Acceleration and Force of Simple Harmonic Motion Questions in Hindi

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 0.3 \, kg$,बल नियतांक $k = 15 \, N/m$,और विस्थापन $x = 20 \, cm = 0.2 \, m$ है।
हुक के नियम के अनुसार,बल का परिमाण $F = kx$ होता है।
मान रखने पर: $F = 15 \times 0.2 = 3 \, N$ प्राप्त होता है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$F = ma$,इसलिए त्वरण $a = \frac{F}{m}$ होगा।
मान रखने पर: $a = \frac{3}{0.3} = 10 \, m/s^2$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रारंभिक त्वरण $10 \, m/s^2$ है।

(C) सरल आवर्त गति में एक कण का त्वरण $a = \omega^2 y$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\omega$ कोणीय आवृत्ति है और $y$ विस्थापन है।
दिया गया है $a = 0.5 \, m/s^2$ और $y = 0.02 \, m$.
$\omega^2 = \frac{a}{y} = \frac{0.5}{0.02} = 25$.
$\omega = \sqrt{25} = 5 \, rad/s$.
अधिकतम वेग $v_{\max} = A\omega$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ आयाम है।
दिया गया है $A = 0.1 \, m$.
$v_{\max} = 0.1 \times 5 = 0.5 \, m/s$.

(C) $S.H.M.$ निष्पादित कर रहे एक कण का त्वरण $a$ सूत्र $a = -{\omega ^2}x$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\omega$ कोणीय आवृत्ति है और $x$ साम्यावस्था से विस्थापन है।
साम्यावस्था पर,$x = 0$ होता है,इसलिए त्वरण शून्य होता है।
चरम स्थितियों पर,विस्थापन $x$ आयाम $A$ के बराबर होता है (अर्थात $x = \pm A$)।
इसलिए,त्वरण का परिमाण $|a| = {\omega ^2}A$ होता है,जो कि अधिकतम मान है।
अतः,त्वरण चरम स्थिति पर अधिकतम होता है।

(D) कण का विस्थापन $y = a \sin \omega t$ द्वारा दिया गया है।
वेग $v$,विस्थापन का समय के सापेक्ष अवकलन है: $v = \frac{dy}{dt} = a \omega \cos \omega t$.
त्वरण $A$,वेग का समय के सापेक्ष अवकलन है: $A = \frac{dv}{dt} = -a \omega^2 \sin \omega t$.
दिया गया है कि $t = \frac{T}{4}$ और हम जानते हैं कि $\omega = \frac{2\pi}{T}$,इसलिए $\omega t = \frac{2\pi}{T} \times \frac{T}{4} = \frac{\pi}{2}$.
इस मान को त्वरण के समीकरण में रखने पर: $A = -a \omega^2 \sin(\frac{\pi}{2}) = -a \omega^2 (1) = -a \omega^2$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) $S.H.M.$ निष्पादित कर रहे कण का अधिकतम त्वरण $a_{max} = A\omega^2$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$A = 0.01 \, m$ आयाम है और $n = 60 \, Hz$ आवृत्ति है।
चूँकि $\omega = 2\pi n$,इसलिए $\omega^2 = 4\pi^2 n^2$ होगा।
मान रखने पर: $a_{max} = 0.01 \times 4\pi^2 \times (60)^2$.
$a_{max} = 0.01 \times 4\pi^2 \times 3600$.
$a_{max} = 144\pi^2 \, m/s^2$.

(A) $S.H.M.$ में अधिकतम बल $F_{\max} = m \cdot a_{\max}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a_{\max} = A \omega^2$ है।
दिया गया है: द्रव्यमान $m = 0.10 \, kg$,आयाम $A = 1.0 \, m$,और आवर्तकाल $T = 0.20 \, s$.
कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0.20} = 10\pi \, rad/s$.
अधिकतम त्वरण $a_{\max} = A \omega^2 = 1.0 \times (10\pi)^2 = 100\pi^2 \, m/s^2$.
अधिकतम बल $F_{\max} = m \cdot a_{\max} = 0.10 \times 100\pi^2 = 10\pi^2 \, N$.
$\pi^2 \approx 9.8596$ का उपयोग करने पर,$F_{\max} = 10 \times 9.8596 = 98.596 \, N$ प्राप्त होता है।

(D) सरल आवर्त गति $(SHM)$ में,त्वरण $a$ को $a = -\omega^2 x$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\omega$ कोणीय आवृत्ति है और $x$ साम्यावस्था से विस्थापन है।
साम्यावस्था पर,$x = 0$,इसलिए त्वरण $a = 0$ होता है,जो कि न्यूनतम मान है।
चरम स्थितियों पर,$x = \pm A$ (जहाँ $A$ आयाम है),इसलिए त्वरण $a = \mp \omega^2 A$ होता है,जो कि अधिकतम मान है।
अतः,यह कथन कि साम्यावस्था पर त्वरण अधिकतम होता है,गलत है।
सही विकल्प $D$ है।

(D) कण का द्रव्यमान $m = 10 \text{ g} = 0.01 \text{ kg}$ है।
आयाम $A = 0.5 \text{ m}$ है।
आवर्तकाल $T = \pi / 5 \text{ s}$ है।
कोणीय आवृत्ति $\omega = 2\pi / T = 2\pi / (\pi / 5) = 10 \text{ rad/s}$ है।
सरल आवर्त गति में कण पर कार्य करने वाला अधिकतम बल $F_{\text{max}} = m \omega^2 A$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $F_{\text{max}} = 0.01 \times (10)^2 \times 0.5$.
$F_{\text{max}} = 0.01 \times 100 \times 0.5 = 1 \times 0.5 = 0.5 \text{ N}$.

(D) विस्थापन के लिए दिया गया समीकरण $y = \sin \left( \frac{\pi t}{4} + \frac{\pi}{6} \right)$ है।
इसे मानक $SHM$ समीकरण $y = A \sin(\omega t + \phi)$ के साथ तुलना करने पर,हमें आयाम $A = 1 \ cm$ और कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{\pi}{4} \ rad/s$ प्राप्त होती है।
$SHM$ में कण का त्वरण $a = -\omega^2 y$ द्वारा दिया जाता है।
अधिकतम त्वरण $a_{\max} = \omega^2 A$ द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $a_{\max} = \left( \frac{\pi}{4} \right)^2 \times 1 = \frac{\pi^2}{16}$।
$\pi^2 \approx 9.869$ का उपयोग करने पर,हमें $a_{\max} = \frac{9.869}{16} \approx 0.6168 \ cm/s^2$ प्राप्त होता है।
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,$a_{\max} \approx 0.62 \ cm/s^2$ प्राप्त होता है।

(A) सरल आवर्त गति $(S.H.M.)$ करने वाले कण के लिए,प्रत्यानयन बल माध्य स्थिति से विस्थापन के ऋणात्मक मान के सीधे समानुपाती होता है।
गणितीय रूप से,इसे $F = -kx$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,जहाँ $k$ बल स्थिरांक है।
चूंकि $A$ और $K$ धनात्मक स्थिरांक दिए गए हैं,इसलिए इस गति के लिए बल का समीकरण $F = -AKx$ होगा।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) सरल आवर्त गति करने वाले कण का अधिकतम त्वरण $(a_{\max})$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $a_{\max} = A\omega^2$,जहाँ $A$ आयाम है और $\omega$ कोणीय वेग है।
दिया गया है:
कोणीय वेग $\omega = 3.5\, rad/s$
अधिकतम त्वरण $a_{\max} = 7.5\, m/s^2$
आयाम $A$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$A = \frac{a_{\max}}{\omega^2}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$A = \frac{7.5}{(3.5)^2} = \frac{7.5}{12.25} \approx 0.61\, m$
अतः,दोलन का आयाम $0.61\, m$ है।

(A) विस्थापन समीकरण $x = A \cos(\omega t + \phi)$ है,जहाँ $A = 10\, cm = 0.10\, m$ और $\omega = 10\, rad/s$ है।
सरल आवर्त गति में कण का त्वरण $a = -\omega^2 x$ द्वारा दिया जाता है।
अधिकतम त्वरण $a_{\max}$ का सूत्र $a_{\max} = \omega^2 A$ है।
दिए गए मानों को रखने पर: $a_{\max} = (10\, rad/s)^2 \times (0.10\, m) = 100 \times 0.10 = 10\, m/s^2$.
अतः,ब्लॉक द्वारा अनुभव किया गया अधिकतम त्वरण $10\, m/s^2$ है।

(A) $S.H.M.$ में एक कण का त्वरण $a = -{\omega ^2}x$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $x$ साम्यावस्था से विस्थापन है।
अधिकतम त्वरण तब होता है जब विस्थापन $x$ अधिकतम हो,जो आयाम $A$ के बराबर होता है।
इसलिए,$|a_{\max}| = {\omega ^2}A$.
यह चरम स्थितियों पर,यानी आयाम पर होता है।

(D) सरल आवर्त गति करने वाले कण का अधिकतम त्वरण $(a_{\max})$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $a_{\max} = \omega^2 A$,जहाँ $\omega = 2\pi f$.
दिया गया है: आयाम $(A)$ = $0.02 \ m$,आवृत्ति $(f)$ = $50 \ Hz$.
सबसे पहले,कोणीय आवृत्ति की गणना करें: $\omega = 2 \times \pi \times 50 = 100\pi \ rad/s$.
अब,अधिकतम त्वरण की गणना करें: $a_{\max} = (100\pi)^2 \times 0.02$.
$a_{\max} = 10000 \pi^2 \times 0.02 = 200 \pi^2 \ m/s^2$.

(D) $SHM$ कर रहे एक कण का विस्थापन $x = A \sin(\omega t + \phi)$ द्वारा दिया जाता है।
वेग $v = \frac{dx}{dt} = A\omega \cos(\omega t + \phi)$ है।
त्वरण $a = \frac{dv}{dt} = -A\omega^2 \sin(\omega t + \phi) = -\omega^2 x$ है।
माध्य स्थिति (mean position) पर,विस्थापन $x = 0$ होता है।
त्वरण के सूत्र में $x = 0$ रखने पर,हमें $a = -\omega^2(0) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$SHM$ कर रहे कण का उसकी माध्य स्थिति पर त्वरण शून्य होता है।

(D) सरल आवर्त गति $(S.H.M.)$ में,विस्थापन $y = A \sin(\omega t + \phi)$ द्वारा दिया जाता है।
वेग $v = \frac{dy}{dt} = A\omega \cos(\omega t + \phi)$ होता है।
त्वरण $a = \frac{dv}{dt} = -A\omega^2 \sin(\omega t + \phi) = -\omega^2 y$ होता है।
माध्य स्थिति $(y = 0)$ पर,वेग $v$ अधिकतम $(v_{max} = A\omega)$ होता है और त्वरण $a$ शून्य $(a = -\omega^2(0) = 0)$ होता है।
चरम स्थितियों $(y = \pm A)$ पर,वेग $v$ शून्य होता है और त्वरण $a$ अधिकतम $(a_{max} = \pm \omega^2 A)$ होता है।
अतः,जब $v$ अधिकतम होता है,तब $a$ शून्य होता है।

(B) दिए गए समीकरण $y = 2\sin \left( {\frac{{\pi t}}{2} + \phi } \right)$ की तुलना मानक $SHM$ समीकरण $y = A\sin (\omega t + \phi )$ से करने पर:
हमें आयाम $A = 2 \text{ cm}$ और कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{\pi }{2} \text{ rad/s}$ प्राप्त होता है।
अधिकतम त्वरण $a_{max}$ का सूत्र $a_{max} = \omega^2 A$ है।
मान रखने पर: $a_{max} = \left( \frac{\pi }{2} \right)^2 \times 2 = \frac{\pi^2}{4} \times 2 = \frac{\pi^2}{2} \text{ cm/s}^2$.

(C) सरल आवर्त गति करने वाले कण का त्वरण $a$,समीकरण $a = -{\omega}^2 x$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ ${\omega}$ कोणीय आवृत्ति है और $x$ विस्थापन है।
त्वरण और विस्थापन के अनुपात का परिमाण लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$|a/x| = |-{\omega}^2 x / x| = {\omega}^2$.
अतः,त्वरण और विस्थापन का अनुपात कोणीय आवृत्ति के वर्ग के बराबर होता है।

(D) $S.H.M.$ कर रहे एक कण के लिए,त्वरण $a$ को $a = -\omega^2 x$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $x$ माध्य स्थिति से विस्थापन है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
दिया गया है: विस्थापन $x = 3\;cm$ और त्वरण $a = 12\;cm/s^2$ है।
परिमाण लेने पर: $12 = \omega^2 \times 3$.
$\omega^2 = \frac{12}{3} = 4$.
$\omega = 2\;rad/s$.
आवर्तकाल $T$ को $T = \frac{2\pi}{\omega}$ द्वारा दिया जाता है।
$T = \frac{2\pi}{2} = \pi\;s$.
$\pi \approx 3.14$ का उपयोग करने पर,हमें $T = 3.14\;s$ प्राप्त होता है।

(A) एक सरल आवर्त दोलक के लिए,त्वरण $a$ का परिमाण संबंध $a = \omega^2 x$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\omega$ कोणीय आवृत्ति है और $x$ विस्थापन है।
दिया गया है: $x = 0.02\, m$ और $a = 2.0\, m\, s^{-2}$.
कोणीय आवृत्ति के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\omega = \sqrt{\frac{a}{x}}$.
मान रखने पर: $\omega = \sqrt{\frac{2.0}{0.02}} = \sqrt{\frac{200}{2}} = \sqrt{100}$.
अतः,$\omega = 10\, rad\, s^{-1}$.

(B) दिया गया विस्थापन समीकरण: $x = 12 \sin \omega t - 16 \sin^3 \omega t$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin 3\theta = 3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta$ का उपयोग करते हुए,हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$x = 4(3 \sin \omega t - 4 \sin^3 \omega t) = 4 \sin(3 \omega t)$.
यह एक $S.H.M.$ को दर्शाता है जिसका आयाम $A = 4 \ cm$ और कोणीय आवृत्ति $\omega' = 3 \omega$ है।
$S.H.M.$ में त्वरण $a = -\omega'^2 x$ द्वारा दिया जाता है।
अधिकतम त्वरण $a_{\max} = \omega'^2 A$ होता है।
मान रखने पर: $a_{\max} = (3 \omega)^2 \times 4 = 9 \omega^2 \times 4 = 36 \omega^2 \ cm/s^2$.

(A) $S.H.M.$ कर रहे एक कण के लिए,त्वरण $a$ को समीकरण $a = -\omega^2 x$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\omega$ कोणीय आवृत्ति है और $x$ विस्थापन है।
यह समीकरण $y = mx$ के रूप में है,जो मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है।
यहाँ,रेखा का ढाल $m = -\omega^2$ है,जो ऋणात्मक है।
इसलिए,विस्थापन के सापेक्ष त्वरण का ग्राफ ऋणात्मक ढाल वाली एक सीधी रेखा है।

(D) $S.H.M.$ में एक कण का त्वरण $a = -\omega^2 x$ संबंध द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\omega$ कोणीय आवृत्ति है और $x$ विस्थापन है।
कण के $-x_{max}$ पर होने के लिए,हम समीकरण में $x = -x_{max}$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$a = -\omega^2 (-x_{max}) = +\omega^2 x_{max}$.
यह दर्शाता है कि $x = -x_{max}$ पर,त्वरण $a$ अपने अधिकतम धनात्मक मान पर होना चाहिए।
दिए गए ग्राफ को देखने पर,बिंदु $1$ त्वरण के अधिकतम धनात्मक मान के अनुरूप है।
इसलिए,बिंदु $1$ उस स्थिति को दर्शाता है जब कण $-x_{max}$ पर होता है।

(D) $S.H.M.$ कर रहे कण के लिए,विस्थापन $y$ को $y = A \sin(\omega t)$ द्वारा दर्शाया जाता है।
त्वरण $a = \frac{d^2y}{dt^2} = -A\omega^2 \sin(\omega t) = -\omega^2 y$ होता है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,प्रत्यानयन बल $F = ma = -m\omega^2 y$ है।
$y$ का समीकरण रखने पर,हमें $F = -m\omega^2 A \sin(\omega t)$ प्राप्त होता है।
यह दर्शाता है कि बल $F$ भी समय का एक साइन फलन है,लेकिन विस्थापन $y$ के सापेक्ष $\pi$ रेडियन का कलांतर रखता है।
इसलिए,यदि विस्थापन ग्राफ मूल बिंदु से शुरू होने वाला एक धनात्मक साइन वेव है,तो बल-समय ग्राफ मूल बिंदु से शुरू होने वाला एक उल्टा (ऋणात्मक) साइन वेव होना चाहिए,जो विकल्प $D$ के अनुरूप है।

(C) सरल आवर्त गति $(S.H.M.)$ में,एक कण का त्वरण $a$ माध्य स्थिति से उसके विस्थापन $x$ के ऋणात्मक मान के सीधे आनुपातिक होता है।
यह संबंध समीकरण $a = -\omega^2 x$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
यह समीकरण $y = mx$ के रूप में है,जो मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है।
चूंकि ढाल $m = -\omega^2$ ऋणात्मक है,इसलिए ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा होनी चाहिए जिसकी ढाल ऋणात्मक हो।
अतः,सही ग्राफ विकल्प $C$ में दिखाया गया है।

(D) कण का द्रव्यमान $m = 10 \, g = 10 \times 10^{-3} \, kg = 0.01 \, kg$ है।
आयाम $A = 0.5 \, m$ है।
कोणीय आवृत्ति $\omega = 10 \, rad/s$ है।
सरल आवर्त गति में अधिकतम बल $F_{max}$ का सूत्र $F_{max} = m \omega^2 A$ होता है।
मान रखने पर: $F_{max} = 0.01 \times (10)^2 \times 0.5$.
$F_{max} = 0.01 \times 100 \times 0.5$.
$F_{max} = 1 \times 0.5 = 0.5 \, N$.

(D) सरल आवर्त गति में कण का त्वरण $a = \omega^2 y$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\omega$ कोणीय आवृत्ति है और $y$ साम्यावस्था से विस्थापन है।
यहाँ $a = 12 \ cm/sec^2$ और $y = 3 \ cm$ दिया गया है।
मान रखने पर: $12 = \omega^2 \times 3$.
$\omega^2 = \frac{12}{3} = 4$.
$\omega = 2 \ rad/sec$.
आवर्तकाल $T$ का सूत्र $T = \frac{2\pi}{\omega}$ है।
अतः,$T = \frac{2\pi}{2} = \pi \approx 3.14 \ sec$.

(D) दिया गया समीकरण $y = \sin \left( \frac{\pi t}{4} + \frac{\pi}{6} \right)$ है।
इसकी तुलना सरल आवर्त गति के मानक समीकरण $y = A \sin(\omega t + \phi)$ से करने पर:
आयाम $A = 1 \ cm$ और कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{\pi}{4} \ rad/sec$ प्राप्त होती है।
अधिकतम त्वरण $a_{max}$ का सूत्र $a_{max} = \omega^2 A$ है।
मान रखने पर: $a_{max} = \left( \frac{\pi}{4} \right)^2 \times 1$.
$a_{max} = \frac{\pi^2}{16} \approx \frac{9.8696}{16} \approx 0.6168 \ cm/sec^2$.
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $0.62 \ cm/sec^2$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए कि सरल आवर्त गति कर रहे कण का विस्थापन $y = A \sin(\omega t)$ है।
तात्क्षणिक वेग $v$,विस्थापन का समय के सापेक्ष अवकलन है:
$v = \frac{dy}{dt} = A\omega \cos(\omega t) = A\omega \sin(\omega t + \frac{\pi}{2})$.
तात्क्षणिक त्वरण $a$,वेग का समय के सापेक्ष अवकलन है:
$a = \frac{dv}{dt} = -A\omega^2 \sin(\omega t) = A\omega^2 \sin(\omega t + \pi)$.
वेग की कला $(\omega t + \frac{\pi}{2})$ है और त्वरण की कला $(\omega t + \pi)$ है।
अतः,त्वरण और वेग के बीच का कलांतर $(\omega t + \pi) - (\omega t + \frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2}$ या $0.5\pi$ है।

(D) कोणीय आवृत्तियाँ $\omega_{1} = 100 \, rad \, s^{-1}$ और $\omega_{2} = 1000 \, rad \, s^{-1}$ दी गई हैं।
मान लीजिए कि समान विस्थापन आयाम $A$ है।
सरल आवर्त गति के लिए अधिकतम त्वरण $a_{max}$ का सूत्र $a_{max} = \omega^2 A$ है।
पहली गति के लिए,$a_{max1} = \omega_{1}^2 A = (100)^2 A$.
दूसरी गति के लिए,$a_{max2} = \omega_{2}^2 A = (1000)^2 A$.
उनके अधिकतम त्वरण का अनुपात $\frac{a_{max1}}{a_{max2}} = \frac{\omega_{1}^2 A}{\omega_{2}^2 A} = \frac{\omega_{1}^2}{\omega_{2}^2}$ है।
मान रखने पर,$\frac{a_{max1}}{a_{max2}} = \frac{(100)^2}{(1000)^2} = \frac{10000}{1000000} = \frac{1}{100}$.
अतः,अनुपात $1:10^2$ है।

(C) दिया गया विस्थापन समीकरण: $x = A \cos \omega t$.
वेग $v$,समय के सापेक्ष विस्थापन का प्रथम अवकलज है:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(A \cos \omega t) = -A \omega \sin \omega t$.
त्वरण $a$,समय के सापेक्ष वेग का अवकलज है:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(-A \omega \sin \omega t) = -A \omega^2 \cos \omega t$.
इसे मूल विस्थापन समीकरण $x = A \cos \omega t$ के साथ तुलना करने पर,हम देखते हैं कि $a = -\omega^2 x$ है। $t = 0$ पर,$x = A$ है,इसलिए $a = -A \omega^2$ है। इसका अर्थ है कि त्वरण एक ऋणात्मक अधिकतम मान से शुरू होता है और एक ऋणात्मक कोसाइन वक्र का पालन करता है। ग्राफ $C$ इस परिवर्तन को सही ढंग से दर्शाता है।

(C) अधिकतम त्वरण $a_{\max} = A\omega^2$ द्वारा और अधिकतम गति $v_{\max} = A\omega$ द्वारा दी जाती है।
मान लीजिए प्रारंभिक आयाम $A_1$ और कोणीय आवृत्ति $\omega_1$ है। तो $v_{\max} = A_1\omega_1$ और $a_{\max} = A_1\omega_1^2$ है।
यदि नया आयाम $A_2$ और नई कोणीय आवृत्ति $\omega_2$ है,तो हमें दिया गया है कि $v_{\max}$ स्थिर रहता है,इसलिए $A_1\omega_1 = A_2\omega_2$ है।
हमें यह भी दिया गया है कि नया अधिकतम त्वरण मूल का दोगुना है,इसलिए $A_2\omega_2^2 = 2(A_1\omega_1^2)$ है।
दूसरे समीकरण को पहले से विभाजित करने पर: $\frac{A_2\omega_2^2}{A_1\omega_1} = \frac{2A_1\omega_1^2}{A_1\omega_1} \implies \frac{\omega_2}{\omega_1} = 2$,जिसका अर्थ है कि $\omega_2 = 2\omega_1$ (आवृत्ति दोगुनी हो जाती है)।
$\omega_2 = 2\omega_1$ को $A_1\omega_1 = A_2\omega_2$ में रखने पर,हमें $A_1\omega_1 = A_2(2\omega_1) \implies A_2 = \frac{A_1}{2}$ प्राप्त होता है (आयाम आधा हो जाता है)।
अतः,आवृत्ति दोगुनी हो जाती है और आयाम आधा हो जाता है।

(NONE) सरल आवर्त गति $(SHM)$ में,किसी कण पर कार्य करने वाला प्रत्यानयन बल (या असंतुलित बल) $F$,समीकरण $F = -kd$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k$ बल नियतांक है और $d$ साम्यावस्था से विस्थापन है।
यह समीकरण $F = -kd$ बल $F$ और विस्थापन $d$ के बीच एक रैखिक संबंध को दर्शाता है,जहाँ बल विस्थापन के सीधे समानुपाती होता है लेकिन विपरीत दिशा में कार्य करता है।
ग्राफ के रूप में,यह मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है जिसका ढाल ऋणात्मक है।
दिए गए ग्राफ $(I, II, III, IV)$ में से कोई भी मूल बिंदु से गुजरने वाली ऋणात्मक ढाल वाली सीधी रेखा को नहीं दर्शाता है। अतः,यह प्रश्न तकनीकी रूप से त्रुटिपूर्ण है क्योंकि बल बनाम विस्थापन के लिए सही ग्राफ विकल्पों में मौजूद नहीं है।

(C) यह दिया गया है कि वेग का परिमाण $|v|$,त्वरण के परिमाण $|a|$ के बराबर है।
$SHM$ के लिए,वेग $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ और त्वरण $a = -\omega^2 x$ होता है।
परिमाणों की तुलना करने पर: $|v| = |a| \Rightarrow \omega \sqrt{A^2 - x^2} = \omega^2 x$.
दोनों पक्षों को $\omega$ से विभाजित करने पर: $\sqrt{A^2 - x^2} = \omega x$.
कोणीय आवृत्ति $\omega$ के लिए हल करने पर: $\omega = \frac{\sqrt{A^2 - x^2}}{x}$.
यहाँ $A = 2 \, cm$ और $x = 1 \, cm$ दिया गया है,इसलिए $\omega = \frac{\sqrt{2^2 - 1^2}}{1} = \sqrt{3} \, rad/s$.
चूंकि $\omega = 2 \pi f$,इसलिए आवृत्ति $f = \frac{\omega}{2 \pi} = \frac{\sqrt{3}}{2 \pi} \, s^{-1}$ है।

(A) $SHM$ में एक कण का त्वरण $a$,समीकरण $a = -\omega^{2}x$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\omega$ कोणीय आवृत्ति है और $x$ माध्य स्थिति से विस्थापन है।
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,हम देखते हैं कि $y = a$,$m = -\omega^{2}$,$x = x$,और $c = 0$ है।
चूंकि अंतःखंड $c$ शून्य है,इसलिए ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है।
चूंकि $\omega^{2}$ हमेशा धनात्मक होता है,इसलिए ढाल $m = -\omega^{2}$ हमेशा ऋणात्मक होती है।
अतः,ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक ऋणात्मक ढाल वाली सीधी रेखा है।

(A) दिया गया विस्थापन समीकरण: $x = x_0 \cos(\omega t - \frac{\pi}{4})$.
वेग $v = \frac{dx}{dt} = -x_0 \omega \sin(\omega t - \frac{\pi}{4})$.
त्वरण $a = \frac{dv}{dt} = -x_0 \omega^2 \cos(\omega t - \frac{\pi}{4})$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos(\theta + \pi) = -\cos(\theta)$ का उपयोग करते हुए,हम त्वरण को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$a = x_0 \omega^2 \cos(\omega t - \frac{\pi}{4} + \pi) = x_0 \omega^2 \cos(\omega t + \frac{3\pi}{4})$.
इसे दिए गए रूप $a = A \cos(\omega t + \delta)$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$A = x_0 \omega^2$ और $\delta = \frac{3\pi}{4}$.

(B) सरल आवर्त गति $(SHM)$ करने वाले कण के लिए,विस्थापन $x = A \sin(\omega t + \phi)$ द्वारा दिया जाता है।
वेग $v = \frac{dx}{dt} = A\omega \cos(\omega t + \phi)$ है।
त्वरण $a = \frac{dv}{dt} = -A\omega^2 \sin(\omega t + \phi) = -\omega^2 x$ है।
त्वरण समीकरण से,हमें $\frac{a}{x} = -\omega^2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\omega = \frac{2\pi}{T}$,इसलिए $\omega^2 = \frac{4\pi^2}{T^2}$ होता है।
इस मान को अनुपात में रखने पर,$\frac{a}{x} = -\frac{4\pi^2}{T^2}$ प्राप्त होता है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\frac{aT^2}{x} = -4\pi^2$ प्राप्त होता है,जो कि एक नियतांक है।
दिए गए विकल्पों को देखते हुए,$\frac{a}{x} = -\omega^2$ होता है। दिए गए $SHM$ के लिए $\omega$ और $T$ नियतांक हैं,इसलिए अनुपात $\frac{a}{x}$ नियत है। अतः,$\frac{aT}{x}$ भी नियत रहता है क्योंकि $T$ नियतांक है।

(D) सरल आवर्त गति में एक कण के लिए, त्वरण $A$ को $A = -\omega^2 x$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
परिमाण लेने पर, हमें $|A| = \omega^2 |x|$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $\omega^2 = \frac{|A|}{|x|}$।
तालिका से मानों का उपयोग करने पर (उदाहरण के लिए, $|A| = 16 \ mm \ s^{-2}$ और $|x| = 4 \ mm$):
$\omega^2 = \frac{16 \ mm \ s^{-2}}{4 \ mm} = 4 \ s^{-2}$।
अतः, $\omega = \sqrt{4} = 2 \ rad \ s^{-1}$।
आवर्तकाल $T$ कोणीय आवृत्ति से $T = \frac{2\pi}{\omega}$ सूत्र द्वारा संबंधित है।
$\omega$ का मान रखने पर:
$T = \frac{2\pi}{2} = \pi \ s$।

(B) $SHM$ में एक कण का विस्थापन $y$,$y = A \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ आयाम है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
त्वरण $a$,समय के सापेक्ष विस्थापन का दूसरा अवकलज है:
$a = \frac{d^2y}{dt^2} = \frac{d}{dt}(A \omega \cos(\omega t)) = -A \omega^2 \sin(\omega t)$.
समीकरणों की तुलना करने पर,$a = -\omega^2 y$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि त्वरण ग्राफ,विस्थापन ग्राफ का उल्टा रूप है,जिसे $\omega^2$ के गुणांक द्वारा स्केल किया गया है।
चूंकि विस्थापन ग्राफ $0$ से शुरू होकर धनात्मक दिशा में जाता है,इसलिए त्वरण ग्राफ को $0$ से शुरू होकर ऋणात्मक दिशा में जाना चाहिए।
विकल्पों को देखने पर,विकल्प $B$ एक ऐसा ग्राफ दिखाता है जो $0$ से शुरू होता है और ऋणात्मक दिशा में जाता है,जो व्युत्पन्न समीकरण $a = -A \omega^2 \sin(\omega t)$ से मेल खाता है।

(A) डैश वाली रेखा द्वारा इंगित क्षण पर,कण अपनी ऋणात्मक चरम स्थिति $(x = -A)$ पर है।
चरम स्थिति पर,कण का वेग शून्य $(v = 0)$ होता है।
स्प्रिंग में प्रत्यानयन बल $F = -kx$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि कण $x = -A$ पर है,इसलिए बल $F = -k(-A) = +kA$ होगा।
धनात्मक बल यह दर्शाता है कि बल धनात्मक दिशा (दाईं ओर) में कार्य कर रहा है।
अतः,वेग शून्य है और बल दाईं ओर है।

(A) $SHM$ निष्पादित कर रहे कण के लिए,त्वरण $a$ को $a = -\omega^{2}x$ द्वारा दिया जाता है।
त्वरण-विस्थापन ग्राफ की ढाल $m = \frac{a}{x} = -\omega^{2}$ होती है।
दिए गए ग्राफ से,रेखा द्वारा $x$-अक्ष के साथ बनाया गया कोण $37^{\circ}$ है। रेखा की ढाल $\tan(180^{\circ} - 37^{\circ}) = -\tan 37^{\circ} = -\frac{3}{4}$ है।
ढालों की तुलना करने पर: $-\omega^{2} = -\frac{3}{4} \Rightarrow \omega^{2} = \frac{3}{4}$.
चूंकि $\omega = \frac{2\pi}{T}$,इसलिए $\omega^{2} = \frac{4\pi^{2}}{T^{2}} = \frac{3}{4}$.
$T$ के लिए हल करने पर: $T^{2} = \frac{16\pi^{2}}{3} \Rightarrow T = \frac{4\pi}{\sqrt{3}} \, s$.

(B) $SHM$ में अधिकतम वेग $v_{\max} = a\omega$ द्वारा दिया जाता है।
$SHM$ में अधिकतम त्वरण $A_{\max} = a\omega^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a$ आयाम है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
दिए गए अनुपात $\frac{A_{\max}}{v_{\max}} = 10$ से,$\frac{a\omega^2}{a\omega} = 10$,जिसका अर्थ है $\omega = 10\,s^{-1}$।
विस्थापन का समीकरण $x = a \sin(\omega t + \phi)$ है।
$t = 0$ पर,$x = 5\,m$ और $\phi = \frac{\pi}{4}$।
इन मानों को रखने पर: $5 = a \sin(\frac{\pi}{4}) = a \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$।
अतः,आयाम $a = 5\sqrt{2}\,m$ है।
अधिकतम त्वरण $A_{\max} = a\omega^2 = (5\sqrt{2}) \cdot (10)^2 = 5\sqrt{2} \cdot 100 = 500\sqrt{2}\,m/s^2$।

(B) सरल आवर्त गति करने वाले कण के लिए,बल $F = -kx$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k$ बल नियतांक है।
ग्राफ से,$x = 20\, cm = 0.2\, m$ पर,बल $F = -2.0\, N$ है।
अतः,बल नियतांक का परिमाण $k = \frac{|F|}{|x|} = \frac{2.0\, N}{0.2\, m} = 10\, N/m$ है।
कण का द्रव्यमान $m = 400\, g = 0.4\, kg$ है।
दोलन की आवृत्ति $f$ का सूत्र $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$ है।
मान रखने पर,हमें $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{10}{0.4}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{25} = \frac{5}{2\pi}\, s^{-1}$ प्राप्त होता है।

(A) सरल आवर्त गति में एक कण के लिए,अधिकतम त्वरण $a_{\max} = \omega^2 A = \alpha$ $...(1)$ है।
अधिकतम वेग $v_{\max} = \omega A = \beta$ $...(2)$ है।
समीकरण $(1)$ को समीकरण $(2)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{\omega^2 A}{\omega A} = \frac{\alpha}{\beta}$
$\omega = \frac{\alpha}{\beta}$
चूंकि कोणीय आवृत्ति $\omega = 2\pi f$ है,जहाँ $f$ कंपन की आवृत्ति है:
$2\pi f = \frac{\alpha}{\beta}$
$f = \frac{\alpha}{2\pi\beta}$

(B) $SHM$ में,त्वरण $\vec a$ को $\vec a = -\omega^2 \vec r$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec r$ संतुलन स्थिति से विस्थापन सदिश है।
$\vec a$ और $\vec r$ का डॉट गुणनफल लेने पर:
$\vec a \cdot \vec r = (-\omega^2 \vec r) \cdot \vec r = -\omega^2 |\vec r|^2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\omega^2$ हमेशा धनात्मक होता है और $|\vec r|^2$ हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,इसलिए गुणनफल $\vec a \cdot \vec r$ हमेशा ऋणात्मक होता है (संतुलन स्थिति को छोड़कर जहाँ यह शून्य होता है)।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) दिया गया विस्थापन समीकरण: $x = x_0 \cos(\omega t + \pi/4)$।
वेग $v$,विस्थापन का समय के सापेक्ष अवकलन है: $v = \frac{dx}{dt} = -x_0 \omega \sin(\omega t + \pi/4)$।
त्वरण $a$,वेग का समय के सापेक्ष अवकलन है: $a = \frac{dv}{dt} = -x_0 \omega^2 \cos(\omega t + \pi/4)$।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $-\cos(\theta) = \cos(\theta + \pi)$ का उपयोग करते हुए,हम त्वरण को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$a = x_0 \omega^2 \cos(\omega t + \pi/4 + \pi) = x_0 \omega^2 \cos(\omega t + 5\pi/4)$।
यदि हम दिए गए विकल्पों पर विचार करें,तो $x = x_0 \cos(\omega t - \pi/4)$ के लिए त्वरण $a = x_0 \omega^2 \cos(\omega t - \pi/4 + \pi) = x_0 \omega^2 \cos(\omega t + 3\pi/4)$ होगा। अतः,$A = x_0 \omega^2$ और $\delta = 3\pi/4$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए सिक्के का द्रव्यमान $m$ है और प्लेटफॉर्म द्वारा सिक्के पर लगाया गया अभिलंब बल $N$ है।
सिक्के के लिए ऊर्ध्वाधर दिशा में गति का समीकरण है:
$mg - N = ma$
जहाँ $a$ प्लेटफॉर्म का त्वरण है। सरल आवर्त गति के लिए,त्वरण $a = -\omega^2 x$ होता है,जहाँ $x$ माध्य स्थिति से विस्थापन है।
जब प्लेटफॉर्म ऊपर की ओर गति करता है,तो त्वरण नीचे की ओर होता है। जब प्लेटफॉर्म अपने उच्चतम बिंदु पर होता है,तो त्वरण $a = -\omega^2 A$ (जहाँ $A$ आयाम है) नीचे की ओर होता है।
सिक्का तब संपर्क छोड़ेगा जब अभिलंब बल $N = 0$ हो जाए।
$mg - 0 = m(\omega^2 A)$
$g = \omega^2 A$
$A = \frac{g}{\omega^2}$
अतः,जब आयाम $\frac{g}{\omega^2}$ हो जाता है,तो सिक्का प्लेटफॉर्म से संपर्क छोड़ देगा।

(B) $S.H.M.$ के लिए दिया गया समीकरण $y = A \sin(\omega t + \phi)$ है,जहाँ $A = 2 \, cm$ और $\omega = \frac{\pi}{2} \, rad/s$ है।
वेग $v = \frac{dy}{dt} = A\omega \cos(\omega t + \phi)$ द्वारा दिया जाता है।
त्वरण $a = \frac{d^2y}{dt^2} = -A\omega^2 \sin(\omega t + \phi)$ द्वारा दिया जाता है।
अधिकतम त्वरण $a_{max} = |A\omega^2|$ होता है।
मान रखने पर: $a_{max} = 2 \times \left( \frac{\pi}{2} \right)^2 = 2 \times \frac{\pi^2}{4} = \frac{\pi^2}{2} \, cm/s^2$।