Sound Waves (Longitudinal wave) and it’s Characteristics (Speed etc.) Questions in Hindi

(A) गैस में ध्वनि की गति का सूत्र $v = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}$ है,जहाँ $\gamma$ एडियाबेटिक इंडेक्स है,$P$ दबाव है,और $\rho$ माध्यम का घनत्व है।
गर्म नम हवा के लिए तापमान अधिक होता है,जो शुष्क ठंडी हवा की तुलना में हवा के घनत्व $\rho$ को कम कर देता है।
इसके अतिरिक्त,जल वाष्प (नमी) की उपस्थिति हवा के प्रभावी घनत्व को और कम कर देती है क्योंकि जल वाष्प का मोलर द्रव्यमान $(18 \ g/mol)$ शुष्क हवा (लगभग $29 \ g/mol$) से कम होता है।
चूंकि ध्वनि की गति $v$ घनत्व के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है $(v \propto \frac{1}{\sqrt{\rho}})$,इसलिए कम घनत्व ध्वनि की गति को बढ़ा देता है।
अतः,ध्वनि शुष्क ठंडी हवा की तुलना में गर्म नम हवा में तेजी से यात्रा करती है।

(A) तरंग की गति $(v)$,आवृत्ति $(f)$ और तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ के बीच संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $v = f \lambda$।
दिया गया है:
आवृत्ति $f = 4.2 \text{ MHz} = 4.2 \times 10^6 \text{ Hz}$।
गति $v = 1.7 \text{ km/s} = 1.7 \times 10^3 \text{ m/s}$।
तरंगदैर्ध्य के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\lambda = \frac{v}{f} = \frac{1.7 \times 10^3}{4.2 \times 10^6} \text{ m}$।
मान की गणना करने पर:
$\lambda \approx 0.40476 \times 10^{-3} \text{ m} = 4.0476 \times 10^{-4} \text{ m}$।
सार्थक अंकों को ध्यान में रखते हुए,हमें $\lambda \approx 4.05 \times 10^{-4} \text{ m}$ प्राप्त होता है।

(B) एक दोलनशील स्रोत द्वारा ध्वनि तरंगें उत्पन्न होती हैं, लेकिन उन्हें श्रव्य ध्वनि के रूप में तभी वर्गीकृत किया जाता है यदि आवृत्ति $20 \,Hz$ से $20,000 \,Hz$ के बीच हो।
यदि आवृत्ति $20 \,Hz$ से कम है, तो इसे इन्फ्रासोनिक कहा जाता है, और यदि यह $20,000 \,Hz$ से अधिक है, तो इसे अल्ट्रासोनिक कहा जाता है।
इसलिए, एक दोलनशील स्रोत हमेशा ऐसी ध्वनि तरंगें उत्पन्न नहीं करता है जो मानव कानों द्वारा सुनी जा सकें।

(A) किसी माध्यम में अनुदैर्ध्य तरंगों की गति $v = \sqrt{\frac{B}{\rho}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $B$ बल्क मापांक है और $\rho$ घनत्व है। अतः,$(a) - (i)$।
ठोस छड़ के लिए,अनुदैर्ध्य तरंगों की गति $v = \sqrt{\frac{Y}{\rho}}$ है,जहाँ $Y$ यंग मापांक है। अतः,$(b) - (ii)$।
न्यूटन के अनुसार,हवा में ध्वनि का प्रसार एक समतापीय प्रक्रिया है,जो $v = \sqrt{\frac{P}{\rho}}$ देती है। अतः,$(c) - (iii)$।
लाप्लास के अनुसार,हवा में ध्वनि का प्रसार एक रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया है,जो $v = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}$ देती है। अतः,$(d) - (iv)$।
सही मिलान $(a-i, b-ii, c-iii, d-iv)$ है।

(A) गैस में ध्वनि की चाल $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ द्वारा दी जाती है, जिसका अर्थ है $v \propto \sqrt{T}$, जहाँ $T$ केल्विन में निरपेक्ष तापमान है।
माना $T_1 = 0^\circ C = 273 \ K$ पर ध्वनि की चाल $v_1$ है।
माना $T_2$ तापमान पर ध्वनि की चाल $v_2$ है, जहाँ $v_2 = 3v_1$ है।
संबंध $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{3v_1}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{273}}$
$3 = \sqrt{\frac{T_2}{273}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$9 = \frac{T_2}{273}$
$T_2 = 9 \times 273 = 2457 \ K$।
इसे सेल्सियस में बदलने के लिए: $T(^\circ C) = T(K) - 273 = 2457 - 273 = 2184^\circ C$।

(N/A) कुल लगा समय $t$ व्यास के अनुदिश प्रत्येक अलग परत से गुजरने में लगे समय का योग है।
व्यास तीन क्षेत्रों से बना है: आंतरिक ठोस कोर,पिघला हुआ मध्य क्षेत्र और बाहरी ठोस परत।
व्यास के अनुदिश प्रत्येक क्षेत्र के लिए कुल दूरी उसकी त्रिज्यीय मोटाई की दोगुनी है।
$1$. आंतरिक ठोस कोर ($0$ से $1000 \ km$): दूरी $d_1 = 2 \times 1000 \ km = 2000 \ km$,गति $v_1 = 8 \ kms^{-1}$।
समय $t_1 = \frac{d_1}{v_1} = \frac{2000}{8} = 250 \ s$।
$2$. पिघला हुआ क्षेत्र ($1000 \ km$ से $3500 \ km$): दूरी $d_2 = 2 \times (3500 - 1000) \ km = 5000 \ km$,गति $v_2 = 5 \ kms^{-1}$।
समय $t_2 = \frac{d_2}{v_2} = \frac{5000}{5} = 1000 \ s$।
$3$. बाहरी ठोस परत ($3500 \ km$ से $6400 \ km$): दूरी $d_3 = 2 \times (6400 - 3500) \ km = 5800 \ km$,गति $v_3 = 8 \ kms^{-1}$।
समय $t_3 = \frac{d_3}{v_3} = \frac{5800}{8} = 725 \ s$।
कुल समय $t = t_1 + t_2 + t_3 = 250 + 1000 + 725 = 1975 \ s$।

(B) ध्वनि तरंग में दबाव आयाम $\Delta p$ और विस्थापन आयाम $s$ के बीच का संबंध $\Delta p = B k s$ है,जहाँ $B$ बल्क मापांक है और $k$ तरंग संख्या है।
चूंकि $B = \rho v^2$ और $k = \frac{\omega}{v} = \frac{2 \pi f}{v}$,इसलिए $\Delta p = (\rho v^2) \times (\frac{2 \pi f}{v}) \times s$ होता है।
गुणात्मक स्थिरांक को $1$ लेने पर ($2 \pi$ को अनदेखा करते हुए),संबंध $\Delta p = \rho v \omega s$ हो जाता है।
$s$ के लिए सूत्र बनाने पर,$s = \frac{\Delta p}{\rho v \omega} = \frac{\Delta p}{\rho v (2 \pi f)}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $s \approx \frac{10}{1 \times 300 \times 2 \pi \times 1000} \, m$।
निर्देशानुसार $2 \pi$ के कारक को अनदेखा करने पर: $s \approx \frac{10}{300 \times 1000} \, m = \frac{1}{30000} \, m$।
मिलीमीटर में बदलने पर: $s \approx \frac{1}{30000} \times 1000 \, mm = \frac{1}{30} \, mm \approx 0.033 \, mm = \frac{3}{100} \, mm$।

(B) जब एक छड़ को उसके मध्य में क्लैंप किया जाता है,तो सिरे एंटीनोड $(A)$ के रूप में और क्लैंप किया गया बिंदु नोड $(N)$ के रूप में कार्य करता है।
मूल विधा (fundamental mode) में,छड़ की लंबाई $l$,$\frac{\lambda}{4}$ के दो खंडों के अनुरूप होती है,इसलिए $l = \frac{\lambda}{4} + \frac{\lambda}{4} = \frac{\lambda}{2}$.
$\Rightarrow \lambda = 2l$.
दिया गया है: $l = 100\, cm = 1\, m$,आवृत्ति $f = 2.53\, kHz = 2.53 \times 10^3\, Hz$.
ध्वनि की गति $v$,$v = f \lambda$ द्वारा दी जाती है।
$\lambda = 2l$ प्रतिस्थापित करने पर:
$v = f \times 2l = 2.53 \times 10^3 \times 2 \times 1 = 5.06 \times 10^3\, m/s$.
$km/s$ में परिवर्तित करने पर:
$v = 5.06\, km/s$.

(D) सही विकल्प $(d)$ है।
दी गई आकृतियों से, हम निम्नलिखित देख सकते हैं:
$1$. आवृत्ति: तरंग $1$, तरंग $2$ की तुलना में समान समय अंतराल में अधिक दोलन पूरा करती है। चूंकि आवृत्ति $f = \frac{1}{T}$ है, जहां $T$ आवर्तकाल है, अधिक दोलनों का अर्थ है उच्च आवृत्ति। अतः, तरंग $1$ की आवृत्ति तरंग $2$ से अधिक है।
$2$. आयाम: आयाम को माध्य स्थिति (दबाव परिवर्तन) से अधिकतम विस्थापन द्वारा दर्शाया जाता है। दृश्य रूप से, तरंग $1$ की शिखर ऊँचाई तरंग $2$ की शिखर ऊँचाई से कम है। इसलिए, तरंग $1$ का आयाम तरंग $2$ की तुलना में छोटा है।
नोट: समय-डोमेन ग्राफ में, क्षैतिज अक्ष समय को दर्शाता है, इसलिए शिखरों के बीच की दूरी आवर्तकाल $T$ के अनुरूप होती है। उच्च आवृत्ति का अर्थ है कम आवर्तकाल। चूंकि तरंगदैर्ध्य $\lambda = vT$ (जहां $v$ ध्वनि की गति है) होती है, इसलिए कम आवर्तकाल का अर्थ है छोटी तरंगदैर्ध्य। अतः, तरंग $1$ की तरंगदैर्ध्य छोटी है और आयाम तरंग $2$ की तुलना में छोटा है।

(A) गैसीय माध्यम में ध्वनि का वेग निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$
चूंकि दी गई स्थितियों के लिए तापमान $T$ और एडियाबेटिक इंडेक्स $\gamma$ स्थिर हैं,इसलिए वेग मोलर द्रव्यमान $M$ के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होता है:
$v \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$
अतः,ऑक्सीजन $(v_{O_2})$ और हाइड्रोजन $(v_{H_2})$ में ध्वनि के वेग का अनुपात है:
$\frac{v_{O_2}}{v_{H_2}} = \sqrt{\frac{M_{H_2}}{M_{O_2}}}$
हाइड्रोजन $(H_2)$ का मोलर द्रव्यमान $2 \text{ g/mol}$ है और ऑक्सीजन $(O_2)$ का मोलर द्रव्यमान $32 \text{ g/mol}$ है।
$\frac{v_{O_2}}{v_{H_2}} = \sqrt{\frac{2}{32}} = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$
इस प्रकार,अनुपात $1:4$ है।

(A) गैसीय माध्यम में ध्वनि का वेग $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है $v \propto \sqrt{T}$।
जैसे-जैसे तापमान $T$ बढ़ता है,ध्वनि की गति $v$ भी बढ़ती है।
गति,आवृत्ति और तरंगदैर्ध्य के बीच का संबंध $v = f \lambda$ है।
चूंकि आवृत्ति $f$ स्रोत की एक विशेषता है,यह माध्यम के तापमान में परिवर्तन के साथ स्थिर रहती है।
इसलिए,$\lambda = \frac{v}{f}$। चूंकि $v$ बढ़ता है और $f$ स्थिर है,इसलिए तरंगदैर्ध्य $\lambda$ बढ़ेगी।
अतः,सही विकल्प $(A)$ है।

(C) चूंकि ड्रम वादक को कोई गूँज सुनाई नहीं देती है,इसका मतलब है कि दो क्रमिक ड्रम बीट्स के बीच का समय अंतराल उस समय के बराबर होना चाहिए जो ध्वनि को पहाड़ तक जाने और वापस आने में लगता है।
मान लीजिए पहाड़ से प्रारंभिक दूरी $x$ है और ध्वनि की गति $v$ है।
पहले मामले में दो बीट्स के बीच का समय अंतराल $T_1 = \frac{60}{40} = 1.5 \, s$ है।
ध्वनि को पहाड़ तक जाने और वापस आने में लगा समय $\frac{2x}{v}$ है।
अतः,$\frac{2x}{v} = 1.5 \implies 2x = 1.5v \quad \dots(i)$
दूसरे मामले में,दूरी $(x - 90) \, m$ हो जाती है और दर $60$ बीट्स प्रति मिनट है।
दो बीट्स के बीच का समय अंतराल $T_2 = \frac{60}{60} = 1.0 \, s$ है।
अतः,$\frac{2(x - 90)}{v} = 1.0 \implies 2x - 180 = v \quad \dots(ii)$
समीकरण $(i)$ से $2x = 1.5v$ का मान समीकरण $(ii)$ में रखने पर:
$1.5v - 180 = v$
$0.5v = 180$
$v = \frac{180}{0.5} = 360 \, ms^{-1}$.

(B) मानव श्रव्यता की निचली सीमा $f = 20 \, Hz$ है।
दिया गया है कि हाइड्रोजन गैस में ध्वनि की गति $v = 1350 \, m/s$ है।
गति $(v)$,आवृत्ति $(f)$ और तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ के बीच का संबंध $v = f \lambda$ है।
इसलिए,$\lambda = \frac{v}{f}$।
मान रखने पर: $\lambda = \frac{1350}{20} = 67.5 \, m$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) गैस में ध्वनि की गति का सूत्र $v = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}$ है,जहाँ $\gamma$ एडियाबेटिक इंडेक्स है,$P$ दबाव है और $\rho$ माध्यम का घनत्व है।
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि ध्वनि की गति केवल माध्यम के गुणों (तापमान,दबाव,घनत्व और गैस की प्रकृति) पर निर्भर करती है।
यह तरंग की विशेषताओं जैसे आयाम,आवृत्ति या कला पर निर्भर नहीं करती है।
इसलिए,हवा में ध्वनि की गति इन सभी कारकों से स्वतंत्र है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) ध्वनि तरंग में,विस्थापन $y(x, t)$ को $y = A \sin(kx - \omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
दाब परिवर्तन $\Delta P$ विस्थापन से $\Delta P = -B \frac{\partial y}{\partial x}$ संबंध द्वारा संबंधित है,जहाँ $B$ बल्क मापांक है।
अवकलन करने पर: $\frac{\partial y}{\partial x} = Ak \cos(kx - \omega t)$ प्राप्त होता है।
अतः,$\Delta P = -BAk \cos(kx - \omega t) = BAk \sin(kx - \omega t - \frac{\pi}{2})$।
विस्थापन तरंग की कला $(kx - \omega t)$ और दाब तरंग की कला $(kx - \omega t - \frac{\pi}{2})$ की तुलना करने पर,कलांतर $\frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।

(A) आदर्श गैस में ध्वनि की गति का सूत्र $C = \sqrt{\frac{\gamma R T}{M}}$ है,जहाँ $\gamma$ एडियाबेटिक इंडेक्स है,$R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ परम तापमान है और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
चूंकि तापमान $T$ और एडियाबेटिक इंडेक्स $\gamma$ ($H_2$ और $O_2$ जैसी द्वि-परमाणुक गैसों के लिए) समान हैं,इसलिए ध्वनि की गति मोलर द्रव्यमान के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $C \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
हाइड्रोजन $(H_2)$ का मोलर द्रव्यमान $M_{H_2} = 2 \text{ g/mol}$ है।
ऑक्सीजन $(O_2)$ का मोलर द्रव्यमान $M_{O_2} = 32 \text{ g/mol}$ है।
इसलिए,हाइड्रोजन और ऑक्सीजन में ध्वनि की गति का अनुपात $\frac{C_{H_2}}{C_{O_2}} = \sqrt{\frac{M_{O_2}}{M_{H_2}}} = \sqrt{\frac{32}{2}} = \sqrt{16} = 4$ है।
अतः,अनुपात $4:1$ है।

(D) आदर्श गैस में ध्वनि की गति का सूत्र $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ है।
$S.T.P.$ पर,तापमान $T = 273 \text{ K}$ होता है।
ऑक्सीजन $(O_2)$ का मोलर द्रव्यमान $M = 32 \times 10^{-3} \text{ kg/mol}$ है।
दिया गया है कि $\gamma = 1.4$ और $R = 8.3 \text{ J K}^{-1} \text{mol}^{-1}$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$v = \sqrt{\frac{1.4 \times 8.3 \times 273}{32 \times 10^{-3}}}$
$v = \sqrt{\frac{3171.06}{0.032}}$
$v = \sqrt{99095.625}$
$v \approx 314.79 \text{ m/s}$।
निकटतम पूर्णांक में लेने पर,हमें $v \approx 315 \text{ m/s}$ प्राप्त होता है।

(D) किसी माध्यम में ध्वनि की गति का सूत्र $v = \sqrt{\frac{B}{\rho}}$ है,जहाँ $B$ बल्क मॉडुलस है और $\rho$ माध्यम का घनत्व है।
गैसों की तुलना में ठोस पदार्थों का बल्क मॉडुलस $(B)$ बहुत अधिक होता है,जो उनके उच्च घनत्व $(\rho)$ के प्रभाव से कहीं अधिक प्रभावी होता है।
इसलिए,ध्वनि की गति गैसों की तुलना में ठोस पदार्थों में अधिक होती है। अतः,अभिकथन $A$ सत्य है।
हालाँकि,कारण $R$ कहता है कि गैसों का बल्क मॉडुलस ठोस पदार्थों से अधिक होता है,जो कि गलत है। ठोस पदार्थों का बल्क मॉडुलस गैसों की तुलना में बहुत अधिक होता है।
इसलिए,$A$ सत्य है लेकिन $R$ असत्य है।

(B) आदर्श गैस में ध्वनि की गति का सूत्र $V = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}$ है,जहाँ $\gamma$ एडियाबेटिक इंडेक्स है,$P$ दबाव है और $\rho$ घनत्व है।
यह दिया गया है कि सभी गैसों के लिए अनुपात $\frac{P}{\rho}$ समान है,इसलिए ध्वनि की गति एडियाबेटिक इंडेक्स के वर्गमूल के समानुपाती होती है: $V \propto \sqrt{\gamma}$।
$He$ (एक-परमाणुक गैस) के लिए,स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f = 3$ है,इसलिए $\gamma_{He} = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$।
$CH_4$ (बहु-परमाणुक गैस) के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f = 6$ है,इसलिए $\gamma_{CH_4} = 1 + \frac{2}{6} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$।
$CO_2$ (बहु-परमाणुक गैस) के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f = 6$ है,इसलिए $\gamma_{CO_2} = 1 + \frac{2}{6} = \frac{4}{3}$।
अतः,गति का अनुपात $V_{He} : V_{CH_4} : V_{CO_2} = \sqrt{\gamma_{He}} : \sqrt{\gamma_{CH_4}} : \sqrt{\gamma_{CO_2}} = \sqrt{\frac{5}{3}} : \sqrt{\frac{4}{3}} : \sqrt{\frac{4}{3}}$ है।

(A) ध्वनि तरंगें यांत्रिक तरंगें होती हैं जिन्हें संचरण के लिए एक भौतिक माध्यम की आवश्यकता होती है। जैसे-जैसे वे वायुमंडल से गुजरती हैं,उनकी ऊर्जा कई कारकों के कारण कम हो जाती है:
$1$. ज्यामितीय प्रसार: जैसे-जैसे तरंग एक बड़े क्षेत्र में फैलती है,उसकी तीव्रता कम हो जाती है।
$2$. वायुमंडलीय अवशोषण: आणविक विश्राम (molecular relaxation) और श्यानता (viscosity) प्रभावों के कारण वायुमंडल द्वारा ध्वनि ऊर्जा का अवशोषण होता है।
$3$. सतह प्रभाव: जमीन और बाधाओं के साथ बातचीत के कारण प्रकीर्णन और अवशोषण होता है।
इन ऊर्जा हानियों के कारण,दूरी के साथ ध्वनि तरंगों की तीव्रता तेजी से घटती है,जिससे विद्युत चुम्बकीय तरंगों की तुलना में लंबी दूरी का संचरण अप्रभावी हो जाता है। हालांकि कम दूरी के लिए वायुमंडलीय अवशोषण नगण्य हो सकता है,लेकिन लंबी दूरी पर यह महत्वपूर्ण हो जाता है।

(C) ध्वनि तरंगें यांत्रिक तरंगें होती हैं जिन्हें संचरण के लिए एक भौतिक माध्यम (ठोस,द्रव या गैस) की आवश्यकता होती है। वे माध्यम के कणों को कंपन कराकर यात्रा करती हैं। चूंकि निर्वात में कोई कण नहीं होते हैं,इसलिए ध्वनि तरंगें इसमें से यात्रा नहीं कर सकती हैं। अतः,यह कथन कि ध्वनि निर्वात में यात्रा कर सकती है,गलत है।

(A) ध्वनि तरंगें यांत्रिक तरंगें हैं जिन्हें यात्रा करने के लिए एक माध्यम की आवश्यकता होती है। हवा में,कण तरंग प्रसार की दिशा के समानांतर दोलन करते हैं,जिससे वे अनुदैर्ध्य (longitudinal) तरंगें बन जाती हैं।
प्रकाश तरंगें विद्युत चुम्बकीय तरंगें हैं जिन्हें किसी माध्यम की आवश्यकता नहीं होती है। इनमें प्रसार की दिशा के लंबवत दोलन करने वाले विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र होते हैं,जिससे वे अनुप्रस्थ (transverse) तरंगें बन जाती हैं।
इसलिए,सही कथन यह है कि हवा में ध्वनि तरंगें अनुदैर्ध्य होती हैं जबकि हवा में प्रकाश तरंगें अनुप्रस्थ होती हैं।

(A) कलांतर $\phi$ और पथ अंतर $x$ के बीच का संबंध $\phi = \frac{2 \pi}{\lambda} x$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,$\lambda = \frac{v}{f}$ सूत्र का उपयोग करके तरंगदैर्ध्य $\lambda$ की गणना करें,जहाँ $v = 330 \,m/s$ और $f = 50 \,Hz$ है।
$\lambda = \frac{330}{50} = 6.6 \,m$.
अब,$x$ के लिए कलांतर के सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करें: $x = \frac{\phi \lambda}{2 \pi}$.
मान रखने पर: $x = \frac{(\pi/3) \times 6.6}{2 \pi} = \frac{6.6}{6} = 1.1 \,m$.
अतः,दो बिंदुओं के बीच की दूरी $1.1 \,m$ है।

(A) दिया गया है: आवृत्ति $f = 160 \,Hz$, वेग $v = 320 \,m/s$।
सबसे पहले, $\lambda = v/f$ सूत्र का उपयोग करके तरंगदैर्ध्य $\lambda$ की गणना करें:
$\lambda = 320 / 160 = 2 \,m = 200 \,cm$।
कलांतर $\phi$ और पथ अंतर $x$ के बीच का संबंध $\phi = \frac{2\pi x}{\lambda}$ है।
दिया गया कलांतर $\phi = 90^{\circ} = \pi/2$ रेडियन है।
मान रखने पर: $\frac{\pi}{2} = \frac{2\pi x}{200}$।
$x$ के लिए हल करने पर: $x = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{200}{2\pi} = \frac{200}{4} = 50 \,cm$।

(B) मान लीजिए कि व्यक्ति पहली चट्टान से $d_1$ दूरी पर और दूसरी चट्टान से $d_2$ दूरी पर है।
पहली प्रतिध्वनि के लिए लिया गया समय $t_1 = 1 \ s$ है। ध्वनि चट्टान तक जाती है और वापस आती है,इसलिए $2d_1 = v \times t_1$।
$2d_1 = 340 \times 1 = 340 \ m$,जिससे $d_1 = 170 \ m$ प्राप्त होता है।
दूसरी प्रतिध्वनि के लिए लिया गया समय $t_2 = 3 \ s$ है। इसी प्रकार,$2d_2 = v \times t_2$।
$2d_2 = 340 \times 3 = 1020 \ m$,जिससे $d_2 = 510 \ m$ प्राप्त होता है।
दोनों चट्टानों के बीच की कुल दूरी $D = d_1 + d_2$ है।
$D = 170 \ m + 510 \ m = 680 \ m$।

(B) वेग $(v)$,आवृत्ति $(n)$ और तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ के बीच का संबंध $v = n \lambda$ है।
चूंकि दोनों ध्वनि स्रोत समान तापमान पर हैं,इसलिए दोनों स्थितियों में ध्वनि का वेग $(v)$ समान होगा।
मान लीजिए कि आवृत्तियाँ $n_1$ और $n_2$ हैं जो क्रमशः $\lambda_1 = 50 \ cm = 0.5 \ m$ और $\lambda_2 = 50.5 \ cm = 0.505 \ m$ तरंगदैर्ध्य के अनुरूप हैं।
हम जानते हैं कि $v = n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2$.
अतः,$n_1 (0.5) = n_2 (0.505)$,जिसका अर्थ है $\frac{n_1}{n_2} = \frac{0.505}{0.5} = 1.01$.
दिया गया है कि $|n_1 - n_2| = 6 \ Hz$,इसलिए $n_1 = n_2 + 6$.
इस मान को अनुपात में रखने पर: $\frac{n_2 + 6}{n_2} = 1.01$.
$1 + \frac{6}{n_2} = 1.01 \implies \frac{6}{n_2} = 0.01$.
$n_2 = \frac{6}{0.01} = 600 \ Hz$.
अब,वेग की गणना करने पर: $v = n_2 \lambda_2 = 600 \times 0.505 \ m = 303 \ m/s$.

(D) आदर्श गैस में ध्वनि का वेग $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
समान तापमान $T$ के लिए,हाइड्रोजन $(v_H)$ और हीलियम $(v_{He})$ में ध्वनि के वेग का अनुपात:
$\frac{v_H}{v_{He}} = \sqrt{\frac{\gamma_H R T / M_H}{\gamma_{He} R T / M_{He}}} = \sqrt{\frac{\gamma_H M_{He}}{\gamma_{He} M_H}}$.
दिया गया है:
$\gamma_H = 7/5$,$\gamma_{He} = 5/3$,
$M_H = 2 \text{ g/mol}$,$M_{He} = 4 \text{ g/mol}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{v_H}{v_{He}} = \sqrt{\frac{(7/5) \times 4}{(5/3) \times 2}} = \sqrt{\frac{28/5}{10/3}} = \sqrt{\frac{28}{5} \times \frac{3}{10}} = \sqrt{\frac{84}{50}} = \sqrt{\frac{42}{25}} = \frac{\sqrt{42}}{5}$.
अतः,अनुपात $\sqrt{42}: 5$ है।

(A) आदर्श गैस में ध्वनि की चाल का सूत्र $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ होता है।
चूंकि दोनों गैसों के लिए तापमान $T$ समान है,इसलिए हीलियम $(v_{He})$ और नाइट्रोजन $(v_{N_2})$ में ध्वनि की चाल का अनुपात होगा:
$\frac{v_{He}}{v_{N_2}} = \sqrt{\frac{\gamma_{He}}{M_{He}} \cdot \frac{M_{N_2}}{\gamma_{N_2}}}$
दी गई मानों $\gamma_{He} = 5/3$,$M_{He} = 4$,$\gamma_{N_2} = 7/5$,और $M_{N_2} = 28$ को रखने पर:
$\frac{v_{He}}{v_{N_2}} = \sqrt{\left(\frac{5/3}{4}\right) \cdot \left(\frac{28}{7/5}\right)} = \sqrt{\frac{5}{12} \cdot 20} = \sqrt{\frac{100}{12}} = \sqrt{\frac{25}{3}} = \frac{5}{\sqrt{3}}$।

(B) सही विकल्प $B$ है।
अवधारणा: पथ अंतर $(x)$ और कलांतर $(\phi)$ के बीच का संबंध इस प्रकार है:
$\phi = \frac{2 \pi x}{\lambda}$
जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है।
इससे, हम तरंगदैर्ध्य को $\lambda = \frac{2 \pi x}{\phi}$ के रूप में लिख सकते हैं।
तरंग का वेग $v = \lambda f$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $f$ आवृत्ति है।
वेग के समीकरण में $\lambda$ का मान रखने पर:
$v = (\frac{2 \pi x}{\phi}) f$
आवृत्ति $f$ के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$f = \frac{v \phi}{2 \pi x}$
दिए गए मान: $x = 0.54 \, m$, $\phi = 1.8 \pi$, और $v = 330 \, m/s$।
इन मानों को रखने पर:
$f = \frac{330 \times 1.8 \pi}{2 \pi \times 0.54}$
$f = \frac{330 \times 1.8}{2 \times 0.54}$
$f = \frac{594}{1.08} = 550 \, Hz$.

(A) गैसीय माध्यम में ध्वनि की गति का सूत्र $v = \sqrt{\frac{\gamma R T}{M}}$ है,जहाँ $\gamma$ एडियाबेटिक सूचकांक है,$R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ निरपेक्ष तापमान है और $M$ गैस का आण्विक द्रव्यमान है।
चूँकि दोनों गैसें एकपरमाणुक हैं,इसलिए $\gamma$ का मान दोनों के लिए समान $(\gamma = 5/3)$ होगा।
चूँकि दोनों गैसें समान तापमान $T$ पर हैं,इसलिए $\gamma, R$ और $T$ स्थिर हैं।
अतः,ध्वनि की गति आण्विक द्रव्यमान के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $v \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$।
इस प्रकार,गैस $A$ और $B$ में ध्वनि की गति का अनुपात $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{m_2}{m_1}}$ होगा।

(C) गैस में ध्वनि की गति $v$ का सूत्र $v = \sqrt{\frac{\gamma R T}{M}}$ है।
चूंकि किसी दी गई गैस के लिए $\gamma$,$R$ और $M$ स्थिर हैं,इसलिए ध्वनि की गति निरपेक्ष तापमान के वर्गमूल के समानुपाती होती है: $v \propto \sqrt{T}$।
मान लीजिए $N.T.P.$ $(T = 273 \ K)$ पर गति $v$ है और तापमान $T'$ पर गति $v'$ है।
दिया गया है कि $v' = 1.5 v$,इसलिए:
$\frac{v'}{v} = \sqrt{\frac{T'}{T}} = 1.5$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{T'}{T} = (1.5)^2 = 2.25$।
$T' = 2.25 \times 273 \ K = 614.25 \ K$।
इस तापमान को डिग्री सेल्सियस में बदलने पर:
$T(^{\circ} C) = T(K) - 273 = 614.25 - 273 = 341.25^{\circ} C$।
अतः,तापमान लगभग $341^{\circ} C$ है।

(A) आदर्श गैस में ध्वनि का वेग $V = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
चूंकि दोनों गैसों के लिए तापमान $T$ समान है,इसलिए हाइड्रोजन $(V_H)$ और हीलियम $(V_{He})$ में ध्वनि के वेग का अनुपात इस प्रकार है:
$\frac{V_H}{V_{He}} = \sqrt{\frac{\gamma_H}{\gamma_{He}} \cdot \frac{M_{He}}{M_H}}$
दिए गए मान $\gamma_H = \frac{7}{5}$,$\gamma_{He} = \frac{5}{3}$,$M_H = 2$,और $M_{He} = 4$ रखने पर:
$\frac{V_H}{V_{He}} = \sqrt{\left(\frac{7/5}{5/3}\right) \cdot \left(\frac{4}{2}\right)}$
$\frac{V_H}{V_{He}} = \sqrt{\left(\frac{7}{5} \cdot \frac{3}{5}\right) \cdot 2} = \sqrt{\frac{21}{25} \cdot 2} = \sqrt{\frac{42}{25}} = \frac{\sqrt{42}}{5}$.

(B) गैस में ध्वनि की चाल $v$ का सूत्र $v = \sqrt{\frac{B}{\rho}}$ है,जहाँ $B$ बल्क मॉडुलस (प्रत्यास्थता) है और $\rho$ गैस का घनत्व है।
चूँकि ध्वनि की चाल $v = f \lambda$ होती है,जहाँ $f$ आवृत्ति है और $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है,इसलिए $\lambda = \frac{v}{f} = \frac{1}{f} \sqrt{\frac{B}{\rho}}$ प्राप्त होता है।
अतः,तरंगदैर्ध्य $\lambda$ ध्वनि स्रोत की आवृत्ति और माध्यम के भौतिक गुणों (घनत्व और प्रत्यास्थता) पर निर्भर करती है।
दिए गए विकल्पों में से,गैस का घनत्व और प्रत्यास्थता माध्यम के वे मूलभूत गुण हैं जो ध्वनि की चाल निर्धारित करते हैं,जो सीधे तरंगदैर्ध्य को प्रभावित करते हैं।

(A) एक आदर्श गैस में ध्वनि की गति $v$ का सूत्र $v = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}$ है,जहाँ $P$ दबाव है और $\rho$ गैस का घनत्व है।
हम जानते हैं कि घनत्व $\rho = \frac{m}{V}$ और आदर्श गैस के लिए $PV = nRT$ होता है,इसलिए $\rho = \frac{PM}{RT}$ होता है,जहाँ $M$ मोलर द्रव्यमान है।
इस मान को गति के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $v = \sqrt{\frac{\gamma P}{PM/RT}} = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ प्राप्त होता है।
इस अंतिम समीकरण से स्पष्ट है कि ध्वनि की गति केवल तापमान $T$ और गैस की प्रकृति (मोलर द्रव्यमान $M$ और एडियाबेटिक इंडेक्स $\gamma$) पर निर्भर करती है।
इसलिए,स्थिर तापमान पर,ध्वनि की गति दबाव से स्वतंत्र होती है। यदि दबाव दोगुना कर दिया जाए,तो भी ध्वनि की गति समान ही रहती है।

(D) $N.T.P$ पर, तापमान $T_0 = 273 \,K$ है। ध्वनि का वेग $v_0 = f \lambda_0 = 220 \,Hz \times 1.5 \,m = 330 \,m/s$ द्वारा प्राप्त होता है।
जब तापमान बढ़कर $27^{\circ} C$ हो जाता है, तो नया तापमान $T = 273 + 27 = 300 \,K$ होता है।
हवा में ध्वनि का वेग परम तापमान के वर्गमूल के समानुपाती होता है: $\frac{v}{v_0} = \sqrt{\frac{T}{T_0}}$.
मान रखने पर: $v = 330 \times \sqrt{\frac{300}{273}} = 330 \times 1.05 = 346.5 \,m/s$.
नया तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{v}{f} = \frac{346.5}{220} = 1.575 \,m$ प्राप्त होता है।
तरंगदैर्ध्य में वृद्धि $\Delta \lambda = \lambda - \lambda_0 = 1.575 \,m - 1.5 \,m = 0.075 \,m$ है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $0.07 \,m$ है।

(D) ध्वनि तरंगें यांत्रिक तरंगें होती हैं जो किसी माध्यम से होकर गुजरती हैं। जैसे-जैसे वे चलती हैं,वे माध्यम के कणों को दोलन कराती हैं,जिससे एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक ऊर्जा का स्थानांतरण होता है। चूंकि इन तरंगों में द्रव्यमान वाले कणों की गति शामिल होती है,इसलिए वे संवेग भी ले जाती हैं। अतः,ध्वनि तरंगें ऊर्जा और संवेग दोनों का स्थानांतरण करती हैं।

(C) आदर्श गैस में ध्वनि का वेग $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\gamma$ रुद्धोष्म सूचकांक है,$R$ गैस नियतांक है,$T$ तापमान है और $M$ मोलर द्रव्यमान है।
चूंकि दोनों गैसों के लिए तापमान $T$ समान है,इसलिए वेगों का अनुपात $\frac{v_{H_2}}{v_{He}} = \sqrt{\frac{\gamma_{H_2} M_{He}}{\gamma_{He} M_{H_2}}}$ होगा।
हाइड्रोजन $(H_2)$ के लिए,$M_{H_2} = 2 \times 10^{-3} \ kg/mol$ और $\gamma_{H_2} = \frac{7}{5}$।
हीलियम $(He)$ के लिए,$M_{He} = 4 \times 10^{-3} \ kg/mol$ और $\gamma_{He} = \frac{5}{3}$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{v_{H_2}}{v_{He}} = \sqrt{\frac{(7/5) \times 4}{(5/3) \times 2}} = \sqrt{\frac{7}{5} \times \frac{3}{5} \times \frac{4}{2}} = \sqrt{\frac{7 \times 3 \times 2}{5 \times 5}} = \sqrt{\frac{42}{25}} = \frac{\sqrt{42}}{5}$।

(A) जब एक अनुदैर्ध्य तरंग किसी माध्यम (ठोस,द्रव या गैस) से होकर गुजरती है,तो माध्यम के कण तरंग के संचरण की दिशा में ही अपनी माध्य स्थिति के इर्द-गिर्द दोलन करते हैं।
किसी भी क्षण,ऐसे क्षेत्र होते हैं जहाँ कण एक-दूसरे के करीब होते हैं,जिसके परिणामस्वरूप घनत्व अधिक होता है,जिसे संपीड़न (compressions) कहा जाता है।
इसके विपरीत,ऐसे क्षेत्र होते हैं जहाँ कण एक-दूसरे से दूर होते हैं,जिसके परिणामस्वरूप घनत्व कम होता है,जिसे विरलन (rarefactions) कहा जाता है।
इसलिए,अनुदैर्ध्य तरंग के संचरण के दौरान माध्यम का घनत्व समय-समय पर बदलता रहता है।

(A) विभिन्न माध्यमों में तरंगों की गति माध्यम के लोचदार गुणों और घनत्व द्वारा निर्धारित की जाती है।
$(a)$ ठोस (जैसे स्टील की छड़) में अनुप्रस्थ तरंग के लिए, गति $v = \sqrt{\frac{\eta}{\rho}}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $\eta$ कर्तन मापांक (shear modulus) है और $\rho$ घनत्व है। अतः, $(a) - (ii)$.
$(b)$ थोक ठोस (जैसे पृथ्वी की पपड़ी) में अनुदैर्ध्य तरंगों के लिए, गति बल्क मापांक $B$ और कर्तन मापांक $\eta$ दोनों पर निर्भर करती है: $v = \sqrt{\frac{B + \frac{4}{3}\eta}{\rho}}$। अतः, $(b) - (i)$.
$(c)$ पतली छड़ में अनुदैर्ध्य तरंगों के लिए, गति $v = \sqrt{\frac{Y}{\rho}}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $Y$ यंग मापांक है। अतः, $(c) - (iv)$.
$(d)$ लहरें तरल पदार्थों की सतह पर तरंगें हैं जहाँ पृष्ठ तनाव $T$ पुनर्स्थापक बल है। गति $v = \sqrt{\frac{2 \pi T}{g \lambda}}$ द्वारा दी जाती है। अतः, $(d) - (iii)$.
इसलिए, सही मिलान $(a) - (ii), (b) - (i), (c) - (iv), (d) - (iii)$ है।

(C) मान लीजिए कि अवलोकन बिंदु से भूकंप के केंद्र की दूरी $d$ है।
$S$-तरंग की गति, $v_S = 4.5 \,km/s$.
$P$-तरंग की गति, $v_P = 8.0 \,km/s$.
चूंकि दोनों तरंगों के लिए दूरी $d$ समान है, इसलिए $d = v_P t_P = v_S t_S$.
अतः, $8.0 t_P = 4.5 t_S$, जिससे $t_P = \frac{4.5}{8.0} t_S \quad \dots (i)$ प्राप्त होता है।
पहली $P$-तरंग पहली $S$-तरंग से $3.5 \,min$ पहले पहुँचती है, इसलिए $t_S - t_P = 3.5 \,min = 3.5 \times 60 \,s = 210 \,s \quad \dots (ii)$.
समीकरण $(i)$ को $(ii)$ में रखने पर:
$t_S - \frac{4.5}{8.0} t_S = 210$
$\frac{8.0 t_S - 4.5 t_S}{8.0} = 210$
$\frac{3.5 t_S}{8.0} = 210$
$t_S = \frac{210 \times 8.0}{3.5} = 480 \,s$.
अब, दूरी $d = v_S t_S = 4.5 \,km/s \times 480 \,s = 2160 \,km$।

(A) गैस का मोलर द्रव्यमान $M = 22.4 \times 10^{-3} \ kg/mol$ है।
विशिष्ट ऊष्मा अनुपात $\gamma = 1.6$ है।
$STP$ पर,दबाव $P = 1.013 \times 10^5 \ Pa$ और मोलर आयतन $V_m = 22.4 \times 10^{-3} \ m^3/mol$ है।
आदर्श गैस में ध्वनि की गति का सूत्र $v = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}$ है।
चूंकि घनत्व $\rho = \frac{M}{V_m}$,हम लिख सकते हैं $v = \sqrt{\frac{\gamma P V_m}{M}}$.
मान रखने पर: $v = \sqrt{\frac{1.6 \times 1.013 \times 10^5 \times 22.4 \times 10^{-3}}{22.4 \times 10^{-3}}}$.
$v = \sqrt{1.6 \times 1.013 \times 10^5} = \sqrt{1.6208 \times 10^5} \approx \sqrt{162080} \approx 402.59 \ m/s$.
अतः,ध्वनि की गति लगभग $402 \ m/s$ है।

(A) हवा में ध्वनि की गति माध्यम के तापमान पर निर्भर करती है। लगभग $20^{\circ} \text{C}$ के कमरे के तापमान पर शुष्क हवा के लिए,ध्वनि की गति लगभग $343 \text{ m s}^{-1}$ होती है।
यह मान लगभग $3.4 \times 10^2 \text{ m s}^{-1}$ के बराबर है।

(B) ऑक्सीजन $(O_2)$ के लिए:
मोलर द्रव्यमान,$M_1 = 32 \,g/mol$.
विशिष्ट ऊष्मा अनुपात,$\gamma_1 = C_p / C_V = 7/5$ (द्वि-परमाणुक गैस के लिए)।
ध्वनि की गति,$v_1 = 460 \,ms^{-1}$।
हीलियम $(He)$ के लिए:
मोलर द्रव्यमान,$M_2 = 4 \,g/mol$.
विशिष्ट ऊष्मा अनुपात,$\gamma_2 = C_p / C_V = 5/3$ (एक-परमाणुक गैस के लिए)।
आदर्श गैस में ध्वनि की गति का सूत्र $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ है।
गति का अनुपात लेने पर: $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{\gamma_2}{\gamma_1} \cdot \frac{M_1}{M_2}} = \sqrt{\frac{5/3}{7/5} \cdot \frac{32}{4}} = \sqrt{\frac{25}{21} \cdot 8} = \sqrt{\frac{200}{21}} \approx 3.085$।
अतः,$v_2 = 460 \times 3.085 \approx 1420 \,ms^{-1}$।

(C) वायु में ध्वनि की चाल का सूत्र $v = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}$ है,जहाँ $\gamma$ रुद्धोष्म सूचकांक है,$P$ दाब है और $\rho$ वायु का घनत्व है।
चूँकि समान तापमान और दाब पर जल वाष्प का घनत्व शुष्क वायु के घनत्व से कम होता है,इसलिए नमी (आर्द्रता) की उपस्थिति वायु के प्रभावी घनत्व $\rho$ को कम कर देती है।
चूँकि ध्वनि की चाल $v$ घनत्व के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है $(v \propto \frac{1}{\sqrt{\rho}})$,इसलिए घनत्व में कमी होने से ध्वनि की चाल में वृद्धि होती है।
अतः,वायु में आर्द्रता बढ़ने के साथ ध्वनि की चाल बढ़ती है।

(B) हवा में ध्वनि की गति परम तापमान ($T$ केल्विन में) के वर्गमूल के सीधे आनुपातिक होती है।
गणितीय रूप से,$v \propto \sqrt{T}$।
मान लीजिए $T_1 = 0^{\circ}C = 273 \ K$ पर वेग $v_1$ है।
मान लीजिए $T_2$ तापमान पर वेग $v_2$ है।
दिया गया है कि वेग में $10\%$ की वृद्धि होती है,इसलिए $v_2 = v_1 + 0.10v_1 = 1.1v_1 = \frac{11}{10}v_1$।
अनुपात सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$।
मान रखने पर: $\frac{v_1}{1.1v_1} = \sqrt{\frac{273}{T_2}}$।
$\frac{1}{1.1} = \sqrt{\frac{273}{T_2}} \Rightarrow \frac{1}{1.21} = \frac{273}{T_2}$।
$T_2 = 273 \times 1.21 = 330.33 \ K$।
सेल्सियस में बदलने पर: $T_2(^{\circ}C) = 330.33 - 273 = 57.33^{\circ}C \approx 57^{\circ}C$।

(C) तरल में ध्वनि की गति का सूत्र $v = \sqrt{\frac{1}{K \rho}}$ है, जहाँ $K$ संपीड्यता है और $\rho$ माध्यम का घनत्व है。
दिया गया है: $K = 4.84 \times 10^{-10} \,m^2 \,N^{-1}$, $\rho = 1024 \,kg \,m^{-3}$.
मान रखने पर: $v = \sqrt{\frac{1}{4.84 \times 10^{-10} \times 1024}} = \sqrt{\frac{1}{4956.16 \times 10^{-10}}} = \sqrt{\frac{10^{10}}{4956.16}} \approx \sqrt{2017700} \approx 1420.46 \,m/s$.
गूँज के लिए कुल समय $t = 3.52 \,s$ है। ध्वनि को तल तक पहुँचने में लगा समय $t' = \frac{t}{2} = \frac{3.52}{2} = 1.76 \,s$ है。
गहराई $d$ का मान $d = v \times t' = 1420.46 \times 1.76 \approx 2500 \,m = 2.5 \,km$ है।

(D) $SONAR$ का अर्थ Sound Navigation and Ranging है। यह अल्ट्रासोनिक तरंगों को उत्सर्जित करके काम करता है जो पानी के माध्यम से यात्रा करती हैं,किसी वस्तु से टकराती हैं और रिसीवर पर वापस परावर्तित हो जाती हैं। गूँज (echo) को वापस आने में लगने वाले समय को मापकर,वस्तु की दूरी की गणना की जा सकती है। इसलिए,उपयोग किया जाने वाला सिद्धांत अल्ट्रासोनिक तरंगों का परावर्तन है।

(B) अनुप्रस्थ तरंग वह तरंग है जिसमें माध्यम के कण तरंग संचरण की दिशा के लंबवत दिशा में कंपन करते हैं।
प्रकाश तरंगें,वायलिन के तार पर तरंगें और जल तरंगें अनुप्रस्थ तरंगों के उदाहरण हैं क्योंकि उनके कणों का कंपन तरंग की गति की दिशा के लंबवत होता है।
ध्वनि तरंगें अनुदैर्ध्य तरंगें होती हैं क्योंकि माध्यम के कण तरंग संचरण की दिशा के समानांतर कंपन करते हैं।
इसलिए,ध्वनि तरंगें अनुप्रस्थ तरंगें नहीं हैं।

(C) एडियाबेटिक प्रक्रिया के लिए,तापमान $T$ और दबाव $p$ के बीच संबंध $T^\gamma p^{1-\gamma} = \text{constant}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\gamma \ln T + (1-\gamma) \ln p = \text{constant}$.
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर: $\gamma \frac{\Delta T}{T} + (1-\gamma) \frac{\Delta p}{p} = 0$.
$\Delta T$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{\Delta T}{T} = \frac{\gamma - 1}{\gamma} \frac{\Delta p}{p}$.
दिया गया है: $T = 273 \ K$ ($NTP$ पर),$\gamma = 1.5$,$\Delta p = 0.001 \ dyne/cm^2$,$p = 1.013 \times 10^6 \ dyne/cm^2$.
मान रखने पर: $\Delta T = 273 \times \left( \frac{1.5 - 1}{1.5} \right) \times \frac{0.001}{1.013 \times 10^6}$.
$\Delta T = 273 \times \frac{0.5}{1.5} \times \frac{10^{-3}}{1.013 \times 10^6} = 273 \times \frac{1}{3} \times 0.987 \times 10^{-9} \approx 8.97 \times 10^{-8} \ K$.