Collision theory, Energy of activation and Arrhenius equation Questions in Gujarati

(D) પુરોગામી પ્રક્રિયાની સક્રિયકરણ ઊર્જા $(E_{a,f})$,પ્રતિગામી પ્રક્રિયાની સક્રિયકરણ ઊર્જા $(E_{a,r})$ અને પ્રક્રિયાની એન્થાલ્પીમાં ફેરફાર $(\Delta H)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$E_{a,f} - E_{a,r} = \Delta H$.
જો પ્રક્રિયા ઉષ્માક્ષેપક હોય $(\Delta H < 0)$,તો $E_{a,f} < E_{a,r}$,એટલે કે $E_{a,r} > 50 \, kcal$.
જો પ્રક્રિયા ઉષ્માશોષક હોય $(\Delta H > 0)$,તો $E_{a,f} > E_{a,r}$,એટલે કે $E_{a,r} < 50 \, kcal$.
પ્રક્રિયાનો પ્રકાર (ઉષ્માક્ષેપક કે ઉષ્માશોષક) આપેલ ન હોવાથી,પ્રતિગામી પ્રક્રિયાની સક્રિયકરણ ઊર્જા $50 \, kcal$ કરતા વધારે અથવા ઓછી હોઈ શકે છે.

(B) આર્હેનિયસ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\log \frac{k_2}{k_1} = \frac{E_a}{2.303R} \left[ \frac{T_2 - T_1}{T_1 T_2} \right]$
આપેલ છે: $T_1 = 293 \ K$,$T_2 = 313 \ K$,$k_2 = 4k_1$,$R = 8.314 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $\log(4) = \frac{E_a}{2.303 \times 8.314} \left[ \frac{313 - 293}{293 \times 313} \right]$
$0.6021 = \frac{E_a}{19.147} \times \frac{20}{91709}$
$E_a = \frac{0.6021 \times 19.147 \times 91709}{20} \approx 52863 \ J \ mol^{-1}$
$E_a = 52.86 \ kJ \ mol^{-1}$.

(C) આર્હેનિયસ સમીકરણ $K = A e^{-E_a / RT}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને $\ln K = \ln A - \frac{E_a}{RT}$ મળે છે.
આધાર $10$ ના લઘુગણકમાં ફેરવતા,આપણને $\log K = \log A - \frac{E_a}{2.303 R} \times \frac{1}{T}$ મળે છે.
આને સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = \log K$ અને $x = 1/T$ છે,ઢાળ $m = -\frac{E_a}{2.303 R}$ થાય છે.
આમ,$\log K$ વિરુદ્ધ $1/T$ નો આલેખ એક સીધી રેખા આપે છે,જેનો ઢાળ $-\frac{E_a}{2.303 R}$ છે,જેના દ્વારા આપણે સક્રિયકરણ ઊર્જા $E_a$ ની ગણતરી કરી શકીએ છીએ.

(A) આર્હેનિયસ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\log \frac{K_2}{K_1} = \frac{E_a}{2.303R} \left( \frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2} \right)$
અહીં $R = 2 \ cal \ K^{-1} \ mol^{-1}$ લેતા:
$\log K_2 - \log K_1 = \frac{E_a}{2.303 \times 2} [ (1.5 \times 10^{-3}) - (1.3 \times 10^{-3}) ]$
$1.1 - 2.9 = \frac{E_a}{4.606} [ 0.2 \times 10^{-3} ]$
$E_a = \frac{1.8 \times 4.606}{0.2 \times 10^{-3}} \approx 4 \times 10^4 \ J \ mol^{-1}$.

(B) આર્હેનિયસ સમીકરણ $k = A e^{-E_a/RT}$ મુજબ,તાપમાન $T$ વધતા,સક્રિયકરણ ઊર્જા $(E_a)$ જેટલી અથવા તેનાથી વધુ ઊર્જા ધરાવતા અણુઓનો અંશ નોંધપાત્ર રીતે વધે છે.
આનાથી અસરકારક સંઘાતની સંખ્યામાં વધારો થાય છે,જેના પરિણામે પ્રક્રિયાના દરમાં મોટો વધારો જોવા મળે છે.
તેથી,સાચું કારણ સક્રિયકૃત અણુઓની સંખ્યામાં વધારો છે.

(C) રાસાયણિક પ્રક્રિયા થવા માટે અથડાતા અણુઓ પાસે જે ન્યૂનતમ ઊર્જા હોવી જરૂરી છે તેને $Threshold \ energy$ (થ્રેશોલ્ડ ઊર્જા) કહે છે.
સક્રિયકરણ ઊર્જા એ પ્રક્રિયકોની સરેરાશ ઊર્જા કરતા વધારાની ઊર્જા છે જે થ્રેશોલ્ડ ઊર્જાના સ્તર સુધી પહોંચવા માટે જરૂરી છે.

(D) રાસાયણિક ગતિકીમાં સામાન્ય નિયમ છે કે તાપમાનમાં દર $10\,^\circ\text{C}$ ના વધારા સાથે પ્રક્રિયાનો દર $2$ થી $3$ ગણો વધે છે.
આ ગણતરી માટે તાપમાન ગુણાંક $2$ લેતા:
તાપમાનમાં વધારો $50\,^\circ\text{C} - 10\,^\circ\text{C} = 40\,^\circ\text{C}$ છે.
આ $10\,^\circ\text{C}$ ના $4$ અંતરાલ દર્શાવે છે $(40/10 = 4)$.
દર વધારાનો ગુણાંક $2^n$ તરીકે ગણવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ $10\,^\circ\text{C}$ ના અંતરાલની સંખ્યા છે.
દર વધારાનો ગુણાંક $= 2^4 = 16$.

(D) આર્હેનિયસ સમીકરણ મુજબ: $\log K = \log A - \frac{E_a}{2.303RT}$
જ્યારે $T \to \infty$ થાય,ત્યારે પદ $\frac{E_a}{2.303RT} \to 0$ થાય છે.
તેથી,$\lim_{T \to \infty} \log K = \log A$.

(D) આર્હેનિયસ સમીકરણ $k = A e^{-E_a / RT}$ મુજબ.
અહીં,$k$ એ વેગ અચળાંક છે,$A$ એ આવૃત્તિ અવયવ છે,$E_a$ એ સક્રિયકરણ ઉર્જા છે,$R$ એ વાયુ અચળાંક છે અને $T$ એ તાપમાન છે.
જેમ સક્રિયકરણ ઉર્જા $(E_a)$ ઘટે છે,તેમ ઘાતાંક $-E_a / RT$ નું મૂલ્ય ઓછું ઋણ (શૂન્યની નજીક) બને છે.
પરિણામે,$e^{-E_a / RT}$ નું મૂલ્ય વધે છે,જે મોટા વેગ અચળાંક $(k)$ તરફ દોરી જાય છે.
મોટો વેગ અચળાંક ઝડપી પ્રક્રિયા વેગ સૂચવે છે.
તેથી,ઓછી સક્રિયકરણ ઉર્જા ધરાવતી પ્રક્રિયાઓ સામાન્ય રીતે ઝડપી હોય છે.

(D) પ્રતિગામી પ્રક્રિયા માટે સક્રિયકરણ ઉર્જા પ્રક્રિયાના એન્થાલ્પી ફેરફાર $(\Delta H)$ પર આધાર રાખે છે.
ઉષ્માશોષક પ્રક્રિયા માટે,$\Delta H > 0$,તેથી $E_{a(\text{reverse})} = E_{a(\text{forward})} - \Delta H$,જે $E_a$ કરતા ઓછી છે.
ઉષ્માક્ષેપક પ્રક્રિયા માટે,$\Delta H < 0$,તેથી $E_{a(\text{reverse})} = E_{a(\text{forward})} - \Delta H$,જે $E_a$ કરતા વધુ છે.
તેથી,પ્રતિગામી દિશામાં સક્રિયકરણ ઉર્જા $E_a$ કરતા ઓછી અથવા વધુ હોઈ શકે છે.

(B) એન્થાલ્પી ફેરફાર $(\Delta H)$,પુરોગામી પ્રક્રિયાની સક્રિયકરણ ઊર્જા $(E_f)$ અને પ્રતિગામી પ્રક્રિયાની સક્રિયકરણ ઊર્જા $(E_b)$ વચ્ચેનો સંબંધ આ મુજબ છે: $\Delta H = E_f - E_b$.
આપેલ છે: $\Delta H = -20 \ kJ \ mol^{-1}$ અને $E_f = 85 \ kJ \ mol^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $-20 = 85 - E_b$.
$E_b$ માટે ઉકેલતા: $E_b = 85 + 20 = 105 \ kJ \ mol^{-1}$.

(C) સક્રિયકરણ ઊર્જા $(E_a)$ એ પ્રક્રિયક અણુઓ દ્વારા સક્રિયકૃત સંકીર્ણ બનાવવા માટે શોષવામાં આવતી લઘુત્તમ વધારાની ઊર્જા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે તેમને પ્રક્રિયાના પોટેન્શિયલ બેરિયરને પાર કરવામાં મદદ કરે છે.
તેથી,તે પ્રક્રિયકો માટે ટ્રાન્ઝિશન સ્ટેટ સુધી પહોંચવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ બાહ્ય ઊર્જા છે.

(C) રાસાયણિક પ્રક્રિયાનો વેગ પ્રક્રિયાની સક્રિયકરણ ઊર્જા $(E_a)$ સાથે વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
આર્હેનિયસ સમીકરણ $k = Ae^{-E_a/RT}$ મુજબ,ઓછી સક્રિયકરણ ઊર્જાને કારણે વેગ અચળાંક $(k)$ વધારે મળે છે અને પ્રક્રિયા ઝડપી બને છે.
ઓરડાના તાપમાને $2NO + O_2 \rightarrow 2NO_2$ પ્રક્રિયાની સક્રિયકરણ ઊર્જા $2CO + O_2 \rightarrow 2CO_2$ પ્રક્રિયા કરતા ઘણી ઓછી હોય છે.
તેથી,$NO$ અને $O_2$ વચ્ચેની પ્રક્રિયા ઝડપી છે,જ્યારે $CO$ અને $O_2$ વચ્ચેની પ્રક્રિયા ધીમી છે.

(C) ઉષ્માક્ષેપક પ્રક્રિયા માટે,એન્થાલ્પી ફેરફાર $\Delta H = E_{a(f)} - E_{a(b)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E_{a(f)}$ એ પુરોગામી પ્રક્રિયાની સક્રિયકરણ ઊર્જા છે અને $E_{a(b)}$ એ પ્રતિગામી પ્રક્રિયાની સક્રિયકરણ ઊર્જા છે.
આપેલ છે: $\Delta H = -5 \, K \, cal/mol$ (કારણ કે તે ઉષ્માક્ષેપક છે),
$E_{a(f)} = 15 \, K \, cal/mol$.
કિંમતો મૂકતા: $-5 = 15 - E_{a(b)}$.
તેથી,$E_{a(b)} = 15 + 5 = 20 \, K \, cal/mol$.

(B) આર્હેનિયસ સમીકરણ મુજબ,દર અચળાંક $K = A e^{-E_a/RT}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમાન તાપમાન $T$ પર બે પ્રક્રિયાઓ માટે,જો આપણે ધારીએ કે આવૃત્તિ અવયવ $A$ બંને માટે સમાન છે:
$\frac{K_1}{K_2} = \frac{e^{-E_1/RT}}{e^{-E_2/RT}} = e^{(E_2 - E_1)/RT}$.
આપેલ છે કે $K_1 = 2K_2$,તેથી $\frac{K_1}{K_2} = 2$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln(2) = \frac{E_2 - E_1}{RT}$.
કારણ કે $\ln(2) > 0$,તેથી $E_2 - E_1 > 0$,જેનો અર્થ છે કે $E_2 > E_1$ અથવા $E_1 < E_2$.

(B) ધારો કે ઉદ્દીપકની ગેરહાજરીમાં દર અચળાંક $k_1$ અને ઉદ્દીપકની હાજરીમાં $k_2$ છે.
ઉદ્દીપક વગર સક્રિયકરણ ઊર્જા $(E_1) = 30\,kJ\,mol^{-1}$.
ઉદ્દીપક સાથે સક્રિયકરણ ઊર્જા $(E_2) = 24\,kJ\,mol^{-1}$.
તાપમાન $(T) = 25 + 273 = 298\,K$.
આર્હેનિયસ સમીકરણ મુજબ:
$\log(\frac{k_2}{k_1}) = \frac{E_1 - E_2}{2.303RT}$
$\log(\frac{k_2}{k_1}) = \frac{(30 - 24) \times 10^3}{2.303 \times 8.314 \times 298}$
$\log(\frac{k_2}{k_1}) \approx 1.0515$
$\frac{k_2}{k_1} = \text{antilog}(1.0515) \approx 11.26$
આમ,પ્રક્રિયાનો દર આશરે $11$ ગણો વધશે.

(C) કોઈપણ પ્રક્રિયા માટે,એન્થાલ્પી ફેરફાર $(\Delta H)$ એ પુરોગામી પ્રક્રિયાની સક્રિયકરણ ઊર્જા $(E_{a(f)})$ અને પ્રતિગામી પ્રક્રિયાની સક્રિયકરણ ઊર્જા $(E_{a(b)})$ સાથે નીચે મુજબ સંબંધિત છે: $\Delta H = E_{a(f)} - E_{a(b)}$.
આપેલ છે: $E_{a(f)} = 30 \ kJ \ mol^{-1}$ અને $\Delta H = -20 \ kJ \ mol^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $-20 = 30 - E_{a(b)}$.
સમીકરણને ગોઠવતા: $E_{a(b)} = 30 + 20 = 50 \ kJ \ mol^{-1}$.

(A) આર્હેનિયસ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\log \frac{K_2}{K_1} = \frac{E_a}{2.303R} \left[ \frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2} \right]$
આપેલ છે: $K_1 = 0.325$,$K_2 = 6.735$,$T_1 = 303 \ K$,$T_2 = 333 \ K$,$R = 1.987 \ cal \ K^{-1} \ mol^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\log \left( \frac{6.735}{0.325} \right) = \frac{E_a}{2.303 \times 1.987} \left[ \frac{1}{303} - \frac{1}{333} \right]$
$E_a \approx 20260 \ cal \ mol^{-1}$.

(A) ઉદ્દીપક એવો પદાર્થ છે જે રાસાયણિક પ્રક્રિયામાં કોઈ કાયમી ફેરફાર પામ્યા વિના પ્રક્રિયાનો વેગ વધારે છે.
તે પ્રક્રિયા માટે ઓછી સક્રિયકરણ ઊર્જા $(E_a)$ ધરાવતો વૈકલ્પિક માર્ગ પૂરો પાડે છે.
તે પ્રક્રિયાની ગિબ્સ મુક્ત ઊર્જા $(\Delta G)$ કે સંતુલન અચળાંક $(K_{eq})$ માં ફેરફાર કરતું નથી.
તેથી,વિધાન $A$ સાચું છે.

(C) પ્રક્રિયાના દર પર તાપમાનની અસર આર્હેનિયસ સમીકરણ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે.
આ સમીકરણ છે: $K = Ae^{-E_a/RT}$
જ્યાં $K$ એ વેગ અચળાંક છે,$A$ એ આવૃત્તિ અવયવ છે,$E_a$ એ સક્રિયકરણ ઉર્જા છે,$R$ એ વાયુ અચળાંક છે અને $T$ એ તાપમાન છે.

(A) આપેલ ઉર્જા પ્રોફાઇલ આકૃતિ પરથી:
$1$. પ્રક્રિયકોની ઉર્જા $(E_R)$ = $20 \, kJ$
$2$. નીપજોની ઉર્જા $(E_P)$ = $40 \, kJ$
$3$. થ્રેશોલ્ડ ઉર્જા $(E_T)$ = $80 \, kJ$
ગણતરી:
- પુરોગામી પ્રક્રિયા માટે સક્રિયકરણ ઉર્જા $(E_{a(f)})$ = $E_T - E_R = 80 - 20 = 60 \, kJ$
- પ્રતિગામી પ્રક્રિયા માટે સક્રિયકરણ ઉર્જા $(E_{a(b)})$ = $E_T - E_P = 80 - 40 = 40 \, kJ$
- એન્થાલ્પી ફેરફાર $(\Delta H)$ = $E_P - E_R = 40 - 20 = 20 \, kJ$
$\Delta H > 0$ હોવાથી,પ્રક્રિયા ઉષ્માશોષક છે.
વિકલ્પોનું મૂલ્યાંકન:
- વિકલ્પ $(A)$: $E_{a(b)} = 40 \, kJ$. વિધાનમાં $80 \, kJ$ આપેલ છે,જે ખોટું છે.
- વિકલ્પ $(B)$: સાચું છે,કારણ કે $\Delta H > 0$.
- વિકલ્પ $(C)$: સાચું છે,$\Delta H = 20 \, kJ$.
- વિકલ્પ $(D)$: સાચું છે,$E_{a(f)} = 60 \, kJ$.
તેથી,ખોટું વિધાન $(A)$ છે.

(D) . પ્રતિક્રિયા આપતા અણુઓને નીપજમાં રૂપાંતરિત થવા માટે જરૂરી વધારાની લઘુત્તમ ઉર્જાને સક્રિયકરણ ઉર્જા (Activation energy) કહેવામાં આવે છે.

(B) રાસાયણિક પ્રક્રિયા થવા માટે અથડાતા અણુઓ પાસે જે લઘુત્તમ ઉર્જા હોવી જોઈએ તેને થ્રેશોલ્ડ ઉર્જા કહેવામાં આવે છે. પ્રક્રિયકોએ નીપજમાં રૂપાંતરિત થવા માટે આ ઉર્જા અવરોધને પાર કરવો પડે છે.

(D) આર્હેનિયસ સમીકરણ $k = A e^{-E_a/RT}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln k = \ln A - \frac{E_a}{RT}$.
$10$ ના આધારવાળા લઘુગણકમાં રૂપાંતરિત કરતા: $\log k = \log A - \frac{E_a}{2.303 R} \left( \frac{1}{T} \right)$.
આને સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = \log k$ અને $x = 1/T$,આપણને $-E_a / (2.303 R)$ જેટલો ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા મળે છે.
તેથી,$\log k$ વિરુદ્ધ $1/T$ નો આલેખ સીધી રેખા આપે છે.

(C) ઉદ્દીપક પ્રક્રિયા માટે ઓછી સક્રિયકરણ ઉર્જા સાથેનો વૈકલ્પિક માર્ગ પૂરો પાડે છે. સક્રિયકરણ ઉર્જા ઘટાડીને,અણુઓનો મોટો અંશ ઉર્જા અવરોધને પાર કરી શકે છે,જે અસરકારક રીતે પ્રક્રિયાનો દર વધારે છે. અથડામણની આવૃત્તિ તાપમાન અને સાંદ્રતા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે,પરંતુ ઉદ્દીપકની મુખ્ય ભૂમિકા પ્રક્રિયાની ક્રિયાવિધિને નીચી ઉર્જાના માર્ગમાં બદલવાની છે. તેથી,વિકલ્પ $C$ એ ઉદ્દીપક કેવી રીતે કાર્ય કરે છે તેનું સૌથી સચોટ વર્ણન છે.

(A) પ્રક્રિયા માટે એન્થાલ્પી ફેરફાર એ પુરોગામી પ્રક્રિયાની સક્રિયકરણ ઊર્જા $(E_a)_f$ અને પ્રતિગામી પ્રક્રિયાની સક્રિયકરણ ઊર્જા $(E_a)_b$ વચ્ચેના તફાવત જેટલો હોય છે.
$\Delta H = (E_a)_f - (E_a)_b$
અહીં આપેલ છે કે પુરોગામી અને પ્રતિગામી પ્રક્રિયા માટે સક્રિયકરણ ઊર્જા સમાન છે,એટલે કે $(E_a)_f = (E_a)_b$.
તેથી,$\Delta H = 0$.

(C) ઉષ્માશોષક પ્રક્રિયામાં,પ્રક્રિયકોની ઊર્જા નીપજો કરતા ઓછી હોય છે.
ઉષ્માશોષક પ્રક્રિયા માટેના સ્થિતિ ઊર્જા આલેખ પરથી,પુરોગામી પ્રક્રિયાની સક્રિયકરણ ઊર્જા $(E_a)$,પ્રતિગામી પ્રક્રિયાની સક્રિયકરણ ઊર્જા $(E_a')$ અને પ્રક્રિયાની એન્થાલ્પી $(\Delta H)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$E_a = E_a' + \Delta H$
કારણ કે પ્રતિગામી પ્રક્રિયાની સક્રિયકરણ ઊર્જા $(E_a')$ હંમેશા ધન મૂલ્ય $(E_a' > 0)$ હોવી જોઈએ,તેથી:
$E_a > \Delta H$
તેથી,$E_a$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $\Delta H$ કરતા વધારે હોય છે.

(B) ઉદ્દીપક એ એવો પદાર્થ છે જે રાસાયણિક પ્રક્રિયામાં પોતે કોઈ કાયમી ફેરફાર પામ્યા વિના પ્રક્રિયાનો વેગ વધારે છે.
તે સક્રિયકરણ ઉર્જા $(E_a)$ ઘટાડીને વૈકલ્પિક પ્રક્રિયા માર્ગ પૂરો પાડે છે.
સ્થિતિ ઉર્જા આલેખમાં દર્શાવ્યા મુજબ,ઉદ્દીપક પ્રક્રિયકો અને નીપજો વચ્ચેનો ઉર્જા અવરોધ ઘટાડે છે,પરંતુ તે પ્રક્રિયકો કે નીપજોની ઉર્જામાં ફેરફાર કરતું નથી,તેથી એન્થાલ્પી ફેરફાર $(\Delta H)$ અપરિવર્તિત રહે છે.

(A) આર્હેનિયસ સમીકરણ મુજબ: $k = A e^{-E_{a} / RT}$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln k = \ln A - \frac{E_{a}}{RT}$
આ સમીકરણ $y = mx + c$ ના રેખીય સ્વરૂપને અનુસરે છે,જ્યાં $y = \ln k$,$x = \frac{1}{T}$,અને ઢાળ $m = -\frac{E_{a}}{R}$ છે.
તેથી,સક્રિયકરણ ઊર્જા $E_{a}$ ને $\ln k$ વિરુદ્ધ $\frac{1}{T}$ ના આલેખના ઢાળ પરથી નક્કી કરી શકાય છે.

(A) આર્હેનિયસ સમીકરણ: $\log \frac{k_{2}}{k_{1}} = \frac{E_{a}}{2.303 \,R} \left( \frac{1}{T_{1}} - \frac{1}{T_{2}} \right)$
આપેલ છે: $k_{2} = 2 \,k_{1}$,$T_{1} = 293 \,K$,$T_{2} = 308 \,K$,અને $R = 8.314 \,J \,mol^{-1} \,K^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\log(2) = \frac{E_{a}}{2.303 \times 8.314} \left( \frac{1}{293} - \frac{1}{308} \right)$
$0.3010 = \frac{E_{a}}{19.147} \times \frac{15}{90244}$
$E_{a} = 34673 \,J \,mol^{-1} = 34.7 \,kJ \,mol^{-1}$.

(B) $10\,^{\circ}C$ ના અંતરાલોની સંખ્યા $(n)$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$n = \frac{T_2 - T_1}{10} = \frac{100 - 10}{10} = \frac{90}{10} = 9$
કારણ કે દર $10\,^{\circ}C$ ના વધારા સાથે વેગ બમણો થાય છે,તેથી વેગ $2^n$ ના ગુણાંકમાં વધે છે.
વેગનો ગુણાંક $= 2^9 = 512$
તેથી,પ્રક્રિયાનો વેગ $512$ ગણો થશે.

(D) આર્હેનિયસ સમીકરણ: $k = A e^{-E_a / RT}$.
બે તાપમાન $T_1$ અને $T_2$ માટે:
$\ln k_1 = \ln A - \frac{E_a}{RT_1}$
$\ln k_2 = \ln A - \frac{E_a}{RT_2}$
બાદબાકી કરતા:
$\ln \frac{k_2}{k_1} = \frac{E_a}{R} \left( \frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2} \right)$
અથવા:
$\ln \frac{k_2}{k_1} = \frac{-E_a}{R} \left( \frac{1}{T_2} - \frac{1}{T_1} \right)$
આમ,$(b)$ અને $(c)$ બંને સાચા છે.

(A) વેગ અચળાંક $k$ એ આપેલ તાપમાને પ્રક્રિયાનો લાક્ષણિક ગુણધર્મ છે.
તે પ્રક્રિયકોની સાંદ્રતા પર આધારિત નથી.
આર્હેનિયસ સમીકરણ $k = Ae^{-E_a/RT}$ મુજબ,તાપમાનમાં વધારો થવાથી વેગ અચળાંક $k$ વધે છે.

(B) આપેલ વેગ અચળાંકો: $k_1 = 10^{16} e^{-2000/T}$ અને $k_2 = 10^{15} e^{-1000/T}$.
જે તાપમાને $k_1 = k_2$ થાય,તે માટે:
$10^{16} e^{-2000/T} = 10^{15} e^{-1000/T}$
બંને બાજુ $10^{15} e^{-2000/T}$ વડે ભાગતા:
$\frac{10^{16}}{10^{15}} = \frac{e^{-1000/T}}{e^{-2000/T}}$
$10 = e^{1000/T}$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક $(\ln)$ લેતા:
$\ln(10) = \frac{1000}{T}$
કારણ કે $\ln(10) = 2.303 \log_{10}(10) = 2.303$,તેથી:
$2.303 = \frac{1000}{T}$
$T = \frac{1000}{2.303} \ K$

(C) આર્હેનિયસ સમીકરણ $k = A e^{-E_a / RT}$ માં,$E_a$ એ સક્રિયકરણ ઉર્જા (activation energy) છે.
સક્રિયકરણ ઉર્જા એ પ્રક્રિયક અણુઓ દ્વારા શોષાયેલી વધારાની લઘુત્તમ ઉર્જા છે જેથી તેમની ઉર્જા થ્રેશોલ્ડ ઉર્જા જેટલી થાય,જેનાથી તેઓ પ્રક્રિયા કરી નીપજ બનાવી શકે.
તેથી,તે ઉર્જા અવરોધ છે જેને અથડાતા અણુઓએ પ્રક્રિયા કરવા માટે પાર કરવો પડે છે.

$(A)$ પ્રક્રિયાનો એન્થાલ્પી ફેરફાર $(\Delta H)$ એ પુરોગામી પ્રક્રિયાની સક્રિયકરણ ઊર્જા $(E_{af})$ અને પ્રતિગામી પ્રક્રિયાની સક્રિયકરણ ઊર્જા $(E_{ab})$ વચ્ચેનો તફાવત છે.
$\Delta H = E_{af} - E_{ab} = 180 \, kJ \, mol^{-1} - 200 \, kJ \, mol^{-1} = -20 \, kJ \, mol^{-1}$.
ઉદ્દીપક ઓછી સક્રિયકરણ ઊર્જા સાથે વૈકલ્પિક પ્રક્રિયા માર્ગ પૂરો પાડે છે, પરંતુ તે પ્રક્રિયકો અથવા નીપજોની ઊર્જામાં ફેરફાર કરતું નથી.
એન્થાલ્પી ફેરફાર $(\Delta H)$ એ અવસ્થા વિધેય હોવાથી, તે માત્ર સિસ્ટમની પ્રારંભિક અને અંતિમ અવસ્થાઓ પર આધાર રાખે છે.
તેથી, ઉદ્દીપકની હાજરીમાં પ્રક્રિયાનો એન્થાલ્પી ફેરફાર બદલાતો નથી, જે $-20 \, kJ \, mol^{-1}$ રહે છે.

(C) તાપમાનમાં $10\,^{\circ}C$ ના વધારા માટે તાપમાન ગુણાંક $2$ છે.
$50\,^{\circ}C$ ના વધારા માટે,$10\,^{\circ}C$ ના અંતરાલોની સંખ્યા $n = \frac{50}{10} = 5$ છે.
પ્રક્રિયાના વેગમાં વધારો $2^n = 2^5$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$.
તેથી,પ્રક્રિયાનો વેગ $32$ ગણો વધશે.

(A) આર્હેનિયસ સમીકરણ $\log \frac{k_{2}}{k_{1}} = \frac{E_{a}}{2.303 R} \left( \frac{T_{2} - T_{1}}{T_{1} T_{2}} \right)$ છે.
આપેલ છે: $\frac{k_{2}}{k_{1}} = 2, T_{1} = 300 \, K, T_{2} = 310 \, K, R = 8.314 \, J \, K^{-1} \, mol^{-1}, \log 2 = 0.301.$
કિંમતો મૂકતા:
$0.301 = \frac{E_{a}}{2.303 \times 8.314} \left( \frac{310 - 300}{310 \times 300} \right)$
$0.301 = \frac{E_{a}}{19.147} \times \frac{10}{93000}$
$E_{a} = \frac{0.301 \times 19.147 \times 93000}{10}$
$E_{a} = 53598.6 \, J \, mol^{-1} = 53.6 \, kJ \, mol^{-1}.$

(D) આર્હેનિયસ સમીકરણ મુજબ,$k = A e^{-E_a / RT}$.
સમાન પૂર્વ-ઘાતાંકીય અવયવ $A$ ધરાવતી બે પ્રક્રિયાઓ $R_1$ અને $R_2$ માટે:
$k_1 = A e^{-E_{a1} / RT}$
$k_2 = A e^{-E_{a2} / RT}$
$k_2$ ને $k_1$ વડે ભાગતા:
$\frac{k_2}{k_1} = e^{(E_{a1} - E_{a2}) / RT}$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$\ln(k_2/k_1) = \frac{E_{a1} - E_{a2}}{RT}$
અહીં $E_{a1} - E_{a2} = 10,000 \, J \, mol^{-1}$,$R = 8.314 \, J \, mol^{-1} \, K^{-1}$ અને $T = 300 \, K$ છે:
$\ln(k_2/k_1) = \frac{10,000}{8.314 \times 300} \approx 4$.

(A) આર્હેનિયસ સમીકરણ: $\ln \frac{K_{2}}{K_{1}} = \frac{E_{a}}{R} \left( \frac{T_{2} - T_{1}}{T_{1} T_{2}} \right)$.
આપેલ છે: $K_{1} = 0.04 \, \text{min}^{-1}$,$K_{2} = 0.08 \, \text{min}^{-1}$,$T_{1} = 300 \, \text{K}$,$T_{2} = 310 \, \text{K}$,અને $R = 2 \, \text{cal} \, \text{K}^{-1} \, \text{mol}^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $\ln(2) = \frac{E_{a}}{2} \left( \frac{10}{300 \times 310} \right)$.
$0.7 = \frac{E_{a}}{2} \times \frac{1}{9300}$.
$E_{a} = 13020 \, \text{cal} / \text{mol} = 13.02 \, \text{kcal} / \text{mol}$.

(C) આર્હેનિયસ સમીકરણ $k = A e^{-E_{a} / RT}$ મુજબ,જ્યાં $k$ એ વેગ અચળાંક છે,$A$ એ ફ્રીક્વન્સી ફેક્ટર છે,$E_{a}$ એ સક્રિયકરણ ઊર્જા છે,$R$ એ વાયુ અચળાંક છે અને $T$ એ કેલ્વિનમાં તાપમાન છે.
જેમ તાપમાન $T$ વધે છે,તેમ $e^{-E_{a} / RT}$ પદ વધે છે,જે તમામ પ્રાથમિક પ્રતિક્રિયાઓ માટે વેગ અચળાંક $k$ માં વધારો કરે છે.
વિકલ્પ $A$ અને $B$ એ $\Delta C_{p}$ ના ચિહ્ન પર આધાર રાખે છે,જે વિવિધ પ્રતિક્રિયાઓ માટે અલગ હોય છે.
વિકલ્પ $D$ ખોટો છે કારણ કે સક્રિયકરણ ઊર્જા સામાન્ય રીતે પ્રાથમિક પ્રતિક્રિયાઓ માટે તાપમાનથી સ્વતંત્ર માનવામાં આવે છે.

(A) આર્હેનિયસ સમીકરણ $k = A e^{-E_a/RT}$ મુજબ,સક્રિયકરણ ઊર્જા $(E_a)$ એ પ્રક્રિયાનો લાક્ષણિક ગુણધર્મ છે અને તે સામાન્ય રીતે તાપમાનથી સ્વતંત્ર માનવામાં આવે છે. તેથી,તાપમાન ઘટાડવાથી સક્રિયકરણ ઊર્જા ઘટે છે તે વિધાન ખોટું છે.
$(b)$ જો પ્રક્રિયાની ક્રિયાવિધિ બદલાય તો તાપમાન સાથે પ્રક્રિયાનો ક્રમ બદલાઈ શકે છે.
$(c)$ જો પ્રથમ પગલું એ વેગ-નિર્ધારક પગલું (સૌથી ધીમું પગલું) હોય,તો સમગ્ર પ્રક્રિયાનો વેગ નિયમ તે પગલાના વેગ નિયમ દ્વારા નક્કી થાય છે.
$(d)$ પ્રકાશ-રાસાયણિક પ્રક્રિયાનો વેગ આપાત પ્રકાશ (ફોટોન્સ) ની તીવ્રતાના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે.

(A) પ્રક્રિયા માટે એન્થાલ્પી ફેરફાર એ પુરોગામી પ્રક્રિયાની સક્રિયકરણ ઉર્જા $(E_a)_f$ અને પ્રતિગામી પ્રક્રિયાની સક્રિયકરણ ઉર્જા $(E_a)_b$ વચ્ચેના તફાવત દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\Delta H = (E_a)_f - (E_a)_b$
આપેલ છે કે $\Delta H = -22 \ kcal$ અને $(E_a)_f = 70 \ kcal$:
$-22 = 70 - (E_a)_b$
$(E_a)_b$ માટે સમીકરણને ગોઠવતા:
$(E_a)_b = 70 + 22 = 92 \ kcal$.

(D) આપેલ છે કે $K_1 = K_2$,તેથી:
$10^{15} \exp \left( \frac{-2000}{T} \right) = 10^{14} \exp \left( \frac{-1000}{T} \right)$
બંને બાજુ $10^{14}$ વડે ભાગતા:
$10 \exp \left( \frac{-2000}{T} \right) = \exp \left( \frac{-1000}{T} \right)$
ઘાતાંકીય પદોને ગોઠવતા:
$10 = \exp \left( \frac{1000}{T} \right)$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક $(\ln)$ લેતા:
$\ln(10) = \frac{1000}{T}$
$\ln(10) \approx 2.303$ લેતા:
$2.303 = \frac{1000}{T}$
$T = \frac{1000}{2.303} \approx 434.22 \ K$

(B) ઉષ્માક્ષેપક પ્રક્રિયા માટે,એન્થાલ્પી ફેરફાર $\Delta_{r} H$ ઋણ હોય છે. પુરોગામી પ્રક્રિયાની સક્રિયકરણ ઊર્જા $(E_{a})_{f}$,પ્રતિગામી પ્રક્રિયાની સક્રિયકરણ ઊર્જા $(E_{a})_{r}$ અને એન્થાલ્પી ફેરફાર $\Delta_{r} H$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$\Delta_{r} H = (E_{a})_{f} - (E_{a})_{r}$
પ્રક્રિયા ઉષ્માક્ષેપક હોવાથી,મુક્ત થતી ઉષ્મા $280 \ kJ \ mol^{-1}$ છે,તેથી $\Delta_{r} H = -280 \ kJ \ mol^{-1}$.
પુરોગામી પ્રક્રિયાની સક્રિયકરણ ઊર્જા $(E_{a})_{f} = 200 \ kJ \ mol^{-1}$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$-280 \ kJ \ mol^{-1} = 200 \ kJ \ mol^{-1} - (E_{a})_{r}$
$(E_{a})_{r} = 200 \ kJ \ mol^{-1} + 280 \ kJ \ mol^{-1} = 480 \ kJ \ mol^{-1}$.

(D) આર્હેનિયસ સમીકરણ $\ln k = \ln A - \frac{E_a}{RT}$ છે.
આધાર $10$ માં રૂપાંતરિત કરતા,$\log_{10} k = \log_{10} A - \frac{E_a}{2.303 RT}$ મળે છે.
આપેલ સમીકરણ $\log_{10} k = -2000 \left(\frac{1}{T}\right) + 6$ સાથે સરખાવતા,ઢાળ $-\frac{E_a}{2.303 R} = -2000$ મળે છે.
તેથી,$E_a = 2000 \times 2.303 \times R$.
$R = 8 \, J \, mol^{-1} K^{-1}$ અને પ્રશ્નમાં આપેલ અંદાજ $\ln x \approx 2.3 \log_{10} x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E_a = 2000 \times 2.3 \times 8 = 36800 \, J \, mol^{-1}$.
$kJ \, mol^{-1}$ માં રૂપાંતર કરતા,$E_a = \frac{36800}{1000} = 36.8 \, kJ \, mol^{-1}$ મળે છે.

(B) આર્હેનિયસ સમીકરણ $k = A e^{-E_a / RT}$ છે.
$\ln k = \ln A - \frac{E_a}{RT}$ લેતા.
તાપમાન $T$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$\frac{d(\ln k)}{dT} = \frac{E_a}{RT^2}$ મળે.
નાના તાપમાનના ફેરફાર $\Delta T$ માટે,$\ln k$ માં ફેરફાર $\Delta(\ln k) \approx \frac{E_a}{RT^2} \Delta T$ થાય.
વેગ અચળાંકમાં ટકાવારી વધારો $\frac{\Delta k}{k} \approx \Delta(\ln k) = \frac{E_a \Delta T}{RT^2}$ ના સમપ્રમાણમાં છે.
ટકાવારી વધારો મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $\frac{E_a}{T^2}$ ની કિંમત મહત્તમ કરવી પડે (કારણ કે બધા કિસ્સામાં $\Delta T = 10 \ K$ સમાન છે).
કિસ્સાઓની સરખામણી:
$I$: $\frac{40}{200^2} = 1 \times 10^{-3}$
$II$: $\frac{80}{200^2} = 2 \times 10^{-3}$
$III$: $\frac{40}{300^2} \approx 0.44 \times 10^{-3}$
$IV$: $\frac{80}{300^2} \approx 0.89 \times 10^{-3}$
આમ,કિસ્સા $II$ માટે કિંમત મહત્તમ છે.