Sound Waves (Longitudinal wave) and it’s Characteristics (Speed etc.) Questions in Hindi

(C) एडियाबेटिक प्रक्रिया के लिए,तापमान $T$ और दबाव $p$ के बीच संबंध $T^\gamma p^{1-\gamma} = \text{constant}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\gamma \ln T + (1-\gamma) \ln p = \text{constant}$.
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर: $\gamma \frac{\Delta T}{T} + (1-\gamma) \frac{\Delta p}{p} = 0$.
$\Delta T$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{\Delta T}{T} = \frac{\gamma - 1}{\gamma} \frac{\Delta p}{p}$.
दिया गया है: $T = 273 \ K$ ($NTP$ पर),$\gamma = 1.5$,$\Delta p = 0.001 \ dyne/cm^2$,$p = 1.013 \times 10^6 \ dyne/cm^2$.
मान रखने पर: $\Delta T = 273 \times \left( \frac{1.5 - 1}{1.5} \right) \times \frac{0.001}{1.013 \times 10^6}$.
$\Delta T = 273 \times \frac{0.5}{1.5} \times \frac{10^{-3}}{1.013 \times 10^6} = 273 \times \frac{1}{3} \times 0.987 \times 10^{-9} \approx 8.97 \times 10^{-8} \ K$.

(C) कार की गति $v_c = 72 \,km/h = 72 \times \frac{5}{18} = 20 \,m/s$ है।
$t = 10 \,s$ में,कार द्वारा तय की गई दूरी $d_c = v_c \times t = 20 \times 10 = 200 \,m$ है।
प्रारंभ में,कार पहाड़ी से $1800 \,m$ की दूरी पर है। $10 \,s$ बाद,कार पहाड़ी की ओर $200 \,m$ आगे बढ़ जाती है,इसलिए पहाड़ी से उसकी नई दूरी $1800 - 200 = 1600 \,m$ है।
ध्वनि कार से पहाड़ी तक $(1800 \,m)$ जाती है और फिर परावर्तित होकर कार की नई स्थिति $(1600 \,m)$ तक वापस आती है।
ध्वनि द्वारा तय की गई कुल दूरी $D = 1800 \,m + 1600 \,m = 3400 \,m$ है।
चूंकि लिया गया समय $10 \,s$ है,इसलिए ध्वनि की गति $v_s = \frac{D}{t} = \frac{3400}{10} = 340 \,m/s$ है।

(C) आदर्श गैस में ध्वनि की चाल का सूत्र $v = \sqrt{\frac{\gamma R T}{M}}$ होता है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि ध्वनि की चाल $v$,दाब $p$ से स्वतंत्र होती है और परम तापमान $T$ के वर्गमूल के सीधे समानुपाती होती है,अर्थात $v \propto \sqrt{T}$।
दी गई प्रारंभिक स्थितियाँ: $T_1 = T$ और $v_1 = v$।
दी गई अंतिम स्थितियाँ: $T_2 = 2 T$ और $p_2 = \frac{p}{2}$।
चूंकि ध्वनि की चाल दाब से स्वतंत्र है,इसलिए दाब में परिवर्तन चाल को प्रभावित नहीं करता है।
$v \propto \sqrt{T}$ के समानुपात का उपयोग करते हुए:
$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$
$\frac{v_2}{v} = \sqrt{\frac{2 T}{T}} = \sqrt{2}$
अतः,$v_2 = \sqrt{2} v$।

(C) दिया गया है: पथ अंतर $\Delta x = 50 \ cm = 0.5 \ m$,कलांतर $\Delta \phi = 1.8 \pi$,ध्वनि की गति $v = 340 \ ms^{-1}$।
हम जानते हैं कि पथ अंतर और कलांतर के बीच का संबंध $\Delta x = \frac{\lambda}{2 \pi} \cdot \Delta \phi$ है।
मान रखने पर: $0.5 = \frac{\lambda}{2 \pi} \times 1.8 \pi$.
$0.5 = \lambda \times 0.9 \Rightarrow \lambda = \frac{0.5}{0.9} = \frac{5}{9} \ m$.
आवृत्ति $f$ का मान $f = \frac{v}{\lambda}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$f = \frac{340}{5/9} = \frac{340 \times 9}{5} = 68 \times 9 = 612 \ Hz$.

(C) ध्वनि तरंग की आवृत्ति उसे उत्पन्न करने वाले स्रोत का एक अभिलक्षणिक गुण है।
जब कोई तरंग एक माध्यम से दूसरे माध्यम (जैसे हवा से पानी) में जाती है,तो उसकी गति और तरंगदैर्ध्य बदल जाती है,लेकिन उसकी आवृत्ति स्थिर रहती है।
इसलिए,जलाशय के तल पर तरंग की आवृत्ति $v \text{ Hz}$ ही रहेगी।

(C) आदर्श गैस में ध्वनि का वेग $v = \sqrt{\frac{\gamma R T}{M}} = \sqrt{\frac{\gamma p}{\rho}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$(i)$ $v = \sqrt{\frac{\gamma R T}{M}}$ संबंध से,यह स्पष्ट है कि ध्वनि का वेग निरपेक्ष तापमान के वर्गमूल के समानुपाती होता है,अर्थात $v \propto \sqrt{T}$।
(ii) $v = \sqrt{\frac{\gamma p}{\rho}}$ संबंध से,यदि घनत्व $\rho$ को स्थिर रखा जाए,तो ध्वनि का वेग दबाव $p$ के वर्गमूल के समानुपाती होता है,अर्थात $v \propto \sqrt{p}$।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,व्युत्पन्न संबंधों के आधार पर $B$ और $C$ दोनों भौतिक रूप से सही कथन हैं।

(B) आदर्श गैस में ध्वनि का वेग $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\gamma$ एडियाबेटिक इंडेक्स है,$R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ केल्विन में परम तापमान है और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
ध्यान दें कि आदर्श गैस के लिए ध्वनि का वेग दाब पर निर्भर नहीं करता है।
दिया गया है:
$T_1 = 273 + 20 = 293 \text{ K}$
$T_2 = 273 + 40 = 313 \text{ K}$
$v_1 = 344.2 \text{ m/s}$
अनुपात का उपयोग करते हुए:
$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$
$v_2 = v_1 \sqrt{\frac{313}{293}}$
$v_2 = 344.2 \times \sqrt{1.06826}$
$v_2 \approx 344.2 \times 1.03356$
$v_2 \approx 355.75 \text{ m/s} \approx 356 \text{ m/s}$.

(D) धात्विक छड़ में अनुदैर्ध्य तरंग की गति का सूत्र $V = \sqrt{\frac{Y}{\rho}}$ है,जहाँ $Y$ यंग मापांक है और $\rho$ घनत्व है।
लघुगणकीय अवकलन लेने पर,हमें $\frac{\Delta V}{V} = \frac{1}{2} \frac{\Delta Y}{Y} - \frac{1}{2} \frac{\Delta \rho}{\rho}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\frac{\Delta Y}{Y} \times 100 = 1\%$ और $\frac{\Delta \rho}{\rho} \times 100 = 0.5\%$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,गति में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{\Delta V}{V} \times 100 = \frac{1}{2}(1\%) - \frac{1}{2}(0.5\%) = 0.5\% - 0.25\% = 0.25\%$ है।
गति में परिवर्तन $\Delta V = \frac{0.25}{100} \times 400 \ m/s = 1 \ m/s$.
अंतिम गति $V_{final} = V + \Delta V = 400 + 1 = 401 \ m/s$ होगी।

(C) आदर्श गैस में ध्वनि का वेग $V = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $\gamma$,$R$,और $M$ स्थिर हैं,इसलिए $V \propto \sqrt{T}$,जहाँ $T$ केल्विन में परम तापमान है।
दिया गया है कि वेग दोगुना हो जाता है,यदि $T_1 = 0^{\circ} C = 273 \ K$ पर $V_1 = V_0$ है,तो $T_2 = (\alpha + 273) \ K$ पर $V_2 = 2V_0$ होगा।
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{V_1}{V_2} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$.
मान रखने पर: $\frac{V_0}{2V_0} = \sqrt{\frac{273}{T_2}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{1}{4} = \frac{273}{T_2}$.
अतः,$T_2 = 4 \times 273 = 1092 \ K$.
चूंकि $T_2 = \alpha + 273$,इसलिए $\alpha = 1092 - 273 = 819^{\circ} C$.