Beats and Tuning fork Questions in Hindi

(A) मेल्डे के प्रयोग में,जब ट्यूनिंग फोर्क को अनुप्रस्थ मोड में व्यवस्थित किया जाता है,तो डोरी ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति के समान आवृत्ति के साथ कंपन करती है।
इसका कारण यह है कि ट्यूनिंग फोर्क डोरी के लिए चालक बल (driving force) के रूप में कार्य करता है और प्रणाली अनुनाद (resonance) की स्थिति प्राप्त कर लेती है।
इसलिए,ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $(f_t)$ और डोरी में तरंगों की आवृत्ति $(f_s)$ बराबर होती है,अर्थात $f_t = f_s$।
अतः,ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति और डोरी में तरंगों की आवृत्ति का अनुपात $1:1$ है।

(A) कंपन करने वाली डोरी की आवृत्ति का सूत्र $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\pi r^2 \rho}}$ है,जहाँ $l$ लंबाई है,$T$ तनाव है,$r$ त्रिज्या है और $\rho$ पदार्थ का घनत्व है।
विस्पंद तब उत्पन्न होते हैं जब दो ध्वनि स्रोतों की आवृत्तियों में अंतर होता है।
पदार्थ $(\rho)$,तनाव बल $(T)$,या व्यास $(r)$ को बदलने से तार की आवृत्ति बदल जाएगी,जिससे विस्पंद उत्पन्न होंगे।
हालाँकि,कंपन का आयाम ध्वनि की प्रबलता को प्रभावित करता है,न कि उसकी आवृत्ति को।
इसलिए,आयाम बदलने से विस्पंद उत्पन्न नहीं होंगे।

(B) बीट आवृत्ति दो आवृत्तियों के बीच का अंतर होती है।
दिया गया है कि,$
u$ और $200 \;Hz$ आवृत्ति के लिए बीट आवृत्ति $5 \;Hz$ है।
अतः,$
u = 200 \pm 5$,जिसका अर्थ है $
u = 195 \;Hz$ या $
u = 205 \;Hz$ ... $(i)$
दूसरे हार्मोनिक $2
u$ और $420 \;Hz$ के लिए,बीट आवृत्ति $10 \;Hz$ है।
अतः,$2
u = 420 \pm 10$,जिसका अर्थ है $2
u = 410 \;Hz$ या $2
u = 430 \;Hz$।
$2$ से विभाजित करने पर,हमें $
u = 205 \;Hz$ या $
u = 215 \;Hz$ प्राप्त होता है ... $(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर,सामान्य मान $
u = 205 \;Hz$ है।

(B) मान लीजिए कि दोनों सायरन की आवृत्ति $f$ है और ध्वनि की गति $v$ है। मान लीजिए कि प्रेक्षक $v_0$ वेग के साथ एक सायरन की ओर और दूसरे सायरन से दूर जा रहा है।
जिस सायरन की ओर प्रेक्षक गति कर रहा है,उसके लिए आभासी आवृत्ति $f_1 = f \left( \frac{v + v_0}{v} \right)$ है।
जिस सायरन से प्रेक्षक दूर जा रहा है,उसके लिए आभासी आवृत्ति $f_2 = f \left( \frac{v - v_0}{v} \right)$ है।
चूंकि प्रेक्षक एक साथ थोड़ी अलग आवृत्तियों $(f_1 \neq f_2)$ की दो ध्वनि तरंगें सुनता है,इसलिए इन तरंगों के अध्यारोपण के परिणामस्वरूप बीट्स की घटना होती है।
बीट आवृत्ति $|f_1 - f_2| = \frac{2 f v_0}{v}$ द्वारा दी जाती है।
इसलिए,प्रेक्षक बीट्स सुनेगा।
विकल्प $(B)$ सही उत्तर है।

(D) एक तने हुए तार के कंपन की आवृत्ति $n = \frac{1}{2l}\sqrt{\frac{T}{m}}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $l$ और $m$ स्थिर हैं,इसलिए $n \propto \sqrt{T}$ होता है।
छोटे परिवर्तनों के लिए अवकलन का उपयोग करने पर,$\frac{\Delta n}{n} = \frac{1}{2} \frac{\Delta T}{T}$ प्राप्त होता है।
यह दिया गया है कि तनाव $T$ में $4\%$ की वृद्धि हुई है,इसलिए $\frac{\Delta T}{T} = 0.04$ है।
अतः,आवृत्ति में आंशिक परिवर्तन $\frac{\Delta n}{n} = \frac{1}{2} \times 0.04 = 0.02$ है।
इसका अर्थ है कि $\Delta n = 0.02 \times n = 0.02 \times 100 \ Hz = 2 \ Hz$ है।
बीट्स की संख्या आवृत्तियों का अंतर है,जो $2$ है।

(D) प्लेट द्वारा $h$ ऊँचाई गिरने में लिया गया समय $t$,गति के समीकरण $h = \frac{1}{2}gt^2$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $h = 10 \, cm = 0.1 \, m$ और $g = 10 \, m/s^2$ लेने पर।
$0.1 = \frac{1}{2} \times 10 \times t^2$,जिससे $t^2 = 0.02$,अर्थात $t = \sqrt{0.02} \, s = \frac{\sqrt{2}}{10} \, s \approx 0.1414 \, s$ प्राप्त होता है।
इस समय में,ट्यूनिंग फोर्क $n = 8$ दोलन पूरे करता है।
एक दोलन का आवर्तकाल $T = \frac{t}{n} = \frac{\sqrt{0.02}}{8} \, s$ है।
आवृत्ति $f$,आवर्तकाल का व्युत्क्रम है: $f = \frac{1}{T} = \frac{8}{\sqrt{0.02}} = \frac{8}{0.1414} \approx 56.56 \, Hz$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,निकटतम पूर्णांक मान $56 \, Hz$ है।

(D) माना कि पहले ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $n_1 = n$ है।
चूंकि $10$ ट्यूनिंग फोर्क हैं और प्रत्येक क्रमिक फोर्क की जोड़ी $4 \text{ beats/sec}$ उत्पन्न करती है,इसलिए आवृत्तियाँ एक समांतर श्रेणी में हैं जिसका सार्व अंतर $d = 4 \text{ Hz}$ है।
$N$-वें ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति का सूत्र $n_N = n_1 + (N - 1)d$ है।
$N = 10$ और $d = 4$ के लिए,उच्चतम आवृत्ति $n_{10} = n + (10 - 1) \times 4 = n + 36$ होगी।
प्रश्न के अनुसार,उच्चतम आवृत्ति,न्यूनतम आवृत्ति की दोगुनी है,इसलिए $n_{10} = 2n$ है।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$2n = n + 36$
$n = 36 \text{ Hz}$।
अतः,न्यूनतम आवृत्ति $n_1 = 36 \text{ Hz}$ है और उच्चतम आवृत्ति $n_{10} = 2 \times 36 = 72 \text{ Hz}$ है।

(A) मान लीजिए कि पहले ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $n_1 = n$ है।
चूंकि प्रत्येक फोर्क अगले फोर्क के साथ $5 \text{ beats per second}$ उत्पन्न करता है,इसलिए आवृत्तियाँ एक समांतर श्रेणी में हैं जिसका सामान्य अंतर $d = 5 \text{ Hz}$ है।
ट्यूनिंग फोर्क की कुल संख्या $N = 41$ है।
$N^{th}$ (अंतिम) फोर्क की आवृत्ति $n_N = n_1 + (N - 1)d$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $n_{41} = n + (41 - 1) \times 5 = n + 40 \times 5 = n + 200$.
यह दिया गया है कि अंतिम फोर्क की आवृत्ति पहले फोर्क की आवृत्ति से दोगुनी है,इसलिए $n_{41} = 2n$.
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $2n = n + 200$.
$n$ के लिए हल करने पर: $n = 200 \text{ Hz}$.
अतः,पहले फोर्क की आवृत्ति $n_1 = 200 \text{ Hz}$ है और अंतिम फोर्क की आवृत्ति $n_{41} = 2 \times 200 = 400 \text{ Hz}$ है।

(A) तने हुए तार की मूल आवृत्ति $n$ का सूत्र $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है,जिसका अर्थ है कि $n \propto \sqrt{T}$।
लघुगणकीय अवकलन लेने पर,हमें $\frac{\Delta n}{n} = \frac{1}{2} \frac{\Delta T}{T}$ प्राप्त होता है।
प्रारंभिक आवृत्ति $n = 400 \text{ Hz}$ और तनाव में प्रतिशत वृद्धि $\frac{\Delta T}{T} = 2\% = 0.02$ दी गई है।
आवृत्ति में परिवर्तन $\Delta n$ की गणना $\Delta n = n \times \frac{1}{2} \times \frac{\Delta T}{T}$ के रूप में की जाती है।
मान रखने पर: $\Delta n = 400 \times \frac{1}{2} \times 0.02 = 400 \times 0.01 = 4 \text{ Hz}$।
अतः,प्रति सेकंड उत्पन्न होने वाले विस्पंदों की संख्या $4$ है।

(C) माना कि पहले ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $f_1 = 2n$ है और अंतिम ($25$ वें) ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $f_{25} = n$ है।
चूंकि कुल $25$ फोर्क हैं,इसलिए उनके बीच $24$ अंतराल हैं।
प्रत्येक क्रमिक फोर्क के बीच का अंतर $3 \, Hz$ है,इसलिए पहले और अंतिम फोर्क के बीच का अंतर $24 \times 3 = 72 \, Hz$ है।
अतः,$2n - n = 72$,जिससे हमें $n = 72 \, Hz$ प्राप्त होता है।
$k$ वें फोर्क की आवृत्ति $f_k = f_1 - (k-1)d$ सूत्र द्वारा दी जाती है,जहाँ $d = 3 \, Hz$ है।
$21$ वें फोर्क के लिए $(k=21)$:
$f_{21} = 2n - (21-1) \times 3$
$f_{21} = 2(72) - 20 \times 3$
$f_{21} = 144 - 60 = 84 \, Hz$.

(A) माना कि पहले ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $n_1 = n$ है।
चूंकि $16$ ट्यूनिंग फोर्क हैं और प्रत्येक क्रमिक फोर्क $8$ बीट्स प्रति सेकंड देता है,इसलिए आवृत्तियाँ एक समांतर श्रेणी $(AP)$ बनाती हैं जिसका सार्व अंतर $d = 8$ Hz है।
पदों की संख्या $N = 16$ है।
अंतिम ($16$ वें) ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति का सूत्र $n_{16} = n_1 + (N - 1)d$ है।
मान रखने पर: $n_{16} = n + (16 - 1) \times 8 = n + 15 \times 8 = n + 120$.
प्रश्न के अनुसार,अंतिम फोर्क की आवृत्ति पहले की दोगुनी है,इसलिए $n_{16} = 2n$.
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $2n = n + 120$.
$n$ के लिए हल करने पर: $n = 120$ Hz.

(B) कंपन करने वाले तार की आवृत्ति $n = \frac{1}{2l}\sqrt{\frac{T}{m}}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि तार समान हैं,$l$ और $m$ स्थिर हैं,इसलिए $n \propto \sqrt{T}$।
मान लीजिए प्रारंभिक आवृत्तियाँ $n_1$ और $n_2$ हैं जो क्रमशः तनाव $T_1$ और $T_2$ के अनुरूप हैं,जहाँ $T_1 > T_2$,जिसका अर्थ है $n_1 > n_2$।
विस्पंद आवृत्ति $n_1 - n_2 = 6$ है।
यदि तनाव बदलने के बाद विस्पंद आवृत्ति $6$ रहती है,तो नई आवृत्तियों $n_1'$ और $n_2'$ को $|n_1' - n_2'| = 6$ को संतुष्ट करना चाहिए।
स्थिति $(i)$: यदि $n_1$ स्थिर रहता है,तो $n_2$ को बढ़कर $n_2'$ हो जाना चाहिए ताकि $n_2' - n_1 = 6$ हो। इसके लिए तनाव $T_2$ को बढ़ाना होगा।
इस प्रकार,एक तनाव बदलते समय प्रति सेकंड $6$ विस्पंद बनाए रखने के लिए एकमात्र मान्य भौतिक परिवर्तन निम्न तनाव $T_2$ को बढ़ाना है ताकि नई आवृत्ति $n_2'$,$n_1$ से $6$ Hz अधिक हो जाए।

(B) जब पिस्टन को $\Delta x = 8.75 \, cm$ की दूरी से खिसकाया जाता है,तो परावर्तित तरंग में उत्पन्न पथ अंतर $2 \Delta x$ होता है क्योंकि तरंग पिस्टन तक जाकर वापस आती है।
पथ अंतर $= 2 \times 8.75 \, cm = 17.5 \, cm = 0.175 \, m$।
तीव्रता के अधिकतम (संपोषी व्यतिकरण) से न्यूनतम (विनाशी व्यतिकरण) में बदलने के लिए,पथ अंतर $\frac{\lambda}{2}$ के विषम गुणज के बराबर होना चाहिए। सबसे छोटा परिवर्तन $\frac{\lambda}{2}$ के अनुरूप होता है।
$\frac{\lambda}{2} = 0.175 \, m$
$\lambda = 0.35 \, m$
तरंग समीकरण $v = n \lambda$ का उपयोग करते हुए:
$n = \frac{v}{\lambda} = \frac{350 \, m/s}{0.35 \, m} = 1000 \, Hz$।

(B) माना आवृत्तियाँ $n_1 = 400\, Hz$,$n_2 = 401\, Hz$,और $n_3 = 402\, Hz$ हैं।
परिणामी विस्थापन $y$ तीनों तरंगों का योग है: $y = a\sin(2\pi n_1 t) + a\sin(2\pi n_2 t) + a\sin(2\pi n_3 t)$।
सर्वसमिका $\sin A + \sin C = 2\sin(\frac{A+C}{2})\cos(\frac{A-C}{2})$ का उपयोग करके,हम पहले और तीसरे पद को जोड़ते हैं:
$y = a\sin(2\pi n_2 t) + a[2\sin(2\pi n_2 t)\cos(2\pi t)]$।
$y = a(1 + 2\cos(2\pi t))\sin(2\pi n_2 t)$।
परिणामी तरंग का आयाम $A(t) = a(1 + 2\cos(2\pi t))$ है।
विस्पंद आयाम में परिवर्तन से उत्पन्न होते हैं। आयाम परिवर्तन की आवृत्ति $\cos(2\pi t)$ पद द्वारा निर्धारित होती है।
इस पद की आवृत्ति $f = 1\, Hz$ है।
अतः,प्रति सेकंड सुनाई देने वाले विस्पंदों की संख्या $1$ है।

(C) ग्राफ से,रेखा का ढाल बीट आवृत्ति को दर्शाता है।
रेखा $OA$ के लिए,$1 \ s$ में बीट्स की संख्या $3$ है,इसलिए बीट आवृत्ति $3 \ Hz$ है।
रेखा $OB$ के लिए,$1 \ s$ में बीट्स की संख्या $2$ है,इसलिए बीट आवृत्ति $2 \ Hz$ है।
माना $n_P = 341 \ Hz$ और $n_Q$,$Q$ की आवृत्ति है।
प्रारंभ में,$|n_P - n_Q| = 3 \ Hz$,जिसका अर्थ है $n_Q = 341 \pm 3$,इसलिए $n_Q = 344 \ Hz$ या $338 \ Hz$ है।
जब $Q$ पर मोम लगाया जाता है,तो इसकी आवृत्ति $n_Q$ कम हो जाती है।
यदि $n_Q = 338 \ Hz$ होता,तो मोम लगाने से आवृत्ति $341 \ Hz$ से और दूर हो जाती,जिससे बीट आवृत्ति बढ़ जाती।
यदि $n_Q = 344 \ Hz$ होता,तो मोम लगाने से आवृत्ति $341 \ Hz$ के करीब आ जाती,जिससे बीट आवृत्ति कम हो जाती।
चूंकि ग्राफ दिखाता है कि बीट आवृत्ति $3 \ Hz$ से घटकर $2 \ Hz$ हो जाती है,इसलिए $Q$ की आवृत्ति $344 \ Hz$ होनी चाहिए।

(C) माना ट्यूनिंग फोर्क $A$ की आवृत्ति $n_A$ है। विस्पंद आवृत्ति $6 \,Hz$ है और $n_B = 384 \,Hz$ है,इसलिए $A$ की संभावित आवृत्तियाँ $n_A = 384 \pm 6$ अर्थात $390 \,Hz$ या $378 \,Hz$ हैं।
जब ट्यूनिंग फोर्क $A$ पर मोम लगाया जाता है,तो इसकी आवृत्ति कम हो जाती है।
यदि $n_A = 378 \,Hz$ है,तो मोम लगाने पर आवृत्ति और कम हो जाएगी (जैसे $376 \,Hz$),जिससे विस्पंद आवृत्ति $|384 - 376| = 8 \,Hz$ हो जाएगी,जो दी गई शर्त $(4 \,Hz)$ के विपरीत है।
यदि $n_A = 390 \,Hz$ है,तो मोम लगाने पर आवृत्ति घटकर $384 \,Hz$ के करीब आएगी। विस्पंद आवृत्ति $4 \,Hz$ होने के लिए,$A$ की नई आवृत्ति $384 + 4 = 388 \,Hz$ होनी चाहिए। चूँकि आवृत्ति $390 \,Hz$ से घटकर $388 \,Hz$ हो गई है,यह दी गई शर्त के अनुरूप है।
अतः,$A$ की मूल आवृत्ति $390 \,Hz$ है।

(D) तरंग की तीव्रता $I$ उसके आयाम $A$ के वर्ग के समानुपाती होती है,अर्थात $I \propto A^2$।
$A_1 = 5 \, m$ और $A_2 = 3 \, m$ आयाम वाली दो तरंगों के लिए,अधिकतम तीव्रता $I_{\max}$ संपोषी व्यतिकरण (constructive interference) पर होती है,जहाँ $A_{\max} = A_1 + A_2 = 5 + 3 = 8 \, m$।
न्यूनतम तीव्रता $I_{\min}$ विनाशी व्यतिकरण (destructive interference) पर होती है,जहाँ $A_{\min} = |A_1 - A_2| = |5 - 3| = 2 \, m$।
अधिकतम और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात इस प्रकार है:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{A_1 + A_2}{A_1 - A_2} \right)^2 = \left( \frac{5 + 3}{5 - 3} \right)^2 = \left( \frac{8}{2} \right)^2 = (4)^2 = 16$।
अतः,अनुपात $16 : 1$ है।

(C) विस्पंद आवृत्ति $f_b = |f_1 - f_2| = |384 - 380| = 4 \,Hz$ है।
एक पूर्ण विस्पंद चक्र का आवर्तकाल $T = 1/f_b = 1/4 \,s$ है।
एक विस्पंद चक्र में एक अधिकतम (तेज ध्वनि) और एक न्यूनतम (शांति) होता है।
अधिकतम ध्वनि और उसके बाद की न्यूनतम ध्वनि के बीच का समयांतराल विस्पंद के आवर्तकाल का आधा होता है।
अतः,आवश्यक समयांतराल $t = T/2 = (1/4) / 2 = 1/8 \,s$ होगा।

(C) प्रारंभिक विस्पंद आवृत्ति $f_{beat} = |n_A - n_B| = 4 \,Hz$ है।
दिया गया है कि $n_A = 320 \,Hz$,इसलिए $B$ के लिए संभावित आवृत्तियाँ $n_B = 320 \pm 4$ यानी $324 \,Hz$ या $316 \,Hz$ हैं।
जब ट्यूनिंग फोर्क पर मोम लगाया जाता है,तो उसकी आवृत्ति कम हो जाती है।
यदि $n_B = 316 \,Hz$ होता,तो मोम लगाने से आवृत्ति $320 \,Hz$ से और दूर हो जाती,जिससे विस्पंदों की संख्या बढ़ जाती।
यदि $n_B = 324 \,Hz$ होता,तो मोम लगाने से आवृत्ति $320 \,Hz$ के करीब आती,जिससे विस्पंदों की संख्या कम होनी चाहिए। प्रश्न के अनुसार विस्पंदों की संख्या $4$ ही रहती है,जो यह दर्शाता है कि $B$ की मूल आवृत्ति $324 \,Hz$ थी।

(A) माना कि पहले ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $n$ है।
चूंकि प्रत्येक फोर्क अगले फोर्क के साथ $5 \, \text{beats/sec}$ उत्पन्न करता है, इसलिए आवृत्तियाँ एक समांतर श्रेणी $(AP)$ बनाती हैं जिसका सार्व अंतर $d = 5 \, \text{Hz}$ है।
ट्यूनिंग फोर्क की कुल संख्या $N = 41$ है।
समांतर श्रेणी के $N$ वें पद का सूत्र: $l = a + (N - 1)d$.
दिया गया है कि अंतिम आवृत्ति पहले की दोगुनी है, इसलिए $l = 2n$.
मान रखने पर: $2n = n + (41 - 1) \times 5$.
$2n = n + 40 \times 5$.
$2n = n + 200$.
$n = 200 \, \text{Hz}$.
अतः, पहले ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $200 \, \text{Hz}$ और अंतिम ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $2n = 400 \, \text{Hz}$ होगी।

(B) प्रारंभिक विस्पंद आवृत्ति $n_b = |n_1 - n_2| = 6 \ Hz$ है। $n_1 = 256 \ Hz$ दिए जाने पर,$F_2$ के लिए संभावित आवृत्तियाँ $256 + 6 = 262 \ Hz$ या $256 - 6 = 250 \ Hz$ हैं।
जब ट्यूनिंग फोर्क पर मोम लगाया जाता है,तो उसकी आवृत्ति कम हो जाती है।
यदि $n_2 = 250 \ Hz$ हो,तो मोम लगाने पर आवृत्ति और कम हो जाएगी (जैसे $249 \ Hz$),जिससे विस्पंद आवृत्ति $|256 - 249| = 7 \ Hz$ हो जाएगी। यह दी गई जानकारी के विपरीत है।
यदि $n_2 = 262 \ Hz$ हो,तो मोम लगाने पर आवृत्ति कम हो जाती है। यदि विस्पंद आवृत्ति $6 \ Hz$ ही रहती है,तो इसका अर्थ है कि $F_2$ की मूल आवृत्ति $262 \ Hz$ थी।

(A) दिया गया है कि दो तरंगों की तीव्रताओं का अनुपात $I_1/I_2 = 4/1$ है।
मान लीजिए कि दो तरंगों के आयाम $A_1$ और $A_2$ हैं। चूंकि तीव्रता $I \propto A^2$ होती है,इसलिए $\sqrt{I_1/I_2} = A_1/A_2 = \sqrt{4/1} = 2/1$ होगा।
अधिकतम और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात निम्नलिखित सूत्र द्वारा प्राप्त किया जाता है:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{A_1 + A_2}{A_1 - A_2} \right)^2 = \left( \frac{\sqrt{I_1/I_2} + 1}{\sqrt{I_1/I_2} - 1} \right)^2$.
मान रखने पर:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{2 + 1}{2 - 1} \right)^2 = \left( \frac{3}{1} \right)^2 = \frac{9}{1}$.
अतः,अनुपात $9:1$ है।

(A) ध्वनि तरंग की आवृत्ति $f$ का सूत्र $f = \frac{v}{\lambda}$ है,जहाँ $v$ वेग है और $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है।
पहली तरंग के लिए: $f_1 = \frac{330}{5.0} = 66\, Hz$.
दूसरी तरंग के लिए: $f_2 = \frac{330}{5.5} = 60\, Hz$.
प्रति सेकंड विस्पंदों की संख्या दोनों आवृत्तियों के बीच का अंतर है: $|f_1 - f_2|$.
विस्पंद प्रति सेकंड $= |66 - 60| = 6\, Hz$.

(B) दी गई तरंग समीकरणें $y_1 = 4 \sin(500\pi t)$ और $y_2 = 2 \sin(506\pi t)$ हैं।
इन्हें मानक समीकरण $y = A \sin(2\pi \nu t)$ के साथ तुलना करने पर,जहाँ $\omega = 2\pi \nu$:
पहली तरंग के लिए: $\omega_1 = 500\pi = 2\pi \nu_1 \implies \nu_1 = 250 \text{ Hz}$.
दूसरी तरंग के लिए: $\omega_2 = 506\pi = 2\pi \nu_2 \implies \nu_2 = 253 \text{ Hz}$.
बीट आवृत्ति दोनों आवृत्तियों के बीच का अंतर है: $\nu_{beat} = |\nu_2 - \nu_1| = |253 - 250| = 3 \text{ बीट्स प्रति सेकंड}$.
प्रति मिनट बीट्स की संख्या ज्ञात करने के लिए,प्रति सेकंड बीट्स को $60$ से गुणा करें: $3 \times 60 = 180 \text{ बीट्स प्रति मिनट}$.

(A) दिया गया है: लंबाई $l_1 = 0.516 \, m$ और $l_2 = 0.491 \, m$. तनाव $T = 20 \, N$. प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $\mu = 1 \, g/m = 0.001 \, kg/m$.
डोरी की मूल आवृत्ति का सूत्र $v = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है।
तरंग की गति $v_w = \sqrt{\frac{T}{\mu}} = \sqrt{\frac{20}{0.001}} = \sqrt{20000} = 100\sqrt{2} \approx 141.42 \, m/s$.
आवृत्ति $v_1 = \frac{141.42}{2 \times 0.516} \approx 137.04 \, Hz$.
आवृत्ति $v_2 = \frac{141.42}{2 \times 0.491} \approx 144.02 \, Hz$.
बीट्स की संख्या आवृत्तियों का अंतर है: $|v_2 - v_1| = 144.02 - 137.04 = 6.98 \approx 7 \, Hz$.

(D) मान लीजिए कि ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $v_{1} = 512\, Hz$ है और पियानो के तार की आवृत्ति $v_{2}$ है।
बीट आवृत्ति $|v_{1} - v_{2}| = 4\, Hz$ द्वारा दी जाती है।
इसलिए,$v_{2} = 512 \pm 4$,जिसका अर्थ है $v_{2} = 516\, Hz$ या $v_{2} = 508\, Hz$।
जब पियानो के तार में तनाव बढ़ाया जाता है,तो उसकी आवृत्ति $v_{2}$ बढ़ जाती है।
स्थिति $1$: यदि $v_{2} = 516\, Hz$ है,तो तनाव बढ़ाने से $v_{2}$ और बढ़ जाएगा (जैसे $517\, Hz$ या $518\, Hz$ तक),जिससे बीट आवृत्ति बढ़ जाएगी $(|512 - 517| = 5\, Hz)$। यह प्रश्न के कथन का खंडन करता है।
स्थिति $2$: यदि $v_{2} = 508\, Hz$ है,तो तनाव बढ़ाने से $v_{2}$ बढ़ जाएगा (जैसे $510\, Hz$ तक),जिससे बीट आवृत्ति कम हो जाएगी $(|512 - 510| = 2\, Hz)$। यह प्रश्न के कथन के अनुरूप है।
अतः,तनाव बढ़ाने से पहले पियानो के तार की प्रारंभिक आवृत्ति $508\, Hz$ थी।

(B) एक खींचे हुए तार की मूल आवृत्ति $v = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है।
समान तारों के लिए $L$ और $\mu$ स्थिर हैं,इसलिए $v \propto \sqrt{T}$ होता है।
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें $\frac{dv}{v} = \frac{1}{2} \frac{dT}{T}$ प्राप्त होता है।
प्रारंभिक आवृत्ति $v = 600\, Hz$ और बीट आवृत्ति $\Delta v = 6\, Hz$ दी गई है,इसलिए नई आवृत्ति $v' = 606\, Hz$ (या $594\, Hz$) होगी।
अतः,आवृत्ति में परिवर्तन $\Delta v = 6\, Hz$ है।
तनाव में आंशिक परिवर्तन $\frac{\Delta T}{T} = 2 \frac{\Delta v}{v}$ है।
मान रखने पर: $\frac{\Delta T}{T} = 2 \times \frac{6}{600} = 2 \times 0.01 = 0.02$.

(D) दिए गए समीकरण $y_1 = 4 \sin(600\pi t)$ और $y_2 = 5 \sin(608\pi t)$ हैं।
$y = A \sin(2\pi \nu t)$ के साथ तुलना करने पर:
पहले स्रोत के लिए: $A_1 = 4$ और $2\pi \nu_1 = 600\pi \implies \nu_1 = 300 \text{ Hz}$।
दूसरे स्रोत के लिए: $A_2 = 5$ और $2\pi \nu_2 = 608\pi \implies \nu_2 = 304 \text{ Hz}$।
प्रति सेकंड सुनाई देने वाली बीट्स की संख्या आवृत्तियों का अंतर है: $\text{बीट आवृत्ति} = \nu_2 - \nu_1 = 304 - 300 = 4 \text{ बीट्स/सेकंड}$।
अधिकतम तीव्रता और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(A_1 + A_2)^2}{(A_1 - A_2)^2}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(4 + 5)^2}{(4 - 5)^2} = \frac{9^2}{(-1)^2} = \frac{81}{1}$।
अतः,प्रेक्षक $4$ बीट्स प्रति सेकंड और $81 : 1$ के तीव्रता अनुपात के साथ ध्वनि सुनेगा।

(D) माना अज्ञात स्रोत की आवृत्ति $v$ है।
चूंकि यह $250\, \text{Hz}$ के स्रोत के साथ $4\, \text{beats/s}$ उत्पन्न करता है, इसलिए संभावित आवृत्तियाँ $v = 250 \pm 4$ हैं, जो $v = 246\, \text{Hz}$ या $v = 254\, \text{Hz}$ देती हैं।
अज्ञात स्रोत का दूसरा हार्मोनिक $2v$ है। यदि $v = 246\, \text{Hz}$ है, तो $2v = 492\, \text{Hz}$ होगा। $513\, \text{Hz}$ के साथ बीट आवृत्ति $|513 - 492| = 21\, \text{beats/s}$ होगी, जो दिए गए $5\, \text{beats/s}$ से मेल नहीं खाती है।
यदि $v = 254\, \text{Hz}$ है, तो $2v = 508\, \text{Hz}$ होगा। $513\, \text{Hz}$ के साथ बीट आवृत्ति $|513 - 508| = 5\, \text{beats/s}$ होगी, जो दी गई शर्त से मेल खाती है।
अतः, अज्ञात आवृत्ति $254\, \text{Hz}$ है।

(B) तीन ध्वनि तरंगों की आवृत्तियाँ $f_1 = n - 1$,$f_2 = n$,और $f_3 = n + 1$ हैं।
विस्पंद तब उत्पन्न होते हैं जब अलग-अलग आवृत्तियों वाली तरंगें एक-दूसरे पर अध्यारोपित होती हैं।
तरंगों के जोड़ों के बीच विस्पंद आवृत्तियाँ इस प्रकार हैं:
$|f_2 - f_1| = |n - (n - 1)| = 1 \text{ Hz}$
$|f_3 - f_2| = |(n + 1) - n| = 1 \text{ Hz}$
$|f_3 - f_1| = |(n + 1) - (n - 1)| = 2 \text{ Hz}$
परिणामी विस्पंद आवृत्ति अधिकतम और न्यूनतम आवृत्तियों के बीच का अंतर होती है।
अतः,प्रति सेकंड उत्पन्न विस्पंदों की संख्या: $(n + 1) - (n - 1) = 2 \text{ Hz}$ है।

(A) मान लीजिए कि ट्यूनिंग फोर्क $A$ की प्रारंभिक आवृत्ति $n_A$ है और ट्यूनिंग फोर्क $B$ की आवृत्ति $n_B = 320 \text{ Hz}$ है।
बीट आवृत्ति $|n_A - n_B| = 4 \text{ Hz}$ द्वारा दी जाती है।
इसका अर्थ है $n_A = 320 \pm 4$,इसलिए $n_A$ या तो $324 \text{ Hz}$ है या $316 \text{ Hz}$ है।
जब एक ट्यूनिंग फोर्क को घिसा जाता है,तो उसकी आवृत्ति बढ़ जाती है $(n_A \uparrow)$।
स्थिति $1$: यदि $n_A = 316 \text{ Hz}$ है,तो इसे घिसने पर आवृत्ति बढ़ती है। यदि नई आवृत्ति $320 \text{ Hz}$ हो जाती है,तो बीट आवृत्ति $0$ हो जाती है। यदि यह और बढ़ती है,जैसे $324 \text{ Hz}$ तक,तो बीट आवृत्ति $|324 - 320| = 4 \text{ Hz}$ हो जाती है। यह शर्त के साथ मेल खाता है।
स्थिति $2$: यदि $n_A = 324 \text{ Hz}$ है,तो इसे घिसने पर आवृत्ति और बढ़ जाती है,इसलिए नई आवृत्ति $n_A' > 324 \text{ Hz}$ होगी। बीट आवृत्ति $|n_A' - 320| > 4 \text{ Hz}$ होगी। यह शर्त के साथ मेल नहीं खाता है।
अतः,प्रारंभिक आवृत्ति $316 \text{ Hz}$ थी,और घिसने के बाद,आवृत्ति $324 \text{ Hz}$ हो जाती है।

(B) सरल आवर्त गति के लिए मानक समीकरण $x = x_0 \sin(\omega t)$ है,जहाँ $\omega = 2\pi f$ और $f$ आवृत्ति (Hz में) है।
पहले कंपन के लिए,$x_1 = x_0 \sin(646\pi t)$,इसलिए $\omega_1 = 646\pi$ है।
चूँकि $\omega_1 = 2\pi f_1$,इसलिए $f_1 = \frac{646\pi}{2\pi} = 323 \text{ Hz}$ होगा।
दूसरे कंपन के लिए,$x_2 = x_0 \sin(652\pi t)$,इसलिए $\omega_2 = 652\pi$ है।
चूँकि $\omega_2 = 2\pi f_2$,इसलिए $f_2 = \frac{652\pi}{2\pi} = 326 \text{ Hz}$ होगा।
बीट आवृत्ति दोनों आवृत्तियों का अंतर है: $f_{\text{beat}} = |f_2 - f_1| = |326 - 323| = 3 \text{ Hz}$।
अतः,प्रति सेकंड उत्पन्न बीट्स की संख्या $3$ है।

(C) माना कि पहले ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $n_1 = n \, \text{Hz}$ है।
चूंकि कुल $N = 50$ ट्यूनिंग फोर्क्स हैं और प्रत्येक अपने पिछले फोर्क के साथ $4 \, \text{beats/sec}$ देता है, इसलिए आवृत्तियाँ एक समांतर श्रेणी में हैं जिसका सार्व अंतर $d = 4 \, \text{Hz}$ है।
$N$-वें ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति का सूत्र $n_N = n_1 + (N - 1)d$ है।
मान रखने पर, $n_{50} = n + (50 - 1) \times 4 = n + 49 \times 4 = n + 196$.
दिया गया है कि अंतिम फोर्क की आवृत्ति पहले फोर्क की आवृत्ति की दोगुनी है, इसलिए $n_{50} = 2n$.
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $2n = n + 196$.
$n$ के लिए हल करने पर: $n = 196 \, \text{Hz}$।

(B) तीव्रताओं का दिया गया अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{4}{1}$ है।
मान लीजिए आयाम $A_1$ और $A_2$ हैं,तो $\frac{A_1}{A_2} = \sqrt{\frac{I_1}{I_2}} = \frac{2}{1}$ होगा।
अधिकतम और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{A_1 + A_2}{A_1 - A_2} \right)^2 = \left( \frac{2+1}{2-1} \right)^2 = 3^2 = 9$ है।
$dB$ में लाउडनेस का अंतर $\Delta L = 10 \log_{10} \left( \frac{I_{\max}}{I_{\min}} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$\Delta L = 10 \log_{10} (9) = 10 \log_{10} (3^2) = 20 \log_{10} 3$ $dB$ प्राप्त होता है।

(D) ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $\nu_{T} = 280\, Hz$ है।
मान लीजिए सोनोमीटर तार की प्रारंभिक आवृत्ति $\nu_{s}$ है।
बीट आवृत्ति $|\nu_{T} - \nu_{s}| = 10\, Hz$ द्वारा दी जाती है।
इसका अर्थ है कि $\nu_{s} = 280 \pm 10$,इसलिए $\nu_{s}$ या तो $290\, Hz$ है या $270\, Hz$ है।
जब तार में तनाव बढ़ता है,तो तार की आवृत्ति $\nu_{s}$ बढ़ती है (क्योंकि $\nu_{s} \propto \sqrt{T}$)।
यदि $\nu_{s} = 290\, Hz$ है,तो तनाव बढ़ाने से आवृत्ति $290\, Hz$ से अधिक हो जाएगी,जिससे बीट आवृत्ति $|280 - \nu_{s}|$ बढ़ जाएगी।
चूंकि बीट आवृत्ति $10$ से बढ़कर $11$ हो जाती है,इसलिए तार की आवृत्ति $290\, Hz$ होनी चाहिए।

(C) माना अज्ञात आवृत्ति $f$ है।
$A$ $(256 \ Hz)$ के साथ बीट आवृत्ति $|f - 256|$ है।
$B$ $(262 \ Hz)$ के साथ बीट आवृत्ति $|f - 262|$ है।
प्रश्न के अनुसार,$B$ के साथ बीट आवृत्ति $A$ के साथ बीट आवृत्ति की दोगुनी है:
$|f - 262| = 2 |f - 256|$
स्थिति $1$: $f - 262 = 2(f - 256)$
$f - 262 = 2f - 512$
$f = 512 - 262 = 250 \ Hz$
स्थिति $2$: $f - 262 = -2(f - 256)$
$f - 262 = -2f + 512$
$3f = 774$
$f = 258 \ Hz$
शर्त की जाँच करने पर: $B$ के साथ बीट आवृत्ति $A$ की तुलना में दोगुनी है। यदि $f = 250$ है,तो $A$ के साथ बीट्स = $|250 - 256| = 6$,$B$ के साथ बीट्स = $|250 - 262| = 12$। चूँकि $12 = 2 \times 6$,इसलिए $250 \ Hz$ एक सही उत्तर है।

(B) माना $n_{1}$ और $n_{2}$ दो तरंगों की आवृत्तियाँ हैं।
माना $\lambda_{1} = 1.0\, m$ और $\lambda_{2} = 1.02\, m$ तरंग दैर्ध्य हैं।
माना $v$ गैस में ध्वनि की गति है।
तरंग की आवृत्ति $n = \frac{v}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
बीट आवृत्ति दो आवृत्तियों के बीच का अंतर है: $n_{1} - n_{2} = 6$.
आवृत्ति के लिए व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{v}{\lambda_{1}} - \frac{v}{\lambda_{2}} = 6$.
$\frac{v}{1.0} - \frac{v}{1.02} = 6$.
$v \left( \frac{1.02 - 1.0}{1.02} \right) = 6$.
$v \left( \frac{0.02}{1.02} \right) = 6$.
$v = \frac{6 \times 1.02}{0.02} = 6 \times 51 = 306\, m/s$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,गति लगभग $300\, m/s$ है।

(C) विस्पंद आवृत्ति दो अध्यारोपित तरंगों की आवृत्तियों के बीच का अंतर होती है।
दी गई आवृत्तियाँ $f_1 = f-1$,$f_2 = f$,और $f_3 = f+1$ हैं।
इन तरंगों के युग्मों द्वारा उत्पन्न विस्पंद आवृत्तियाँ हैं:
$|f_2 - f_1| = |f - (f-1)| = 1 \text{ Hz}$
$|f_3 - f_2| = |(f+1) - f| = 1 \text{ Hz}$
$|f_3 - f_1| = |(f+1) - (f-1)| = 2 \text{ Hz}$
प्रति सेकंड उत्पन्न विस्पंदों की अधिकतम संख्या उच्चतम और निम्नतम आवृत्ति के बीच का अंतर है,जो $(f+1) - (f-1) = 2 \text{ Hz}$ है।

(A) पहली तरंग की आवृत्ति $f_1 = \frac{1}{T_1} = \frac{1}{4}\; Hz$ है।
दूसरी तरंग की आवृत्ति $f_2 = \frac{1}{T_2} = \frac{1}{3}\; Hz$ है।
जब अलग-अलग आवृत्तियों वाली दो तरंगों को संयोजित किया जाता है,तो वे 'बीट्स' (beats) उत्पन्न करती हैं।
बीट आवृत्ति $f_b = |f_2 - f_1| = |\frac{1}{3} - \frac{1}{4}| = \frac{4-3}{12} = \frac{1}{12}\; Hz$ द्वारा दी जाती है।
परिणामी बीट घटना का आवर्तकाल $T = \frac{1}{f_b} = \frac{1}{1/12} = 12\; s$ होगा।

(D) तीनों स्रोतों की आवृत्तियाँ $f_1 = 101 \, Hz$,$f_2 = 103 \, Hz$ और $f_3 = 106 \, Hz$ हैं।
बीट्स थोड़ी अलग आवृत्तियों वाली ध्वनि तरंगों के व्यतिकरण से उत्पन्न होती हैं।
युग्मों के बीच बीट आवृत्तियाँ हैं:
$|f_2 - f_1| = |103 - 101| = 2 \, Hz$
$|f_3 - f_2| = |106 - 103| = 3 \, Hz$
$|f_3 - f_1| = |106 - 101| = 5 \, Hz$
प्रति सेकंड बीट्स की कुल संख्या ज्ञात करने के लिए,हम एक सेकंड में उच्चिष्ठ (maxima) की संख्या देखते हैं।
हम एक सेकंड को बीट आवर्तकाल के आधार पर विभाजित करते हैं: $1/2 \, s$,$1/3 \, s$ और $1/5 \, s$।
उच्चिष्ठ उन समय $t$ पर होते हैं जो इन आवर्तकालों के गुणज होते हैं।
$2 \, Hz$ के लिए,उच्चिष्ठ $t = 0, 0.5, 1.0 \, s$ पर हैं।
$3 \, Hz$ के लिए,उच्चिष्ठ $t = 0, 0.33, 0.66, 1.0 \, s$ पर हैं।
$5 \, Hz$ के लिए,उच्चिष्ठ $t = 0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1.0 \, s$ पर हैं।
इन सबको मिलाकर और सामान्य समय के क्षणों को हटाकर,एक सेकंड में उच्चिष्ठ के लिए अलग-अलग समय के क्षण $0, 0.2, 0.33, 0.4, 0.5, 0.6, 0.66, 0.8, 1.0$ हैं।
इनकी गणना करने पर,हमें $[0, 1]$ अंतराल में $9$ उच्चिष्ठ मिलते हैं। चूंकि बीट आवृत्ति प्रति सेकंड बीट्स की संख्या है,हम शुरुआती बिंदु $t=0$ को छोड़ देते हैं,जिसके परिणामस्वरूप प्रति सेकंड $8$ बीट्स प्राप्त होते हैं।

(D) ध्वनि तरंग की तीव्रता उसके आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है,$I \propto A^2$। अतः,$\sqrt{I} \propto A$।
दिया गया आयाम अनुपात $\frac{A_1}{A_2} = \frac{11}{9}$ है।
अधिकतम तीव्रता $I_{\max}$,$(A_1 + A_2)^2$ के समानुपाती होती है और न्यूनतम तीव्रता $I_{\min}$,$(A_1 - A_2)^2$ के समानुपाती होती है।
तीव्रता का अनुपात $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(A_1 + A_2)^2}{(A_1 - A_2)^2} = \left( \frac{A_1/A_2 + 1}{A_1/A_2 - 1} \right)^2$ है।
दिए गए अनुपात को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{11/9 + 1}{11/9 - 1} \right)^2 = \left( \frac{20/9}{2/9} \right)^2 = (10)^2 = 100$।
डेसिबल में ध्वनि स्तर का अंतर $\Delta SL = 10 \log_{10} \left( \frac{I_{\max}}{I_{\min}} \right)$ है।
$\Delta SL = 10 \log_{10} (100) = 10 \times 2 = 20 \, dB$।

(C) माना अज्ञात ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $f$ है।
$A$ $(256 \ Hz)$ और अज्ञात फोर्क द्वारा उत्पन्न बीट्स की संख्या $|f - 256|$ है।
$B$ $(262 \ Hz)$ और अज्ञात फोर्क द्वारा उत्पन्न बीट्स की संख्या $|f - 262|$ है।
प्रश्न के अनुसार,$B$ के साथ बीट्स की संख्या $A$ के साथ बीट्स की संख्या की दोगुनी है:
$|f - 262| = 2 |f - 256|$.
स्थिति $1$: $f - 262 = 2(f - 256)$
$f - 262 = 2f - 512$
$f = 512 - 262 = 250 \ Hz$.
स्थिति $2$: $f - 262 = -2(f - 256)$
$f - 262 = -2f + 512$
$3f = 774$
$f = 258 \ Hz$.
विकल्पों की जांच करने पर,$250 \ Hz$ विकल्प $C$ में दिया गया है।

(A) माना ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $n$ है और $15 ^\circ C$ तथा $10 ^\circ C$ पर वायु स्तंभ की आवृत्तियाँ क्रमशः $f_{15}$ और $f_{10}$ हैं।
दिया गया है कि $15 ^\circ C$ पर, $f_{15} - n = 4$, अतः $f_{15} = n + 4$.
$10 ^\circ C$ पर, बीट आवृत्ति में $1$ की कमी आती है, इसलिए $f_{10} - n = 3$, जिसका अर्थ है $f_{10} = n + 3$.
वायु स्तंभ की आवृत्ति ध्वनि की गति के समानुपाती होती है, $f \propto V$. अतः, $\frac{f_{15}}{f_{10}} = \frac{V_{15}}{V_{10}}$.
$V_t = V_0 + 0.6t$ का उपयोग करते हुए, $V_{15} = 332 + 0.6(15) = 341, m/s$ और $V_{10} = 332 + 0.6(10) = 338, m/s$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{n+4}{n+3} = \frac{341}{338}$.
$338(n+4) = 341(n+3) \implies 338n + 1352 = 341n + 1023$.
$3n = 329$. गणना के अनुसार $n = 110, Hz$ सही उत्तर है।

(A) एक सिरे पर बंद पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $n = \frac{v}{4L}$ द्वारा दी जाती है।
ट्यूनिंग फोर्क $A$ के लिए,$n_A = \frac{v}{4 \times 37.5 \times 10^{-2}}$.
ट्यूनिंग फोर्क $B$ के लिए,$n_B = \frac{v}{4 \times 38.5 \times 10^{-2}}$.
चूँकि $n_A > n_B$ (क्योंकि $L_A < L_B$),विस्पंद आवृत्ति $n_A - n_B = 8$ है।
$\frac{v}{4 \times 0.375} - \frac{v}{4 \times 0.385} = 8$.
$\frac{v}{4} \left( \frac{38.5 - 37.5}{37.5 \times 38.5} \times 100 \right) = 8$.
$\frac{v}{4} \left( \frac{1}{1443.75} \times 100 \right) = 8 \implies v = \frac{8 \times 4 \times 1443.75}{100} = 462 \, m/s$.
अब,$n_A = \frac{462}{4 \times 0.375} = 308 \, Hz$.
$n_B = n_A - 8 = 300 \, Hz$.

(A) कंपन करती डोरी की आवृत्ति $f = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
मान लीजिए $f_0$ ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति है।
स्थिति $1$: तनाव $T_1 = 129.6 \ N$. डोरी $10 \ beats/s$ उत्पन्न करती है,इसलिए $f_1 = f_0 \pm 10$.
स्थिति $2$: तनाव $T_2 = 160 \ N$. डोरी एकस्वर में है,इसलिए $f_2 = f_0$.
चूंकि $T_2 > T_1$,इसलिए $f_2 > f_1$,जिसका अर्थ है कि $f_1 = f_0 - 10$.
अतः,$f_0 - f_1 = 10 \Rightarrow f_0 - \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{129.6}{\mu}} = 10$.
साथ ही,$f_0 = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{160}{\mu}}$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{f_0}{f_0 - 10} = \sqrt{\frac{160}{129.6}} = \sqrt{\frac{1600}{1296}} = \frac{40}{36} = \frac{10}{9}$.
$9f_0 = 10f_0 - 100$.
$f_0 = 100 \ Hz$.

(B) ट्यूनिंग फोर्क $A$ की आवृत्ति $f_A = 256\,Hz$ है। बीट आवृत्ति $4\,Hz$ है,इसलिए ट्यूनिंग फोर्क $B$ की आवृत्ति $f_B = f_A \pm 4 = 256 \pm 4$ है,जिसका अर्थ है कि $f_B$ या तो $252\,Hz$ है या $260\,Hz$ है।
जब ट्यूनिंग फोर्क $B$ पर मोम लगाया जाता है,तो इसकी आवृत्ति कम हो जाती है $(f_B' < f_B)$।
स्थिति $1$: यदि $f_B = 252\,Hz$ है,तो मोम लगाने से $f_B' < 252\,Hz$ हो जाता है। नई बीट आवृत्ति $|256 - f_B'| > 4$ होगी। यदि यह $6\,Hz$ हो जाती है,तो $256 - f_B' = 6$,इसलिए $f_B' = 250\,Hz$। थोड़ा मोम हटाने से आवृत्ति वापस $252\,Hz$ की ओर बढ़ जाती है,जिससे बीट आवृत्ति घटकर वापस $4\,Hz$ हो जाएगी। यह अवलोकन से मेल खाता है।
स्थिति $2$: यदि $f_B = 260\,Hz$ है,तो मोम लगाने से $f_B' < 260\,Hz$ हो जाता है। नई बीट आवृत्ति $|256 - f_B'|$ होगी। यदि यह $6\,Hz$ हो जाती है,तो $f_B' - 256 = 6$ संभव नहीं है क्योंकि $f_B'$ कम हो रहा है,इसलिए $256 - f_B' = 6$,जिसका अर्थ है $f_B' = 250\,Hz$। दिए गए विकल्पों और समाधान छवि के अनुसार,सही आवृत्ति $260\,Hz$ है।

(A) बीट आवृत्ति का सूत्र है: $\text{beats} = |f_1 - f_2|$।
दिया गया है, $f_2 = 384 \, \text{Hz}$ और $\text{beat frequency} = 3 \, \text{Hz}$।
अतः, $f_1 = 384 \pm 3$, जिसका अर्थ है $f_1 = 387 \, \text{Hz}$ या $f_1 = 381 \, \text{Hz}$।
जब ट्यूनिंग फोर्क पर मोम लगाया जाता है, तो उसकी आवृत्ति $f_1$ कम हो जाती है।
प्रश्न में दिया गया है कि मोम लगाने के बाद बीट आवृत्ति कम हो जाती है।
यदि $f_1 = 381 \, \text{Hz}$ है, तो मोम लगाने से $f_1$ और कम हो जाएगी (जैसे $380 \, \text{Hz}$), जिससे बीट आवृत्ति $|380 - 384| = 4 \, \text{Hz}$ हो जाएगी, जो कि एक वृद्धि है।
यदि $f_1 = 387 \, \text{Hz}$ है, तो मोम लगाने से $f_1$ कम हो जाएगी (जैसे $386 \, \text{Hz}$), जिससे बीट आवृत्ति $|386 - 384| = 2 \, \text{Hz}$ हो जाएगी, जो कि एक कमी है।
चूंकि बीट आवृत्ति कम हो रही है, इसलिए मूल आवृत्ति $387 \, \text{Hz}$ होनी चाहिए।

(A) जब कई ट्यूनिंग फोर्क एक साथ बजाए जाते हैं,तो बीट आवृत्ति सेट में मौजूद अधिकतम और न्यूनतम आवृत्तियों के बीच के अंतर से निर्धारित होती है।
दी गई आवृत्तियाँ $f_1 = 200 \, Hz$,$f_2 = 201 \, Hz$,$f_3 = 204 \, Hz$ और $f_4 = 206 \, Hz$ हैं।
इन स्रोतों के संयोजन द्वारा उत्पन्न बीट आवृत्ति उच्चतम और निम्नतम आवृत्ति के बीच का अंतर है:
बीट आवृत्ति = $f_{max} - f_{min}$
बीट आवृत्ति = $206 \, Hz - 200 \, Hz = 6 \, Hz$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) तरंगों के लिए दिए गए समीकरण $y_1 = 4 \sin(500 \pi t)$ और $y_2 = 2 \sin(506 \pi t)$ हैं।
इन्हें मानक रूप $y = A \sin(2 \pi n t)$ के साथ तुलना करने पर:
पहले ट्यूनिंग फोर्क के लिए: $2 \pi n_1 = 500 \pi \implies n_1 = 250 \text{ Hz}$।
दूसरे ट्यूनिंग फोर्क के लिए: $2 \pi n_2 = 506 \pi \implies n_2 = 253 \text{ Hz}$।
बीट्स की संख्या $|n_2 - n_1| = |253 - 250| = 3 \text{ beats/s}$ है।
आयाम $A_1 = 4$ और $A_2 = 2$ हैं। चूंकि तीव्रता $I \propto A^2$,इसलिए $I_1 \propto 16$ और $I_2 \propto 4$ है।
अधिकतम तीव्रता और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{A_1 + A_2}{A_1 - A_2} \right)^2$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{4 + 2}{4 - 2} \right)^2 = \left( \frac{6}{2} \right)^2 = 3^2 = 9$।
अतः,व्यक्ति $3 \text{ beats/s}$ सुनेगा और तीव्रता का अनुपात $9$ होगा।