Conservative and Non-Conservative forces and Potential Energy Questions in Hindi

(A) एक संरक्षी बल $F$ और स्थितिज ऊर्जा $U$ के बीच का संबंध $F = -\frac{dU}{dr}$ द्वारा दिया जाता है।
संरक्षी बल द्वारा किया गया कार्य $W = -\Delta U = -(U_f - U_i) = U_i - U_f$ के रूप में परिभाषित होता है।
यदि किया गया कार्य $W$ धनात्मक है,तो $U_i - U_f > 0$ होगा,जिसका अर्थ है कि $U_i > U_f$ है।
अतः,पिंड की स्थितिज ऊर्जा घटती है।

(D) स्थितिज ऊर्जा एक संरक्षी बल क्षेत्र में किसी निकाय का गुण है।
$1$. इसे केवल संरक्षी क्षेत्रों में ही परिभाषित किया जाता है क्योंकि संरक्षी बलों द्वारा किया गया कार्य पथ पर निर्भर नहीं करता है।
$2$. स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ को संरक्षी बलों द्वारा किए गए कार्य के ऋणात्मक मान के रूप में परिभाषित किया जाता है: $\Delta U = -W_c$।
$3$. इसे किसी बाह्य कारक द्वारा निकाय को गतिज ऊर्जा में बिना किसी परिवर्तन $(\Delta K = 0)$ के एक विन्यास से दूसरे विन्यास में ले जाने के लिए किए गए कार्य के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है,जो स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
अतः,दिए गए सभी कथन सही हैं। सही विकल्प $D$ है।

(D) बल $F$ और स्थितिज ऊर्जा $U$ के बीच का संबंध $F = -\frac{dU}{dx}$ द्वारा दिया जाता है।
इसका अर्थ है कि बल $U-x$ ग्राफ के ढाल (slope) का ऋणात्मक मान है।
$1$. अंतराल $0 \rightarrow x_1$ के लिए: $U-x$ ग्राफ का ढाल धनात्मक और नियत है। अतः, बल $F = -(\text{धनात्मक नियतांक})$ ऋणात्मक और नियत है।
$2$. अंतराल $x_1 \rightarrow x_2$ के लिए: स्थितिज ऊर्जा $U$ नियत है, इसलिए ढाल शून्य है। अतः, बल $F = 0$ है।
$3$. अंतराल $x_2 \rightarrow x_3$ के लिए: $U-x$ ग्राफ का ढाल ऋणात्मक और नियत है। अतः, बल $F = -(\text{ऋणात्मक नियतांक})$ धनात्मक और नियत है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर, विकल्प $D$ में दिया गया ग्राफ एक ऋणात्मक नियत बल, उसके बाद शून्य बल, और फिर एक धनात्मक नियत बल को सही ढंग से दर्शाता है।

(B) किसी पिंड के संतुलन में होने के लिए,उस पर कार्य करने वाला कुल बल $F$ शून्य होना चाहिए। ग्राफ से,बिंदु $P$ और $Q$ पर बल $F$ शून्य है।
स्थिर संतुलन के लिए,स्थितिज ऊर्जा $U$ न्यूनतम होनी चाहिए,जिसका अर्थ है $\frac{d^2 U}{d x^2} > 0$।
चूंकि $F = -\frac{d U}{d x}$,इसलिए हमारे पास $\frac{d F}{d x} = -\frac{d^2 U}{d x^2}$ है।
अतः,स्थिर संतुलन के लिए $\frac{d F}{d x} < 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $F-x$ ग्राफ की ढाल (slope) ऋणात्मक होनी चाहिए।
बिंदु $P$ पर,$F-x$ वक्र की ढाल धनात्मक है।
बिंदु $Q$ पर,$F-x$ वक्र की ढाल ऋणात्मक है।
इस प्रकार,पिंड बिंदु $Q$ पर स्थिर संतुलन की स्थिति में है।

(B) अभिकथन $A$ सत्य है क्योंकि एक केंद्रीय बल (जैसे गुरुत्वाकर्षण या स्थिर वैद्युत बल) एक संरक्षी बल होता है। परिभाषा के अनुसार,एक संरक्षी बल द्वारा किया गया कार्य लिए गए पथ से स्वतंत्र होता है और केवल प्रारंभिक और अंतिम स्थितियों पर निर्भर करता है।
कारण $R$ भी सत्य है क्योंकि असंरक्षी बलों (जैसे घर्षण या वायु प्रतिरोध) के साथ कोई स्थितिज ऊर्जा फलन जुड़ा नहीं होता है।
हालाँकि,यह तथ्य कि कुछ बलों के पास स्थितिज ऊर्जा नहीं होती है,यह कारण नहीं है कि केंद्रीय बल पथ से स्वतंत्र होते हैं। पथ स्वतंत्रता संरक्षी बलों का एक मौलिक गुण है। इसलिए,$R$,$A$ की सही व्याख्या नहीं है।

(C) स्थितिज ऊर्जा केवल संरक्षी बलों के लिए परिभाषित की जाती है।
संरक्षी बल वे बल हैं जिनके लिए दो बिंदुओं के बीच किसी कण को ले जाने में किया गया कार्य लिए गए पथ पर निर्भर नहीं करता है।
संरक्षी बलों के उदाहरणों में गुरुत्वाकर्षण बल,स्थिर-वैद्युत (कूलम्ब) बल और स्प्रिंग (प्रत्यानयन) बल शामिल हैं।
घर्षण बल एक असंरक्षी बल है क्योंकि इसके विरुद्ध किया गया कार्य लिए गए पथ पर निर्भर करता है।
इसलिए,घर्षण बल के लिए स्थितिज ऊर्जा को परिभाषित नहीं किया जा सकता है।

(A) $1$. कथन $(A)$ सही है। परिभाषा के अनुसार,यदि किसी बल द्वारा किया गया कार्य दो बिंदुओं के बीच तय किए गए पथ पर निर्भर करता है,तो उस बल को असंरक्षी बल कहा जाता है। इसके विपरीत,संरक्षी बल के लिए कार्य पथ पर निर्भर नहीं करता है और केवल प्रारंभिक और अंतिम स्थितियों पर निर्भर करता है।
$2$. कारण $(R)$ भी सही है। एक केंद्रीय बल वह बल है जो दो वस्तुओं के केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश कार्य करता है। सभी संरक्षी बल (जैसे गुरुत्वाकर्षण बल और स्थिर-विद्युत बल) केंद्रीय बल होते हैं।
$3$. हालाँकि,यह तथ्य कि संरक्षी बल केंद्रीय बल होते हैं,यह स्पष्ट नहीं करता है कि पथ पर निर्भरता के कारण कोई बल असंरक्षी क्यों है। इसलिए,$(R)$,$(A)$ की सही व्याख्या नहीं है।

(C) असंरक्षी बल वह बल है जिसके द्वारा किया गया कार्य प्रारंभिक और अंतिम स्थितियों के बीच अपनाए गए पथ पर निर्भर करता है।
संरक्षी बलों के विपरीत,एक बंद पथ पर असंरक्षी बल द्वारा किया गया कार्य शून्य नहीं होता है।
इसलिए,यह कथन कि असंरक्षी बलों द्वारा किया गया कार्य पथ पर निर्भर करता है,सही है।

(C) संरक्षी बल द्वारा किया गया कार्य $W_c = -\Delta U$ के रूप में परिभाषित होता है,जो स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन का ऋणात्मक मान है। अतः,विकल्प $A$ सही है।
निकाय की कुल ऊर्जा केवल तभी संरक्षित रहती है यदि निकाय विलगित (isolated) हो। सामान्य तौर पर,यदि निकाय पर बाहरी बल कार्य करते हैं,तो कुल ऊर्जा हमेशा संरक्षित नहीं रहती है। अतः,विकल्प $B$ एक सामान्य कथन है जिसे अक्सर गैर-विलगित निकायों के संदर्भ में गलत माना जाता है।
असंरक्षी बल (जैसे घर्षण) ऊर्जा का क्षय करते हैं। बंद पथ में असंरक्षी बल द्वारा किया गया कार्य शून्य नहीं होता है। अतः,विकल्प $C$ निश्चित रूप से एक गलत कथन है।
स्थायी संतुलन में,स्थितिज ऊर्जा $U$ न्यूनतम होती है,जिसका अर्थ है कि $dU/dx = 0$ और $d^2U/dx^2 > 0$। अतः,विकल्प $D$ सही है।
विकल्प $B$ और $C$ की तुलना करने पर,$C$ असंरक्षी बलों का एक मूलभूत गुण है (वे पथ पर निर्भर होते हैं),जो इसे स्पष्ट रूप से गलत बनाता है। इसलिए,$C$ ही अपेक्षित गलत कथन है।

(B) एक संरक्षी बल के लिए,बल $F$ और स्थितिज ऊर्जा $U$ के बीच का संबंध $F = -\frac{dU}{dx}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $U(x) = 5x^2 - 4x^3$।
वह स्थिति ज्ञात करने के लिए जहाँ बल शून्य है,हम $F = 0$ रखते हैं:
$0 = -\frac{d}{dx}(5x^2 - 4x^3)$
$0 = -(10x - 12x^2)$
$12x^2 - 10x = 0$
$2x(6x - 5) = 0$
इससे दो हल प्राप्त होते हैं: $x = 0 \ m$ या $x = 5/6 \ m$।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही स्थिति $5/6 \ m$ है।

(A) संरक्षी बल $F$ और स्थितिज ऊर्जा $U(x)$ के बीच का संबंध $F = -\frac{dU}{dx}$ द्वारा दिया जाता है।
इसका अर्थ है कि बल,$U(x)$ बनाम $x$ ग्राफ के ढाल (slope) के ऋणात्मक मान के बराबर होता है।
क्षेत्र $OA$ के लिए ($x=0$ से $x=P$ तक),ग्राफ धनात्मक नियत ढाल वाली एक सीधी रेखा है। मान लीजिए ढाल $k > 0$ है। अतः,$F = -k$,जो एक ऋणात्मक नियतांक है।
क्षेत्र $AB$ के लिए ($x > P$ के लिए),ग्राफ एक क्षैतिज सीधी रेखा है। इस रेखा का ढाल $0$ है। अतः,$F = -(0) = 0$.
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,जो ग्राफ $x < P$ के लिए ऋणात्मक नियत बल और $x > P$ के लिए शून्य बल दर्शाता है,वह विकल्प $A$ द्वारा प्रस्तुत किया गया है।

(A) संरक्षी बल एक ऐसा बल है जिसमें किसी कण को दो बिंदुओं के बीच ले जाने में किया गया कुल कार्य अपनाए गए पथ से स्वतंत्र होता है।
यह केवल कण की प्रारंभिक और अंतिम स्थितियों पर निर्भर करता है।
गणितीय रूप से,किसी भी बंद पथ पर संरक्षी बल द्वारा किया गया कार्य शून्य होता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) कथन-$I$: गलत।
बल $\vec{F}$ द्वारा किया गया कार्य $W = \int_{r_{1}}^{r_{2}} \vec{F} \cdot d\vec{r}$ के रूप में परिभाषित है। स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ को $-\int_{r_{1}}^{r_{2}} \vec{F} \cdot d\vec{r}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है। अतः,कार्य के लिए दिया गया व्यंजक गलत है।
कथन-$II$: गलत।
एक संरक्षी बल वह बल है जिसके लिए किया गया कार्य दो बिंदुओं के बीच अपनाए गए पथ से स्वतंत्र होता है। इसलिए,किया गया कार्य अपनाए गए पथ के साथ नहीं बदलता है।