Beats and Tuning fork Questions in Hindi

(D) माना कि तीसरे स्वर की आवृत्ति $n$ है और ध्वनि का वेग $v$ है।
दोनों स्वरों की आवृत्तियाँ $n_1 = \frac{v}{\lambda_1} = \frac{v}{36/195} = \frac{195v}{36}$ और $n_2 = \frac{v}{\lambda_2} = \frac{v}{36/193} = \frac{193v}{36}$ हैं।
चूंकि प्रत्येक स्वर तीसरे स्वर के साथ प्रति सेकंड $10$ विस्पंद उत्पन्न करता है,इसलिए:
$\frac{195v}{36} - n = 10$ ---$(i)$
$n - \frac{193v}{36} = 10$ ---(ii)
समीकरण $(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:
$\frac{195v}{36} - \frac{193v}{36} = 10 + 10$
$\frac{2v}{36} = 20$
$\frac{v}{18} = 20$
$v = 360 \,m/s$.

(D) एक सिरे पर बंद नली के लिए,मूल आवृत्ति $f_c = \frac{v}{4L}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि विस्पंद आवृत्ति $f_{c1} - f_{c2} = 2$ है,जहाँ $f_{c1} = \frac{v}{4L_1}$ और $f_{c2} = \frac{v}{4L_2}$ है।
अतः,$\frac{v}{4L_1} - \frac{v}{4L_2} = 2$ है।
दोनों सिरों पर खुली नली के लिए,मूल आवृत्ति $f_o = \frac{v}{2L}$ द्वारा दी जाती है।
नई विस्पंद आवृत्ति $f_{o1} - f_{o2} = \frac{v}{2L_1} - \frac{v}{2L_2}$ है।
हम इसे $2 \times (\frac{v}{4L_1} - \frac{v}{4L_2})$ के रूप में लिख सकते हैं।
ज्ञात मान को प्रतिस्थापित करने पर,नई विस्पंद आवृत्ति $2 \times 2 = 4$ विस्पंद प्रति सेकंड प्राप्त होती है।

(A) दिया गया है: $\lambda_1 = 5 \,m$,$\lambda_2 = 6 \,m$.
तरंग की आवृत्ति $n = \frac{v}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v$ ध्वनि का वेग है।
पहली तरंग की आवृत्ति: $n_1 = \frac{v}{5}$.
दूसरी तरंग की आवृत्ति: $n_2 = \frac{v}{6}$.
विस्पंद आवृत्ति दोनों आवृत्तियों के बीच का अंतर है: $n_1 - n_2 = \frac{\text{विस्पंदों की संख्या}}{\text{समय}} = \frac{30}{3} = 10 \,Hz$.
$n_1$ और $n_2$ के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{v}{5} - \frac{v}{6} = 10$.
$v$ को उभयनिष्ठ लेने पर: $v \left( \frac{6 - 5}{30} \right) = 10$.
$\frac{v}{30} = 10$.
अतः,$v = 300 \,m/s$.

(B) डोरी $A$ की आवृत्ति $f_A = 320 \ Hz$ है। मान लीजिए डोरी $B$ की आवृत्ति $f_B$ है। विस्पंद आवृत्ति $n = |f_A - f_B| = 8 \ Hz$ दी गई है।
इसका अर्थ है $f_B = 320 \pm 8$,अतः $f_B$ का मान $312 \ Hz$ या $328 \ Hz$ हो सकता है।
जब डोरी $A$ में तनाव कम किया जाता है,तो उसकी आवृत्ति $f_A$ घट जाती है क्योंकि $f \propto \sqrt{T}$ होता है।
मान लीजिए नई आवृत्ति $f_A'$ है। चूँकि $f_A' < 320 \ Hz$,नई विस्पंद आवृत्ति $n' = |f_A' - f_B| = 4 \ Hz$ है।
यदि $f_B = 312 \ Hz$ है,तो $f_A' - 312 = 4 \implies f_A' = 316 \ Hz$ (जो $320 \ Hz$ से कम है,जो सुसंगत है)।
यदि $f_B = 328 \ Hz$ है,तो $328 - f_A' = 4 \implies f_A' = 324 \ Hz$ (जो $320 \ Hz$ से अधिक है,जो असंगत है)।
अतः,$B$ की आवृत्ति $312 \ Hz$ होनी चाहिए।

(D) दिया गया है कि पहले तार की मूल आवृत्ति $f_1 = 500 \,Hz$ है।
मान लीजिए दूसरे तार की आवृत्ति $f_2$ है।
विस्पंद आवृत्ति $f_b = 5 \,Hz$ है।
जब पहले तार में तनाव कम किया जाता है,तो उसकी आवृत्ति घट जाती है। चूँकि यह दूसरे तार के साथ प्रति सेकंड $5$ विस्पंद उत्पन्न करता है,इसलिए दूसरे तार की आवृत्ति $f_2 = 505 \,Hz$ होगी।
संबंध $f \propto \sqrt{T}$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है $\frac{f_2}{f_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$।
$f_2 = 505 \,Hz$ और $f_1 = 500 \,Hz$ रखने पर,$\frac{T_2}{T_1} = (\frac{505}{500})^2 = (1.01)^2 = 1.0201 \approx 1.02$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए कि दोनों तारों की प्रारंभिक आवृत्ति $n = 600 \text{ Hz}$ है।
तने हुए तार की आवृत्ति $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ द्वारा दी जाती है।
जब एक तार का तनाव बढ़ाकर $T'$ कर दिया जाता है,तो उसकी नई आवृत्ति $n' = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T'}{m}}$ हो जाती है।
दिया गया है कि बीट आवृत्ति $6 \text{ Hz}$ है,इसलिए $n' - n = 6$।
अतः,$n' = 600 + 6 = 606 \text{ Hz}$।
दोनों आवृत्तियों का अनुपात लेने पर:
$\frac{n'}{n} = \frac{\frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T'}{m}}}{\frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}} = \sqrt{\frac{T'}{T}}$
$\frac{606}{600} = \sqrt{\frac{T'}{T}}$
$1.01 = \sqrt{\frac{T'}{T}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{T'}{T} = (1.01)^2 = 1.0201 \approx 1.02$।
तनाव में आंशिक वृद्धि $\frac{\Delta T}{T} = \frac{T' - T}{T} = \frac{T'}{T} - 1$ है।
$\frac{\Delta T}{T} = 1.02 - 1 = 0.02$।

(D) वह घटना जिसमें ध्वनि की तीव्रता समय के साथ आवर्ती रूप से बदलती है,उसे $beats$ (विस्पंद) कहा जाता है।
$Beats$ तब उत्पन्न होते हैं जब थोड़ी अलग आवृत्तियों वाली दो ध्वनि तरंगें,$f_1$ और $f_2$,एक-दूसरे के साथ व्यतिकरण (interference) करती हैं।
परिणामी तीव्रता दोनों आवृत्तियों के अंतर,$|f_1 - f_2|$,के बराबर आवृत्ति के साथ बदलती है।
इसके अतिरिक्त,यदि स्रोत की तीव्रता स्वयं आवर्ती रूप से बदल रही हो,तो प्रेक्षक को तीव्रता में आवर्ती परिवर्तन महसूस होगा।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,विकल्प $D$ $beats$ के लिए भौतिक स्थिति का वर्णन करता है,जो आवर्ती तीव्रता परिवर्तन का एक मानक कारण है।

(A) बीट आवृत्ति प्रति सेकंड बीट्स की संख्या होती है। प्रारंभ में,$2$ सेकंड में $8$ बीट्स का अर्थ है कि बीट आवृत्ति $f_{beat} = 8/2 = 4$ Hz है।
इसका तात्पर्य है कि $|f_A - f_B| = 4$ Hz.
चूंकि $f_B = 380$ Hz दिया गया है,इसलिए $|f_A - 380| = 4$,जिसका अर्थ है कि $f_A = 384$ Hz या $f_A = 376$ Hz.
जब ट्यूनिंग फोर्क $A$ पर मोम लगाया जाता है,तो इसकी आवृत्ति $f_A$ कम हो जाती है।
मोम लगाने के बाद,नई बीट आवृत्ति $2$ सेकंड में $4$ बीट्स है,जो $f'_{beat} = 4/2 = 2$ Hz है।
यदि $f_A = 376$ Hz होता,तो मोम लगाने से यह $380$ Hz से और दूर हो जाता,जिससे बीट आवृत्ति बढ़ जाती।
यदि $f_A = 384$ Hz होता,तो मोम लगाने से यह $380$ Hz के करीब आ जाता,जिससे बीट आवृत्ति घटकर $2$ Hz हो जाती।
अतः,ट्यूनिंग फोर्क $A$ की मूल आवृत्ति $384$ Hz होनी चाहिए।