Longitudinal Stationary Waves (Organ Pipes) and Resonance Tube Questions in Gujarati

(D) ટ્યુનિંગ ફોર્ક એક છેડે બંધ પાઇપમાં હવાના સ્તંભ સાથે અનુનાદ બનાવે છે. અનુનાદની સ્થિતિ $n = \frac{(2N - 1)v}{4l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N = 1, 2, 3, \dots$ એ કંપનનો પ્રકાર દર્શાવે છે.
આપેલ છે $n = 340 \ Hz$ અને $v = 340 \ m/s$,હવાના સ્તંભની લંબાઈ $l$ નીચે મુજબ છે:
$l = \frac{(2N - 1)v}{4n} = \frac{(2N - 1) \times 340}{4 \times 340} = \frac{2N - 1}{4} \ m = (2N - 1) \times 25 \ cm$.
$N = 1$ માટે,$l_1 = 25 \ cm$.
$N = 2$ માટે,$l_2 = 75 \ cm$.
$N = 3$ માટે,$l_3 = 125 \ cm$ (શક્ય નથી કારણ કે નળીની ઊંચાઈ $120 \ cm$ છે).
પાણીના સ્તંભની ઊંચાઈ $h$ એ $h = H_{tube} - l$ દ્વારા મળે છે.
$l_1 = 25 \ cm$ માટે,$h_1 = 120 - 25 = 95 \ cm$.
$l_2 = 75 \ cm$ માટે,$h_2 = 120 - 75 = 45 \ cm$.
અનુનાદ માટે જરૂરી પાણીની ન્યૂનતમ ઊંચાઈ $45 \ cm$ છે.

(C) સામાન્ય માનવી સાંભળી શકે તેવી મહત્તમ આવૃત્તિ $20,000 \ Hz$ છે.
બંધ ઓર્ગન પાઇપ માટે,$N$ માં મોડની આવૃત્તિ $f_N = (2N - 1)f_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f_1 = 1500 \ Hz$ એ મૂળભૂત આવૃત્તિ છે.
આપણે $f_N \le 20,000 \ Hz$ ની જરૂર છે.
$(2N - 1) \times 1500 \le 20,000$
$2N - 1 \le \frac{20,000}{1500} \approx 13.33$
$2N \le 14.33 \implies N \le 7.16$.
કારણ કે $N$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,મહત્તમ મોડ નંબર $N = 7$ છે.
ઓવરટોન્સની સંખ્યા $(N - 1)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,ઓવરટોન્સની સંખ્યા $= 7 - 1 = 6$.

(C) બંને છેડે ખુલ્લી પાઇપમાં,ખુલ્લા છેડા હંમેશા સ્થાનાંતરના એન્ટિનોડ (પ્રસ્પંદ) હોય છે. દબાણમાં ફેરફાર એ સ્થાનાંતરના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી,ખુલ્લા છેડા પર દબાણમાં ફેરફાર ન્યૂનતમ (શૂન્ય) હોય છે. તેથી,'બંને છેડે દબાણમાં ફેરફાર મહત્તમ હશે' તે વિધાન ખોટું છે.

(C) એક છેડે બંધ પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $(f_1)$ નું સૂત્ર $f_1 = \frac{v}{4L}$ છે.
આપેલ છે: $v = 340 \, m s^{-1}$ અને $L = 85 \, cm = 0.85 \, m$.
કિંમતો મૂકતા: $f_1 = \frac{340}{4 \times 0.85} = \frac{340}{3.4} = 100 \, Hz$.
બંધ પાઇપની પ્રાકૃતિક આવૃત્તિઓ મૂળભૂત આવૃત્તિના એકી ગુણકો હોય છે: $f_n = (2n - 1)f_1$,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$.
આવૃત્તિઓ નીચે મુજબ છે: $100 \, Hz, 300 \, Hz, 500 \, Hz, 700 \, Hz, 900 \, Hz, 1100 \, Hz, 1300 \, Hz, \dots$.
આપણે $1250 \, Hz$ થી ઓછી આવૃત્તિઓની સંખ્યા શોધવાની છે.
આ આવૃત્તિઓ $100, 300, 500, 700, 900, 1100$ છે.
આમ,કુલ $6$ શક્ય પ્રાકૃતિક દોલનો મળે છે.

(A) બંને છેડે જડેલી દોરી માટે,અનુનાદિત આવૃત્તિઓ $v_n = n \cdot v_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v_0$ એ મૂળભૂત આવૃત્તિ (સૌથી ઓછી અનુનાદિત આવૃત્તિ) છે અને $n = 1, 2, 3, \dots$ છે.
કોઈપણ બે ક્રમિક અનુનાદિત આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત $\Delta v = v_{n+1} - v_n = (n+1)v_0 - nv_0 = v_0$ છે.
આપેલ છે કે $420\, Hz$ અને $315\, Hz$ એ અનુનાદિત આવૃત્તિઓ છે અને તેમની વચ્ચે અન્ય કોઈ અનુનાદિત આવૃત્તિઓ નથી,તેથી તેઓ ક્રમિક હાર્મોનિક્સ હોવા જોઈએ.
તેથી,મૂળભૂત આવૃત્તિ $v_0$ એ આ બે આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત છે:
$v_0 = 420\, Hz - 315\, Hz = 105\, Hz$.

(D) $L'$ લંબાઈ ધરાવતી ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપ માટે,$n$-માં હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_n = n \frac{v}{2L'}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$ છે. બીજો ઓવરટોન એ $3$-જો હાર્મોનિક $(n=3)$ છે. તેથી,$f_{open} = 3 \frac{v}{2L'}$.
$L$ લંબાઈ ધરાવતી બંધ ઓર્ગન પાઇપ માટે,$n$-માં હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_n = n \frac{v}{4L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 1, 3, 5, \dots$ છે. પ્રથમ ઓવરટોન એ $3$-જો હાર્મોનિક $(n=3)$ છે. તેથી,$f_{closed} = 3 \frac{v}{4L}$.
પ્રશ્ન મુજબ,બંને આવૃત્તિઓ સમાન છે:
$3 \frac{v}{2L'} = 3 \frac{v}{4L}$
બંને બાજુથી $3v$ ને દૂર કરતા:
$\frac{1}{2L'} = \frac{1}{4L}$
$L'$ માટે ઉકેલતા:
$2L' = 4L \implies L' = 2L \; m$.

(B) એક છેડે બંધ હવાના સ્તંભ માટે,અનુનાદ એકી હાર્મોનિક્સ પર થાય છે.
મૂળભૂત આવૃત્તિ (પ્રથમ હાર્મોનિક) એ સૌથી નાની લંબાઈ $l_1$ ને અનુરૂપ છે:
$l_1 = \frac{\lambda}{4} = 50\, cm$
પછીનો અનુનાદ (ત્રીજો હાર્મોનિક) લંબાઈ $l_2$ પર થાય છે:
$l_2 = \frac{3\lambda}{4}$
$\lambda = 4 \times 50\, cm = 200\, cm$ મૂકતા:
$l_2 = 3 \times \left(\frac{200}{4}\right) = 3 \times 50 = 150\, cm$.

(C) $L$ લંબાઈની ખુલ્લી ઓર્ગન પાઈપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{v}{2L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે.
આના પરથી,પાઈપની લંબાઈ $L = \frac{v}{2n}$ થાય.
$n_{1}$ અને $n_{2}$ મૂળભૂત આવૃત્તિ ધરાવતી બે પાઈપો માટે,તેમની લંબાઈ $L_{1} = \frac{v}{2n_{1}}$ અને $L_{2} = \frac{v}{2n_{2}}$ છે.
જ્યારે આ બે પાઈપોને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે નવી પાઈપની કુલ લંબાઈ $L_{new} = L_{1} + L_{2}$ થાય છે.
નવી પાઈપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{v}{2L_{new}} = \frac{v}{2(L_{1} + L_{2})}$ છે.
$L_{1}$ અને $L_{2}$ ની કિંમતો મૂકતા:
$n = \frac{v}{2(\frac{v}{2n_{1}} + \frac{v}{2n_{2}})} = \frac{v}{v(\frac{1}{n_{1}} + \frac{1}{n_{2}})} = \frac{1}{\frac{n_{1} + n_{2}}{n_{1}n_{2}}}$.
તેથી,$n = \frac{n_{1}n_{2}}{n_{1} + n_{2}}$.

(B) એક છેડે બંધ નળી માટે,શક્ય આવૃત્તિઓ (હાર્મોનિક્સ) $f_n = n \cdot f_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ એકી પૂર્ણાંક $(n = 1, 3, 5, \dots)$ હોવો જોઈએ અને $f_0$ એ મૂળભૂત આવૃત્તિ છે.
આવી નળી માટે બે ક્રમિક હાર્મોનિક્સ વચ્ચેનો તફાવત $2f_0$ હોય છે.
આપેલ છે કે બે નજીકના હાર્મોનિક્સ $f_1 = 220\, Hz$ અને $f_2 = 260\, Hz$ છે.
આ બે હાર્મોનિક્સ વચ્ચેનો તફાવત $2f_0 = 260\, Hz - 220\, Hz = 40\, Hz$ છે.
તેથી,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_0 = \frac{40\, Hz}{2} = 20\, Hz$ થાય.

(A) $l'$ લંબાઈ ધરાવતી ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_{open} = \frac{v}{2l'}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$l$ લંબાઈ ધરાવતી બંધ ઓર્ગન પાઇપની આવૃત્તિઓ $f_n = \frac{nv}{4l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 1, 3, 5, \dots$ (એકી હાર્મોનિક્સ).
બંધ ઓર્ગન પાઇપનો ત્રીજો હાર્મોનિક $n = 3$ ને અનુરૂપ છે,તેથી $f_{closed, 3} = \frac{3v}{4l}$ થાય.
પ્રશ્ન મુજબ,$f_{open} = f_{closed, 3}$ છે.
તેથી,$\frac{v}{2l'} = \frac{3v}{4l}$ થાય.
$l'$ માટે સાદું રૂપ આપતા,$l' = \frac{4l}{6} = \frac{2l}{3}$ મળે.
અહીં $l = 20 \ cm$ આપેલ હોવાથી,$l' = \frac{2 \times 20}{3} = \frac{40}{3} \approx 13.33 \ cm$ થાય.

(B) અનુનાદ નળીના પ્રયોગમાં,બે ક્રમિક અનુનાદ સ્થાનો વચ્ચેનું અંતર ધ્વનિ તરંગની તરંગલંબાઈના અડધા જેટલું હોય છે,એટલે કે $\frac{\lambda}{2} = L_2 - L_1$.
અહીં,$L_1 = 20\,cm = 0.20\,m$ અને $L_2 = 73\,cm = 0.73\,m$ આપેલ છે.
તેથી,$\frac{\lambda}{2} = 0.73\,m - 0.20\,m = 0.53\,m$.
આનો અર્થ એ છે કે $\lambda = 2 \times 0.53\,m = 1.06\,m$.
ધ્વનિનો વેગ $v$ એ સૂત્ર $v = f \lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f$ એ ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ છે.
અહીં $f = 320\,Hz$ આપેલ છે.
$v = 320 \times 1.06 = 339.2\,m/s$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,ધ્વનિનો વેગ $339\,m/s$ છે.

(C) બંધ ઓર્ગન પાઇપ (રેઝોનન્સ ટ્યુબ) માટે,રેઝોનન્સની લંબાઈ $l_n = (2n - 1) \frac{\lambda}{4}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$ છે.
પ્રથમ રેઝોનન્સ $(n=1)$ માટે,$l_1 = \frac{\lambda}{4} = 16\,cm$ છે.
બીજા રેઝોનન્સ $(n=2)$ માટે,$l_2 = 3 \frac{\lambda}{4} = 3 \times 16 = 48\,cm$ છે.
આમ,પછીનું રેઝોનન્સ $48\,cm$ પર મળે છે.

(C) $l$ લંબાઈની બંને છેડે ખુલ્લી પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_1 = v / (2l)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે.
જ્યારે પાઇપનો $3/4$ ભાગ પાણીમાં ડૂબેલો હોય,ત્યારે હવાના સ્તંભની અસરકારક લંબાઈ $l' = l - (3/4)l = l/4$ થાય છે.
આ હવાના સ્તંભ એક છેડે બંધ પાઇપ તરીકે કાર્ય કરે છે.
એક છેડે બંધ પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_2 = v / (4l')$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$l' = l/4$ મૂકતા,આપણને $f_2 = v / (4 \times (l/4)) = v/l$ મળે છે.
$f_1$ અને $f_2$ ની સરખામણી કરતા,આપણને $f_2 = 2 \times (v / (2l)) = 2f_1$ મળે છે.
તેથી,ગુણોત્તર $f_1/f_2 = f_1 / (2f_1) = 1/2 = 0.5$ થાય છે.

(C) $l$ લંબાઈની બંધ પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{v}{4l} = 220 \ Hz$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આના પરથી,આપણે ધ્વનિની ઝડપ $v = 220 \times 4l = 880l \ m/s$ મેળવીએ છીએ.
જ્યારે પાઇપનો $\frac{1}{4}$ ભાગ પાણીથી ભરવામાં આવે છે,ત્યારે હવાના સ્તંભની લંબાઈ $l' = l - \frac{1}{4}l = \frac{3}{4}l$ થાય છે.
આ હવાના સ્તંભની નવી મૂળભૂત આવૃત્તિ $n' = \frac{v}{4l'} = \frac{v}{4(\frac{3}{4}l)} = \frac{v}{3l}$ છે.
બંધ પાઇપનો પ્રથમ ઓવરટોન એ મૂળભૂત આવૃત્તિ કરતા $3$ ગણો હોય છે.
તેથી,પ્રથમ ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f_{1st} = 3 \times n' = 3 \times \frac{v}{3l} = \frac{v}{l}$ છે.
$v = 880l$ મૂકતા,આપણને $f_{1st} = \frac{880l}{l} = 880 \ Hz$ મળે છે.

(B) નળી એક બંધ ઓર્ગન પાઇપ તરીકે કાર્ય કરે છે કારણ કે એક છેડો પાણીની સપાટી દ્વારા બંધ છે અને બીજો છેડો ખુલ્લો છે. બંધ પાઇપ માટે અનુનાદની શરત $l = \frac{(2N - 1)v}{4f}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N$ એ અનુનાદનો ક્રમ છે,$v = 330 \ m/s$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે અને $f = 660 \ Hz$ એ આવૃત્તિ છે.
કિંમતો મૂકતા: $1.5 = \frac{(2N - 1) \times 330}{4 \times 660}$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $1.5 = \frac{(2N - 1)}{8}$.
$12 = 2N - 1$.
$2N = 13$.
$N = 6.5$.
$N$ એ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $N$ માટે શક્ય કિંમતો $1, 2, 3, 4, 5, 6$ છે. આમ,કુલ $6$ અનુનાદ સંભળાશે.

(B) ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપ માટે,$n$મા ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f_n = (n+1)f_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f_0$ એ મૂળભૂત આવૃત્તિ છે.
આમ,$5$મો ઓવરટોન એ $6$મા હાર્મોનિક મોડને અનુરૂપ છે ($n=5$,તેથી હાર્મોનિક નંબર $p = n+1 = 6$).
$p$મા હાર્મોનિક મોડમાં કંપન કરતી ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપમાં:
નોડ્સની સંખ્યા $(N)$ = $p = 6$.
એન્ટિનોડ્સની સંખ્યા $(A)$ = $p + 1 = 6 + 1 = 7$.
તેથી,$6$ નોડ્સ અને $7$ એન્ટિનોડ્સ હોય છે.

(A) બંને છેડે બાંધેલી દોરી માટે,$n^{th}$ ઓવરટોન એ $(n+1)^{th}$ હાર્મોનિકને અનુરૂપ છે.
દોરીની લંબાઈ $L$ અને તરંગલંબાઈ $\lambda$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $L = (n+1) \frac{\lambda}{2} \dots (1)$.
પાસપાસેના નોડ અને એન્ટિનોડ વચ્ચેનું અંતર હંમેશા $\frac{\lambda}{4}$ હોય છે. પ્રશ્ન મુજબ,આ અંતર $d$ છે. તેથી,$\frac{\lambda}{4} = d$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda = 4d$.
સમીકરણ $(1)$ માં $\lambda = 4d$ ની કિંમત મૂકતા:
$L = (n+1) \frac{4d}{2}$
$L = 2d(n+1)$.

(A) આપેલ ધ્વનિ તરંગોની આવૃત્તિ $\nu = 660 \, Hz$ અને વેગ $v = 330 \, m/s$ છે.
ધ્વનિ તરંગોની તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{v}{\nu} = \frac{330}{660} = 0.5 \, m$ છે.
જ્યારે ધ્વનિ તરંગો સંપૂર્ણ પરાવર્તક દીવાલ પરથી પરાવર્તિત થાય છે,ત્યારે આપાત અને પરાવર્તિત તરંગોના વ્યતિકરણને કારણે સ્થિત તરંગો રચાય છે.
પરાવર્તક સપાટી (દીવાલ) પર હંમેશા સ્થાનાંતરનું નિસ્પંદ બિંદુ (node) રચાય છે.
હવાના કણોનો કંપન કંપવિસ્તાર મહત્તમ હોય તેવા બિંદુને પ્રસ્પંદ બિંદુ (antinode) કહેવાય છે.
દીવાલ (નિસ્પંદ બિંદુ) થી મહત્તમ કંપવિસ્તાર ધરાવતા પ્રથમ બિંદુ (પ્રસ્પંદ બિંદુ) સુધીનું લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{\lambda}{4}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\lambda$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $d = \frac{0.5}{4} = 0.125 \, m$ મળે છે.

(B) ખુલ્લી ઓર્ગન પાઈપ માટે,લંબાઈ $L$ એ $L = \frac{n \lambda}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ તરંગલંબાઈ છે અને $n$ એ પૂર્ણાંક છે $(n = 1, 2, 3, \dots)$.
બીજા હાર્મોનિક મોડ માટે,$n = 2$. તેથી,$L = \frac{2 \lambda}{2} = \lambda$.
ખુલ્લી ઓર્ગન પાઈપમાં,છેડાઓ હંમેશા સ્થાનાંતર માટે એન્ટિનોડ્સ $(A)$ હોય છે,જે દબાણના ફેરફાર માટે નોડ્સ (નિસ્પંદ બિંદુઓ) ને અનુરૂપ હોય છે. સ્થાનાંતર માટેના નોડ્સ $(N)$ એવા બિંદુઓ છે જ્યાં દબાણનો ફેરફાર મહત્તમ હોય છે.
બીજા હાર્મોનિક મોડમાં,સ્થિત તરંગની ભાતમાં ત્રણ એન્ટિનોડ્સ અને બે નોડ્સ હોય છે. નોડ્સ એક છેડેથી $\frac{\lambda}{4}$ અને $\frac{3\lambda}{4}$ અંતરે આવેલા હોય છે. કારણ કે $L = \lambda$,આ સ્થાનો એક છેડેથી $\frac{L}{4}$ અને $\frac{3L}{4}$ અંતરે છે.
આમ,દબાણનું કંપન નળીની અંદર કોઈપણ છેડેથી $\frac{L}{4}$ અંતરે મહત્તમ હોય છે.

(C) $l$ લંબાઈની ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_1 = \frac{v}{2l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(l+x)$ લંબાઈની ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_2 = \frac{v}{2(l+x)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બીટ આવૃત્તિ એ બે આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત છે: $f_{beat} = |f_1 - f_2|$.
$f_{beat} = \frac{v}{2l} - \frac{v}{2(l+x)} = \frac{v}{2} \left( \frac{1}{l} - \frac{1}{l+x} \right)$.
$f_{beat} = \frac{v}{2} \left( \frac{l+x-l}{l(l+x)} \right) = \frac{v}{2} \left( \frac{x}{l(l+x)} \right)$.
કારણ કે $x << l$,આપણે $l+x \approx l$ તરીકે લઈ શકીએ છીએ.
તેથી,$f_{beat} \approx \frac{v}{2} \left( \frac{x}{l^2} \right) = \frac{vx}{2l^2}$.

(C) ધ્વનિ તરંગની તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{v}{\nu}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\lambda = \frac{340}{340} = 1 \, m = 100 \, cm$.
બંધ ઓર્ગન પાઇપ (અનુનાદ નળી) માટે,અનુનાદ ત્યારે થાય છે જ્યારે હવાના સ્તંભની લંબાઈ $l$ એ $l = \frac{(2n-1)\lambda}{4}$ શરતનું પાલન કરે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$.
હવાના સ્તંભની શક્ય લંબાઈઓ:
$n=1$ માટે: $l_1 = \frac{\lambda}{4} = \frac{100}{4} = 25 \, cm$.
$n=2$ માટે: $l_2 = \frac{3\lambda}{4} = \frac{300}{4} = 75 \, cm$.
$n=3$ માટે: $l_3 = \frac{5\lambda}{4} = \frac{500}{4} = 125 \, cm$.
નળીની કુલ લંબાઈ $120 \, cm$ હોવાથી,$l_3 = 125 \, cm$ શક્ય નથી.
જેમ પાણી રેડવામાં આવે છે,તેમ હવાના સ્તંભની લંબાઈ ઘટે છે. પ્રથમ અનુનાદ $l_2 = 75 \, cm$ પર થાય છે.
પાણીના સ્તંભની ઊંચાઈ $h = \text{કુલ લંબાઈ} - \text{હવાના સ્તંભની લંબાઈ} = 120 \, cm - 75 \, cm = 45 \, cm$.

(D) $L = 105 \, cm$ લંબાઈની બંધ પાઇપ માટે,$n$-માં ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f_n = (2n+1) \frac{v}{4L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ત્રીજો ઓવરટોન $n = 3$ ને અનુરૂપ છે,તેથી લંબાઈ $L$ અને તરંગલંબાઈ $\lambda$ વચ્ચેનો સંબંધ $L = \frac{(2n+1)\lambda}{4} = \frac{7\lambda}{4}$ છે.
આપેલ $L = 105 \, cm$ માટે,$105 = \frac{7\lambda}{4}$,જે આપણને $\lambda = \frac{105 \times 4}{7} = 60 \, cm$ આપે છે.
બંધ પાઇપમાં,બંધ છેડો એ સ્થાનાંતર નોડ (દબાણ એન્ટિનોડ) છે અને ખુલ્લો છેડો એ સ્થાનાંતર એન્ટિનોડ (દબાણ નોડ) છે.
દબાણ નોડ બંધ છેડાથી $x = \frac{\lambda}{4}, \frac{3\lambda}{4}, \frac{5\lambda}{4}, \dots$ અંતરે હોય છે.
$\lambda = 60 \, cm$ માટે,દબાણ નોડના સ્થાન $x = 15 \, cm, 45 \, cm, 75 \, cm, \dots$ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$45 \, cm$ એ દબાણ નોડ છે.

(D) આપેલ છે: હવામાં ધ્વનિની ઝડપ,$v = 350 \, m/s$. ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ,$f = 1750 \, Hz$.
એક છેડે બંધ પાઇપ માટે,અનુનાદિત આવૃત્તિઓ $f_n = \frac{(2n-1)v}{4L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$ અને $L$ એ હવાના સ્તંભની લંબાઈ છે.
શરૂઆતમાં,$L_1 = 25 \, cm = 0.25 \, m$. કિંમતો મૂકતા: $1750 = \frac{(2n-1) \times 350}{4 \times 0.25}$.
$1750 = \frac{(2n-1) \times 350}{1} \implies 2n-1 = \frac{1750}{350} = 5 \implies 2n = 6 \implies n = 3$.
તે જ ટ્યુનિંગ ફોર્ક સાથે ફરીથી અનુનાદિત થવા માટે,આગામી અનુનાદિત લંબાઈ $L_2$ એ $n = 4$ ને અનુરૂપ છે.
$1750 = \frac{(2 \times 4 - 1) \times 350}{4 \times L_2} \implies 1750 = \frac{7 \times 350}{4 \times L_2}$.
$L_2 = \frac{7 \times 350}{4 \times 1750} = \frac{2450}{7000} = 0.35 \, m = 35 \, cm$.
પાઇપને ઉપર ઉઠાવવાનું લઘુત્તમ અંતર $\Delta L = L_2 - L_1 = 35 \, cm - 25 \, cm = 10 \, cm$ છે.

(A) $l$ લંબાઈની બંધ ઓર્ગન પાઇપમાં,શક્ય આવૃત્તિઓ $\nu_n = (2n + 1) \frac{v}{4l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 0, 1, 2, \dots$ એ કંપનનો પ્રકાર દર્શાવે છે.
$n = 0$ માટે,$\nu_0 = \frac{v}{4l}$ (મૂળભૂત આવૃત્તિ અથવા પ્રથમ હાર્મોનિક).
$n = 1$ માટે,$\nu_1 = 3 \frac{v}{4l}$ (પ્રથમ ઓવરટોન અથવા ત્રીજો હાર્મોનિક).
$n = 2$ માટે,$\nu_2 = 5 \frac{v}{4l}$ (બીજો ઓવરટોન અથવા પાંચમો હાર્મોનિક).
સામાન્ય રીતે,$p^{th}$ ઓવરટોન માટે,આપણે $n = p$ લઈએ છીએ. આવૃત્તિ $\nu_p = (2p + 1) \frac{v}{4l}$ છે.
મૂળભૂત આવૃત્તિ $\nu_0 = \frac{v}{4l}$ હોવાથી,આપણને $\nu_p = (2p + 1) \nu_0$ મળે છે.
આમ,$p^{th}$ ઓવરટોન એ $(2p + 1)^{th}$ હાર્મોનિકને અનુરૂપ છે.

(C) અંતિમ સુધારા (end correction) સાથે બંધ ઓર્ગન પાઇપ માટે,$n$ માં મોડની આવૃત્તિ $\nu_{n}^{\prime} = \frac{(2n-1)v}{4(L+0.6r_1)}$ છે,જ્યાં $0.6r_1$ એ અંતિમ સુધારો છે.
મૂળભૂત મોડ $(n=1)$ માટે,$\nu_{1}^{\prime} = \frac{v}{4(L+0.6r_1)}$.
અંતિમ સુધારા સાથે ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપ માટે,$m$ માં મોડની આવૃત્તિ $\nu_{m} = \frac{mv}{2(L+2 \times 0.6r_2)}$ છે,જ્યાં $0.6r_2$ એ દરેક છેડે અંતિમ સુધારો છે.
પ્રથમ ઓવરટોન $(m=2)$ માટે,$\nu_{2} = \frac{2v}{2(L+1.2r_2)} = \frac{v}{L+1.2r_2}$.
બંને પાઇપ સમાન ટ્યુનિંગ ફોર્ક સાથે અનુનાદિત થતી હોવાથી,$\nu_{1}^{\prime} = \nu_{2}$.
તેથી,$\frac{v}{4(L+0.6r_1)} = \frac{v}{L+1.2r_2}$.
$L + 1.2r_2 = 4L + 2.4r_1$.
$1.2r_2 - 2.4r_1 = 3L$.
$1.2$ વડે ભાગતા,આપણને $r_2 - 2r_1 = 2.5L$ મળે છે.

(C) ધારો કે $L'$ અને $L$ અનુક્રમે બંધ અને ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપની લંબાઈ છે.
બંધ ઓર્ગન પાઇપ માટે,$n^{th}$ હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $\nu_n' = \frac{n v}{4 L'}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એકી પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ $(n = 1, 3, 5, \dots)$.
બંધ પાઇપનો પ્રથમ ઓવરટોન $3^{rd}$ હાર્મોનિક $(n=3)$ ને અનુરૂપ છે,તેથી $\nu_{1st, closed} = \frac{3 v}{4 L'}$.
ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપ માટે,$m^{th}$ હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $\nu_m = \frac{m v}{2 L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m = 1, 2, 3, \dots$.
ખુલ્લી પાઇપનો પ્રથમ ઓવરટોન $2^{nd}$ હાર્મોનિક $(m=2)$ ને અનુરૂપ છે,તેથી $\nu_{1st, open} = \frac{2 v}{2 L} = \frac{v}{L}$.
આપેલ છે કે $\nu_{1st, closed} = \nu_{1st, open}$,તેથી $\frac{3 v}{4 L'} = \frac{v}{L}$,જે સૂચવે છે કે $\frac{L'}{L} = \frac{3}{4}$.
આપેલ છે કે બંધ પાઇપનો $n^{th}$ હાર્મોનિક ખુલ્લી પાઇપના $m^{th}$ હાર્મોનિક સમાન છે: $\frac{n v}{4 L'} = \frac{m v}{2 L}$.
$\frac{L'}{L} = \frac{3}{4}$ મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{n}{4(3/4)} = \frac{m}{2} \implies \frac{n}{3} = \frac{m}{2} \implies 2n = 3m$.
વિકલ્પો તપાસતા: $n=9$ અને $m=6$ માટે,$2(9) = 18$ અને $3(6) = 18$. આમ,$n=9$ અને $m=6$ એ સાચી જોડી છે.

(C) રેઝોનન્સ ટ્યુબમાં,પ્રથમ રેઝોનન્સ માટે હવાના સ્તંભની લંબાઈ $l_1 = \frac{\lambda}{4} - e$ છે,જ્યાં $e$ એ એન્ડ કરેક્શન છે.
બીજા રેઝોનન્સ માટે,લંબાઈ $l_2 = \frac{3\lambda}{4} - e$ છે.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $l_2 - l_1 = \frac{3\lambda}{4} - \frac{\lambda}{4} = \frac{2\lambda}{4} = \frac{\lambda}{2}$.
આમ,$\lambda = 2(l_2 - l_1)$.
પ્રથમ રેઝોનન્સના સમીકરણમાં $\lambda$ ની કિંમત મૂકતા: $l_1 = \frac{2(l_2 - l_1)}{4} - e = \frac{l_2 - l_1}{2} - e$.
તેથી,એન્ડ કરેક્શન $e = \frac{l_2 - l_1}{2} - l_1 = \frac{l_2 - 3l_1}{2}$.
ડિસ્પ્લેસમેન્ટ એન્ટિનોડ ટ્યુબના ખુલ્લા છેડાથી $e$ જેટલા અંતરે ઉપર આવેલું હોય છે. તેથી,અંતર $\frac{l_2 - 3l_1}{2}$ છે.

(B) બંધ ઓર્ગન પાઇપ માટે,હાર્મોનિક્સની આવૃત્તિઓ $f_n = (2n-1)f_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n=1, 2, 3, ...$ એ મૂળભૂત,$1^{st}$ ઓવરટોન,$2^{nd}$ ઓવરટોન વગેરે દર્શાવે છે.
$3^{rd}$ ઓવરટોન માટે,$n=4$,તેથી આવૃત્તિ $f_4 = (2(4)-1)f_0 = 7f_0$ છે.
$n^{th}$ હાર્મોનિક માટે તરંગલંબાઇ $\lambda$ ના સંદર્ભમાં પાઇપની લંબાઈ $l = \frac{(2n-1)\lambda}{4}$ છે.
$3^{rd}$ ઓવરટોન $(n=4)$ માટે,$l = \frac{7\lambda}{4}$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda = \frac{4l}{7}$.
બંધ ઓર્ગન પાઇપમાં બંધ છેડા (નોડ) થી $x$ અંતરે સ્થાનાંતર કંપવિસ્તાર $y(x) = a \sin(kx)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k = \frac{2\pi}{\lambda}$.
$k = \frac{2\pi}{(4l/7)} = \frac{7\pi}{2l}$ મૂકતા,આપણને $y(x) = a \sin\left(\frac{7\pi x}{2l}\right)$ મળે છે.
$x = l/7$ પર,કંપવિસ્તાર $y(l/7) = a \sin\left(\frac{7\pi (l/7)}{2l}\right) = a \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = a(1) = a$ થાય છે.

(D) રેઝોનન્સ ટ્યુબમાં,રેઝોનન્સ લંબાઈઓ $L_n = (2n-1) \frac{\lambda}{4} + e$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $e$ એ એન્ડ કરેક્શન છે.
ક્રમિક રેઝોનન્સ લંબાઈઓ વચ્ચેનો તફાવત $\Delta L = L_{n+1} - L_n = \frac{\lambda}{2}$ છે.
આપેલ પ્રથમ રેઝોનન્સ લંબાઈ $L_1 = 40\, cm$ અને બીજી રેઝોનન્સ લંબાઈ $L_2 = 122\, cm$ છે,તેથી તફાવત:
$\Delta L = 122\, cm - 40\, cm = 82\, cm$.
ક્રમિક રેઝોનન્સ લંબાઈઓ વચ્ચેનો તફાવત અચળ હોવાથી,ત્રીજી રેઝોનન્સ લંબાઈ $L_3$ થશે:
$L_3 = L_2 + \Delta L = 122\, cm + 82\, cm = 204\, cm$.

(A) ધારો કે બંને પાઇપની લંબાઈ $L$ છે. ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $\nu_{open} = \frac{v}{2L}$ છે.
બંધ ઓર્ગન પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $\nu_{closed} = \frac{v}{4L}$ છે.
બીટ આવૃત્તિ $b = |\nu_{open} - \nu_{closed}| = |\frac{v}{2L} - \frac{v}{4L}| = \frac{v}{4L} = 4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો દરેક પાઇપની લંબાઈ બમણી કરવામાં આવે,તો નવી લંબાઈ $L' = 2L$ થાય છે.
નવી આવૃત્તિઓ $\nu'_{open} = \frac{v}{2(2L)} = \frac{v}{4L}$ અને $\nu'_{closed} = \frac{v}{4(2L)} = \frac{v}{8L}$ છે.
નવી બીટ આવૃત્તિ $b' = |\nu'_{open} - \nu'_{closed}| = |\frac{v}{4L} - \frac{v}{8L}| = \frac{v}{8L}$ છે.
કારણ કે $\frac{v}{4L} = 4$,તેથી $\frac{v}{8L} = \frac{4}{2} = 2$.
તેથી,ઉત્પન્ન થતા બીટ્સની સંખ્યા $2$ હશે.

(D) ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપ $A$ માટે,$n$-માં ઓવરટોનની આવૃત્તિ $\nu_{A,n} = (n+1) \frac{v}{2 l_A}$ છે. બીજો ઓવરટોન $(n=2)$ માટે $\nu_{A,2} = \frac{3v}{2l_A}$ થાય.
બંધ ઓર્ગન પાઇપ $B$ માટે,$n$-માં ઓવરટોનની આવૃત્તિ $\nu_{B,n} = (2n+1) \frac{v}{4 l_B}$ છે. બીજો ઓવરટોન $(n=2)$ માટે $\nu_{B,2} = \frac{5v}{4l_B}$ થાય.
આપેલ છે કે $\nu_{A,2} = \nu_{B,2}$,તેથી $\frac{3v}{2l_A} = \frac{5v}{4l_B}$.
આને સાદું રૂપ આપતા $\frac{l_B}{l_A} = \frac{5 \times 2}{3 \times 4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$ મળે. આમ,$B$ અને $A$ ની લંબાઈનો ગુણોત્તર $5:6$ છે.
હવે,$A$ નો પ્રથમ ઓવરટોન $(n=1)$ $\nu_{A,1} = \frac{2v}{2l_A} = \frac{v}{l_A}$ છે.
$B$ નો પ્રથમ ઓવરટોન $(n=1)$ $\nu_{B,1} = \frac{3v}{4l_B}$ છે.
આ આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર $\frac{\nu_{A,1}}{\nu_{B,1}} = \frac{v}{l_A} \times \frac{4l_B}{3v} = \frac{4}{3} \times \frac{l_B}{l_A} = \frac{4}{3} \times \frac{5}{6} = \frac{20}{18} = \frac{10}{9}$ થાય.
તેથી,બંને વિધાનો $(B)$ અને $(C)$ સાચા છે.

(C) ખુલ્લી ઓર્ગન પાઈપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f = \frac{v}{2L} = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તાપમાન $T$ અચળ હોવાથી,$f \propto \frac{\sqrt{\gamma}}{L \sqrt{M}}$.
ધારો કે $K = \frac{\sqrt{RT}}{2}$. તેથી $f = K \frac{\sqrt{\gamma}}{L \sqrt{M}}$.
પાઈપ $A$ $(H_2)$ માટે: $L_A = l$,$M_A = 2$,$\gamma_A = 1.4 = 7/5$. તેથી,$f_A = K \frac{\sqrt{7/5}}{l \sqrt{2}}$.
પાઈપ $B$ $(O_2)$ માટે: $L_B = l/2$,$M_B = 32$,$\gamma_B = 1.4 = 7/5$. તેથી,$f_B = K \frac{\sqrt{7/5}}{(l/2) \sqrt{32}} = 2K \frac{\sqrt{7/5}}{l \sqrt{32}}$.
પાઈપ $C$ $(N_2)$ માટે: $L_C = 2l/3$,$M_C = 28$,$\gamma_C = 1.4 = 7/5$. તેથી,$f_C = K \frac{\sqrt{7/5}}{(2l/3) \sqrt{28}} = \frac{3}{2} K \frac{\sqrt{7/5}}{l \sqrt{28}}$.
પાઈપ $D$ $(CO_2)$ માટે: $L_D = l/3$,$M_D = 44$,$\gamma_D = 7/5$. તેથી,$f_D = K \frac{\sqrt{7/5}}{(l/3) \sqrt{44}} = 3K \frac{\sqrt{7/5}}{l \sqrt{44}}$.
$f_C/f_D$ ની ગણતરી કરતા: $\frac{3K \sqrt{7/5} / (2l \sqrt{28})}{3K \sqrt{7/5} / (l \sqrt{44})} = \frac{1}{2 \sqrt{28}} \times \sqrt{44} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{44}{28}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{11}{7}} = \sqrt{\frac{11}{28}}$.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(D) ઓર્ગન પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f = \frac{v}{2L}$ (ઓપન પાઇપ માટે) અથવા $f = \frac{v}{4L}$ (બંધ પાઇપ માટે) દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને કિસ્સામાં,$f \propto v$,જ્યાં $v$ એ વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપ છે.
વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.
$T$ અચળ હોવાથી,$v \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$. તેથી,$f \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
$(A)$ $M(H_2) = 2$,$M(O_2) = 32$. $M$ વધતું હોવાથી,$f$ ઘટશે. વિધાન $(A)$ ખોટું છે.
$(B)$ $M(O_2) = 32$,$M(N_2) = 28$. $M$ ઘટતું હોવાથી,$f$ વધશે. વિધાન $(B)$ સાચું છે.
$(C)$ $M(He) = 4$,$M(CH_4) = 16$. $M$ વધતું હોવાથી,$f$ ઘટશે. વિધાન $(C)$ સાચું છે.
તેથી,$(B)$ અને $(C)$ બંને સાચા છે.

(B) બંધ ઓર્ગન પાઇપ માટે,$n$ માં ઓવરટોન માટે લંબાઈ $L$ અને તરંગલંબાઈ $\lambda$ વચ્ચેનો સંબંધ $L = (2n + 1) \frac{\lambda}{4}$ છે.
પ્રથમ ઓવરટોન માટે,$n = 1$,તેથી $L = \frac{3\lambda}{4}$.
અહીં $L = 1.2 \, m$ આપેલ છે,તેથી $\frac{3\lambda}{4} = 1.2 \, m$,જેનું સાદુંરૂપ આપતા $\lambda = 1.6 \, m$ મળે છે.
સ્થિત તરંગોમાં,દબાણનો ફેરફાર સ્થાનાંતરના નિસ્પંદ બિંદુઓ (nodes) પર મહત્તમ હોય છે.
બંધ ઓર્ગન પાઇપમાં,ખુલ્લો છેડો એ સ્થાનાંતરનું પ્રસ્પંદ બિંદુ (antinode) છે અને બંધ છેડો એ સ્થાનાંતરનું નિસ્પંદ બિંદુ (node) છે.
સ્થાનાંતરના નિસ્પંદ બિંદુઓ બંધ છેડાથી $x = 0, \frac{\lambda}{2}, \lambda, \dots$ અંતરે હોય છે.
વૈકલ્પિક રીતે,ખુલ્લા છેડાથી માપતા,સ્થાનાંતરના નિસ્પંદ બિંદુઓ ખુલ્લા છેડાથી $x = \frac{\lambda}{4}, \frac{3\lambda}{4}, \dots$ અંતરે હોય છે.
પ્રથમ ઓવરટોન માટે,પ્રથમ નિસ્પંદ બિંદુ (જ્યાં દબાણનો ફેરફાર મહત્તમ હોય) ખુલ્લા છેડાથી $\frac{\lambda}{4} = \frac{1.6}{4} = 0.4 \, m$ અંતરે આવેલું છે.

(C) સ્થિત તરંગમાં દબાણનો ફેરફાર $p(x, t) = p_0 \cos(kx) \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંધ છેડા પર સ્થાનાંતર શૂન્ય હોય છે,જે દબાણના એન્ટિનોડ (મહત્તમ દબાણ કંપવિસ્તાર) ને અનુરૂપ છે.
ખુલ્લા છેડા પર દબાણ વાતાવરણીય હોય છે,જે દબાણના નોડ (શૂન્ય દબાણ કંપવિસ્તાર) ને અનુરૂપ છે.
આપેલ છે $p = p_0 \cos \frac{3\pi x}{2} \sin 300\pi t$.
$x = 0$ પર,$p = p_0 \cos(0) \sin(300\pi t) = p_0 \sin(300\pi t)$. દબાણનો કંપવિસ્તાર મહત્તમ $(p_0)$ હોવાથી,$x = 0$ એ બંધ છેડો છે.
બીજો છેડો પણ બંધ હોય તે માટે દબાણનો કંપવિસ્તાર મહત્તમ હોવો જોઈએ,એટલે કે $|\cos \frac{3\pi x}{2}| = 1$.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે $\frac{3\pi x}{2} = n\pi$ હોય,જ્યાં $n$ પૂર્ણાંક છે.
પ્રથમ શક્ય લંબાઈ $L > 0$ માટે,આપણે $n = 3$ લઈએ છીએ,તેથી $\frac{3\pi L}{2} = 3\pi$,જે $L = 2 \ m$ આપે છે.
આમ,પાઇપ બંને છેડે બંધ છે અને તેની લંબાઈ $2 \ m$ છે.

(B) રેઝોનન્સ કોલમ પ્રયોગમાં,ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $f$ અચળ રહે છે.
શિયાળામાં પ્રથમ રેઝોનન્સ માટે,લંબાઈ $\ell_1 = 18 \ cm$ છે. આવૃત્તિ $f = \frac{v}{4 \ell_1} = \frac{v}{4 \times 18}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ શિયાળામાં ધ્વનિની ઝડપ છે.
ઉનાળામાં બીજા રેઝોનન્સ માટે,લંબાઈ $\ell_2 = x \ cm$ છે. આવૃત્તિ $f = \frac{3v'}{4 \ell_2} = \frac{3v'}{4x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v'$ એ ઉનાળામાં ધ્વનિની ઝડપ છે.
આવૃત્તિઓને સરખાવતા: $\frac{v}{4 \times 18} = \frac{3v'}{4x}$.
$x$ માટે ઉકેલતા: $x = 54 \times \frac{v'}{v} \ cm$.
ઉનાળામાં તાપમાન શિયાળા કરતા વધારે હોવાથી,ધ્વનિની ઝડપ $v' > v$ થાય છે (કારણ કે $v \propto \sqrt{T}$).
તેથી,$x > 54 \ cm$.

(B) બંને છેડે ખુલ્લી $\ell$ લંબાઈની પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f = \frac{v}{2\ell}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ હવામાં ધ્વનિની ઝડપ છે.
જ્યારે પાઇપને પાણીમાં ઊભી એવી રીતે ડૂબાડવામાં આવે છે કે તેની અડધી લંબાઈ પાણીની અંદર હોય,ત્યારે હવાના સ્તંભની લંબાઈ $\ell^{\prime} = \frac{\ell}{2}$ થાય છે.
હવે પાઇપ એક છેડે બંધ (પાણીની સપાટી દ્વારા) અને બીજા છેડે ખુલ્લી હોવાથી,તે એક છેડે બંધ પાઇપ તરીકે વર્તે છે.
એક છેડે બંધ અને $\ell^{\prime}$ લંબાઈની પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f^{\prime} = \frac{v}{4\ell^{\prime}}$ છે.
સમીકરણમાં $\ell^{\prime} = \frac{\ell}{2}$ મૂકતા,આપણને $f^{\prime} = \frac{v}{4(\ell/2)} = \frac{v}{2\ell}$ મળે છે.
આમ,શરૂઆતની આવૃત્તિ સાથે સરખાવતા,આપણને $f^{\prime} = f$ મળે છે.

(D) $L$ લંબાઈની ખુલ્લી પાઇપ માટે,$n$ માં હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_n = \frac{n v}{2L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે.
અહીં $L = 1.95 \, m$ આપેલ છે,અને બે ક્રમિક હાર્મોનિક્સ $f_n = 275 \, Hz$ અને $f_{n+1} = 330 \, Hz$ છે.
બે ક્રમિક હાર્મોનિક્સ વચ્ચેનો તફાવત એ મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_1 = \frac{v}{2L}$ છે.
$f_{n+1} - f_n = \frac{(n+1)v}{2L} - \frac{nv}{2L} = \frac{v}{2L} = 330 - 275 = 55 \, Hz$.
$L$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{v}{2 \times 1.95} = 55$.
$v = 55 \times 3.9 = 214.5 \, m/s$.

(A) બંને છેડે જડેલા $d$ લંબાઈના તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $(n_0)$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $n_0 = \frac{1}{2d} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$.
કોર્ડ તેની સૌથી સરળ સ્થિત તરંગ અવસ્થા (મૂળભૂત મોડ) માં કંપન કરતી હોવાથી,કંપનની આવૃત્તિ $f$ એ મૂળભૂત આવૃત્તિ $n_0$ જેટલી હોય છે.
તેથી,$f = \frac{1}{2d} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે: $f^2 = \frac{1}{4d^2} \cdot \frac{T}{\mu}$.
તણાવ $T$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $T = 4\mu f^2 d^2$.

(B) રેઝોનન્સ કોલમ પ્રયોગમાં,પ્રથમ રેઝોનન્સ લંબાઈ $l_1$ માટેનું સૂત્ર: $\frac{\lambda}{4} = l_1 + e$ છે,જ્યાં $e$ એ એન્ડ કરેક્શન છે.
$d$ વ્યાસ ધરાવતી ટ્યુબ માટે એન્ડ કરેક્શન $e = 0.3d$ થાય છે.
તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{v}{f}$ દ્વારા ગણવામાં આવે છે,જ્યાં $v = 336 \ m/s$ અને $f = 512 \ Hz$ છે.
$\lambda = \frac{336}{512} \approx 0.65625 \ m = 65.625 \ cm$.
તેથી,$\frac{\lambda}{4} = \frac{65.625}{4} = 16.40625 \ cm$.
આપેલ વ્યાસ $d = 4 \ cm$ માટે,એન્ડ કરેક્શન $e = 0.3 \times 4 = 1.2 \ cm$ થાય.
આ કિંમતોને રેઝોનન્સના સૂત્રમાં મૂકતા: $l_1 = \frac{\lambda}{4} - e = 16.40625 - 1.2 = 15.20625 \ cm$.
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,રીડિંગ $15.2 \ cm$ મળે છે.

(C) બંને છેડે જડેલી દોરી માટે,$2^{nd}$ હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_1 = \frac{2v}{2L} = \frac{v}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ તરંગની ઝડપ છે અને $L$ એ દોરીની લંબાઈ છે.
જ્યારે એક છેડો મુક્ત થાય છે,ત્યારે દોરી એક છેડે બંધ પાઇપ જેવું વર્તે છે. અનુનાદિત આવૃત્તિઓ $f_n = \frac{nv}{4L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ એકી પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ $(n = 1, 3, 5, \dots)$.
આપણને આપવામાં આવ્યું છે કે આવૃત્તિ $f_1$ થી વધારવામાં આવે છે. આપણે નવી ગોઠવણી માટે પ્રથમ અનુનાદિત આવૃત્તિ $f_2 > f_1$ શોધવાની છે.
$f_2 = \frac{nv}{4L} > f_1 = \frac{v}{L}$ લેતા,આપણને $\frac{nv}{4L} > \frac{v}{L}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $n > 4$.
$4$ થી મોટી સૌથી નાની એકી પૂર્ણાંક સંખ્યા $n = 5$ છે.
આમ,$f_2 = \frac{5v}{4L} = \frac{5}{4} \left( \frac{v}{L} \right) = \frac{5}{4}f_1$.

(D) બંધ ઓર્ગન પાઇપ માટે,હાર્મોનિક્સની આવૃત્તિઓ $f_n = (2n - 1)f_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, ...$ એ હાર્મોનિક નંબર છે.
મૂળભૂત આવૃત્તિ $(n=1)$ એ પ્રથમ હાર્મોનિક છે.
પ્રથમ ઓવરટોન એ ત્રીજો હાર્મોનિક $(n=2)$ છે.
બીજો ઓવરટોન એ પાંચમો હાર્મોનિક $(n=3)$ છે.
ત્રીજો ઓવરટોન એ સાતમો હાર્મોનિક $(n=4)$ છે.
બંધ પાઇપમાં $n$-મા હાર્મોનિક માટે,નોડ્સની સંખ્યા $n$ છે અને એન્ટિનોડ્સની સંખ્યા $n$ છે.
ત્રીજો ઓવરટોન એ $4$-થા હાર્મોનિક $(n=4)$ ને અનુરૂપ હોવાથી,પાઇપમાં રહેલા હવાના સ્તંભમાં $4$ નોડ્સ અને $4$ એન્ટિનોડ્સ હશે.

(D) ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $f = 340 \, Hz$ છે અને અવાજની ઝડપ $v = 340 \, m/s$ છે.
તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{v}{f} = \frac{340}{340} = 1 \, m = 100 \, cm$ છે.
એક છેડે બંધ પાઇપ માટે,અનુનાદ ત્યારે થાય છે જ્યારે હવાના સ્તંભની લંબાઈ $L$ એ $L = \frac{n \lambda}{4}$ શરતનું પાલન કરે,જ્યાં $n = 1, 3, 5, \ldots$.
$\lambda = 100 \, cm$ મૂકતા,આપણને $L = \frac{n \times 100}{4} = 25n \, cm$ મળે છે.
હવાના સ્તંભની શક્ય લંબાઈઓ $L = 25 \, cm, 75 \, cm, 125 \, cm, \ldots$ છે.
પાઇપની કુલ લંબાઈ $120 \, cm$ હોવાથી,હવાના સ્તંભની લંબાઈ $L \le 120 \, cm$ હોવી જોઈએ. તેથી,$L$ માટે શક્ય મૂલ્યો $25 \, cm$ અને $75 \, cm$ છે.
પાણીના સ્તંભની ઊંચાઈ $h$ એ $h = 120 - L$ દ્વારા મળે છે.
પાણીના સ્તંભની ન્યૂનતમ ઊંચાઈ શોધવા માટે,આપણે હવાના સ્તંભની મહત્તમ શક્ય લંબાઈ પસંદ કરવી જોઈએ,જે $L = 75 \, cm$ છે.
તેથી,$h_{\min} = 120 \, cm - 75 \, cm = 45 \, cm$.

(A) બંને છેડે જડિત તાર માટે,અનુનાદ આવૃત્તિઓ $f_n = n f_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$ અને $f_1$ એ મૂળભૂત આવૃત્તિ છે.
આપેલ બે ક્રમિક અનુનાદ આવૃત્તિઓ $f_n = 252 \ Hz$ અને $f_{n+1} = 336 \ Hz$ છે.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{f_{n+1}}{f_n} = \frac{(n+1) f_1}{n f_1} = \frac{n+1}{n} = \frac{336}{252}$.
અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{336}{252} = \frac{4}{3}$.
આમ,$\frac{n+1}{n} = \frac{4}{3}$,જેનો અર્થ છે કે $n = 3$.
$f_n = n f_1$ માં $n = 3$ મૂકતા,આપણને $252 = 3 f_1$ મળે છે.
તેથી,$f_1 = \frac{252}{3} = 84 \ Hz$.

(B) $L$ લંબાઈની બંધ ઓર્ગન પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f = \frac{v}{4L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$l$ લંબાઈની પ્રથમ પાઇપ માટે,આવૃત્તિ $f_1 = \frac{v}{4l}$ છે.
$l + x$ લંબાઈની બીજી પાઇપ માટે,આવૃત્તિ $f_2 = \frac{v}{4(l + x)}$ છે.
બીટ આવૃત્તિ $f_b$ એ આ બે આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત છે: $f_b = f_1 - f_2 = \frac{v}{4l} - \frac{v}{4(l + x)}$.
$\frac{v}{4}$ ને સામાન્ય લેતા,આપણને મળે છે $f_b = \frac{v}{4} \left( \frac{1}{l} - \frac{1}{l + x} \right) = \frac{v}{4} \left( \frac{l + x - l}{l(l + x)} \right) = \frac{v}{4} \left( \frac{x}{l(l + x)} \right)$.
કારણ કે $x << l$,આપણે $l + x \approx l$ લઈ શકીએ,તેથી $l(l + x) \approx l^2$.
તેથી,બીટ આવૃત્તિ $f_b \approx \frac{vx}{4l^2}$ થાય છે.

(C) રેઝોનન્સ ટ્યુબ પ્રયોગમાં,રેઝોનન્ટ લંબાઈઓનું સૂત્ર $\ell_n + \varepsilon = \frac{(2n-1)v}{4f_0}$ છે,જ્યાં $\varepsilon$ એ એન્ડ કરેક્શન છે,$v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે અને $f_0$ એ ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ છે.
પ્રથમ રેઝોનન્સ $(n=1)$ માટે: $\ell_1 + \varepsilon = \frac{v}{4f_0}$.
બીજા રેઝોનન્સ $(n=2)$ માટે: $\ell_2 + \varepsilon = \frac{3v}{4f_0}$.
ત્રીજા રેઝોનન્સ $(n=3)$ માટે: $\ell_3 + \varepsilon = \frac{5v}{4f_0}$.
બીજા સમીકરણમાંથી પ્રથમ સમીકરણ બાદ કરતા: $\ell_2 - \ell_1 = \frac{3v}{4f_0} - \frac{v}{4f_0} = \frac{2v}{4f_0} = \frac{v}{2f_0}$.
આમ,ક્રમિક રેઝોનન્ટ લંબાઈઓ વચ્ચેનો તફાવત અચળ હોય છે: $\ell_2 - \ell_1 = \ell_3 - \ell_2 = \frac{v}{2f_0}$.
તેથી,$\ell_3 = \ell_2 + (\ell_2 - \ell_1) = 2\ell_2 - \ell_1$.

(C) ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપ માટે,$n^{th}$ મોડ ઓફ વાઇબ્રેશનની આવૃત્તિ $(v_{n})_{o} = \frac{nv}{2l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે અને $l$ એ પાઇપની લંબાઈ છે.
બંધ ઓર્ગન પાઇપ માટે,$n^{th}$ મોડ ઓફ વાઇબ્રેશનની આવૃત્તિ $(v_{n})_{c} = (2n - 1) \frac{v}{4l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ખુલ્લી પાઇપ અને બંધ પાઇપના $n^{th}$ મોડની આવૃત્તિનો ગુણોત્તર શોધવા માટે,આપણે બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરીએ:
$\frac{(v_{n})_{o}}{(v_{n})_{c}} = \frac{\frac{nv}{2l}}{(2n - 1) \frac{v}{4l}}$
$\frac{(v_{n})_{o}}{(v_{n})_{c}} = \frac{nv}{2l} \times \frac{4l}{(2n - 1)v}$
$\frac{(v_{n})_{o}}{(v_{n})_{c}} = \frac{2n}{2n - 1}$

(B) બંધ ઓર્ગન પાઈપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_c = \frac{v}{4\ell_c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\ell_c = 20\; cm$ છે.
ખુલ્લી ઓર્ગન પાઈપની આવૃત્તિઓ $f_n = \frac{nv}{2\ell_o}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$ છે.
પ્રથમ ઓવરટોન $n=2$ છે,અને બીજો ઓવરટોન $n=3$ છે.
તેથી,ખુલ્લી ઓર્ગન પાઈપનો બીજો ઓવરટોન $f_{o,2} = \frac{3v}{2\ell_o}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,બંધ પાઈપની મૂળભૂત આવૃત્તિ એ ખુલ્લી પાઈપના બીજા ઓવરટોન જેટલી છે:
$\frac{v}{4\ell_c} = \frac{3v}{2\ell_o}$
બંને બાજુથી $v$ ને દૂર કરતા:
$\frac{1}{4\ell_c} = \frac{3}{2\ell_o}$
$\ell_o$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$\ell_o = \frac{3 \times 4\ell_c}{2} = 6\ell_c$
$\ell_c = 20\; cm$ મૂકતા:
$\ell_o = 6 \times 20\; cm = 120\; cm$.