Sound Waves (Longitudinal wave) and it’s Characteristics (Speed etc.) Questions in Gujarati

(B) મેક નંબર એ એક પરિમાણરહિત રાશિ છે જે પદાર્થની ઝડપ અને આસપાસના માધ્યમમાં ધ્વનિની ઝડપના ગુણોત્તરને દર્શાવે છે.
ગાણિતિક રીતે,$\text{Mach number} = \frac{\text{Velocity of object}}{\text{Velocity of sound}}$.
તેથી,એક મેક નંબર એ તે માધ્યમમાં ધ્વનિના વેગને અનુરૂપ છે,જે પ્રમાણભૂત પરિસ્થિતિઓમાં હવામાં આશરે $332\,m/s$ હોય છે.

(B) વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપ $v$ નું સૂત્ર: $v = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}$ છે,જ્યાં $\gamma$ એ એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ છે,$P$ એ દબાણ છે અને $\rho$ એ ઘનતા છે.
બંને વાયુઓ દ્વિ-પરમાણ્વીય હોવાથી,બંને માટે એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma$ સમાન રહેશે.
તાપમાન અને દબાણ $P$ અચળ હોવાથી,ઝડપ $v_1$ અને $v_2$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{\gamma P / d_1}{\gamma P / d_2}} = \sqrt{\frac{d_2}{d_1}}$ થાય.

(D) વાયુમાં ધ્વનિ તરંગનો વેગ $v = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એકપરમાણ્વીય વાયુ માટે,એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = \frac{5}{3}$ છે.
આપેલ છે: દબાણ $P = 1 \, kPa = 10^3 \, Pa$,ઘનતા $\rho = 2.6 \, kg/m^3$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$v = \sqrt{\frac{\frac{5}{3} \times 10^3}{2.6}}$
$v = \sqrt{\frac{1666.67}{2.6}}$
$v = \sqrt{641.02} \approx 25.3 \, m/s$.
આમ,$25.3 \, m/s$ એ વિકલ્પો $A$,$B$ કે $C$ માં આપેલ નથી,તેથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) ધ્વનિ એ યાંત્રિક તરંગ છે,જેને પ્રસરણ માટે ભૌતિક માધ્યમની જરૂર હોય છે. તેથી,ધ્વનિ શૂન્યાવકાશમાંથી પસાર થઈ શકતો નથી. કારણ કે ધ્વનિ શૂન્યાવકાશમાં ગતિ કરી શકતો નથી,તેથી તે શૂન્યાવકાશમાં હવા કરતા ઝડપથી ગતિ કરે છે તે વિધાન ખોટું છે.

(A) માધ્યમમાં ધ્વનિ તરંગનો વેગ $v = \sqrt{\frac{K}{\rho}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $K$ એ બલ્ક મોડ્યુલસ છે અને $\rho$ એ માધ્યમની ઘનતા છે.
ધ્વનિ તરંગોનું અલ્ટ્રાસોનિક,ઇન્ફ્રાસોનિક અને શ્રાવ્ય શ્રેણીમાં વર્ગીકરણ માત્ર તેમની આવૃત્તિ (અથવા તરંગલંબાઇ) પર આધારિત છે.
ધ્વનિ તરંગની ઝડપ માત્ર માધ્યમના ભૌતિક ગુણધર્મો (જેમ કે સ્થિતિસ્થાપકતા અને ઘનતા) પર આધાર રાખે છે અને તે તરંગની આવૃત્તિથી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,આપેલ માધ્યમમાં,અલ્ટ્રાસોનિક,ઇન્ફ્રાસોનિક અને શ્રાવ્ય તરંગોની ઝડપ લગભગ સમાન હોય છે,એટલે કે $V_u \approx V_i \approx V_a$.

(D) તરંગનો વેગ $(v)$,આવૃત્તિ $(n)$ અને તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v = n\lambda$.
આપેલ છે:
આવૃત્તિ $(n)$ = $256\, Hz$ (પ્રતિ સેકન્ડ કંપનો).
ધ્વનિનો વેગ $(v)$ = $330\, m/s$.
તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$\lambda = \frac{v}{n}$
કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{330}{256} \approx 1.289\, m$.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $\lambda = 1.29\, m$ મળે છે.

(D) સીટીનો અવાજ સ્ત્રોતથી માણસ સુધી પહોંચવા માટે ચોક્કસ સમય લે છે.
આપેલ અંતર $d = 2\, km = 2000\, m$.
અવાજની ઝડપ $v = 330\, m/s$.
અવાજને માણસ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{d}{v}$ છે.
$t = \frac{2000}{330} \approx 6.06\, s \approx 6\, s$.
અવાજ માણસ સુધી પહોંચવામાં $6\, s$ લે છે,તેથી તે સીટી વાગ્યાના $6\, s$ પછી અવાજ સાંભળશે. પરિણામે,તે તેની ઘડિયાળ $6\, s$ મોડી સેટ કરશે,એટલે કે તેની ઘડિયાળ $6\, s$ પાછળ રહેશે.

(A) સરળ આવર્ત ગતિમાં કણનો મહત્તમ વેગ $(v_{\max})$ શોધવાનું સૂત્ર $v_{\max} = a\omega$ છે,જ્યાં $a$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
આપેલ છે:
કંપવિસ્તાર $a = 0.1 \text{ cm}$
આવૃત્તિ $n = 300 \text{ Hz}$
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2\pi n = 2 \times \pi \times 300 = 600\pi \text{ rad/s}$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$v_{\max} = 0.1 \times 600\pi = 60\pi \text{ cm/s}$.
તેથી,કણનો મહત્તમ વેગ $60\pi \text{ cm/s}$ છે.

(C) મનુષ્યો માટે શ્રાવ્ય આવૃત્તિની શ્રેણી સામાન્ય રીતે $20 \ Hz$ થી $20,000 \ Hz$ $(20 \ kHz)$ ની વચ્ચે હોય છે.
આપેલા વિકલ્પોની સરખામણી કરતા:
$A) 5 \ Hz$ એ ઇન્ફ્રાસોનિક છે ($20 \ Hz$ થી ઓછી).
$B) 27,000 \ Hz$ એ અલ્ટ્રાસોનિક છે ($20,000 \ Hz$ થી વધુ).
$C) 5,000 \ Hz$ એ શ્રાવ્ય શ્રેણીમાં આવે છે $(20 \ Hz - 20,000 \ Hz)$.
$D) 50,000 \ Hz$ એ અલ્ટ્રાસોનિક છે ($20,000 \ Hz$ થી વધુ).
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) તરંગલંબાઇ $\lambda$ એ સૂત્ર $\lambda = \frac{v}{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે અને $n$ એ આવૃત્તિ છે.
અલ્ટ્રાસોનિક તરંગોની આવૃત્તિ $n$ એ $20,000 \, Hz$ કરતા વધારે હોય છે. ધારો કે $n \approx 50,000 \, Hz$.
હવામાં ધ્વનિની ઝડપ $v \approx 330 \, m/s$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $\lambda = \frac{330}{50,000} \, m = 0.0066 \, m = 0.66 \, cm$.
વૈજ્ઞાનિક સંકેતમાં ફેરવતા,$0.66 \, cm = 6.6 \times 10^{-1} \, cm$. જોકે,પ્રયોગોમાં વપરાતા સામાન્ય અલ્ટ્રાસોનિક તરંગો માટેના ક્રમનો વિચાર કરતા,$5 \times 10^{-5} \, cm$ એ સૌથી યોગ્ય વિકલ્પ છે.

(A) તરંગની ઝડપ $(v)$,આવૃત્તિ $(n)$ અને તરંગલંબાઇ $(\lambda)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $v = n \lambda$.
તરંગલંબાઇ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $\lambda = \frac{v}{n}$.
આપેલ છે:
આવૃત્તિ $(n)$ = $4.2 \, MHz = 4.2 \times 10^6 \, Hz$.
અવાજની ઝડપ $(v)$ = $1.7 \, km/s = 1.7 \times 10^3 \, m/s$.
કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{1.7 \times 10^3}{4.2 \times 10^6} = \frac{1.7}{4.2} \times 10^{-3} \approx 0.4047 \times 10^{-3} \, m = 4.047 \times 10^{-4} \, m$.
નજીકની કિંમત લેતા,$\lambda \approx 4 \times 10^{-4} \, m$ મળે છે.

(D) માનવ કાન માટે શ્રાવ્ય આવૃત્તિની શ્રેણી $20 \text{ Hz}$ થી $20,000 \text{ Hz}$ છે.
ઓરડાના તાપમાને હવામાં ધ્વનિની ઝડપ $v \approx 340 \text{ m/s}$ લેતા.
તરંગલંબાઇ $\lambda$ એ સૂત્ર $\lambda = \frac{v}{f}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ન્યૂનતમ તરંગલંબાઇ $\lambda_{\min}$ શોધવા માટે,આપણે મહત્તમ આવૃત્તિ $f_{\max} = 20,000 \text{ Hz}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$\lambda_{\min} = \frac{340}{20,000} \text{ m} = 0.017 \text{ m} = 17 \text{ mm}$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત આશરે $20 \text{ mm}$ છે.

(C) આદર્શ વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપનું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ છે,જ્યાં $\gamma$ એ એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ છે,$R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ તાપમાન છે અને $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.
બંને વાયુઓ માટે તાપમાન $T$ સમાન હોવાથી,ઝડપનો ગુણોત્તર $\frac{v_{N_2}}{v_{He}} = \sqrt{\frac{\gamma_{N_2}}{\gamma_{He}} \times \frac{M_{He}}{M_{N_2}}}$ થશે.
નાઈટ્રોજન $(N_2)$ માટે,જે દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ છે,$\gamma_{N_2} = 1.4 = 7/5$ અને મોલર દળ $M_{N_2} = 28 \ g/mol$ છે.
હિલિયમ $(He)$ માટે,જે એક-પરમાણ્વીય વાયુ છે,$\gamma_{He} = 1.67 = 5/3$ અને મોલર દળ $M_{He} = 4 \ g/mol$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{v_{N_2}}{v_{He}} = \sqrt{\frac{7/5}{5/3} \times \frac{4}{28}} = \sqrt{\frac{7}{5} \times \frac{3}{5} \times \frac{1}{7}} = \sqrt{\frac{3}{25}} = \frac{\sqrt{3}}{5}$.

(C) આપેલ છે:
આવૃત્તિ $(n)$ = $200 Hz$
અવાજનો વેગ $(v)$ = $340 m/s$
આપણે જાણીએ છીએ કે વેગ,આવૃત્તિ અને તરંગલંબાઈ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$v = n \times \lambda$
જ્યાં $\lambda$ એ તરંગલંબાઈ છે.
$\lambda$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$\lambda = \frac{v}{n}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{340}{200} = 1.7 m$
તેથી,ઉત્પન્ન થતા અવાજની તરંગલંબાઈ $1.7 m$ છે.

(B) માનવ કાન $20 Hz$ થી $20,000 Hz$ $(20 kHz)$ ની આવૃત્તિ ધરાવતા ધ્વનિ તરંગો પ્રત્યે સંવેદનશીલ હોય છે.
આ ચોક્કસ શ્રેણીને મનુષ્યો માટે શ્રાવ્ય શ્રેણી (audible range) તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
તેથી,શ્રાવ્ય ધ્વનિની આવૃત્તિ શ્રેણી $20 Hz - 20 kHz$ છે.

(D) માધ્યમમાં ધ્વનિની ઝડપ $v = \frac{d}{t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ માધ્યમ માટે,$v_1 = \frac{2 \, km}{3 \, sec} = \frac{2}{3} \, km/s$.
બીજા માધ્યમ (હવા) માટે,$v_2 = \frac{3 \, km}{10 \, sec} = \frac{3}{10} \, km/s$.
જ્યારે ધ્વનિ તરંગ એક માધ્યમમાંથી બીજા માધ્યમમાં જાય છે ત્યારે તેની આવૃત્તિ $f$ અચળ રહે છે,તેથી ઝડપ $v$ એ તરંગલંબાઈ $\lambda$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(v = f \lambda \implies v \propto \lambda)$.
તેથી,તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{v_1}{v_2}$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{2/3}{3/10} = \frac{2}{3} \times \frac{10}{3} = \frac{20}{9}$.
આમ,ગુણોત્તર $20:9$ છે.

(B) જ્યારે તરંગ એક માધ્યમમાંથી બીજા માધ્યમમાં ગતિ કરે છે,ત્યારે તેની આવૃત્તિ માત્ર તરંગના ઉદગમ પર આધાર રાખે છે અને તે બદલાતી નથી.
જો કે,માધ્યમના ગુણધર્મો (જેમ કે ઘનતા અને સ્થિતિસ્થાપકતા) ને આધારે તરંગનો વેગ અને તરંગલંબાઈ બદલાય છે.
તેથી,આવૃત્તિ અચળ રહે છે.

(B) પડઘો સાંભળવા માટે લાગતો કુલ સમય $t$ એ પથ્થરને પાણીની સપાટી સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $(t_1)$ અને ધ્વનિને પાછા ઉપર આવવા માટે લાગતો સમય $(t_2)$ નો સરવાળો છે.
$t = t_1 + t_2$
સ્થિર સ્થિતિમાંથી પડતા પથ્થર માટે,$h = \frac{1}{2}gt_1^2$,તેથી $t_1 = \sqrt{\frac{2h}{g}}$.
અહીં $h = 19.6\,m$ અને $g = 9.8\,m/s^2$ આપેલ છે,તેથી $t_1 = \sqrt{\frac{2 \times 19.6}{9.8}} = \sqrt{4} = 2.0\,s$.
ધ્વનિને પાછા આવવા માટે લાગતો સમય $t_2 = t - t_1 = 2.06\,s - 2.0\,s = 0.06\,s$.
ધ્વનિનો વેગ $v = \frac{h}{t_2} = \frac{19.6}{0.06} \approx 326.7\,m/s$ થાય.

(B) વાયુમાં ધ્વનિનો વેગ તેના નિરપેક્ષ તાપમાનના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $v \propto \sqrt{T}$.
અહીં આપેલ છે કે તાપમાન $T_2$ પર વેગ એ $T_1 = 0^{\circ}C = 273 \ K$ પરના વેગ કરતા બમણો છે,તેથી:
$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$2 = \sqrt{\frac{T_2}{273}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$4 = \frac{T_2}{273}$
$T_2 = 4 \times 273 = 1092 \ K$
આને સેલ્સિયસમાં ફેરવતા:
$T(^{\circ}C) = 1092 - 273 = 819^{\circ}C$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) ધ્વનિનો વેગ માધ્યમની સ્થિતિસ્થાપકતા અને ઘનતા પર આધાર રાખે છે. ઘન પદાર્થમાં ધ્વનિની ઝડપનું સૂત્ર $v = \sqrt{Y/\rho}$ છે,જ્યાં $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે અને $\rho$ એ ઘનતા છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$Steel$ (સ્ટીલ) એ ઘન છે,$Water$ (પાણી) એ પ્રવાહી છે અને $Air$ (હવા) એ વાયુ છે. ધ્વનિ ઘન પદાર્થોમાં સૌથી ઝડપથી મુસાફરી કરે છે કારણ કે તેમાં કણો વધુ નજીકથી જોડાયેલા હોય છે,જે યાંત્રિક સ્પંદનોના ઝડપી પ્રસારણ માટે પરવાનગી આપે છે.
$Vacuum$ (શૂન્યાવકાશ) માં ધ્વનિ મુસાફરી કરી શકતો નથી કારણ કે તેને પ્રસરણ માટે ભૌતિક માધ્યમની જરૂર હોય છે. તેથી,ધ્વનિનો વેગ $Steel$ માં મહત્તમ હોય છે.

(B) સંઘનન અને નજીકના વિઘનન વચ્ચેનું અંતર તરંગલંબાઈના અડધા ભાગ જેટલું હોય છે,એટલે કે $\frac{\lambda}{2}$.
આપેલ છે કે,$\frac{\lambda}{2} = 1\, m$,તેથી તરંગલંબાઈ $\lambda = 2\, m$.
ધ્વનિનો વેગ $v = 360\, m/s$.
આવૃત્તિ $f$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $f = \frac{v}{\lambda}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$f = \frac{360}{2} = 180\, Hz$.

(A) વાયુમાં ધ્વનિનો વેગ $v = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\gamma$ એ એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ છે,$P$ એ દબાણ છે અને $\rho$ એ વાયુની ઘનતા છે.
બંને વાયુઓ માટે તાપમાન અને દબાણ સમાન છે તેમ ધારતા,વેગનો ગુણોત્તર તેમની ઘનતાના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે:
$\frac{v_{O_2}}{v_{H_2}} = \sqrt{\frac{\rho_{H_2}}{\rho_{O_2}}}$
આપેલ છે કે ઓક્સિજનની ઘનતા હાઇડ્રોજન કરતા $16$ ગણી છે,એટલે કે $\rho_{O_2} = 16 \rho_{H_2}$,તેથી:
$\frac{v_{O_2}}{v_{H_2}} = \sqrt{\frac{\rho_{H_2}}{16 \rho_{H_2}}} = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$
આમ,ઓક્સિજન અને હાઇડ્રોજનમાં ધ્વનિ તરંગોના વેગનો ગુણોત્તર $1:4$ છે.

(A) ધારો કે શૂટર અને પરાવર્તક સપાટી વચ્ચેનું અંતર $d$ છે.
જ્યારે અવાજ ઉત્પન્ન થાય છે,ત્યારે તે પરાવર્તક સપાટી સુધી જાય છે અને પડઘો બનાવવા માટે પાછો શૂટર પાસે આવે છે.
તેથી,અવાજ દ્વારા કાપવામાં આવેલું કુલ અંતર $2d$ છે.
પડઘો સંભળાવવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{અવાજનો વેગ}} = \frac{2d}{v}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $t = 8 \, s$ અને $v = 350 \, m/s$.
કિંમતો મૂકતા: $8 = \frac{2d}{350}$.
$2d = 8 \times 350 = 2800$.
$d = \frac{2800}{2} = 1400 \, m$.
આમ,પરાવર્તક સપાટીનું અંતર $1400 \, m$ છે.

(B) સાયરનથી માણસ સુધી અવાજ પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{d}{v}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,અંતર $d = 1 \,km = 1000 \,m$ અને અવાજનો વેગ $v = 330 \,m/s$ છે.
સમયની ગણતરી કરતા: $t = \frac{1000}{330} \approx 3.03 \,s$.
અવાજ ઉત્પન્ન થયાના $3.03 \,s$ પછી માણસને સંભળાય છે,તેથી તે $3.03 \,s$ મોડો અવાજ સાંભળે છે.
તેથી,જ્યારે તે અવાજ સાંભળીને ઘડિયાળ સેટ કરે છે,ત્યારે તેની ઘડિયાળ વાસ્તવિક સમય કરતા $3.03 \,s$ પાછળ રહેશે.
આમ,તેની ઘડિયાળ આશરે $3 \,s$ પાછળ સેટ થયેલી છે.

(D) વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપનું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}$ છે,જ્યાં $\gamma$ એ એડિયાબેટિક ઇન્ડેક્સ છે,$P$ એ દબાણ છે અને $\rho$ એ વાયુની ઘનતા છે.
આદર્શ વાયુના નિયમ $PV = nRT$ મુજબ,તેને $P = \frac{\rho RT}{M}$ તરીકે લખી શકાય છે,જ્યાં $M$ એ મોલર દળ છે.
આ કિંમતને વેગના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ મળે છે.
જેમ કે $v$ માત્ર તાપમાન $T$ અને વાયુના પ્રકાર (અચળ $\gamma$ અને $M$) પર આધાર રાખે છે,તેથી તે અચળ તાપમાને દબાણ $P$ થી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,હવામાં ધ્વનિનો વેગ હવાના દબાણથી સ્વતંત્ર છે.

(B) આદર્શ વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપ $v$ માટેનું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ છે,જ્યાં $\gamma$ એ એડિયાબેટિક ઇન્ડેક્સ છે,$R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે અને $M$ એ મોલર દળ છે.
બંને વાયુઓ મોનોએટોમિક હોવાથી,તેમની એડિયાબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 5/3$ સમાન રહેશે.
આપેલ છે કે બંને વાયુઓ સમાન તાપમાન $T$ પર છે,તેથી ધ્વનિની ઝડપ એ મોલર દળના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $v \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
તેથી,વાયુ $1$ માં ધ્વનિની ઝડપ $(v_1)$ અને વાયુ $2$ માં ધ્વનિની ઝડપ $(v_2)$ નો ગુણોત્તર $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{m_2}{m_1}}$ થશે.

(B) ધારો કે માણસનું બે ખડકોથી અંતર અનુક્રમે $d_1$ અને $d_2$ છે.
પ્રથમ પડઘા માટે અવાજ દ્વારા કાપેલું કુલ અંતર $2d_1 = v \times t_1$ છે,જ્યાં $v = 340 \, ms^{-1}$ અને $t_1 = 1.5 \, s$ છે.
$d_1 = \frac{v \times t_1}{2} = \frac{340 \times 1.5}{2} = 170 \times 1.5 = 255 \, m$.
બીજા પડઘા માટે અવાજ દ્વારા કાપેલું કુલ અંતર $2d_2 = v \times t_2$ છે,જ્યાં $t_2 = 3.5 \, s$ છે.
$d_2 = \frac{v \times t_2}{2} = \frac{340 \times 3.5}{2} = 170 \times 3.5 = 595 \, m$.
ખડકો વચ્ચેનું કુલ અંતર $D = d_1 + d_2 = 255 + 595 = 850 \, m$ છે.

(A) કોઈ આપેલ માધ્યમમાં ધ્વનિ તરંગનો વેગ ફક્ત માધ્યમના ગુણધર્મો (જેમ કે ઘનતા,સ્થિતિસ્થાપકતા,તાપમાન,વગેરે) પર આધાર રાખે છે અને તે તરંગની આવૃત્તિથી સ્વતંત્ર છે.
માધ્યમ સમાન રહેતું હોવાથી,જ્યારે આવૃત્તિ વધારીને $4n$ કરવામાં આવે ત્યારે પણ તરંગનો વેગ $v$ જેટલો જ અચળ રહે છે.

(C) આદર્શ વાયુમાં અવાજની ઝડપનું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ છે,જ્યાં $\gamma$ એ એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ છે,$R$ એ વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ કેલ્વિનમાં નિરપેક્ષ તાપમાન છે અને $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.
આ સંબંધ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $v \propto \sqrt{T}$.
ધારો કે $T_1$ તાપમાને અવાજની ઝડપ $v_1$ છે અને $T_2$ તાપમાને ઝડપ $v_2$ છે.
આપેલ છે કે $T_1 = 27^\circ C = 27 + 273 = 300 \ K$.
આપણે ઝડપ બમણી કરવી છે,તેથી $v_2 = 2v_1$.
પ્રમાણસરતા $v_2/v_1 = \sqrt{T_2/T_1}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $2 = \sqrt{T_2/300}$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$4 = T_2/300$,જે આપણને $T_2 = 1200 \ K$ આપે છે.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા,$T_2 = 1200 - 273 = 927^\circ C$.

(D) આદર્શ વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપનું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ છે.
અહીં,$\gamma$ એ એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ છે,$R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે અને $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.
જેમ કે $v$ માત્ર તાપમાન $T$ અને વાયુના પ્રકાર (જે $\gamma$ અને $M$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે) પર આધાર રાખે છે,તેથી તે અચળ તાપમાને વાયુના દબાણ $P$ અને ઘનતા $\rho$ થી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) ધારો કે માણસ અને પરાવર્તિત સપાટી વચ્ચેનું અંતર $d$ છે.
પડઘો સાંભળવા માટે,અવાજ પરાવર્તિત સપાટી સુધી જઈને પાછો અવલોકનકાર પાસે આવવો જોઈએ.
તેથી,અવાજ દ્વારા કાપેલું કુલ અંતર $2d$ છે.
સૂત્ર $2d = v \times t$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $v = 340 \, m/s$ અને $t = 1 \, s$ છે:
$2d = 340 \times 1$
$2d = 340$
$d = \frac{340}{2} = 170 \, m$.
આમ,માણસ અને પરાવર્તન બિંદુ વચ્ચેનું અંતર $170 \, m$ છે.

(A) આદર્શ વાયુમાં ધ્વનિનો વેગ $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $v \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$,જ્યાં $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.
આપેલા વાયુઓના મોલર દળની સરખામણી કરતા:
$M(H_2) = 2 \ g/mol$
$M(N_2) = 28 \ g/mol$
$M(He) = 4 \ g/mol$
$M(O_2) = 32 \ g/mol$
આપેલા વિકલ્પોમાં $H_2$ નું મોલર દળ સૌથી ઓછું હોવાથી,ધ્વનિનો વેગ $H_2$ માં મહત્તમ હોય છે.

(D) પરાવર્તક સપાટી સુધીના અંતર $d$ માટેનું સૂત્ર $2d = v \times t$ છે,જ્યાં $v$ એ હવામાં અવાજનો વેગ છે,જે સામાન્ય રીતે $332 \, m/s$ લેવામાં આવે છે.
$t$ એ સાંભળવાની ક્ષમતાનો સમયગાળો (persistence of hearing) છે,જે આશરે $\frac{1}{10} \, s$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$d = \frac{v \times t}{2} = \frac{332 \times 0.1}{2} = \frac{33.2}{2} = 16.6 \, m$.
આપેલા વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,અવાજની ગતિના અંદાજને આધારે $16.5 \, m$ એ પ્રમાણભૂત સ્વીકૃત મૂલ્ય છે.

(B) પડઘો ઉત્પન્ન કરવા માટે અવાજ માણસથી ટેકરી સુધી જાય છે અને પાછો માણસ પાસે આવે છે.
ધારો કે માણસ અને ટેકરી વચ્ચેનું અંતર $d$ છે.
અવાજ દ્વારા કાપવામાં આવેલું કુલ અંતર $2d$ છે.
આપેલ છે,અવાજનો વેગ $v = 330\, m/s$ અને સમય $t = 1.5\, s$.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$2d = v \times t$.
$2d = 330 \times 1.5 = 495\, m$.
$d = \frac{495}{2} = 247.5\, m$.
તેથી,માણસથી ટેકરીનું અંતર $247.5\, m$ છે.

(D) આદર્શ વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપનું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $v \propto \sqrt{T}$,એટલે કે તાપમાનમાં વધારો થતાં ધ્વનિનો વેગ વધે છે. તેથી,વિધાન $I$ સાચું છે.
દબાણના સંદર્ભમાં,આદર્શ વાયુ માટે,અચળ તાપમાને દબાણ $P$ સાથે ઘનતા $\rho$ પ્રમાણસર બદલાય છે $(P = \rho RT/M)$,જેથી $P/\rho$ નો ગુણોત્તર અચળ રહે છે. તેથી,ધ્વનિની ઝડપ દબાણથી સ્વતંત્ર છે. તેથી,વિધાન $IV$ સાચું છે.
આમ,વિધાન $I$ અને $IV$ સાચા છે.

(A) વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપનું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{\gamma P}{d}}$ છે,જ્યાં $\gamma$ એ એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ છે,$P$ એ દબાણ છે અને $d$ એ વાયુની ઘનતા છે.
બંને વાયુઓ દ્વિ-પરમાણ્વીય હોવાથી,બંને માટે એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma$ સમાન રહેશે.
આપેલ છે કે બંને વાયુઓ માટે તાપમાન અને દબાણ $P$ સમાન છે,તેથી વેગ $v_1$ અને $v_2$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{v_1}{v_2} = \frac{\sqrt{\frac{\gamma P}{d_1}}}{\sqrt{\frac{\gamma P}{d_2}}} = \sqrt{\frac{d_2}{d_1}}$
આમ,ધ્વનિના વેગનો ગુણોત્તર $\sqrt{\frac{d_2}{d_1}}$ થશે.

(C) વાયુમાં ધ્વનિનો વેગ $v = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તાપમાન સમાન હોવાથી અને વાયુઓ એકપરમાણ્વીય હોવાથી,બંને માટે એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma$ સમાન રહેશે.
જો દબાણ $P$ સમાન હોય,તો $v \propto \frac{1}{\sqrt{\rho}}$ થાય.
તેથી,વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{\rho_2}{\rho_1}}$ થશે.
આપેલ છે કે $\frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{1}{4}$,તેથી $\frac{\rho_2}{\rho_1} = 4$ થાય.
આ કિંમત મૂકતા,$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{4} = 2$ મળે.
આમ,$v_1 : v_2$ નો ગુણોત્તર $2:1$ છે.

(C) વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $v \propto \sqrt{T}$.
અહીં પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 0^oC = 273 \ K$ આપેલ છે.
ધારો કે પ્રારંભિક ઝડપ $v_1$ છે અને અંતિમ ઝડપ $v_2 = 2v_1$ છે.
સંબંધ $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 = \sqrt{\frac{T_2}{273}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$4 = \frac{T_2}{273}$ મળે છે.
તેથી,$T_2 = 4 \times 273 = 1092 \ K$.

(B) આદર્શ વાયુમાં ધ્વનિનો વેગ $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\gamma$ એ એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ છે,$R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે અને $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.
આપેલ તાપમાન માટે અને બંને વાયુઓ દ્વિ-પરમાણ્વીય છે તેમ ધારતા ($\gamma$ સમાન છે),વેગ એ મોલર દળના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $v \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
તેથી,હાઇડ્રોજન $(H_2)$ અને ઓક્સિજન $(O_2)$ માં ધ્વનિના વેગનો ગુણોત્તર:
$\frac{v_{H_2}}{v_{O_2}} = \sqrt{\frac{M_{O_2}}{M_{H_2}}}$
ઓક્સિજન $(O_2)$ નું મોલર દળ $32 \ g/mol$ છે અને હાઇડ્રોજન $(H_2)$ નું મોલર દળ $2 \ g/mol$ છે.
$\frac{v_{H_2}}{v_{O_2}} = \sqrt{\frac{32}{2}} = \sqrt{16} = 4$.
આમ,ગુણોત્તર $4:1$ છે.

(A) સંગત તરંગમાં સંઘનન અને વિઘનન વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર તરંગલંબાઈના ચોથા ભાગ જેટલું હોય છે,એટલે કે $d = \frac{\lambda}{4}$.
અહીં તારની લંબાઈ $l = 1\, m$ આપેલ છે,જે સંઘનન અને વિઘનન વચ્ચેનું અંતર દર્શાવે છે,તેથી $l = \frac{\lambda}{4}$.
તેથી,તરંગલંબાઈ $\lambda = 4l = 4 \times 1 = 4\, m$.
તરંગના સમીકરણ $v = n\lambda$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $v$ એ ધ્વનિનો વેગ છે અને $n$ એ આવૃત્તિ છે:
$n = \frac{v}{\lambda} = \frac{360}{4} = 90\, sec^{-1}$.

(A) વાયુમાં ધ્વનિનો વેગ $v = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\gamma$ એ એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ છે,$P$ એ દબાણ છે અને $\rho$ એ વાયુની ઘનતા છે.
ધારો કે દબાણ $P$ અચળ રહે છે,તો ધ્વનિનો વેગ ઘનતાના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $v \propto \frac{1}{\sqrt{\rho}}$.
આપેલ છે કે પ્રારંભિક વેગ $v_s$ છે જ્યારે ઘનતા $\rho_1 = \rho$ છે,અને નવી ઘનતા $\rho_2 = 4\rho$ છે.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{v_{new}}{v_s} = \sqrt{\frac{\rho_1}{\rho_2}} = \sqrt{\frac{\rho}{4\rho}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
તેથી,નવો વેગ $v_{new} = \frac{v_s}{2}$ થશે.

(A) વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે સૂચવે છે કે $v \propto \sqrt{T}$,જ્યાં $T$ એ કેલ્વિનમાં નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
ધારો કે બે નિશ્ચિત બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $d$ છે.
લાગતો સમય $t = \frac{d}{v}$ છે.
તેથી,$\frac{t_1}{t_2} = \frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
અહીં $T_1 = 10^{\circ}C = 10 + 273 = 283 \ K$ અને $T_2 = 30^{\circ}C = 30 + 273 = 303 \ K$ છે.
આપેલ છે કે $t_1 = 2.0 \ s$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{2.0}{t_2} = \sqrt{\frac{303}{283}} \approx \sqrt{1.0706} \approx 1.0347$.
$t_2 = \frac{2.0}{1.0347} \approx 1.93 \ s$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $1.9 \ s$ છે.

(A) વાયુમાં ધ્વનિનો વેગ $v = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\gamma$ એ એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ છે,$P$ એ દબાણ છે અને $\rho$ એ વાયુની ઘનતા છે.
દબાણ અને તાપમાનની સમાન પરિસ્થિતિઓમાં,ભેજવાળી હવાની (પાણીની વરાળ સાથે મિશ્રિત હવા) ઘનતા સૂકી હવાની ઘનતા કરતા ઓછી હોય છે કારણ કે પાણીની વરાળનું આણ્વીય વજન $(18 \ g/mol)$ એ સૂકી હવાના સરેરાશ આણ્વીય વજન (આશરે $29 \ g/mol$) કરતા ઓછું હોય છે.
જેથી $v \propto \frac{1}{\sqrt{\rho}}$ હોવાથી,ઓછી ઘનતાને કારણે ધ્વનિનો વેગ વધારે હોય છે.
તેથી,$v_m > v_d$.

(A) ધારો કે માણસથી બે ખડકોનું અંતર $d_1$ અને $d_2$ છે. ખડકો વચ્ચેનું કુલ અંતર $D = d_1 + d_2$ છે.
પ્રથમ પડઘો પાછો આવવા માટે લાગતો સમય $t_1 = \frac{2d_1}{v}$ છે.
બીજો પડઘો પાછો આવવા માટે લાગતો સમય $t_2 = \frac{2d_2}{v}$ છે.
બે પડઘા વચ્ચેનો સમયગાળો $1 \, s$ આપેલ છે,તેથી $|t_2 - t_1| = 1 \, s$.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{2d_2}{v} - \frac{2d_1}{v} = 1 \implies d_2 - d_1 = \frac{v}{2} = \frac{340}{2} = 170 \, m$.
જો કે,પ્રશ્નમાં ખડકો વચ્ચેનું અંતર પૂછવામાં આવ્યું છે,જે $D = d_1 + d_2$ છે. આપેલ ઉકેલ મુજબ જો બંને પડઘા માટેનો કુલ સમય $2 \, s$ હોય,તો $D = \frac{v \times t}{2} = \frac{340 \times 2}{2} = 340 \, m$ મળે.

(D) ધ્વનિ તરંગની આવૃત્તિ એ સ્ત્રોતનો લાક્ષણિક ગુણધર્મ છે.
જ્યારે ધ્વનિ તરંગ એક માધ્યમ (પાણી) માંથી બીજા માધ્યમ (હવા) માં જાય છે,ત્યારે તેની ઝડપ અને તરંગલંબાઇ બદલાય છે,પરંતુ આવૃત્તિ અચળ રહે છે.
તેથી,હવામાં ઉભેલા અવલોકનકાર દ્વારા નોંધાયેલ ધ્વનિની આવૃત્તિ સ્ત્રોતની આવૃત્તિ જેટલી જ રહેશે.
આવૃત્તિ = $600 Hz$.

(C) વાયુમાં ધ્વનિનો વેગ $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\gamma$ એ એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ છે,$R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે અને $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $v \propto \sqrt{T}$.
તેથી,જ્યારે વાતાવરણનું તાપમાન વધે છે,ત્યારે ધ્વનિ તરંગનો વેગ વધે છે.

(A) જ્યારે ધ્વનિ તરંગ એક માધ્યમમાંથી બીજા માધ્યમમાં જાય છે,ત્યારે તેની આવૃત્તિ બદલાતી નથી કારણ કે તે સ્ત્રોત દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
તેથી,હવામાં તરંગની આવૃત્તિ $f = 60 \, kHz$ જ રહેશે.
હવામાં તરંગલંબાઇ $\lambda$ એ સૂત્ર $\lambda = \frac{v}{f}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ હવામાં અવાજનો વેગ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\lambda = \frac{330 \, m/s}{60 \times 10^3 \, Hz} = \frac{330}{60000} \, m = 0.0055 \, m = 5.5 \, mm$.
આમ,તરંગલંબાઇ $5.5 \, mm$ છે અને આવૃત્તિ $60 \, kHz$ છે.

(C) ધ્વનિ તરંગો એ યાંત્રિક તરંગો છે જેને પ્રસરણ માટે માધ્યમની જરૂર હોય છે.
ખડકો જેવા ઘન પદાર્થોમાં બલ્ક મોડ્યુલસ અને શિયર મોડ્યુલસ બંને હોય છે.
આ ગુણધર્મોને કારણે,ઘન પદાર્થો સંગત તરંગો (જ્યાં કણો પ્રસરણની દિશાને સમાંતર દોલન કરે છે) અને લંબગત તરંગો (જ્યાં કણો પ્રસરણની દિશાને લંબ દોલન કરે છે) બંનેને ટેકો આપી શકે છે.
તેથી,ખડકોમાં અવાજ સંગત અને લંબગત બંને સ્થિતિસ્થાપક તરંગોના સ્વરૂપમાં પ્રસરણ પામે છે.

(A) લંબગત તરંગ એ એવું તરંગ છે જેમાં માધ્યમના કણો તરંગના પ્રસરણની દિશાને સમાંતર દોલન કરે છે.
હવામાં ધ્વનિ તરંગો એ લંબગત તરંગોના ઉત્તમ ઉદાહરણો છે કારણ કે તે માધ્યમમાં સંઘનન અને વિઘનન દ્વારા આગળ વધે છે.
ખેંચાયેલી દોરી પરના તરંગો એ લંબગત (transverse) તરંગો છે.
પ્રકાશના તરંગો એ વિદ્યુતચુંબકીય $(EM)$ તરંગો છે,જે પ્રકૃતિમાં લંબગત હોય છે.
પાણીના તરંગો એ લંબગત અને લંબગત બંને ગતિનું મિશ્રણ છે,પરંતુ ધ્વનિ તરંગો પ્રવાહીમાં સંપૂર્ણપણે લંબગત હોય છે.

(B) ધ્વનિ તરંગો એ યાંત્રિક તરંગો છે જેને પ્રસરણ માટે માધ્યમની જરૂર હોય છે.
વાયુઓમાં,ધ્વનિ તરંગો સંગત તરંગો તરીકે પ્રસરણ પામે છે.
આનું કારણ એ છે કે માધ્યમના કણો તરંગના પ્રસરણની દિશાને સમાંતર આગળ-પાછળ કંપન કરે છે,જેનાથી સંઘનન અને વિઘનન ઉત્પન્ન થાય છે.