Beats and Tuning fork Questions in Hindi

(C) ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति स्रोत का एक विशिष्ट गुण है और यह उसके भौतिक आयामों और सामग्री के गुणों पर निर्भर करती है,न कि माध्यम के तापमान पर।
चूंकि माध्यम में ध्वनि की गति तापमान पर निर्भर करती है $(v \propto \sqrt{T})$,और गति,आवृत्ति और तरंगदैर्ध्य के बीच संबंध $v = f \lambda$ द्वारा दिया जाता है,यदि तापमान बदलता है,तो वेग $v$ बदल जाता है।
चूंकि आवृत्ति $f$ स्थिर रहती है,इसलिए समीकरण $\lambda = v/f$ को संतुष्ट करने के लिए तरंगदैर्ध्य $\lambda$ को बदलना होगा।
अतः,सही विकल्प $(c)$ है।

(D) ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $n = 384 \text{ Hz}$ है।
हवा में ध्वनि का वेग $v = 352 \text{ m/s}$ है।
एक कंपन के लिए लिया गया समय $T = \frac{1}{n} = \frac{1}{384} \text{ s}$ है।
एक कंपन में ध्वनि द्वारा तय की गई दूरी तरंगदैर्ध्य $\lambda = v \times T = \frac{v}{n} = \frac{352}{384} \text{ m}$ है।
$36$ कंपन के लिए, कुल लिया गया समय $t = 36 \times T = \frac{36}{384} \text{ s}$ है।
ध्वनि द्वारा तय की गई कुल दूरी $d = v \times t = 352 \times \frac{36}{384} \text{ m}$ है।
$d = \frac{352 \times 36}{384} = 33 \text{ m}$.

(C) जब लगभग समान आवृत्तियों वाली दो ध्वनि तरंगें किसी बिंदु पर अध्यारोपित होती हैं, तो वे विस्पंद (beats) की घटना उत्पन्न करती हैं।
किसी बिंदु पर परिणामी तीव्रता $I$ को $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos(\phi)$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\phi$ कलांतर है।
तीव्रता के न्यूनतम $(I_{\min} = 0)$ होने के लिए शर्त $I_1 = I_2$ और $\cos(\phi) = -1$ है।
इसका तात्पर्य यह है कि स्रोतों द्वारा उत्पन्न दो $S.H.M.$ के आयाम समान होने चाहिए, और अवलोकन बिंदु पर विनाशी व्यतिकरण के लिए उन्हें एक ही सीधी रेखा में गति करना चाहिए।

(C) मान लीजिए कि दो ट्यूनिंग फोर्क $A$ और $B$ हैं जिनकी आवृत्तियाँ $n_A = 256 \, Hz$ (ज्ञात) और $n_B$ (अज्ञात) हैं। बीट आवृत्ति $x = 4 \, bps$ है।
अज्ञात ट्यूनिंग फोर्क के लिए संभावित आवृत्तियाँ $n_B = 256 + 4 = 260 \, Hz$ या $n_B = 256 - 4 = 252 \, Hz$ हैं।
यह दिया गया है कि जब फोर्क $A$ $(256 \, Hz)$ पर मोम लगाया जाता है,तो इसकी आवृत्ति कम हो जाती है $(n_A \downarrow)$। परिणामस्वरूप,बीट आवृत्ति बढ़ जाती है।
यदि $n_B = 252 \, Hz$ है,तो $n_A - n_B = 256 - 252 = 4 \, Hz$ होगा। जब $n_A$ कम होता है,तो अंतर $(n_A - n_B)$ कम हो जाता है,जिसका अर्थ है कि बीट आवृत्ति कम हो जाएगी।
यदि $n_B = 260 \, Hz$ है,तो $n_B - n_A = 260 - 256 = 4 \, Hz$ होगा। जब $n_A$ कम होता है,तो अंतर $(n_B - n_A)$ बढ़ जाता है,जिसका अर्थ है कि बीट आवृत्ति बढ़ जाएगी।
चूंकि प्रश्न में कहा गया है कि बीट आवृत्ति बढ़ जाती है,इसलिए दूसरे फोर्क की सही आवृत्ति $n_B = 260 \, Hz$ होनी चाहिए।

(D) बीट्स लगभग समान आवृत्ति वाली दो तरंगों के अध्यारोपण का परिणाम हैं।
जब थोड़ी अलग आवृत्ति वाली दो ध्वनि तरंगें एक ही दिशा में यात्रा करती हैं,तो वे एक-दूसरे के साथ व्यतिकरण करती हैं।
यह व्यतिकरण परिणामी आयाम को समय के साथ समय-समय पर बदलने का कारण बनता है,जिससे बीट्स नामक घटना होती है।
बीट्स की आवृत्ति दो मूल तरंगों की आवृत्तियों के अंतर के बराबर होती है,अर्थात $f_{beat} = |f_1 - f_2|$।
जैसे-जैसे तरंगें बारी-बारी से संपोषी और विनाशी रूप से व्यतिकरण करती हैं,ध्वनि की प्रबलता समय-समय पर बढ़ती और घटती रहती है।

(C) विस्पंद (beats) की घटना तब होती है जब थोड़ी अलग आवृत्तियों वाली दो ध्वनि तरंगें एक-दूसरे के साथ व्यतिकरण (interference) करती हैं।
विस्पंद आवृत्ति को दो व्यतिकरण करने वाली ध्वनि तरंगों की आवृत्तियों के निरपेक्ष अंतर (absolute difference) के रूप में परिभाषित किया जाता है।
यदि दो स्वरों की आवृत्तियाँ $n_1$ और $n_2$ हैं,तो प्रति सेकंड सुनाई देने वाले विस्पंदों की संख्या निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
$B = |n_1 - n_2|$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) मान लीजिए ज्ञात आवृत्ति $n_A = 100 \, Hz$ है और अज्ञात आवृत्ति $n_B$ है।
बीट आवृत्ति $|n_A - n_B| = 2 \, Hz$ द्वारा दी जाती है। इसका अर्थ है कि $n_B = 100 \pm 2$,इसलिए $n_B$ या तो $102 \, Hz$ है या $98 \, Hz$ है।
जब अज्ञात ट्यूनिंग फोर्क पर भार डाला जाता है,तो उसकी आवृत्ति $n_B$ कम हो जाती है $(n_B \downarrow)$।
स्थिति $1$: यदि $n_B = 98 \, Hz$ है,तो भार डालने पर आवृत्ति और कम हो जाती है (जैसे $97 \, Hz$ तक)। नई बीट आवृत्ति $|100 - 97| = 3 \, Hz$ होगी,जो कि वृद्धि है।
स्थिति $2$: यदि $n_B = 102 \, Hz$ है,तो भार डालने पर आवृत्ति कम हो जाती है (जैसे $101 \, Hz$ तक)। नई बीट आवृत्ति $|100 - 101| = 1 \, Hz$ होगी,जो कि कमी है।
चूंकि प्रश्न में कहा गया है कि भार डालने के बाद बीट आवृत्ति घटकर $1 \, Hz$ हो जाती है,इसलिए अज्ञात आवृत्ति $102 \, Hz$ होनी चाहिए।

(D) माना अज्ञात ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $n_B$ है और ज्ञात आवृत्ति $n_A = 256 \ Hz$ है।
बीट आवृत्ति $|n_A - n_B| = 2 \ Hz$ द्वारा दी जाती है।
इसका अर्थ है कि $n_B = 256 \pm 2$,इसलिए $n_B$ या तो $258 \ Hz$ है या $254 \ Hz$ है।
जब ज्ञात ट्यूनिंग फोर्क $(256 \ Hz)$ पर मोम लगाया जाता है,तो इसकी आवृत्ति $n_A$ कम हो जाती है।
यह दिया गया है कि लोडिंग के बाद बीट आवृत्ति $2 \ Hz$ से घटकर $1 \ Hz$ हो जाती है,इसलिए हम दो स्थितियों का विश्लेषण करते हैं:
स्थिति $1$: यदि $n_B = 258 \ Hz$ है,तो $n_B - n_A = 258 - 256 = 2 \ Hz$। लोडिंग के बाद,$n_A$ कम हो जाता है,इसलिए $(n_B - n_A)$ बढ़ जाता है। यह अवलोकन के विपरीत है।
स्थिति $2$: यदि $n_B = 254 \ Hz$ है,तो $n_A - n_B = 256 - 254 = 2 \ Hz$। लोडिंग के बाद,$n_A$ कम हो जाता है,इसलिए $(n_A - n_B)$ कम हो जाता है। यह अवलोकन $(1 \ Hz)$ से मेल खाता है।
अतः,अज्ञात ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $254 \ Hz$ है।

(B) दिया गया है: ट्यूनिंग फोर्क $A$ की आवृत्ति $(n_A)$ = $256 \ Hz$।
प्रारंभिक बीट आवृत्ति $(x)$ = $4 \ Hz$।
जब $A$ पर मोम लगाया जाता है,तो इसकी आवृत्ति कम हो जाती है $(n_A \downarrow)$।
नई बीट आवृत्ति $(x')$ = $2 \ Hz$।
चूंकि $A$ पर मोम लगाने से बीट आवृत्ति $4 \ Hz$ से घटकर $2 \ Hz$ हो जाती है,इसलिए प्रारंभिक स्थिति $n_A - n_B = x$ होनी चाहिए।
मान रखने पर: $256 - n_B = 4$,जिससे $n_B = 252 \ Hz$ प्राप्त होता है।
सत्यापन: $A$ पर मोम लगाने के बाद,$n_A$ का मान $256$ से कम हो जाता है। मान लीजिए नई आवृत्ति $n_A'$ है। तब $n_A' - n_B = 2$। चूंकि $n_B = 252$ है,इसलिए $n_A' = 254 \ Hz$। यह $A$ की आवृत्ति घटने की स्थिति के अनुरूप है।
अतः,$B$ की आवृत्ति $252 \ Hz$ है।

(C) बीट आवृत्ति $f_b = |n_1 - n_2| = |260 - 256| = 4 \text{ Hz}$ द्वारा दी जाती है।
बीट का आवर्तकाल $T = \frac{1}{f_b} = \frac{1}{4} \text{ s}$ है।
$t = 0$ पर,तीव्रता अधिकतम है,जो $0$ या $2\pi$ की कला (phase) के अनुरूप है।
समय $t$ पर कलांतर $\phi$,बीट आवर्तकाल $T$ के साथ $\phi = \frac{2\pi}{T} \times t$ सूत्र द्वारा संबंधित है।
दिए गए मानों को रखने पर: $\phi = \frac{2\pi}{(1/4)} \times \frac{1}{16} = 8\pi \times \frac{1}{16} = \frac{\pi}{2}$ रेडियन।

(A) प्रति सेकंड उत्पन्न बीट्स की संख्या दो ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्तियों के अंतर के बराबर होती है।
बीट आवृत्ति $b = |n_2 - n_1| = |454\, Hz - 450\, Hz| = 4\, Hz$.
दो क्रमिक अधिकतम तीव्रताओं के बीच का समय अंतराल बीट्स का आवर्तकाल होता है,जो बीट आवृत्ति का व्युत्क्रम है।
समय अंतराल $T = \frac{1}{b} = \frac{1}{4}\, sec = 0.25\, sec$.

(D) मान लीजिए कि पहले ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $n_A = 341 \ Hz$ है और दूसरे ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $n_B$ है।
बीट आवृत्ति $|n_A - n_B| = 6 \ Hz$ द्वारा दी जाती है।
इसका अर्थ है $n_B = 341 \pm 6$,इसलिए $n_B$ का मान $347 \ Hz$ या $335 \ Hz$ हो सकता है।
जब दूसरे ट्यूनिंग फोर्क पर मोम लगाया जाता है,तो उसकी आवृत्ति $n_B$ कम हो जाती है $(n_B \downarrow)$।
मोम लगाने के बाद,नई बीट आवृत्ति $2 \ Hz$ है।
स्थिति $1$: यदि $n_B = 335 \ Hz$ है,तो $n_A - n_B = 6 \ Hz$ होता है। $n_B$ को कम करने से $(n_A - n_B)$ बढ़ता है। यह इस अवलोकन के विपरीत है कि बीट आवृत्ति घटकर $2 \ Hz$ हो गई है।
स्थिति $2$: यदि $n_B = 347 \ Hz$ है,तो $n_B - n_A = 6 \ Hz$ होता है। $n_B$ को कम करने से $(n_B - n_A)$ घटता है। जैसे-जैसे $n_B$,$n_A$ के करीब आता है,बीट आवृत्ति कम हो जाती है। यह इस अवलोकन के साथ मेल खाता है कि बीट आवृत्ति घटकर $2 \ Hz$ हो गई है।
अतः,दूसरे ट्यूनिंग फोर्क की प्राकृतिक आवृत्ति $347 \ Hz$ है।

(B) बीट आवृत्ति $f_b$ दो ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्तियों के बीच का अंतर है।
$f_b = |f_2 - f_1| = |258 - 256| = 2 \text{ Hz}$.
क्रमिक उच्चिष्ठ (बीट्स) के बीच का समय अंतराल बीट आवृत्ति का व्युत्क्रम होता है।
$T = \frac{1}{f_b} = \frac{1}{2} = 0.5 \text{ sec}$.
अतः,क्रमिक उच्चिष्ठ के बीच का समय अंतराल $0.5 \text{ sec}$ है।

(C) माना कि ज्ञात ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $n_A = 100\,Hz$ है और अज्ञात ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $n_B$ है।
दिया गया है कि बीट आवृत्ति $x = 5\,Hz$ है।
इसलिए,$n_B = n_A \pm x$,जिसका अर्थ है $n_B = 100 \pm 5$,अतः $n_B$ या तो $95\,Hz$ है या $105\,Hz$ है।
जब ट्यूनिंग फोर्क $B$ पर मोम लगाया जाता है,तो इसकी आवृत्ति $n_B$ कम हो जाती है।
यदि $n_B = 95\,Hz$ है,तो इसे लोड करने पर आवृत्ति और कम हो जाती है,जिससे अंतर $|n_A - n_B|$,$5\,Hz$ से बढ़कर एक बड़ा मान बन जाता है।
यदि $n_B = 105\,Hz$ है,तो इसे लोड करने पर आवृत्ति $100\,Hz$ की ओर घटती है। बीट आवृत्ति $|n_B - n_A|$ शुरू में घटती है।
चूंकि लोडिंग के बाद बीट आवृत्ति $5\,Hz$ रहती है,इसका अर्थ है कि आवृत्ति $105\,Hz$ थी और वह घट रही है।
अतः,$n_B = 100 + 5 = 105\,Hz$.

(B) माना ट्यूनिंग फोर्क $F_1$ की आवृत्ति $n_1 = 256 Hz$ है और ट्यूनिंग फोर्क $F_2$ की आवृत्ति $n_2$ है।
दिया गया है कि बीट आवृत्ति $6 Hz$ है,इसलिए $|n_1 - n_2| = 6$ है।
इसका अर्थ है $n_2 = 256 \pm 6$,इसलिए $n_2 = 262 Hz$ या $n_2 = 250 Hz$ है।
जब $F_2$ पर मोम लगाया जाता है,तो इसकी आवृत्ति कम हो जाती है $(n_2' < n_2)$।
यदि $n_2 = 250 Hz$ है,तो इसे लोड करने पर आवृत्ति $256 Hz$ से और दूर हो जाएगी,जिससे बीट आवृत्ति बढ़ जाएगी (उदाहरण के लिए,$256 - 249 = 7 Hz$),जो इस अवलोकन के विपरीत है कि बीट आवृत्ति $6 Hz$ बनी रहती है।
यदि $n_2 = 262 Hz$ है,तो इसे लोड करने पर आवृत्ति $256 Hz$ की ओर कम हो जाती है। नई बीट आवृत्ति $n_2' - n_1 = 6 Hz$ है,जो प्रश्न के कथन के अनुरूप है।
अतः,$F_2$ की प्रारंभिक आवृत्ति $262 Hz$ थी।

(C) बीट आवृत्ति $|n_A - n_B| = 5 \ Hz$ द्वारा दी जाती है। चूंकि $n_B = 512 \ Hz$ है,इसलिए $n_A$ या तो $517 \ Hz$ या $507 \ Hz$ हो सकता है।
जब ट्यूनिंग फोर्क को घिसा जाता है,तो उसका द्रव्यमान कम हो जाता है,जिससे उसकी आवृत्ति बढ़ जाती है $(n_A \uparrow)$।
यह दिया गया है कि घिसने के बाद बीट आवृत्ति बढ़ जाती है।
स्थिति $1$: यदि $n_A = 507 \ Hz$ है,तो $n_B - n_A = 5 \ Hz$। जैसे-जैसे $n_A$ बढ़ता है,अंतर $(n_B - n_A)$ कम हो जाता है (अर्थात बीट्स कम हो जाते हैं)।
स्थिति $2$: यदि $n_A = 517 \ Hz$ है,तो $n_A - n_B = 5 \ Hz$। जैसे-जैसे $n_A$ बढ़ता है,अंतर $(n_A - n_B)$ बढ़ जाता है (अर्थात बीट्स बढ़ जाते हैं)।
चूंकि प्रश्न में कहा गया है कि बीट्स की संख्या बढ़ जाती है,इसलिए $A$ की सही आवृत्ति $517 \ Hz$ होनी चाहिए।

(C) ध्वनि तरंग की तीव्रता उसके आयाम के वर्ग के सीधे आनुपातिक होती है,अर्थात $I \propto A^2$।
जब समान आयाम $a_0$ के दो ध्वनि स्रोत व्यतिकरण करते हैं,तो बीट्स के निर्माण के दौरान उत्पन्न अधिकतम आयाम $A_{\max}$ व्यक्तिगत आयामों का योग होता है: $A_{\max} = a_0 + a_0 = 2a_0$।
अतः अधिकतम तीव्रता $I_{\max}$ को $I_{\max} \propto (A_{\max})^2 = (2a_0)^2 = 4a_0^2$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि एक स्रोत की तीव्रता $I_0 \propto a_0^2$ है,इसलिए हमें $I_{\max} = 4I_0$ प्राप्त होता है।
अतः,बीट्स की अधिकतम तीव्रता एक स्रोत की तीव्रता की $4$ गुनी होती है।

(C) प्रति सेकंड सुनाई देने वाले विस्पंदों की संख्या दोनों तरंगों की आवृत्तियों के अंतर $|n_1 - n_2|$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए समीकरणों $y_1 = a \sin(2000 \pi t)$ और $y_2 = a \sin(2008 \pi t)$ की तुलना मानक रूप $y = a \sin(2 \pi n t)$ से करने पर:
पहली तरंग के लिए: $2 \pi n_1 = 2000 \pi$,जिससे $n_1 = 1000 \text{ Hz}$ प्राप्त होता है।
दूसरी तरंग के लिए: $2 \pi n_2 = 2008 \pi$,जिससे $n_2 = 1004 \text{ Hz}$ प्राप्त होता है।
प्रति सेकंड सुनाई देने वाले विस्पंदों की संख्या $|n_2 - n_1| = |1004 - 1000| = 4 \text{ विस्पंद प्रति सेकंड}$ है।

(C) मान लीजिए कि ट्यूनिंग फोर्क की वास्तविक आवृत्ति $f$ है।
जब ऑसिलेटर की आवृत्ति $f_1 = 514 \ Hz$ का उपयोग किया जाता है,तो बीट आवृत्ति $|f - 514| = 2 \ Hz$ होती है। इसका अर्थ है $f = 514 \pm 2$,जिससे $f = 516 \ Hz$ या $f = 512 \ Hz$ प्राप्त होता है।
जब ऑसिलेटर की आवृत्ति $f_2 = 510 \ Hz$ का उपयोग किया जाता है,तो बीट आवृत्ति $|f - 510| = 6 \ Hz$ होती है। इसका अर्थ है $f = 510 \pm 6$,जिससे $f = 516 \ Hz$ या $f = 504 \ Hz$ प्राप्त होता है।
दोनों स्थितियों में सामान्य आवृत्ति $516 \ Hz$ है।
अतः,ट्यूनिंग फोर्क की वास्तविक आवृत्ति $516 \ Hz$ है।

(B) मान लीजिए $n_S$ सोनोमीटर तार की आवृत्ति है और $n_f = 480 \ Hz$ ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति है।
बीट आवृत्ति $|n_f - n_S| = 10 \ Hz$ द्वारा दी जाती है।
इसका अर्थ है $n_S = 480 \pm 10$,इसलिए $n_S$ या तो $470 \ Hz$ है या $490 \ Hz$ है।
सोनोमीटर तार की आवृत्ति $n_S = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ द्वारा दी जाती है। अतः,$n_S \propto \sqrt{T}$।
जब तनाव $T$ बढ़ाया जाता है,तो $n_S$ बढ़ता है।
स्थिति $1$: यदि $n_S = 470 \ Hz$ है,तो $n_f - n_S = 10 \ Hz$। जैसे-जैसे $n_S$ बढ़ता है,$n_f - n_S$ घटता है (उदाहरण के लिए,यदि $n_S$ $475 \ Hz$ हो जाता है,तो बीट्स $5 \ Hz$ हो जाते हैं)। यह दी गई शर्त से मेल खाता है।
स्थिति $2$: यदि $n_S = 490 \ Hz$ है,तो $n_S - n_f = 10 \ Hz$। जैसे-जैसे $n_S$ बढ़ता है,$n_S - n_f$ बढ़ता है (उदाहरण के लिए,यदि $n_S$ $495 \ Hz$ हो जाता है,तो बीट्स $15 \ Hz$ हो जाते हैं)। यह दी गई शर्त का खंडन करता है।
इसलिए,तार की आवृत्ति $470 \ Hz$ होनी चाहिए।

(C) माना ट्यूनिंग फोर्क $A$ की आवृत्ति $n_A$ है और ट्यूनिंग फोर्क $B$ की आवृत्ति $n_B = 256 \ Hz$ है।
बीट आवृत्ति $x = 3 \ Hz$ दी गई है।
इसलिए,$n_A = n_B \pm x = 256 \pm 3$,जिसका अर्थ है कि $n_A$ या तो $259 \ Hz$ है या $253 \ Hz$ है।
जब ट्यूनिंग फोर्क $A$ पर मोम लगाया जाता है,तो इसकी आवृत्ति $n_A$ कम हो जाती है।
स्थिति $1$: यदि $n_A = 253 \ Hz$ है,तो मोम लगाने पर आवृत्ति $253 \ Hz$ से और कम हो जाएगी। नई बीट आवृत्ति $256 - n_A' > 3$ होगी,जो अवलोकन के विपरीत है।
स्थिति $2$: यदि $n_A = 259 \ Hz$ है,तो मोम लगाने पर आवृत्ति घटकर $256 \ Hz$ की ओर आएगी। नई बीट आवृत्ति $n_A' - 256 = 3$ होगी,जो अवलोकन के अनुरूप है।
अतः,ट्यूनिंग फोर्क $A$ की मूल आवृत्ति $259 \ Hz$ है।

(A) मान लीजिए स्रोत की आवृत्ति $f$ है।
चूंकि यह $100 \, s^{-1}$ के स्रोत के साथ $5$ बीट्स प्रति सेकंड उत्पन्न करता है,इसलिए आवृत्ति $f = 100 \pm 5$,यानी $105 \, s^{-1}$ या $95 \, s^{-1}$ हो सकती है।
स्रोत का दूसरा हार्मोनिक $2f$ है।
यदि $f = 105 \, s^{-1}$ है,तो दूसरा हार्मोनिक $210 \, s^{-1}$ होगा।
यदि $f = 95 \, s^{-1}$ है,तो दूसरा हार्मोनिक $190 \, s^{-1}$ होगा।
हमें दिया गया है कि दूसरा हार्मोनिक $205 \, s^{-1}$ के स्रोत के साथ $5$ बीट्स प्रति सेकंड देता है।
स्थितियों की जाँच करने पर:
$210 \, s^{-1}$ के लिए: $|210 - 205| = 5 \, s^{-1}$ (यह शर्त पूरी होती है)।
$190 \, s^{-1}$ के लिए: $|190 - 205| = 15 \, s^{-1}$ (यह शर्त पूरी नहीं होती)।
अतः,स्रोत की आवृत्ति $105 \, s^{-1}$ है।

(D) जब समान आयाम वाली लेकिन थोड़ी भिन्न आवृत्तियों वाली दो ध्वनि तरंगें एक-दूसरे पर अध्यारोपित होती हैं,तो सुनाई देने वाली ध्वनि की तीव्रता में होने वाले आवधिक परिवर्तन को विस्पंद (beats) कहा जाता है।
यदि दो तरंगों की आवृत्तियाँ $f_1$ और $f_2$ हैं,तो विस्पंद आवृत्ति $f_{beat} = |f_1 - f_2|$ द्वारा दी जाती है।
इसलिए,विस्पंद उत्पन्न करने के लिए शर्त यह है कि तरंगों की आवृत्तियाँ भिन्न होनी चाहिए।

(B) की प्रारंभिक आवृत्ति $n_A = 256 \ Hz$ है। प्रारंभिक बीट आवृत्ति $x_1 = 4 \ Hz$ है।
चूंकि $n_B = n_A \pm x_1$,इसलिए $B$ की प्रारंभिक आवृत्ति $256 + 4 = 260 \ Hz$ या $256 - 4 = 252 \ Hz$ हो सकती है।
$B$ पर थोड़ा भार डालने पर,इसकी आवृत्ति $n_B$ कम हो जाती है। नई बीट आवृत्ति $x_2 = 5 \text{ बीट्स} / 2 \text{ सेकंड} = 2.5 \ Hz$ है।
स्थिति $1$: यदि प्रारंभिक $n_B = 252 \ Hz$ है,तो $B$ पर भार डालने से इसकी आवृत्ति $256 \ Hz$ से और दूर हो जाती है,इसलिए बीट आवृत्ति बढ़नी चाहिए। यह इस अवलोकन के विपरीत है कि बीट आवृत्ति $4 \ Hz$ से घटकर $2.5 \ Hz$ हो गई है।
स्थिति $2$: यदि प्रारंभिक $n_B = 260 \ Hz$ है,तो $B$ पर भार डालने से इसकी आवृत्ति $256 \ Hz$ के करीब आती है,इसलिए बीट आवृत्ति कम होनी चाहिए। नई आवृत्ति $n_B' = 256 + 2.5 = 258.5 \ Hz$ है।
अतः,लोडिंग के बाद $B$ की आवृत्ति $258.5 \ Hz$ है।

(D) ट्यूनिंग फोर्क $A$ की आवृत्ति $n_A = 200 \ Hz$ है। बीट आवृत्ति $5 \ Hz$ है,इसलिए फोर्क $B$ की आवृत्ति $(n_B)$ या तो $200 + 5 = 205 \ Hz$ है या $200 - 5 = 195 \ Hz$ है।
जब फोर्क $A$ पर मोम लगाया जाता है,तो इसकी आवृत्ति $(n_A)$ कम हो जाती है।
यदि $n_B = 195 \ Hz$ है,तो नई बीट आवृत्ति $n_A' - n_B$ (जहाँ $n_A' < 200$) होगी। जैसे-जैसे $n_A$ घटता है,अंतर $n_A - n_B$ कम होता है,इसलिए बीट आवृत्ति $5 \ Hz$ से घटकर कम हो जाएगी।
यदि $n_B = 205 \ Hz$ है,तो बीट आवृत्ति $n_B - n_A = 205 - 200 = 5 \ Hz$ है। जैसे-जैसे $n_A$ घटता है,अंतर $n_B - n_A$ बढ़ता है,इसलिए बीट आवृत्ति $5 \ Hz$ से बढ़कर $8 \ Hz$ हो जाती है।
चूंकि बीट आवृत्ति बढ़कर $8 \ Hz$ हो जाती है,इसलिए फोर्क $B$ की सही आवृत्ति $205 \ Hz$ है।

(C) ट्यूनिंग फोर्क $A$ की आवृत्ति $n_A = 320 \ Hz$ है। बीट आवृत्ति $4 \ Hz$ है,इसलिए $B$ की आवृत्ति $(n_B)$ या तो $320 + 4 = 324 \ Hz$ है या $320 - 4 = 316 \ Hz$ है।
जब ट्यूनिंग फोर्क पर मोम लगाया जाता है,तो उसकी आवृत्ति कम हो जाती है।
यदि $n_B = 316 \ Hz$ है,तो मोम लगाने से आवृत्ति और कम हो जाएगी,जिससे बीट आवृत्ति बढ़ जाएगी $(320 - n_B' > 4)$,जो प्रश्न के कथन के विपरीत है।
यदि $n_B = 324 \ Hz$ है,तो मोम लगाने से $B$ की आवृत्ति कम हो जाती है $(n_B' < 324)$। बीट आवृत्ति $4 \ Hz$ बनी रहे,इसके लिए प्रारंभिक आवृत्ति $n_B = 324 \ Hz$ होनी चाहिए।

(C) बीट आवृत्ति $f_b = |f_1 - f_2| = |384 - 380| = 4 \ Hz$ द्वारा दी जाती है।
एक पूर्ण बीट चक्र की समय अवधि $T = \frac{1}{f_b} = \frac{1}{4} = 0.25 \ \text{सेकंड}$ है।
एक बीट चक्र में एक अधिकतम (तेज ध्वनि) और एक न्यूनतम (धीमी ध्वनि) शामिल होता है।
अधिकतम ध्वनि और उसके बाद की न्यूनतम ध्वनि के बीच का समय अंतराल बीट अवधि का आधा होता है।
इसलिए,$t = \frac{T}{2} = \frac{0.25}{2} = 0.125 \ \text{सेकंड}$।

(D) ध्वनि तरंग की तीव्रता $I$ उसके आयाम $a$ के वर्ग के समानुपाती होती है,अर्थात $I \propto a^2$।
$a_1 = 5$ और $a_2 = 3$ आयाम वाली दो तरंगों के लिए,अधिकतम तीव्रता $I_{\max}$ तब होती है जब तरंगें संपोषी व्यतिकरण करती हैं,और न्यूनतम तीव्रता $I_{\min}$ तब होती है जब वे विनाशी व्यतिकरण करती हैं।
अधिकतम और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात इस सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{a_1 + a_2}{a_1 - a_2} \right)^2$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{5 + 3}{5 - 3} \right)^2 = \left( \frac{8}{2} \right)^2 = (4)^2 = \frac{16}{1}$
अतः,अनुपात $16:1$ है।

(A) तरंग की आवृत्ति $n = \frac{v}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v$ वेग है और $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है।
दी गई तरंगदैर्ध्य $\lambda_1 = 50 \; cm = 0.50 \; m$ और $\lambda_2 = 51 \; cm = 0.51 \; m$ हैं।
आवृत्तियाँ $n_1 = \frac{v}{0.50}$ और $n_2 = \frac{v}{0.51}$ हैं।
विस्पंद आवृत्ति दोनों आवृत्तियों के बीच का अंतर है: $\Delta n = n_1 - n_2 = 12 \; Hz$.
मान रखने पर: $v \left( \frac{1}{0.50} - \frac{1}{0.51} \right) = 12$.
$v \left( \frac{0.51 - 0.50}{0.50 \times 0.51} \right) = 12$.
$v \left( \frac{0.01}{0.255} \right) = 12$.
$v = \frac{12 \times 0.255}{0.01} = 12 \times 25.5 = 306 \; m/s$.

(C) तरंग का सामान्य समीकरण $y = A \sin(\omega t)$ है।
दिए गए समीकरणों की तुलना मानक रूप से करने पर,हमें कोणीय आवृत्तियाँ $\omega_1 = 316 \text{ rad/s}$ और $\omega_2 = 310 \text{ rad/s}$ प्राप्त होती हैं।
आवृत्ति $f$,कोणीय आवृत्ति $\omega$ से $f = \frac{\omega}{2\pi}$ सूत्र द्वारा संबंधित है।
अतः,दोनों तरंगों की आवृत्तियाँ $f_1 = \frac{316}{2\pi} \text{ Hz}$ और $f_2 = \frac{310}{2\pi} \text{ Hz}$ हैं।
प्रति सेकंड उत्पन्न होने वाले विस्पंदों की संख्या दोनों आवृत्तियों का अंतर है:
$\text{विस्पंद आवृत्ति} = |f_1 - f_2| = \left| \frac{316}{2\pi} - \frac{310}{2\pi} \right| = \frac{6}{2\pi} = \frac{3}{\pi} \text{ Hz}$.

(B) बीट आवृत्ति $(f_b)$ को प्रति इकाई समय में उत्पन्न बीट्स की संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दिया गया है:
बीट्स की संख्या $(n)$ = $2$
समयांतराल $(t)$ = $0.4 \ s$
सूत्र: $f_b = \frac{n}{t}$
गणना: $f_b = \frac{2}{0.4} = \frac{20}{4} = 5 \ Hz$.
अतः,बीट आवृत्ति $5 \ Hz$ है।

(A) प्रति सेकंड बीट्स की संख्या दो आवृत्तियों के बीच का अंतर होती है।
यह दिया गया है कि अज्ञात आवृत्ति $x$,$250 \ Hz$ के साथ $8$ बीट्स प्रति सेकंड उत्पन्न करती है,इसलिए $x$ के संभावित मान $250 \pm 8$ हैं,जो $258 \ Hz$ या $242 \ Hz$ हैं।
यह भी दिया गया है कि अज्ञात आवृत्ति $x$,$270 \ Hz$ के साथ $12$ बीट्स प्रति सेकंड उत्पन्न करती है,इसलिए $x$ के संभावित मान $270 \pm 12$ हैं,जो $282 \ Hz$ या $258 \ Hz$ हैं।
दोनों संभावनाओं के सेट की तुलना करने पर,सामान्य आवृत्ति $258 \ Hz$ है।
अतः,अज्ञात आवृत्ति $x$ का मान $258 \ Hz$ है।

(A) $0^{\circ}C$ पर ध्वनि की गति $v_0 = 332 \ m/s$ है।
$t^{\circ}C$ पर ध्वनि की गति $v_t = v_0 + 0.61 \times t$ द्वारा दी जाती है।
$t = 20^{\circ}C$ पर,ध्वनि की गति $v_{20} = 332 + 0.61 \times 20 = 332 + 12.2 = 344.2 \ m/s$ है।
दो तरंगों की आवृत्तियाँ $n_1 = \frac{v}{\lambda_1}$ और $n_2 = \frac{v}{\lambda_2}$ हैं।
प्रति सेकंड उत्पन्न बीट्स की संख्या आवृत्तियों का अंतर है: $\Delta n = |n_1 - n_2| = v \left( \frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_2} \right)$.
तरंगदैर्ध्य को मीटर में बदलने पर: $\lambda_1 = 0.50 \ m$ और $\lambda_2 = 0.51 \ m$.
$\Delta n = 344.2 \left( \frac{1}{0.50} - \frac{1}{0.51} \right) = 344.2 \left( 2 - 1.96078 \right) = 344.2 \times 0.03922 \approx 13.5 \approx 14 \ Hz$.

(A) मानव कान में श्रवण की दृढ़ता (persistence of hearing) नामक एक घटना होती है,जो लगभग $0.1 \ s$ तक रहती है।
इसका अर्थ यह है कि यदि दो ध्वनियाँ $0.1 \ s$ से कम के समयांतराल पर कान तक पहुँचती हैं,तो कान उन्हें अलग-अलग ध्वनियों के रूप में नहीं पहचान सकता है।
इसलिए,प्रति सेकंड सुनी जा सकने वाली बीट्स की अधिकतम संख्या श्रवण की दृढ़ता के व्युत्क्रम द्वारा दी जाती है:
$f_{max} = \frac{1}{0.1 \ s} = 10 \ Hz$.
अतः,मानव कान प्रति सेकंड अधिकतम $10$ बीट्स को पहचान सकता है।

(D) माना ट्यूनिंग फोर्क $A$ की आवृत्ति $n_A$ है और ट्यूनिंग फोर्क $B$ की आवृत्ति $n_B = 384 \ Hz$ है।
प्रारंभिक बीट आवृत्ति $x_1 = |n_A - n_B| = 6 \ Hz$ है।
इसका अर्थ है कि $n_A = 384 \pm 6$,इसलिए $n_A$ या तो $390 \ Hz$ है या $378 \ Hz$ है।
जब ट्यूनिंग फोर्क $A$ पर मोम लगाया जाता है,तो इसकी आवृत्ति $n_A$ कम हो जाती है।
मोम लगाने के बाद,नई बीट आवृत्ति $x_2 = 4 \ Hz$ है।
यदि $n_A = 390 \ Hz$ है,तो मोम लगाने से यह $384 \ Hz$ की ओर घटती है,इसलिए बीट आवृत्ति $6$ से घटकर $4$ हो जाती है। यह दी गई शर्त से मेल खाता है।
यदि $n_A = 378 \ Hz$ है,तो मोम लगाने से यह $384 \ Hz$ से और दूर हो जाती है,इसलिए बीट आवृत्ति $6$ से बढ़कर अधिक हो जाएगी। यह दी गई शर्त के विपरीत है।
इसलिए,ट्यूनिंग फोर्क $A$ की मूल आवृत्ति $390 \ Hz$ है।

(B) विस्पंद (beats) की घटना तब होती है जब थोड़ी अलग आवृत्ति वाली दो ध्वनि तरंगें एक-दूसरे के साथ व्यतिकरण करती हैं।
मानव कान के लिए इन विस्पंदों को सुनने के लिए,दोनों स्रोतों के बीच आवृत्ति का अंतर कम होना चाहिए,आमतौर पर सुनने की दृढ़ता (persistence of hearing) के कारण यह $10 \ Hz$ से $15 \ Hz$ से कम होना चाहिए।
विकल्प $A$ में,अंतर $150 \ Hz - 100 \ Hz = 50 \ Hz$ है।
विकल्प $B$ में,अंतर $25 \ Hz - 20 \ Hz = 5 \ Hz$ है।
विकल्प $C$ में,अंतर $500 \ Hz - 400 \ Hz = 100 \ Hz$ है।
विकल्प $D$ में,अंतर $1500 \ Hz - 1000 \ Hz = 500 \ Hz$ है।
चूंकि केवल विकल्प $B$ में आवृत्ति का अंतर विस्पंद सुनने की सीमा के भीतर है,इसलिए यह सही उत्तर है।

(A) विस्पंद आवृत्ति (प्रति सेकंड विस्पंदों की संख्या) $n = \frac{30}{3} = 10 \ Hz$ है।
विस्पंद आवृत्ति का सूत्र $n = v \left( \frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_2} \right)$ है,जहाँ $v$ ध्वनि का वेग है।
दिए गए मानों को रखने पर: $10 = v \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{6} \right)$.
अंतर की गणना करने पर: $\frac{1}{5} - \frac{1}{6} = \frac{6-5}{30} = \frac{1}{30}$.
अतः,$10 = v \left( \frac{1}{30} \right)$.
$v$ के लिए हल करने पर: $v = 10 \times 30 = 300 \ m/s$.

(A) तरंग की आवृत्ति $n = \frac{v}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v$ ध्वनि की गति है और $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है।
दिया गया है: $v = 396 \ m/s$,$\lambda_1 = 99 \ cm = 0.99 \ m$,और $\lambda_2 = 100 \ cm = 1.0 \ m$.
आवृत्तियाँ $n_1 = \frac{396}{0.99} = 400 \ Hz$ और $n_2 = \frac{396}{1.0} = 396 \ Hz$ हैं।
प्रति सेकंड सुनाई देने वाले बीट्स की संख्या आवृत्तियों का अंतर है: $\Delta n = |n_1 - n_2| = |400 - 396| = 4 \ Hz$.
अतः,सुनाई देने वाले बीट्स की संख्या $4$ है।

(D) माना कि ज्ञात ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $n_A = 288 \, Hz$ है और अज्ञात फोर्क की आवृत्ति $n_B$ है।
प्रारंभ में,बीट आवृत्ति $x = |n_A - n_B| = 4 \, Hz$ है।
इसका अर्थ है कि $n_B = 288 \pm 4$,इसलिए $n_B$ या तो $292 \, Hz$ है या $284 \, Hz$ है।
जब अज्ञात फोर्क पर मोम लगाया जाता है,तो इसकी आवृत्ति $n_B$ घट जाती है $(n_B \downarrow)$।
मोम लगाने के बाद,नई बीट आवृत्ति $x' = 2 \, Hz$ है।
स्थिति $1$: यदि $n_B = 284 \, Hz$ है,तो $n_B$ का मान $288 \, Hz$ से और दूर हो जाता है,जिससे बीट आवृत्ति बढ़ जाएगी $(|288 - 283| = 5 \, Hz)$,जो अवलोकन के विपरीत है।
स्थिति $2$: यदि $n_B = 292 \, Hz$ है,तो $n_B$ का मान $288 \, Hz$ के करीब आता है,जिससे बीट आवृत्ति घट जाती है $(|288 - 290| = 2 \, Hz)$।
यह दिए गए अवलोकन से मेल खाता है।
अतः,अज्ञात फोर्क की आवृत्ति $292 \, Hz$ है।

(A) कंपन करने वाले स्रोत की आवृत्ति $(f)$ को प्रति इकाई समय में होने वाले दोलनों या चक्रों की संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दिया गया है कि ट्यूनिंग फोर्क $0.04$ सेकंड में $2$ बीट्स उत्पन्न करता है।
सूत्र का उपयोग करते हुए: $f = \frac{\text{बीट्स की संख्या}}{\text{समय (सेकंड में)}}$
$f = \frac{2}{0.04} = \frac{200}{4} = 50\,Hz$.
अतः,ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $50\,Hz$ है।

(C) प्रति इकाई समय में उत्पन्न विस्पंदों की संख्या को विस्पंद आवृत्ति कहा जाता है।
विस्पंद आवृत्ति दो ध्वनि स्रोतों की आवृत्तियों के अंतर के बराबर होती है।
दिया गया है कि $0.25 \ s$ में $4$ विस्पंद उत्पन्न होते हैं।
विस्पंद आवृत्ति = $\frac{\text{विस्पंदों की संख्या}}{\text{समय अंतराल}} = \frac{4}{0.25} \ Hz$.
विस्पंद आवृत्ति = $16 \ Hz$.
अतः,उनकी आवृत्तियों में अंतर $16 \ Hz$ है।

(D) मान लीजिए कि पियानो के तार की आवृत्ति $n_P$ है। ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $n_f = 256\,Hz$ है।
बीट आवृत्ति $|n_f - n_P| = 5\,Hz$ द्वारा दी जाती है। इसका अर्थ है कि $n_P = 256 \pm 5\,Hz$,इसलिए $n_P$ या तो $251\,Hz$ है या $261\,Hz$ है।
जब पियानो के तार में तनाव $T$ बढ़ाया जाता है,तो आवृत्ति $n_P$ बढ़ती है क्योंकि $n_P \propto \sqrt{T}$ होता है।
यदि $n_P = 251\,Hz$ था,तो तनाव बढ़ाने पर $n_P$,$256\,Hz$ के करीब पहुंचता है,जिससे बीट आवृत्ति $|256 - n_P|$ कम हो जाती है।
यदि $n_P = 261\,Hz$ था,तो तनाव बढ़ाने पर $n_P$,$256\,Hz$ से और दूर चला जाता है,जिससे बीट आवृत्ति बढ़ जाती है।
चूंकि बीट आवृत्ति $5\,Hz$ से घटकर $2\,Hz$ हो जाती है,इसलिए प्रारंभिक आवृत्ति $251\,Hz$ होनी चाहिए।
अतः,तनाव बढ़ाने से पहले पियानो के तार की आवृत्ति $256 - 5 = 251\,Hz$ थी।

(B) ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{Y}{\rho}}$ संबंध द्वारा दी जाती है,जहाँ $Y$ यंग मापांक है और $\rho$ पदार्थ का घनत्व है।
जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,पदार्थ का यंग मापांक $Y$ घट जाता है और थर्मल विस्तार के कारण ट्यूनिंग फोर्क की लंबाई $l$ बढ़ जाती है।
ये दोनों कारक ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति में कमी लाने में योगदान करते हैं।
यह संबंध $n_t = n_0(1 - \alpha t)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n_t$ तापमान $t^\circ C$ पर आवृत्ति है,$n_0$ तापमान $0^\circ C$ पर आवृत्ति है,और $\alpha$ पदार्थ के गुणों से संबंधित एक स्थिरांक है।
इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(A) दिया गया है: तार $X$ की आवृत्ति $(n_X)$ = $300 \ Hz$।
प्रारंभिक बीट आवृत्ति = $|n_X - n_Y| = 4 \ Hz$।
इसका अर्थ है कि $Y$ की प्रारंभिक आवृत्ति $(n_Y)$ या तो $300 - 4 = 296 \ Hz$ है या $300 + 4 = 304 \ Hz$ है।
जब तार $Y$ का तनाव बढ़ाया जाता है,तो इसकी आवृत्ति $n_Y$ बढ़ जाती है क्योंकि $n \propto \sqrt{T}$।
स्थिति $1$: यदि $n_Y = 296 \ Hz$ है,तो तनाव बढ़ाने पर $n_Y$ का मान $300 \ Hz$ के करीब पहुंचता है (जैसे $298 \ Hz$),इसलिए बीट आवृत्ति $|300 - 298| = 2 \ Hz$ हो जाती है। यह दी गई शर्त से मेल खाता है।
स्थिति $2$: यदि $n_Y = 304 \ Hz$ है,तो तनाव बढ़ाने पर $n_Y$ का मान $300 \ Hz$ से और दूर चला जाता है (जैसे $306 \ Hz$),इसलिए बीट आवृत्ति $|300 - 306| = 6 \ Hz$ हो जाती है। यह शर्त से मेल नहीं खाता है।
अतः,$Y$ की मूल आवृत्ति $296 \ Hz$ थी।

(C) माना ट्यूनिंग फोर्क $C$ की आवृत्ति $n\,Hz$ है।
दिया गया है कि $A$ की आवृत्ति $C$ से $3\%$ अधिक है,इसलिए $n_A = n + 0.03n = 1.03n$.
$B$ की आवृत्ति $C$ से $2\%$ कम है,इसलिए $n_B = n - 0.02n = 0.98n$.
जब $A$ और $B$ को एक साथ बजाया जाता है,तो विस्पंद आवृत्ति $|n_A - n_B| = 5$ होती है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $|1.03n - 0.98n| = 5$.
$0.05n = 5$.
$n = \frac{5}{0.05} = 100\,Hz$.
अतः,ट्यूनिंग फोर्क $A$ की आवृत्ति $n_A = 1.03 \times 100 = 103\,Hz$ है।

(B) प्रगामी तरंगों के लिए दिए गए समीकरण $Y_1 = 4\sin(500\pi t)$ और $Y_2 = 2\sin(506\pi t)$ हैं।
इन्हें मानक समीकरण $Y = A\sin(\omega t)$ के साथ तुलना करने पर,हमें कोणीय आवृत्तियाँ $\omega_1 = 500\pi \text{ rad/s}$ और $\omega_2 = 506\pi \text{ rad/s}$ प्राप्त होती हैं।
आवृत्तियों $n_1$ और $n_2$ की गणना $\omega = 2\pi n$ का उपयोग करके की जाती है:
$n_1 = \frac{500\pi}{2\pi} = 250 \text{ Hz}$
$n_2 = \frac{506\pi}{2\pi} = 253 \text{ Hz}$
विस्पंद आवृत्ति दोनों आवृत्तियों के बीच का अंतर है: $f_b = n_2 - n_1 = 253 - 250 = 3 \text{ विस्पंद प्रति सेकंड}$.
प्रति मिनट विस्पंदों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम प्रति सेकंड विस्पंदों को $60$ से गुणा करते हैं:
$\text{प्रति मिनट विस्पंद} = 3 \times 60 = 180$.

(B) तरंग की आवृत्ति तरंग के स्रोत द्वारा निर्धारित की जाती है।
चूंकि ट्यूनिंग फोर्क स्रोत के रूप में कार्य करता है,इसलिए उत्पन्न ध्वनि तरंग की आवृत्ति उस माध्यम की परवाह किए बिना स्थिर रहती है जिससे वह गुजरती है।
इसलिए,ट्यूनिंग फोर्क के पदार्थ और हवा दोनों में आवृत्ति समान रहती है।
तरंगदैर्ध्य और वेग जैसे अन्य गुण माध्यम के गुणों (जैसे घनत्व और प्रत्यास्थता) पर निर्भर करते हैं,और आयाम तरंग की ऊर्जा पर निर्भर करता है,जो अवमंदन (damping) के कारण बदल सकता है।

(B) सायरन डिस्क द्वारा उत्पन्न ध्वनि की आवृत्ति $f$ का सूत्र $f = n \times \nu$ है,जहाँ $n$ छिद्रों की संख्या है और $\nu$ प्रति सेकंड घूर्णन की आवृत्ति है।
दिया गया है,$n = 60$ छिद्र।
घूर्णन गति $360\,rpm$ (रिवोल्यूशन प्रति मिनट) है।
$rpm$ को प्रति सेकंड रिवोल्यूशन में बदलने के लिए,$60$ से विभाजित करें: $\nu = \frac{360}{60} = 6\,rev/s$.
अतः,उत्सर्जित ध्वनि की आवृत्ति $f = 60 \times 6 = 360\,Hz$ है।
चूंकि ध्वनि ट्यूनिंग फोर्क के साथ एकस्वर में है,इसलिए ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $360\,Hz$ है।

(C) तने हुए तार की आवृत्ति $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $n \propto \sqrt{T}$।
अवकलन करने पर,हमें $\frac{\Delta n}{n} = \frac{1}{2} \frac{\Delta T}{T}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि तनाव $2\%$ बढ़ता है,यानी $\frac{\Delta T}{T} = 0.02$,इसलिए आवृत्ति में परिवर्तन $\frac{\Delta n}{n} = \frac{1}{2} \times 0.02 = 0.01$ या $1\%$ है।
मान लीजिए प्रारंभिक आवृत्ति $n$ है। नई आवृत्ति $n' = n + 0.01n = 1.01n$ होगी।
प्रति सेकंड उत्पन्न विस्पंदों की संख्या आवृत्तियों का अंतर है: $n' - n = 5$।
$1.01n - n = 5 \implies 0.01n = 5$।
$n = \frac{5}{0.01} = 500 \ Hz$।

(D) माना प्रत्येक तार की प्रारंभिक आवृत्ति $n$ है। एक तने हुए तार की आवृत्ति $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है कि $n \propto \sqrt{T}$।
अवकलन करने पर,हमें $\frac{dn}{n} = \frac{1}{2} \frac{dT}{T}$ प्राप्त होता है।
तनाव में प्रतिशत परिवर्तन $1\%$ दिया गया है,इसलिए $\frac{dT}{T} = 0.01$।
आवृत्ति में परिवर्तन $\Delta n = \frac{1}{2} \times n \times \frac{dT}{T} = \frac{1}{2} \times n \times 0.01 = 0.005n$ होगा।
हमें दिया गया है कि $2 \,s$ में $3$ विस्पंद सुनाई देते हैं,इसलिए विस्पंद आवृत्ति $\Delta n = \frac{3}{2} = 1.5 \,Hz$ है।
$\Delta n$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $0.005n = 1.5$।
$n$ के लिए हल करने पर: $n = \frac{1.5}{0.005} = 300 \,Hz$ या $300 \,s^{-1}$।