Potential Energy Questions in Hindi

(D) किसी कण के संतुलन में होने के लिए,कुल बल शून्य होना चाहिए,जिसका अर्थ है $\frac{dU}{dx} = 0$। यह उन बिंदुओं के अनुरूप है जहाँ $U-x$ ग्राफ का ढलान शून्य है।
$x_2$ पर,स्थितिज ऊर्जा $U$ स्थानीय अधिकतम पर है। स्थितिज ऊर्जा के अधिकतम होने पर,संतुलन अस्थिर होता है क्योंकि कोई भी छोटा विस्थापन एक ऐसा बल उत्पन्न करता है जो कण को संतुलन स्थिति से और दूर धकेलता है।
$x_1$ और $x_3$ पर,ढलान शून्य नहीं है,इसलिए कण इन बिंदुओं पर संतुलन में नहीं है।
अतः,दिए गए विकल्पों में से कोई भी दिखाए गए बिंदुओं पर कण की स्थिति का सही वर्णन नहीं करता है।

(A) बल के घटक स्थितिज ऊर्जा के ऋणात्मक प्रवणता से प्राप्त होते हैं:
$F_x = -\frac{\partial U}{\partial x} = -a$
$F_y = -\frac{\partial U}{\partial y} = -b$
परिणामी बल $F$ का परिमाण इस प्रकार है:
$F = \sqrt{F_x^2 + F_y^2} = \sqrt{(-a)^2 + (-b)^2} = \sqrt{a^2 + b^2}$
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,त्वरण $a_{acc}$ है:
$a_{acc} = \frac{F}{m} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{m} = \frac{(a^2 + b^2)^{1/2}}{m}$

(B) माना चेन की कुल लंबाई $L = 2\,m$ और कुल द्रव्यमान $M = 4\,kg$ है।
लटकने वाले भाग की लंबाई $l = 60\,cm = 0.6\,m$ है।
चेन के प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान $\lambda = \frac{M}{L} = \frac{4}{2} = 2\,kg/m$ है।
लटकने वाले भाग का द्रव्यमान $m = \lambda \times l = 2 \times 0.6 = 1.2\,kg$ है।
लटकने वाले भाग का द्रव्यमान केंद्र मेज के किनारे से $h = \frac{l}{2} = \frac{0.6}{2} = 0.3\,m$ नीचे है।
चेन को मेज पर खींचने के लिए किया गया कार्य लटकते हुए भाग की स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है,जो $W = mgh$ है।
मान रखने पर: $W = 1.2 \times 10 \times 0.3 = 3.6\,J$.

(C) मान लीजिए $x$ संदर्भ बिंदु (जहाँ स्थितिज ऊर्जा शून्य है) की जमीन से ऊँचाई है।
स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = mgh'$ है,जहाँ $h'$ संदर्भ बिंदु के सापेक्ष ऊँचाई है।
पहले पिंड के लिए: $m_1 = 2\, kg$,$h_1 = 5\, m$,$U_1 = 70\, J$,और $g = 10\, m/s^2$.
$70 = 2 \times 10 \times (5 - x)$
$70 = 20(5 - x)$
$3.5 = 5 - x$
$x = 1.5\, m$.
दूसरे पिंड के लिए: $m_2 = 3\, kg$,$h_2 = 1\, m$,और $g = 10\, m/s^2$.
$U_2 = m_2 \times g \times (h_2 - x)$
$U_2 = 3 \times 10 \times (1 - 1.5)$
$U_2 = 30 \times (-0.5)$
$U_2 = -15\, J$.

(N/A) निकाय की कुल ऊर्जा $E = P.E. + K.E.$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $K.E. = E - P.E.$। चूंकि गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ हमेशा गैर-ऋणात्मक होनी चाहिए,इसलिए कण उन क्षेत्रों में मौजूद नहीं हो सकता है जहाँ $P.E. > E$ है।
$(i)$ पहली आकृति के लिए: कण $x > a$ क्षेत्र में मौजूद नहीं हो सकता क्योंकि $V(x) = V_0 > E$ है। आवश्यक न्यूनतम कुल ऊर्जा $0$ है।
(ii) दूसरी आकृति के लिए: दिखाए गए सभी क्षेत्रों में स्थितिज ऊर्जा $V(x)$,$E$ से अधिक है। अतः,कण इनमें से किसी भी क्षेत्र में मौजूद नहीं हो सकता है। आवश्यक न्यूनतम कुल ऊर्जा $V_0$ है।
(iii) तीसरी आकृति के लिए: कण उन क्षेत्रों में मौजूद नहीं हो सकता जहाँ $V(x) > E$ है। यहाँ,$x < a$ और $x > b$ के लिए $V(x) = V_0$ है। अतः,कण $a < x < b$ तक सीमित है। आवश्यक न्यूनतम कुल ऊर्जा $-V_1$ है।
(iv) चौथी आकृति के लिए: कण वहाँ मौजूद नहीं हो सकता जहाँ $V(x) > E$ है। ग्राफ के आधार पर,यह $x < -b/2$,$-a/2 < x < a/2$,और $x > b/2$ के लिए होता है। कण केवल $-b/2 < x < -a/2$ और $a/2 < x < b/2$ क्षेत्रों में ही मौजूद रह सकता है। आवश्यक न्यूनतम कुल ऊर्जा $-V_1$ है।

(N/A) किसी वस्तु की कुल यांत्रिक ऊर्जा $(E)$ उसकी गतिज ऊर्जा $(K)$ और स्थितिज ऊर्जा $(U)$ का योग होती है।
$E = K + U$
$H$ ऊँचाई पर स्थित $m$ द्रव्यमान की वस्तु के लिए,उसका वेग $(v)$ $0$ है।
अतः,गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m(0)^2 = 0$ होगी।
जमीन के सापेक्ष $H$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U = mgH$ द्वारा दी जाती है।
इस प्रकार,कुल यांत्रिक ऊर्जा $E = 0 + mgH = mgH$ है।

(B) $W = -mgh$ समीकरण में ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि कार्य गुरुत्वाकर्षण बल के विरुद्ध किया जा रहा है। जब किसी वस्तु को ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर उठाया जाता है,तो विस्थापन ऊपर की ओर होता है जबकि गुरुत्वाकर्षण बल नीचे की ओर कार्य करता है। चूंकि बल और विस्थापन विपरीत दिशाओं में हैं,इसलिए गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा किया गया कार्य ऋणात्मक होता है।

(B) जब धनुष की डोरी को खींचा जाता है,तो धनुष पर कार्य किया जाता है,जो धनुष और डोरी में प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा के रूप में संचित हो जाता है। जब तीर को छोड़ा जाता है,तो यह संचित स्थितिज ऊर्जा तीर की गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।

(B) कण की कुल ऊर्जा $E = V + K$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $V$ स्थितिज ऊर्जा है और $K$ गतिज ऊर्जा है। चूंकि $K = E - V$ और गतिज ऊर्जा $K$ हमेशा गैर-ऋणात्मक $(K \ge 0)$ होनी चाहिए,इसलिए एक कण केवल तभी मौजूद हो सकता है जब $E - V \ge 0$,जिसका अर्थ है $V \le E$.
$1.$ क्षेत्र $A$ $(V > E)$: यहाँ,$K = E - V < 0$ है। चूंकि गतिज ऊर्जा ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए कण इस क्षेत्र में नहीं पाया जा सकता है।
$2.$ क्षेत्र $B$ $(V < E)$: यहाँ,$K = E - V > 0$ है। चूंकि गतिज ऊर्जा धनात्मक है,इसलिए कण इस क्षेत्र में पाया जा सकता है।
$3.$ क्षेत्र $C$ $(K < E)$: चूंकि $K = E - V$,इसलिए $K < E$ शर्त का अर्थ है $E - V < E$,जो सरल होकर $V > 0$ हो जाता है। जब तक स्थितिज ऊर्जा $V$ धनात्मक है,यह शर्त पूरी होती है। अतः,कण इस क्षेत्र में पाया जा सकता है।
$4.$ क्षेत्र $D$ $(V > E)$: क्षेत्र $A$ की तरह,यहाँ भी $K = E - V < 0$ है। चूंकि गतिज ऊर्जा ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए कण इस क्षेत्र में नहीं पाया जा सकता है।

(B) भौतिकी में,एक प्रणाली को स्थिर संतुलन की स्थिति में तब माना जाता है जब उसकी स्थितिज ऊर्जा (potential energy) न्यूनतम मान पर होती है।
न्यूनतम स्थितिज ऊर्जा के सिद्धांत के अनुसार,प्रणालियाँ स्वाभाविक रूप से उन विन्यासों की ओर बढ़ने की प्रवृत्ति रखती हैं जो उनकी कुल स्थितिज ऊर्जा को कम करते हैं ताकि अधिकतम स्थिरता प्राप्त की जा सके।
इसलिए,किसी प्रणाली की स्थिरता के लिए उसकी स्थितिज ऊर्जा यथासंभव कम होनी चाहिए।

(C) स्थितिज ऊर्जा $U(r) = -\frac{A}{r^6} + \frac{B}{r^{12}}$ है।
संतुलन पर,बल $F = -\frac{dU}{dr} = 0$ होता है।
अवकलन करने पर: $\frac{dU}{dr} = -A(-6r^{-7}) + B(-12r^{-13}) = \frac{6A}{r^7} - \frac{12B}{r^{13}}$.
$\frac{dU}{dr} = 0$ रखने पर: $\frac{6A}{r^7} = \frac{12B}{r^{13}} \Rightarrow r^6 = \frac{12B}{6A} = \frac{2B}{A}$.
अतः,संतुलन दूरी $r = \left(\frac{2B}{A}\right)^{1/6}$ है।
इस मान को स्थितिज ऊर्जा के व्यंजक में रखने पर:
$U = -\frac{A}{(2B/A)} + \frac{B}{(2B/A)^2} = -\frac{A^2}{2B} + \frac{B \cdot A^2}{4B^2} = -\frac{A^2}{2B} + \frac{A^2}{4B} = -\frac{A^2}{4B}$.

(B) किसी निकाय के साम्यावस्था में होने के लिए,कुल बल शून्य होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि दूरी के सापेक्ष स्थितिज ऊर्जा का अवकलन शून्य होना चाहिए: $\frac{dU}{dr} = 0$.
दिया गया है $U = \alpha r^{-10} - \beta r^{-5} - 3$.
$r$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dU}{dr} = -10\alpha r^{-11} + 5\beta r^{-6} = 0$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$5\beta r^{-6} = 10\alpha r^{-11}$.
दोनों पक्षों को $5\beta r^{-11}$ से विभाजित करने पर:
$r^5 = \frac{10\alpha}{5\beta} = \frac{2\alpha}{\beta}$.
$r = \left(\frac{2\alpha}{\beta}\right)^{\frac{1}{5}}$.
इसे दिए गए रूप $\left(\frac{2\alpha}{\beta}\right)^{\frac{a}{b}}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\frac{a}{b} = \frac{1}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,$a = 1$.

(C) संतुलन स्थिति वहाँ होती है जहाँ बल $F = -\frac{dU}{dr} = 0$ होता है।
दिया गया है $U = A r^{-10} - B r^{-5}$।
$r$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dU}{dr} = -10 A r^{-11} + 5 B r^{-6}$।
संतुलन के लिए $\frac{dU}{dr} = 0$ रखने पर:
$-10 A r^{-11} + 5 B r^{-6} = 0$।
$5 B r^{-6} = 10 A r^{-11}$।
$r^5 = \frac{10A}{5B} = \frac{2A}{B}$।
अतः,संतुलन दूरी $r = \left(\frac{2A}{B}\right)^{\frac{1}{5}}$ होगी।

(C) कण की स्थितिज ऊर्जा $U(x) = \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2}$ द्वारा दी गई है।
संतुलन बिंदु खोजने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष $U(x)$ का अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{dU}{dx} = x^3 - x = x(x^2 - 1) = 0$.
इससे $x = 0$ और $x = \pm 1$ पर क्रांतिक बिंदु प्राप्त होते हैं।
द्वितीय अवकलज परीक्षण का उपयोग करने पर: $\frac{d^2U}{dx^2} = 3x^2 - 1$.
$x = 0$ पर,$\frac{d^2U}{dx^2} = -1$ (स्थानीय अधिकतम)।
$x = \pm 1$ पर,$\frac{d^2U}{dx^2} = 2$ (स्थानीय न्यूनतम)।
स्थितिज ऊर्जा का ग्राफ $x = 0$ पर एक अवरोध द्वारा अलग किए गए दो कुओं को दर्शाता है। चूंकि कुल यांत्रिक ऊर्जा $E$ छोटी और ऋणात्मक है (विशेष रूप से,$E < U(0) = 0$),कण एक स्थितिज ऊर्जा कूप में फंसा हुआ है।
यह देखते हुए कि $t = 0 \, s$ पर,कण $x = -0.5 \, m$ पर है,यह बाईं ओर के स्थितिज ऊर्जा कूप में स्थित है। चूंकि कुल ऊर्जा $x = 0$ पर स्थितिज ऊर्जा अवरोध से कम है,कण अवरोध को पार नहीं कर सकता है और $x = -1.0 \, m$ से $x = 0.0 \, m$ के क्षेत्र में टर्निंग पॉइंट्स के बीच सीमित रहेगा।

(B) कण मूल बिंदु $(x=0)$ पर है और इसे दाईं ओर प्रक्षेपित किया जाता है। दाईं ओर अनंत तक पलायन करने के लिए,इसे $4 \,J$ के स्थितिज ऊर्जा अवरोध को पार करना होगा।
ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए: $K_i + V_i = K_f + V_f$.
मूल बिंदु पर,$V_i = 0$ और $K_i = \frac{1}{2}mv^2$ है।
अवरोध को पार करने के लिए,शिखर पर $(V_f = 4 \,J)$ अंतिम गतिज ऊर्जा कम से कम $0$ होनी चाहिए।
$\frac{1}{2} \times 0.5 \times v^2 = 4 \Rightarrow 0.25 \times v^2 = 4 \Rightarrow v^2 = 16 \Rightarrow v = 4 \,m/s$.
हालाँकि,यदि कण के पास दाईं ओर के अवरोध को पार करने के लिए पर्याप्त ऊर्जा नहीं है,तो यह बाईं ओर वापस परावर्तित हो जाएगा। बाईं ओर,$1 \,J$ का एक छोटा स्थितिज ऊर्जा अवरोध है।
यदि कण परावर्तित होता है,तो यह बाईं ओर गति करता है और बाईं ओर अनंत तक पलायन करने के लिए इसे $1 \,J$ के अवरोध को पार करना होगा।
इसके लिए,प्रारंभिक गतिज ऊर्जा कम से कम $1 \,J$ होनी चाहिए:
$\frac{1}{2} \times 0.5 \times v^2 = 1 \Rightarrow 0.25 \times v^2 = 1 \Rightarrow v^2 = 4 \Rightarrow v = 2 \,m/s$.
चूंकि $2 \,m/s < 4 \,m/s$,इसलिए कण के अनंत तक पलायन करने के लिए आवश्यक न्यूनतम चाल $2 \,m/s$ है।

(D) लटकते हुए भाग की लंबाई $l = \frac{L}{5}$ है।
लटकते हुए भाग का द्रव्यमान $m = \frac{M}{L} \times \frac{L}{5} = \frac{M}{5}$ है।
लटकते हुए भाग का द्रव्यमान केंद्र ($C$.$M$.) मेज के किनारे से $h = \frac{l}{2} = \frac{L/5}{2} = \frac{L}{10}$ की गहराई पर है।
लटकते हुए भाग को वापस मेज पर खींचने के लिए किया गया कार्य,लटकते हुए भाग की स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W = mgh = \left( \frac{M}{5} \right) g \left( \frac{L}{10} \right) = \frac{M g L}{50}$.

(A) छड़ की स्थितिज ऊर्जा उसके द्रव्यमान केंद्र से जुड़ी होती है।
प्रारंभ में,छड़ का द्रव्यमान केंद्र धुरी बिंदु से $h_1 = \frac{l}{2}$ की दूरी पर है।
जब छड़ को ऊर्ध्वाधर से $\theta$ कोण से विस्थापित किया जाता है,तो धुरी बिंदु से द्रव्यमान केंद्र की ऊर्ध्वाधर दूरी $h_2 = \frac{l}{2} \cos \theta$ हो जाती है।
द्रव्यमान केंद्र की ऊँचाई में परिवर्तन $\Delta h = h_1 - h_2 = \frac{l}{2} - \frac{l}{2} \cos \theta = \frac{l}{2}(1 - \cos \theta)$ है।
स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि $\Delta U = mg \Delta h = mg \frac{l}{2}(1 - \cos \theta)$ द्वारा दी जाती है।

(B) जब किसी पिंड पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य होता है,तो वह संतुलन की स्थिति में होता है।
एक संरक्षी बल क्षेत्र के लिए,बल $F$ और स्थितिज ऊर्जा $U$ के बीच संबंध $F = -\frac{dU}{dx}$ होता है।
संतुलन तब होता है जब $F = 0$ हो,जिसका अर्थ है कि $\frac{dU}{dx} = 0$ है।
आलेखीय रूप से,$\frac{dU}{dx}$ वक्र $U-x$ की ढाल (slope) को दर्शाता है।
बिंदु $B$ पर,वक्र की स्पर्श रेखा क्षैतिज है,जिसका अर्थ है कि ढाल $\frac{dU}{dx} = 0$ है।
अतः,पिंड बिंदु $B$ पर संतुलन की स्थिति में है।

(D) स्थितिज ऊर्जा $U(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2}$ द्वारा दी गई है।
संतुलन बिंदु खोजने के लिए,हम बल $F = -\frac{dU}{dx} = 0$ रखते हैं।
$\frac{dU}{dx} = x^2 - x = 0 \implies x(x - 1) = 0$,अतः $x = 0$ या $x = 1$ है।
हम द्वितीय अवकलज $\frac{d^2U}{dx^2} = 2x - 1$ की जाँच करते हैं।
$x = 0$ पर,$\frac{d^2U}{dx^2} = -1 < 0$ (अस्थायी संतुलन)।
$x = 1$ पर,$\frac{d^2U}{dx^2} = 1 > 0$ (स्थायी संतुलन,न्यूनतम स्थितिज ऊर्जा)।
न्यूनतम स्थितिज ऊर्जा $U_{min} = \frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2} = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{6} \, J$ है।
कुल यांत्रिक ऊर्जा $E = K + U = 4 \, J$ है।
अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max}$ तब होती है जब $U$ न्यूनतम हो: $K_{max} = E - U_{min} = 4 - (-\frac{1}{6}) = \frac{25}{6} \, J$।
$K_{max} = \frac{1}{2} m v_{max}^2$ सूत्र में $m = 2 \, kg$ रखने पर:
$\frac{1}{2} (2) v_{max}^2 = \frac{25}{6} \implies v_{max}^2 = \frac{25}{6} \implies v_{max} = \frac{5}{\sqrt{6}} \, m \, s^{-1}$।

(C) स्थितिज ऊर्जा फलन $U = 2x^2 + 3y^3 + 2z$ द्वारा दिया गया है।
बल का $x$-घटक $F_x$,स्थितिज ऊर्जा के साथ $F_x = -\frac{\partial U}{\partial x}$ संबंध द्वारा संबंधित है।
$y$ और $z$ को स्थिर रखते हुए $U$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{\partial U}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(2x^2 + 3y^3 + 2z) = 4x$ प्राप्त होता है।
अतः,$F_x = -4x$ है।
बिंदु $P(1, 2, 3) \ m$ पर,$x$ का मान $1 \ m$ है।
$F_x$ के व्यंजक में $x = 1$ रखने पर,हमें $F_x = -4(1) = -4 \ N$ प्राप्त होता है।
बल के $x$-घटक का परिमाण $|F_x| = |-4| = 4 \ N$ है।

(D) बल $F$ और स्थितिज ऊर्जा $U$ के बीच का संबंध $F = -\frac{dU}{dx}$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,$dU = -F dx$.
दिया गया है $F = -2x$,इसलिए समीकरण में मान रखने पर:
$dU = -(-2x) dx = 2x dx$.
मूल बिंदु पर $U = 0$ की शर्त के साथ दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int_0^U dU = \int_0^x 2x dx$.
$U = [x^2]_0^x = x^2$.
स्थितिज ऊर्जा का फलन $U = x^2$ है,जो ऊपर की ओर खुलने वाले परवलय (parabola) को दर्शाता है जिसका शीर्ष मूल बिंदु पर है। यह आरेख विकल्प $D$ में दिया गया है।

(B) कालीन का घनत्व $\rho = M/V$ स्थिर रहता है।
माना $M_1 = M$ और $R_1 = R$ है। आयतन $V = \pi R^2 l$ है,जहाँ $l$ कालीन की लंबाई है।
जब इसे $R_2 = R/2$ त्रिज्या तक खोला जाता है,तो बेलनाकार रूप में बची हुई कालीन का द्रव्यमान $M_2$ उसके आयतन के समानुपाती होता है।
$M_2 = \frac{M}{\pi R^2 l} \times \pi (R/2)^2 l = \frac{M}{4}$।
प्रारंभिक लपेटी हुई कालीन की स्थितिज ऊर्जा (द्रव्यमान केंद्र $R$ ऊंचाई पर मानते हुए) $U_1 = MgR$ है।
अंतिम लपेटी हुई कालीन की स्थितिज ऊर्जा ($R_2 = R/2$ त्रिज्या और $M_2 = M/4$ द्रव्यमान के साथ) $U_2 = M_2 g R_2 = (M/4) g (R/2) = \frac{1}{8} MgR$ है।
स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = U_1 - U_2 = MgR - \frac{1}{8} MgR = \frac{7}{8} MgR$ है।

(B) जंजीर की प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान, $\lambda = \frac{M}{L} = \frac{4 \,kg}{2 \,m} = 2 \,kg/m$ है।
माना मेज से लटकने वाली जंजीर की लंबाई $l = 0.6 \,m$ है।
लटकने वाले भाग का द्रव्यमान $m = \lambda \times l = 2 \times 0.6 = 1.2 \,kg$ है।
लटकने वाले भाग का द्रव्यमान केंद्र मेज के किनारे से $x = \frac{l}{2} = \frac{0.6}{2} = 0.3 \,m$ नीचे स्थित है।
जंजीर को मेज पर खींचने में किया गया कार्य लटकने वाले भाग की स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है, जो इसके द्रव्यमान केंद्र को मेज के स्तर तक उठाने के बराबर है।
$W = m \times g \times x = 1.2 \,kg \times 10 \,m/s^2 \times 0.3 \,m = 3.6 \,J$.

(A) कण की स्थितिज ऊर्जा $U(x) = 5x(x-4) = 5x^2 - 20x \ J$ द्वारा दी गई है।
एक संरक्षी क्षेत्र में गति कर रहे कण पर कार्य करने वाला बल $F = -\frac{dU}{dx}$ होता है।
$F = -\frac{d}{dx}(5x^2 - 20x) = -(10x - 20) = 20 - 10x$।
कण की चाल तब अधिकतम होती है जब उस पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य हो (साम्यावस्था स्थिति)।
$F = 0$ रखने पर,हमें $20 - 10x = 0$ प्राप्त होता है।
$10x = 20$,जिसका अर्थ है $x = 2 \ m$।
इस स्थिति पर,स्थितिज ऊर्जा न्यूनतम होती है,और ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,गतिज ऊर्जा अधिकतम होती है,जिसका अर्थ है कि चाल अधिकतम है।

(C) पिंड की स्थितिज ऊर्जा $U = (4x^2 + 2x) \,J$ द्वारा दी गई है।
हम जानते हैं कि पिंड पर कार्य करने वाला बल $F$, स्थितिज ऊर्जा $U$ से $F = -\frac{dU}{dx}$ संबंध द्वारा संबंधित है।
$x$ के सापेक्ष $U$ का अवकलन करने पर:
$F = -\frac{d}{dx}(4x^2 + 2x) = -(8x + 2) \,N$.
$x = 2 \,m$ की स्थिति पर, बल का परिमाण है:
$|F| = |-(8(2) + 2)| = |-(16 + 2)| = |-18| = 18 \,N$.
अतः, पिंड पर कार्य करने वाला बल $18 \,N$ है।

(D) गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध किसी पिंड को ऊपर उठाने में किया गया कार्य उसकी गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा के रूप में संचित होता है।
दिया गया है:
पिंड का द्रव्यमान, $m = 2 \,kg$
ऊँचाई, $h = 4 \,m$
गुरुत्वीय त्वरण, $g = 10 \,ms^{-2}$
कार्य का सूत्र, $W = mgh$
मान रखने पर:
$W = 2 \,kg \times 10 \,ms^{-2} \times 4 \,m$
$W = 80 \,J$
अतः, किया गया कार्य $80 \,J$ है।

(A) चेन के लटकते हुए भाग को मेज पर खींचने में किया गया कार्य उस भाग की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में हुई वृद्धि के बराबर होता है।
माना लटकते हुए भाग का द्रव्यमान $m' = \frac{m}{6}$ है और इसकी लंबाई $l' = \frac{l}{6}$ है।
लटकते हुए भाग का द्रव्यमान केंद्र मेज के किनारे से $h = \frac{l'}{2} = \frac{l/6}{2} = \frac{l}{12}$ की दूरी नीचे स्थित है।
किया गया कार्य $W$ इस द्रव्यमान केंद्र को मेज के स्तर तक उठाने के लिए आवश्यक स्थितिज ऊर्जा के बराबर है:
$W = m' g h$
$W = \left(\frac{m}{6}\right) g \left(\frac{l}{12}\right)$
$W = \frac{m g l}{72}$

(C) कण की स्थितिज ऊर्जा $U(x) = 2 - 20x + 5x^2 \text{ J}$ द्वारा दी गई है।
प्रारंभिक स्थिति $x_i = -3 \text{ m}$ पर,प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा:
$U_i = 2 - 20(-3) + 5(-3)^2 = 2 + 60 + 45 = 107 \text{ J}$.
चूंकि कण को विराम अवस्था से छोड़ा जाता है,इसलिए इसकी कुल यांत्रिक ऊर्जा $E$ इसकी प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा के बराबर होती है:
$E = U_i = 107 \text{ J}$.
कण अपने अधिकतम $x$ स्थान पर तब पहुँचेगा जब उसकी गतिज ऊर्जा शून्य हो जाएगी,जिसका अर्थ है कि उस बिंदु $x_f$ पर उसकी स्थितिज ऊर्जा कुल यांत्रिक ऊर्जा $E$ के बराबर होनी चाहिए:
$U(x_f) = E$
$2 - 20x_f + 5x_f^2 = 107$
$5x_f^2 - 20x_f - 105 = 0$
$5$ से भाग देने पर:
$x_f^2 - 4x_f - 21 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(x_f - 7)(x_f + 3) = 0$
इससे दो हल प्राप्त होते हैं: $x_f = 7 \text{ m}$ या $x_f = -3 \text{ m}$।
चूंकि कण $x = -3 \text{ m}$ से शुरू होता है और अधिकतम $x$ तक पहुँचने के लिए गति करता है,इसलिए अधिकतम मान $x = 7 \text{ m}$ है।

(C) जंजीर को मेज पर खींचने में किया गया कार्य जंजीर की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
मान लीजिए कि मेज की सतह संदर्भ स्तर $(U = 0)$ है।
प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $(U_i)$ जंजीर के लटके हुए हिस्से के कारण है,जिसका द्रव्यमान $M/2$ है और इसका द्रव्यमान केंद्र मेज के नीचे $L/4$ दूरी पर है।
$U_i = -(\frac{M}{2}) g (\frac{L}{4}) = -\frac{M g L}{8}$.
पूरी जंजीर को मेज पर खींचने के बाद,अंतिम स्थितिज ऊर्जा $(U_f)$ $0$ है क्योंकि पूरी जंजीर मेज की सतह पर है।
किया गया कार्य $W = U_f - U_i = 0 - (-\frac{M g L}{8}) = \frac{M g L}{8}$.

(B) मान लीजिए कि जंजीर द्वारा अर्धगोले के केंद्र पर अंतरित कोण $\alpha = l/R$ है।
आधार से $\theta$ कोण पर $dl$ लंबाई के जंजीर के एक छोटे अवयव पर विचार करें।
आधार से इस अवयव की ऊँचाई $h = R \sin \theta$ है।
अवयव की लंबाई $dl = R d\theta$ है।
इस अवयव का द्रव्यमान $dm = \frac{m}{l} dl = \frac{m}{l} R d\theta$ है।
इस अवयव की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $dU = (dm)gh = \left(\frac{m}{l} R d\theta\right) g (R \sin \theta) = \frac{mgR^2}{l} \sin \theta d\theta$ है।
जंजीर शीर्ष $(\theta = \pi/2)$ से $\theta = \pi/2 - \alpha = \pi/2 - l/R$ कोण तक फैली हुई है।
$\pi/2 - l/R$ से $\pi/2$ तक $dU$ का समाकलन करने पर:
$U = \int_{\pi/2 - l/R}^{\pi/2} \frac{mgR^2}{l} \sin \theta d\theta = \frac{mgR^2}{l} [-\cos \theta]_{\pi/2 - l/R}^{\pi/2}$
$U = \frac{mgR^2}{l} [-\cos(\pi/2) - (-\cos(\pi/2 - l/R))]$
$U = \frac{mgR^2}{l} [0 + \sin(l/R)] = \frac{mgR^2}{l} \sin \left(\frac{l}{R}\right)$.

(D) जब कोई व्यक्ति सीढ़ियाँ चढ़ता है,तो गुरुत्वाकर्षण बल के विरुद्ध कार्य किया जाता है जो नीचे की दिशा में कार्य करता है।
गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध यह कार्य व्यक्ति के शरीर के भीतर के आंतरिक बलों (मांसपेशियों के संकुचन) द्वारा रासायनिक ऊर्जा को यांत्रिक कार्य में परिवर्तित करके किया जाता है।
अतः,गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि का स्रोत व्यक्ति के शरीर के भीतर के आंतरिक बलों द्वारा किया गया कार्य है।
इसलिए,विकल्प $D$ सही उत्तर है।

(A) केंद्रीय बल $F$ और स्थितिज ऊर्जा $U(r)$ के बीच का संबंध $F = -\frac{dU}{dr}$ है।
दिया गया है $U(r) = r^{-2} - r^{-1}$.
बल की गणना करने पर: $F = -\frac{d}{dr}(r^{-2} - r^{-1}) = -(-2r^{-3} + r^{-2}) = \frac{2}{r^3} - \frac{1}{r^2}$.
अधिकतम आकर्षण बल के लिए,हम $\frac{dF}{dr} = 0$ रखकर $F$ का चरम मान ज्ञात करते हैं।
$\frac{dF}{dr} = \frac{d}{dr}(2r^{-3} - r^{-2}) = -6r^{-4} + 2r^{-3} = 0$.
$2r^{-3} = 6r^{-4} \Rightarrow \frac{2}{r^3} = \frac{6}{r^4} \Rightarrow r = 3$.
$r = 3$ को बल के समीकरण में रखने पर:
$F = \frac{2}{(3)^3} - \frac{1}{(3)^2} = \frac{2}{27} - \frac{1}{9} = \frac{2-3}{27} = -\frac{1}{27}$.
बल का परिमाण $|F| = \frac{1}{27}$ है।

(C) दिया गया है: धातु की चेन का द्रव्यमान $m = 2 \,kg$, कुल लंबाई $l = 90 \,cm = 0.9 \,m$.
लटकते हुए भाग की लंबाई $l' = (90 - 60) \,cm = 30 \,cm = 0.3 \,m$.
लटकते हुए भाग का द्रव्यमान $m'$ उसकी लंबाई के समानुपाती होता है: $m' = (l'/l) \times m = (0.3 / 0.9) \times 2 = 2/3 \,kg$.
लटकते हुए भाग का गुरुत्व केंद्र मेज की सतह से $l_c = l'/2 = 0.3 / 2 = 0.15 \,m$ नीचे है।
लटकते हुए भाग को मेज पर वापस लाने के लिए किया गया कार्य स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = m' g l_c$.
मान रखने पर: $W = (2/3) \times 10 \times 0.15 = 1 \,J$.

(C) संतुलन बिंदु वहाँ होते हैं जहाँ बल $F = -\frac{dV}{dx} = 0$ होता है,जो $V(x)$ बनाम $x$ ग्राफ में उन बिंदुओं के अनुरूप है जहाँ ढलान शून्य है (अर्थात वक्र के शिखर और घाटियाँ)।
ग्राफ को देखने पर,ऐसे तीन बिंदु हैं: दो स्थानीय अधिकतम (शिखर) और एक स्थानीय न्यूनतम (घाटी)।
$1$. स्थानीय न्यूनतम पर,स्थितिज ऊर्जा न्यूनतम होती है,इसलिए $\frac{d^2V}{dx^2} > 0$। यह एक स्थिर संतुलन बिंदु का प्रतिनिधित्व करता है।
$2$. स्थानीय अधिकतम पर,स्थितिज ऊर्जा अधिकतम होती है,इसलिए $\frac{d^2V}{dx^2} < 0$। यह एक अस्थिर संतुलन बिंदु का प्रतिनिधित्व करता है।
चूंकि दो शिखर (अस्थिर) और एक घाटी (स्थिर) हैं,इसलिए कुल तीन संतुलन बिंदु हैं: एक स्थिर और दो अस्थिर।