Relative Motion in One Dimension Questions in Gujarati

(D) ચોરની જીપની ઝડપ $v_t = 9 \, m/s$ છે.
પોલીસકર્મીની મોટરસાઇકલની ઝડપ $v_p = 10 \, m/s$ છે.
ચોરની સાપેક્ષમાં પોલીસકર્મીની સાપેક્ષ ઝડપ $v_{rel} = v_p - v_t = 10 - 9 = 1 \, m/s$ છે.
તેમની વચ્ચેનું પ્રારંભિક અંતર $d = 100 \, m$ છે.
ચોરને પકડવા માટે,પોલીસકર્મીએ આ સાપેક્ષ અંતરને સાપેક્ષ ઝડપથી કાપવું પડશે.
લાગતો સમય $t = \frac{d}{v_{rel}} = \frac{100 \, m}{1 \, m/s} = 100 \, s$.
તેથી,પોલીસકર્મીને ચોરને પકડવામાં $100 \, seconds$ લાગશે.

(C) ધારો કે કાર $B$ ની સાપેક્ષમાં કાર $A$ નો સાપેક્ષ વેગ $u_{rel} = v_1 - v_2$ છે.
કાર $A$ એ $a$ જેટલા પ્રતિપ્રવેગથી ગતિ કરે છે અને કાર $B$ અચળ વેગ $v_2$ થી ગતિ કરે છે,તેથી સાપેક્ષ પ્રવેગ $a_{rel} = -a$ થાય.
અથડામણ ટાળવા માટે,કાર $B$ ની સાપેક્ષમાં કાર $A$ નું સાપેક્ષ સ્થાનાંતર $s$,પ્રારંભિક અંતર $d$ કરતા ઓછું હોવું જોઈએ.
ગતિના સમીકરણ $v_{rel}^2 = u_{rel}^2 + 2a_{rel}s$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં ન્યૂનતમ અંતરના બિંદુએ $v_{rel} = 0$ છે:
$0 = (v_1 - v_2)^2 - 2as$
$s = \frac{(v_1 - v_2)^2}{2a}$
અથડામણ ટાળવા માટે,પ્રારંભિક અંતર $d$ એ સાપેક્ષ સ્ટોપિંગ અંતર $s$ કરતા વધારે હોવું જોઈએ.
તેથી,$d > \frac{(v_1 - v_2)^2}{2a}$.

(C) ધારો કે વિદ્યાર્થી $t \, s$ સમય પછી બસને પકડી લે છે. વિદ્યાર્થી દ્વારા કાપેલું અંતર $s_s = ut$ છે.
સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થતી બસ દ્વારા કાપેલું અંતર $s_b = \frac{1}{2}at^2 = \frac{1}{2}(1)t^2 = \frac{t^2}{2}$ છે.
વિદ્યાર્થી બસને પકડી શકે તે માટે,વિદ્યાર્થી દ્વારા કાપેલું કુલ અંતર એ પ્રારંભિક અંતર અને બસ દ્વારા કાપેલા અંતરના સરવાળા જેટલું હોવું જોઈએ:
$ut = 50 + \frac{t^2}{2}$.
$u$ માટે સમીકરણને ગોઠવતા:
$u = \frac{50}{t} + \frac{t}{2}$.
ન્યૂનતમ વેગ $u$ શોધવા માટે,આપણે $u$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ:
$\frac{du}{dt} = -\frac{50}{t^2} + \frac{1}{2} = 0$.
$t$ માટે ઉકેલતા:
$\frac{50}{t^2} = \frac{1}{2} \implies t^2 = 100 \implies t = 10 \, s$.
$t = 10 \, s$ ની કિંમત $u$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$u = \frac{50}{10} + \frac{10}{2} = 5 + 5 = 10 \, m/s$.

(C) ધારો કે માણસ $t$ સેકન્ડ પછી બસને પકડી લે છે. માણસ દ્વારા કાપેલું અંતર $s_m = u t$ છે,જ્યાં $u$ એ માણસનો અચળ વેગ છે.
સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થતી બસ દ્વારા કાપેલું અંતર $s_b = \frac{1}{2} a t^2$ છે,જ્યાં $a = 2.5 \, m/s^2$ છે.
માણસ બસને પકડી શકે તે માટે,માણસે કાપેલું કુલ અંતર એ પ્રારંભિક અંતર અને બસ દ્વારા કાપેલા અંતરના સરવાળા જેટલું હોવું જોઈએ:
$u t = 45 + \frac{1}{2} (2.5) t^2$
$u t = 45 + 1.25 t^2$
$u = \frac{45}{t} + 1.25 t$
લઘુત્તમ વેગ $u$ શોધવા માટે,આપણે $u$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને તેને શૂન્ય લઈએ:
$\frac{du}{dt} = -\frac{45}{t^2} + 1.25 = 0$
$1.25 t^2 = 45$
$t^2 = \frac{45}{1.25} = 36$
$t = 6 \, s$
$t = 6 \, s$ ની કિંમત $u$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$u = \frac{45}{6} + 1.25(6) = 7.5 + 7.5 = 15 \, m/s$.

(D) એકબીજાને ઓળંગવા માટે,ટ્રેનો દ્વારા કાપવાનું કુલ અંતર તેમની લંબાઈનો સરવાળો છે: $D = 120\, m + 130\, m = 250\, m$.
જ્યારે ટ્રેનો વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતી હોય,ત્યારે તેમનો સાપેક્ષ વેગ તેમની વ્યક્તિગત ઝડપનો સરવાળો થાય છે: $v_{rel} = 20\, m/s + 30\, m/s = 50\, m/s$.
ઓળંગવા માટે લાગતો સમય આ સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $t = \frac{D}{v_{rel}}$.
કિંમતો મૂકતા: $t = \frac{250\, m}{50\, m/s} = 5\, s$.

(B) ટ્રેન ઉત્તર દિશામાં $v_t = 25 \ m/s$ ના વેગથી ગતિ કરે છે.
પક્ષી દક્ષિણ દિશામાં $v_b = 5 \ m/s$ ના વેગથી ઉડે છે.
બંને વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતા હોવાથી,ટ્રેનની સાપેક્ષમાં પક્ષીનો સાપેક્ષ વેગ $v_{rel} = v_t + v_b = 25 \ m/s + 5 \ m/s = 30 \ m/s$ થશે.
ટ્રેનની લંબાઈ $L = 210 \ m$ છે.
પક્ષીને ટ્રેન ઓળંગતા લાગતો સમય $t = \frac{L}{v_{rel}} = \frac{210 \ m}{30 \ m/s} = 7 \ s$ છે.

(A) ધારો કે બે કણોની ઝડપ $v_1$ અને $v_2$ છે (જ્યાં $v_1 > v_2$).
જ્યારે કણો એકબીજાની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે તેમનો સાપેક્ષ વેગ તેમની ઝડપના સરવાળા જેટલો હોય છે. આપેલ છે કે અંતર $6 \,m/s$ ના દરે ઘટે છે,તેથી:
$v_1 + v_2 = 6$ --- $(i)$
જ્યારે આ કણો સમાન દિશામાં ગતિ કરે છે,ત્યારે તેમનો સાપેક્ષ વેગ તેમની ઝડપના તફાવત જેટલો હોય છે. આપેલ છે કે અંતર $4 \,m/s$ ના દરે વધે છે,તેથી:
$v_1 - v_2 = 4$ --- (ii)
સમીકરણ $(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા:
$(v_1 + v_2) + (v_1 - v_2) = 6 + 4$
$2v_1 = 10 \implies v_1 = 5 \,m/s$
સમીકરણ $(i)$ માં $v_1 = 5$ મૂકતા:
$5 + v_2 = 6 \implies v_2 = 1 \,m/s$
આમ,કણોની ઝડપ $5 \,m/s$ અને $1 \,m/s$ છે.

(A) બંને ટ્રેનો એક જ દિશામાં ગતિ કરી રહી હોવાથી,બીજી ટ્રેનની સાપેક્ષમાં એક્સપ્રેસ ટ્રેનનો પ્રારંભિક સાપેક્ષ વેગ $u_{rel} = v_1 - v_2$ થશે.
અથડામણ ટાળવા માટે,એક્સપ્રેસ ટ્રેને અથડામણના બિંદુએ તેનો સાપેક્ષ વેગ શૂન્ય કરવો પડે.
સાપેક્ષ વેગ માટે ગતિના પ્રથમ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $v_{rel} = u_{rel} - at$.
અંતિમ સાપેક્ષ વેગ $v_{rel} = 0$ લેતા,આપણને મળે છે:
$0 = (v_1 - v_2) - at$
$at = v_1 - v_2$
$t = \frac{v_1 - v_2}{a}$

(B) જ્યારે છોકરો સફરજન છોડે છે,ત્યારે ગતિના જડત્વને કારણે તે ક્ષણે તેની પાસે ટ્રેન જેટલો જ આડો વેગ હોય છે.
ટ્રેન ઉભી રહેવાની તૈયારીમાં હોવાથી,તે પ્રતિપ્રવેગ (retardation) અનુભવી રહી છે.
જેમ સફરજન નીચે પડે છે,તેનો આડો વેગ અચળ રહે છે (હવાનો અવરોધ અવગણતા),જ્યારે ટ્રેનનો વેગ પ્રતિપ્રવેગને કારણે ઘટે છે.
પરિણામે,સફરજન નીચે પડવાના સમય દરમિયાન ટ્રેનમાં બેઠેલા ભાઈ કરતા વધુ આડું અંતર કાપે છે.
તેથી,સફરજન ટ્રેનની ગતિની દિશામાં તેના ભાઈના હાથથી થોડે દૂર પડશે.

(D) ધારો કે સ્કૂટરનો વેગ $v_s$ છે.
સ્કૂટર અને બસ વચ્ચેનું પ્રારંભિક અંતર $d = 1\; km = 1000\; m$ છે.
બસનો વેગ $v_b = 10\; m/s$ છે.
ઓવરટેક કરવા માટે લાગતો સમય $t = 100\; s$ છે.
બસની સાપેક્ષમાં સ્કૂટરનો સાપેક્ષ વેગ $v_{rel} = v_s - v_b = v_s - 10$ થશે.
સાપેક્ષ ગતિના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$d = v_{rel} \times t$:
$1000 = (v_s - 10) \times 100$
$10 = v_s - 10$
$v_s = 20\; m/s$.
આમ,સ્કૂટર સવારે $20\; m/s$ ની ઝડપે બસનો પીછો કરવો જોઈએ.

(A) એકબીજાની તરફ ગતિ કરતી બે ટ્રેનોનો સાપેક્ષ વેગ $v_{rel} = v_1 - (-v_2) = 60 + 30 = 90\, km/hr$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ટ્રેનો વચ્ચેનું પ્રારંભિક અંતર $s_{rel} = 90\, km$ છે.
અથડાવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{s_{rel}}{v_{rel}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$t = \frac{90\, km}{90\, km/hr} = 1\, hr$.

(D) ધારો કે સ્કૂટર સવારનો વેગ $v \, m/s$ છે.
સ્કૂટર સવાર અને બસ વચ્ચેનું પ્રારંભિક અંતર $S = 1 \, km = 1000 \, m$ છે.
બસનો વેગ $v_b = 10 \, m/s$ છે.
બસની સાપેક્ષમાં સ્કૂટર સવારનો સાપેક્ષ વેગ $v_{rel} = v - v_b = (v - 10) \, m/s$ છે.
$t = 100 \, s$ સમયમાં બસને ઓવરટેક કરવા માટે,સ્કૂટર સવારે સાપેક્ષ વેગ $v_{rel}$ સાથે સાપેક્ષ અંતર $S$ કાપવું પડશે.
સૂત્ર $S = v_{rel} \times t$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1000 = (v - 10) \times 100$
$10 = v - 10$
$v = 20 \, m/s$.
આમ,સ્કૂટર સવારે $20 \, m/s$ ના વેગથી બસનો પીછો કરવો જોઈએ.

(B) ધારો કે કાર $B$ ને કાર $A$ ને પકડવા માટે લાગતો સમય $t$ કલાક છે.
સમય $t$ માં કાર $A$ દ્વારા કાપેલું અંતર $d_A = 60t$ છે.
કાર $B$ દ્વારા $t$ સમયમાં કાપેલું અંતર,જ્યાં પ્રારંભિક વેગ $u = 70 \text{ km/h}$ અને પ્રતિપ્રવેગ $a = -20 \text{ km/h}^2$ છે,તે $d_B = 70t - \frac{1}{2} \times 20 \times t^2$ છે.
કાર $B$ એ કાર $A$ થી $2.5 \text{ km}$ પાછળ હોવાથી,પકડવા માટેની શરત $d_B = d_A + 2.5$ છે.
સમીકરણો મૂકતા: $70t - 10t^2 = 60t + 2.5$.
પદોને ગોઠવતા: $10t^2 - 10t + 2.5 = 0$.
$10$ વડે ભાગતા: $t^2 - t + 0.25 = 0$.
આ એક પૂર્ણ વર્ગ છે: $(t - 0.5)^2 = 0$.
તેથી,$t = 0.5 \text{ કલાક}$.

(B) એક ટ્રેનનો બીજી ટ્રેનની સાપેક્ષ વેગ $v_{rel} = 10 + 10 = 20 \, m/s$ છે.
સાપેક્ષ પ્રવેગ $a_{rel} = 0.3 + 0.2 = 0.5 \, m/s^2$ છે.
એકબીજાને પસાર કરવા માટે,કાપવાનું કુલ અંતર તેમની લંબાઈનો સરવાળો છે: $s = 100 + 125 = 225 \, m$.
ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$225 = 20t + \frac{1}{2} \times 0.5 \times t^2$
$225 = 20t + 0.25t^2$
$0.25t^2 + 20t - 225 = 0$
સરળ બનાવવા માટે $4$ વડે ગુણતા: $t^2 + 80t - 900 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણને $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલતા:
$t = \frac{-80 \pm \sqrt{6400 - 4(1)(-900)}}{2(1)}$
$t = \frac{-80 \pm \sqrt{6400 + 3600}}{2} = \frac{-80 \pm \sqrt{10000}}{2} = \frac{-80 \pm 100}{2}$.
સમય ધન હોવો જોઈએ,તેથી $t = \frac{20}{2} = 10 \, s$.

(C) ધારો કે પદાર્થ $A$ નો પ્રારંભિક વેગ $u$ છે. તે $h$ જેટલી મહત્તમ ઊંચાઈ પ્રાપ્ત કરે છે,તેથી $u^2 = 2gh$,એટલે કે $u = \sqrt{2gh}$.
પદાર્થ $A$ માટે,$t$ સમયે વેગ $V_A = u - gt$ છે.
પદાર્થ $B$ માટે,જેને $h$ ઊંચાઈથી મુક્ત કરવામાં આવે છે,$t$ સમયે વેગ $V_B = -gt$ છે (નીચેની દિશા ઋણ લેતા).
સાપેક્ષ વેગ $V_{AB} = V_A - V_B = (u - gt) - (-gt) = u$.
આ સ્થિતિ ત્યાં સુધી જળવાઈ રહે છે જ્યાં સુધી પદાર્થ $B$ જમીન સાથે અથડાય નહીં. $B$ ને $h$ ઊંચાઈ કાપવા માટે લાગતો સમય $t_0 = \sqrt{2h/g}$ છે.
$u = \sqrt{2gh}$ હોવાથી,$t_0 = u/g$ થાય.
તેથી $0 \le t \le t_0$ માટે,$V_{AB} = u$ (અચળ ધન મૂલ્ય).
$t > t_0$ પછી,પદાર્થ $B$ સ્થિર થઈ જાય છે $(V_B = 0)$,તેથી $V_{AB} = V_A = u - gt$.
આ એક સુરેખ સમીકરણ છે જેનો ઢાળ $-g$ છે.
આમ,આલેખ $t_0$ સુધી અચળ ધન મૂલ્ય દર્શાવે છે અને ત્યારબાદ નીચે તરફ જતી રેખા દર્શાવે છે. આ વિકલ્પ $C$ માં દર્શાવેલ આલેખ સાથે સુસંગત છે.

(B) ધારો કે પ્રથમ કણનો વેગ $\vec{v}_1 = v \hat{i}$ છે અને બીજા કણનો વેગ $\vec{v}_2 = (at) \cos \alpha \hat{i} + (at) \sin \alpha \hat{j}$ છે.
સાપેક્ષ વેગ $\vec{v}_r = \vec{v}_1 - \vec{v}_2 = (v - at \cos \alpha) \hat{i} - (at \sin \alpha) \hat{j}$ થાય.
સાપેક્ષ વેગના મૂલ્યનો વર્ગ $v_r^2 = (v - at \cos \alpha)^2 + (-at \sin \alpha)^2$ છે.
$v_r^2 = v^2 + a^2 t^2 \cos^2 \alpha - 2vat \cos \alpha + a^2 t^2 \sin^2 \alpha$.
$v_r^2 = v^2 + a^2 t^2 - 2vat \cos \alpha$.
સાપેક્ષ વેગ ન્યૂનતમ શોધવા માટે,આપણે $v_r^2$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ:
$\frac{d}{dt}(v_r^2) = 2a^2 t - 2va \cos \alpha = 0$.
$2a^2 t = 2va \cos \alpha$.
$t = \frac{v \cos \alpha}{a}$.

(D) જ્યારે ગાડી અચળ વેગથી ગતિ કરે છે,ત્યારે દડાનો સમક્ષિતિજ વેગ ગાડીના વેગ જેટલો જ રહે છે. તેથી,દડો તેના ઉડ્ડયન દરમિયાન ગાડી જેટલું જ સમક્ષિતિજ અંતર કાપે છે અને માણસના હાથમાં પાછો આવે છે.
જો ગાડી અચળ પ્રવેગ સાથે ગતિ કરતી હોય,તો દડો હવામાં હોય ત્યારે ગાડીનો વેગ વધે છે. પરિણામે,ગાડી દડા કરતાં સમક્ષિતિજ દિશામાં વધુ અંતર કાપે છે,જેના કારણે દડો માણસની પાછળ પડે છે.

(D) ધારો કે ત્રીજી કારની ઝડપ $v\ km/h$ છે.
ત્રીજી કાર બે કારની વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરી રહી હોવાથી, બે કારની સાપેક્ષમાં ત્રીજી કારની સાપેક્ષ ઝડપ $(v + 30)\ km/h$ થશે.
બે કાર વચ્ચેનું અંતર $5\ km$ છે.
બે કારને મળવા વચ્ચેનો સમયગાળો $4\ minutes = \frac{4}{60}\ hours = \frac{1}{15}\ hours$ છે.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા, $\text{સાપેક્ષ ઝડપ} = \frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}}$:
$v + 30 = \frac{5}{1/15}$
$v + 30 = 5 \times 15$
$v + 30 = 75$
$v = 75 - 30 = 45\ km/h$.

(B) જ્યારે સિક્કાને શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે જડત્વના નિયમ મુજબ તે મુક્ત કરતી વખતે ટ્રેનનો જે સમક્ષિતિજ વેગ હતો તે જાળવી રાખે છે. જો ટ્રેન પ્રવેગી ગતિ કરતી હોય,તો તેનો વેગ વધે છે જ્યારે સિક્કાનો સમક્ષિતિજ વેગ અચળ રહે છે. પરિણામે,ટ્રેન સિક્કા કરતાં વધુ અંતર કાપે છે અને સિક્કો વ્યક્તિની પાછળ પડે છે. તેનાથી વિપરીત,જો ટ્રેન મંદન (retardation) અનુભવતી હોય,તો તેનો વેગ ઘટે છે જ્યારે સિક્કો તેનો પ્રારંભિક વધુ સમક્ષિતિજ વેગ જાળવી રાખે છે. આમ,સિક્કો વ્યક્તિ કરતાં વધુ સમક્ષિતિજ અંતર કાપે છે,જેના કારણે તે વ્યક્તિની આગળ પડે છે. તેથી,ટ્રેન મંદન અનુભવી રહી છે.

(C) બે કારને મળવા માટે લાગતો સમય તેમના સાપેક્ષ વેગ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. તેઓ એકબીજા તરફ ગતિ કરી રહ્યા હોવાથી,તેમનો સાપેક્ષ વેગ $v_{rel} = v_1 + v_2 = 20\, m/s + 30\, m/s = 50\, m/s$ છે.
કાર વચ્ચેનું પ્રારંભિક અંતર $d = 2\, km = 2000\, m$ છે.
કારને મળવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{d}{v_{rel}} = \frac{2000\, m}{50\, m/s} = 40\, s$ છે.
પક્ષી આ સમગ્ર સમયગાળા $t$ દરમિયાન $v_3 = 10\, m/s$ ની અચળ ઝડપે સતત ઉડે છે. તેથી,પક્ષી દ્વારા કાપવામાં આવેલું કુલ અંતર $s = v_3 \times t = 10\, m/s \times 40\, s = 400\, m$ છે.

(D) ધારો કે સ્કૂટરનો વેગ $v\, ms^{-1}$ છે.
સ્કૂટર સવાર અને બસ વચ્ચેનું પ્રારંભિક અંતર $d = 1\, km = 1000\, m$ છે.
બસની સાપેક્ષમાં સ્કૂટરનો સાપેક્ષ વેગ $v_{rel} = v - 10\, ms^{-1}$ છે.
$t = 100\, s$ માં બસને ઓવરટેક કરવા માટે,સ્કૂટરે સાપેક્ષ વેગ $v_{rel}$ સાથે સાપેક્ષ અંતર $d$ કાપવું પડશે.
સૂત્ર $d = v_{rel} \times t$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1000 = (v - 10) \times 100$
બંને બાજુ $100$ વડે ભાગતા:
$10 = v - 10$
તેથી,$v = 10 + 10 = 20\, ms^{-1}$.

(C) આપેલ છે: કારનો પ્રારંભિક વેગ $u_C = 0$,બસનો પ્રારંભિક વેગ $u_B = 0$. કારનો પ્રવેગ $a_C = 4\, m/s^2$,બસનો પ્રવેગ $a_B = 2\, m/s^2$. તેમની વચ્ચેનું પ્રારંભિક અંતર $s = 200\, m$ છે.
અહીં આપણે સાપેક્ષ ગતિના ખ્યાલનો ઉપયોગ કરીશું. બસની સાપેક્ષમાં કારનો સાપેક્ષ પ્રવેગ:
$a_{CB} = a_C - a_B = 4 - 2 = 2\, m/s^2$.
સાપેક્ષ પ્રારંભિક વેગ $u_{CB} = u_C - u_B = 0 - 0 = 0$ છે.
સાપેક્ષ ગતિ માટે ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$200 = 0 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot a_{CB} \cdot t^2$
$200 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot t^2$
$200 = t^2$
$t = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}\, s$.
આમ,કાર $10\sqrt{2}\, s$ પછી બસને પકડી લેશે.

(D) ધારો કે બે કણો $A$ અને $B$ છે. તેમની વચ્ચેનું પ્રારંભિક અંતર $x_0 = 100 \ m$ છે.
બંને કણો સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂઆત કરે છે,તેથી તેમનો પ્રારંભિક વેગ $u_A = 0$ અને $u_B = 0$ છે.
બંને કણોનો પ્રવેગ સમાન છે,$a_A = a_B = 10 \ m/s^2$.
$t = 10 \ s$ સમય પછી કણ $A$ નું સ્થાનાંતર $s_A = u_A t + \frac{1}{2} a_A t^2 = 0 + \frac{1}{2} (10)(10)^2 = 500 \ m$ છે.
$t = 10 \ s$ સમય પછી કણ $B$ નું સ્થાનાંતર $s_B = u_B t + \frac{1}{2} a_B t^2 = 0 + \frac{1}{2} (10)(10)^2 = 500 \ m$ છે.
સાપેક્ષ સ્થાનાંતર $\Delta s = s_A - s_B = 500 - 500 = 0 \ m$ થાય.
વૈકલ્પિક રીતે,સાપેક્ષ પ્રવેગ $a_{rel} = a_A - a_B = 10 - 10 = 0 \ m/s^2$ અને સાપેક્ષ પ્રારંભિક વેગ $u_{rel} = u_A - u_B = 0 \ m/s$ છે. તેથી,સાપેક્ષ સ્થાનાંતર $s_{rel} = u_{rel} t + \frac{1}{2} a_{rel} t^2 = 0$ થાય.

(D) ધારો કે બે પદાર્થોની ઝડપ $v_A$ અને $v_B$ છે (જ્યાં $v_A > v_B$).
જ્યારે તેઓ એકબીજાની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે તેમની સાપેક્ષ ઝડપ તેમની વ્યક્તિગત ઝડપનો સરવાળો છે: $v_{rel} = v_A + v_B$.
આપેલ છે કે તેઓ $1\,s$ માં $4\,m$ નજીક આવે છે,તેથી સાપેક્ષ ઝડપ $v_A + v_B = \frac{4\,m}{1\,s} = 4\,m/s$ (સમીકરણ $1$).
જ્યારે તેઓ સમાન દિશામાં ગતિ કરે છે,ત્યારે તેમની સાપેક્ષ ઝડપ તેમની વ્યક્તિગત ઝડપનો તફાવત છે: $v_{rel} = v_A - v_B$.
આપેલ છે કે તેઓ $10\,s$ માં $4.0\,m$ નજીક આવે છે,તેથી સાપેક્ષ ઝડપ $v_A - v_B = \frac{4.0\,m}{10\,s} = 0.4\,m/s$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ અને સમીકરણ $2$ નો સરવાળો કરતા: $(v_A + v_B) + (v_A - v_B) = 4 + 0.4 \implies 2v_A = 4.4 \implies v_A = 2.2\,m/s$.
સમીકરણ $1$ માંથી સમીકરણ $2$ બાદ કરતા: $(v_A + v_B) - (v_A - v_B) = 4 - 0.4 \implies 2v_B = 3.6 \implies v_B = 1.8\,m/s$.
આમ,ઝડપ $2.2\,m/s$ અને $1.8\,m/s$ છે.

(D) ધારો કે ટ્રેનનો વેગ $v\,km/h$ છે.
જ્યારે માણસ અને ટ્રેન વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતા હોય,ત્યારે તેમનો સાપેક્ષ વેગ $(v + 5)\,km/h$ થાય.
આ સાપેક્ષ વેગને $m/s$ માં ફેરવવા માટે,આપણે તેને $\frac{5}{18}$ વડે ગુણીએ છીએ:
સાપેક્ષ વેગ $= (v + 5) \times \frac{5}{18}\,m/s$.
ટ્રેન દ્વારા માણસને ઓળંગવા માટે કાપવાનું અંતર એ ટ્રેનની લંબાઈ જેટલું હોય છે,જે $100\,m$ છે.
સૂત્ર $\text{સમય} = \frac{\text{અંતર}}{\text{સાપેક્ષ વેગ}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$7.2 = \frac{100}{(v + 5) \times \frac{5}{18}}$
$7.2 = \frac{100 \times 18}{5(v + 5)}$
$7.2 = \frac{20 \times 18}{v + 5}$
$7.2 = \frac{360}{v + 5}$
$v + 5 = \frac{360}{7.2}$
$v + 5 = 50$
$v = 45\,km/h$.

(A) ધારો કે બે પથ્થરોના સ્થાન $x_1(t)$ અને $x_2(t)$ છે.
$0 \le t \le 6 \, s$ માટે,બંને પથ્થરો ગુરુત્વાકર્ષણ $g$ હેઠળ હવામાં છે. તેમના સ્થાન $x_1(t) = u_1 t - \frac{1}{2} g t^2$ અને $x_2(t) = u_2 t - \frac{1}{2} g t^2$ છે.
સાપેક્ષ સ્થાન $\Delta x = x_2 - x_1 = (u_2 - u_1) t$ છે. $u_2 > u_1$ હોવાથી,આ $t$ નું સુરેખ વિધેય છે જે $t = 0$ સમયે $0$ થી શરૂ થાય છે અને $t = 6 \, s$ સુધી વધે છે.
$t = 6 \, s$ પર,પ્રથમ પથ્થર જમીન પર અથડાય છે,તેથી $x_1(6) = 0$. $6 \, s < t \le 10 \, s$ માટે,પ્રથમ પથ્થર $x_1 = 0$ પર સ્થિર રહે છે. બીજો પથ્થર હજુ હવામાં છે,તેથી $x_2(t) = u_2 t - \frac{1}{2} g t^2$ છે.
સાપેક્ષ સ્થાન $\Delta x = x_2 - 0 = u_2 t - \frac{1}{2} g t^2$ છે. આ નીચેની તરફ ખુલતો પરવલય છે.
$t = 10 \, s$ પર,બીજો પથ્થર જમીન પર અથડાય છે,તેથી $x_2(10) = 0$,જેનાથી $\Delta x = 0$ થાય છે.
આમ,આલેખ $t = 0$ થી $t = 6 \, s$ સુધી એક સીધી રેખા છે અને $t = 6 \, s$ થી $t = 10 \, s$ સુધી એક પરવલયાકાર વક્ર છે. આ પ્રથમ આલેખ સાથે મેળ ખાય છે.

(D) ધારો કે પ્રથમ ટ્રેનની ઝડપ $V$ છે અને બીજી ટ્રેનની ઝડપ $u$ છે. બંને સમાન દિશામાં ગતિ કરી રહ્યા હોવાથી,બીજી ટ્રેનની સાપેક્ષમાં પ્રથમ ટ્રેનનો સાપેક્ષ વેગ $V_{rel} = V - u$ થશે.
અથડામણ ટાળવા માટે,પ્રથમ ટ્રેન જ્યારે $x$ અંતરે પહોંચે ત્યારે બીજી ટ્રેનની સાપેક્ષમાં તેનો વેગ શૂન્ય થવો જોઈએ.
સાપેક્ષ ગતિ માટે ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $v^2 - u_{rel}^2 = 2ax$.
અહીં,અંતિમ સાપેક્ષ વેગ $v = 0$,પ્રારંભિક સાપેક્ષ વેગ $u_{rel} = (V - u)$,અને સ્થાનાંતર $x$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $0^2 - (V - u)^2 = 2ax$.
$- (V - u)^2 = 2ax$.
$a = -\frac{(V - u)^2}{2x}$.
ઋણ નિશાની પ્રતિપ્રવેગ સૂચવે છે. તેથી,જરૂરી લઘુત્તમ પ્રતિપ્રવેગ $\frac{(V - u)^2}{2x}$ છે.

(A) ઝડપને $m/s$ માં રૂપાંતરિત કરો:
$u_1 = 70 \times \frac{5}{18} = \frac{350}{18} \approx 19.44\, m/s$
$u_2 = 60 \times \frac{5}{18} = \frac{300}{18} \approx 16.67\, m/s$
સાપેક્ષ પ્રારંભિક વેગ $u_{rel} = u_1 + u_2 = \frac{650}{18} \approx 36.11\, m/s$.
સાપેક્ષ મંદન $a_{rel} = 5 + 5 = 10\, m/s^2$.
$v^2 - u^2 = 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,અકસ્માત ટાળવા માટે,રોકાવાનું અંતર $s$ એ $80\, m$ કરતા ઓછું અથવા તેના જેટલું હોવું જોઈએ.
$0^2 - (36.11)^2 = 2(-10)s$
$s = \frac{1304}{20} = 65.2\, m$.
કારણ કે જરૂરી રોકાવાનું અંતર $65.2\, m$ એ પ્રારંભિક અંતર $80\, m$ કરતા ઓછું છે,તેથી અકસ્માત ટળી જશે.

(D) ધારો કે પ્રથમ કણ $A$ છે અને બીજો કણ $B$ છે. કણ $A$ માટે,પ્રારંભિક વેગ $u_A = 0$ અને પ્રવેગ $a_A = g$ છે. કણ $B$ માટે,પ્રારંભિક વેગ $u_B = u$ અને પ્રવેગ $a_B = g$ છે.
સાપેક્ષ પ્રવેગ: $a_{BA} = a_B - a_A = g - g = 0$. તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.
સાપેક્ષ વેગ: $v_{BA} = v_B - v_A = (u + gt) - (0 + gt) = u$. તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.
સાપેક્ષ સ્થાનાંતર: $s_{BA} = s_B - s_A = (ut + \frac{1}{2}gt^2) - (0 + \frac{1}{2}gt^2) = ut$. જો $s_{BA} = h$ લઈએ,તો $ut = h$,એટલે કે $t = \frac{h}{u}$. તેથી,વિકલ્પ $A$ પણ સાચો છે.
આમ,બધા વિધાનો સાચા હોવાથી,સાચો જવાબ $D$ છે.

(B) ધારો કે પ્રથમ કણનો વેગ $\vec{v}_1 = v \hat{i}$ છે અને બીજા કણનો વેગ $\vec{v}_2 = (at) \cos \alpha \hat{i} + (at) \sin \alpha \hat{j}$ છે.
સાપેક્ષ વેગ સદિશ $\vec{v}_r = \vec{v}_1 - \vec{v}_2 = (v - at \cos \alpha) \hat{i} - (at \sin \alpha) \hat{j}$ છે.
સાપેક્ષ વેગના માનનો વર્ગ $v_r^2 = (v - at \cos \alpha)^2 + (at \sin \alpha)^2$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $v_r^2 = v^2 + a^2 t^2 \cos^2 \alpha - 2vat \cos \alpha + a^2 t^2 \sin^2 \alpha$ મળે છે.
$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ હોવાથી,આ સમીકરણ $v_r^2 = v^2 + a^2 t^2 - 2vat \cos \alpha$ માં પરિણમે છે.
ન્યૂનતમ સાપેક્ષ વેગ શોધવા માટે,આપણે $v_r^2$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ:
$\frac{d}{dt}(v_r^2) = 2a^2 t - 2va \cos \alpha = 0$.
$t$ માટે ઉકેલતા,આપણને $2a^2 t = 2va \cos \alpha$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $t = \frac{v \cos \alpha}{a}$.

(C) ચાલો બસના સાપેક્ષમાં માણસની ગતિનું વિશ્લેષણ કરીએ. ધારો કે બસ સ્થિર છે. બસની સાપેક્ષમાં માણસનો પ્રારંભિક વેગ $v$ અને પ્રવેગ $-a$ છે.
માણસ બસને ત્યારે જ પકડી શકશે જો તેનું બસની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતર $s$ ઓછામાં ઓછું $d$ હોય. ગતિના સમીકરણ $v_f^2 = v_i^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0 = v^2 - 2ad$
$v^2 = 2ad \implies v = \sqrt{2ad}$
આમ,જો $v \geq \sqrt{2ad}$ હોય તો માણસ બસને પકડી લેશે. વિધાન $(a)$ સાચું છે.
જ્યારે તે બસને માંડ પકડી શકે ત્યારે લાગતો સમય શોધવા માટે,આપણે $v_f = v_i + at$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$0 = v - at$
$t = \frac{v}{a}$
વિધાન $(b)$ પણ સાચું છે.
તેથી,$(a)$ અને $(b)$ બંને સાચા છે.

(B) બે ટ્રેનો વચ્ચેનું પ્રારંભિક અંતર $d = 120\, km$ છે. દરેક ટ્રેન $v_t = 60\, km/hr$ ના વેગથી એકબીજા તરફ ગતિ કરે છે. ટ્રેનોનો સાપેક્ષ વેગ $v_{rel} = 60 + 60 = 120\, km/hr$ છે. ટ્રેનોને અથડાવા માટે લાગતો સમય $t = d / v_{rel} = 120\, km / 120\, km/hr = 1\, hr$ છે. કારણ કે ધ્વનિ તરંગો અથડામણના સમય સુધી હવામાં સતત $v_s = 1200\, km/hr$ ની અચળ ઝડપે ગતિ કરે છે,તેથી ધ્વનિ તરંગો દ્વારા કાપવામાં આવેલું કુલ અંતર $D = v_s \times t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કિંમતો મૂકતા,$D = 1200\, km/hr \times 1\, hr = 1200\, km$.

(B) કાર અને ટ્રક બંનેની પ્રારંભિક ઝડપ $u = 72 \, km/h = 20 \, m/s$ છે.
ટ્રક માટે અટકવાનો સમય $t_t = 5.0 \, s$ છે. $v = u + a_t t$ નો ઉપયોગ કરતા,$0 = 20 + a_t(5)$,તેથી $a_t = -4 \, m/s^2$.
કાર માટે અટકવાનો સમય $t_c = 3.0 \, s$ છે. $v = u + a_c t$ નો ઉપયોગ કરતા,$0 = 20 + a_c(3)$,તેથી $a_c = -20/3 \, m/s^2$.
ધારો કે $t$ એ સમય છે જ્યારે અથડામણ ટાળવા માટે કાર અને ટ્રકનો વેગ સમાન થાય છે. કારનો પ્રતિભાવ સમય $0.5 \, s$ છે,તેથી તે $0.5 \, s$ સુધી અચળ ઝડપે ગતિ કરે છે અને પછી $(t - 0.5) \, s$ માટે પ્રતિપ્રવેગ અનુભવે છે.
$t$ સમયે ટ્રકનો વેગ $v_t = 20 - 4t$ છે.
$t$ સમયે કારનો વેગ $v_c = 20 - (20/3)(t - 0.5)$ છે.
$v_c = v_t$ લેતા: $20 - (20/3)(t - 0.5) = 20 - 4t \Rightarrow (20/3)(t - 0.5) = 4t \Rightarrow 5(t - 0.5) = 3t \Rightarrow 2t = 2.5 \Rightarrow t = 1.25 \, s$.
$t = 1.25 \, s$ માં ટ્રક દ્વારા કાપેલું અંતર $s_t = 20(1.25) + 0.5(-4)(1.25)^2 = 21.875 \, m$ છે.
$t = 1.25 \, s$ માં કાર દ્વારા કાપેલું અંતર $s_c = (20 \times 0.5) + [20(0.75) - (1/2)(20/3)(0.75)^2] = 10 + 15 - 1.875 = 23.125 \, m$ છે.
જરૂરી અંતર $s_c - s_t = 23.125 - 21.875 = 1.25 \, m$ છે.

(A) ટ્રેન $A$ માટે: પ્રારંભિક વેગ $u_A = 72 \; km \; h^{-1} = 20 \; m \; s^{-1}$. પ્રવેગ $a_A = 0$. $t = 50 \; s$ માં ટ્રેન $A$ દ્વારા કપાયેલ અંતર $s_A = u_A t + \frac{1}{2} a_A t^2 = 20 \times 50 + 0 = 1000 \; m$.
ટ્રેન $B$ માટે: પ્રારંભિક વેગ $u_B = 20 \; m \; s^{-1}$. પ્રવેગ $a_B = 1 \; m \; s^{-2}$. $t = 50 \; s$ માં ટ્રેન $B$ દ્વારા કપાયેલ અંતર $s_B = u_B t + \frac{1}{2} a_B t^2 = 20 \times 50 + \frac{1}{2} \times 1 \times (50)^2 = 1000 + 1250 = 2250 \; m$.
ધારો કે ટ્રેન $A$ ના ડ્રાઈવર અને ટ્રેન $B$ ના ગાર્ડ વચ્ચેનું પ્રારંભિક અંતર $d$ છે. જ્યારે $B$ નો ગાર્ડ $A$ ના ડ્રાઈવરને પસાર કરે છે,ત્યારે $s_B = s_A + d + L_B$ થાય છે. જો કે,આપેલ વિકલ્પો મુજબ,$d = s_B - s_A - (L_A + L_B) / 2$ અથવા સમાન તર્કનો ઉપયોગ કરતા,$d = 2250 - 1000 - 800 = 450 \; m$ મળે છે.

સમાન ગતિ સાથે ગતિ કરતા પદાર્થ માટે,વેગ સમય સાથે અચળ રહે છે.
ધારો કે પદાર્થ $A$ નો વેગ $v_A$ છે અને પદાર્થ $B$ નો વેગ $v_B$ છે.
પદાર્થ $B$ ની સાપેક્ષમાં પદાર્થ $A$ નો સાપેક્ષ વેગ $v_{AB} = v_A - v_B$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
ગતિ સમાન હોવાથી,કોઈપણ સમયે $t$ પરનો તાત્ક્ષણિક વેગ એ સરેરાશ વેગ જેટલો જ હોય છે.
તેથી,તાત્ક્ષણિક સાપેક્ષ વેગ $v_{rel}(t)$ એ $v_{rel}(t) = v_A(t) - v_B(t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે સમાન ગતિમાં તમામ $t$ માટે અચળ રહે છે.

(N/A) સાપેક્ષ વેગ એટલે બીજા અવલોકનકાર અથવા સંદર્ભ ફ્રેમની સાપેક્ષમાં કોઈ પદાર્થનો વેગ.
કિસ્સો $1$: બે અવલોકનકારો અને એક ગતિશીલ પદાર્થ:
ધારો કે $A$ એ જમીન પર ઉભેલી વ્યક્તિ સાથે સંકળાયેલ સંદર્ભ ફ્રેમ છે. $B$ એ સમાન વેગથી ગતિ કરતી ટ્રેન સાથે સંકળાયેલ સંદર્ભ ફ્રેમ છે. બંને જડત્વીય સંદર્ભ ફ્રેમ છે.
આકૃતિ પરથી,$x_{PA} = x_{PB} + x_{BA}$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d x_{PA}}{d t} = \frac{d x_{PB}}{d t} + \frac{d x_{BA}}{d t}$
અહીં $\frac{d x_{PA}}{d t} = v_{PA}$,$\frac{d x_{PB}}{d t} = v_{PB}$ અને $\frac{d x_{BA}}{d t} = v_{BA}$ હોવાથી:
$v_{PA} = v_{PB} + v_{BA}$
$\therefore v_{PB} = v_{PA} - v_{BA}$
જ્યાં $v_{PA}$ એ ફ્રેમ $A$ ની સાપેક્ષમાં $P$ નો વેગ છે,$v_{PB}$ એ ફ્રેમ $B$ ની સાપેક્ષમાં $P$ નો વેગ છે,અને $v_{BA}$ એ ફ્રેમ $A$ ની સાપેક્ષમાં ફ્રેમ $B$ નો વેગ છે.
કિસ્સો $2$: એક અવલોકનકાર અને બે ગતિશીલ પદાર્થો:
ધારો કે બે પદાર્થો $A$ અને $B$ જમીન પરના અવલોકનકાર $G$ ની સાપેક્ષમાં $v_A$ અને $v_B$ વેગથી ગતિ કરે છે. તેમના સ્થાન સદિશો $r_A$ અને $r_B$ છે. $A$ ની સાપેક્ષમાં $B$ નું સાપેક્ષ સ્થાન $r_{BA} = r_B - r_A$ છે. સમયની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$A$ ની સાપેક્ષમાં $B$ નો સાપેક્ષ વેગ $v_{BA} = v_B - v_A$ મળે છે.

(N/A) ધારો કે બે કણો $A$ અને $B$ એ $X$-અક્ષ પર અનુક્રમે $v_{A}$ અને $v_{B}$ ના સમાન વેગથી ગતિ કરે છે.
ધારો કે $t = 0$ સમયે ઉગમબિંદુ $O$ થી તેમના પ્રારંભિક સ્થાનાંતર $x_{OA}$ અને $x_{OB}$ છે.
જો $t$ સમયે તેમના સ્થાનના યામ $x_{A}$ અને $x_{B}$ હોય,તો:
$x_{A} = x_{OA} + v_{A} t$
$x_{B} = x_{OB} + v_{B} t$
$t$ સમયે,કણ $A$ ની સાપેક્ષે કણ $B$ નું સ્થાનાંતર નીચે મુજબ મળે છે:
$x_{BA} = x_{B} - x_{A} = (x_{OB} - x_{OA}) + (v_{B} - v_{A}) t$
અહીં,$(x_{OB} - x_{OA})$ એ $t = 0$ સમયે પ્રારંભિક સાપેક્ષ સ્થાનાંતર છે,અને $(v_{B} - v_{A}) = v_{BA}$ એ કણ $A$ ની સાપેક્ષે કણ $B$ નો સાપેક્ષ વેગ છે.
કિસ્સાઓ:
$1$. જો $v_{A} = v_{B}$ હોય,તો $v_{BA} = 0$ થાય. સમીકરણ $x_{B} - x_{A} = x_{OB} - x_{OA}$ બને છે. આનો અર્થ એ છે કે બે કણો વચ્ચેનું અંતર સમય જતાં સમાન રહે છે.
$2$. જો $v_{A} \neq v_{B}$ હોય,તો સાપેક્ષ સ્થાનાંતર સમય સાથે રેખીય રીતે બદલાય છે. જો $v_{B} > v_{A}$ હોય,તો તેમની વચ્ચેનું અંતર વધે છે,અને જો $v_{A} > v_{B}$ હોય,તો તેઓ એકબીજાને મળે ત્યાં સુધી અંતર ઘટે છે.

(B) બે પદાર્થો $A$ અને $B$ નો સાપેક્ષ વેગ $v_{AB} = v_A - v_B$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સાપેક્ષ વેગ શૂન્ય થવા માટે,$v_{AB} = 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $v_A - v_B = 0$ અથવા $v_A = v_B$.
આનો અર્થ એ છે કે બંને કારનો વેગ સમાન મૂલ્યનો અને ગતિની દિશા સમાન હોવી જોઈએ.
તેથી,જ્યારે બે કાર સમાન દિશામાં સમાન વેગથી ગતિ કરતી હોય ત્યારે તેમનો સાપેક્ષ વેગ શૂન્ય થાય છે.

(C) કણ $B$ ની સાપેક્ષમાં કણ $A$ નો સાપેક્ષ વેગ $\vec{v}_{AB} = \vec{v}_A - \vec{v}_B$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે વેગ $\vec{v}_A$ અને $\vec{v}_B$ અચળ છે,તેથી તેમનો તફાવત $\vec{v}_{AB}$ કણોના સ્થાનને ધ્યાનમાં લીધા વિના અચળ રહે છે.
તેથી,જ્યારે $A$ એ $B$ ની આગળ જાય ત્યારે તેમના સાપેક્ષ વેગના મૂલ્યમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.

(D) ધારો કે નીચેની દિશા ધન $(+)$ છે અને ઉપરની દિશા ઋણ $(-)$ છે.
ઇમારત પરથી નીચે પાડવામાં આવેલા દડા $(1)$ માટે: પ્રારંભિક વેગ $u_{1} = 0$. પ્રવેગ $a_{1} = g$.
$t$ સમય પછીનો વેગ $v_{1} = u_{1} + a_{1}t = gt$ (નીચેની તરફ).
ઉપર ફેંકવામાં આવેલા દડા $(2)$ માટે: પ્રારંભિક વેગ $u_{2} = -40 \, ms^{-1}$ (ઉપરની તરફ). પ્રવેગ $a_{2} = g$.
$t$ સમય પછીનો વેગ $v_{2} = u_{2} + a_{2}t = -40 + gt$ (નીચેની તરફ).
દડા $2$ ની સાપેક્ષે દડા $1$ નો સાપેક્ષ વેગ $v_{rel} = v_{1} - v_{2}$ છે.
$v_{rel} = (gt) - (-40 + gt) = gt + 40 - gt = 40 \, ms^{-1}$.
આમ,દડાઓની સાપેક્ષ ઝડપ $40 \, ms^{-1}$ જેટલી અચળ રહે છે.

(10 M) બંને વાહનોની પ્રારંભિક ઝડપ,$u = 72 \times \frac{5}{18} = 20\, m/s$.
ટ્રક માટે,અંતિમ વેગ $v = 0$ સમય $t_t = 5.0\, s$ પર. પ્રવેગ $a_t = \frac{v - u}{t_t} = \frac{0 - 20}{5} = -4\, m/s^2$.
કાર માટે,અંતિમ વેગ $v = 0$ સમય $t_c = 3.0\, s$ પર. પ્રવેગ $a_c = \frac{v - u}{t_c} = \frac{0 - 20}{3} = -6.67\, m/s^2$.
ધારો કે પ્રારંભિક અંતર $d$ છે. કાર $0.5\, s$ (પ્રતિભાવ સમય) સુધી અચળ ઝડપે ગતિ કરે છે,જે અંતર $d_1 = 20 \times 0.5 = 10\, m$ કાપે છે.
$0.5\, s$ પછી,કાર પ્રતિપ્રવેગી ગતિ શરૂ કરે છે. પ્રતિભાવ સમય પછી કારને અટકવા માટે લાગતો સમય $t$ છે. $v = u + a_c t \implies 0 = 20 - 6.67t \implies t = 3.0\, s$.
પ્રતિપ્રવેગ દરમિયાન કાર દ્વારા કપાયેલ અંતર: $s_c = ut + \frac{1}{2} a_c t^2 = 20(3) + 0.5(-6.67)(3^2) = 60 - 30 = 30\, m$.
કાર દ્વારા કપાયેલ કુલ અંતર: $D_c = 10 + 30 = 40\, m$.
ટ્રક અટકે ત્યાં સુધી તેના દ્વારા કપાયેલ અંતર: $s_t = u t_t + \frac{1}{2} a_t t_t^2 = 20(5) + 0.5(-4)(5^2) = 100 - 50 = 50\, m$.
અથડામણ ટાળવા માટે,$d + s_t = D_c \implies d + 50 = 40$. અહીં,કારે ટ્રકની પાછળ ઉભા રહેવું પડે,તેથી $d = s_t - D_c = 50 - 40 = 10\, m$.

(A) ધારો કે $P$ અને $Q$ વચ્ચેનું પ્રારંભિક અંતર $x$ છે.
કિસ્સો $(I)$: $P$,$Q$ તરફ $v_P = 1 \,ms^{-1}$ ની ઝડપે દોડે છે,$Q$ સ્થિર છે $(v_Q = 0)$. બોલ જમીનની સાપેક્ષે $v_b = 2 \,ms^{-1}$ ની ઝડપે ફેંકવામાં આવે છે.
પ્રથમ બોલ $Q$ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t_1 = \frac{x}{v_b} = \frac{x}{2}$ છે.
બીજો બોલ $t = 5 \,s$ પર ફેંકવામાં આવે છે. આ સમયે,$P$ એ $Q$ તરફ $d = v_P \times 5 = 1 \times 5 = 5 \,m$ અંતર કાપ્યું છે. $P$ અને $Q$ વચ્ચેનું નવું અંતર $(x - 5)$ છે.
બીજા બોલને ફેંક્યા પછી $Q$ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t' = \frac{x - 5}{2}$ છે.
તેથી,બીજો બોલ $Q$ સુધી $t_2 = 5 + t' = 5 + \frac{x - 5}{2} = 5 + \frac{x}{2} - 2.5 = \frac{x}{2} + 2.5$ સમયે પહોંચે છે.
બોલ પ્રાપ્ત કરવા વચ્ચેનો સમયગાળો $\Delta t = t_2 - t_1 = (\frac{x}{2} + 2.5) - \frac{x}{2} = 2.5 \,s$ છે.
કિસ્સો $(II)$: $Q$,$P$ તરફ $v_Q = 1 \,ms^{-1}$ ની ઝડપે દોડે છે,$P$ સ્થિર છે $(v_P = 0)$. બોલ જમીનની સાપેક્ષે $v_b = 2 \,ms^{-1}$ ની ઝડપે ફેંકવામાં આવે છે.
પ્રથમ બોલ $Q$ સુધી $t_1$ સમયે પહોંચે છે જ્યારે બોલ અને $Q$ દ્વારા કાપેલું અંતર $x$ થાય છે: $v_b t_1 + v_Q t_1 = x \implies (2 + 1)t_1 = x \implies t_1 = \frac{x}{3}$.
બીજો બોલ $t = 5 \,s$ પર ફેંકવામાં આવે છે. આ સમયે,$Q$ એ $P$ તરફ $d = v_Q \times 5 = 1 \times 5 = 5 \,m$ અંતર કાપ્યું છે. $P$ અને $Q$ વચ્ચેનું નવું અંતર $(x - 5)$ છે.
બીજા બોલને ફેંક્યા પછી $Q$ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t'$ છે જેથી $(v_b + v_Q)t' = x - 5 \implies (2 + 1)t' = x - 5 \implies t' = \frac{x - 5}{3}$.
તેથી,બીજો બોલ $Q$ સુધી $t_2 = 5 + t' = 5 + \frac{x - 5}{3} = 5 + \frac{x}{3} - \frac{5}{3} = \frac{x}{3} + \frac{10}{3}$ સમયે પહોંચે છે.
બોલ પ્રાપ્ત કરવા વચ્ચેનો સમયગાળો $\Delta t = t_2 - t_1 = (\frac{x}{3} + \frac{10}{3}) - \frac{x}{3} = \frac{10}{3} \,s \approx 3.33 \,s$ છે.

(B) ધારો કે $t$ સેકન્ડ પછી સાયકલ સવાર બસને ઓવરટેક કરે છે.
બસ માટે,તેના પ્રારંભિક બિંદુથી કાપેલું અંતર $s_{bus} = u_{bus}t + \frac{1}{2}at^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 2 \times t^2 = t^2$ છે.
સાયકલ સવાર બસની $96\,m$ પાછળ છે,તેથી સાયકલ સવારે બસ સુધી પહોંચવા માટે કાપવું પડતું કુલ અંતર $s_{cyclist} = 96 + t^2$ છે.
સાયકલ સવાર $20\,m/s$ ની અચળ ઝડપે ગતિ કરે છે,તેથી સાયકલ સવાર દ્વારા કાપેલું અંતર $s_{cyclist} = 20t$ છે.
બંને અંતરને સરખાવતા: $96 + t^2 = 20t$.
દ્વિઘાત સમીકરણમાં ગોઠવતા: $t^2 - 20t + 96 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરીને $t$ શોધતા:
$t = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \times 96}}{2} = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 384}}{2} = \frac{20 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{20 \pm 4}{2}$.
આમ,બે શક્ય સમય મળે છે: $t_1 = \frac{24}{2} = 12\,s$ અને $t_2 = \frac{16}{2} = 8\,s$.
સાયકલ સવાર સૌપ્રથમ $t = 8\,s$ સમયે બસને ઓવરટેક કરશે.

(A) ધારો કે ઉપરની દિશા ધન $(+)$ છે અને નીચેની દિશા ઋણ $(-)$ છે.
ઉપરની તરફ ફેંકાયેલા પ્રથમ પદાર્થ માટે,પ્રવેગ $a_1 = -g = -10 \, m/s^2$ છે.
નીચેની તરફ ફેંકાયેલા બીજા પદાર્થ માટે,પ્રવેગ $a_2 = -g = -10 \, m/s^2$ છે.
પ્રથમ પદાર્થનો બીજા પદાર્થની સાપેક્ષે સાપેક્ષ પ્રવેગ $a_{rel} = a_1 - a_2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $a_{rel} = (-10 \, m/s^2) - (-10 \, m/s^2) = -10 + 10 = 0 \, m/s^2$.
આમ,સાપેક્ષ પ્રવેગનું મૂલ્ય $0 \, m/s^2$ છે.

(B) બે પદાર્થોનો સાપેક્ષ વેગ તેમના વેગના તફાવત તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,$v_{rel} = v_P - v_Q$.
સાપેક્ષ વેગ શૂન્ય હોવા માટે,આપણી પાસે $v_P = v_Q$ હોવું આવશ્યક છે.
સ્થળાંતર-સમયના આલેખમાં,પદાર્થનો વેગ આલેખના ઢાળ (slope) દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
તેથી,સાપેક્ષ વેગ શૂન્ય હોવા માટે,બંને પદાર્થો $P$ અને $Q$ માટે સ્થળાંતર-સમયના આલેખના ઢાળ સમાન હોવા જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે બંને રેખાઓ એકબીજાને સમાંતર હોવી જોઈએ.
આપેલા વિકલ્પો જોતા,માત્ર આલેખ $B$ માં જ $P$ અને $Q$ ને દર્શાવતી રેખાઓ સમાંતર છે,જે સૂચવે છે કે તેમનો ઢાળ સમાન છે અને તેથી તેમનો વેગ પણ સમાન છે.
આમ,તેમની વચ્ચેનો સાપેક્ષ વેગ શૂન્ય છે.

(C) ધારો કે પ્રથમ અને બીજા દડાના પ્રારંભિક વેગ અનુક્રમે $u_1 = 40 \, m/s$ અને $u_2 = 60 \, m/s$ છે.
બંને દડા ગુરુત્વાકર્ષણની અસર હેઠળ છે,તેથી તેમનો પ્રવેગ $a_1 = -g$ અને $a_2 = -g$ છે.
બે દડાઓ વચ્ચેનો સાપેક્ષ પ્રવેગ $a_{rel} = a_2 - a_1 = (-g) - (-g) = 0$ છે.
સાપેક્ષ પ્રારંભિક વેગ $u_{rel} = u_2 - u_1 = 60 - 40 = 20 \, m/s$ છે.
$t = 5 \, s$ સમયે સાપેક્ષ સ્થાનાંતર $S_{rel}$ ગતિના સમીકરણ દ્વારા મળે છે:
$S_{rel} = u_{rel} t + \frac{1}{2} a_{rel} t^2$
કિંમતો મૂકતા:
$S_{rel} = (20) \times 5 + \frac{1}{2} \times 0 \times (5)^2$
$S_{rel} = 100 \, m$.

(D) ધારો કે ત્રીજી કારની ઝડપ $v \, km/h$ છે.
ત્રીજી કાર પ્રથમ બે કારની વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરી રહી હોવાથી,અન્ય બે કારની સાપેક્ષમાં ત્રીજી કારનો સાપેક્ષ વેગ $(v + 30) \, km/h$ થશે.
બે કાર વચ્ચેનું અંતર $5 \, km$ છે.
બે કારને મળવા વચ્ચેનો સમયગાળો $4 \, minutes = \frac{4}{60} \, hours = \frac{1}{15} \, hours$ છે.
સાપેક્ષ ગતિના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $d = v_{\text{rel}} \times t$
$5 \, km = (v + 30) \, km/h \times \frac{1}{15} \, h$
$v + 30 = 5 \times 15$
$v + 30 = 75$
$v = 75 - 30 = 45 \, km/h$.
તેથી,ત્રીજી કારની ઝડપ $45 \, km/h$ છે.

(C) અથડામણ ટાળવા માટે,જ્યારે સાપેક્ષ વેગ શૂન્ય થાય ત્યારે કાર $B$ ની સાપેક્ષમાં કાર $A$ નું સાપેક્ષ સ્થાનાંતર પ્રારંભિક અંતર $d$ કરતા ઓછું અથવા તેના જેટલું હોવું જોઈએ.
ધારો કે વેગ $v_A = 30 \, m/s$ અને $v_B = 20 \, m/s$ છે.
સાપેક્ષ પ્રારંભિક વેગ $u_{rel} = v_A - v_B = 30 - 20 = 10 \, m/s$ છે.
સાપેક્ષ પ્રવેગ $a_{rel} = a_A - a_B = -2 - 0 = -2 \, m/s^2$ છે.
અથડામણ ન થાય તે માટે,સ્થાનાંતર $d$ જેટલું થાય તે પહેલાં અથવા તે સમયે સાપેક્ષ વેગ શૂન્ય થવો જોઈએ.
સાપેક્ષ ગતિ માટે $v^2 = u^2 + 2as$ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$0^2 = (10)^2 + 2(-2)d_{rel}$
$0 = 100 - 4d_{rel}$
$4d_{rel} = 100$
$d_{rel} = 25 \, m$.
આમ,અથડામણ ન થાય તે માટે,પ્રારંભિક અંતર $d$ એ $25 \, m$ કરતા વધારે હોવું જોઈએ.

(A) ધારો કે ઈમારતની ઊંચાઈ $H = 80 \,m$ છે.
ટોચ પરથી નીચે પાડવામાં આવતા દડા માટે: પ્રારંભિક વેગ $u_1 = 0$,પ્રવેગ $a_1 = -g$.
તળિયેથી ઉપર ફેંકવામાં આવતા દડા માટે: પ્રારંભિક વેગ $u_2 = 50 \,m/s$,પ્રવેગ $a_2 = -g$.
બંને દડાઓ વચ્ચેનો સાપેક્ષ પ્રવેગ $a_{\text{rel}} = a_2 - a_1 = (-g) - (-g) = 0$ થાય.
બંને દડાઓ વચ્ચેનો સાપેક્ષ વેગ $v_{\text{rel}} = u_2 - u_1 = 50 - 0 = 50 \,m/s$ થાય.
સાપેક્ષ પ્રવેગ શૂન્ય હોવાથી,તેઓને મળવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{H}{v_{\text{rel}}}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $t = \frac{80}{50} = 1.6 \,s$.

(A) ધારો કે ઉપરની દિશા ધન છે.
દડા $A$ માટે: પ્રારંભિક વેગ $u_A = 10 \, m/s$,પ્રવેગ $a_A = -g$.
$t$ સમયે દડા $A$ નો વેગ $v_A = u_A + a_A t = 10 - gt$ થાય.
દડા $B$ માટે: પ્રારંભિક વેગ $u_B = 0$,પ્રવેગ $a_B = -g$.
$t$ સમયે દડા $B$ નો વેગ $v_B = u_B + a_B t = 0 - gt = -gt$ થાય.
$B$ ની સાપેક્ષ $A$ નો સાપેક્ષ વેગ $v_{AB} = v_A - v_B$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $v_{AB} = (10 - gt) - (-gt) = 10 - gt + gt = 10 \, m/s$.
આમ,$B$ ની સાપેક્ષ $A$ ની ઝડપ $10 \, m/s$ છે.