહીં,$\Delta T = 55\,^{\circ}C - 25\,^{\circ}C = 30\,^{\circ}C$ અને $\mu = 3$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{R_{2}}{R_{1}} = (3)^{\frac{30}{10}} = (3)^{3} = 27$.

(C) આર્હેનિયસ સમીકરણ $k = A e^{-\frac{E_a}{RT}}$ છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને $\ln k = \ln A - \frac{E_a}{RT}$ મળે છે.
આને સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = \ln k$ અને $x = \frac{1}{T}$,ઢાળ $m = -\frac{E_a}{R}$ મળે છે.
વિકલ્પ $C$ સાચો છે કારણ કે $\ln k$ વિરુદ્ધ $\frac{1}{T}$ ના આલેખનો ઢાળ $-\frac{E_a}{R}$ છે.
નોંધ: જો આલેખ $\log_{10} k$ વિરુદ્ધ $\frac{1}{T}$ હોય,તો ઢાળ $-\frac{E_a}{2.303R}$ થાય છે.

(A) આર્હેનિયસ સમીકરણનું લઘુગણકીય સ્વરૂપ $\log_{10} K = \log_{10} A - \frac{E_a}{2.303RT}$ છે.
આપેલ સમીકરણ $\log_{10} K = -\frac{2000}{T} + 6.0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\frac{E_a}{2.303R} = 2000$ મળે છે.
અહીં $R = 1.987 \times 10^{-3} \ kcal \ K^{-1} \ mol^{-1} \approx 2 \times 10^{-3} \ kcal \ K^{-1} \ mol^{-1}$ લેતા.
$E_a = 2000 \times 2.303 \times 2 \times 10^{-3} \ kcal \ mol^{-1}$.
$E_a = 2000 \times 2.303 \times 0.002 = 9.212 \ kcal \ mol^{-1}$.
આમ,સક્રિયકરણ ઊર્જા $9.21 \ kcal \ mol^{-1}$ છે.

(C) પુરોગામી પ્રક્રિયા $A + B \to C + D$ માટે,સક્રિયકરણ ઊર્જા $x$ છે અને એન્થાલ્પી ફેરફાર $-y$ છે (કારણ કે તે ઉષ્માક્ષેપક પ્રક્રિયા છે).
પ્રતિગામી પ્રક્રિયા $C + D \to A + B$ માટે:
$1$. એન્થાલ્પી ફેરફાર મૂલ્યમાં સમાન પરંતુ ચિહ્નમાં પુરોગામી પ્રક્રિયા કરતા વિરુદ્ધ હોય છે,જે $y$ છે.
$2$. પ્રતિગામી પ્રક્રિયા માટે સક્રિયકરણ ઊર્જા એ સંક્રાંતિ અવસ્થા અને પ્રક્રિયકો $(C + D)$ વચ્ચેનો ઊર્જા તફાવત છે,જે $x + y$ છે.

(B) સક્રિયકરણ ઉર્જા $(E_a)$ જેટલી અથવા તેનાથી વધુ ઉર્જા ધરાવતા અણુઓનો અંશ $(f)$ આર્હેનિયસ સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $f = e^{-E_a/RT}$.
આપેલ છે:
$E_a = 200 \ kJ \ mol^{-1} = 200,000 \ J \ mol^{-1}$
$R = 8.314 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$
$T = 600 \ K$
કિંમતો મૂકતા:
$f = e^{-(200,000) / (8.314 \times 600)}$
$f \approx e^{-40}$.

(A) $1$. પ્રક્રિયાનો દર સક્રિયકરણ ઉર્જા $(E_a)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે. ઓછી સક્રિયકરણ ઉર્જા એટલે ઝડપી પ્રક્રિયા દર.
$2$. આપેલ ઉર્જા પ્રોફાઇલ આકૃતિઓ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે પ્રક્રિયા $A$ માટેની સક્રિયકરણ ઉર્જા $(E_{a1})$ એ પ્રક્રિયા $B$ ની સક્રિયકરણ ઉર્જા $(E_{a2})$ કરતા ઓછી છે,એટલે કે $E_{a1} < E_{a2}$. તેથી,પ્રક્રિયા $A$ એ પ્રક્રિયા $B$ કરતા ઝડપી છે.
$3$. એક્ઝર્ગોનિક (Exergonic) પ્રક્રિયાઓ તે છે જેમાં નીપજોની મુક્ત ઉર્જા પ્રક્રિયકો કરતા ઓછી હોય છે (ઋણ $\Delta G$). બંને પ્રક્રિયાઓ એક્ઝર્ગોનિક છે કારણ કે નીપજોની ઉર્જા પ્રક્રિયકો કરતા ઓછી છે.
$4$. કુલ ઉર્જા ફેરફાર $(\Delta E)$ ની સરખામણી કરતા,પ્રક્રિયા $B$ માટે ઉર્જાનો ઘટાડો પ્રક્રિયા $A$ કરતા વધારે છે,જે પ્રક્રિયા $B$ ને પ્રક્રિયા $A$ કરતા વધુ એક્ઝર્ગોનિક બનાવે છે.
$5$. આમ,પ્રક્રિયા $A$ ઝડપી છે,પરંતુ પ્રક્રિયા $B$ વધુ એક્ઝર્ગોનિક છે. આનો અર્થ એ થાય છે કે પ્રક્રિયા $A$ એ પ્રક્રિયા $B$ કરતા ઝડપી અને ઓછી એક્ઝર્ગોનિક છે.

(A) બહુ-પગલીય પ્રક્રિયાનો વેગ નિર્ણાયક તબક્કો $(R.D.S.)$ એ સૌથી વધુ સક્રિયકરણ ઉર્જા $(E_a)$ ધરાવતો તબક્કો છે.
આપેલ ઉર્જા પ્રોફાઇલ આકૃતિમાં,લેબલ $1$ ધરાવતી ટોચ એ સૌથી વધુ ઉર્જા અવરોધ દર્શાવે છે.
તેથી,સૌથી ઊંચી ટોચને અનુરૂપ તબક્કો,જે $A \to B$ છે,તે વેગ નિર્ણાયક તબક્કો છે.

(C) Arrhenius સમીકરણ મુજબ,$K = Ae^{-E_a/RT}$.
તેથી,$E_a$ જેટલું વધારે,$K$ તેટલું નાનું.
પ્રક્રિયાનો દર એ ઉર્જા અવરોધની ઊંચાઈના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
પ્રથમ તબક્કો સૌથી ધીમો (દર-નિર્ધારક તબક્કો) હોવાથી,તેની સક્રિયકરણ ઉર્જા અવરોધ સૌથી વધુ હોવો જોઈએ.
તેથી,ઉર્જા પ્રોફાઇલ આકૃતિમાં પ્રથમ શિખર સૌથી ઊંચું હોવું જોઈએ,જે વિકલ્પ $(C)$ માં દર્શાવેલ છે.

(C) વેગ અચળાંક $k$ એ સક્રિયકરણ ઊર્જા $E_a$ સાથે આર્હેનિયસ સમીકરણ $k = A e^{-E_a/RT}$ દ્વારા સંબંધિત છે.
વેગ અચળાંક $k$ વધારવા માટે,સક્રિયકરણ ઊર્જા $E_a$ ઘટાડવી આવશ્યક છે.
$E_a = E_{\text{transition state}} - E_{\text{reactant}}$.
પ્રક્રિયકની સ્થિરતા ઘટાડવાથી તેની ઊર્જા વધે છે,જે $E_a$ ઘટાડે છે.
સંક્રાંતિ અવસ્થાની સ્થિરતા વધારવાથી તેની ઊર્જા ઘટે છે,જે પણ $E_a$ ઘટાડે છે.
તેથી,પ્રક્રિયકની સ્થિરતા ઘટાડીને અથવા સંક્રાંતિ અવસ્થાની સ્થિરતા વધારીને વેગ અચળાંક વધારી શકાય છે.

(B) આરેનિયસ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\ln(\frac{k_2}{k_1}) = \frac{E_a}{R} [\frac{T_2 - T_1}{T_1 T_2}]$.
પ્રક્રિયા $A$ માટે: $\ln(2) = \frac{E_{a,A}}{R} [\frac{310 - 300}{300 \times 310}] = \frac{E_{a,A}}{R} [\frac{10}{93000}]$.
પ્રક્રિયા $B$ માટે: $\ln(2) = \frac{E_{a,B}}{R} [\frac{\Delta T}{300(300 + \Delta T)}]$.
આપેલ છે કે $E_{a,B} = 2 E_{a,A}$,તેથી $\ln(2)$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{E_{a,A}}{R} [\frac{10}{93000}] = \frac{2 E_{a,A}}{R} [\frac{\Delta T}{300(300 + \Delta T)}]$.
$\frac{10}{93000} = \frac{2 \Delta T}{300(300 + \Delta T)}$.
$\Delta T = \frac{45000}{9150} \approx 4.92 \, K$.

(A) આર્હેનિયસ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\ln \frac{k_2}{k_1} = \frac{E_a}{R} \left( \frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2} \right)$
આપેલ છે: $\frac{k_2}{k_1} = 4$,$T_1 = 300 \, K$,$T_2 = 310 \, K$,$R = 8.314 \, J \, mol^{-1} \, K^{-1}$,$\ln 2 = 0.693$.
$\ln 4 = \frac{E_a}{8.314} \left( \frac{310 - 300}{310 \times 300} \right)$
$2 \ln 2 = \frac{E_a}{8.314} \left( \frac{10}{93000} \right)$
$2 \times 0.693 = \frac{E_a}{8.314} \times \frac{1}{9300}$
$E_a = 1.386 \times 8.314 \times 9300 \, J \, mol^{-1} \approx 107200 \, J \, mol^{-1} = 107.2 \, kJ \, mol^{-1}$.

(A) આપેલ છે કે,$\frac{E_f}{E_b} = \frac{2}{3}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રક્રિયા માટે,$\Delta H = E_f - E_b$.
અહીં $\Delta H = -40 \ kJ/mol$ છે,તેથી $-40 = E_f - E_b$,જેનો અર્થ છે કે $E_b = E_f + 40$.
આ કિંમતને ગુણોત્તરમાં મૂકતા: $\frac{E_f}{E_f + 40} = \frac{2}{3}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $3E_f = 2(E_f + 40)$.
$3E_f = 2E_f + 80$.
$E_f = 80 \ kJ/mol$.
તેથી,$E_b = 80 + 40 = 120 \ kJ/mol$.

(B) આર્હેનિયસ સમીકરણ મુજબ:
$\log \frac{k_2}{k_1} = \frac{E_a}{2.303 \ R} \left( \frac{T_2 - T_1}{T_1 T_2} \right)$
આપેલ છે: $k_1 = 1.3 \times 10^{-4} \ M^{-1} \ s^{-1}$,$T_1 = 373 \ K$
$k_2 = 1.3 \times 10^{-3} \ M^{-1} \ s^{-1}$,$T_2 = 423 \ K$
$\log(10) = \frac{E_a}{2.303 \times 8.314} \left( \frac{50}{373 \times 423} \right)$
$1 = \frac{E_a \times 50}{19.147 \times 157779}$
$E_a \approx 60.4 \ kJ \ mol^{-1}$
તેથી,નજીકનું મૂલ્ય $60 \ kJ \ mol^{-1}$ છે.

(B) પ્રક્રિયા $X \to Y$ માટે,એન્થાલ્પી ફેરફાર $\Delta H$ એ પુરોગામી પ્રક્રિયાની સક્રિયકરણ ઊર્જા $(E_{a(f)})$ અને પ્રતિગામી પ્રક્રિયાની સક્રિયકરણ ઊર્જા $(E_{a(b)})$ ના તફાવત દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\Delta H = E_{a(f)} - E_{a(b)}$
આપેલ છે:
$E_{a(f)} = 150\,kJ\,mol^{-1}$
$\Delta H = -135\,kJ\,mol^{-1}$
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$-135 = 150 - E_{a(b)}$
$E_{a(b)}$ માટે ઉકેલતા:
$E_{a(b)} = 150 + 135 = 285\,kJ\,mol^{-1}$

(C) સક્રિયકરણ ઊર્જા $(E_a)$ ની ગણતરી આર્હેનિયસ સમીકરણ દ્વારા કરી શકાય છે: $\log(\frac{K_2}{K_1}) = \frac{E_a}{2.303 \ R} \times \frac{T_2 - T_1}{T_1 \times T_2}$.
આપેલ છે: $\frac{K_2}{K_1} = 2$,$T_1 = 298 \ K$,$T_2 = 308 \ K$,અને $R = 8.314 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $\log(2) = \frac{E_a}{2.303 \times 8.314} \times \frac{308 - 298}{308 \times 298}$.
$0.3010 = \frac{E_a}{19.147} \times \frac{10}{91784}$.
$E_a = \frac{0.3010 \times 19.147 \times 91784}{10} \approx 52897 \ J \ mol^{-1} = 52.9 \ kJ \ mol^{-1}$.

(A) આર્હેનિયસ સમીકરણ $k = A e^{-E_a/RT}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આલેખ $I$: જેમ $E_a$ વધે છે,તેમ $e^{-E_a/RT}$ પદ ઘટે છે,તેથી $k$ ઘટે છે. આમ,$k$ વિરુદ્ધ $E_a$ નો આલેખ એ ઘાતાંકીય ક્ષય વક્ર છે,જે સાચું છે.
આલેખ $II$: જેમ તાપમાન $T$ વધે છે,તેમ $e^{-E_a/RT}$ પદ વધે છે,તેથી $k$ એ $T$ સાથે ઘાતાંકીય રીતે વધે છે. આપેલ આલેખ $II$ એ વક્ર દર્શાવે છે જે $T$ સાથે $k$ ના પ્રમાણભૂત ઘાતાંકીય વધારાને યોગ્ય રીતે રજૂ કરતું નથી. તેથી,$II$ ખોટું છે.
તેથી,$I$ સાચું છે પણ $II$ ખોટું છે.

(A) આર્હેનિયસ સમીકરણ $\ln k = -\frac{E_a}{RT} + \ln A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આને સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $x = 1/(RT)$ છે,ઢાળ $m$ એ $-E_a$ ની બરાબર છે.
આપેલ છે કે ઢાળ $-y$ છે,તેથી $-E_a = -y$.
આમ,સક્રિયકરણ ઉર્જા $E_a$ એ $y \ unit$ ની બરાબર છે.

(C) આર્હેનિયસ સમીકરણ મુજબ,$\ln k = \ln A - \frac{E_a}{R} \left( \frac{1}{T} \right)$.
આને સુરેખ રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,ઢાળ $m = -\frac{E_a}{R}$ મળે.
આપેલ ઢાળ $= -4606 \ K$ છે,તેથી $\frac{E_a}{R} = 4606 \ K$.
સંકલિત આર્હેનિયસ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\ln \left( \frac{k_2}{k_1} \right) = \frac{E_a}{R} \left( \frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2} \right)$.
અહીં,$T_1 = 400 \ K$,$k_1 = 10^{-5} \ s^{-1}$,$T_2 = 500 \ K$,અને $k_2 = ?$.
$\ln \left( \frac{k_2}{10^{-5}} \right) = 4606 \times \left( \frac{1}{400} - \frac{1}{500} \right) = 4606 \times \left( \frac{500 - 400}{200000} \right) = 4606 \times \frac{100}{200000} = 4606 \times \frac{1}{2000} = 2.303$.
કારણ કે $\ln 10 \approx 2.303$,તેથી $\ln \left( \frac{k_2}{10^{-5}} \right) = \ln 10$.
તેથી,$\frac{k_2}{10^{-5}} = 10$,જે $k_2 = 10^{-4} \ s^{-1}$ આપે છે.

(D) આલેખ પરથી:
$(A+B)$ ની એન્થાલ્પી $= 5\,kJ\,mol^{-1}$.
$D$ ની એન્થાલ્પી $= 10\,kJ\,mol^{-1}$.
$C$ ની એન્થાલ્પી $= 0\,kJ\,mol^{-1}$.
$(A+B \to D)$ માટે સક્રિયકરણ ઉર્જા $= 15 - 5 = 10\,kJ\,mol^{-1}$.
$(A+B \to C)$ માટે સક્રિયકરણ ઉર્જા $= 20 - 5 = 15\,kJ\,mol^{-1}$.
$(C \to A+B)$ માટે સક્રિયકરણ ઉર્જા $= 20 - 0 = 20\,kJ\,mol^{-1}$.
$(D \to A+B)$ માટે સક્રિયકરણ ઉર્જા $= 15 - 10 = 5\,kJ\,mol^{-1}$.
સક્રિયકરણ ઉર્જાની સરખામણી કરતા,$C$ માંથી $(A+B)$ બનવાની પ્રક્રિયામાં સૌથી વધુ સક્રિયકરણ ઉર્જા $(20\,kJ\,mol^{-1})$ છે.
$C$ એ સૌથી વધુ સ્થાયી નીપજ છે (સૌથી ઓછી એન્થાલ્પી).
$D$ ઝડપથી બને છે (ઓછી સક્રિયકરણ ઉર્જા),તેથી તે ગતિકીય રીતે સ્થાયી નીપજ છે.
$C$ બનાવવા માટેની સક્રિયકરણ એન્થાલ્પી $(15\,kJ\,mol^{-1})$ એ $D$ બનાવવા માટેની સક્રિયકરણ એન્થાલ્પી $(10\,kJ\,mol^{-1})$ કરતા $5\,kJ\,mol^{-1}$ વધારે છે.
તેથી,વિધાન $D$ ખોટું છે.

(B) આર્હેનિયસ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\log \frac{K_2}{K_1} = \frac{E_a}{2.303 \ R} \left( \frac{T_2 - T_1}{T_1 T_2} \right)$
આપેલ છે:
$K_1 = 2.5 \times 10^{-4} \ dm^3 \ mol^{-1} \ s^{-1}$,$T_1 = 600 \ K$
$K_2 = 1.0 \ dm^3 \ mol^{-1} \ s^{-1}$,$T_2 = 800 \ K$
કિંમતો મૂકતા:
$\log (4000) = \frac{E_a}{2.303 \times 8.314} \left( \frac{200}{480000} \right)$
$E_a \approx 166 \ kJ \ mol^{-1}$

(D) આર્હેનિયસ સમીકરણ $K = A \ e^{-E_a / (RT)}$ છે.
આપેલ સમીકરણ $K = A \ e^{-1000}$ સાથે સરખાવતા,$E_a / (RT) = 1000$ મળે છે.
અહીં $T = 500 \ K$ અને વાયુ અચળાંક $R = 2 \ cal \ K^{-1} \ mol^{-1}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $E_a = 1000 \times R \times T = 1000 \times 2 \times 500 = 1,000,000 \ cal/mol = 10^6 \ cal/mol$.

(B) સક્રિયકરણ ઉર્જા $(E_a)$ એ સંક્રાંતિ અવસ્થાની ઉર્જા અને પ્રક્રિયકોની ઉર્જા વચ્ચેના તફાવત તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
પ્રતિક્રિયા માટે શૂન્ય સક્રિયકરણ ઉર્જા હોવા માટે,પ્રક્રિયકોની ઉર્જા સંક્રાંતિ અવસ્થાની ઉર્જા જેટલી હોવી જોઈએ.
આપેલા આલેખોમાં,આલેખ $B$ ઉર્જામાં રેખીય ઘટાડો દર્શાવે છે,જે પ્રતિક્રિયા નિર્દેશાંકનું પ્રમાણભૂત નિરૂપણ નથી. જો કે,આવા પ્રશ્નોના સંદર્ભમાં,જો આપણે ઉર્જા પ્રોફાઇલને ધ્યાનમાં લઈએ જ્યાં ઉર્જા અચળ રહે છે અથવા અવરોધ વિના ઘટે છે,તો તે કોઈ સક્રિયકરણ અવરોધ વિનાની પ્રતિક્રિયાનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(C) આર્હેનિયસ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\log \frac{K_{2}}{K_{1}} = \frac{E_{a}}{2.303 R} \left( \frac{T_{2} - T_{1}}{T_{1} T_{2}} \right)$
આપેલ છે: $E_{a} = 65000\, J/mol$,$T_{1} = 273\, K$,$T_{2} = 298\, K$,$R = 8.314\, J/mol\cdot K$.
કિંમતો મૂકતા:
$\log \frac{K_{2}}{K_{1}} = \frac{65000}{2.303 \times 8.314} \left( \frac{298 - 273}{273 \times 298} \right)$
$\log \frac{K_{2}}{K_{1}} = 1.043$
$\frac{K_{2}}{K_{1}} = 10^{1.043} \approx 11$
આમ,પ્રક્રિયા $11$ ગણી ઝડપી છે.