Beats and Tuning fork Questions in Hindi

(A) दिया गया है: आवृत्ति $f = 220 \,Hz$, वेग $v = 330 \,m/s$।
सबसे पहले, सूत्र $v = f \lambda$ का उपयोग करके तरंगदैर्ध्य $\lambda$ की गणना करें:
$\lambda = \frac{v}{f} = \frac{330}{220} = 1.5 \,m$।
एक कंपन में, ध्वनि तरंग एक तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के बराबर दूरी तय करती है।
इसलिए, $80$ कंपनों के लिए, कुल दूरी $d$ होगी:
$d = 80 \times \lambda = 80 \times 1.5 = 120 \,m$।

(B) सोनोमीटर तार के लिए,आवृत्ति $f$ कंपन करने वाली लंबाई $l$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है,अर्थात $f \propto 1/l$।
मान लीजिए कि दो ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्तियाँ $f_1$ और $f_2$ हैं।
दिया गया है कि $f_1 \propto 1/0.70$ और $f_2 \propto 1/0.69$।
चूंकि $f_2 > f_1$,इसलिए $f_2 - f_1 = 6 \ Hz$।
मान लीजिए $f_1 = k/0.70$ और $f_2 = k/0.69$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
बीट आवृत्ति समीकरण में मान रखने पर: $k/0.69 - k/0.70 = 6$।
$k(0.70 - 0.69) / (0.69 \times 0.70) = 6$।
$k(0.01) / 0.483 = 6$।
$k = 6 \times 0.483 / 0.01 = 6 \times 48.3 = 289.8$।
अब,$f_1 = 289.8 / 0.70 = 414 \ Hz$।
और $f_2 = 289.8 / 0.69 = 420 \ Hz$।
अतः,आवृत्तियाँ $414 \ Hz$ और $420 \ Hz$ हैं।

(C) अनुनाद तब होता है जब ड्राइविंग बल की आवृत्ति सिस्टम की प्राकृतिक आवृत्ति या उसके हार्मोनिक्स (पूर्णांक गुणज) से मेल खाती है।
दी गई आवृत्ति $f = 256 \ Hz$ है।
हार्मोनिक्स $n \times f$ होते हैं,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$
$1st \ harmonic = 1 \times 256 = 256 \ Hz$.
$2nd \ harmonic = 2 \times 256 = 512 \ Hz$.
$3rd \ harmonic = 3 \times 256 = 768 \ Hz$.
विकल्पों की तुलना करने पर:
$A) 256 \ Hz$ (अनुनाद होता है)
$B) 512 \ Hz$ (अनुनाद होता है)
$C) 754 \ Hz$ (अनुनाद नहीं होता है)
$D) 768 \ Hz$ (अनुनाद होता है)
अतः,ट्यूनिंग फोर्क $754 \ Hz$ के साथ अनुनाद नहीं करेगा।

(C) दिए गए समीकरण $y_1 = 4 \sin(710 \pi t)$ और $y_2 = 3 \sin(702 \pi t)$ हैं।
इन्हें $y = A \sin(2 \pi f t)$ से तुलना करने पर:
$2 \pi f_1 = 710 \pi \implies f_1 = 355 \text{ Hz}$
$2 \pi f_2 = 702 \pi \implies f_2 = 351 \text{ Hz}$
प्रति सेकंड विस्पंदों की संख्या $n = |f_1 - f_2| = |355 - 351| = 4 \text{ beats/s}$ है।
आयाम $A_1 = 4$ और $A_2 = 3$ हैं।
अधिकतम तीव्रता (waxing) $(A_1 + A_2)^2 = (4 + 3)^2 = 7^2 = 49$ के समानुपाती है।
न्यूनतम तीव्रता (waning) $(A_1 - A_2)^2 = (4 - 3)^2 = 1^2 = 1$ के समानुपाती है।
अतः,तीव्रता का अनुपात $49:1$ है।
सही उत्तर $4, 49:1$ है।

(B) बीट आवृत्ति $|f_X - f_Y| = 6 \ Hz$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि $f_X = 300 \ Hz$,इसलिए $f_Y$ के लिए संभावित आवृत्तियाँ $300 - 6 = 294 \ Hz$ या $300 + 6 = 306 \ Hz$ हैं।
जब किसी तार का तनाव बढ़ाया जाता है,तो उसकी आवृत्ति $f$ बढ़ जाती है क्योंकि $f \propto \sqrt{T}$ होता है।
स्थिति $1$: यदि $f_Y = 294 \ Hz$ है,तो तनाव बढ़ाने पर $f_Y$ बढ़ता है। नई बीट आवृत्ति $|300 - (294 + \Delta f)|$ होगी। चूँकि बीट आवृत्ति घटकर $4 \ Hz$ हो जाती है,इसलिए मान को $300 \ Hz$ के करीब होना चाहिए। अतः,$300 - (294 + \Delta f) = 4$,जिससे $\Delta f = 2 \ Hz$ प्राप्त होता है। यह संभव है।
स्थिति $2$: यदि $f_Y = 306 \ Hz$ है,तो तनाव बढ़ाने पर $f_Y$ और अधिक $300 \ Hz$ से दूर हो जाएगा। नई बीट आवृत्ति $|300 - (306 + \Delta f)| = 6 + \Delta f$ होगी,जो $6 \ Hz$ से अधिक होगी।
चूँकि बीट आवृत्ति कम हो गई है,इसलिए मूल आवृत्ति $294 \ Hz$ होनी चाहिए।

(D) कंपन करने वाले तार की आवृत्ति $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है। चूंकि तार समान हैं,$L$ और $\mu$ स्थिर हैं,इसलिए $f \propto \sqrt{T}$।
दिया गया है $T_1 > T_2$,आवृत्तियाँ $f_1$ और $f_2$ इस प्रकार हैं कि $f_1 > f_2$। बीट आवृत्ति $f_1 - f_2 = 6$ है।
यदि हम तनाव को थोड़ा बदलते हैं,तो बीट आवृत्ति $6$ बनी रहती है यदि आवृत्तियों के बीच का अंतर समान रहता है।
मान लीजिए $f_1 = k\sqrt{T_1}$ और $f_2 = k\sqrt{T_2}$।
यदि $T_1$ को घटाया जाता है,तो $f_1$ कम हो जाता है,जो $f_2$ के करीब आता है। यदि $T_2$ को बढ़ाया जाता है,तो $f_2$ बढ़ जाता है,जो $f_1$ के करीब आता है। दोनों ही मामलों में,अंतर $f_1 - f_2$ कम हो जाता है।
हालाँकि,यदि हम $T_1$ को इस तरह घटाते हैं कि $f_1$,$f_2$ से कम हो जाए,तो बीट आवृत्ति $|f_2 - f_1|$ $6$ बनी रह सकती है यदि नया अंतर मूल अंतर के बराबर हो।
विशेष रूप से,यदि $T_1$ को घटाया जाता है या $T_2$ को बढ़ाया जाता है,तो आवृत्तियाँ एक-दूसरे के करीब आती हैं और फिर क्रॉस हो जाती हैं। थोड़े बदलाव के बाद बीट आवृत्ति के अपरिवर्तित रहने की शर्त यह है कि नया अंतर $|f_1' - f_2'|$ मूल अंतर $6$ के बराबर हो।

(B) तरंग की आवृत्ति $\omega = 2 \pi f$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
पहली तरंग के लिए,$\omega_1 = 50 \pi$,इसलिए $f_1 = \frac{50 \pi}{2 \pi} = 25 \text{ Hz}$.
दूसरी तरंग के लिए,$\omega_2 = 46 \pi$,इसलिए $f_2 = \frac{46 \pi}{2 \pi} = 23 \text{ Hz}$.
बीट आवृत्ति दोनों आवृत्तियों के बीच का अंतर है: $f_b = |f_1 - f_2| = |25 - 23| = 2 \text{ Hz}$.
बीट आवृत्ति यह दर्शाती है कि प्रति सेकंड तीव्रता कितनी बार अधिकतम होती है।
इसलिए,श्रोता एक सेकंड में $2$ बार अधिकतम तीव्रता की ध्वनि सुनता है।

(D) बीट आवृत्ति $f_b$ दो ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्तियों के बीच का अंतर है।
$f_b = |f_1 - f_2| = |258 \ Hz - 256 \ Hz| = 2 \ Hz$.
बीट आवृत्ति प्रति सेकंड उत्पन्न होने वाले उच्चिष्ठों (बीट्स) की संख्या को दर्शाती है।
दो क्रमिक उच्चिष्ठों के बीच का समयांतराल बीट्स का आवर्तकाल है,जिसे $T_b$ द्वारा दर्शाया जाता है।
$T_b = \frac{1}{f_b} = \frac{1}{2 \ Hz} = 0.5 \ s$.
अतः,दो क्रमिक उच्चिष्ठों के बीच का समयांतराल $0.5 \ s$ है।

(B) माना ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $n$ है।
माना $T_1 = 225 \ N$ और $T_2 = 256 \ N$ तनाव पर तार की आवृत्तियाँ क्रमशः $n_1$ और $n_2$ हैं।
चूंकि खींचे गए तार की आवृत्ति तनाव के वर्गमूल के समानुपाती होती है $(n \propto \sqrt{T})$,हमें प्राप्त होता है:
$n_1 = n - 6$
$n_2 = n + 6$
अनुपात लेने पर:
$\frac{n_1}{n_2} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}} = \sqrt{\frac{225}{256}} = \frac{15}{16}$
$\frac{n - 6}{n + 6} = \frac{15}{16}$
$16(n - 6) = 15(n + 6)$
$16n - 96 = 15n + 90$
$n = 186 \ Hz$

(B) तरंग का सामान्य समीकरण $Y = A \sin(\omega t)$ है।
पहली तरंग के लिए,$Y_1 = 0.25 \sin(316t)$,सामान्य समीकरण से तुलना करने पर,कोणीय आवृत्ति $\omega_1 = 316 \text{ rad/s}$ प्राप्त होती है।
चूंकि $\omega = 2\pi f$,आवृत्ति $f_1 = \frac{\omega_1}{2\pi} = \frac{316}{2\pi} \text{ Hz}$ होगी।
दूसरी तरंग के लिए,$Y_2 = 0.25 \sin(310t)$,सामान्य समीकरण से तुलना करने पर,कोणीय आवृत्ति $\omega_2 = 310 \text{ rad/s}$ प्राप्त होती है।
आवृत्ति $f_2 = \frac{\omega_2}{2\pi} = \frac{310}{2\pi} \text{ Hz}$ होगी।
प्रति सेकंड उत्पन्न होने वाले विस्पंदों की संख्या आवृत्तियों का अंतर है: $f_{beat} = |f_1 - f_2|$.
$f_{beat} = \frac{316}{2\pi} - \frac{310}{2\pi} = \frac{6}{2\pi} = \frac{3}{\pi} \text{ Hz}$.

(B) मान लीजिए कि $28$ ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्तियाँ बढ़ते क्रम में $n_1, n_2, \dots, n_{28}$ हैं।
चूंकि प्रत्येक फोर्क अपने पिछले फोर्क के साथ '$x$' बीट्स प्रति सेकंड उत्पन्न करता है,इसलिए आवृत्तियाँ एक समांतर श्रेणी $(AP)$ बनाती हैं जिसका सामान्य अंतर $d = x$ है।
अतः,$k^{\text{th}}$ फोर्क की आवृत्ति $n_k = n_1 + (k-1)x$ है।
$12^{\text{th}}$ फोर्क के लिए: $n_{12} = n_1 + 11x = 152 \text{ Hz} \quad \dots(1)$.
$28^{\text{th}}$ फोर्क के लिए: $n_{28} = n_1 + 27x$.
दिया गया है कि अंतिम फोर्क पहले फोर्क का ऑक्टेव है,इसलिए $n_{28} = 2n_1$.
$n_{28}$ के लिए समीकरण रखने पर: $2n_1 = n_1 + 27x \Rightarrow n_1 = 27x$.
समीकरण $(1)$ में $n_1 = 27x$ रखने पर:
$27x + 11x = 152$
$38x = 152$
$x = \frac{152}{38} = 4 \text{ Hz}$.

(C) विस्थापन के दिए गए समीकरण हैं:
$x_1 = 2 \sin(1000 \pi t)$
$x_2 = 3 \sin(1006 \pi t)$
इन्हें मानक समीकरण $x = A \sin(\omega t)$ से तुलना करने पर:
कोणीय आवृत्तियाँ: $\omega_1 = 1000 \pi$ और $\omega_2 = 1006 \pi$ हैं।
आयाम: $A_1 = 2$ और $A_2 = 3$ हैं।
आवृत्तियाँ $f_1 = \frac{\omega_1}{2 \pi} = \frac{1000 \pi}{2 \pi} = 500 \text{ Hz}$ और $f_2 = \frac{\omega_2}{2 \pi} = \frac{1006 \pi}{2 \pi} = 503 \text{ Hz}$ हैं।
बीट आवृत्ति $|f_2 - f_1| = |503 - 500| = 3 \text{ बीट्स/सेकंड}$ है।
अधिकतम तीव्रता अधिकतम आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है $(A_{\text{max}} = A_1 + A_2)$।
$A_{\text{max}} = 2 + 3 = 5$ इकाई।
अधिकतम तीव्रता $\propto (A_{\text{max}})^2 = (5)^2 = 25$ इकाई।
अतः,तरंगें $3$ बीट्स/सेकंड और $25$ इकाई की अधिकतम तीव्रता उत्पन्न करती हैं।

(A) माना ट्यूनिंग फोर्क $C$ की आवृत्ति $n$ है।
दिया गया है कि $A$ की आवृत्ति $C$ से $1.4 \%$ अधिक है, इसलिए $n_A = n + 0.014n = 1.014n$।
दिया गया है कि $B$ की आवृत्ति $C$ से $2.6 \%$ कम है, इसलिए $n_B = n - 0.026n = 0.974n$।
जब $A$ और $B$ को एक साथ बजाया जाता है, तो प्रति सेकंड उत्पन्न बीट्स की संख्या उनकी आवृत्तियों का अंतर होती है: $|n_A - n_B| = 10$।
मान रखने पर: $1.014n - 0.974n = 10$।
$0.04n = 10$।
$n = \frac{10}{0.04} = \frac{1000}{4} = 250 \text{ Hz}$।

(B) बीट आवृत्ति को दो तरंगों की आवृत्तियों के अंतर के रूप में परिभाषित किया जाता है: $f_{beat} = |f_2 - f_1|$.
यहाँ $f_1 = 340 \ Hz$ और $f_2 = 335 \ Hz$ दिया गया है।
$f_{beat} = 340 \ Hz - 335 \ Hz = 5 \ Hz$.
दो क्रमिक उच्चिष्ठों के बीच का समय अंतराल बीट आवृत्ति का व्युत्क्रम होता है:
$T = \frac{1}{f_{beat}} = \frac{1}{5} \ s = 0.2 \ s$.

(D) विस्पंद आवृत्ति $f_b = |f_2 - f_1| = |256 \,Hz - 250 \,Hz| = 6 \,Hz$ द्वारा दी जाती है।
विस्पंद तरंग का आवर्तकाल $T_b = \frac{1}{f_b} = \frac{1}{6} \,s$ है।
तीव्रता $t=0$ पर अधिकतम है। तीव्रता विस्पंद के आवर्तकाल के आधे समय के बाद न्यूनतम हो जाती है, जो एक अधिकतम और उसके बाद के न्यूनतम के बीच के अंतराल के अनुरूप है।
अतः, आवश्यक समय $t = \frac{T_b}{2} = \frac{1}{6 \times 2} = \frac{1}{12} \,s$ है।

(C) कंपन करने वाले तार की आवृत्ति $f = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $T$ और $m$ स्थिर हैं,$f \propto \frac{1}{l}$,जिसका अर्थ है $fl = \text{स्थिरांक}$.
मान लीजिए ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $f$ है।
प्रारंभ में,लंबाई $l_1 = 50 \ cm$ है और बीट आवृत्ति $3$ है,इसलिए तार की आवृत्ति $f_1 = f - 3$ (या $f + 3$) होगी।
लंबाई $1 \ cm$ कम करने के बाद,$l_2 = 49 \ cm$ हो जाती है। बीट आवृत्ति अभी भी $3$ है,इसलिए तार की आवृत्ति $f_2 = f + 3$ (या $f - 3$) होगी।
चूंकि $f_1 l_1 = f_2 l_2$,इसलिए $(f - 3) \times 50 = (f + 3) \times 49$.
$50f - 150 = 49f + 147$.
$50f - 49f = 147 + 150$.
$f = 297 \ Hz$.

(A) तरंग का सामान्य समीकरण $y = A \sin(\omega t)$ है,जहाँ $\omega = 2 \pi f$ है।
दिया गया है $y_1 = 0.35 \sin(316 t)$,कोणीय आवृत्ति $\omega_1 = 316 \text{ rad/s}$ है। अतः आवृत्ति $f_1 = \frac{\omega_1}{2 \pi} = \frac{316}{2 \pi} \text{ Hz}$ है।
दिया गया है $y_2 = 0.35 \sin(310 t)$,कोणीय आवृत्ति $\omega_2 = 310 \text{ rad/s}$ है। अतः आवृत्ति $f_2 = \frac{\omega_2}{2 \pi} = \frac{310}{2 \pi} \text{ Hz}$ है।
प्रति सेकंड उत्पन्न होने वाले विस्पंदों की संख्या विस्पंद आवृत्ति $f_b = |f_1 - f_2|$ है।
$f_b = \frac{316}{2 \pi} - \frac{310}{2 \pi} = \frac{6}{2 \pi} = \frac{3}{\pi} \text{ विस्पंद प्रति सेकंड}$।

(A) तरंग का सामान्य समीकरण $y = a \sin(2 \pi n t)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ आवृत्ति है।
पहली तरंग के लिए,$2 \pi n_1 = 2000 \pi$,जिससे $n_1 = 1000 \text{ Hz}$ प्राप्त होता है।
दूसरी तरंग के लिए,$2 \pi n_2 = 2008 \pi$,जिससे $n_2 = 1004 \text{ Hz}$ प्राप्त होता है।
विस्पंद आवृत्ति दोनों आवृत्तियों के बीच का अंतर है: $f_{\text{beat}} = |n_2 - n_1| = |1004 - 1000| = 4 \text{ Hz}$।
अतः,प्रति सेकंड सुनाई देने वाले विस्पंदों की संख्या $4$ है।

(C) दिया गया है कि ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्तियाँ $n_A, n_B, n_C$ हैं जहाँ $n_A > n_B > n_C$ है।
जब फोर्क $A$ और $B$ को एक साथ बजाया जाता है,तो बीट आवृत्ति $n_1 = n_A - n_B$ होती है (समीकरण $i$)।
जब फोर्क $A$ और $C$ को एक साथ बजाया जाता है,तो बीट आवृत्ति $n_2 = n_A - n_C$ होती है (समीकरण $ii$)।
हमें $B$ और $C$ को एक साथ बजाने पर बीट आवृत्ति ज्ञात करनी है,जो $n_B - n_C$ है।
समीकरण $ii$ में से समीकरण $i$ को घटाने पर:
$(n_A - n_C) - (n_A - n_B) = n_2 - n_1$
$n_A - n_C - n_A + n_B = n_2 - n_1$
$n_B - n_C = n_2 - n_1$.
अतः,प्रति सेकंड उत्पन्न बीट्स की संख्या $n_2 - n_1$ है।

(A) दिया गया है: तरंगदैर्ध्य $\lambda_1 = 5.0 \ m$ और $\lambda_2 = 5.5 \ m$। ध्वनि का वेग $v = 300 \ m/s$।
तरंग की आवृत्ति $n$,सूत्र $n = \frac{v}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
पहली तरंग की आवृत्ति: $n_1 = \frac{300}{5.0} = 60 \ Hz$।
दूसरी तरंग की आवृत्ति: $n_2 = \frac{300}{5.5} = \frac{3000}{55} \approx 54.55 \ Hz$।
प्रति सेकंड उत्पन्न होने वाले विस्पंदों की संख्या आवृत्तियों का अंतर है: $n_{beats} = |n_1 - n_2| = |60 - 54.55| = 5.45 \ Hz$।
निकटतम पूर्णांक में,विस्पंदों की संख्या लगभग $5 \ Hz$ या $6 \ Hz$ है। दिए गए विकल्पों के अनुसार,$6 \ Hz$ सबसे सटीक उत्तर है।

(B) कंपन करने वाले तार की आवृत्ति $n$ का सूत्र $n = \frac{1}{2 \ell} \sqrt{\frac{T}{m}}$ है।
चूंकि तार समान हैं,$\ell$ और $m$ स्थिर हैं,इसलिए $n \propto \sqrt{T}$ होता है।
मान लीजिए प्रारंभिक आवृत्ति $n_1$ और प्रारंभिक तनाव $T_1$ है। तनाव में $2 \%$ की वृद्धि करने पर,नया तनाव $T_2 = T_1 + 0.02 T_1 = 1.02 T_1$ हो जाता है।
नई आवृत्ति $n_2$ के लिए,$\frac{n_2}{n_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \sqrt{1.02} = 1.01$ प्राप्त होता है।
अतः,$n_2 = 1.01 n_1$ होता है।
बीट आवृत्ति $n_2 - n_1 = 5 \ Hz$ दी गई है।
$n_2$ का मान रखने पर,$1.01 n_1 - n_1 = 5$ प्राप्त होता है।
$0.01 n_1 = 5$.
इसलिए,$n_1 = \frac{5}{0.01} = 500 \ Hz$।

(B) माना ट्यूनिंग फोर्क $C$ की आवृत्ति $f_C$ है।
दिया गया है कि $A$ की आवृत्ति $f_C$ से $1.5 \%$ अधिक है:
$f_A = f_C + 0.015 f_C = 1.015 f_C$.
दिया गया है कि $B$ की आवृत्ति $f_C$ से $2.5 \%$ कम है:
$f_B = f_C - 0.025 f_C = 0.975 f_C$.
जब $A$ और $B$ को एक साथ बजाया जाता है, तो विस्पंद आवृत्ति $12 \text{ Hz}$ है:
$|f_A - f_B| = 12$.
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$1.015 f_C - 0.975 f_C = 12$.
$0.040 f_C = 12$.
$f_C = \frac{12}{0.040} = 300 \text{ Hz}$.

(A) मान लीजिए ट्यूनिंग फोर्क $A$ की आवृत्ति $f_A$ है और ट्यूनिंग फोर्क $B$ की आवृत्ति $f_B = 480 \ Hz$ है।
बीट आवृत्ति $|f_A - f_B| = 5 \ Hz$ द्वारा दी जाती है।
इसका अर्थ है $f_A = 480 \pm 5$,इसलिए $f_A$ या तो $485 \ Hz$ है या $475 \ Hz$ है।
जब ट्यूनिंग फोर्क $A$ पर मोम लगाया जाता है,तो इसकी आवृत्ति $f_A$ कम हो जाती है।
मोम जोड़ने के बाद,नई बीट आवृत्ति $|f_A' - 480| = 2 \ Hz$ है,जहाँ $f_A' < f_A$ है।
यदि $f_A = 475 \ Hz$ है,तो मोम जोड़ने से आवृत्ति और कम हो जाएगी (जैसे $473 \ Hz$),जिससे बीट आवृत्ति $|473 - 480| = 7 \ Hz$ हो जाएगी,जो कि $2 \ Hz$ नहीं है।
यदि $f_A = 485 \ Hz$ है,तो मोम जोड़ने से आवृत्ति $480 \ Hz$ की ओर कम हो जाएगी,जिससे बीट आवृत्ति $|482 - 480| = 2 \ Hz$ हो जाएगी।
अतः,ट्यूनिंग फोर्क $A$ की प्रारंभिक आवृत्ति $485 \ Hz$ थी।

(D) बीट्स ध्वनि की तीव्रता में होने वाले आवधिक परिवर्तन हैं जो तब सुनाई देते हैं जब थोड़ी अलग आवृत्तियों और तुलनीय आयामों वाली दो ध्वनि तरंगें एक-दूसरे के साथ व्यतिकरण (interference) करती हैं।
स्पष्ट बीट्स के निर्माण के लिए,दो ध्वनि स्रोतों की आवृत्तियाँ लगभग समान होनी चाहिए ताकि बीट आवृत्ति $(f_{beat} = |f_1 - f_2|)$ इतनी कम हो कि मानव कान उसे महसूस कर सके।
इसके अतिरिक्त,उनके आयाम लगभग समान होने चाहिए ताकि व्यतिकरण के परिणामस्वरूप तीव्रता के अधिकतम और न्यूनतम मान स्पष्ट रूप से सुनाई दें।

(A) कंपन करने वाले तार की आवृत्ति $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $f \propto \sqrt{T}$।
मान लीजिए $T_1 = 225 \ N$ तनाव पर आवृत्ति $f_1$ है और $T_2 = 256 \ N$ तनाव पर आवृत्ति $f_2$ है।
चूंकि $f \propto \sqrt{T}$,हमारे पास $\frac{f_1}{f_2} = \sqrt{\frac{225}{256}} = \frac{15}{16}$,इसलिए $f_2 = \frac{16}{15} f_1$ है।
यह दिया गया है कि दोनों स्थितियों में बीट आवृत्ति $6 \ Hz$ है,मान लीजिए ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $x$ है।
पहली स्थिति के लिए: $f_1 = x - 6$ (मानते हुए कि $x > f_1$)।
दूसरी स्थिति के लिए: $f_2 = x + 6$ (चूंकि $f_2 > f_1$,आवृत्ति फोर्क की आवृत्ति से अधिक हो जाएगी)।
$f_1$ और $f_2$ का मान रखने पर: $x + 6 = \frac{16}{15} (x - 6)$।
$15(x + 6) = 16(x - 6) \implies 15x + 90 = 16x - 96$।
$x = 90 + 96 = 186 \ Hz$।

(C) मान लीजिए कि दोनों तरंगों का आयाम $A$ और तीव्रता $I_0$ है। तरंग की तीव्रता उसके आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है,इसलिए $I_0 \propto A^2$ है।
जब ये दो तरंगें अध्यारोपित होती हैं,तो संपोषी व्यतिकरण (constructive interference) के दौरान अधिकतम आयाम $A_{max} = A + A = 2A$ होता है।
अधिकतम तीव्रता $I_{max}$ अधिकतम आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है: $I_{max} \propto (A_{max})^2 = (2A)^2 = 4A^2$।
चूंकि $I_0 \propto A^2$ है,इसलिए $I_{max} = 4I_0$ प्राप्त होता है।
अतः,अधिकतम तीव्रता प्रत्येक घटक तरंग की तीव्रता की $4$ गुनी होती है।

(C) प्रति सेकंड विस्पंदों की संख्या आवृत्तियों के अंतर $|n_{1} - n_{2}|$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए तरंग समीकरणों $y_{1} = a \sin(2000 \pi t)$ और $y_{2} = a \sin(2008 \pi t)$ की तुलना मानक रूप $y = a \sin(2 \pi n t)$ से करने पर:
पहली तरंग के लिए: $2 \pi n_{1} = 2000 \pi \implies n_{1} = 1000 \text{ Hz}$.
दूसरी तरंग के लिए: $2 \pi n_{2} = 2008 \pi \implies n_{2} = 1004 \text{ Hz}$.
प्रति सेकंड सुनाई देने वाले विस्पंदों की संख्या $|n_{2} - n_{1}| = |1004 - 1000| = 4 \text{ विस्पंद प्रति सेकंड}$ है।

(A) विस्पंद (beats) एक ऐसी घटना है जो तब होती है जब थोड़ी भिन्न आवृत्तियों वाली दो ध्वनि तरंगें,जो एक ही दिशा में यात्रा कर रही होती हैं,एक-दूसरे पर अध्यारोपित (superimpose) होती हैं।
यह अध्यारोपण परिणामी ध्वनि की तीव्रता में आवधिक परिवर्तन की ओर ले जाता है,जिसे व्यतिकरण कहा जाता है।
इसलिए,विस्पंदों का उत्पादन ध्वनि तरंगों के व्यतिकरण का सीधा परिणाम है।

(C) एक कंपन का आवर्तकाल $T = \frac{1}{n} \ s$ होता है।
$x$ कंपनों के लिए लगा कुल समय $t = x \times T = \frac{x}{n} \ s$ है।
समय $t$ में तरंग द्वारा तय की गई दूरी $d = V \times t$ द्वारा दी जाती है।
$t$ का मान रखने पर,हमें $d = V \times \frac{x}{n} = \frac{xV}{n} \ m$ प्राप्त होता है।

(B) $N$ लगातार शृंगों के बीच की दूरी $(N-1) \lambda$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है।
यह दिया गया है कि $5$ लगातार शृंगों के बीच की दूरी $0.8 \ m$ है,इसलिए:
$4 \lambda = 0.8 \ m$
$\lambda = \frac{0.8}{4} = 0.2 \ m$
तरंग समीकरण $v = n \lambda$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $v$ वेग है और $n$ आवृत्ति है:
$n = \frac{v}{\lambda}$
दिए गए मान $v = 56 \ m/s$ और $\lambda = 0.2 \ m$ रखने पर:
$n = \frac{56}{0.2} = 280 \ Hz$
अतः,ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $280 \ Hz$ है।

(B) माना कि $1^{\text{st}}$ ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $n_1$ है।
आवृत्तियाँ एक समांतर श्रेणी में हैं,जिसका सामान्य अंतर $d = 5 \text{ Hz}$ है।
$41^{\text{st}}$ ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $n_{41} = n_1 + (41 - 1) \times d$ द्वारा दी जाती है।
$n_{41} = n_1 + 40 \times 5 = n_1 + 200$.
दिया गया है कि अंतिम फोर्क की आवृत्ति पहले की दोगुनी है,इसलिए $n_{41} = 2n_1$.
इस मान को समीकरण में रखने पर: $2n_1 = n_1 + 200$.
$n_1$ के लिए हल करने पर: $n_1 = 200 \text{ Hz}$.
इसलिए,$n_{41} = 2 \times 200 = 400 \text{ Hz}$.

(D) सोनोमीटर तार की आवृत्ति $f = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि तनाव $T$ और प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $\mu$ स्थिर हैं,इसलिए $f \propto \frac{1}{l}$ है।
मान लीजिए $f_1$ और $f_2$ दो ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्तियाँ हैं जो क्रमशः $l_1 = 0.97 \ m$ और $l_2 = 0.96 \ m$ लंबाई के साथ अनुनाद में हैं।
अतः,$f_1 = \frac{k}{0.97}$ और $f_2 = \frac{k}{0.96}$,जहाँ $k = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है।
दिया गया है कि बीट आवृत्ति $f_2 - f_1 = 5 \ Hz$ है।
मान रखने पर: $\frac{k}{0.96} - \frac{k}{0.97} = 5$.
$k \left( \frac{0.97 - 0.96}{0.96 \times 0.97} \right) = 5$.
$k \left( \frac{0.01}{0.9312} \right) = 5 \implies k = 5 \times 93.12 = 465.6$.
अब,$f_1 = \frac{465.6}{0.97} = 480 \ Hz$.
और $f_2 = \frac{465.6}{0.96} = 485 \ Hz$.

(B) दिया गया है: बीट आवृत्ति $= 4 \,Hz$, फोर्क $B$ की आवृत्ति $(f_B)$ $= 384 \,Hz$.
फोर्क $A$ की संभावित आवृत्तियाँ $(f_A)$ $f_B \pm 4$ हैं, जो $388 \,Hz$ या $380 \,Hz$ हैं।
जब ट्यूनिंग फोर्क के प्रोंग को घिसा जाता है, तो उसका द्रव्यमान कम हो जाता है, जिससे उसकी आवृत्ति बढ़ जाती है ($f_A$ बढ़ती है)।
स्थिति $1$: यदि $f_A = 380 \,Hz$ है, तो घिसने पर $f_A$ बढ़कर $384 \,Hz$ के करीब जाएगी, जिससे बीट आवृत्ति $(|f_A - f_B|)$ कम हो जाएगी।
स्थिति $2$: यदि $f_A = 388 \,Hz$ है, तो घिसने पर $f_A$ बढ़कर $384 \,Hz$ से दूर जाएगी (जैसे $389 \,Hz$ तक), जिससे बीट आवृत्ति $(|f_A - f_B|)$ बढ़ जाएगी।
चूंकि प्रश्न में कहा गया है कि बीट आवृत्ति बढ़ जाती है, इसलिए फोर्क $A$ की प्रारंभिक आवृत्ति $388 \,Hz$ होनी चाहिए।

(C) माना अज्ञात आवृत्ति $n \,Hz$ है।
$A$ $(n_A = 258 \,Hz)$ के साथ बीट आवृत्ति $x = |n - 258|$ है।
$B$ $(n_B = 262 \,Hz)$ के साथ बीट आवृत्ति $2x = |n - 262|$ है।
यदि $n < 258$ है, तो $x = 258 - n$.
तब $2x = |n - 262| = 262 - n$.
$x$ का मान रखने पर: $2(258 - n) = 262 - n$.
$516 - 2n = 262 - n$.
$n = 516 - 262 = 254 \,Hz$.
शर्त की जाँच करने पर: यदि $n = 254 \,Hz$ है, तो $A$ के साथ बीट्स $|254 - 258| = 4 \,Hz$ हैं।
$B$ के साथ बीट्स $|254 - 262| = 8 \,Hz$ हैं।
चूंकि $8 = 2 \times 4$, इसलिए शर्त पूरी होती है।

(D) ध्वनि की गति $v = 330 \ m \ s^{-1}$ है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda_1 = 0.99 \ m$ और $\lambda_2 = 1.00 \ m$ हैं।
आवृत्तियाँ $f_1 = \frac{v}{\lambda_1} = \frac{330}{0.99} = \frac{33000}{99} = \frac{1000}{3} \ Hz$ और $f_2 = \frac{v}{\lambda_2} = \frac{330}{1.00} = 330 \ Hz$ हैं।
विस्पंद आवृत्ति $f_b = |f_1 - f_2| = |\frac{1000}{3} - 330| = |\frac{1000 - 990}{3}| = \frac{10}{3} \ Hz$ है।
विस्पंद आवृत्ति को प्रति सेकंड उत्पन्न होने वाले विस्पंदों की संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है। अतः,$f_b = \frac{\text{विस्पंदों की संख्या}}{t}$।
दिया गया है कि $t$ सेकंड में $10$ विस्पंद उत्पन्न होते हैं,इसलिए $\frac{10}{3} = \frac{10}{t}$।
अतः,$t = 3 \ s$ प्राप्त होता है।

(D) दो ध्वनि तरंगों के दिए गए समीकरण $y_1 = 3 \sin(250 \pi t)$ और $y_2 = 2 \sin(260 \pi t)$ हैं।
इन्हें मानक समीकरण $y = A \sin(\omega t)$ से तुलना करने पर,हमें कोणीय आवृत्तियाँ $\omega_1 = 250 \pi \text{ rad/s}$ और $\omega_2 = 260 \pi \text{ rad/s}$ प्राप्त होती हैं।
आवृत्तियाँ $f_1$ और $f_2$ को $f = \frac{\omega}{2 \pi}$ द्वारा ज्ञात किया जाता है।
अतः,$f_1 = \frac{250 \pi}{2 \pi} = 125 \text{ Hz}$ और $f_2 = \frac{260 \pi}{2 \pi} = 130 \text{ Hz}$।
बीट आवृत्ति $f_b$ दोनों आवृत्तियों के बीच का अंतर है: $f_b = |f_2 - f_1| = |130 - 125| = 5 \text{ Hz}$।
दो क्रमिक अधिकतम तीव्रताओं के बीच का समयांतराल बीट्स का आवर्तकाल है,जो $T_b = \frac{1}{f_b}$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,$T_b = \frac{1}{5} = 0.2 \text{ s}$।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) विस्पंद आवृत्ति $|n_A - n_B| = 4 \ Hz$ द्वारा दी जाती है।
जब डोरी $A$ में तनाव बढ़ाया जाता है,तो इसकी आवृत्ति $n_A$ बढ़ जाती है क्योंकि $n \propto \sqrt{T}$ होता है।
$n_A$ बढ़ाने पर विस्पंदों की संख्या $4$ से बढ़कर $7$ हो जाती है,इसका अर्थ है कि $n_A$ का मान $n_B$ से अधिक होना चाहिए (अर्थात $n_A - n_B = 4$)।
यदि $n_A$ का मान $n_B$ से कम होता,तो $n_A$ बढ़ाने पर विस्पंद आवृत्ति शून्य की ओर घटती और फिर बढ़ती,लेकिन प्रश्न सीधे वृद्धि का संकेत देता है।
इसलिए,$n_A = n_B + 4$ होगा।
दिया गया है कि $n_B = 480 \ Hz$,अतः $n_A = 480 + 4 = 484 \ Hz$।

(D) बीट आवृत्ति को दो आवृत्तियों के अंतर के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो $f_{beat} = v_1 - v_2$ द्वारा दिया जाता है।
दो क्रमिक उच्चिष्ठों (maxima) या दो क्रमिक निम्निष्ठों (minima) के बीच के समयांतराल को बीट्स का आवर्तकाल $(T_{beat})$ कहा जाता है।
आवर्तकाल,बीट आवृत्ति का व्युत्क्रम होता है:
$T_{beat} = \frac{1}{f_{beat}} = \frac{1}{v_1 - v_2}$.
अतः,दो क्रमिक निम्निष्ठों के बीच का समयांतराल $\frac{1}{v_1 - v_2}$ है।

(D) बीट्स एक ऐसी घटना है जो दो ध्वनि तरंगों के अध्यारोपण के कारण होती है।
जब समान आयाम और थोड़ी भिन्न आवृत्ति वाली दो ध्वनि तरंगें एक ही दिशा में यात्रा करती हैं,तो वे एक-दूसरे के साथ व्यतिकरण (interference) करती हैं।
इस व्यतिकरण के परिणामस्वरूप परिणामी ध्वनि की तीव्रता में समय-समय पर परिवर्तन होता है,जिसे बीट्स के रूप में अनुभव किया जाता है।
इसलिए,बीट्स का निर्माण ध्वनि तरंगों के व्यतिकरण का सीधा परिणाम है।

(D) दिया गया है, ट्यूनिंग फोर्क $X$ और $Y$ की आवृत्तियाँ:
$n_X = 280 \,Hz$
$n_Y = 284 \,Hz$
माना ट्यूनिंग फोर्क $Z$ की आवृत्ति $n_Z$ है और $X$ तथा $Z$ द्वारा उत्पन्न बीट आवृत्ति $b$ है।
पहली शर्त के अनुसार, $b = |n_Z - 280|$।
दूसरी शर्त के अनुसार, $Y$ और $Z$ द्वारा उत्पन्न बीट आवृत्ति $3b$ है, इसलिए $3b = |n_Z - 284|$।
स्थिति $1$: यदि $n_Z > 284$ है, तो $n_Z - 280 = b$ और $n_Z - 284 = 3b$। $b$ का मान रखने पर, $n_Z - 284 = 3(n_Z - 280) \Rightarrow n_Z - 284 = 3n_Z - 840 \Rightarrow 2n_Z = 556 \Rightarrow n_Z = 278 \,Hz$। यह $n_Z > 284$ की धारणा के विपरीत है।
स्थिति $2$: यदि $n_Z < 280$ है, तो $280 - n_Z = b$ और $284 - n_Z = 3b$। $b$ का मान रखने पर, $284 - n_Z = 3(280 - n_Z) \Rightarrow 284 - n_Z = 840 - 3n_Z \Rightarrow 2n_Z = 556 \Rightarrow n_Z = 278 \,Hz$। यह $n_Z < 280$ की धारणा के साथ संगत है।
अतः, $Z$ की आवृत्ति $278 \,Hz$ है।

(A) मान लीजिए कि पहले ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $f_1 = f$ है।
ट्यूनिंग फोर्क की कुल संख्या $n = 56$ है।
बीट आवृत्ति $d = 4 \text{ Hz}$ है।
$n$वें फोर्क की आवृत्ति का सूत्र $f_n = f_1 + (n - 1)d$ है।
अतः, $f_{56} = f + (56 - 1) \times 4 = f + 55 \times 4 = f + 220$।
दिया गया है कि अंतिम फोर्क की आवृत्ति पहले फोर्क की आवृत्ति से दोगुनी है, इसलिए $f_{56} = 2f$।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $2f = f + 220$, जिससे $f = 220 \text{ Hz}$ प्राप्त होता है।
$19$वें फोर्क की आवृत्ति $f_{19} = f_1 + (19 - 1)d$ होगी।
$f_{19} = 220 + 18 \times 4 = 220 + 72 = 292 \text{ Hz}$।

(A) बीट आवृत्ति दो आवृत्तियों के अंतर द्वारा दी जाती है: $f_{beat} = |f_2 - f_1| = |323 \ Hz - 320 \ Hz| = 3 \ Hz$.
इसका अर्थ है कि प्रति सेकंड $3$ बीट्स सुनाई देते हैं।
दो क्रमिक बीट्स (एक अधिकतम और एक निकटतम न्यूनतम ध्वनि) के बीच का समय अंतराल एक बीट चक्र के समय अवधि का आधा होता है।
बीट की समय अवधि $T = \frac{1}{f_{beat}} = \frac{1}{3} \ s$ है।
अधिकतम ध्वनि और उसके निकटतम न्यूनतम ध्वनि के बीच का समय अंतराल $\Delta t = \frac{T}{2} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \ s = \frac{1}{6} \ s$ है।

(C) दी गई आवृत्तियाँ $f_1 = n-1$,$f_2 = n$ और $f_3 = n+1$ हैं।
बीट्स ध्वनि स्रोतों की आवृत्तियों के अंतर के कारण उत्पन्न होते हैं।
प्रति सेकंड उत्पन्न बीट्स की संख्या प्रणाली में मौजूद अधिकतम और न्यूनतम आवृत्तियों के बीच के अंतर से निर्धारित होती है।
$\text{उत्पन्न बीट्स} = f_{\text{max}} - f_{\text{min}} = (n+1) - (n-1) = 2 \text{ बीट्स/सेकंड}$।
चूंकि तीनों स्रोत एक साथ कंपन कर रहे हैं,व्यतिकरण पैटर्न $2 \text{ Hz}$ की बीट आवृत्ति देता है।
इसलिए,उत्पन्न बीट्स की संख्या $2$ है और सुनाई देने वाले बीट्स की संख्या भी $2$ है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) दिए गए समीकरण $y_1 = 5 \sin(400 \pi t)$ और $y_2 = 8 \sin(408 \pi t)$ हैं।
इन्हें मानक समीकरण $y = A \sin(\omega t)$ के साथ तुलना करने पर,हमें कोणीय आवृत्तियाँ $\omega_1 = 400 \pi \text{ rad/s}$ और $\omega_2 = 408 \pi \text{ rad/s}$ प्राप्त होती हैं।
आवृत्तियाँ $f_1$ और $f_2$,$f = \frac{\omega}{2 \pi}$ द्वारा दी जाती हैं।
$f_1 = \frac{400 \pi}{2 \pi} = 200 \text{ Hz}$ और $f_2 = \frac{408 \pi}{2 \pi} = 204 \text{ Hz}$।
विस्पंद आवृत्ति $|f_2 - f_1| = |204 - 200| = 4 \text{ विस्पंद प्रति सेकंड}$ है।
प्रति मिनट विस्पंदों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम $60$ से गुणा करते हैं:
$\text{विस्पंद प्रति मिनट} = 4 \times 60 = 240 \text{ विस्पंद/मिनट}$।

(A) दिया गया है: ट्यूनिंग फोर्क $A$ की आवृत्ति $(f_A)$ = $250 \,Hz$। ट्यूनिंग फोर्क $B$ की आवृत्ति $(f_B)$ = $x \,Hz$।
प्रारंभ में, बीट आवृत्ति $5 \,Hz$ है, इसलिए $|f_A - f_B| = 5$।
इसका अर्थ है $250 - x = 5$ या $x - 250 = 5$, जिससे $x = 245 \,Hz$ या $x = 255 \,Hz$ प्राप्त होता है।
जब ट्यूनिंग फोर्क $B$ पर मोम लगाया जाता है, तो इसकी आवृत्ति कम हो जाती है $(f_B' < f_B)$।
मोम लगाने के बाद, नई बीट आवृत्ति $3 \,Hz$ है।
यदि $x = 255 \,Hz$ है, तो $f_B$ घटकर $250 \,Hz$ के करीब आता है, जिससे बीट आवृत्ति $5$ से घटकर $3$ हो जाती है। अतः, $x = 255 \,Hz$ सही उत्तर है।

(A) मान लीजिए कि तार $A$ की आवृत्ति $f_A = f_0$ है और तार $B$ की आवृत्ति $f_B$ है।
प्रारंभ में,विस्पंद आवृत्ति $\Delta f_1 = |f_0 - f_B| > 0$ है।
जब तार $A$ में तनाव बढ़ाया जाता है,तो इसकी आवृत्ति $f_A$ बढ़कर $f_A'$ हो जाती है।
नई विस्पंद आवृत्ति $\Delta f_2 = |f_A' - f_B| < \Delta f_1$ है।
चूंकि तार $A$ की आवृत्ति बढ़ाने के बाद विस्पंद आवृत्ति कम हो गई,इसका मतलब है कि $f_A$,$f_B$ के करीब पहुंच रही थी।
इसलिए,$f_B$ का मान $f_A$ से अधिक होना चाहिए।
अतः,$\Delta f_1 = f_B - f_0$,जिससे $f_B = f_0 + \Delta f_1$ प्राप्त होता है।

(A) तने हुए तार की मूल आवृत्ति $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
चूँकि तार समान हैं,$L$ और $\mu$ स्थिर हैं,इसलिए $f \propto \sqrt{T}$।
प्रारंभ में,दोनों तारों के लिए आवृत्ति $f_0 \propto \sqrt{T}$ है। अतः,$f_0^2 \propto T$ ... $(i)$
जब एक तार का तनाव $\Delta T$ से बढ़ाया जाता है,तो उसकी नई आवृत्ति $f' = f_0 + N$ हो जाती है।
इसलिए,$(f_0 + N)^2 \propto (T + \Delta T)$ ... (ii)
समीकरण (ii) को समीकरण $(i)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{(f_0 + N)^2}{f_0^2} = \frac{T + \Delta T}{T}$
$\frac{(f_0 + N)^2}{f_0^2} = 1 + \frac{\Delta T}{T}$
$\frac{\Delta T}{T}$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\frac{\Delta T}{T} = \frac{(f_0 + N)^2}{f_0^2} - 1 = \left(\frac{f_0 + N}{f_0}\right)^2 - 1$.

(A) माना ध्वनि का वेग $v$ है और तीसरे ध्वनि की आवृत्ति $f_0$ है। दी गई दो ध्वनियों की आवृत्तियाँ $f_1 = \frac{v}{\lambda_1} = \frac{v}{40/195} = \frac{195v}{40}$ और $f_2 = \frac{v}{\lambda_2} = \frac{v}{40/193} = \frac{193v}{40}$ हैं।
चूँकि प्रत्येक ध्वनि तीसरे ध्वनि के साथ प्रति सेकंड $9$ बीट्स उत्पन्न करती है,इसलिए:
$|f_1 - f_0| = 9$ और $|f_2 - f_0| = 9$।
इसका अर्थ है $f_1 - f_0 = 9$ और $f_0 - f_2 = 9$ (मानते हुए कि $f_1 > f_0 > f_2$)।
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$(f_1 - f_0) + (f_0 - f_2) = 9 + 9$
$f_1 - f_2 = 18$
$\frac{195v}{40} - \frac{193v}{40} = 18$
$\frac{2v}{40} = 18$
$\frac{v}{20} = 18$
$v = 360 \,m/s$.