Sound Waves (Longitudinal wave) and it’s Characteristics (Speed etc.) Questions in Hindi

(B) ध्वनि तरंगें यांत्रिक तरंगें होती हैं जिन्हें संचरण के लिए एक माध्यम की आवश्यकता होती है। हवा में,माध्यम के कण तरंग संचरण की दिशा में ही आगे-पीछे दोलन करते हैं। तरंग गति का यह प्रकार,जिसमें माध्यम का विस्थापन तरंग के संचरण की दिशा के समानांतर होता है,उसे अनुदैर्ध्य तरंग के रूप में परिभाषित किया जाता है। इसलिए,हवा में ध्वनि तरंगें अनुदैर्ध्य होती हैं।

(D) गैस जैसे माध्यम में यात्रा करने वाली ध्वनि तरंगें अनुदैर्ध्य तरंगें (longitudinal waves) होती हैं क्योंकि माध्यम के कण तरंग प्रसार की दिशा के समानांतर दोलन करते हैं।
इसके विपरीत,$X$-किरणें,$\gamma$-किरणें और दृश्य प्रकाश जैसी विद्युत चुम्बकीय तरंगें अनुप्रस्थ तरंगें होती हैं क्योंकि उनके विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र सदिश तरंग प्रसार की दिशा के लंबवत दोलन करते हैं।

(D) ध्वनि तरंगें प्रकृति में अनुदैर्ध्य (longitudinal) होती हैं,जिसका अर्थ है कि माध्यम के कण तरंग प्रसार की दिशा के समानांतर दोलन करते हैं।
ध्रुवण (Polarisation) केवल अनुप्रस्थ (transverse) तरंगों का एक गुण है,जहाँ कणों का दोलन तरंग प्रसार की दिशा के लंबवत होता है।
चूंकि ध्वनि तरंगों में अनुप्रस्थ घटक नहीं होते हैं,इसलिए उन्हें ध्रुवित नहीं किया जा सकता है।
अतः,सही उत्तर $(d)$ ध्रुवण है।

(B) जब हवाई जहाज $supersonic$ (सुपरसोनिक) गति प्राप्त करता है,तो तरंगें गति के पथ पर जमा हो जाती हैं और शृंग (crests) एक-दूसरे के ऊपर अध्यारोपित होकर $high-amplitude$ (उच्च आयाम) वाली ध्वनि तरंग बनाती हैं,जिसे शॉक वेव (आघात तरंग) कहा जाता है।
यह शॉक वेव बड़ी मात्रा में ऊर्जा ले जाती है और विमान के गुजर जाने के बाद जमीन पर मौजूद प्रेक्षक को यह एक तेज धमाके (सोनिक बूम) के रूप में सुनाई देती है।

(B) . अल्ट्रासोनिक तरंगें वे ध्वनि तरंगें हैं जिनकी आवृत्ति मानव श्रव्य सीमा से अधिक होती है,जो $20,000 \, Hz$ है। चूंकि मानव श्रव्य सीमा $20 \, Hz$ से $20,000 \, Hz$ तक होती है,इसलिए मनुष्य अल्ट्रासोनिक तरंगों को नहीं सुन सकते हैं।

(B) ध्वनि एक यांत्रिक तरंग है जिसे एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक यात्रा करने के लिए एक भौतिक माध्यम (जैसे ठोस,तरल या गैस) की आवश्यकता होती है।
ऐसा इसलिए है क्योंकि ध्वनि माध्यम में परमाणुओं और अणुओं के कंपन के माध्यम से प्रसारित होती है।
चंद्रमा और पृथ्वी के बीच की जगह निर्वात (vacuum) है,जिसका अर्थ है कि वहां कोई भौतिक माध्यम मौजूद नहीं है।
इसलिए,चंद्रमा पर विस्फोट से उत्पन्न ध्वनि तरंगें पृथ्वी तक पहुंचने के लिए अंतरिक्ष के निर्वात से यात्रा नहीं कर सकती हैं।

(D) ध्वनि की गति $v$ को $v = f \lambda$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $f$ आवृत्ति है और $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है। चूंकि एक माध्यम में ध्वनि की गति स्थिर होती है,इसलिए आवृत्ति और तरंगदैर्ध्य एक-दूसरे के व्युत्क्रमानुपाती होते हैं $(f \propto 1/\lambda)$। श्रव्य ध्वनि की आवृत्ति $20 \,Hz$ से $20,000 \,Hz$ के बीच होती है। $20 \,Hz$ से कम आवृत्ति वाली तरंगों की तरंगदैर्ध्य श्रव्य ध्वनि की तुलना में अधिक होती है। इन्हें अवश्रव्य (इन्फ्रासोनिक) तरंगों के रूप में जाना जाता है। अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) $SONAR$ का अर्थ है Sound Navigation and Ranging.
यह ध्वनि तरंगों के परावर्तन के सिद्धांत पर कार्य करता है।
$SONAR$ पानी में अल्ट्रासोनिक तरंगें ($20,000 \ Hz$ से अधिक आवृत्ति वाली ध्वनि तरंगें) उत्सर्जित करता है।
ये तरंगें पानी में यात्रा करती हैं,किसी वस्तु से टकराती हैं और वापस परावर्तित होकर रिसीवर तक पहुँचती हैं,जिससे सिस्टम वस्तु की दूरी और स्थिति का पता लगा पाता है।

(D) आदर्श गैस में ध्वनि की गति $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $v_N = v_O$,हमें $\sqrt{\frac{\gamma_N R T_N}{M_N}} = \sqrt{\frac{\gamma_O R T_O}{M_O}}$ प्राप्त होता है।
द्वि-परमाणुक गैसों के लिए $\gamma_N = \gamma_O$ मानते हुए,हमें $\frac{T_N}{M_N} = \frac{T_O}{M_O}$ मिलता है,जिसका अर्थ है $\frac{T_N}{T_O} = \frac{M_N}{M_O}$।
घनत्व का अनुपात $\rho_N : \rho_O = 14:16$ दिया गया है,और स्थिर दबाव और तापमान पर घनत्व $\rho \propto M$ होने के कारण,$\frac{M_N}{M_O} = \frac{14}{16} = \frac{7}{8}$ होता है।
ऑक्सीजन का तापमान $T_O = 55^oC = 273 + 55 = 328 \, K$ है।
अतः,$T_N = T_O \times \frac{7}{8} = 328 \times \frac{7}{8} = 41 \times 7 = 287 \, K$।
सेल्सियस में बदलने पर: $T_N(^oC) = 287 - 273 = 14 \, ^oC$।

(A) ध्वनि तरंग की तीव्रता का सूत्र $I = 2\pi^2 \nu^2 A^2 \rho v$ है,जहाँ $\rho$ माध्यम का घनत्व है।
रात के समय वायुमंडल का तापमान कम हो जाता है,जिससे हवा का घनत्व $(\rho)$ बढ़ जाता है।
चूंकि तीव्रता $I$ माध्यम के घनत्व $\rho$ के सीधे समानुपाती होती है,इसलिए रात में ध्वनि की तीव्रता बढ़ जाती है।

(C) तरंग की आवृत्ति $n$ का सूत्र $n = \frac{v}{\lambda }$ है,जहाँ $v$ गति है और $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है।
दिया गया है: $v = 300 \ ms^{-1}$ और $\lambda = 0.60 \ cm = 0.60 \times 10^{-2} \ m$.
मान रखने पर: $n = \frac{300}{0.60 \times 10^{-2}} \ Hz$.
$n = \frac{300}{0.006} \ Hz = 50,000 \ Hz$.
चूंकि मनुष्यों के लिए श्रव्य सीमा $20 \ Hz$ से $20,000 \ Hz$ होती है,इसलिए $20,000 \ Hz$ से अधिक आवृत्ति वाली तरंग को पराश्रव्य (अल्ट्रासोनिक) तरंग के रूप में वर्गीकृत किया जाता है।
अतः,यह तरंग एक पराश्रव्य तरंग है।

(A) तरल पदार्थ में ध्वनि की गति $v$ का सूत्र $v = \sqrt{\frac{K}{\rho}}$ है,जहाँ $K$ बल्क मॉडुलस है और $\rho$ माध्यम का घनत्व है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $v^2 = \frac{K}{\rho}$ प्राप्त होता है।
$K$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$K = v^2 \rho$ प्राप्त होता है।
यहाँ $v = 1450 \, m/s$ और $\rho = 13.6 \times 10^3 \, kg/m^3$ दिया गया है।
मान रखने पर: $K = (1450)^2 \times (13.6 \times 10^3)$.
$K = 2102500 \times 13.6 \times 10^3$.
$K = 28594000 \times 10^3 = 2.8594 \times 10^{10} \, N/m^2$.
अतः,$K \approx 2.86 \times 10^{10} \, N/m^2$ होगा।

(D) $SONAR$ उपकरण एक अल्ट्रासोनिक सिग्नल भेजता है जो चट्टान तक जाता है और परावर्तित होकर रिसीवर तक वापस आता है।
मान लीजिए कि $SONAR$ उपकरण से चट्टान की गहराई $d$ है।
सिग्नल द्वारा तय की गई कुल दूरी $2d$ है (चट्टान तक जाने और वापस आने के लिए)।
दिया गया है:
अल्ट्रासाउंड का वेग $(v)$ = $1600 \, m/s$
कुल समय $(t)$ = $1 \, s$
सूत्र का उपयोग करते हुए: $\text{दूरी} = \text{वेग} \times \text{समय}$
$2d = v \times t$
$2d = 1600 \times 1$
$2d = 1600$
$d = \frac{1600}{2} = 800 \, m$.
अतः,चट्टान की गहराई $800 \, m$ है।

(A) जब एक ट्यूनिंग फोर्क कंपन करता है,तो फोर्क की भुजाएं आगे-पीछे गति करती हैं,जिससे आसपास के माध्यम में यांत्रिक कंपन उत्पन्न होते हैं।
ये कंपन हवा में अनुदैर्ध्य तरंगों के रूप में यात्रा करते हैं,जहाँ माध्यम के कण तरंग प्रसार की दिशा के समानांतर दोलन करते हैं।
इसलिए,एक कंपन करते हुए ट्यूनिंग फोर्क द्वारा उत्पन्न तरंगें अनुदैर्ध्य तरंगें होती हैं।

(D) हवा के माध्यम से यात्रा करने वाली ध्वनि तरंगें यांत्रिक तरंगें होती हैं जहाँ माध्यम के कण तरंग प्रसार की दिशा के समानांतर दोलन करते हैं। इसलिए,वे अनुदैर्ध्य (longitudinal) तरंगें हैं। चूँकि ध्वनि स्रोत (सिटार) से श्रोता तक माध्यम (हवा) के माध्यम से यात्रा करती है और हवा में स्थिर तरंग पैटर्न बनाने के लिए वापस परावर्तित नहीं होती है,इसलिए यह एक प्रगामी (progressive) तरंग है। अतः,हवा द्वारा ले जाई जाने वाली ध्वनि एक अनुदैर्ध्य प्रगामी तरंग है।

(B) सही उत्तर $B$ है।
कुंड की नली (Kundt's tube) एक प्रायोगिक उपकरण है जिसका उपयोग गैस या ठोस छड़ में ध्वनि की गति को मापने के लिए किया जाता है।
इस प्रयोग में,एक कंपन स्रोत का उपयोग करके गैस के स्तंभ (या छड़) में अनुदैर्ध्य अप्रगामी तरंगें उत्पन्न की जाती हैं। निस्पंदों (nodes) के बीच की दूरी को मापकर और स्रोत की आवृत्ति को जानकर,$v = f \lambda$ संबंध का उपयोग करके ध्वनि के वेग की गणना की जा सकती है।
मेल्डे के उपकरण का उपयोग डोरी में अप्रगामी तरंगों का अध्ययन करने और ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति निर्धारित करने के लिए किया जाता है।
क्विंके की नली का उपयोग ध्वनि तरंगों के व्यतिकरण की घटना को प्रदर्शित करने के लिए किया जाता है।

(A) गैस में ध्वनि की चाल $v = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}$ द्वारा दी जाती है। यदि तापमान और दबाव स्थिर रहते हैं,तो $v \propto \frac{1}{\sqrt{\rho}}$.
माना हाइड्रोजन का घनत्व $\rho_{H_2} = \rho$ है। चूंकि ऑक्सीजन $16$ गुना भारी है,इसलिए $\rho_{O_2} = 16\rho$.
हाइड्रोजन और ऑक्सीजन के समान आयतन $V$ के लिए,मिश्रण का घनत्व $\rho_{mix} = \frac{m_{total}}{V_{total}} = \frac{\rho_{O_2}V + \rho_{H_2}V}{2V} = \frac{16\rho + \rho}{2} = 8.5\rho$.
मिश्रण में ध्वनि की चाल $(v_{mix})$ और हाइड्रोजन में ध्वनि की चाल $(v_{H_2})$ का अनुपात है:
$\frac{v_{mix}}{v_{H_2}} = \sqrt{\frac{\rho_{H_2}}{\rho_{mix}}} = \sqrt{\frac{\rho}{8.5\rho}} = \sqrt{\frac{1}{8.5}} = \sqrt{\frac{2}{17}}$.

(D) सही उत्तर $(d)$ है।
ध्वनि एक यांत्रिक तरंग है जिसे यात्रा करने के लिए एक भौतिक माध्यम (जैसे हवा,पानी या ठोस) की आवश्यकता होती है।
चंद्रमा पर कोई वायुमंडल नहीं है और यह अनिवार्य रूप से एक निर्वात (vacuum) है।
चूंकि विस्फोट स्थल से चंद्रमा की सतह पर मौजूद किसी व्यक्ति तक ध्वनि तरंगों के यात्रा करने के लिए कोई माध्यम नहीं है,इसलिए ध्वनि बिल्कुल भी सुनाई नहीं देगी।

(D) ध्रुवण केवल अनुप्रस्थ तरंगों (transverse waves) से संबंधित एक गुण है,जिसमें माध्यम के कणों या क्षेत्र सदिशों का दोलन तरंग संचरण की दिशा के लंबवत होता है।
रेडियो तरंगें,पराबैंगनी किरणें और अवरक्त किरणें सभी विद्युत चुम्बकीय तरंगें हैं,जो प्रकृति में अनुप्रस्थ होती हैं और इनका ध्रुवण किया जा सकता है।
पराश्रव्य तरंगें ध्वनि तरंगें हैं,जो प्रकृति में अनुदैर्ध्य (longitudinal) होती हैं।
अनुदैर्ध्य तरंगों में,दोलन तरंग संचरण की दिशा के अनुदिश होते हैं,जिससे उनका ध्रुवण करना असंभव हो जाता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) किसी दिए गए माध्यम में ध्वनि तरंग का वेग केवल माध्यम के गुणों (जैसे घनत्व,प्रत्यास्थता,तापमान,आदि) पर निर्भर करता है,न कि तरंग की आवृत्ति या तरंगदैर्ध्य पर।
चूंकि माध्यम समान रहता है,इसलिए आवृत्ति में परिवर्तन होने के बावजूद वेग $v$ स्थिर रहता है।
अतः,यदि आवृत्ति $n$ से बदलकर $4n$ हो जाती है,तो भी वेग $v$ ही रहेगा।

(C) आदर्श गैस में ध्वनि की गति का सूत्र $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ है,जहाँ $\gamma$ एडियाबेटिक इंडेक्स है,$R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ तापमान है और $M$ मोलर द्रव्यमान है।
नाइट्रोजन $(N_2)$ के लिए,जो एक द्वि-परमाणुक गैस है,$\gamma_{N_2} = \frac{7}{5}$ और $M_{N_2} = 28 \, g/mol$ है।
हीलियम $(He)$ के लिए,जो एक एक-परमाणुक गैस है,$\gamma_{He} = \frac{5}{3}$ और $M_{He} = 4 \, g/mol$ है।
समान तापमान पर नाइट्रोजन $(v_{N_2})$ और हीलियम $(v_{He})$ में ध्वनि की गति का अनुपात:
$\frac{v_{N_2}}{v_{He}} = \sqrt{\frac{\gamma_{N_2}}{\gamma_{He}} \cdot \frac{M_{He}}{M_{N_2}}}$
मान रखने पर:
$\frac{v_{N_2}}{v_{He}} = \sqrt{\frac{7/5}{5/3} \cdot \frac{4}{28}} = \sqrt{\frac{21}{25} \cdot \frac{1}{7}} = \sqrt{\frac{3}{25}} = \frac{\sqrt{3}}{5}$.

(C) प्रकाश तरंगें विद्युत चुम्बकीय तरंगें होती हैं और प्रकृति में अनुप्रस्थ (transverse) होती हैं,जिसका अर्थ है कि उनके घटक तरंग प्रसार की दिशा के लंबवत कंपन करते हैं। उन्हें यात्रा करने के लिए किसी माध्यम की आवश्यकता नहीं होती है।
ध्वनि तरंगें यांत्रिक तरंगें होती हैं और प्रकृति में अनुदैर्ध्य (longitudinal) होती हैं,जिसका अर्थ है कि माध्यम के कण तरंग प्रसार की दिशा के समानांतर कंपन करते हैं। उन्हें यात्रा करने के लिए एक भौतिक माध्यम की आवश्यकता होती है और वे निर्वात में संचरित नहीं हो सकती हैं।

(C) दिया गया है: $v_{\text{air}} = 350 \ m/s$,$v_{\text{brass}} = 3500 \ m/s$,और आवृत्ति $f = 700 \ Hz$.
जब ध्वनि तरंग एक माध्यम से दूसरे माध्यम में जाती है,तो उसकी आवृत्ति $f$ स्थिर रहती है।
संबंध $v = f \lambda$ का उपयोग करने पर,हमें मिलता है $\lambda = \frac{v}{f}$.
चूंकि $f$ स्थिर है,इसलिए तरंगदैर्ध्य $\lambda$ तरंग की गति $v$ के सीधे आनुपातिक है $(\lambda \propto v)$.
अतः,$\frac{\lambda_{\text{brass}}}{\lambda_{\text{air}}} = \frac{v_{\text{brass}}}{v_{\text{air}}}$.
मान रखने पर: $\frac{\lambda_{\text{brass}}}{\lambda_{\text{air}}} = \frac{3500}{350} = 10$.
इस प्रकार,$\lambda_{\text{brass}} = 10 \lambda_{\text{air}}$.
तरंगदैर्ध्य $10$ के गुणक से बढ़ जाती है।

(A) जब $L$ लंबाई की छड़ को कठोर फर्श पर लंबवत गिराया जाता है,तो यह दोनों सिरों पर मुक्त छड़ की तरह व्यवहार करती है (या प्रभाव के बिंदु पर स्थिर छड़ के रूप में,लेकिन इस तरह से टकराने वाली छड़ के लिए मौलिक कंपन आवृत्ति दोनों सिरों पर मुक्त छड़ की मौलिक आवृत्ति के अनुरूप होती है)।
$L$ लंबाई की छड़ के लिए मौलिक आवृत्ति $f$ का सूत्र $f = \frac{v}{2L}$ है,जहाँ $v$ छड़ में ध्वनि की गति है।
दिया गया है: $L = 1 \; m$ और $f = 1.2 \; kHz = 1200 \; Hz$।
$v$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $v = f \times 2L$।
मान रखने पर: $v = 1200 \; Hz \times 2 \times 1 \; m$।
$v = 2400 \; m/s$।

(C) मान लीजिए इंजन की गति $v \ m/s$ है।
इंजन और पहाड़ी के बीच की प्रारंभिक दूरी $d = 0.9 \ km = 900 \ m$ है।
$t = 5 \ s$ में,इंजन $d_{engine} = v \times t = 5v \ m$ की दूरी तय करता है।
जब प्रतिध्वनि सुनाई देती है,तो इंजन पहाड़ी के करीब आ गया होता है,इसलिए पहाड़ी से उसकी नई दूरी $(900 - 5v) \ m$ है।
ध्वनि द्वारा तय की गई कुल दूरी पहाड़ी तक की दूरी और पहाड़ी से इंजन की नई स्थिति तक की दूरी का योग है:
$D_{sound} = 900 + (900 - 5v) = 1800 - 5v$.
ध्वनि की गति $V_s = 330 \ m/s$ और लिया गया समय $t = 5 \ s$ दिया गया है,इसलिए ध्वनि द्वारा तय की गई दूरी $D_{sound} = V_s \times t = 330 \times 5 = 1650 \ m$ है।
दूरी के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$1800 - 5v = 1650$
$5v = 1800 - 1650$
$5v = 150$
$v = 30 \ m/s$.
अतः,इंजन की गति $30 \ m/s$ है।

(A) मान लीजिए कि पटाखे और नाव के बीच की दूरी $d$ है।
ध्वनि पानी में $u$ गति से और हवा में $v$ गति से यात्रा करती है।
ध्वनि को पानी के माध्यम से नाव तक पहुँचने में लगा समय $t_1 = \frac{d}{u}$ है।
ध्वनि को हवा के माध्यम से नाव तक पहुँचने में लगा समय $t_2 = \frac{d}{v}$ है।
यह दिया गया है कि दो ध्वनियों के बीच का समयांतराल $t$ है,इसलिए $t_2 - t_1 = t$ (चूंकि $v < u$,इसलिए $t_2 > t_1$)।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{d}{v} - \frac{d}{u} = t$।
$d$ को कॉमन लेने पर: $d \left( \frac{u - v}{uv} \right) = t$।
$d$ के लिए हल करने पर: $d = \frac{uvt}{u - v}$।

(C) माध्यम में ध्वनि पल्स की गति $v_s$ है। एक बार पल्स उत्सर्जित होने के बाद स्रोत की गति $v_1$ पल्स की गति को प्रभावित नहीं करती है।
प्रेक्षक $O$,$v_2$ की गति से स्रोत से दूर जा रहा है। इसलिए,प्रेक्षक के सापेक्ष ध्वनि पल्स का सापेक्ष वेग $v_{rel} = v_s - v_2$ होगा।
पल्स को प्रेक्षक तक पहुँचने के लिए $a$ दूरी तय करनी होगी। सापेक्ष वेग का उपयोग करते हुए: $t_1 = \frac{\text{दूरी}}{\text{सापेक्ष वेग}} = \frac{a}{v_s - v_2}$.

(A) जमीन के सापेक्ष ध्वनि का वेग,माध्यम के सापेक्ष ध्वनि के वेग और माध्यम के वेग का सदिश योग होता है।
चूंकि हवा स्रोत से प्रेक्षक की ओर बह रही है,इसलिए जमीन के सापेक्ष ध्वनि का प्रभावी वेग $v' = C + u$ होगा।
चूंकि स्रोत और प्रेक्षक दोनों स्थिर हैं,इसलिए प्रेक्षक द्वारा पता लगाई गई ध्वनि की आवृत्ति $f$ ही रहेगी।
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ दो क्रमिक शिखरों के बीच की दूरी है,जो प्रभावी तरंग गति और आवृत्ति के अनुपात द्वारा दी जाती है।
संबंध $v' = f \times \lambda$ का उपयोग करते हुए,हमें $C + u = f \lambda$ प्राप्त होता है।
इसलिए,प्रेक्षक द्वारा पता लगाई गई तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{C + u}{f}$ है।

(D) आदर्श गैस में ध्वनि का वेग $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\gamma$ एडियाबेटिक इंडेक्स है,$R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ परम तापमान है और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
$1$. चूँकि $v \propto \sqrt{T}$,इसलिए तापमान बढ़ने पर ध्वनि का वेग बढ़ता है। अतः,कथन $A$ और $B$ गलत हैं।
$2$. जैसे-जैसे आर्द्रता बढ़ती है,जल वाष्प की सांद्रता (जिसका मोलर द्रव्यमान शुष्क हवा से कम होता है) बढ़ती है,जिससे हवा के मिश्रण का प्रभावी मोलर द्रव्यमान $M$ कम हो जाता है। चूँकि $v \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$,इसलिए आर्द्रता बढ़ने के साथ ध्वनि का वेग बढ़ता है। अतः,कथन $C$ भी गलत है।
चूँकि कथन $A$,$B$ और $C$ तीनों गलत हैं,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(D) एक अनुदैर्ध्य तरंग में,विस्थापन $\xi = A \sin(kx - \omega t)$ द्वारा दिया जाता है। विकृति $\partial \xi / \partial x = Ak \cos(kx - \omega t)$ है।
संपीड़न क्षेत्र $(C)$ पर,विस्थापन प्रवणता $\partial \xi / \partial x$ अपने ऋणात्मक अधिकतम पर होती है,और विरलन क्षेत्र $(R)$ पर,यह अपने धनात्मक अधिकतम पर होती है। अतः,उनके परिमाण समान हैं: $|\partial \xi / \partial x|_C = |\partial \xi / \partial x|_R$.
$C$ और $R$ के बीच के मध्य बिंदु पर,विस्थापन प्रवणता शून्य होती है,जो संतुलन स्थिति को दर्शाती है। दबाव में परिवर्तन $\Delta P = -B (\partial \xi / \partial x)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $B$ बल्क मापांक है।
$C$ और $R$ के बीच दबाव का अंतर $2B |\partial \xi / \partial x|$ होता है।
इसलिए,सभी कथन सही हैं।

(B) एक अनुदैर्ध्य तरंग में,विस्थापन-स्थिति ग्राफ कणों के उनके माध्य स्थिति से विस्थापन को दर्शाता है।
संपीड़न वहां होता है जहां कणों का घनत्व अधिकतम होता है,जो उन बिंदुओं के अनुरूप होता है जहां विस्थापन-स्थिति ग्राफ का ढलान धनात्मक से ऋणात्मक में बदल जाता है (अर्थात,कण एक-दूसरे की ओर बढ़ रहे हैं)।
ऋणात्मक $x$-दिशा में यात्रा करने वाली तरंग के लिए,अधिकतम संपीड़न की शर्त यह है कि विस्थापन $y$ शून्य हो और ढलान $\frac{dy}{dx}$ धनात्मक हो।
ग्राफ को देखने पर,बिंदु $c$ पर,विस्थापन शून्य है और ढलान ऋणात्मक है।
बिंदु $g$ पर,विस्थापन शून्य है और ढलान धनात्मक है।
बिंदु $k$ पर,विस्थापन शून्य है और ढलान धनात्मक है।
इसलिए,बिंदु $g$ और $k$ अधिकतम संपीड़न के क्षेत्रों का प्रतिनिधित्व करते हैं।
चूंकि विकल्पों में केवल $k$ दिया गया है,इसलिए सही उत्तर $k$ है।

(C) एक अनुदैर्ध्य तरंग में,विस्थापन $y$,$x$-अक्ष के अनुदिश कणों के उनके माध्य स्थिति से विस्थापन को दर्शाता है।
विरलन उस क्षेत्र के अनुरूप है जहां कणों का घनत्व न्यूनतम होता है,जो उन बिंदुओं पर होता है जहां विस्थापन-स्थिति ग्राफ का ढलान शून्य होता है और विस्थापन ऋणात्मक से धनात्मक में बदल जाता है (अर्थात,माध्य स्थिति जहां कण एक-दूसरे से दूर जा रहे होते हैं)।
दिए गए विस्थापन-स्थिति ग्राफ में,बिंदु $c$ और $g$ माध्य स्थितियों को दर्शाते हैं।
ऋणात्मक $x$-दिशा में यात्रा करने वाली तरंग के लिए,माध्य स्थिति $g$ पर कण धनात्मक $y$-दिशा में गति कर रहे हैं (जैसे ही तरंग बाईं ओर जाती है,प्रोफ़ाइल बाईं ओर शिफ्ट हो जाती है,इसलिए बिंदु $g$ ऊपर की ओर जाएगा)।
चूंकि तरंग अनुदैर्ध्य है,ग्राफ में विस्थापन $y$ कणों के अनुदैर्ध्य विस्थापन को दर्शाता है।
विरलन वहां होता है जहां कण एक-दूसरे से दूर जा रहे होते हैं,जो उन बिंदुओं के अनुरूप होता है जहां ढलान धनात्मक होती है (अर्थात,$c$ और $g$)।
विकल्पों को देखते हुए,$g$ अधिकतम विरलन का बिंदु है।

(B) ध्वनि तरंगें यांत्रिक तरंगें हैं जिन्हें संचरण के लिए एक भौतिक माध्यम की आवश्यकता होती है। हवा में,ध्वनि तरंगें अनुदैर्ध्य तरंगों के रूप में चलती हैं,जहाँ माध्यम के कण तरंग संचरण की दिशा के समानांतर दोलन करते हैं।
प्रकाश तरंगें विद्युत चुम्बकीय तरंगें हैं जिन्हें संचरण के लिए किसी भौतिक माध्यम की आवश्यकता नहीं होती है। ये अनुप्रस्थ तरंगें होती हैं,जहाँ विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र के सदिश तरंग संचरण की दिशा के लंबवत दोलन करते हैं।
इसलिए,सही कथन यह है कि हवा में ध्वनि तरंगें अनुदैर्ध्य होती हैं जबकि प्रकाश तरंगें अनुप्रस्थ होती हैं।

(D) ठोस पदार्थों में,अनुदैर्ध्य तरंग का वेग $v = \sqrt{\frac{Y}{\rho}}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $v = \sqrt{\frac{9.27 \times 10^{10}}{2.7 \times 10^3}} = \sqrt{3.433 \times 10^7} \approx 5859 \ m/s$.
चूंकि छड़ को उसके मध्य बिंदु पर क्लैंप किया गया है,मध्य बिंदु एक निस्पंद $(N)$ के रूप में और सिरे प्रस्पंद $(A)$ के रूप में कार्य करते हैं। मूल विधा के लिए,छड़ की लंबाई $L$ आधी तरंग दैर्ध्य के बराबर होती है,इसलिए $L = \frac{\lambda}{2}$,जिसका अर्थ है $\lambda = 2L$.
यहाँ $L = 60 \ cm = 0.6 \ m$ दिया गया है,इसलिए $\lambda = 2 \times 0.6 = 1.2 \ m$.
मूल आवृत्ति $f = \frac{v}{\lambda} = \frac{5859}{1.2} \approx 4882.5 \ Hz$ प्राप्त होती है।
$kHz$ में बदलने पर,$f \approx 4.88 \ kHz$,जो लगभग $5 \ kHz$ है।

(C) प्रेक्षक द्वारा सुनी जाने वाली ध्वनि की आवृत्ति स्रोत और प्रेक्षक के बीच सापेक्ष गति पर निर्भर करती है। चूंकि ट्रेन (स्रोत) और प्रेक्षक दोनों जमीन के सापेक्ष स्थिर हैं,इसलिए आवृत्ति $400 \, Hz$ ही रहेगी। अतः,कथन $(c)$ गलत है।
हवा की उपस्थिति में ध्वनि की गति $v' = v + w$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v = 340 \, m/s$ स्थिर हवा में ध्वनि की गति है और $w = 10 \, m/s$ हवा की गति है। इसलिए,$v' = 340 + 10 = 350 \, m/s$। अतः,कथन $(b)$ सही है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ को $\lambda = \frac{v'}{f}$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि $v'$ बढ़कर $350 \, m/s$ हो जाता है जबकि $f$ का मान $400 \, Hz$ ही रहता है,इसलिए स्थिर हवा की स्थिति की तुलना में तरंगदैर्ध्य $\lambda$ बढ़ जाती है। अतः,कथन $(d)$ सही है।

(D) पारगमित तरंग का आयाम $a_t$ और आपतित तरंग का आयाम $a_i$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा संबंधित हैं:
$a_t = \frac{2 v_2}{v_1 + v_2} a_i$
जहाँ $v_1$ माध्यम $1$ में ध्वनि की चाल है और $v_2$ माध्यम $2$ में ध्वनि की चाल है।
दिया गया है: $v_1 = 200 \, m/s$ और $v_2 = 100 \, m/s$।
मान रखने पर:
$\frac{a_t}{a_i} = \frac{2 \times 100}{200 + 100} = \frac{200}{300} = \frac{2}{3} \approx 0.67$.

(C) दिया गया है,हवा में ध्वनि की गति $v_{air} = 300 \, m/s$ और तरल में ध्वनि की गति $v_{liq} = 600 \, m/s$ है।
चूंकि $v_{liq} > v_{air},$ इसलिए ध्वनि तरंगों के लिए तरल,हवा की तुलना में विरल माध्यम के रूप में कार्य करता है।
क्रांतिक कोण $i_c$ का मान $\sin(i_c) = \frac{v_{air}}{v_{liq}} = \frac{300}{600} = \frac{1}{2}$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,$i_c = \sin^{-1}(1/2) = 30^{\circ}$ प्राप्त होता है।
यहाँ आपतन कोण $i = 60^{\circ}$ है। चूंकि आपतन कोण क्रांतिक कोण से अधिक है $(i > i_c)$,इसलिए ध्वनि तरंग का पूर्ण आंतरिक परावर्तन होगा और यह वापस हवा में परावर्तित हो जाएगी।

(D) जब हवा नहीं होती है,तो ध्वनि तरंगें बिंदु स्रोत से त्रिज्यीय रूप से सीधी रेखाओं में बाहर की ओर यात्रा करती हैं।
जब एक समान वेग $v_w$ के साथ बाईं ओर क्षैतिज हवा चलती है,तो किसी भी बिंदु पर ध्वनि तरंग का प्रभावी वेग स्थिर हवा में ध्वनि के वेग $(v_s)$ और हवा के वेग $(v_w)$ का सदिश योग होता है।
यदि ध्वनि तरंग हवा की दिशा में (बाईं ओर) यात्रा करती है,तो उसका प्रभावी वेग बढ़ जाता है,और यदि यह हवा के विपरीत (दाईं ओर) यात्रा करती है,तो उसका प्रभावी वेग कम हो जाता है।
वेग में यह परिवर्तन तरंग मोर्चों (wavefronts) को मोड़ने का कारण बनता है। हाइजेंस के सिद्धांत के अनुसार,किरणें (जो तरंग मोर्चों के लंबवत होती हैं) हवा की दिशा में मुड़ जाएंगी।
विशेष रूप से,किरणें बाईं ओर मुड़ेंगी क्योंकि हवा ध्वनि तरंगों को अपने साथ ले जाती है,जो प्रभावी रूप से ध्वनि किरणों को हवा की दिशा में 'धकेलती' है।
विकल्पों को देखने पर,विकल्प $D$ किरणों को बाईं ओर मुड़ते हुए दिखाता है,जो बाईं ओर बहने वाली निरंतर क्षैतिज हवा के प्रभाव का सही प्रतिनिधित्व करता है।

(C) स्नेल के नियम के अनुसार,$\frac{\sin i}{\sin r} = \frac{v_1}{v_2}$,जहाँ $v_1 = 300 \ m/s$ (हवा) और $v_2 = 600 \ m/s$ (तरल) है।
दिया गया है $i = 60^{\circ}$,क्रांतिक कोण $C$ को $\sin C = \frac{v_1}{v_2} = \frac{300}{600} = 0.5$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
अतः,$C = \sin^{-1}(0.5) = 30^{\circ}$ है।
चूंकि आपतन कोण $i = 60^{\circ}$,क्रांतिक कोण $C = 30^{\circ}$ से अधिक है,इसलिए ध्वनि तरंग का पूर्ण आंतरिक परावर्तन होगा।
अतः,तरंग वापस हवा में परावर्तित हो जाएगी।

(A) आदर्श गैस में ध्वनि का वेग $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\gamma$ एडियाबेटिक इंडेक्स है,$R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ परम तापमान है और $M$ मोलर द्रव्यमान है।
चूँकि तापमान $T$ समान है,वेग का अनुपात $\frac{v_{H_2}}{v_{He}} = \sqrt{\frac{\gamma_{H_2}}{\gamma_{He}} \cdot \frac{M_{He}}{M_{H_2}}}$ होगा।
हाइड्रोजन गैस $(H_2)$ के लिए,$\gamma_1 = 7/5$ और $M_1 = 2 \times 10^{-3} \ kg/mol$ है।
हीलियम गैस $(He)$ के लिए,$\gamma_2 = 5/3$ और $M_2 = 4 \times 10^{-3} \ kg/mol$ है।
मान रखने पर:
$\frac{v_{H_2}}{v_{He}} = \sqrt{\frac{7/5}{5/3} \cdot \frac{4}{2}} = \sqrt{\frac{7}{5} \cdot \frac{3}{5} \cdot 2} = \sqrt{\frac{42}{25}} = \frac{\sqrt{42}}{5}$.

(D) किसी तरल में ध्वनि की चाल $v$ का सूत्र $v = \sqrt{\frac{B}{\rho}}$ है,जहाँ $B$ माध्यम का बल्क मॉडुलस है और $\rho$ माध्यम का घनत्व है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि ध्वनि की चाल बल्क मॉडुलस के वर्गमूल के सीधे समानुपाती $(v \propto \sqrt{B})$ होती है और घनत्व के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती $(v \propto \frac{1}{\sqrt{\rho}})$ होती है।
अतः,ध्वनि की चाल माध्यम के बल्क मॉडुलस के वर्गमूल पर सीधे निर्भर करती है।

(A) आदर्श गैस में ध्वनि की गति $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M_W}}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $\gamma$ एडियाबेटिक इंडेक्स है, $R$ गैस स्थिरांक है, $T$ निरपेक्ष तापमान है और $M_W$ मोलर द्रव्यमान है。
$A$. यदि $T$, $4T$ हो जाता है, तो $v' = \sqrt{\frac{\gamma R(4T)}{M_W}} = 2v$। आदर्श गैस में दबाव $P$ ध्वनि की गति को प्रभावित नहीं करता है (क्योंकि स्थिर $M_W$ के लिए $P \propto \rho T$), इसलिए गति $2$ गुना हो जाती है। अतः, $A-Q$।
$B$. यदि केवल दबाव बदला जाता है, तो $T$ स्थिर रहता है। चूँकि $v \propto \sqrt{T}$, गति अपरिवर्तित रहती है। अतः, $B-R$।
$C$. यदि $T$, $4T$ हो जाता है, तो $v' = \sqrt{\frac{\gamma R(4T)}{M_W}} = 2v$। गति $2$ गुना हो जाती है। अतः, $C-Q$।
$D$. यदि $M_W$, $4M_W$ हो जाता है, तो $v' = \sqrt{\frac{\gamma RT}{4M_W}} = \frac{1}{2}v$। गति आधी हो जाती है। अतः, $D-S$।
इसलिए, सही मिलान $A-Q, B-R, C-Q, D-S$ है।

(A) आदर्श गैस में ध्वनि की गति $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M_W}}$ द्वारा दी जाती है।
$A$. यदि $T$, $4T$ हो जाता है, तो $v' = \sqrt{\frac{\gamma R(4T)}{M_W}} = 2v$। आदर्श गैस में ध्वनि की गति पर दबाव का कोई प्रभाव नहीं पड़ता है। अतः, $A-Q$।
$B$. यदि तापमान स्थिर है तो ध्वनि की गति दबाव से स्वतंत्र होती है। अतः, $B-R$।
$C$. यदि $T$, $4T$ हो जाता है, तो $v' = \sqrt{\frac{\gamma R(4T)}{M_W}} = 2v$। अतः, $C-Q$।
$D$. यदि आणविक द्रव्यमान $M_W$, $4M_W$ हो जाता है, तो $v' = \sqrt{\frac{\gamma RT}{4M_W}} = \frac{v}{2}$। अतः, $D-S$।
इसलिए, सही मिलान $A-Q, B-R, C-Q, D-S$ है।

(B) मान लीजिए कि आदमी से दो चट्टानों की दूरी $d_1$ और $d_2$ है।
जब आदमी गोली चलाता है,तो ध्वनि चट्टान तक जाती है और वापस परावर्तित होती है।
पहली प्रतिध्वनि के लिए लिया गया समय $t_1 = 3 \, s$ है और दूसरी प्रतिध्वनि के लिए $t_2 = 5 \, s$ है।
पहली प्रतिध्वनि के लिए ध्वनि द्वारा तय की गई दूरी $2d_1 = v \times t_1$ है,इसलिए $d_1 = \frac{330 \times 3}{2} = 495 \, m$।
दूसरी प्रतिध्वनि के लिए ध्वनि द्वारा तय की गई दूरी $2d_2 = v \times t_2$ है,इसलिए $d_2 = \frac{330 \times 5}{2} = 825 \, m$।
दोनों चट्टानों के बीच की कुल दूरी $D = d_1 + d_2 = 495 + 825 = 1320 \, m$ है।

(D) ध्रुवीकरण केवल अनुप्रस्थ (transverse) तरंगों से संबंधित गुण है।
रेडियो तरंगें,पराबैंगनी तरंगें और अवरक्त तरंगें सभी विद्युत चुम्बकीय तरंगें हैं,जो प्रकृति में अनुप्रस्थ होती हैं और इनका ध्रुवीकरण किया जा सकता है।
पराश्रव्य तरंगें ध्वनि तरंगें हैं,जो प्रकृति में अनुदैर्ध्य (longitudinal) होती हैं।
अनुदैर्ध्य तरंगों का ध्रुवीकरण नहीं किया जा सकता है क्योंकि उनके दोलन तरंग प्रसार की दिशा के अनुदिश होते हैं।
इसलिए,पराश्रव्य तरंगों का ध्रुवीकरण नहीं किया जा सकता है।

(D) मान लीजिए कि इंजन शुरू में बिंदु $A$ पर है और $5 \, s$ बाद बिंदु $C$ पर पहुँचता है। दूरी $AB = 0.9 \, km = 900 \, m$ है।
ध्वनि $A$ से पहाड़ी $B$ तक जाती है और परावर्तित होकर $C$ पर स्थित इंजन तक पहुँचती है।
कुल समय $t = 5 \, s$ वह समय है जो ध्वनि को $AB + BC$ दूरी तय करने में लगता है।
$t = \frac{AB}{v_{sound}} + \frac{BC}{v_{sound}}$
$5 = \frac{900}{330} + \frac{BC}{330}$
$5 \times 330 = 900 + BC$
$1650 = 900 + BC$
$BC = 1650 - 900 = 750 \, m$.
$5 \, s$ में इंजन द्वारा तय की गई दूरी $AC = AB - BC = 900 \, m - 750 \, m = 150 \, m$ है।
अतः,इंजन की गति $v_{engine} = \frac{AC}{t} = \frac{150 \, m}{5 \, s} = 30 \, m/s$ है।

(D) मान लीजिए $V_{P}$ विमान की गति है और $\upsilon$ ध्वनि की गति है।
जब विमान द्वारा ध्वनि उत्सर्जित की गई थी,तो वह ऐसी स्थिति में था कि ध्वनि तरंगें प्रेक्षक तक जमीन के साथ $60^{\circ}$ के कोण पर पहुंचीं।
मान लीजिए प्रेक्षक बिंदु $C$ पर है और जब ध्वनि उत्सर्जित हुई तो विमान बिंदु $A$ पर था।
ध्वनि $t$ समय में $AC$ दूरी तय करती है,इसलिए $AC = \upsilon t$।
विमान उसी समय $t$ में क्षैतिज दूरी $AB$ तय करता है,इसलिए $AB = V_{P} t$।
त्रिभुज $ABC$ की ज्यामिति से,जहाँ $\angle ACB = 60^{\circ}$ है,हमें प्राप्त होता है:
$V_{P} = \upsilon \cos(60^{\circ})$
$V_{P} = \upsilon \times \frac{1}{2} = \frac{\upsilon}{2}$।

(D) दी गई तरंग समीकरण $P = 0.01 \sin(1000t - 3x)$ है।
इसे मानक तरंग समीकरण $P = A \sin(\omega t - kx)$ के साथ तुलना करने पर,हमें कोणीय आवृत्ति $\omega = 1000 \, rad/s$ और तरंग संख्या $k = 3 \, m^{-1}$ प्राप्त होती है।
$0 \, ^oC$ $(T_0 = 273 \, K)$ पर ध्वनि की गति $v_0 = \frac{\omega}{k} = \frac{1000}{3} \approx 333.33 \, m s^{-1}$ है।
हम जानते हैं कि ध्वनि की गति $v \propto \sqrt{T}$,जहाँ $T$ केल्विन में निरपेक्ष तापमान है।
इसलिए,$\frac{v}{v_0} = \sqrt{\frac{T}{T_0}}$.
तापमान $T$ पर $v = 336 \, m s^{-1}$ दिया गया है,इसलिए $\frac{336}{1000/3} = \sqrt{\frac{T}{273}}$.
$\frac{1008}{1000} = \sqrt{\frac{T}{273}} \implies 1.008 = \sqrt{\frac{T}{273}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$1.016 = \frac{T}{273}$.
$T = 273 \times 1.016 = 277.368 \, K$.
सेल्सियस में बदलने पर: $T( ^oC) = 277.368 - 273 = 4.368 \, ^oC$.
अतः,$T$ का अनुमानित मान $4 \, ^oC$ है।

(B) गैस में ध्वनि की चाल $v$ संबंध $v \propto \sqrt{T}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ केल्विन में परम तापमान है।
माना $0\,^oC$ $(T_0 = 273\,K)$ पर ध्वनि की चाल $v_0$ है।
माना तापमान $T$ पर ध्वनि की चाल $v_t$ है।
प्रश्न के अनुसार,$v_t = 2v_0$ है।
संबंध $\frac{v_t}{v_0} = \sqrt{\frac{T}{T_0}}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2 = \sqrt{\frac{T}{273}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $4 = \frac{T}{273}$ प्राप्त होता है।
अतः,$T = 4 \times 273 = 1092\,K$।

(D) अनुप्रस्थ कंपन की मूल आवृत्ति $f_T = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ तनाव है,$L$ लंबाई है,और $\mu$ प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान है।
अनुदैर्ध्य कंपन की मूल आवृत्ति $f_L = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{Y}{\rho}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $Y$ यंग मापांक है और $\rho$ घनत्व है।
$Y = \frac{T/A}{\Delta L/L}$ का उपयोग करते हुए,हमें $\frac{Y}{\rho} = \frac{T}{\rho A} \cdot \frac{L}{\Delta L} = \frac{T}{\mu} \cdot \frac{L}{\Delta L}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{f_T}{f_L} = \sqrt{\frac{T/\mu}{Y/\rho}} = \sqrt{\frac{T/\mu}{(T/\mu) \cdot (L/\Delta L)}} = \sqrt{\frac{\Delta L}{L}}$.
चूँकि $\frac{\Delta L}{L} = \frac{1}{\eta}$ दिया गया है,अनुपात $\sqrt{\frac{1}{\eta}} = \frac{1}{\sqrt{\eta}}$ होगा।