Relative Motion in One Dimension Questions in Gujarati

(D) આપેલ વેગ $v_1 = 6 \, m/s$ અને $v_2 = 10 \, m/s$ છે.
બંને પદાર્થો એક જ બિંદુથી એક જ દિશામાં ગતિ કરતા હોવાથી,તેમનો સાપેક્ષ વેગ $v_{rel} = v_2 - v_1 = 10 - 6 = 4 \, m/s$ થશે.
કોઈપણ સમય $t$ પર તેમની વચ્ચેનું અંતર $s = v_{rel} \times t$ દ્વારા મળે છે.
અહીં અંતર $s = 40 \, m$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $40 = 4 \times t$.
તેથી,$t = \frac{40}{4} = 10 \, s$.

(D) જમીનની સાપેક્ષમાં ટ્રેનની ઝડપ $V_T = 90 \,km/h$ છે.
આને $m/s$ માં ફેરવતા: $V_T = 90 \times \frac{5}{18} = 25 \,m/s$.
ટ્રેનની સાપેક્ષમાં વ્યક્તિની ઝડપ $V_{P/T} = 1 \,m/s$ છે,જે ટ્રેનની ગતિની દિશામાં છે.
જમીનની સાપેક્ષમાં વ્યક્તિની ઝડપ $(V_P)$ સાપેક્ષ વેગના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $V_P = V_{P/T} + V_T$.
કિંમતો મૂકતા: $V_P = 1 \,m/s + 25 \,m/s = 26 \,m/s$.
તેથી,જમીનની સાપેક્ષમાં વ્યક્તિની ઝડપ $26 \,m/s$ છે.

(C) ધારો કે માણસ $v$ જેટલી અચળ ઝડપે દોડે છે. ધારો કે બસને પકડવા માટે લાગતો સમય $t$ છે.
$t$ સમયમાં બસ દ્વારા કાપેલું અંતર $s_b = \frac{1}{2} a t^2 = \frac{1}{2} \times 3 \times t^2 = 1.5 t^2$ છે.
બસ સુધી પહોંચવા માટે માણસે કાપવું પડતું કુલ અંતર $s_m = 6 + s_b = 6 + 1.5 t^2$ છે.
માણસ $v$ જેટલી અચળ ઝડપે દોડે છે,તેથી તેણે કાપેલું અંતર $s_m = v t$ છે.
$s_m$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $v t = 6 + 1.5 t^2$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $1.5 t^2 - v t + 6 = 0$ મળે છે.
માણસ બસને પકડી શકે તે માટે,સમય $t$ નું મૂલ્ય વાસ્તવિક હોવું જોઈએ. આ માટે દ્વિઘાત સમીકરણનો વિવેચક શૂન્ય અથવા તેનાથી મોટો હોવો જોઈએ $(D \ge 0)$.
$D = (-v)^2 - 4(1.5)(6) \ge 0$
$v^2 - 36 \ge 0$
$v^2 \ge 36 \implies v \ge 6\,m s^{-1}$.
આમ,જરૂરી લઘુત્તમ ઝડપ $6\,m s^{-1}$ છે.

(C) ધારો કે બંને દડા $t$ સેકન્ડ પછી મળે છે.
ટોચ પરથી નીચે ફેંકવામાં આવેલા દડા માટે:
કાપેલું અંતર $s_1 = \frac{1}{2} g t^2$ છે.
તળિયેથી ઉપર ફેંકવામાં આવેલા દડા માટે:
કાપેલું અંતર $s_2 = u t - \frac{1}{2} g t^2$ છે,જ્યાં $u = 40\,m/s$ છે.
ઇમારતની કુલ ઊંચાઈ $100\,m$ હોવાથી,બંને દડા દ્વારા કાપવામાં આવેલા અંતરનો સરવાળો ઇમારતની ઊંચાઈ જેટલો થવો જોઈએ:
$s_1 + s_2 = 100$
સમીકરણો મૂકતા:
$\frac{1}{2} g t^2 + (40 t - \frac{1}{2} g t^2) = 100$
$40 t = 100$
$t = \frac{100}{40} = 2.5\,s$.
આમ,બંને દડા $2.5\,s$ પછી મળશે.

(A) સૌ પ્રથમ,ઝડપને $km/h$ માંથી $m/s$ માં ફેરવવા માટે $\frac{5}{18}$ વડે ગુણો.
$V_A = 72 \times \frac{5}{18} = 20 \ m/s$ (ઉત્તર દિશામાં,ધન લેતા).
$V_B = 108 \times \frac{5}{18} = 30 \ m/s$ (દક્ષિણ દિશામાં,ઋણ લેતા,તેથી $V_B = -30 \ m/s$).
ટ્રેન $A$ ની સાપેક્ષે ટ્રેન $B$ નો વેગ $V_{BA} = V_B - V_A = -30 - 20 = -50 \ m/s$ થાય.
ટ્રેન $B$ ની સાપેક્ષે જમીનનો વેગ $V_{GB} = V_G - V_B = 0 - (-30) = 30 \ m/s$ થાય.
આમ,વેગ $-50 \ m/s$ અને $30 \ m/s$ છે.

(C) ધારો કે બે કાર $A$ અને $B$ છે. કાર $A$ નો પ્રારંભિક વેગ $u_A = 20 \,m \,s^{-1}$ અને કાર $B$ નો $u_B = -20 \,m \,s^{-1}$ છે.
કાર $A$ ની સાપેક્ષમાં કાર $B$ નો સાપેક્ષ પ્રારંભિક વેગ $u_{BA} = u_B - u_A = -20 - 20 = -40 \,m \,s^{-1}$ છે.
સાપેક્ષ પ્રારંભિક વેગનું મૂલ્ય $|u_{BA}| = 40 \,m \,s^{-1}$ છે.
બંને કાર $a = 2 \,m \,s^{-2}$ ના દરે પ્રતિપ્રવેગિત થાય છે. ધારો કે $a_A = -2 \,m \,s^{-2}$ અને $a_B = 2 \,m \,s^{-2}$.
કાર $A$ ની સાપેક્ષમાં કાર $B$ નો સાપેક્ષ પ્રવેગ $a_{BA} = a_B - a_A = 2 - (-2) = 4 \,m \,s^{-2}$ છે.
સાપેક્ષ ગતિ માટે ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા, જ્યાં અંતિમ સાપેક્ષ વેગ $v_{BA} = 0$ છે:
$0^2 = (-40)^2 + 2(-4)S$
$0 = 1600 - 8S$
$8S = 1600 \implies S = 200 \,m$.
આ અંતર કાર સ્થિર થાય તે પહેલાં કપાયેલું સાપેક્ષ અંતર છે.
કારો વચ્ચેનું પ્રારંભિક અંતર $300 \,m$ હતું.
તેથી, જ્યારે તેઓ સ્થિર થાય ત્યારે તેમની વચ્ચેનું બાકી રહેલું અંતર $300 \,m - 200 \,m = 100 \,m$ છે.

(C) અથડામણ ટાળવા માટે,કાર $B$ ની સાપેક્ષમાં કાર $A$ નો સાપેક્ષ વેગ શૂન્ય થવો જોઈએ,તે પહેલાં અથવા જે ક્ષણે તેમની વચ્ચેનું અંતર શૂન્ય થાય.
ધારો કે $u_r$ એ પ્રારંભિક સાપેક્ષ વેગ છે: $u_r = V_A - V_B$.
ધારો કે $a_r$ એ સાપેક્ષ પ્રવેગ છે: $a_r = -a - 0 = -a$.
ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $v$ એ અંતિમ સાપેક્ષ વેગ $(0)$ છે,$u$ એ પ્રારંભિક સાપેક્ષ વેગ $(V_A - V_B)$ છે,અને $s$ એ રોકાવા માટે જરૂરી સાપેક્ષ સ્થાનાંતર $S'$ છે:
$0^2 = (V_A - V_B)^2 + 2(-a)S'$.
$S'$ માટે ઉકેલતા,આપણને $S' = \frac{(V_A - V_B)^2}{2a}$ મળે છે.
અથડામણ ન થાય તે માટે,પ્રારંભિક અંતર $S$ એ રોકાવાના અંતર $S'$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલું હોવું જોઈએ.
તેથી,$S \geqslant \frac{(V_A - V_B)^2}{2a}$.

(C) ધારો કે એસ્કેલેટરની ઊંચાઈ $h$ છે।
સ્થિર એસ્કેલેટર પર છોકરીની ચાલવાની ઝડપ $v_{g} = \frac{h}{20}$ છે।
ગતિશીલ એસ્કેલેટરની ઝડપ $v_{e} = \frac{h}{30}$ છે।
જ્યારે છોકરી ગતિશીલ એસ્કેલેટર પર ચાલે છે, ત્યારે તેની અસરકારક ઝડપ એ તેની ચાલવાની ઝડપ અને એસ્કેલેટરની ઝડપનો સરવાળો છે: $v_{total} = v_{g} + v_{e}$.
$v_{total} = \frac{h}{20} + \frac{h}{30} = h \left( \frac{3+2}{60} \right) = \frac{5h}{60} = \frac{h}{12}$.
$h$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{h}{v_{total}} = \frac{h}{h/12} = 12 \,s$ છે।

(C) આપેલ પરિસ્થિતિ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ છે.
બસ $A$ નો વેગ,$v_A = 36 \ km/h = 36 \times \frac{5}{18} = 10 \ m/s$ (પૂર્વ તરફ).
બસ $B$ નો વેગ,$v_B = 18 \ km/h = 18 \times \frac{5}{18} = 5 \ m/s$ (પશ્ચિમ તરફ).
ધારો કે પૂર્વ તરફની દિશા ધન છે. તો,$v_A = +10 \ m/s$ અને $v_B = -5 \ m/s$.
બસ $A$ ની સાપેક્ષમાં બસ $B$ નો સાપેક્ષ વેગ નીચે મુજબ છે:
$v_{BA} = v_B - v_A = (-5) - (10) = -15 \ m/s$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે બસ $B$,બસ $A$ ની સાપેક્ષમાં પશ્ચિમ તરફ ગતિ કરતી દેખાય છે.
તેથી,બસ $A$ ને બસ $B$ એ $15 \ m/s$ ની ઝડપે પૂર્વથી પશ્ચિમ તરફ ગતિ કરતી દેખાશે.

(A) બે કાર $A$ અને $B$ ની ગતિ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે。
કાર $B$ ની સાપેક્ષમાં કાર $A$ નો સાપેક્ષ વેગ:
$v_{AB} = v_A - v_B = 15 \,m/s - 10 \,m/s = 5 \,m/s$
કાર $B$ ને સંપૂર્ણપણે ઓવરટેક કરવા માટે, કાર $A$ એ બંને કારની લંબાઈના સરવાળા જેટલું અંતર કાપવું પડે:
$s = 4 \,m + 4 \,m = 8 \,m$
ઓવરટેક પૂર્ણ કરવા માટે લાગતો સમય:
$t = \frac{s}{v_{AB}} = \frac{8 \,m}{5 \,m/s} = 1.6 \,s$

(C) ધારો કે પોલીસ પાર્ટી $t$ સમય પછી ચોરને પકડે છે.
$t$ સમયમાં પોલીસ પાર્ટી દ્વારા કાપેલું અંતર $d_p = v t$ છે.
સ્થિર સ્થિતિમાંથી $a$ જેટલા પ્રવેગ સાથે ગતિ શરૂ કરતા ચોર દ્વારા $t$ સમયમાં કાપેલું અંતર $d_t = x + \frac{1}{2} a t^2$ છે.
પોલીસ ચોરને પકડી શકે તે માટે,પોલીસ દ્વારા કાપેલું અંતર એ ચોર દ્વારા કાપેલા અંતર કરતા વધારે અથવા તેના જેટલું હોવું જોઈએ:
$v t \geq x + \frac{1}{2} a t^2$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $t$ માં એક દ્વિઘાત અસમતા મળે છે:
$\frac{1}{2} a t^2 - v t + x \leq 0$
$t$ માટે વાસ્તવિક ઉકેલ અસ્તિત્વ ધરાવે તે માટે,અનુરૂપ દ્વિઘાત સમીકરણ $\frac{1}{2} a t^2 - v t + x = 0$ નો વિવેચક શૂન્ય અથવા તેનાથી મોટો હોવો જોઈએ.
વિવેચક $D = b^2 - 4ac$ નીચે મુજબ છે:
$D = (-v)^2 - 4(\frac{1}{2} a)(x) \geq 0$
$v^2 - 2 a x \geq 0$
$v^2 \geq 2 a x$