Acceleration and Force of Simple Harmonic Motion Questions in Hindi

(A) कण का विस्थापन $x=x_0 \cos \left(\omega t-\frac{\pi}{4}\right)$ द्वारा दिया गया है।
वेग $v$,समय के सापेक्ष विस्थापन का प्रथम अवकलज है: $v = \frac{dx}{dt} = -x_0 \omega \sin \left(\omega t-\frac{\pi}{4}\right)$.
त्वरण $a$,समय के सापेक्ष वेग का अवकलज है: $a = \frac{dv}{dt} = -x_0 \omega^2 \cos \left(\omega t-\frac{\pi}{4}\right)$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos(\theta + \pi) = -\cos(\theta)$ का उपयोग करके,हम त्वरण को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$a = x_0 \omega^2 \cos \left(\omega t - \frac{\pi}{4} + \pi\right) = x_0 \omega^2 \cos \left(\omega t + \frac{3\pi}{4}\right)$.
$a = A \cos(\omega t - \delta)$ के रूप से तुलना करने के लिए,हम कला (phase) को $\omega t - (-\frac{3\pi}{4})$ के रूप में लिखते हैं।
अतः,$A = x_0 \omega^2$ और $\delta = -\frac{3\pi}{4}$ प्राप्त होता है।

(A) सरल आवर्त गति के लिए विस्थापन समीकरण $x = 6 \cos \left(2 \pi t + \frac{\pi}{3}\right)$ दिया गया है।
वेग $v$,विस्थापन का समय के सापेक्ष प्रथम अवकलन है:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} \left[6 \cos \left(2 \pi t + \frac{\pi}{3}\right)\right] = -6 \sin \left(2 \pi t + \frac{\pi}{3}\right) \times 2 \pi = -12 \pi \sin \left(2 \pi t + \frac{\pi}{3}\right)$.
त्वरण $a$,वेग का समय के सापेक्ष अवकलन है:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt} \left[-12 \pi \sin \left(2 \pi t + \frac{\pi}{3}\right)\right] = -12 \pi \cos \left(2 \pi t + \frac{\pi}{3}\right) \times 2 \pi = -24 \pi^2 \cos \left(2 \pi t + \frac{\pi}{3}\right)$.
$t = 1 \ s$ पर,त्वरण:
$a = -24 \pi^2 \cos \left(2 \pi(1) + \frac{\pi}{3}\right) = -24 \pi^2 \cos \left(2 \pi + \frac{\pi}{3}\right)$.
चूंकि $\cos(2 \pi + \theta) = \cos \theta$,इसलिए $\cos \left(2 \pi + \frac{\pi}{3}\right) = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$.
अतः,$a = -24 \pi^2 \times \frac{1}{2} = -12 \pi^2 \ m/s^2$.
त्वरण का परिमाण $|a| = 12 \pi^2 \ m/s^2$ है।

(B) पिंड का विस्थापन $x = 3 \cos \left( 2 \pi t + \frac{\pi}{4} \right)$ है।
वेग $v$ विस्थापन का समय के सापेक्ष प्रथम अवकलन है: $v = \frac{dx}{dt} = -3 \sin \left( 2 \pi t + \frac{\pi}{4} \right) \cdot (2 \pi) = -6 \pi \sin \left( 2 \pi t + \frac{\pi}{4} \right)$।
त्वरण $a$ वेग का समय के सापेक्ष अवकलन है: $a = \frac{dv}{dt} = -6 \pi \cos \left( 2 \pi t + \frac{\pi}{4} \right) \cdot (2 \pi) = -12 \pi^2 \cos \left( 2 \pi t + \frac{\pi}{4} \right)$।
$t = 2 \text{ s}$ पर,त्वरण $a = -12 \pi^2 \cos \left( 2 \pi (2) + \frac{\pi}{4} \right) = -12 \pi^2 \cos \left( 4 \pi + \frac{\pi}{4} \right)$ होगा।
चूंकि $\cos(4 \pi + \theta) = \cos \theta$,इसलिए $a = -12 \pi^2 \cos \left( \frac{\pi}{4} \right) = -12 \pi^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = -6 \sqrt{2} \pi^2 \text{ m/s}^2$ प्राप्त होता है।

(B) एक सरल आवर्त दोलक का अधिकतम त्वरण $a_{max} = \omega^2 A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\omega$ कोणीय आवृत्ति है और $A$ आयाम है।
अधिकतम वेग $v_{max} = \omega A$ द्वारा दिया जाता है।
प्रश्न के अनुसार,अधिकतम त्वरण का परिमाण अधिकतम वेग का $\pi$ गुना है:
$a_{max} = \pi \cdot v_{max}$
सूत्रों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\omega^2 A = \pi \cdot \omega A$
दोनों पक्षों को $\omega A$ से विभाजित करने पर (मान लें कि $\omega, A \neq 0$):
$\omega = \pi$
हम जानते हैं कि कोणीय आवृत्ति $\omega$ और आवर्तकाल $T$ के बीच संबंध $\omega = \frac{2\pi}{T}$ होता है।
$\omega = \pi$ रखने पर:
$\pi = \frac{2\pi}{T}$
$T = 2 \text{ s}$.

(D) $SHM$ के लिए दिया गया विस्थापन समीकरण $y = 2 \sin \left(\frac{\pi t}{2} + \phi\right) \text{ cm}$ है।
इसे मानक $SHM$ समीकरण $y = A \sin(\omega t + \phi)$ के साथ तुलना करने पर,हमें आयाम $A = 2 \text{ cm}$ और कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{\pi}{2} \text{ rad/s}$ प्राप्त होता है।
$SHM$ में अधिकतम त्वरण का सूत्र $a_{\max} = \omega^2 A$ है।
मान रखने पर,$a_{\max} = \left(\frac{\pi}{2}\right)^2 \times 2$.
$a_{\max} = \frac{\pi^2}{4} \times 2 = \frac{\pi^2}{2} \text{ cm/s}^2$.

(A) सरल आवर्त गति में,त्वरण $f$ को $f = -\omega^2 x$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\omega$ कोणीय आवृत्ति है और $x$ विस्थापन है।
परिमाण लेने पर,हमारे पास $|f| = \omega^2 |x|$ है।
आवर्तकाल $T$ को $T = \frac{2\pi}{\omega}$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,गुणनफल $|fT|$ है:
$|fT| = |f| \cdot T = (\omega^2 |x|) \cdot \left(\frac{2\pi}{\omega}\right) = 2\pi\omega |x|$.
चूंकि $2\pi\omega$ एक स्थिरांक है,संबंध $|fT| = (2\pi\omega) |x|$ $y = mx$ के रूप का एक रैखिक समीकरण दर्शाता है,जहाँ $y = |fT|$ और $x$ विस्थापन है।
अतः,$|fT|$ बनाम $x$ का ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है।

(C) सरल आवर्त गति $(SHM)$ में,कंपन करने वाले कण का त्वरण $a$,संबंध $a = \omega^2 x$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\omega$ कोणीय आवृत्ति है और $x$ माध्य स्थिति से विस्थापन है।
दिया गया है: त्वरण $a = 16 \ cm/s^2$ और विस्थापन $x = 4 \ cm$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$16 = \omega^2 \times 4$
$\omega^2 = \frac{16}{4} = 4$
$\omega = 2 \ rad/s$
आवर्तकाल $T$ कोणीय आवृत्ति से $T = \frac{2\pi}{\omega}$ सूत्र द्वारा संबंधित है।
$T = \frac{2\pi}{2} = \pi \ s$
$\pi \approx 3.142$ का उपयोग करने पर,हमें $T = 3.142 \ s$ प्राप्त होता है।