$L$ लंबाई और $M$ द्रव्यमान (बॉब) वाला एक सरल लोलक एक ऊर्ध्वाधर रेखा के चारों ओर कोणीय सीमाओं $-\varphi$ और $+\varphi$ के बीच एक समतल में दोलन कर रहा है। कोणीय विस्थापन $\theta$ $(|\theta| < \varphi)$ के लिए,डोरी में तनाव और बॉब का वेग क्रमशः $T$ और $v$ हैं। उपरोक्त स्थितियों के तहत निम्नलिखित में से कौन सा संबंध सही है?

$M$ द्रव्यमान का एक व्यक्ति $L$ लंबाई के झूले पर बैठा है और $\theta_0$ कोणीय आयाम के साथ झूल रहा है। यदि व्यक्ति झूले के सबसे निचले बिंदु से गुजरते समय खड़ा हो जाता है,तो उसके द्वारा किया गया कार्य,यह मानते हुए कि उसका द्रव्यमान केंद्र $l$ $(l << L)$ दूरी से विस्थापित होता है,लगभग कितना होगा?

$\rho$ घनत्व, $A$ आधार क्षेत्रफल और $h$ ऊँचाई वाला कॉर्क का एक बेलनाकार टुकड़ा $\rho_{l}$ घनत्व वाले द्रव में तैर रहा है। कॉर्क को थोड़ा नीचे दबाकर छोड़ दिया जाता है। दर्शाइए कि कॉर्क $T=2 \pi \sqrt{\frac{h \rho}{\rho_{l} g}}$ आवर्तकाल के साथ सरल आवर्त गति करता है। (द्रव की श्यानता के कारण होने वाले अवमंदन को नगण्य मानें)।

निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दें:
$(a)$ $SHM$ में एक कण का आवर्तकाल बल नियतांक $k$ और कण के द्रव्यमान $m$ पर निर्भर करता है: $T=2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$। एक सरल लोलक लगभग $SHM$ करता है। तो फिर लोलक का आवर्तकाल लोलक के द्रव्यमान से स्वतंत्र क्यों है?
$(b)$ छोटे कोण के दोलनों के लिए सरल लोलक की गति लगभग सरल आवर्त होती है। दोलन के बड़े कोणों के लिए,अधिक विस्तृत विश्लेषण से पता चलता है कि $T$,$2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ से अधिक है। इस परिणाम को समझने के लिए एक गुणात्मक तर्क सोचें।
$(c)$ हाथ में कलाई घड़ी पहने एक व्यक्ति टॉवर के ऊपर से गिरता है। क्या मुक्त पतन के दौरान घड़ी सही समय देती है?
$(d)$ गुरुत्वाकर्षण के तहत मुक्त रूप से गिर रहे केबिन में लगे एक सरल लोलक की दोलन आवृत्ति क्या है?

यदि एक सरल लोलक के बॉब की चाल $v$ को स्पर्शरेखीय त्वरण $a$ के विरुद्ध आलेखित किया जाता है,तो सही ग्राफ किसके द्वारा दर्शाया जाएगा?

दो सरल लोलकों के दोलनों की आवृत्तियों का अनुपात $3: 4$ है,तो उनकी लंबाइयों का अनुपात क्या होगा?