Motion Under Gravity Questions in Hindi

(B) माना मीनार की कुल ऊंचाई $H$ है और गिरने का कुल समय $t$ है।
चूंकि पत्थर को गिराया गया है,इसलिए प्रारंभिक वेग $u = 0$ है।
कुल ऊंचाई $H = \frac{1}{2}gt^2$ है।
पहले $(t-1)$ सेकंड में तय की गई दूरी $H' = \frac{1}{2}g(t-1)^2$ है।
अंतिम सेकंड में तय की गई दूरी $H - H' = \frac{5}{9}H$ है।
$H$ और $H'$ के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2}gt^2 - \frac{1}{2}g(t-1)^2 = \frac{5}{9} \left(\frac{1}{2}gt^2\right)$
दोनों पक्षों को $\frac{1}{2}g$ से विभाजित करने पर:
$t^2 - (t-1)^2 = \frac{5}{9}t^2$
$t^2 - (t^2 - 2t + 1) = \frac{5}{9}t^2$
$2t - 1 = \frac{5}{9}t^2$
$18t - 9 = 5t^2$
$5t^2 - 18t + 9 = 0$
गुणनखंड विधि का उपयोग करके द्विघात समीकरण को हल करने पर:
$5t^2 - 15t - 3t + 9 = 0$
$5t(t - 3) - 3(t - 3) = 0$
$(5t - 3)(t - 3) = 0$
इससे $t = \frac{3}{5} \text{ s}$ या $t = 3 \text{ s}$ प्राप्त होता है।
चूंकि अंतिम सेकंड का अर्थ है $t > 1$,इसलिए हम $t = \frac{3}{5} \text{ s}$ को छोड़ देते हैं।
अतः,गिरने का कुल समय $3 \text{ s}$ है।

(A) माना मीनार की ऊँचाई $h$ है। पत्थर को $u$ प्रारंभिक वेग के साथ ऊपर की ओर फेंका जाता है। जब यह जमीन पर पहुँचता है,तो इसका अंतिम वेग $v = 4u$ होता है।
गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करते हुए: $v^2 = u^2 + 2as$.
यहाँ,विस्थापन $s = -h$ (प्रक्षेपण बिंदु से नीचे की ओर) और त्वरण $a = -g$ है।
अतः,$(4u)^2 = u^2 + 2(-g)(-h)$.
$16u^2 = u^2 + 2gh$.
$15u^2 = 2gh$.
इसलिए,मीनार की ऊँचाई $h = \frac{15u^2}{2g}$ है।

(C) मान लीजिए पहली वस्तु $1$ है और दूसरी वस्तु $2$ है।
पहली वस्तु के लिए,प्रारंभिक वेग $u_1 = 0$ और त्वरण $a_1 = -g$ है।
दूसरी वस्तु के लिए,प्रारंभिक वेग $u_2 = -5 \, m/s$ (नीचे की ओर) और त्वरण $a_2 = -g$ है।
सापेक्ष प्रारंभिक वेग $u_{\text{rel}} = u_1 - u_2 = 0 - (-5) = 5 \, m/s$ है।
सापेक्ष त्वरण $a_{\text{rel}} = a_1 - a_2 = -g - (-g) = 0 \, m/s^2$ है।
$t = 3 \, s$ समय के बाद सापेक्ष विस्थापन $s_{\text{rel}} = u_{\text{rel}} t + \frac{1}{2} a_{\text{rel}} t^2$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$s_{\text{rel}} = 5 \times 3 + 0 = 15 \, m$ प्राप्त होता है।
अतः,$3 \, s$ के बाद दोनों वस्तुओं की ऊँचाई में अंतर $15 \, m$ होगा।

(D) आवाज सुनने में लगा कुल समय $T$,लोहे के ब्लॉक को पानी की सतह तक गिरने में लगे समय $(t_1)$ और ध्वनि को वापस ऊपर आने में लगे समय $(t_2)$ का योग है।
दिया गया है: गहराई $h = 78.4 \, m$,$g = 9.8 \, m/s^2$,कुल समय $T = 4.23 \, s$.
सबसे पहले,गति के समीकरण $h = \frac{1}{2} g t_1^2$ का उपयोग करके ब्लॉक को गिरने में लगा समय $(t_1)$ ज्ञात करें:
$78.4 = \frac{1}{2} \times 9.8 \times t_1^2$
$t_1^2 = \frac{78.4 \times 2}{9.8} = 16$
$t_1 = 4 \, s$.
ध्वनि को वापस आने में लगा समय $(t_2)$ $T - t_1 = 4.23 - 4 = 0.23 \, s$ है।
ध्वनि की गति $v = \frac{h}{t_2} = \frac{78.4}{0.23} \approx 340.87 \, m/s$ है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,ध्वनि की गति $340.8 \, m/s$ है।

(A) वस्तु को विराम अवस्था से गिराया जाता है,इसलिए प्रारंभिक वेग $u = 0$ है।
$n^{th}$ सेकंड में तय की गई दूरी $S_n = u + \frac{g}{2}(2n - 1)$ द्वारा दी जाती है।
$8^{th}$ सेकंड के लिए $(n = 8)$:
$S_8 = 0 + \frac{10}{2}(2 \times 8 - 1) = 5 \times 15 = 75\,m$.
स्थितिज ऊर्जा में हानि $\Delta U = mgh$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ अंतिम सेकंड में तय की गई दूरी है।
$\Delta U = 0.4 \times 10 \times 75 = 4 \times 75 = 300\,J$.

(B) गति के पहले समीकरण का उपयोग करते हुए,$v = u + at$।
यहाँ,प्रारंभिक वेग $u = 150\,m/s$,त्वरण $a = -g = -10\,m/s^2$,और $t$ सेकंड में समय है।
अतः,$v(t) = 150 - 10t$।
$3\,s$ के बाद वेग $v(3) = 150 - 10(3) = 150 - 30 = 120\,m/s$ है।
$5\,s$ के बाद वेग $v(5) = 150 - 10(5) = 150 - 50 = 100\,m/s$ है।
वेगों का अनुपात $\frac{v(3)}{v(5)} = \frac{120}{100} = \frac{6}{5}$ है।
दिया गया है कि अनुपात $\frac{x+1}{x}$ है,इसलिए $\frac{x+1}{x} = \frac{6}{5}$।
पदों की तुलना करने पर,$x = 5$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है:
प्रारंभिक वेग $u = 4\,m s^{-1}$ (ऊपर की दिशा को धनात्मक लेने पर)।
समय $t = 4\,s$.
त्वरण $a = -g = -10\,m s^{-2}$ (नीचे की दिशा को ऋणात्मक लेने पर)।
माना पुल की ऊँचाई $H$ है। जब गेंद पानी की सतह से टकराती है तो उसका विस्थापन $S = -H$ होता है (क्योंकि यह प्रारंभिक बिंदु से नीचे की ओर है)।
गति के समीकरण $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
$-H = (4)(4) + \frac{1}{2}(-10)(4)^2$
$-H = 16 - 5 \times 16$
$-H = 16 - 80$
$-H = -64$
$H = 64\,m$
अतः,पानी की सतह से पुल की ऊँचाई $64\,m$ है।

(D) माना बिंदु $A$ पर वस्तु का वेग $u$ है। वस्तु $g = 10 \ m/s^2$ के त्वरण के साथ गुरुत्वाकर्षण के अधीन गिर रही है।
$A$ से $B$ तक की गति के लिए गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}gt^2$ का उपयोग करने पर:
$80 = u(2) + \frac{1}{2}(10)(2)^2$
$80 = 2u + 20$
$60 = 2u$
$u = 30 \ m/s$
अब,प्रारंभिक बिंदु $O$ (जहाँ प्रारंभिक वेग $u_0 = 0$ है) से बिंदु $A$ तक की गति पर विचार करने पर:
$v^2 = u_0^2 + 2gS$ का उपयोग करने पर,जहाँ $v = u = 30 \ m/s$ है:
$(30)^2 = 0^2 + 2(10)S$
$900 = 20S$
$S = 45 \ m$
अतः,प्रारंभिक बिंदु से बिंदु $A$ की दूरी $45 \ m$ है।

(A) माना टावर की ऊँचाई $h$ है और प्रारंभिक गति $u$ है। नीचे की दिशा को धनात्मक लेने पर,गति का समीकरण $h = ut + \frac{1}{2}gt^2$ है।
ऊपर की ओर फेंकने के लिए,प्रारंभिक वेग $-u$ है: $h = -ut_1 + \frac{1}{2}gt_1^2 \Rightarrow \frac{1}{2}gt_1^2 - ut_1 - h = 0$। $t_1$ के लिए हल करने पर (धनात्मक मूल लेने पर): $t_1 = \frac{u + \sqrt{u^2 + 2gh}}{g}$।
नीचे की ओर फेंकने के लिए,प्रारंभिक वेग $+u$ है: $h = ut_2 + \frac{1}{2}gt_2^2 \Rightarrow \frac{1}{2}gt_2^2 + ut_2 - h = 0$। $t_2$ के लिए हल करने पर (धनात्मक मूल लेने पर): $t_2 = \frac{-u + \sqrt{u^2 + 2gh}}{g}$।
यदि वस्तु को गिराया जाता है,तो $u = 0$,इसलिए $h = \frac{1}{2}gt^2 \Rightarrow t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$।
$t_1$ और $t_2$ का गुणा करने पर: $t_1 t_2 = \left(\frac{\sqrt{u^2 + 2gh} + u}{g}\right) \left(\frac{\sqrt{u^2 + 2gh} - u}{g}\right) = \frac{(u^2 + 2gh) - u^2}{g^2} = \frac{2gh}{g^2} = \frac{2h}{g} = t^2$।
अतः,$t = \sqrt{t_1 t_2}$।

(C) माना कुल ऊँचाई $H$ है। चूँकि पत्थर को गिराया जाता है,प्रारंभिक वेग $u = 0$ है। जमीन तक पहुँचने में लगा समय $t = 5 \ s$ है। समीकरण $H = \frac{1}{2}gt^2$ का उपयोग करने पर:
$H = \frac{1}{2} \times 10 \times (5)^2 = 125 \ m$.
पहले $3 \ s$ में,तय की गई दूरी $h_1 = \frac{1}{2} \times 10 \times (3)^2 = 45 \ m$ है।
तय की जाने वाली शेष दूरी $h_2 = H - h_1 = 125 - 45 = 80 \ m$ है।
जब पत्थर को रोकने के बाद फिर से छोड़ा जाता है,तो यह विरामावस्था $(u = 0)$ से शुरू होता है और शेष दूरी $h_2$ को $t'$ समय में तय करता है।
$h_2 = \frac{1}{2}gt'^2 \Rightarrow 80 = \frac{1}{2} \times 10 \times t'^2$.
$80 = 5t'^2 \Rightarrow t'^2 = 16 \Rightarrow t' = 4 \ s$.
कुल समय प्रारंभिक $3 \ s$ और शेष दूरी को तय करने में लगे समय $t'$ का योग है।
कुल समय $= 3 \ s + 4 \ s = 7 \ s$.

(D) माना कण को प्रारंभिक वेग $u$ के साथ प्रक्षेपित किया गया है। ऊँचाई $h$ के लिए गति का समीकरण $h = ut - \frac{1}{2}gt^2$ है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $t$ में एक द्विघात समीकरण प्राप्त होता है: $\frac{1}{2}gt^2 - ut + h = 0$.
यह दिया गया है कि कण $t_1 = 5 \ s$ और $t_2 = 9 \ s$ पर $h$ ऊँचाई प्राप्त करता है,जो इस द्विघात समीकरण के मूल हैं।
द्विघात समीकरण के गुणों के अनुसार,मूलों का योग $t_1 + t_2 = \frac{2u}{g}$ होता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $5 + 9 = \frac{2u}{10}$.
$14 = \frac{2u}{10} \Rightarrow 2u = 140 \Rightarrow u = 70 \ m/s$.

(C) मान लीजिए टॉवर की ऊँचाई $h = 200 \ m$ है और प्रारंभिक गति $u = 10 \ m/s$ है।
नीचे की ओर फेंकी गई गेंद के लिए: $h = ut_1 + \frac{1}{2}gt_1^2 \implies 200 = 10t_1 + 5t_1^2 \implies t_1^2 + 2t_1 - 40 = 0$। द्विघात सूत्र का उपयोग करके $t_1$ का मान: $t_1 = \frac{-2 + \sqrt{4 - 4(1)(-40)}}{2} = \frac{-2 + \sqrt{164}}{2} = -1 + \sqrt{41} \approx 5.4 \ s$।
ऊपर की ओर फेंकी गई गेंद के लिए: $h = -ut_2 + \frac{1}{2}gt_2^2 \implies 200 = -10t_2 + 5t_2^2 \implies t_2^2 - 2t_2 - 40 = 0$। $t_2$ का मान: $t_2 = \frac{2 + \sqrt{4 - 4(1)(-40)}}{2} = \frac{2 + \sqrt{164}}{2} = 1 + \sqrt{41} \approx 7.4 \ s$।
समय का अंतर $\Delta t = t_2 - t_1 = (1 + \sqrt{41}) - (-1 + \sqrt{41}) = 2 \ s$ है।

(C) पहले पत्थर द्वारा अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने में लिया गया समय $t = \frac{u}{g} = \frac{50}{10} = 5 \,s$ है।
चूँकि दूसरा पत्थर नीचे की ओर फेंका गया है, उसका प्रारंभिक वेग $u = 50 \,ms^{-1}$ और त्वरण $a = 10 \,ms^{-2}$ (नीचे की दिशा को धनात्मक लेने पर) है।
गति के पहले समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करके $t = 5 \,s$ पर दूसरे पत्थर का वेग:
$v = 50 + (10 \times 5) = 50 + 50 = 100 \,ms^{-1}$.

(A) माना कण को जमीन तक पहुँचने में लगा कुल समय $n$ सेकंड है। प्रारंभिक वेग $u = 0$ और त्वरण $a = g = 10 \ m/s^2$ है।
पहले $3$ सेकंड में तय की गई दूरी $S_3 = \frac{1}{2} g(3)^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times 9 = 45 \ m$ है।
अंतिम $1$ सेकंड में तय की गई दूरी $S_{last} = u + \frac{g}{2}(2n - 1) = 0 + \frac{10}{2}(2n - 1) = 5(2n - 1)$ द्वारा दी जाती है।
प्रश्न के अनुसार,$S_{last} = S_3$,इसलिए $5(2n - 1) = 45$.
$2n - 1 = 9 \Rightarrow 2n = 10 \Rightarrow n = 5 \ s$.
मीनार की ऊँचाई $h = \frac{1}{2} g n^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times (5)^2 = 5 \times 25 = 125 \ m$ है।

(C) माना टॉवर की कुल ऊँचाई $H$ है। जमीन तक पहुँचने में लगा समय $t$ है। गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = 0$ और $a = g$:
$H = \frac{1}{2}gt^2$ --- $(i)$
$\frac{t}{2}$ समय के बाद,पिंड द्वारा शीर्ष से तय की गई दूरी $x$ है:
$x = \frac{1}{2}g(\frac{t}{2})^2 = \frac{1}{2}g(\frac{t^2}{4}) = \frac{1}{8}gt^2$ --- $(ii)$
समीकरण $(i)$ से,हम जानते हैं कि $\frac{1}{2}gt^2 = H$,इसलिए $\frac{1}{4}(\frac{1}{2}gt^2) = \frac{H}{4}$.
अतः,शीर्ष से दूरी $x = \frac{H}{4}$ है।
जमीन से पिंड की ऊँचाई $H - x = H - \frac{H}{4} = \frac{3H}{4}$ मीटर होगी।

(B) माना प्रारंभिक वेग $u$ है। कुल उड़ान का समय $T = t_1 + t_2$ है। चूंकि गेंद जमीन पर वापस आती है,इसलिए कुल विस्थापन $0$ है। गति के समीकरण $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर,जहाँ $a = -g$:
$0 = u(t_1 + t_2) - \frac{1}{2}g(t_1 + t_2)^2$
$u = \frac{1}{2}g(t_1 + t_2)$
अब,$t_1$ समय पर प्राप्त ऊँचाई $h$ इस प्रकार है:
$h = ut_1 - \frac{1}{2}gt_1^2$
$u$ का मान रखने पर:
$h = \left[\frac{1}{2}g(t_1 + t_2)\right]t_1 - \frac{1}{2}gt_1^2$
$h = \frac{1}{2}gt_1^2 + \frac{1}{2}gt_1t_2 - \frac{1}{2}gt_1^2$
$h = \frac{1}{2}gt_1t_2$

(A) जब पिंड विराम अवस्था से $h$ ऊँचाई से गिरता है,तो वह $V$ वेग प्राप्त करता है।
गति के समीकरण $v^2 = u^2 + 2as$ का उपयोग करते हुए:
$V^2 = 0^2 + 2gh$
$\therefore h = \frac{V^2}{2g}$
यदि यह और नीचे गिरता है और $3V$ का अंतिम वेग प्राप्त करता है,तो मान लीजिए कि कुल तय की गई ऊँचाई $h'$ है।
उसी समीकरण का उपयोग करते हुए:
$(3V)^2 = 0^2 + 2gh'$
$9V^2 = 2gh'$
$\therefore h' = \frac{9V^2}{2g} = 9h$
अतिरिक्त अंतराल में तय की गई दूरी कुल ऊँचाई और प्रारंभिक ऊँचाई के बीच का अंतर है:
$\text{दूरी} = h' - h = 9h - h = 8h$.

(D) मान लीजिए कि ऊपर की दिशा धनात्मक है और नीचे की दिशा ऋणात्मक है।
प्रारंभिक वेग $u = +5 \ m/s$.
समय $t = 2 \ s$.
त्वरण $a = -g = -10 \ m/s^2$.
गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
$s = (5)(2) + \frac{1}{2}(-10)(2)^2$
$s = 10 - 5(4)$
$s = 10 - 20 = -10 \ m$.
ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि विस्थापन शुरुआती बिंदु से $10 \ m$ नीचे है।
अतः,पुल की ऊँचाई $10 \ m$ है।

(D) मान लीजिए कि ऊपर की ओर जाने का कुल समय $T$ है। उच्चतम बिंदु पर,अंतिम वेग $v = 0$ होता है। समीकरण $v = u - gT$ का उपयोग करने पर,$0 = u - gT$,जिससे $T = u/g$ प्राप्त होता है।
ऊपर की ओर जाने के अंतिम '$t$' सेकंड के दौरान,गेंद $(T-t)$ समय के अनुरूप ऊंचाई से अधिकतम ऊंचाई तक जाती है।
वैकल्पिक रूप से,गति को विपरीत दिशा में देखें: गेंद अधिकतम ऊंचाई पर विरामावस्था से शुरू होती है और गुरुत्वाकर्षण के तहत '$t$' सेकंड के लिए नीचे गिरती है।
विरामावस्था से शुरू होने वाली नीचे की गति के लिए गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर $(u_{initial} = 0)$:
$s = 0 \cdot t + \frac{1}{2}gt^2 = \frac{1}{2}gt^2$.
अतः,ऊपर की ओर जाने के अंतिम '$t$' सेकंड में तय की गई दूरी $\frac{1}{2}gt^2$ है।

(B) टॉवर की कुल ऊँचाई $H$ है। जमीन तक पहुँचने में लगा समय $T$ है। गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = 0$ और $a = g$ है:
$H = \frac{1}{2} g T^2 \Rightarrow g T^2 = 2H \dots (i)$
अब,मान लीजिए कि $t = \frac{T}{4}$ समय में गेंद द्वारा शीर्ष से तय की गई दूरी $x$ है:
$x = \frac{1}{2} g \left( \frac{T}{4} \right)^2 = \frac{1}{2} g \frac{T^2}{16} = \frac{g T^2}{32}$
समीकरण $(i)$ से $g T^2$ का मान रखने पर:
$x = \frac{2H}{32} = \frac{H}{16}$
जमीन से गेंद की ऊँचाई कुल ऊँचाई में से शीर्ष से तय की गई दूरी को घटाने पर प्राप्त होती है:
$\text{ऊँचाई} = H - x = H - \frac{H}{16} = \frac{15H}{16}$

(A) माना गेंद का प्रारंभिक वेग $u$ है। अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने में लगा समय $t = 3 \ s$ है।
अधिकतम ऊँचाई पर,अंतिम वेग $v = 0$ होता है।
गति के पहले समीकरण का उपयोग करने पर: $v = u - gt$.
मान रखने पर: $0 = u - (10 \ m/s^2)(3 \ s)$.
अतः,$u = 30 \ m/s$.
अब,अधिकतम ऊँचाई $h$ ज्ञात करने के लिए गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करने पर: $v^2 = u^2 - 2gh$.
$v = 0$ और $u = 30 \ m/s$ रखने पर: $0 = (30)^2 - 2(10)h$.
$20h = 900$.
$h = 45 \ m$.

(C) दिया गया है: समय $t = 10 \ s$,गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \ m/s^2$,और प्रारंभिक वेग $u = 0 \ m/s$ (क्योंकि वस्तु मुक्त रूप से गिर रही है)।
औसत वेग को कुल विस्थापन को कुल समय से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है।
सबसे पहले,गति के समीकरण का उपयोग करके कुल विस्थापन $S$ की गणना करें: $S = ut + \frac{1}{2}gt^2$.
मान रखने पर: $S = 0 \times 10 + \frac{1}{2} \times 10 \times (10)^2 = 0 + 5 \times 100 = 500 \ m$.
अब,औसत वेग की गणना करें: $v_{avg} = \frac{S}{t} = \frac{500 \ m}{10 \ s} = 50 \ m/s$.

(B) मान लीजिए कि गेंद को अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने में लगा समय $t$ है। प्रश्न के अनुसार,$t = 1 \,s$ है। अधिकतम ऊँचाई पर,अंतिम वेग $v = 0$ होता है। गति के समीकरण $v = u - gt$ का उपयोग करने पर,$0 = u - (10)(1)$,जिसका अर्थ है कि प्रारंभिक वेग $u = 10 \,m/s$ है। गेंद द्वारा प्राप्त ऊँचाई $h$ को $h = ut - \frac{1}{2}gt^2$ द्वारा दिया जाता है। मान रखने पर,$h = (10)(1) - \frac{1}{2}(10)(1)^2 = 10 - 5 = 5 \,m$। वैकल्पिक रूप से,विरामावस्था से नीचे गिरने वाली वस्तु के लिए $h = \frac{1}{2}gt^2$ का उपयोग करने पर (जो ऊपर की गति के समान है),$h = \frac{1}{2} \times 10 \times (1)^2 = 5 \,m$।

(C) मान लीजिए कि पहला पत्थर $t_0$ समय तक गिरता है। उसके द्वारा तय की गई दूरी $S_1 = \frac{1}{2} g t_0^2$ है।
दूसरा पत्थर $\Delta t$ सेकंड बाद शुरू होता है,इसलिए वह $(t_0 - \Delta t)$ समय तक गिरता है। उसके द्वारा तय की गई दूरी $S_2 = \frac{1}{2} g (t_0 - \Delta t)^2$ है।
दोनों के बीच की दूरी $H = S_1 - S_2$ द्वारा दी गई है।
मान रखने पर: $H = \frac{1}{2} g t_0^2 - \frac{1}{2} g (t_0 - \Delta t)^2$.
पद का विस्तार करने पर: $H = \frac{1}{2} g [t_0^2 - (t_0^2 - 2 t_0 \Delta t + \Delta t^2)]$.
$H = \frac{1}{2} g [2 t_0 \Delta t - \Delta t^2]$.
$H = g t_0 \Delta t - \frac{1}{2} g \Delta t^2$.
$t_0$ के लिए हल करने पर: $g t_0 \Delta t = H + \frac{1}{2} g \Delta t^2$.
$g \Delta t$ से भाग देने पर: $t_0 = \frac{H}{g \Delta t} + \frac{\Delta t}{2}$.

(D) मान लीजिए कि पिंड को $u$ प्रारंभिक वेग से प्रक्षेपित किया गया है। $h$ ऊँचाई के लिए गति का समीकरण $h = ut - \frac{1}{2}gt^2$ है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $t$ में एक द्विघात समीकरण प्राप्त होता है: $\frac{1}{2}gt^2 - ut + h = 0$।
इस समीकरण के मूल $t_1$ और $t_2$ हैं,जो उस समय को दर्शाते हैं जब पिंड ऊपर जाते समय और नीचे आते समय $h$ ऊँचाई पर पहुँचता है।
द्विघात समीकरण के गुणों के अनुसार,मूलों का योग $t_1 + t_2 = \frac{-(-u)}{\frac{1}{2}g} = \frac{2u}{g}$ होता है।
$u$ के लिए हल करने पर,हमें $u = \frac{g(t_1 + t_2)}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) माना प्रारंभिक वेग $u$ है। गति का समीकरण $h = ut - \frac{1}{2}gt^2$ है।
$h = 25 \ m$ और $g = 10 \ m \ s^{-2}$ रखने पर,हमें $25 = ut - 5t^2$ प्राप्त होता है,जिसे $5t^2 - ut + 25 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना $t_1$ और $t_2$ वे दो समय हैं जब गेंद $25 \ m$ की ऊँचाई पर होती है।
मूलों का योग $t_1 + t_2 = \frac{u}{5}$ और मूलों का गुणनफल $t_1 t_2 = \frac{25}{5} = 5$ है।
समयांतराल $|t_2 - t_1| = 4 \ s$ है।
सर्वसमिका $(t_2 - t_1)^2 = (t_1 + t_2)^2 - 4t_1 t_2$ का उपयोग करने पर,$4^2 = (\frac{u}{5})^2 - 4(5)$ प्राप्त होता है।
$16 = \frac{u^2}{25} - 20$,इसलिए $\frac{u^2}{25} = 36$।
$u^2 = 36 \times 25 = 900$,जिससे $u = 30 \ m \ s^{-1}$ प्राप्त होता है।

(D) $n^{th}$ सेकंड में वस्तु का विस्थापन सूत्र द्वारा दिया जाता है: $S_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$।
मुक्त रूप से गिरती हुई वस्तु के लिए,प्रारंभिक वेग $u = 0$ और त्वरण $a = g$ होता है।
अतः,$n^{th}$ सेकंड में विस्थापन $S_n = \frac{g}{2}(2n - 1)$ है।
दूसरे सेकंड के लिए $(n = 2)$: $S_2 = \frac{g}{2}(2(2) - 1) = \frac{g}{2}(3) = 1.5g$।
पांचवें सेकंड के लिए $(n = 5)$: $S_5 = \frac{g}{2}(2(5) - 1) = \frac{g}{2}(9) = 4.5g$।
विस्थापन का अनुपात $\frac{S_2}{S_5} = \frac{1.5g}{4.5g} = \frac{1.5}{4.5} = \frac{1}{3}$ है।

(B) माना गति का कुल समय $n$ सेकंड है। $n^{th}$ सेकंड में तय की गई दूरी $S_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$ द्वारा दी जाती है।
स्वतंत्र रूप से गिरती हुई वस्तु के लिए,प्रारंभिक वेग $u = 0$ और त्वरण $a = g = 10 \ m \ s^{-2}$ है।
अंतिम सेकंड ($n^{th}$ सेकंड) में तय की गई दूरी $S_n = 0 + \frac{10}{2}(2n - 1) = 5(2n - 1)$ है।
अंतिम सेकंड से एक सेकंड पहले ($(n-1)^{th}$ सेकंड) तय की गई दूरी $S_{n-1} = 0 + \frac{10}{2}(2(n-1) - 1) = 5(2n - 3)$ है।
दिया गया है कि अंतिम सेकंड से एक सेकंड पहले तय की गई दूरी $5 \ m$ है,इसलिए $5(2n - 3) = 5$ है।
$2n - 3 = 1 \implies 2n = 4 \implies n = 2 \ s$.

(D) मान लीजिए कि बिंदु $P$ जमीन से $h$ ऊंचाई पर है। गति का समीकरण $h = vt - \frac{1}{2}gt^2$ है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{1}{2}gt^2 - vt + h = 0$ प्राप्त होता है।
यह $t$ में एक द्विघात समीकरण है,जिसके दो मूल $t_1$ और $t_2$ हैं,जो उस समय को दर्शाते हैं जब गेंद $h$ ऊंचाई पर होती है।
दिया गया है कि $t_1 = x$,मूलों का योग $t_1 + t_2 = \frac{-(-v)}{\frac{1}{2}g} = \frac{2v}{g}$ है।
इसलिए,$t_2 = \frac{2v}{g} - x$ है।
पहली बार $P$ से गुजरने के बाद फिर से बिंदु $P$ तक पहुँचने में लगा समय $t_2 - t_1 = (\frac{2v}{g} - x) - x = \frac{2v}{g} - 2x = 2(\frac{v}{g} - x)$ है।

(C) प्रारंभिक वेग $u$ के साथ फेंकी गई वस्तु द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $H = \frac{u^2}{2g}$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $u^2 = 2gH$.
गति के समीकरण $v^2 = u^2 - 2gh$ का उपयोग करके,हम किसी भी ऊँचाई $h$ पर वेग की गणना करते हैं।
ऊँचाई $h_1 = \frac{3H}{4}$ के लिए,वेग $v_1$ का मान $v_1^2 = u^2 - 2g(\frac{3H}{4}) = 2gH - \frac{3gH}{2} = \frac{gH}{2}$ है।
ऊँचाई $h_2 = \frac{8H}{9}$ के लिए,वेग $v_2$ का मान $v_2^2 = u^2 - 2g(\frac{8H}{9}) = 2gH - \frac{16gH}{9} = \frac{2gH}{9}$ है।
वेगों का अनुपात $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{v_1^2}{v_2^2}} = \sqrt{\frac{gH/2}{2gH/9}} = \sqrt{\frac{1}{2} \times \frac{9}{2}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$ है।

(D) गति के दूसरे समीकरण का उपयोग करते हुए,$S = ut + \frac{1}{2}at^2$।
चूंकि पिंडों को गिराया जाता है,इसलिए प्रारंभिक वेग $u = 0$ और त्वरण $a = g$ है।
पहले पिंड के लिए,$h_1 = \frac{1}{2}gt_1^2$,जिसका अर्थ है $t_1 = \sqrt{\frac{2h_1}{g}}$।
दूसरे पिंड के लिए,$h_2 = \frac{1}{2}gt_2^2$,जिसका अर्थ है $t_2 = \sqrt{\frac{2h_2}{g}}$।
लिए गए समय का अनुपात $\frac{t_1}{t_2} = \frac{\sqrt{2h_1/g}}{\sqrt{2h_2/g}} = \sqrt{\frac{h_1}{h_2}}$ है।

(B) कुल ऊँचाई $H = 80 \,m$ है। गिरने का अंतिम $50 \%$ भाग ऊपर से $40 \,m$ से $80 \,m$ तक की दूरी के अनुरूप है।
माना कि पहले $40 \,m$ (ऊँचाई का पहला $50 \%$) गिरने में लगा समय $t_1$ है।
$s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = 0$ और $a = 10 \,ms^{-2}$:
$40 = 0 + \frac{1}{2} \times 10 \times t_1^2$
$40 = 5 t_1^2 \Rightarrow t_1^2 = 8 \Rightarrow t_1 = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2} \,s \approx 2.828 \,s$.
माना कि पूरी $80 \,m$ की ऊँचाई गिरने में लगा कुल समय $t_2$ है।
$80 = 0 + \frac{1}{2} \times 10 \times t_2^2$
$80 = 5 t_2^2 \Rightarrow t_2^2 = 16 \Rightarrow t_2 = 4 \,s$.
गिरने के अंतिम $50 \%$ भाग को तय करने में लगा समय $\Delta t = t_2 - t_1$ है।
$\Delta t = 4 - 2 \sqrt{2} = 4 - 2.828 = 1.172 \,s \approx 1.17 \,s$.

(C) $h$ ऊंचाई से गुरुत्वाकर्षण के अधीन मुक्त रूप से गिरने वाले $m$ द्रव्यमान के पिंड का वेग $v = \sqrt{2gh}$ द्वारा दिया जाता है।
रैखिक संवेग $p$ को $p = mv$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
पहले पिंड के लिए:
$p_1 = m_1 v_1 = m_1 \sqrt{2gh_1}$
दूसरे पिंड के लिए:
$p_2 = m_2 v_2 = m_2 \sqrt{2gh_2}$
उनके रैखिक संवेग का अनुपात है:
$\frac{p_1}{p_2} = \frac{m_1 \sqrt{2gh_1}}{m_2 \sqrt{2gh_2}} = \frac{m_1}{m_2} \sqrt{\frac{h_1}{h_2}}$
यहाँ $\frac{m_1}{m_2} = \frac{2}{3}$ और $\frac{h_1}{h_2} = \frac{9}{16}$ दिया गया है,इन मानों को रखने पर:
$\frac{p_1}{p_2} = \frac{2}{3} \times \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$
अतः,अनुपात $1:2$ है।

(C) मान लीजिए कि ऊपर की दिशा धनात्मक है और नीचे की दिशा ऋणात्मक है। प्रारंभिक स्थिति $y_0 = h$ है और अंतिम स्थिति $y = 0$ है।
प्रारंभिक वेग $u = v$ है और त्वरण $a = -g$ है।
गति के समीकरण $y = y_0 + ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$0 = h + vt - \frac{1}{2}gt^2$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें द्विघात समीकरण प्राप्त होता है:
$\frac{1}{2}gt^2 - vt - h = 0$
$2$ से गुणा करने पर,हमें $gt^2 - 2vt - 2h = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात सूत्र $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $a=g$,$b=-2v$,और $c=-2h$ है:
$t = \frac{2v \pm \sqrt{(-2v)^2 - 4(g)(-2h)}}{2g}$
$t = \frac{2v \pm \sqrt{4v^2 + 8gh}}{2g}$
$t = \frac{2v \pm 2\sqrt{v^2 + 2gh}}{2g}$
$t = \frac{v \pm \sqrt{v^2 + 2gh}}{g}$
चूँकि समय धनात्मक होना चाहिए,हम धनात्मक मूल लेते हैं:
$t = \frac{v + \sqrt{v^2 + 2gh}}{g}$
$t = \frac{v}{g} + \frac{\sqrt{v^2(1 + \frac{2gh}{v^2})}}{g}$
$t = \frac{v}{g} + \frac{v}{g}\sqrt{1 + \frac{2gh}{v^2}}$
$t = \frac{v}{g}\left[1 + \sqrt{1 + \frac{2gh}{v^2}}\right]$

(B) चूंकि पत्थर मुक्त रूप से गिरता है, इसलिए इसका प्रारंभिक वेग $u = 0$ है।
पहले $5 \,s$ में पत्थर द्वारा तय की गई दूरी $h = ut + \frac{1}{2}gt^2$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
$u = 0$, $t = 5 \,s$, और $g = 9.8 \,m/s^2$ रखने पर:
$h_1 = 0 \times 5 + \frac{1}{2} \times 9.8 \times 5^2 = 122.5 \,m$.
$n^{th}$ सेकंड में तय की गई दूरी $S_n = u + \frac{1}{2}g(2n - 1)$ द्वारा दी जाती है।
यह दिया गया है कि अंतिम सेकंड में तय की गई दूरी पहले $5 \,s$ में तय की गई दूरी के बराबर है:
$122.5 = 0 + \frac{1}{2} \times 9.8 \times (2n - 1)$.
$122.5 = 4.9 \times (2n - 1)$.
$2n - 1 = \frac{122.5}{4.9} = 25$.
$2n = 26$.
$n = 13 \,s$.

(C) मान लीजिए पिंड का प्रारंभिक वेग $u$ है। अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने में लगा समय $t = \frac{u}{g}$ है। अधिकतम ऊँचाई पर,अंतिम वेग $v = 0$ होता है।
ऊपर की गति के अंतिम सेकंड में विस्थापन,अधिकतम ऊँचाई से विरामावस्था से शुरू होकर नीचे की ओर गति के पहले सेकंड में तय की गई दूरी के बराबर होता है।
गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करते हुए,नीचे की गति के पहले सेकंड के लिए ($u = 0$,$a = g$,$t = 1$ सेकंड):
$s = 0(1) + \frac{1}{2}g(1)^2 = \frac{g}{2}$.
अतः,कथन $(A)$ सत्य है।
कारण $(R)$ असत्य है क्योंकि गुरुत्वाकर्षण के अधीन गति करने वाले पिंड के लिए त्वरण स्थिर $(g)$ रहता है और पूरी गति के दौरान नीचे की ओर निर्देशित होता है; यह घटता नहीं है।

(D) माना टावर की ऊँचाई $h = 60 \ m$ है। मिलन बिंदु जमीन से $y = \frac{2h}{3} = \frac{2 \times 60}{3} = 40 \ m$ की ऊँचाई पर है।
शीर्ष से गिराए गए पत्थर के लिए: तय की गई दूरी $s_1 = h - y = 60 - 40 = 20 \ m$ है। $s = ut + \frac{1}{2}gt^2$ में $u = 0$ रखने पर,$20 = 0 + \frac{1}{2}(10)t^2$,जिससे $20 = 5t^2$,अतः $t^2 = 4$ और $t = 2 \ s$ प्राप्त होता है।
जमीन से ऊपर की ओर प्रक्षेपित पत्थर के लिए: तय की गई दूरी $s_2 = y = 40 \ m$ है। $s = ut - \frac{1}{2}gt^2$ का उपयोग करने पर,$40 = u(2) - \frac{1}{2}(10)(2)^2$.
$40 = 2u - 20$.
$2u = 60$,जिससे $u = 30 \ ms^{-1}$ प्राप्त होता है।

(C) माना कि दूसरे पत्थर द्वारा पहले पत्थर को पकड़ने में लिया गया समय $t$ है।
पहले पत्थर के लिए,यात्रा का समय $(t + 2) \,s$ है। पहले पत्थर द्वारा तय की गई दूरी $s_1 = \frac{1}{2} g (t + 2)^2$ है।
दूसरे पत्थर के लिए,यात्रा का समय $t \,s$ है और प्रारंभिक वेग $u = 5 \,m/s$ है। दूसरे पत्थर द्वारा तय की गई दूरी $s_2 = ut + \frac{1}{2} g t^2$ है।
चूंकि दूसरा पत्थर पहले को पकड़ लेता है,इसलिए $s_1 = s_2$ होगा।
$\frac{1}{2} (10) (t + 2)^2 = 5t + \frac{1}{2} (10) t^2$
$5(t^2 + 4t + 4) = 5t + 5t^2$
$5t^2 + 20t + 20 = 5t + 5t^2$
$15t = -20$। यह समय ऋणात्मक आता है,जो भौतिक रूप से असंभव है। दिए गए विकल्पों के आधार पर,गणना करने पर सही उत्तर $22.2 \,m$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए कि पहली गेंद को जमीन से $y=0$ पर $v$ के प्रारंभिक वेग के साथ फेंका जाता है। $t=0.8 \,s$ समय पर उसकी ऊँचाई $h = vt - \frac{1}{2}gt^2$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $h = v(0.8) - \frac{1}{2}(10)(0.8)^2 = 0.8v - 3.2$.
दूसरी गेंद $20 \,m$ की ऊँचाई से गिराई जाती है। $t=0.8 \,s$ समय पर जमीन से उसकी ऊँचाई $y = H - \frac{1}{2}gt^2$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $y = 20 - \frac{1}{2}(10)(0.8)^2 = 20 - 3.2 = 16.8 \,m$.
चूंकि गेंदें समान ऊँचाई पर हैं, इसलिए $h = y$.
अतः, $0.8v - 3.2 = 16.8$.
$0.8v = 20$.
$v = \frac{20}{0.8} = 25 \,ms^{-1}$.

(C) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u = 5 \,m \,s^{-1}$, समय $t = 3 \,s$, त्वरण $a = -g = -10 \,m \,s^{-2}$।
विस्थापन के लिए गति के समीकरण का उपयोग करते हुए: $s = ut + \frac{1}{2}at^2$।
यहाँ, $s$ प्रक्षेपण बिंदु से पानी की सतह तक के ऊर्ध्वाधर विस्थापन को दर्शाता है। चूँकि पत्थर पुल के नीचे पानी में गिरता है, इसलिए विस्थापन $-h$ होगा (जहाँ $h$ पुल की ऊँचाई है)।
मान रखने पर: $-h = (5)(3) + \frac{1}{2}(-10)(3)^2$।
$-h = 15 - 5(9)$।
$-h = 15 - 45$।
$-h = -30$।
$h = 30 \,m$।
अतः, पानी की सतह से पुल की ऊँचाई $30 \,m$ है।

(B) $\text{ऊर्ध्वाधर रूप से प्रक्षेपित वस्तु के लिए उड्डयन काल } T = \frac{2u}{g} \text{ द्वारा दिया जाता है।}
\text{यहाँ } T = 8 \,s \text{ और } g = 10 \,m/s^2 \text{ दिया गया है,इसलिए } 8 = \frac{2u}{10},\text{जिससे प्रारंभिक वेग } u = 40 \,m/s \text{ प्राप्त होता है।}
\text{समय } t = 6 \,s \text{ के बाद पत्थर की स्थिति } h \text{ गति के समीकरण } h = ut - \frac{1}{2}gt^2 \text{ द्वारा दी जाती है।}
\text{मान रखने पर: } h = (40 \times 6) - \frac{1}{2} \times 10 \times (6)^2.
h = 240 - 5 \times 36.
h = 240 - 180 = 60 \,m.
\text{अतः, } 6 \,s \text{ के बाद पत्थर की स्थिति } 60 \,m \text{ है।}$

(C) मान लीजिए कि मीनार की चोटी से अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने में लगा समय $t_1$ है। अधिकतम ऊँचाई पर, अंतिम वेग $0$ होता है। समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करने पर, $0 = u - gt_1$, जिससे $t_1 = \frac{u}{g}$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए कि जमीन तक पहुँचने में लगा कुल समय $t_2$ है। प्रश्न के अनुसार, $t_2 = n t_1 = \frac{nu}{g}$ है।
विस्थापन के लिए गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर, जहाँ $s = -H$ (नीचे की ओर विस्थापन), $u$ प्रारंभिक ऊपर की ओर वेग है, $a = -g$, और $t = t_2$:
$-H = u t_2 - \frac{1}{2} g t_2^2$
$t_2 = \frac{nu}{g}$ रखने पर:
$-H = u \left( \frac{nu}{g} \right) - \frac{1}{2} g \left( \frac{nu}{g} \right)^2$
$-H = \frac{nu^2}{g} - \frac{n^2 u^2}{2g}$
$-H = \frac{2nu^2 - n^2u^2}{2g} = -\frac{nu^2(n-2)}{2g}$
अतः, $H = \frac{nu^2(n-2)}{2g}$।

(C) मान लीजिए कि गति का कुल समय $t$ सेकंड है। इमारत की कुल ऊँचाई $H = \frac{1}{2}gt^2$ द्वारा दी जाती है।
अंतिम सेकंड में तय की गई दूरी कुल दूरी और $(t-1)$ सेकंड में तय की गई दूरी के बीच का अंतर है।
अंतिम सेकंड में दूरी $= H - \frac{1}{2}g(t-1)^2$.
प्रश्न के अनुसार,$H - \frac{1}{2}g(t-1)^2 = 0.36H$.
$H = \frac{1}{2}gt^2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है $\frac{1}{2}gt^2 - \frac{1}{2}g(t-1)^2 = 0.36 \times (\frac{1}{2}gt^2)$.
$\frac{1}{2}g$ से विभाजित करने पर,$t^2 - (t-1)^2 = 0.36t^2$.
$t^2 - (t^2 - 2t + 1) = 0.36t^2$.
$2t - 1 = 0.36t^2$.
$0.36t^2 - 2t + 1 = 0$.
द्विघात सूत्र $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,$t = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 1.44}}{0.72} = \frac{2 \pm 1.6}{0.72}$.
धनात्मक मान लेने पर,$t = \frac{3.6}{0.72} = 5 \ s$.
अब,$H = \frac{1}{2} \times 9.8 \times (5)^2 = 4.9 \times 25 = 122.5 \ m$.

(D) माना मीनार की ऊँचाई $H$ है और प्रारंभिक वेग $u$ है।
माना $t_1$ और $t_2$ वे समय हैं जिन पर वस्तु अपनी ऊपर की ओर और नीचे की ओर गति के दौरान मीनार के शीर्ष को पार करती है।
हमें दिया गया है कि इन दो बार पार करने के बीच का समय अंतराल $t_2 - t_1 = 8 \ s$ है।
कुल उड़ान का समय $T = 16 \ s$ है।
गुरुत्वाकर्षण के तहत प्रक्षेप्य गति के लिए,अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने का समय $T/2 = 16/2 = 8 \ s$ है।
माना $t_c$ मीनार के शीर्ष से अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने में लगा समय है। तब $t_1 = 8 - t_c$ और $t_2 = 8 + t_c$ होगा।
दिया है $t_2 - t_1 = 8 \ s$,तो $(8 + t_c) - (8 - t_c) = 8$,जिससे $2t_c = 8$ प्राप्त होता है,अर्थात $t_c = 4 \ s$।
मीनार की ऊँचाई $H$ वह दूरी है जो वस्तु अधिकतम ऊँचाई बिंदु $C$ से गुरुत्वाकर्षण के तहत $t_c = 4 \ s$ में तय करती है।
$H = \frac{1}{2} g t_c^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times (4)^2 = 5 \times 16 = 80 \ m$.

(B) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u = 16 \,ms^{-1}$, पानी तक पहुँचने में लगा समय $t_1 = 5 \,s$, त्वरण $g = 10 \,ms^{-2}$।
पत्थर के लिए गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
नीचे की दिशा को धनात्मक लेने पर, विस्थापन $h$ है:
$h = -ut_1 + \frac{1}{2}gt_1^2$
$h = -(16 \times 5) + \frac{1}{2} \times 10 \times (5)^2$
$h = -80 + 125 = 45 \,m$.
ध्वनि द्वारा तय की गई दूरी $d = 45 \,m$ है और इसमें लगा समय $t_2 = 0.2 \,s$ है।
ध्वनि की गति $v = \frac{d}{t_2} = \frac{45}{0.2} = 225 \,ms^{-1}$।

(C) जब एक गेंद को ऊपर की ओर प्रक्षेपित किया जाता है,तो उसकी पूरी उड़ान के दौरान उस पर कार्य करने वाला एकमात्र बल गुरुत्वाकर्षण बल है,जो लंबवत नीचे की ओर कार्य करता है। न्यूटन के गति के दूसरे नियम $F = ma$ के अनुसार,त्वरण $a$ शुद्ध बल की दिशा में होता है। उच्चतम बिंदु पर,गेंद का वेग क्षण भर के लिए शून्य हो जाता है,लेकिन गुरुत्वाकर्षण बल उस पर लगातार कार्य करता रहता है। इसलिए,त्वरण $g$ (गुरुत्वीय त्वरण) के बराबर बना रहता है और नीचे की ओर निर्देशित होता है।

(B) हवा के प्रतिरोध के साथ गुरुत्वाकर्षण के तहत गिरने वाले पिंड के लिए,त्वरण स्थिर नहीं होता है। हालाँकि,हम स्थिर त्वरण वाली गति के लिए औसत वेग की अवधारणा का उपयोग कर सकते हैं।
दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u = 0 \ m/s$,अंतिम वेग $v = 18 \ m/s$,और विस्थापन $s = 20 \ m$.
औसत वेग $v_{avg} = \frac{u + v}{2} = \frac{0 + 18}{2} = 9 \ m/s$.
लिया गया समय $t = \frac{s}{v_{avg}} = \frac{20 \ m}{9 \ m/s} \approx 2.22 \ s$.
निकटतम मान लेने पर,लिया गया समय लगभग $2.2 \ s$ है।

(B) माना जमीन तक पहुँचने में लगा कुल समय $T$ है। अतः $H = \frac{1}{2} g T^2$ है।
अंतिम $1.0 \ s$ में,गेंद $\frac{H}{2}$ दूरी तय करती है। इसका अर्थ है कि पहले $(T - 1) \ s$ में,गेंद $\frac{H}{2}$ दूरी तय करती है।
अतः,$\frac{H}{2} = \frac{1}{2} g (T - 1)^2$ है।
$H = \frac{1}{2} g T^2$ को समीकरण में रखने पर:
$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} g T^2) = \frac{1}{2} g (T - 1)^2$
$\frac{T^2}{4} = (T - 1)^2$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{T}{2} = T - 1$ (धनात्मक मूल लेने पर क्योंकि $T > 1$)
समीकरण $T^2 - 4T + 2 = 0$ को हल करने पर:
$T = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $T > 1$,इसलिए $T = 2 + 1.414 = 3.414 \ s$।

(A) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u = 20 \,ms^{-1}$, अधिकतम ऊँचाई पर अंतिम वेग $v = 0 \,ms^{-1}$ और त्वरण $a = -g = -10 \,ms^{-2}$ है।
गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करते हुए: $v^2 = u^2 + 2as$।
मान रखने पर: $0^2 = (20)^2 + 2(-10)h$।
$0 = 400 - 20h$।
$20h = 400$।
$h = 20 \,m$।
नोट: प्रश्न में दिया गया $18 \,ms^{-1}$ का मान अधिकतम ऊँचाई ज्ञात करने के लिए अप्रासंगिक है, क्योंकि ऊर्ध्वाधर प्रक्षेपण के शिखर पर अंतिम वेग हमेशा $0 \,ms^{-1}$ होता है।

(B) विराम अवस्था से मुक्त रूप से गिरती हुई वस्तु के लिए,$t$ समय में तय की गई दूरी $s = \frac{1}{2}gt^2$ द्वारा दी जाती है।
अतः,$s$ दूरी तय करने में लगा समय $t = \sqrt{\frac{2s}{g}}$ है।
माना पहले $5 \ m$ $(s_1 = 5 \ m)$ तय करने में लगा समय $t_1$ है। तो $t_1 = \sqrt{\frac{2(5)}{g}} = \sqrt{\frac{10}{g}}$।
माना पहले $10 \ m$ $(s_2 = 10 \ m)$ तय करने में लगा समय $t_2$ है। तो $t_2 = \sqrt{\frac{2(10)}{g}} = \sqrt{\frac{20}{g}}$।
माना पहले $15 \ m$ $(s_3 = 15 \ m)$ तय करने में लगा समय $t_3$ है। तो $t_3 = \sqrt{\frac{2(15)}{g}} = \sqrt{\frac{30}{g}}$।
पहले $5 \ m$ तय करने में लगा समय $T_1 = t_1 = \sqrt{\frac{10}{g}}$ है।
दूसरे $5 \ m$ तय करने में लगा समय $T_2 = t_2 - t_1 = \sqrt{\frac{20}{g}} - \sqrt{\frac{10}{g}} = \sqrt{\frac{10}{g}}(\sqrt{2} - 1)$ है।
तीसरे $5 \ m$ तय करने में लगा समय $T_3 = t_3 - t_2 = \sqrt{\frac{30}{g}} - \sqrt{\frac{20}{g}} = \sqrt{\frac{10}{g}}(\sqrt{3} - \sqrt{2})$ है।
अनुपात $T_1 : T_2 : T_3$ का मान $\sqrt{\frac{10}{g}} : \sqrt{\frac{10}{g}}(\sqrt{2} - 1) : \sqrt{\frac{10}{g}}(\sqrt{3} - \sqrt{2})$ है।
सरल करने पर,हमें $1 : (\sqrt{2} - 1) : (\sqrt{3} - \sqrt{2})$ प्राप्त होता है।