Conservative and Non-Conservative forces and Potential Energy Questions in Gujarati

(A) સંરક્ષી બળ $F$ અને સ્થિતિઊર્જા $U$ વચ્ચેનો સંબંધ $F = -\frac{dU}{dr}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સંરક્ષી બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W = -\Delta U = -(U_f - U_i) = U_i - U_f$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
જો થયેલું કાર્ય $W$ ધન હોય,તો $U_i - U_f > 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $U_i > U_f$.
તેથી,પદાર્થની સ્થિતિઊર્જામાં ઘટાડો થાય છે.

(D) સ્થિતિ ઉર્જા એ સંરક્ષી બળ ક્ષેત્રમાં રહેલી સિસ્ટમનો ગુણધર્મ છે.
$1$. તે માત્ર સંરક્ષી ક્ષેત્રોમાં જ વ્યાખ્યાયિત છે કારણ કે સંરક્ષી બળો દ્વારા થયેલું કાર્ય પથ પર આધારિત નથી.
$2$. સ્થિતિ ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U$ એ સંરક્ષી બળો દ્વારા થયેલા કાર્યના ઋણ મૂલ્ય તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે: $\Delta U = -W_c$.
$3$. તેને બાહ્ય બળ દ્વારા સિસ્ટમને એક સ્થિતિમાંથી બીજી સ્થિતિમાં ગતિજ ઉર્જામાં ફેરફાર કર્યા વગર $(\Delta K = 0)$ લઈ જવા માટે કરેલા કાર્ય તરીકે પણ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે,જે સ્થિતિ ઉર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
તેથી,આપેલા તમામ વિધાનો સાચા છે. સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) બળ $F$ અને સ્થિતિ ઊર્જા $U$ વચ્ચેનો સંબંધ $F = -\frac{dU}{dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે બળ એ $U-x$ આલેખના ઢાળનું ઋણ મૂલ્ય છે.
$1$. અંતરાલ $0 \rightarrow x_1$ માટે: $U-x$ આલેખનો ઢાળ ધન અને અચળ છે. તેથી, બળ $F = -(\text{ધન અચળાંક})$ એ ઋણ અને અચળ છે.
$2$. અંતરાલ $x_1 \rightarrow x_2$ માટે: સ્થિતિ ઊર્જા $U$ અચળ છે, તેથી ઢાળ શૂન્ય છે. તેથી, બળ $F = 0$.
$3$. અંતરાલ $x_2 \rightarrow x_3$ માટે: $U-x$ આલેખનો ઢાળ ઋણ અને અચળ છે. તેથી, બળ $F = -(\text{ઋણ અચળાંક})$ એ ધન અને અચળ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા, વિકલ્પ $D$ માં આપેલો આલેખ ઋણ અચળ બળ, ત્યારબાદ શૂન્ય બળ અને પછી ધન અચળ બળને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(B) પદાર્થ સંતુલનમાં હોય તે માટે તેના પર લાગતું પરિણામી બળ $F$ શૂન્ય હોવું જોઈએ. આલેખ પરથી,બિંદુ $P$ અને $Q$ પર બળ $F$ શૂન્ય છે.
સ્થિર સંતુલન માટે,સ્થિતિ ઊર્જા $U$ ન્યૂનતમ હોવી જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $\frac{d^2 U}{d x^2} > 0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $F = -\frac{d U}{d x}$,તેથી $\frac{d F}{d x} = -\frac{d^2 U}{d x^2}$ થાય.
તેથી,સ્થિર સંતુલન માટે $\frac{d F}{d x} < 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $F-x$ આલેખનો ઢાળ ઋણ હોવો જોઈએ.
બિંદુ $P$ પર,$F-x$ વક્રનો ઢાળ ધન છે.
બિંદુ $Q$ પર,$F-x$ વક્રનો ઢાળ ઋણ છે.
આમ,પદાર્થ બિંદુ $Q$ પર સ્થિર સંતુલન સ્થિતિમાં છે.

(B) વિધાન $A$ સાચું છે કારણ કે કેન્દ્રીય બળ (જેમ કે ગુરુત્વાકર્ષણ અથવા સ્થિર વિદ્યુત બળ) એ સંરક્ષી બળ છે. વ્યાખ્યા મુજબ,સંરક્ષી બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય લીધેલા માર્ગથી સ્વતંત્ર હોય છે અને તે માત્ર પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન પર આધાર રાખે છે.
કારણ $R$ પણ સાચું છે કારણ કે અસંરક્ષી બળો (જેમ કે ઘર્ષણ અથવા હવાનો અવરોધ) સાથે સંભવિત ઉર્જા વિધેય જોડાયેલું હોતું નથી.
જોકે,અમુક બળો પાસે સંભવિત ઉર્જા નથી તે હકીકત એ કારણ નથી કે કેન્દ્રીય બળો માર્ગથી સ્વતંત્ર છે. માર્ગની સ્વતંત્રતા એ સંરક્ષી બળોનો મૂળભૂત ગુણધર્મ છે. તેથી,$R$ એ $A$ ની સાચી સમજૂતી નથી.

(C) સ્થિતિ ઊર્જા ફક્ત સંરક્ષી બળો માટે જ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
સંરક્ષી બળો એવા બળો છે જેના માટે બે બિંદુઓ વચ્ચે કણના સ્થાનાંતરણમાં થતું કાર્ય લીધેલા માર્ગ પર આધારિત નથી.
સંરક્ષી બળોના ઉદાહરણોમાં ગુરુત્વાકર્ષણ બળ,સ્થિત-વિદ્યુત (કુલંબ) બળ અને સ્પ્રિંગ (પુનઃસ્થાપક) બળનો સમાવેશ થાય છે.
ઘર્ષણ બળ એ અસંરક્ષી બળ છે કારણ કે તેની વિરુદ્ધ કરવામાં આવતું કાર્ય લીધેલા માર્ગ પર આધાર રાખે છે.
તેથી,ઘર્ષણ બળ માટે સ્થિતિ ઊર્જા વ્યાખ્યાયિત કરી શકાતી નથી.

(A) $1$. વિધાન $(A)$ સાચું છે. વ્યાખ્યા મુજબ,જો કોઈ બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય બે બિંદુઓ વચ્ચેના પથ પર આધાર રાખતું હોય,તો તે બળને અ-સંરક્ષી બળ કહેવાય છે. તેનાથી વિપરીત,સંરક્ષી બળ માટે કાર્ય પથ પર આધારિત નથી અને તે માત્ર પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન પર આધાર રાખે છે.
$2$. કારણ $(R)$ પણ સાચું છે. કેન્દ્રીય બળ એવું બળ છે જે બે પદાર્થોના કેન્દ્રોને જોડતી રેખા પર કાર્ય કરે છે. તમામ સંરક્ષી બળો (જેમ કે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અને સ્થિત-વિદ્યુત બળ) કેન્દ્રીય બળો છે.
$3$. જોકે,સંરક્ષી બળો કેન્દ્રીય બળો છે તે હકીકત એ સમજાવતી નથી કે શા માટે બળ પથ પર આધારિત હોવાને કારણે અ-સંરક્ષી છે. તેથી,$(R)$ એ $(A)$ ની સાચી સમજૂતી નથી.

(C) બિન-સંરક્ષી બળ એવું બળ છે જેના દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન વચ્ચેના માર્ગ પર આધાર રાખે છે.
સંરક્ષી બળોથી વિપરીત,બંધ માર્ગ પર બિન-સંરક્ષી બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય શૂન્ય હોતું નથી.
તેથી,એ વિધાન કે બિન-સંરક્ષી બળો દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય માર્ગ પર આધાર રાખે છે,તે સાચું છે.

(C) સંરક્ષી બળ દ્વારા થયેલ કાર્યને $W_c = -\Delta U$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે સ્થિતિ ઉર્જામાં થતા ફેરફારનું ઋણ મૂલ્ય છે. તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચું છે.
તંત્રની કુલ ઉર્જા ત્યારે જ સંરક્ષિત રહે છે જો તંત્ર અલગ (isolated) હોય. સામાન્ય રીતે,જો તંત્ર પર બાહ્ય બળો કાર્ય કરતા હોય,તો કુલ ઉર્જા હંમેશા સંરક્ષિત રહેતી નથી. તેથી,વિકલ્પ $B$ એક સામાન્ય વિધાન છે જે ઘણીવાર બિન-અલગ તંત્રોના સંદર્ભમાં ખોટું માનવામાં આવે છે.
અસંરક્ષી બળો (જેમ કે ઘર્ષણ) ઉર્જાનો વ્યય કરે છે. બંધ માર્ગ પર અસંરક્ષી બળ દ્વારા થયેલ કાર્ય શૂન્ય હોતું નથી. તેથી,વિકલ્પ $C$ ચોક્કસપણે ખોટું વિધાન છે.
સ્થાયી સંતુલનમાં,સ્થિતિ ઉર્જા $U$ ન્યૂનતમ હોય છે,જેનો અર્થ છે કે $dU/dx = 0$ અને $d^2U/dx^2 > 0$. તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચું છે.
વિકલ્પ $B$ અને $C$ ની સરખામણી કરતા,$C$ એ અસંરક્ષી બળોનો મૂળભૂત ગુણધર્મ છે (તેઓ માર્ગ પર આધારિત છે),જે તેને સ્પષ્ટપણે ખોટું બનાવે છે. તેથી,$C$ એ અપેક્ષિત ખોટું વિધાન છે.

(B) સંરક્ષી બળ માટે,બળ $F$ અને સ્થિતિઊર્જા $U$ વચ્ચેનો સંબંધ $F = -\frac{dU}{dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $U(x) = 5x^2 - 4x^3$.
જે સ્થાન પર બળ શૂન્ય થાય તે શોધવા માટે,આપણે $F = 0$ લઈએ છીએ:
$0 = -\frac{d}{dx}(5x^2 - 4x^3)$
$0 = -(10x - 12x^2)$
$12x^2 - 10x = 0$
$2x(6x - 5) = 0$
આનાથી બે ઉકેલ મળે છે: $x = 0 \ m$ અથવા $x = 5/6 \ m$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચું સ્થાન $5/6 \ m$ છે.

(A) સંરક્ષી બળ $F$ અને સ્થિતિ ઊર્જા $U(x)$ વચ્ચેનો સંબંધ $F = -\frac{dU}{dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે બળ એ $U(x)$ વિરુદ્ધ $x$ ના આલેખના ઢાળના ઋણ મૂલ્ય જેટલું હોય છે.
વિસ્તાર $OA$ માટે ($x=0$ થી $x=P$ સુધી),આલેખ ધન અચળ ઢાળવાળી સીધી રેખા છે. ધારો કે ઢાળ $k > 0$ છે. તેથી,$F = -k$,જે એક ઋણ અચળાંક છે.
વિસ્તાર $AB$ માટે ($x > P$ માટે),આલેખ આડી સીધી રેખા છે. આ રેખાનો ઢાળ $0$ છે. તેથી,$F = -(0) = 0$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા,જે આલેખ $x < P$ માટે ઋણ અચળ બળ અને $x > P$ માટે શૂન્ય બળ દર્શાવે છે તે વિકલ્પ $A$ દ્વારા રજૂ થાય છે.

(A) સંરક્ષી બળ એવું બળ છે કે જેમાં કણને બે બિંદુઓ વચ્ચે ખસેડવા માટે કરવામાં આવેલું કુલ કાર્ય લીધેલા માર્ગથી સ્વતંત્ર હોય છે.
તે માત્ર કણના પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન પર જ આધાર રાખે છે.
ગાણિતિક રીતે,કોઈપણ બંધ માર્ગ પર સંરક્ષી બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય શૂન્ય હોય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) વિધાન-$I$: ખોટું.
બળ $\vec{F}$ દ્વારા કરવામાં આવતું કાર્ય $W = \int_{r_{1}}^{r_{2}} \vec{F} \cdot d\vec{r}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. સ્થિતિ ઊર્જામાં ફેરફાર $\Delta U$ ને $-\int_{r_{1}}^{r_{2}} \vec{F} \cdot d\vec{r}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. તેથી,કાર્ય માટેનું આપેલ સમીકરણ ખોટું છે.
વિધાન-$II$: ખોટું.
સંરક્ષી બળ એ એવું બળ છે જેના માટે કરવામાં આવતું કાર્ય બે બિંદુઓ વચ્ચે લેવાયેલા માર્ગથી સ્વતંત્ર હોય છે. તેથી,કરવામાં આવતું કાર્ય અનુસરવામાં આવતા માર્ગ સાથે બદલાતું નથી.