Beats and Tuning fork Questions in Hindi

(A) माना ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $n$ है और सोनोमीटर तार की आवृत्ति $f$ है।
चूंकि बीट आवृत्ति $5\, \text{Hz}$ है, इसलिए तार की आवृत्ति या तो $(n + 5)$ या $(n - 5)$ होगी।
सोनोमीटर तार के लिए, आवृत्ति $f \propto \frac{1}{l}$, जिसका अर्थ है $f_1 l_1 = f_2 l_2$।
चूंकि $l_1 = 0.95\, \text{m}$ और $l_2 = 1.0\, \text{m}$ है, इसलिए $0.95\, \text{m}$ पर आवृत्ति $1.0\, \text{m}$ की तुलना में अधिक होगी।
अतः, $(n + 5) \times 0.95 = (n - 5) \times 1.0$।
$0.95n + 4.75 = n - 5$।
$0.05n = 9.75$।
$n = \frac{9.75}{0.05} = 195\, \text{Hz}$।

(D) दिया गया है: तार $A$ की आवृत्ति,$n_A = 425 \, Hz$. प्रारंभिक बीट आवृत्ति $x_1 = 5 \, Hz$.
बीट आवृत्ति $|n_A - n_B| = 5 \, Hz$ द्वारा दी जाती है। इसका अर्थ है कि $n_B$ या तो $420 \, Hz$ या $430 \, Hz$ हो सकता है।
जब तार $B$ का तनाव बढ़ाया जाता है,तो इसकी आवृत्ति $n_B$ बढ़ जाती है क्योंकि $n \propto \sqrt{T}$.
स्थिति $1$: यदि $n_B = 420 \, Hz$ है,तो तनाव बढ़ाने से $n_B$ बढ़ता है। जैसे-जैसे $n_B$,$n_A$ $(425 \, Hz)$ के करीब आता है,बीट आवृत्ति $|n_A - n_B|$ कम हो जाती है। यह इस अवलोकन से मेल खाता है कि बीट आवृत्ति घटकर $3 \, Hz$ हो गई है।
स्थिति $2$: यदि $n_B = 430 \, Hz$ है,तो तनाव बढ़ाने से $n_B$,$n_A$ $(425 \, Hz)$ से और दूर चला जाता है,जिससे बीट आवृत्ति बढ़ जाएगी। यह अवलोकन के विपरीत है।
अतः,$B$ की मूल आवृत्ति $420 \, Hz$ होनी चाहिए।

(C) जब थोड़ी अलग आवृत्ति $f_1$ और $f_2$ वाली दो तरंगें अध्यारोपित होती हैं,तो वे बीट्स (beats) उत्पन्न करती हैं।
बीट आवृत्ति $f_{beat} = |f_1 - f_2|$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $f_1 = 9\,Hz$ और $f_2 = 11\,Hz$ दिया गया है,इसलिए बीट आवृत्ति $f_{beat} = |11 - 9| = 2\,Hz$ है।
इसका अर्थ है कि प्रति सेकंड $2$ बीट्स उत्पन्न होते हैं,या हर $0.5\,s$ में एक बीट मिलता है।
परिणामी तरंग पैटर्न का लिफाफा (envelope) आयाम में होने वाले परिवर्तन को दर्शाता है,जो प्रति सेकंड दो बार अधिकतम और न्यूनतम होता है।
दी गई आकृतियों को देखने पर,जो तरंग पैटर्न $1\,s$ के अंतराल में आयाम मॉड्यूलेशन के दो पूर्ण चक्र (या लिफाफे का एक चक्र) दिखाता है,वह $2\,Hz$ की बीट आवृत्ति के अनुरूप है।
आकृति $C$ दिए गए समय अंतराल के दौरान $2\,Hz$ की बीट आवृत्ति के साथ दो तरंगों के अध्यारोपण को सही ढंग से दर्शाती है।

(C) बीट आवृत्ति $f_b = |n_1 - n_2| = |384 - 380| = 4 \, Hz$ द्वारा दी जाती है।
एक पूर्ण बीट चक्र की समय अवधि $T = 1/f_b = 1/4 \, s$ है।
एक पूर्ण बीट चक्र में एक अधिकतम (तेज ध्वनि) और एक न्यूनतम (धीमी ध्वनि) शामिल होता है।
अधिकतम और उसके बाद की न्यूनतम ध्वनि के बीच का समय अंतराल बीट अवधि का आधा होता है।
इसलिए,आवश्यक समय $t = T/2 = (1/4) / 2 = 1/8 \, s$ है।

(D) माना कि पहले ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $f_1 = a$ है।
आवृत्तियाँ एक समांतर श्रेणी $(AP)$ बनाती हैं जिसका सार्व अंतर $d = 4 \, Hz$ है।
ट्यूनिंग फोर्क की कुल संख्या $n = 24$ है।
$n^{th}$ ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति का सूत्र $f_n = a + (n - 1)d$ है।
$24^{th}$ फोर्क के लिए: $f_{24} = a + (24 - 1)4 = a + 92$।
प्रश्न के अनुसार,अंतिम फोर्क की आवृत्ति पहले फोर्क की आवृत्ति की दोगुनी है: $f_{24} = 2f_1$।
मान रखने पर: $a + 92 = 2a$,जिससे $a = 92 \, Hz$ प्राप्त होता है।
$5^{th}$ ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $f_5 = a + (5 - 1)d$ होगी।
$f_5 = 92 + 4(4) = 92 + 16 = 108 \, Hz$।

(B) प्रति सेकंड विस्पंदों की संख्या (विस्पंद आवृत्ति) $f_{beat} = \frac{9 \, \text{beats}}{3 \, \text{s}} = 3 \, \text{Hz}$ द्वारा दी जाती है।
विस्पंद आवृत्ति दो तरंगों की आवृत्तियों के बीच का अंतर है: $f_{beat} = |f_1 - f_2|$.
संबंध $f = \frac{v}{\lambda}$ का उपयोग करते हुए, जहाँ $v = 300 \, m \, s^{-1}$ और $\lambda_1 = 2 \, m$ है, पहली तरंग की आवृत्ति $f_1 = \frac{300}{2} = 150 \, \text{Hz}$ है।
चूंकि $f_{beat} = |f_1 - f_2|$, हमारे पास $3 = |150 - f_2|$ है।
यह $f_2$ के लिए दो संभावनाएं देता है: $f_2 = 150 - 3 = 147 \, \text{Hz}$ या $f_2 = 150 + 3 = 153 \, \text{Hz}$।
$\lambda_2 = \frac{v}{f_2}$ का उपयोग करके संबंधित तरंगदैर्ध्य की गणना करने पर:
स्थिति $1$: $\lambda_2 = \frac{300}{147} \approx 2.0408 \, m$.
स्थिति $2$: $\lambda_2 = \frac{300}{153} \approx 1.9607 \, m$.
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर, सही उत्तर $2.04 \, m$ है।

(A) समान माध्यम में,ध्वनि की चाल $v$ स्थिर रहती है।
चाल,आवृत्ति $(f)$ और तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ के बीच का संबंध $v = f\lambda$ है,जिसका अर्थ है $f = \frac{v}{\lambda}$।
मान लीजिए $f_1$ और $f_2$ दो तरंगों की आवृत्तियाँ हैं। तब $f_1 = \frac{v}{\lambda_1}$ और $f_2 = \frac{v}{\lambda_2}$ होगा।
चूंकि $\lambda_2 > \lambda_1$,इसलिए $f_1 > f_2$ होगा।
प्रति सेकंड विस्पंदों (beats) की संख्या आवृत्तियों का अंतर है: $n = f_1 - f_2$।
$f_1$ और $f_2$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$n = \frac{v}{\lambda_1} - \frac{v}{\lambda_2}$
$n = v \left( \frac{\lambda_2 - \lambda_1}{\lambda_1\lambda_2} \right)$
$v$ के लिए हल करने पर:
$v = \frac{n\lambda_1\lambda_2}{\lambda_2 - \lambda_1}$

(C) कंपन करती डोरी की आवृत्ति का सूत्र $n = \frac{1}{2\ell} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है।
चूंकि $T$ और $\mu$ स्थिर हैं,इसलिए $n \propto \frac{1}{\ell}$ होगा।
अवकलन करने पर,$\frac{\Delta n}{n} = -\frac{\Delta \ell}{\ell}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि लंबाई $2 \%$ कम हो जाती है,इसलिए $\frac{\Delta \ell}{\ell} = -0.02$ है।
इसे प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{\Delta n}{n} = -(-0.02) = 0.02$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि आवृत्ति में $2 \%$ की वृद्धि होती है।
नई आवृत्ति $n_2 = n_1 + \Delta n = n_1 + 0.02 \times n_1 = 1.02 \times 392$ होगी।
$n_2 = 399.84 \, Hz$ है।
बीट्स की संख्या आवृत्तियों के बीच का अंतर है: $|n_2 - n_1| = |399.84 - 392| = 7.84 \, Hz$।
निकटतम पूर्णांक में,बीट्स की संख्या $8$ है।

(B) जब समान आयाम और थोड़ी भिन्न आवृत्तियों $v_1$ और $v_2$ वाली दो ध्वनि तरंगें अध्यारोपित होती हैं,तो परिणामी तरंग की औसत आवृत्ति $\frac{v_1 + v_2}{2}$ के बराबर होती है।
यह परिणामी तरंग 'बीट्स' (beats) नामक घटना प्रदर्शित करती है,जहाँ ध्वनि की तीव्रता $|v_1 - v_2|$ के बराबर बीट आवृत्ति पर उतार-चढ़ाव करती है।
इसलिए,सुनाई देने वाली ध्वनि की आवृत्ति दोनों स्रोतों की औसत आवृत्ति होती है।

(D) मान लीजिए कि गिटार के तार की प्रारंभिक आवृत्ति $f$ है। बीट आवृत्ति $|f - 256| = 5$ द्वारा दी जाती है। इसका अर्थ है $f = 256 \pm 5$,अतः $f = 261\,Hz$ या $f = 251\,Hz$ है।
जब तार में तनाव बढ़ाया जाता है,तो तार की आवृत्ति $f$ बढ़ जाती है $(f \propto \sqrt{T})$।
स्थिति $1$: यदि $f = 261\,Hz$ है,तो तनाव बढ़ाने पर $f > 261\,Hz$ हो जाएगा,जिससे बीट आवृत्ति $|f - 256|$ का मान $5$ से अधिक हो जाएगा।
स्थिति $2$: यदि $f = 251\,Hz$ है,तो तनाव बढ़ाने पर $f$ का मान $256\,Hz$ के करीब पहुँचेगा। नई बीट आवृत्ति $|f' - 256| = 2$ है। चूँकि $f' > 251$,इसलिए $f'$ का मान $254\,Hz$ होना चाहिए (क्योंकि $256 - 254 = 2$)।
अतः,प्रारंभिक आवृत्ति $251\,Hz$ थी।

(D) जब लगभग समान आवृत्तियों $v_1$ और $v_2$ वाली दो तरंगें एक बिंदु पर एक साथ पहुँचती हैं,तो विस्पंद (beats) उत्पन्न होते हैं।
विस्पंद आवृत्ति दो आवृत्तियों के बीच का अंतर है: $v_{\text{beat}} = |v_1 - v_2|$।
क्रमिक उच्चिष्ठों (maxima) के बीच का समयांतराल (विस्पंद का आवर्तकाल) विस्पंद आवृत्ति का व्युत्क्रम होता है।
अतः,समयांतराल $T = \frac{1}{v_{\text{beat}}} = \frac{1}{|v_1 - v_2|}$ होगा।

(D) एक ट्यूनिंग फोर्क दो प्रोंग्स से बना होता है जो कंपन के दौरान विपरीत दिशाओं में गति करते हैं।
जब एक प्रोंग बाहर की ओर गति करता है,तो दूसरा प्रोंग भी बाहर की ओर गति करता है,लेकिन फोर्क के केंद्र के सापेक्ष,उनका विस्थापन विपरीत दिशाओं में होता है।
विशेष रूप से,किसी भी क्षण,एक प्रोंग द्वारा उत्पन्न संपीड़न (compression) दूसरे प्रोंग द्वारा उत्पन्न विरलन (rarefaction) के साथ होता है।
इसलिए,दोनों प्रोंग्स के कंपन विपरीत कला में होते हैं,जिसका अर्थ है कि उनका कला अंतर $180^o$ है।

(A) माना कि पहले ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $n \text{ Hz}$ है।
चूंकि फोर्क को आवृत्तियों के बढ़ते क्रम में व्यवस्थित किया गया है और लगातार फोर्क के बीच बीट आवृत्ति $4 \text{ Hz}$ है,इसलिए आवृत्तियाँ एक समांतर श्रेणी $(AP)$ बनाती हैं।
ट्यूनिंग फोर्क की कुल संख्या $N = 56$ है।
सार्व अंतर $d = 4 \text{ Hz}$ है।
$N^{th}$ फोर्क की आवृत्ति का सूत्र $f_N = n + (N - 1)d$ है।
मान रखने पर,$f_{56} = n + (56 - 1) \times 4 = n + 55 \times 4 = n + 220$.
प्रश्न के अनुसार,अंतिम फोर्क की आवृत्ति पहले फोर्क की आवृत्ति की दोगुनी है,जिसका अर्थ है $f_{56} = 2n$.
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $n + 220 = 2n$.
$n$ के लिए हल करने पर: $n = 220 \text{ Hz}$.

(D) तार $A$ की आवृत्ति $f_A = 324 \ Hz$ है।
मान लीजिए तार $B$ की आवृत्ति $f_B$ है।
विस्पंद आवृत्ति $n = |f_A - f_B| = 6 \ Hz$ द्वारा दी जाती है।
इसका अर्थ है $f_B = 324 \pm 6$,इसलिए $f_B = 330 \ Hz$ या $318 \ Hz$ प्राप्त होता है।
तार की आवृत्ति $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $f \propto \sqrt{T}$।
जब तार $A$ में तनाव $T$ कम किया जाता है,तो उसकी आवृत्ति $f_A$ घट जाती है।
यदि $f_B = 330 \ Hz$ हो,तो प्रारंभ में $f_B - f_A = 330 - 324 = 6 \ Hz$ होता है। जैसे-जैसे $f_A$ घटता है,अंतर $(f_B - f_A)$ बढ़ता है,इसलिए विस्पंद आवृत्ति बढ़ जाएगी।
यदि $f_B = 318 \ Hz$ हो,तो प्रारंभ में $f_A - f_B = 324 - 318 = 6 \ Hz$ होता है। जैसे-जैसे $f_A$ घटता है,अंतर $(f_A - f_B)$ कम होता है। चूंकि विस्पंद आवृत्ति घटकर $3 \ Hz$ हो गई है,इसलिए यह शर्त पूरी होती है।
अतः,$B$ की आवृत्ति $318 \ Hz$ है।

(C) तरंग का मानक समीकरण $y = a \sin(\omega t)$ है,जहाँ $\omega = 2 \pi n$ और $n$ आवृत्ति है।
पहली तरंग के लिए,$y_1 = a \sin(1000 \pi t)$,हमारे पास $\omega_1 = 1000 \pi$ है।
अतः,$2 \pi n_1 = 1000 \pi$,जिससे $n_1 = 500 \text{ Hz}$ प्राप्त होता है।
दूसरी तरंग के लिए,$y_2 = a \sin(998 \pi t)$,हमारे पास $\omega_2 = 998 \pi$ है।
अतः,$2 \pi n_2 = 998 \pi$,जिससे $n_2 = 499 \text{ Hz}$ प्राप्त होता है।
विस्पंद आवृत्ति दोनों आवृत्तियों के बीच का अंतर है: $n_{beat} = |n_1 - n_2|$.
$n_{beat} = |500 - 499| = 1 \text{ Hz}$.
इसलिए,प्रति सेकंड सुनाई देने वाले विस्पंदों की संख्या $1$ है।

(B) एक कंपन का आवर्तकाल $T = 1/n$ है,जहाँ $n$ आवृत्ति है।
$32$ कंपनों के लिए,लिया गया कुल समय $t = 32 \times T = 32/n$ है।
इस समय में ध्वनि द्वारा तय की गई दूरी $d = v \times t$ है,जहाँ $v$ ध्वनि का वेग है।
मान रखने पर: $d = v \times (32/n) = 344 \times (32/256)$.
$d = 344 \times (1/8) = 43 \, m$.

(B) कोणीय आवृत्तियाँ $\omega_1 = 500\pi \, \text{rad/s}$ और $\omega_2 = 506\pi \, \text{rad/s}$ हैं।
आवृत्ति $f = \frac{\omega}{2\pi}$,इसलिए $f_1 = \frac{500\pi}{2\pi} = 250 \, \text{Hz}$ और $f_2 = \frac{506\pi}{2\pi} = 253 \, \text{Hz}$ है।
प्रति सेकंड बीट्स की संख्या $\alpha = |f_2 - f_1| = |253 - 250| = 3 \, \text{beats/s}$ है।
आयाम $a_1 = 4$ और $a_2 = 2$ हैं।
अधिकतम और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात $\beta = \frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{a_1 + a_2}{a_1 - a_2} \right)^2$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$\beta = \left( \frac{4 + 2}{4 - 2} \right)^2 = \left( \frac{6}{2} \right)^2 = 3^2 = 9$ प्राप्त होता है।
अंत में,$\beta - \alpha = 9 - 3 = 6$ है।

(A) मान लीजिए कि गिटार के तार की आवृत्ति $f_s$ है।
जब इसे $440\, Hz$ के ट्यूनिंग फोर्क के साथ बजाया जाता है,तो बीट आवृत्ति $|f_s - 440| = 5\, Hz$ होती है। इसका अर्थ है कि $f_s = 445\, Hz$ या $f_s = 435\, Hz$ हो सकता है।
जब इसे $437\, Hz$ के ट्यूनिंग फोर्क के साथ बजाया जाता है,तो बीट आवृत्ति $|f_s - 437| = 8\, Hz$ होती है। इसका अर्थ है कि $f_s = 445\, Hz$ या $f_s = 429\, Hz$ हो सकता है।
दोनों स्थितियों की तुलना करने पर,सामान्य आवृत्ति $f_s = 445\, Hz$ है।
वैकल्पिक रूप से,चूंकि ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $440\, Hz$ से घटकर $437\, Hz$ होने पर बीट आवृत्ति $5\, Hz$ से बढ़कर $8\, Hz$ हो जाती है,इसलिए तार की आवृत्ति ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्तियों से अधिक होनी चाहिए। अतः,$f_s = 440 + 5 = 445\, Hz$।

(D) मान लीजिए फोर्क $1$ की आवृत्ति $n_1 = 200 \, Hz$ है और फोर्क $2$ की आवृत्ति $n_2$ है।
प्रारंभ में,बीट आवृत्ति $|n_1 - n_2| = 4 \, Hz$ है। इसका अर्थ है $n_2 = 200 \pm 4$,अतः $n_2 = 204 \, Hz$ या $n_2 = 196 \, Hz$ हो सकता है।
जब फोर्क $2$ के प्रोंग पर टेप लगाई जाती है,तो उसकी आवृत्ति $n_2$ कम हो जाती है।
यदि $n_2 = 204 \, Hz$ होता,तो उसे कम करने पर बीट आवृत्ति $|200 - n_2'|$ का मान $4 \, Hz$ से कम हो जाता।
यदि $n_2 = 196 \, Hz$ होता,तो उसे और कम करने पर (जैसे $194 \, Hz$ तक) बीट आवृत्ति $|200 - 194| = 6 \, Hz$ हो जाती है।
चूंकि बीट आवृत्ति बढ़कर $6 \, Hz$ हो गई है,इसलिए फोर्क $2$ की मूल आवृत्ति $196 \, Hz$ होनी चाहिए।

(C) तरंग की आवृत्ति $n$ को सूत्र $n = \frac{v}{\lambda}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $v$ वेग है और $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है।
यहाँ $v = 396\, m/s$,$\lambda_1 = 99\, cm = 0.99\, m$,और $\lambda_2 = 100\, cm = 1.00\, m$ दिया गया है।
आवृत्तियों की गणना करने पर:
$n_1 = \frac{396}{0.99} = 400\, Hz$
$n_2 = \frac{396}{1.00} = 396\, Hz$
प्रति सेकंड उत्पन्न बीट्स की संख्या दोनों आवृत्तियों के बीच का अंतर है:
$\text{बीट आवृत्ति} = |n_1 - n_2| = |400 - 396| = 4\, Hz$.
अतः,प्रति सेकंड उत्पन्न बीट्स की संख्या $4$ है।

(A) तने हुए तार की आवृत्ति $v = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है। तनाव $T$ बढ़ाने से आवृत्ति $v$ बढ़ती है।
प्रारंभ में,विस्पंद आवृत्ति $|v_A - v_B| = 5 \; Hz$ है। $v_A = 427 \; Hz$ दिया गया है,इसलिए $v_B$ के संभावित मान $427 - 5 = 422 \; Hz$ या $427 + 5 = 432 \; Hz$ हैं।
जब $B$ का तनाव बढ़ाया जाता है,तो $v_B$ बढ़ता है।
यदि $v_B = 432 \; Hz$ होता,तो $v_B$ बढ़ाने पर अंतर $|427 - v_B|$ $5 \; Hz$ से अधिक हो जाता।
यदि $v_B = 422 \; Hz$ होता,तो $v_B$ बढ़ाने पर अंतर $|427 - v_B|$ कम हो जाता और $427 \; Hz$ की ओर बढ़ता।
चूंकि विस्पंद आवृत्ति घटकर $3 \; Hz$ हो जाती है,यह पुष्टि करता है कि $v_B$ की मूल आवृत्ति $422 \; Hz$ थी।

(A) तार $A$ की प्रारंभिक आवृत्ति,$f_A = 324 \; Hz$ है।
मान लीजिए तार $B$ की आवृत्ति $f_B$ है।
विस्पंद आवृत्ति $n = |f_A - f_B| = 6 \; Hz$ द्वारा दी जाती है।
इसका अर्थ है $f_B = 324 \pm 6$,इसलिए $f_B = 330 \; Hz$ या $318 \; Hz$ है।
जब तार $A$ में तनाव कम किया जाता है,तो इसकी आवृत्ति $f_A$ कम हो जाती है (क्योंकि $f \propto \sqrt{T}$)।
यदि $f_A = 324 \; Hz$ था और यह घटता है,तो नई आवृत्ति $f_A'$ का मान $324 \; Hz$ से कम हो जाएगा।
स्थिति $1$: यदि $f_B = 330 \; Hz$ है,तो विस्पंद आवृत्ति $n' = |f_B - f_A'| = |330 - f_A'|$ होगी। जैसे-जैसे $f_A'$ का मान $324$ से घटता है,अंतर $|330 - f_A'|$ बढ़ता है (उदाहरण के लिए,यदि $f_A' = 321$,तो $n' = 9 \; Hz$)। यह दी गई जानकारी के विपरीत है कि विस्पंद आवृत्ति घटकर $3 \; Hz$ हो जाती है।
स्थिति $2$: यदि $f_B = 318 \; Hz$ है,तो विस्पंद आवृत्ति $n' = |f_A' - f_B| = |f_A' - 318|$ होगी। जैसे-जैसे $f_A'$ का मान $324$ से $318$ की ओर घटता है,अंतर कम होता जाता है। विस्पंद आवृत्ति के $3 \; Hz$ होने के लिए,$f_A'$ का मान $321 \; Hz$ होना चाहिए $(321 - 318 = 3)$। यह शर्त के अनुरूप है।
अतः,$B$ की आवृत्ति $318 \; Hz$ है।

बीट थोड़ी अलग आवृत्ति वाली दो हार्मोनिक तरंगों के व्यतिकरण से उत्पन्न एक घटना है।
जब समान दिशा में यात्रा करने वाली लगभग समान आवृत्ति और आयाम वाली दो तरंगें एक-दूसरे पर अध्यारोपित होती हैं,तो ध्वनि की तीव्रता में होने वाले उतार-चढ़ाव को बीट कहा जाता है।
बीट ध्वनि की तीव्रता में एक बार वृद्धि और एक बार कमी के कारण उत्पन्न होती है।
एक सेकंड (इकाई समय) में उत्पन्न बीट की संख्या को बीट आवृत्ति कहा जाता है। बीट आवृत्ति दो व्यक्तिगत आवृत्तियों का अंतर है।
बीट का गणितीय व्युत्पन्न:
हार्मोनिक तरंग का समीकरण $y(x, t) = a \sin(kx - \omega t + \phi)$ है।
बीट के लिए,हम $x = 0$ और $\phi = 0$ पर दो तरंगें लेते हैं। विस्थापन हैं:
$s_1 = a \cos(\omega_1 t)$
$s_2 = a \cos(\omega_2 t)$
जहाँ $\omega_1 > \omega_2$ है।
अध्यारोपण के सिद्धांत के अनुसार,परिणामी विस्थापन $s$ है:
$s = s_1 + s_2 = a(\cos \omega_1 t + \cos \omega_2 t)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos C + \cos D = 2 \cos(\frac{C-D}{2}) \cos(\frac{C+D}{2})$ का उपयोग करते हुए:
$s = 2a \cos(\frac{\omega_1 - \omega_2}{2} t) \cos(\frac{\omega_1 + \omega_2}{2} t)$
मान लीजिए $\omega_b = \frac{\omega_1 - \omega_2}{2}$ और $\omega_a = \frac{\omega_1 + \omega_2}{2}$ है।
$s = [2a \cos(\omega_b t)] \cos(\omega_a t)$
तीव्रता आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है। परिणामी तरंग का आयाम $A(t) = 2a \cos(\omega_b t)$ है।
तीव्रता अधिकतम तब होती है जब $\cos(\omega_b t) = \pm 1$,जो $\cos(\omega_b t)$ के एक चक्र में दो बार होता है।
अतः,बीट आवृत्ति $f_b = f_1 - f_2$ है।

(N/A) $11 \ Hz$ और $9 \ Hz$ आवृत्ति वाली दो तरंगों के समय-विस्थापन ग्राफ चित्र $(a)$ और $(b)$ में दिखाए गए हैं।
उनके अध्यारोपण का परिणाम चित्र $(c)$ में दिखाया गया है।
बीट्स थोड़ी अलग आवृत्तियों वाली दो ध्वनि तरंगों के अध्यारोपण के कारण किसी दिए गए बिंदु पर तीव्रता में होने वाला आवधिक परिवर्तन है। बीट आवृत्ति $f_{beat} = |f_1 - f_2| = |11 \ Hz - 9 \ Hz| = 2 \ Hz$ द्वारा दी जाती है। इसका अर्थ है कि प्रति सेकंड $2$ बीट्स उत्पन्न होते हैं।

(N/A) बीट आवृत्ति को प्रति इकाई समय में उत्पन्न बीट्स की संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है।
जब थोड़ी भिन्न आवृत्तियों $f_1$ और $f_2$ वाली दो ध्वनि तरंगें एक-दूसरे के साथ व्यतिकरण (interference) करती हैं,तो परिणामी ध्वनि की तीव्रता समय-समय पर बदलती रहती है।
तीव्रता में होने वाले इस परिवर्तन की आवृत्ति को बीट आवृत्ति $(f_b)$ के रूप में जाना जाता है।
इसे गणितीय रूप से दोनों आवृत्तियों के अंतर के निरपेक्ष मान के रूप में व्यक्त किया जाता है: $f_b = |f_1 - f_2|$.

(A) बीट की घटना थोड़ी अलग आवृत्ति वाली दो ध्वनि तरंगों के अध्यारोपण (superposition) के कारण होती है।
मानव कान के लिए इन बीट्स को तीव्रता में स्पष्ट उतार-चढ़ाव के रूप में महसूस करने के लिए,बीट आवृत्ति इतनी कम होनी चाहिए कि कान उन्हें अलग कर सके।
यदि बीट आवृत्ति बहुत अधिक है,तो सुनने की क्षमता (persistence of hearing) के कारण मानव कान अलग-अलग बीट्स के बीच अंतर नहीं कर पाता है।
सामान्य तौर पर,यदि बीट आवृत्ति $10 \ Hz$ से कम है,तो मानव कान बीट्स को स्पष्ट रूप से अलग कर सकता है।
इसलिए,स्पष्ट धारणा के लिए सही सीमा $10 \ Hz$ से कम है।

(C) बीट्स में परिणामी तरंग का आयाम $A' = 2A \cos \left( \frac{\omega_1 - \omega_2}{2} t \right)$ द्वारा दिया जाता है।
अधिकतम आयाम $(A')_{\max} = 2A$ है,क्योंकि कोसाइन फलन का अधिकतम मान $1$ होता है।
चूंकि तीव्रता $I$ आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है $(I \propto A^2)$,इसलिए अधिकतम तीव्रता $I_{\max} \propto (2A)^2 = 4A^2$ होती है।
प्रत्येक व्यक्तिगत अध्यारोपित होने वाली तरंग की तीव्रता $I \propto A^2$ है।
अतः,अधिकतम तीव्रता और एक अध्यारोपित तरंग की तीव्रता का अनुपात $\frac{I_{\max}}{I} = \frac{4A^2}{A^2} = 4$ है।
यह दिया गया है कि $I_{\max} = xI$,इसलिए $x = 4$ प्राप्त होता है।

(N/A) जब एक कंपन करता हुआ ट्यूनिंग फोर्क दीवार की ओर गति करता है,तो फोर्क द्वारा उत्सर्जित ध्वनि तरंगें दीवार की ओर जाती हैं और परावर्तित होकर वापस आती हैं।
डॉप्लर प्रभाव के कारण,प्रेक्षक (या स्वयं फोर्क) द्वारा अनुभव की जाने वाली परावर्तित ध्वनि तरंगों की आवृत्ति मूल ध्वनि तरंगों की आवृत्ति से अधिक होती है क्योंकि स्रोत परावर्तक सतह की ओर गति कर रहा है।
परिणामस्वरूप,ट्यूनिंग फोर्क से आने वाली सीधी ध्वनि तरंगों और परावर्तित ध्वनि तरंगों की आवृत्ति के बीच थोड़ा अंतर होता है।
जब ये दो थोड़ी अलग आवृत्ति वाली ध्वनि तरंगें एक-दूसरे पर अध्यारोपित होती हैं,तो वे बीट्स की घटना उत्पन्न करती हैं,जिसे ध्वनि की तीव्रता में आवधिक परिवर्तन के रूप में सुना जाता है।

(N/A) विस्पंद ध्वनि की तीव्रता में होने वाले वे आवधिक परिवर्तन हैं जो तब सुनाई देते हैं जब थोड़ी अलग आवृत्तियों वाली दो ध्वनि तरंगें एक-दूसरे पर अध्यारोपित होती हैं। मानव कान में 'पर्सिस्टेंस ऑफ हियरिंग' (श्रवण की निरंतरता) नामक एक घटना होती है,जो व्यक्तिगत ध्वनि स्पंदों को अलग करने की हमारी क्षमता को सीमित करती है। हम प्रति सेकंड अधिकतम $10$ विस्पंदों तक के तीव्रता परिवर्तनों को ही महसूस कर सकते हैं। यदि आवृत्तियों के बीच का अंतर $10 \ Hz$ से अधिक है,तो स्पंद इतनी तेजी से एक-दूसरे के पीछे आते हैं कि कान अलग-अलग विस्पंदों के बजाय एक निरंतर ध्वनि का अनुभव करता है।

(C) ट्यूनिंग फोर्क $A$ की दी गई आवृत्ति $f_{A} = 512 \ Hz$ है।
चूंकि बीट आवृत्ति $5 \ Hz$ है,इसलिए ट्यूनिंग फोर्क $B$ की आवृत्ति $(f_{B})$ $f_{A} \pm 5 = 517 \ Hz$ या $507 \ Hz$ हो सकती है।
जब ट्यूनिंग फोर्क $A$ पर मोम लगाया जाता है,तो उसकी आवृत्ति $f_{A}$ कम हो जाती है। मान लीजिए नई आवृत्ति $f_{A}^{\prime} < 512 \ Hz$ है।
मोम लगाने के बाद,बीट आवृत्ति अभी भी $5 \ Hz$ है,इसलिए $|f_{A}^{\prime} - f_{B}| = 5$।
यदि $f_{B} = 517 \ Hz$ है,तो $f_{B} - f_{A} = 5 \ Hz$। मोम लगाने से $f_{A}$ घटता है,इसलिए $f_{B} - f_{A}^{\prime} > 5 \ Hz$ हो जाता है।
सही उत्तर $517 \ Hz$ है।

(B) जब थोड़ी अलग आवृत्तियों $n_1$ और $n_2$ वाली दो तरंगें एक बिंदु पर अध्यारोपित होती हैं,तो वे 'विस्पंद' (beats) की घटना उत्पन्न करती हैं।
विस्पंद आवृत्ति $f_b$ को दोनों आवृत्तियों के अंतर के रूप में परिभाषित किया जाता है: $f_b = |n_1 - n_2|$।
दो क्रमिक उच्चिष्ठों (या निम्निष्ठों) के बीच का समय अंतराल $T$,विस्पंद आवृत्ति का व्युत्क्रम होता है।
अतः,$T = \frac{1}{f_b} = \frac{1}{|n_1 - n_2|}$।

(C) तने हुए तार की आवृत्ति $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है। अतः,$f \propto \sqrt{T}$।
जब तार $B$ में तनाव $T$ कम किया जाता है,तो इसकी आवृत्ति $f_B$ कम हो जाती है।
प्रारंभिक विस्पंद आवृत्ति $|f_A - f_B| = 6 \, Hz$ है। $f_A = 530 \, Hz$ दिया गया है,इसलिए $f_B$ के संभावित मान $530 + 6 = 536 \, Hz$ या $530 - 6 = 524 \, Hz$ हैं।
स्थिति $1$: यदि $f_B = 536 \, Hz$ है,तो तनाव कम करने पर $f_B$ कम हो जाता है। जैसे-जैसे $f_B$,$530 \, Hz$ के करीब आता है,विस्पंद आवृत्ति $|530 - f_B|$ कम हो जाती है (उदाहरण के लिए,$536 \to 535 \implies$ विस्पंद $6 \to 5$)। यह समस्या के कथन के विपरीत है।
स्थिति $2$: यदि $f_B = 524 \, Hz$ है,तो तनाव कम करने पर $f_B$ कम हो जाता है। जैसे-जैसे $f_B$,$530 \, Hz$ से दूर जाता है,विस्पंद आवृत्ति $|530 - f_B|$ बढ़ जाती है (उदाहरण के लिए,$524 \to 523 \implies$ विस्पंद $6 \to 7$)। यह समस्या के कथन के अनुरूप है।
अतः,$B$ की मूल आवृत्ति $524 \, Hz$ है।

(C) माना ट्यूनिंग फोर्क $A$ की आवृत्ति $f_A$ है। ज्ञात फोर्क की आवृत्ति $f = 340 \, Hz$ है।
प्रारंभिक बीट आवृत्ति $|f_A - 340| = 5 \, Hz$ है,जिसका अर्थ है कि $f_A = 345 \, Hz$ या $f_A = 335 \, Hz$ हो सकता है।
जब ट्यूनिंग फोर्क को घिसा जाता है,तो उसकी आवृत्ति बढ़ जाती है।
स्थिति $1$: यदि $f_A = 345 \, Hz$ है,तो घिसने पर आवृत्ति बढ़कर $f_A' > 345 \, Hz$ हो जाएगी। नई बीट आवृत्ति $|f_A' - 340| > 5 \, Hz$ होगी। यह दी गई जानकारी का खंडन करता है कि बीट आवृत्ति घटकर $2 \, Hz$ हो जाती है।
स्थिति $2$: यदि $f_A = 335 \, Hz$ है,तो घिसने पर आवृत्ति बढ़कर $f_A' = 335 + \Delta f$ हो जाएगी। नई बीट आवृत्ति $|340 - (335 + \Delta f)| = |5 - \Delta f| = 2 \, Hz$ होगी।
इससे $5 - \Delta f = 2$ प्राप्त होता है,इसलिए $\Delta f = 3 \, Hz$,जो संभव है।
अतः,फोर्क $A$ की मूल आवृत्ति $335 \, Hz$ है।

(B) माना कि पहले ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $f_1 = f$ है।
चूंकि प्रत्येक फोर्क अपने पिछले फोर्क के साथ $4 \; Hz$ के विस्पंद उत्पन्न करता है,आवृत्तियाँ एक समांतर श्रेणी बनाती हैं जिसका सार्व अंतर $d = 4 \; Hz$ है।
$n$-वें फोर्क की आवृत्ति का सूत्र $f_n = f_1 + (n - 1)d$ है।
$20$-वें फोर्क के लिए $(n = 20)$:
$f_{20} = f + (20 - 1) \times 4 = f + 19 \times 4 = f + 76$.
प्रश्न के अनुसार,अंतिम फोर्क की आवृत्ति पहले फोर्क की आवृत्ति से दोगुनी है:
$f_{20} = 2f_1$.
मान रखने पर:
$f + 76 = 2f$.
$f$ के लिए हल करने पर:
$f = 76 \; Hz$.
अंतिम फोर्क की आवृत्ति $f_{20} = 2f = 2 \times 76 = 152 \; Hz$ है।

(D) विस्पंद आवृत्ति $f_b$ को प्रति इकाई समय में होने वाले विस्पंदों की संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है: $f_b = \frac{40}{12} = \frac{10}{3}\,Hz$.
तरंगदैर्घ्य $\lambda_1 = 4.08\,m$ और $\lambda_2 = 4.16\,m$ के संगत आवृत्तियाँ $f_1 = \frac{v}{\lambda_1}$ और $f_2 = \frac{v}{\lambda_2}$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $v$ ध्वनि का वेग है।
विस्पंद आवृत्ति इन दो आवृत्तियों के बीच का अंतर है: $f_b = f_1 - f_2 = v \left( \frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_2} \right)$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{10}{3} = v \left( \frac{1}{4.08} - \frac{1}{4.16} \right)$.
अंतर की गणना करने पर: $\frac{1}{4.08} - \frac{1}{4.16} = \frac{4.16 - 4.08}{4.08 \times 4.16} = \frac{0.08}{16.9728} \approx 0.004713$.
अतः,$v = \frac{10}{3} \times \frac{4.08 \times 4.16}{0.08} = \frac{10}{3} \times 212.16 = 707.2\,m\,s^{-1}$.

(B) विस्पंद आवृत्ति को उस संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है जितनी बार लगभग समान आवृत्तियों वाली दो तरंगों के अध्यारोपण से प्राप्त परिणामी तीव्रता एक सेकंड में अधिकतम या न्यूनतम होती है।
जब थोड़ी भिन्न आवृत्तियों $f_1$ और $f_2$ वाली दो ध्वनि तरंगें अध्यारोपित होती हैं,तो परिणामी तीव्रता समय के साथ आवर्ती रूप से बदलती है। इस परिवर्तन की आवृत्ति $|f_1 - f_2|$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि तीव्रता आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है,इसलिए तीव्रता तब अधिकतम होती है जब तरंगें संपोषी व्यतिकरण करती हैं और तब न्यूनतम होती है जब वे विनाशी व्यतिकरण करती हैं। प्रति सेकंड ऐसे उच्चिष्ठों (maxima) या निम्निष्ठों (minima) की संख्या ही विस्पंद आवृत्ति है। अतः,विकल्प $(b)$ सही है।

(A) माना अज्ञात आवृत्ति $f$ है।
दिया गया है कि $254 \,Hz$ के ट्यूनिंग फोर्क के साथ बीट आवृत्ति $4 \,Hz$ है,इसलिए संभावित आवृत्तियाँ $f = 254 \pm 4$ हैं,जिसका अर्थ है $f = 258 \,Hz$ या $f = 250 \,Hz$।
जब ट्यूनिंग फोर्क पर मोम लगाया जाता है,तो उसकी आवृत्ति कम हो जाती है।
स्थिति $1$: यदि $f = 250 \,Hz$ है,तो मोम लगाने से आवृत्ति और कम हो जाएगी (जैसे $249 \,Hz$),जिससे बीट आवृत्ति $|254 - 249| = 5 \,Hz$ हो जाएगी। यह प्रश्न के कथन का खंडन करता है।
स्थिति $2$: यदि $f = 258 \,Hz$ है,तो मोम लगाने से आवृत्ति कम हो जाएगी,जो $254 \,Hz$ के करीब जाएगी। इस प्रकार,सही उत्तर $258 \,Hz$ है।

(D) माना कि $10$ ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्तियाँ बढ़ते क्रम में $f_1, f_2, \dots, f_{10}$ हैं।
चूंकि कोई भी दो लगातार ट्यूनिंग फोर्क प्रति सेकंड $4$ बीट्स उत्पन्न करते हैं,इसलिए लगातार आवृत्तियों के बीच का अंतर $4 \ Hz$ है।
अतः,$f_n = f_1 + (n-1)d$,जहाँ $d = 4 \ Hz$ है।
$n = 10$ के लिए,$f_{10} = f_1 + (10-1) \times 4 = f_1 + 36$ होगा।
यह दिया गया है कि उच्चतम आवृत्ति,निम्नतम आवृत्ति की दोगुनी है,इसलिए $f_{10} = 2f_1$ होगा।
$f_{10}$ के व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $2f_1 = f_1 + 36$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $f_1 = 36 \ Hz$।
अतः,$f_{10} = 2 \times 36 = 72 \ Hz$ होगा।
इसलिए,उच्चतम और निम्नतम आवृत्तियाँ $72 \ Hz$ और $36 \ Hz$ हैं,जो विकल्प $(d)$ के अनुरूप है।

(B) दिए गए तरंग समीकरण $y_1 = 4 \sin(500 \pi t)$ और $y_2 = 2 \sin(506 \pi t)$ हैं।
$y = A \sin(2 \pi f t)$ के साथ तुलना करने पर,हमें आवृत्तियाँ $f_1 = \frac{500 \pi}{2 \pi} = 250 \, Hz$ और $f_2 = \frac{506 \pi}{2 \pi} = 253 \, Hz$ प्राप्त होती हैं।
बीट आवृत्ति $f_b = |f_2 - f_1| = |253 - 250| = 3 \, Hz$ द्वारा दी जाती है।
इसका अर्थ है कि प्रति सेकंड $3$ बीट्स उत्पन्न होते हैं।
आयाम $A_1 = 4$ और $A_2 = 2$ हैं।
तीव्रता $I$ आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है $(I \propto A^2)$।
अधिकतम तीव्रता और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(A_1 + A_2)^2}{(A_1 - A_2)^2}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(4 + 2)^2}{(4 - 2)^2} = \frac{6^2}{2^2} = \frac{36}{4} = 9$.
अतः,परिणाम प्रति सेकंड $3$ बीट्स और तीव्रता का अनुपात $9$ है।

(D) माना ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $f$ है और $T$ तापमान पर वायु स्तंभ की आवृत्ति $n_T$ है। चूंकि ध्वनि की गति $v \propto \sqrt{T}$ होती है,इसलिए आवृत्ति $n_T \propto \sqrt{T}$ होगी।
$51^{\circ} C$ $(324 \, K)$ पर,विस्पंद आवृत्ति $4$ है,इसलिए $n_{324} = f \pm 4$।
$16^{\circ} C$ $(289 \, K)$ पर,विस्पंद आवृत्ति $1$ है,इसलिए $n_{289} = f \pm 1$।
चूंकि तापमान घटने पर विस्पंदों की संख्या कम हो जाती है,इसलिए वायु स्तंभ की आवृत्ति ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति से अधिक होनी चाहिए $(n_T > f)$।
अतः,$n_{324} = f + 4$ और $n_{289} = f + 1$।
अनुपात लेने पर: $\frac{n_{324}}{n_{289}} = \sqrt{\frac{324}{289}} = \frac{18}{17}$।
समीकरणों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{f+4}{f+1} = \frac{18}{17}$।
$17(f+4) = 18(f+1) \implies 17f + 68 = 18f + 18$।
$f = 68 - 18 = 50 \, Hz$।

(C) वायलिन के तार की प्रारंभिक आवृत्ति $f_1 = 205 \,Hz$ है।
जब तार को कसा जाता है,तो उसका तनाव बढ़ जाता है,जिससे उत्सर्जित स्वर की आवृत्ति में वृद्धि होती है।
मान लीजिए कि नई आवृत्ति $f_2$ है।
प्रति सेकंड उत्पन्न विस्पंदों की संख्या विस्पंद आवृत्ति $f_b = |f_2 - f_{tuning\,fork}|$ द्वारा दी जाती है।
यह दिया गया है कि तार $2$ सेकंड में $6$ विस्पंद उत्पन्न करता है,इसलिए विस्पंद आवृत्ति $f_b = \frac{6}{2} = 3 \,Hz$ है।
चूंकि तार को कसा गया है,इसलिए $f_2 > 205 \,Hz$ होगा।
अतः,$f_2 - 205 = 3$।
$f_2$ के लिए हल करने पर,हमें $f_2 = 205 + 3 = 208 \,Hz$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए फोर्क $1$ की आवृत्ति $f_1 = 200 \,Hz$ है और फोर्क $2$ की आवृत्ति $f_2$ है।
प्रारंभ में,बीट आवृत्ति $|f_1 - f_2| = 4 \,Hz$ है। इसका अर्थ है कि $f_2 = 200 \pm 4$,इसलिए $f_2 = 204 \,Hz$ या $f_2 = 196 \,Hz$ है।
जब फोर्क $2$ के प्रोंग पर टेप लगाई जाती है,तो उसका द्रव्यमान बढ़ जाता है,जिससे उसकी आवृत्ति $f_2$ कम हो जाती है।
टेप जोड़ने के बाद,नई बीट आवृत्ति $|f_1 - f_2'| = 6 \,Hz$ है,जहाँ $f_2' < f_2$ है।
स्थिति $1$: यदि $f_2 = 204 \,Hz$ है,तो $f_2'$ का मान $204 \,Hz$ से कम होगा। बीट आवृत्ति $|200 - f_2'|$ कम हो जाएगी (उदाहरण के लिए,यदि $f_2' = 202 \,Hz$ है,तो बीट्स $= 2 \,Hz$ होगी)। यह इस अवलोकन के विपरीत है कि बीट्स बढ़कर $6 \,Hz$ हो जाती हैं।
स्थिति $2$: यदि $f_2 = 196 \,Hz$ है,तो $f_2'$ का मान $196 \,Hz$ से कम होगा (उदाहरण के लिए,$f_2' = 194 \,Hz$)। बीट आवृत्ति $|200 - 194| = 6 \,Hz$ होगी। यह अवलोकन से मेल खाता है।
अतः,फोर्क $2$ की मूल आवृत्ति $196 \,Hz$ है।

(C) मान लीजिए पहले फोर्क की आवृत्ति $f_1$ है और दूसरे की आवृत्ति $f_2$ है।
एक सिरे पर बंद अनुनाद नली के लिए,मूल आवृत्ति $f = \frac{v}{4L}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v$ ध्वनि की गति है और $L$ वायु स्तंभ की लंबाई है।
अतः,$f_1 = \frac{v}{4 \times 24}$ और $f_2 = \frac{v}{4 \times 25}$ है।
चूंकि $f_1 > f_2$,हमारे पास अनुपात $\frac{f_1}{f_2} = \frac{25}{24}$ है।
बीट आवृत्ति $6 \, Hz$ दी गई है,इसलिए $f_1 - f_2 = 6$ है।
$f_1 = f_2 \times \frac{25}{24}$ को बीट समीकरण में रखने पर: $f_2 \times \frac{25}{24} - f_2 = 6$ प्राप्त होता है।
$f_2 \times (\frac{25-24}{24}) = 6 \implies f_2 = 6 \times 24 = 144 \, Hz$।
तब,$f_1 = 144 + 6 = 150 \, Hz$।
अतः,आवृत्तियाँ $150 \, Hz$ और $144 \, Hz$ हैं।

(D) दिया गया समीकरण $x = a \cos(1.5 t) \cos(50.5 t)$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ का उपयोग करके,हम समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$x = \frac{a}{2} [\cos(50.5 t + 1.5 t) + \cos(50.5 t - 1.5 t)]$
$x = \frac{a}{2} \cos(52 t) + \frac{a}{2} \cos(49 t)$.
यहाँ,कोणीय आवृत्तियाँ $\omega_1 = 52 \ rad/s$ और $\omega_2 = 49 \ rad/s$ हैं।
बीट आवृत्ति $f_{\text{beat}} = |f_1 - f_2| = \frac{|\omega_1 - \omega_2|}{2 \pi}$ द्वारा दी जाती है।
$f_{\text{beat}} = \frac{52 - 49}{2 \pi} = \frac{3}{2 \pi} \ Hz$.
बीट आवर्तकाल $T_{\text{beat}} = \frac{1}{f_{\text{beat}}} = \frac{2 \pi}{3} \ s$ है।
$\pi \approx 3.14$ रखने पर,हमें $T_{\text{beat}} = \frac{2 \times 3.14}{3} = \frac{6.28}{3} \approx 2.09 \ s$ प्राप्त होता है।
निकटतम पूर्णांक में,बीट आवर्तकाल $2 \ s$ है।

(A) तार $P$ की मूल आवृत्ति $f_P = 256 \ Hz$ है। $P$ का तीसरा सन्नाद $f_{P3} = 3 \times 256 \ Hz = 768 \ Hz$ है।
तार $Q$ की मूल आवृत्ति $f_Q = 382 \ Hz$ है। $Q$ का दूसरा सन्नाद $f_{Q2} = 2 \times 382 \ Hz = 764 \ Hz$ है।
प्रति सेकंड विस्पंदों की संख्या दोनों आवृत्तियों के बीच का अंतर है:
$\text{Beats} = |f_{P3} - f_{Q2}|$
$= |768 - 764| \ Hz$
$= 4 \ Hz$.
अतः,प्रति सेकंड $4$ विस्पंद सुनाई देंगे।

(C) तने हुए तार की आवृत्ति $v = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है। अतः,$v \propto \sqrt{T}$।
जब तार $B$ का तनाव $T$ कम किया जाता है,तो इसकी आवृत्ति $v_B$ कम हो जाती है।
प्रारंभ में,विस्पंद आवृत्ति $|v_B - v_A| = 5 \ Hz$ है। इसका अर्थ है कि $v_B$ या तो $255 + 5 = 260 \ Hz$ हो सकता है या $255 - 5 = 250 \ Hz$।
यदि $v_B = 250 \ Hz$ है,तो तनाव कम करने से $v_B$ और छोटा हो जाएगा (जैसे $248 \ Hz$),जिससे विस्पंद आवृत्ति बढ़कर $|248 - 255| = 7 \ Hz$ हो जाएगी।
हालाँकि,प्रश्न में दिया गया है कि विस्पंद आवृत्ति घटकर $3 \ Hz$ हो जाती है।
यदि $v_B = 260 \ Hz$ है,तो तनाव कम करने से $v_B$ छोटा हो जाएगा (जैसे $258 \ Hz$),जिससे नई विस्पंद आवृत्ति $|258 - 255| = 3 \ Hz$ प्राप्त होती है।
यह दी गई शर्त से मेल खाता है।
अतः,$B$ की मूल आवृत्ति $260 \ Hz$ है।

(C) विस्पंद आवृत्ति $b$ दो तरंगों की आवृत्तियों के अंतर द्वारा दी जाती है: $b = n_1 - n_2$.
चूंकि आवृत्ति $n = v / \lambda$ है,इसलिए हमारे पास है: $2 = \frac{v}{\lambda_1} - \frac{v}{\lambda_2}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $2 = v \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2.02} \right)$.
व्यंजक को सरल करने पर: $2 = v \left( \frac{2.02 - 2}{2 \times 2.02} \right) = v \left( \frac{0.02}{4.04} \right)$.
$2 = v \left( \frac{2}{404} \right)$.
$v$ के लिए हल करने पर: $v = \frac{2 \times 404}{2} = 404 \ m/s$.

(B) सोनोमीटर के तार की आवृत्ति $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है कि $n \propto \sqrt{T}$।
अवकलन करने पर,हमें संबंध $\frac{\Delta n}{n} = \frac{1}{2} \frac{\Delta T}{T}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि प्रारंभिक आवृत्ति $n = 400 \ Hz$ है और तनाव में प्रतिशत वृद्धि $\frac{\Delta T}{T} = 1\% = 0.01$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\Delta n = n \times \frac{1}{2} \times \frac{\Delta T}{T}$ प्राप्त होता है।
$\Delta n = 400 \times \frac{1}{2} \times 0.01 = 2 \ Hz$।
अतः,प्रति सेकंड सुनाई देने वाले विस्पंदों की संख्या $2 \ Hz$ है।

(C) ध्वनि तरंग की तरंगदैर्घ्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{V}{f}$ है,जहाँ $V$ ध्वनि का वेग है और $f$ आवृत्ति है।
पहले ट्यूनिंग फोर्क के लिए,$f_1 = 320 \,Hz$,इसलिए $\lambda_1 = \frac{320 \,ms^{-1}}{320 \,Hz} = 1 \,m$.
दूसरे ट्यूनिंग फोर्क के लिए,$f_2 = 480 \,Hz$,इसलिए $\lambda_2 = \frac{320 \,ms^{-1}}{480 \,Hz} = \frac{2}{3} \,m \approx 0.67 \,m$.
तरंगदैर्घ्य के बीच का अंतर $\Delta\lambda = \lambda_1 - \lambda_2 = 1 \,m - 0.67 \,m = 0.33 \,m$ है।
सेंटीमीटर में बदलने पर,$0.33 \,m = 33 \,cm$ प्राप्त होता है।