Acceleration and Force of Simple Harmonic Motion Questions in Hindi

(A) $SHM$ को माध्य स्थिति के इर्द-गिर्द होने वाली दोलन गति के रूप में परिभाषित किया गया है। प्रत्यानयन बल,और परिणामस्वरूप त्वरण,हमेशा वस्तु को वापस लाने के लिए माध्य स्थिति की ओर निर्देशित होता है। $SHM$ में त्वरण $a = -\omega^2 x$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $x$ माध्य स्थिति से विस्थापन है। चूंकि ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि त्वरण हमेशा विस्थापन की दिशा के विपरीत होता है,इसलिए यह हमेशा माध्य स्थिति की ओर निर्देशित होता है। दिया गया कारण सही ढंग से बताता है कि वस्तु को चरम स्थिति पर रुकना पड़ता है और इस त्वरण के कारण माध्य स्थिति पर वापस आना पड़ता है। अतः,दोनों कथन सही हैं और कारण $Assertion$ की सही व्याख्या करता है।

(N/A) माध्य स्थिति $O$,$AB$ का मध्य-बिंदु है। $A$ पर $x = -5 \; cm$ और $B$ पर $x = +5 \; cm$ है। धनात्मक दिशा $A \to B$ है। सरल आवर्त गति में,त्वरण $a = -\omega^2 x$ और बल $F = ma = -m\omega^2 x$ होता है।
$(a)$ $A$ पर $(x = -5 \; cm)$: वेग $v = 0$ (चरम बिंदु)। त्वरण $a = -\omega^2(-5) > 0$ (धनात्मक)। बल $F$ धनात्मक है।
$(b)$ $B$ पर $(x = +5 \; cm)$: वेग $v = 0$ (चरम बिंदु)। त्वरण $a = -\omega^2(+5) < 0$ (ऋणात्मक)। बल $F$ ऋणात्मक है।
$(c)$ $O$ पर $(x = 0)$ $A$ की ओर जाते समय: वेग $v < 0$ (बाईं ओर गति)। त्वरण $a = 0$। बल $F = 0$।
$(d)$ $B$ से $2 \; cm$ दूर $A$ की ओर जाते समय $(x = +3 \; cm)$: वेग $v < 0$ (बाईं ओर गति)। त्वरण $a = -\omega^2(+3) < 0$ (ऋणात्मक)। बल $F$ ऋणात्मक है।
$(e)$ $A$ से $3 \; cm$ दूर $B$ की ओर जाते समय $(x = -2 \; cm)$: वेग $v > 0$ (दाईं ओर गति)। त्वरण $a = -\omega^2(-2) > 0$ (धनात्मक)। बल $F$ धनात्मक है।
$(f)$ $B$ से $4 \; cm$ दूर $A$ की ओर जाते समय $(x = +1 \; cm)$: वेग $v < 0$ (बाईं ओर गति)। त्वरण $a = -\omega^2(+1) < 0$ (ऋणात्मक)। बल $F$ ऋणात्मक है।

(N/A) $1$. मान लीजिए कि एक कण $P$,$A$ त्रिज्या के वृत्त में स्थिर कोणीय वेग $\omega$ के साथ गति कर रहा है। इस गति का व्यास (मान लीजिए $x$-अक्ष) पर प्रक्षेप $SHM$ को दर्शाता है।
$2$. किसी भी समय $t$ पर कण की स्थिति $x = A \cos(\omega t + \phi)$ द्वारा दी जाती है।
$3$. कण का वेग $v = \frac{dx}{dt} = -A\omega \sin(\omega t + \phi)$ है।
$4$. तात्कालिक त्वरण $a$,समय के सापेक्ष वेग का अवकलन है: $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(-A\omega \sin(\omega t + \phi))$.
$5$. अवकलन करने पर,हमें $a = -A\omega^2 \cos(\omega t + \phi)$ प्राप्त होता है।
$6$. चूंकि $x = A \cos(\omega t + \phi)$,हम इस मान को त्वरण के समीकरण में प्रतिस्थापित कर सकते हैं,जिससे $a = -\omega^2 x$ प्राप्त होता है।

(N/A) $SHM$ कण का त्वरण,विस्थापन का समय के सापेक्ष द्वितीय अवकलन (second derivative) है।
$SHM$ कण का समय $t$ पर विस्थापन:
$x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर वेग $v(t)$ प्राप्त होता है:
$v(t) = \frac{dx}{dt} = -A \omega \sin(\omega t + \phi)$
पुनः समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर त्वरण $a(t)$ प्राप्त होता है:
$a(t) = \frac{dv}{dt} = -A \omega^2 \cos(\omega t + \phi)$
चूंकि $x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$,हम इसे त्वरण के समीकरण में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$a(t) = -\omega^2 x(t)$
सामान्यतः,$a = -\omega^2 x$.
विशेष स्थितियाँ:
$(1)$ माध्य स्थिति पर,$x = 0$,अतः $a = -\omega^2(0) = 0$. त्वरण शून्य है और वेग अधिकतम है।
$(2)$ चरम बिंदुओं पर,$x = \pm A$,अतः $a = \mp \omega^2 A$. त्वरण का परिमाण अधिकतम होता है,$a_{\max} = A \omega^2$.

(B) $SHM$ कर रहे कण के लिए,विस्थापन $x = A \sin(\omega t + \phi)$ द्वारा दिया जाता है।
वेग $v = \frac{dx}{dt} = A\omega \cos(\omega t + \phi)$ है।
त्वरण $a = \frac{dv}{dt} = -A\omega^2 \sin(\omega t + \phi) = -\omega^2 x$ है।
चरम स्थितियों पर,विस्थापन $x = \pm A$ होता है।
इसलिए,वेग $v = \pm A\omega \cos(\pm \pi/2) = 0$ होता है।
त्वरण $a = -\omega^2(\pm A) = \mp A\omega^2$ होता है,जो त्वरण का अधिकतम परिमाण है।
अतः,दोनों शर्तें चरम स्थितियों पर पूरी होती हैं।

(N/A) $X$-अक्ष के अनुदिश $SHM$ कर रहे कण के लिए,किसी समय $t$ पर विस्थापन $x$,$x(t) = A \sin(\omega t + \phi)$ द्वारा दिया जाता है।
वेग $v$,समय के सापेक्ष विस्थापन का प्रथम अवकलज है: $v = \frac{dx}{dt} = A\omega \cos(\omega t + \phi)$.
तात्क्षणिक त्वरण $a$,समय के सापेक्ष विस्थापन का द्वितीय अवकलज है:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2} = -A\omega^2 \sin(\omega t + \phi)$.
चूंकि $x = A \sin(\omega t + \phi)$,हम इसे त्वरण के व्यंजक में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$a = -\omega^2 x$.
अतः,तात्क्षणिक त्वरण का सूत्र $a = -\omega^2 x$ है।

(B) $SHM$ कर रहे कण के लिए,त्वरण $a$ का सूत्र $a = -\omega^2 x$ है,जहाँ $\omega$ कोणीय आवृत्ति है और $x$ माध्य स्थिति से विस्थापन है।
माध्य स्थिति पर,$x = 0$ होता है,इसलिए त्वरण $a = -\omega^2(0) = 0$ होता है। अतः,माध्य स्थिति पर त्वरण शून्य होता है।
चरम स्थितियों पर,विस्थापन $x$ आयाम $A$ के बराबर होता है (अर्थात $x = \pm A$)। त्वरण का परिमाण $|a| = |-\omega^2(\pm A)| = \omega^2 A$ होता है,जो कि अधिकतम मान है।
इसलिए,त्वरण चरम स्थितियों पर अधिकतम और माध्य स्थिति पर शून्य होता है।

(B) $SHM$ (सरल आवर्त गति) में,कण एक माध्य स्थिति के इर्द-गिर्द आगे-पीछे गति करता है।
$1$. वेग: कण का वेग हमेशा उसकी गति की तात्कालिक दिशा में होता है।
$2$. त्वरण: $SHM$ में त्वरण $a = -\omega^2 x$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $x$ माध्य स्थिति से विस्थापन है। ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि त्वरण हमेशा माध्य स्थिति की ओर निर्देशित होता है,चाहे गति या विस्थापन की दिशा कुछ भी हो।

(D) $t$ समय पर $SHM$ कण का विस्थापन इस प्रकार है:
$x(t) = A \cos (\omega t + \phi)$
जहाँ $A$ आयाम है,$\omega$ कोणीय आवृत्ति है,और $\phi$ प्रारंभिक कला है।
वेग ज्ञात करने के लिए विस्थापन समीकरण का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$v(t) = \frac{d}{dt} [A \cos (\omega t + \phi)] = -A\omega \sin (\omega t + \phi)$
त्वरण ज्ञात करने के लिए वेग समीकरण का समय $t$ के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर:
$a(t) = \frac{d}{dt} [-A\omega \sin (\omega t + \phi)] = -A\omega^2 \cos (\omega t + \phi)$
चूंकि $x(t) = A \cos (\omega t + \phi)$,हम इसे त्वरण समीकरण में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$a(t) = -\omega^2 x(t)$
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$F = ma$। दोनों पक्षों को द्रव्यमान $m$ से गुणा करने पर:
$F = m a(t) = -m\omega^2 x(t)$
बल नियतांक $k = m\omega^2$ को परिभाषित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$F = -kx(t)$
यह दर्शाता है कि प्रत्यानयन बल विस्थापन के ऋणात्मक मान के समानुपाती होता है,जो $SHM$ के लिए बल का नियम है।

(N/A) सरल आवर्त गति $(SHM)$ में,किसी कण पर कार्य करने वाला प्रत्यानयन बल $F$ साम्यावस्था से उसके विस्थापन $x$ के सीधे आनुपातिक होता है और हमेशा साम्यावस्था की ओर निर्देशित होता है।
गणितीय रूप से,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:
$F = -kx$
जहाँ:
$F$ प्रत्यानयन बल है।
$k$ बल नियतांक (या स्प्रिंग नियतांक) है,जो एक धनात्मक नियतांक है।
$x$ माध्य स्थिति से विस्थापन है।
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि बल हमेशा विस्थापन की विपरीत दिशा में होता है।

(A) $SHM$ (सरल आवर्त गति) करने वाले $m$ द्रव्यमान के कण के लिए,प्रत्यानयन बल $F = -kx$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k$ बल नियतांक है और $x$ विस्थापन है।
$SHM$ के गति के समीकरण से,हमारे पास $F = ma = m\frac{d^2x}{dt^2}$ है।
चूँकि $a = -\omega^2x$,हम लिख सकते हैं $F = m(-\omega^2x) = -(m\omega^2)x$।
$F = -kx$ और $F = -(m\omega^2)x$ की तुलना करने पर,हमें $k = m\omega^2$ प्राप्त होता है।

(N/A) प्रत्यानयन बल वह बल है जो किसी वस्तु को उसकी साम्यावस्था (equilibrium position) से विस्थापित करने पर उसे वापस उसी स्थिति में लाने का प्रयास करता है।
गणितीय रूप से,स्प्रिंग जैसी रैखिक प्रणाली के लिए,इसे हुक के नियम द्वारा दिया जाता है: $F = -kx$,जहाँ $F$ प्रत्यानयन बल है,$k$ बल नियतांक है,और $x$ साम्यावस्था से विस्थापन है।
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि बल हमेशा विस्थापन की विपरीत दिशा में कार्य करता है।

(B) माना कि $SHM$ कर रहे कण का विस्थापन $x = A \sin(\omega t + \phi)$ है।
वेग $v = \frac{dx}{dt} = A \omega \cos(\omega t + \phi) = A \omega \sin(\omega t + \phi + \frac{\pi}{2})$ होता है।
त्वरण $a = \frac{dv}{dt} = -A \omega^2 \sin(\omega t + \phi) = A \omega^2 \sin(\omega t + \phi + \pi)$ होता है।
वेग की कला $(\omega t + \phi + \frac{\pi}{2})$ है और त्वरण की कला $(\omega t + \phi + \pi)$ है।
अतः,कलांतर $(\omega t + \phi + \pi) - (\omega t + \phi + \frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2}$ रेडियन या $90^{\circ}$ होता है।

(C) $SHM$ कर रहे कण के लिए,विस्थापन $y$ को $y = A \sin(\omega t + \phi)$ द्वारा दिया जाता है।
त्वरण $a$,समय के सापेक्ष विस्थापन का द्वितीय अवकलज है: $a = \frac{d^2y}{dt^2} = -\omega^2 A \sin(\omega t + \phi)$।
हम इसे $a = \omega^2 A \sin(\omega t + \phi + \pi)$ के रूप में फिर से लिख सकते हैं।
साइन फलन के तर्कों की तुलना करने पर,विस्थापन की कला $(\omega t + \phi)$ है और त्वरण की कला $(\omega t + \phi + \pi)$ है।
अतः,कलांतर $(\omega t + \phi + \pi) - (\omega t + \phi) = \pi \text{ रेडियन}$ या $180^{\circ}$ है।

(B) $SHM$ में प्रत्यानयन बल $F = -kx$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k$ बल नियतांक है और $x$ माध्य स्थिति से विस्थापन है।
चरम स्थिति पर,विस्थापन $x = A = 2 \, cm = 0.02 \, m$ है।
चरम स्थिति पर बल $F_{ext} = kA = 4 \, N$ है।
अतः,$k = \frac{4}{0.02} = 200 \, N/m$ है।
माध्य स्थिति $(x = 0)$ और चरम बिंदु $(x = A)$ के बीच के मध्य बिंदु पर,विस्थापन $x = \frac{A}{2} = \frac{2 \, cm}{2} = 1 \, cm = 0.01 \, m$ है।
इस बिंदु पर बल $F = kx = 200 \times 0.01 = 2 \, N$ है।

(B) सरल आवर्त गति $(SHM)$ में, कण पर कार्य करने वाला प्रत्यानयन बल (restoring force) उसकी साम्यावस्था से विस्थापन के सीधे समानुपाती होता है और साम्यावस्था की दिशा में कार्य करता है।
गणितीय रूप से, इसे $F = -kx$ के रूप में व्यक्त किया जाता है, जहाँ $F$ प्रत्यानयन बल है, $x$ माध्य स्थिति से विस्थापन है, और $k$ बल नियतांक (या स्प्रिंग नियतांक) है।

(B) सरल आवर्त गति $(SHM)$ में एक कण का विस्थापन $(x)$ समीकरण $x = A \sin(\omega t + \phi)$ द्वारा दिया जाता है।
वेग $(v)$ विस्थापन का प्रथम अवकलज है: $v = \frac{dx}{dt} = A \omega \cos(\omega t + \phi)$.
त्वरण $(a)$ विस्थापन का द्वितीय अवकलज है: $a = \frac{d^2x}{dt^2} = -A \omega^2 \sin(\omega t + \phi)$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $-\sin(\theta) = \sin(\theta + \pi)$ का उपयोग करते हुए,त्वरण को $a = A \omega^2 \sin(\omega t + \phi + \pi)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
विस्थापन की कला $(\omega t + \phi)$ और त्वरण की कला $(\omega t + \phi + \pi)$ की तुलना करने पर,कलांतर $\pi \; rad$ प्राप्त होता है।

(D) सरल आवर्त गति में त्वरण का परिमाण $|a| = \omega^2 y$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a$ त्वरण है,$\omega$ कोणीय आवृत्ति है और $y$ विस्थापन है।
दिया गया है $a = 1.0 \, m/s^2$ और $y = 0.01 \, m$,इसलिए:
$1.0 = \omega^2 \times 0.01$
$\omega^2 = \frac{1.0}{0.01} = 100$
$\omega = 10 \, rad/s$
आवर्तकाल $T$ और कोणीय आवृत्ति के बीच संबंध $T = \frac{2\pi}{\omega}$ है।
$\omega$ का मान रखने पर:
$T = \frac{2\pi}{10} = \frac{\pi}{5} \, s$.

(B) पुस्तक शेल्फ से संपर्क तब खो देगी जब शेल्फ का नीचे की ओर त्वरण गुरुत्वीय त्वरण $g$ से अधिक हो जाएगा।
संपर्क खोने की शर्त $a_{\max} \geq g$ है।
चूंकि शेल्फ सरल आवर्त गति कर रही है,अधिकतम त्वरण $a_{\max} = \omega^2 A$ होता है,जहाँ $\omega$ कोणीय आवृत्ति है और $A$ आयाम है।
$a_{\max} = g$ रखने पर,हमें $\omega^2 A = g$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\omega = \sqrt{\frac{g}{A}}$।
यहाँ $A = 2.5 \,cm = 0.025 \,m$ और $g = 10 \,m/s^2$ दिया गया है,इसलिए $\omega = \sqrt{\frac{10}{0.025}} = \sqrt{400} = 20 \,rad/s$।
आवृत्ति $f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{20}{2\pi} = \frac{10}{\pi} \approx 3.18 \,Hz$ है।

(C) यदि कोई कण सरल आवर्त गति $(S.H.M.)$ कर रहा है,तो उसका त्वरण $a$ निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया जाता है:
$a = -\omega^2 x$
जहाँ $\omega$ कोणीय आवृत्ति है और $x$ माध्य स्थिति से विस्थापन है।
चूंकि त्वरण $a$ विस्थापन $x$ के सीधे आनुपातिक है,इसलिए जैसे-जैसे कण गति करता है,त्वरण बदलता रहता है।
अतः,त्वरण असमान है क्योंकि यह कण की स्थिति $x$ पर निर्भर करता है,न कि सीधे समय पर रैखिक रूप से (यह समय के साथ ज्यावक्रीय रूप से बदलता है)।
इसलिए,सही विकल्प $(c)$ है।

(D) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 10 \,g = 0.01 \,kg$,आयाम $A = 10 \,cm = 0.1 \,m$,आवर्तकाल $T = 0.1 \,s$.
कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0.1} = 20\pi \,rad/s$.
$S.H.M.$ में अधिकतम त्वरण $a_{\text{max}} = \omega^2 A$ होता है।
अधिकतम बल $F_{\text{max}} = m \cdot a_{\text{max}} = m \omega^2 A$ होता है।
मान रखने पर: $F_{\text{max}} = 0.01 \times (20\pi)^2 \times 0.1$.
$F_{\text{max}} = 0.001 \times 400 \pi^2 = 0.4 \pi^2$.
$\pi^2 \approx 9.87$ का उपयोग करने पर,$F_{\text{max}} \approx 0.4 \times 9.87 = 3.948 \,N$.
निकटतम पूर्णांक में,$F_{\text{max}} \approx 4 \,N$.

(B) गति का समीकरण $x = A \cos(\omega t + \phi)$ है,जहाँ $A = 5.0 \, m$ और $\omega = 2 \pi \, rad \, s^{-1}$ है।
$S.H.M.$ में त्वरण $a$ का सूत्र $a = -\omega^2 x$ है।
सबसे पहले,$t = 1.5 \, s$ पर विस्थापन $x$ ज्ञात करें:
$x = 5 \cos(2 \pi \times 1.5 + \pi / 4) = 5 \cos(3 \pi + \pi / 4)$.
चूँकि $\cos(3 \pi + \theta) = -\cos(\theta)$:
$x = -5 \cos(\pi / 4) = -5 / \sqrt{2} \, m$.
अब,त्वरण की गणना करें:
$a = -\omega^2 x = -(2 \pi)^2 \times (-5 / \sqrt{2})$.
$a = 4 \pi^2 \times (5 / \sqrt{2}) = 4 \times 9.8696 \times 3.5355 \approx 139.56 \, m / s^2$.

(A) ग्राफ से,आयाम $A = 1 \ m$ और आवर्तकाल $T = 8 \ s$ है।
कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4} \ rad/s$ है।
गति का समीकरण $x(t) = A \sin(\omega t) = 1 \sin\left(\frac{\pi}{4} t\right)$ है।
त्वरण $a(t) = \frac{d^2x}{dt^2} = -\omega^2 x = -\omega^2 A \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
$t = 2 \ s$ पर मान रखने पर:
$a = -\left(\frac{\pi}{4}\right)^2 \times 1 \times \sin\left(\frac{\pi}{4} \times 2\right)$
$a = -\frac{\pi^2}{16} \times \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)$
चूंकि $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$,इसलिए:
$a = -\frac{\pi^2}{16} \ m/s^2$.

(D) सही विकल्प $D$ है।
$x-t$ ग्राफ से, $t = 0$ पर, कण $x = 0$ पर है।
अतः, कण अपनी माध्य स्थिति (mean position) से सरल आवर्त गति $(SHM)$ शुरू कर रहा है।
$SHM$ का सामान्य समीकरण $x = A \sin(\omega t)$ है।
ग्राफ से, आवर्तकाल $T = 8 \,s$ और आयाम $A = 1 \,cm$ है।
कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4} \,rad/s$ है।
इस प्रकार, गति का समीकरण $x = 1 \sin\left(\frac{\pi t}{4}\right)$ है।
$t = 4/3 \,s$ पर, विस्थापन $x = \sin\left(\frac{\pi}{4} \times \frac{4}{3}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \,cm$ है।
त्वरण $a$ का सूत्र $a = -\omega^2 x$ है।
मान रखने पर, $a = -\left(\frac{\pi}{4}\right)^2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\pi^2}{16} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{3}\pi^2}{32} \,cm/s^2$ प्राप्त होता है।

(D) $S.H.M.$ में कुल ऊर्जा $E = \frac{1}{2} k A^2$ होती है, जहाँ $k = m \omega^2$ बल नियतांक है और $A$ आयाम है।
दिया गया है कि गतिज ऊर्जा $K$ और स्थितिज ऊर्जा $U$ बराबर हैं, अर्थात $K = U = \frac{E}{2}$।
विस्थापन $x$ पर स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} k x^2$ होती है।
अतः, $\frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} k A^2) \implies x^2 = \frac{A^2}{2} \implies x = \frac{A}{\sqrt{2}}$।
विस्थापन $x$ पर कण पर कार्य करने वाला बल $F = kx = m \omega^2 x$ है।
अधिकतम बल $F_m = k A = 50 \,N$ है।
विस्थापन $x$ पर बल का परिमाण $F' = kx = k (\frac{A}{\sqrt{2}}) = \frac{F_m}{\sqrt{2}}$ होगा।
$F_m = 50 \,N$ रखने पर, हमें $F' = \frac{50}{\sqrt{2}} = 25 \sqrt{2} \,N$ प्राप्त होता है।

(C) सरल आवर्त गति ($S$.$H$.$M$.) करने वाले कण के लिए,विस्थापन $x$ पर स्थितिज ऊर्जा $E$ को $E = \frac{1}{2} k x^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k$ बल नियतांक है।
विस्थापन $x$ पर कण पर कार्य करने वाला प्रत्यानयन बल $F$,$F = -k x$ द्वारा दिया जाता है।
स्थितिज ऊर्जा के व्यंजक से,हमारे पास $2 E = k x^2$ है।
इस समीकरण को बल $F = -k x$ के व्यंजक से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{2 E}{F} = \frac{k x^2}{-k x}$
व्यंजक को सरल करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{2 E}{F} = -x$
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{2 E}{F} + x = 0$
अतः,सही संबंध $\frac{2 E}{F} + x = 0$ है।

(A) $S.H.M.$ में, विस्थापन $y = A \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
कण पर कार्य करने वाला बल $F = -ky = -k A \sin(\omega t)$ है, जहाँ $k$ बल नियतांक है।
यह समीकरण दर्शाता है कि बल विस्थापन के साथ $180^{\circ}$ (या $\pi$ रेडियन) के कलांतर में है।
यदि विस्थापन ग्राफ मूल बिंदु से शुरू होने वाली एक साइन तरंग है, तो बल ग्राफ मूल बिंदु से शुरू होने वाली एक उल्टी साइन तरंग (ऋणात्मक साइन तरंग) होनी चाहिए।
इसलिए, बल-समय ग्राफ समय अक्ष के सापेक्ष विस्थापन-समय ग्राफ का दर्पण प्रतिबिंब होगा।

(B) सरल आवर्त गति करने वाले कण का अधिकतम त्वरण $a_{max}$ सूत्र $a_{max} = \omega^2 A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\omega$ कोणीय आवृत्ति है और $A$ आयाम है।
यह दिया गया है कि आयाम $A_1$ और $A_2$ समान हैं $(A_1 = A_2 = A)$,इसलिए अधिकतम त्वरण का अनुपात है:
$\frac{a_{max,1}}{a_{max,2}} = \frac{\omega_1^2 A}{\omega_2^2 A} = \left( \frac{\omega_1}{\omega_2} \right)^2$
दिए गए मान $\omega_1 = 300 \ rad/s$ और $\omega_2 = 3000 \ rad/s$ रखने पर:
$\frac{a_{max,1}}{a_{max,2}} = \left( \frac{300}{3000} \right)^2 = \left( \frac{1}{10} \right)^2 = \frac{1}{100} = 1: 10^2$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) $S.H.M.$ में,कण का विस्थापन $x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि कण चरम स्थिति से शुरू होता है,$t = 0$ पर,$x = A$,जिसका अर्थ है $\phi = 0$। अतः,$x(t) = A \cos(\omega t)$।
त्वरण $a(t)$ विस्थापन के द्वितीय अवकलज द्वारा दिया जाता है: $a(t) = \frac{d^2x}{dt^2} = -\omega^2 A \cos(\omega t)$।
हम त्वरण को $a(t) = \omega^2 A \cos(\omega t + \pi)$ के रूप में लिख सकते हैं।
विस्थापन $(\omega t)$ और त्वरण $(\omega t + \pi)$ की कला की तुलना करने पर,कलांतर $\pi \ rad$ प्राप्त होता है।

(B) सही विकल्प $(B)$ है।
अवधारणा: $SHM$ के लिए,त्वरण $a = -\omega^2 x$ द्वारा दिया जाता है।
विस्थापन $x = A \sin(\omega t + \phi)$ है।
वेग विस्थापन का प्रथम अवकलज है: $v = \frac{dx}{dt} = A\omega \cos(\omega t + \phi)$।
त्वरण वेग का अवकलज है: $a = \frac{dv}{dt} = -A\omega^2 \sin(\omega t + \phi)$।
चरम स्थितियों पर,विस्थापन $x = \pm A$ होता है,इसलिए त्वरण $a = \mp A\omega^2$ अधिकतम (परिमाण में) होता है,और वेग $v = 0$ होता है।
माध्य स्थिति पर,विस्थापन $x = 0$ होता है,इसलिए त्वरण $a = 0$ होता है,और वेग $v = \pm A\omega$ अधिकतम होता है।
अतः,जब '$a$' अधिकतम होता है,तो '$v$' शून्य होता है।

(C) अवधारणा: यदि तख्ते का नीचे की ओर त्वरण गुरुत्वीय त्वरण से अधिक हो जाता है,तो लकड़ी का घन ऊपरी चरम स्थिति पर तख्ते को छोड़ देगा।
ब्लॉक द्वारा तख्ते को न छोड़ने के लिए,अभिलंब बल $N \geq 0$ होना चाहिए।
ब्लॉक के फ्री बॉडी डायग्राम से,गति का समीकरण: $mg - N = ma$ है।
ब्लॉक के संपर्क में रहने के लिए,$N \geq 0$,जिसका अर्थ है $mg \geq ma$,या $a \leq g$।
$S$.$H$.$M$. में,अधिकतम त्वरण $a_{max} = \omega^2 A$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,ब्लॉक के तख्ते को न छोड़ने की शर्त $\omega^2 A \leq g$,या $A \leq \frac{g}{\omega^2}$ है।
दी गई आवृत्ति $f = \frac{3}{\pi} \text{ Hz}$ है।
कोणीय आवृत्ति $\omega = 2\pi f = 2\pi \left( \frac{3}{\pi} \right) = 6 \text{ rad/s}$ है।
मान रखने पर: $A \leq \frac{10}{6^2} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18} \text{ m}$।
अतः,अधिकतम आयाम $\frac{5}{18} \text{ m}$ है।

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 5 \,g = 5 \times 10^{-3} \,kg$,आयाम $A = 0.3 \,m$,आवर्तकाल $T = \frac{\pi}{5} \,s$।
कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{\pi/5} = 10 \,rad/s$।
सरल आवर्त गति में कण पर कार्य करने वाला अधिकतम बल $F_{max} = m\omega^2A$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $F_{max} = (5 \times 10^{-3} \,kg) \times (10 \,rad/s)^2 \times (0.3 \,m)$।
$F_{max} = 5 \times 10^{-3} \times 100 \times 0.3 = 5 \times 10^{-1} \times 0.3 = 0.5 \times 0.3 = 0.15 \,N$।

(C) विस्थापन के लिए दिया गया समीकरण $x = 5 \sin (3t + 3)$ है।
इसे $S.H.M.$ के मानक समीकरण $x = A \sin (\omega t + \phi)$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
आयाम $A = 5 \ cm$
कोणीय आवृत्ति $\omega = 3 \ rad/s$
$S.H.M.$ में कण के अधिकतम त्वरण का सूत्र $a_{max} = A \omega^2$ है।
मान रखने पर,हमें $a_{max} = 5 \times (3)^2$ प्राप्त होता है।
$a_{max} = 5 \times 9 = 45 \ cm \ s^{-2}$.

(A) सरल आवर्त गति में,त्वरण $a$ का सूत्र $a = -\omega^2 x$ है,जहाँ $\omega$ कोणीय आवृत्ति है और $x$ माध्य स्थिति से विस्थापन है।
माध्य स्थिति पर,विस्थापन $x = 0$ होता है।
सूत्र में $x = 0$ रखने पर,हमें $a = -\omega^2 (0) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,माध्य स्थिति पर भार का त्वरण शून्य होता है।

(A) $S.H.M.$ कर रहे एक कण के लिए,समय $t$ के फलन के रूप में विस्थापन $x$ को $x = A \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ आयाम है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
$S.H.M.$ के लिए हुक के नियम के अनुसार,प्रत्यानयन बल $F$ को $F = -kx$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k$ बल नियतांक है।
$x$ के लिए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $F = -k(A \sin(\omega t)) = -kA \sin(\omega t)$ प्राप्त होता है।
यह समीकरण दर्शाता है कि बल $F$,विस्थापन $x$ के ऋणात्मक मान के समानुपाती है।
इसलिए,बल-समय ग्राफ विस्थापन-समय ग्राफ का उल्टा रूप होगा। यदि विस्थापन ग्राफ मूल बिंदु से शुरू होकर धनात्मक दिशा में जाता है,तो बल ग्राफ को मूल बिंदु से शुरू होकर ऋणात्मक दिशा में जाना चाहिए।

(D) दोलन का विस्तार $L$ चरम स्थितियों के बीच की कुल दूरी है,जो $2A$ के बराबर है,जहाँ $A$ दोलन का आयाम है।
इसलिए,$A = \frac{L}{2}$.
कोणीय आवृत्ति $\omega$ को $\omega = 2 \pi f$ द्वारा दिया जाता है।
$S.H.M.$ में एक कण का त्वरण $a = -\omega^{2} x$ द्वारा दिया जाता है।
दोलन के शीर्ष पर (चरम स्थिति),विस्थापन $x = A = \frac{L}{2}$ होता है।
मान रखने पर,त्वरण का परिमाण $|a| = \omega^{2} A = (2 \pi f)^{2} \times \frac{L}{2}$ है।
$|a| = 4 \pi^{2} f^{2} \times \frac{L}{2} = 2 \pi^{2} f^{2} L$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) $SHM$ की पथ लंबाई $2A$ के बराबर होती है,जहाँ $A$ आयाम है।
दी गई पथ लंबाई $= 0.01 \ m$,इसलिए $2A = 0.01 \ m$,जिसका अर्थ है $A = 0.005 \ m$.
आवृत्ति $f = 50 \ Hz$.
$SHM$ में कण पर कार्य करने वाला अधिकतम बल $F_{max} = m \omega^2 A$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $\omega = 2 \pi f$,इसलिए $F_{max} = m (2 \pi f)^2 A = m (4 \pi^2 f^2) A$.
मान रखने पर: $F_{max} = 1 \times 4 \times \pi^2 \times (50)^2 \times 0.005$.
$F_{max} = 4 \times \pi^2 \times 2500 \times 0.005$.
$F_{max} = 10000 \times \pi^2 \times 0.005 = 50 \pi^2 \ N$.

(C) $SHM$ कर रहे कण का त्वरण $a = -\omega^{2} x$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $x = A \sin(\omega t + \phi)$ है।
एक पूर्ण दोलन (समय अवधि $T$) पर औसत त्वरण ज्ञात करने के लिए,हम $[0, T]$ अंतराल पर त्वरण का समाकलन करते हैं और इसे $T$ से विभाजित करते हैं।
$\text{औसत त्वरण} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} a(t) dt = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} -\omega^{2} A \sin(\omega t + \phi) dt$.
चूंकि एक पूर्ण आवर्तकाल पर साइन फलन का समाकलन शून्य होता है,इसलिए औसत त्वरण $0$ है।

(B) $SHM$ में एक कण का अधिकतम वेग $v = a \omega$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a$ विस्थापन का आयाम है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
इससे,हम कोणीय आवृत्ति ज्ञात कर सकते हैं: $\omega = \frac{v}{a}$.
अधिकतम त्वरण (त्वरण का आयाम) $A_{max} = \omega^2 a$ द्वारा दिया जाता है।
त्वरण के सूत्र में $\omega$ का मान रखने पर:
$A_{max} = \left(\frac{v}{a}\right)^2 \times a = \frac{v^2}{a^2} \times a = \frac{v^2}{a}$.

(C) वस्तु के प्लेटफॉर्म पर बने रहने के लिए, अभिलंब बल $N$ शून्य या उससे अधिक होना चाहिए। $m$ द्रव्यमान की वस्तु के लिए गति का समीकरण $mg - N = ma$ है, जहाँ $a$ प्लेटफॉर्म का त्वरण है।
वस्तु के सतह से संपर्क खोने के लिए, अभिलंब बल $N = 0$ हो जाता है।
अतः, $mg = ma$, जिसका अर्थ है $a = g$।
$S.H.M.$ में कण का त्वरण $a = A\omega^2$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $A$ आयाम है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
अलग होने से बचने के लिए, प्लेटफॉर्म का अधिकतम नीचे की ओर त्वरण $g$ से अधिक नहीं होना चाहिए।
इसलिए, $A\omega^2 \leq g$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, $A = 40 \text{ cm} = 0.4 \text{ m}$ और $g = 10 \text{ m/s}^2$:
$0.4 \omega^2 = 10$
$\omega^2 = \frac{10}{0.4} = 25$
$\omega = 5 \text{ rad/s}$।
चूंकि $\omega = \frac{2\pi}{T}$, हमारे पास है:
$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{5} = 0.4\pi \text{ s}$।
अतः, दोलन का न्यूनतम आवर्तकाल $0.4\pi \text{ s}$ है।

(B) दी गई आवृत्ति $f = 0.5 \,Hz$ है।
कोणीय आवृत्ति $\omega = 2 \pi f = 2 \pi (0.5) = \pi \,rad/s$ है।
ब्लॉक को पिस्टन के संपर्क में रहने के लिए, चरम स्थिति पर पिस्टन का नीचे की ओर त्वरण गुरुत्वीय त्वरण $g$ से अधिक नहीं होना चाहिए।
ब्लॉक के संपर्क न खोने की शर्त $a_{max} = g$ है।
चूंकि $a_{max} = \omega^2 A$, इसलिए $\omega^2 A = g$ होगा।
मान रखने पर, $\pi^2 A = 10$ प्राप्त होता है।
$\pi^2 \approx 10$ लेने पर, हमें $10 A = 10$ मिलता है।
अतः, $A = 1 \,m$।

(D) दिया गया बल समीकरण $F = -75 y$ है। इसे सरल आवर्त गति के मानक समीकरण $F = -ky$ से तुलना करने पर, बल नियतांक $k = 75 \,N/m$ प्राप्त होता है।
दिए गए द्रव्यमान $m = 3 \,kg$ के लिए, कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{75}{3}} = \sqrt{25} = 5 \,rad/s$ है।
माध्य स्थिति पर वेग अधिकतम वेग $V_{\max} = 2.5 \,m/s$ होता है।
चूँकि $V_{\max} = A\omega$, आयाम $A = \frac{V_{\max}}{\omega} = \frac{2.5}{5} = 0.5 \,m$ है।
अधिकतम त्वरण $a_{\max} = \omega^2 A$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर, $a_{\max} = (5)^2 \times 0.5 = 25 \times 0.5 = 12.5 \,m/s^2$ प्राप्त होता है।

(D) कण का विस्थापन $x = x_0 \sin \left(\omega t - \frac{\pi}{6}\right)$ द्वारा दिया गया है।
त्वरण $a$ का मान $a = \frac{d^2x}{dt^2} = -\omega^2 x$ होता है।
$x$ का व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर:
$a = -\omega^2 x_0 \sin \left(\omega t - \frac{\pi}{6}\right)$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $-\sin(\theta) = \sin(\theta + \pi)$ का उपयोग करने पर:
$a = \omega^2 x_0 \sin \left(\omega t - \frac{\pi}{6} + \pi\right)$.
$a = \omega^2 x_0 \sin \left(\omega t + \frac{5\pi}{6}\right)$.
इसकी तुलना $a = A \sin(\omega t + \delta)$ से करने पर,हमें $A = x_0 \omega^2$ और $\delta = \frac{5\pi}{6}$ प्राप्त होता है।

(C) सरल आवर्त गति $(SHM)$ करने वाले कण पर अधिकतम बल $F_{\max} = m \omega^2 a = 10 \,N$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $m$ द्रव्यमान है, $\omega$ कोणीय आवृत्ति है और $a$ आयाम है।
माध्य स्थिति पर, विस्थापन $y = 0$ होता है। चरम स्थिति पर, विस्थापन $y = a$ होता है।
किसी भी विस्थापन $y$ पर कण पर लगने वाला बल $F = m \omega^2 y$ होता है।
जब कण माध्य और चरम स्थितियों के बीच में होता है, तो विस्थापन $y = \frac{a}{2}$ होता है।
इस मान को बल के समीकरण में रखने पर:
$F = m \omega^2 \left(\frac{a}{2}\right) = \frac{1}{2} (m \omega^2 a)$।
चूंकि $m \omega^2 a = 10 \,N$ है, इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$F = \frac{1}{2} \times 10 \,N = 5 \,N$।

(C) $SHM$ कर रहे एक कण का त्वरण निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\alpha = -\omega^2 y$
जहाँ $\alpha$ त्वरण है,$\omega$ कोणीय आवृत्ति है,और $y$ माध्य स्थिति से विस्थापन है।
संबंध $\alpha \propto y$ से यह स्पष्ट है कि त्वरण का परिमाण संतुलन स्थिति से विस्थापन के सीधे आनुपातिक होता है।
माध्य स्थिति से कण का अधिकतम विस्थापन आयाम $A$ के बराबर होता है।
इसलिए,त्वरण तब अधिकतम होता है जब विस्थापन $y$ अधिकतम होता है (अर्थात चरम स्थितियों पर जहाँ $y = \pm A$ होता है)।

(A) चित्र में दर्शाया गया विस्थापन-समय ग्राफ एक ज्या तरंग (sine wave) है, इसलिए विस्थापन का समीकरण $x = A \sin(\omega t)$ है।
ग्राफ से, आयाम $A = 1 \,cm$ और आवर्तकाल $T = 8 \,s$ है।
अतः, कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2 \pi}{T} = \frac{2 \pi}{8} = \frac{\pi}{4} \,rad/s$ है।
विस्थापन का समीकरण $x = 1 \sin\left(\frac{\pi}{4} t\right)$ है।
सरल आवर्त गति में त्वरण $a$ का सूत्र $a = -\omega^2 x = -\omega^2 A \sin(\omega t)$ होता है।
$t = \frac{4}{3} \,s$ पर मान रखने पर:
$a = -\left(\frac{\pi}{4}\right)^2 \times 1 \times \sin\left(\frac{\pi}{4} \times \frac{4}{3}\right)$
$a = -\frac{\pi^2}{16} \times \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)$
$a = -\frac{\pi^2}{16} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{32} \pi^2 \,cm \,s^{-2}$ प्राप्त होता है।
अतः, सही विकल्प $A$ है।

(C) सरल आवर्त दोलक के लिए माध्य स्थिति से $x$ विस्थापन पर त्वरण का परिमाण $a = \omega^2 x$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$\omega$ कोणीय आवृत्ति है,जिसे $\omega = \frac{2 \pi}{T}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
दिया गया है: आवर्तकाल $T = 2 \ s$,विस्थापन $x = 0.25 \ m$।
सबसे पहले,कोणीय आवृत्ति की गणना करें: $\omega = \frac{2 \pi}{2} = \pi \ rad/s$।
अब,मानों को त्वरण के सूत्र में रखें: $a = (\pi)^2 \times 0.25$।
चूंकि $0.25 = \frac{1}{4}$,इसलिए हमें $a = \pi^2 \times \frac{1}{4} = \frac{\pi^2}{4} \ m \ s^{-2}$ प्राप्त होता है।

(B) $SHM$ में एक कण का त्वरण $a(t) = -\omega^2 x = -\omega^2 A \cos(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
चरम स्थिति पर,$x = A$ $(t = 0)$,और संतुलन स्थिति पर,$x = 0$ $(t = \frac{\pi}{2\omega})$।
औसत त्वरण $A_{\text{avg}}$ को $\frac{1}{\Delta t} \int_{0}^{\Delta t} a(t) dt$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
यहाँ,$\Delta t = \frac{\pi}{2\omega}$ है।
$A_{\text{avg}} = \frac{1}{\pi / 2\omega} \int_{0}^{\pi / 2\omega} \omega^2 A \cos(\omega t) dt = \frac{2\omega}{\pi} [A \sin(\omega t)]_{0}^{\pi / 2\omega} = \frac{2\omega A}{\pi} (1 - 0) = \frac{2\omega^2 A}{\pi}$।
चूंकि अधिकतम त्वरण $A_{\max} = \omega^2 A$ है,इसलिए अनुपात $\frac{A_{\text{avg}}}{A_{\max}} = \frac{2\omega^2 A / \pi}{\omega^2 A} = \frac{2}{\pi}$ है।