Poisson's Ratio and relation between Modulus Questions in Gujarati

(A) સ્થિતિસ્થાપક મોડ્યુલસ વચ્ચેનો સંબંધ પોઈસન ગુણોત્તર $\sigma$ પરથી મેળવવામાં આવે છે.
આપણી પાસે નીચેના પ્રમાણિત સંબંધો છે:
$Y = 3K(1 - 2\sigma)$
$Y = 2\eta(1 + \sigma)$
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$1 - 2\sigma = \frac{Y}{3K} \implies 2\sigma = 1 - \frac{Y}{3K} \implies \sigma = \frac{1}{2} - \frac{Y}{6K}$.
બીજા સમીકરણ પરથી,$1 + \sigma = \frac{Y}{2\eta} \implies \sigma = \frac{Y}{2\eta} - 1$.
$\sigma$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{Y}{2\eta} - 1 = \frac{1}{2} - \frac{Y}{6K}$
$\frac{Y}{2\eta} + \frac{Y}{6K} = \frac{3}{2}$
બંને બાજુ $6\eta K$ વડે ગુણતા:
$3YK + Y\eta = 9\eta K$
$Y(3K + \eta) = 9\eta K$
$Y = \frac{9\eta K}{3K + \eta}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$,બલ્ક મોડ્યુલસ $(K)$ અને પોઈસન ગુણોત્તર $(\sigma)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $Y = 3K(1 - 2\sigma)$.
$\sigma$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$1 - 2\sigma = \frac{Y}{3K}$
$2\sigma = 1 - \frac{Y}{3K}$
$\sigma = \frac{3K - Y}{6K}$
આપેલ કિંમતો $Y = 7.25 \times 10^{10} \ N/m^2$ અને $K = 11 \times 10^{10} \ N/m^2$ મૂકતા:
$\sigma = \frac{3(11 \times 10^{10}) - 7.25 \times 10^{10}}{6(11 \times 10^{10})}$
$\sigma = \frac{33 \times 10^{10} - 7.25 \times 10^{10}}{66 \times 10^{10}}$
$\sigma = \frac{25.75}{66} \approx 0.39$.

(A) પોઈસનનો ગુણોત્તર એ તણાવ અથવા દબાણ હેઠળના પદાર્થ માટે પાર્શ્વીય વિકૃતિ (lateral strain) અને રેખીય વિકૃતિ (longitudinal strain) નો ગુણોત્તર છે.
આ વ્યાખ્યા ફક્ત એવા ઘન પદાર્થોને લાગુ પડે છે જે ચોક્કસ આકાર ધરાવે છે અને શીયર સ્ટ્રેસ (shear stress) સહન કરી શકે છે.
પ્રવાહીને કોઈ ચોક્કસ આકાર હોતો નથી અને તે શીયર સ્ટ્રેસ સહન કરી શકતા નથી; તેઓ માત્ર કદમાં થતા ફેરફારોનો પ્રતિકાર કરે છે (બલ્ક મોડ્યુલસ).
તેથી,પાર્શ્વીય અને રેખીય વિકૃતિનો ખ્યાલ પ્રવાહીને લાગુ પડતો નથી,જેનો અર્થ છે કે તેમને કોઈ પોઈસનનો ગુણોત્તર હોતો નથી.

(D) સ્થિતિસ્થાપક અચળાંકો વચ્ચેના સંબંધો નીચે મુજબ છે:
$Y = 3K(1 - 2\sigma)$ --- $(1)$
$Y = 2\eta(1 + \sigma)$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી: $\frac{Y}{3K} = 1 - 2\sigma$ --- $(3)$
સમીકરણ $(2)$ પરથી: $\frac{Y}{2\eta} = 1 + \sigma$ --- $(4)$
$\sigma$ ને દૂર કરવા માટે,સમીકરણ $(4)$ ને $2$ વડે ગુણતા:
$\frac{Y}{\eta} = 2 + 2\sigma$ --- $(5)$
સમીકરણ $(3)$ અને $(5)$ નો સરવાળો કરતા:
$\frac{Y}{3K} + \frac{Y}{\eta} = (1 - 2\sigma) + (2 + 2\sigma)$
$\frac{Y}{3K} + \frac{Y}{\eta} = 3$
બંને બાજુને $3Y$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{9K} + \frac{1}{3\eta} = \frac{1}{Y}$
આમ,સાચો સંબંધ $\frac{1}{Y} = \frac{1}{3\eta} + \frac{1}{9K}$ છે.

(D) પોઈસન ગુણોત્તર $(\sigma)$ એ પાર્શ્વ વિકૃતિ (lateral strain) અને લંબાઈની વિકૃતિ (longitudinal strain) નો ગુણોત્તર છે.
મોટાભાગના પદાર્થો માટે,પોઈસન ગુણોત્તરની સૈદ્ધાંતિક મર્યાદા $-1.0$ થી $0.5$ ની વચ્ચે હોય છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$0.4$ આ મર્યાદામાં આવે છે,જ્યારે $1$,$0.9$ અને $0.8$ એ ભૌતિક રીતે શક્ય મર્યાદાની બહાર છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ એ પદાર્થની જડતા દર્શાવે છે,જે એકમ વિકૃતિ ઉત્પન્ન કરવા માટે જરૂરી પ્રતિબળનું માપ છે. ધાતુઓ માટે તેનું મૂલ્ય સામાન્ય રીતે $10^9$ થી $10^{11} \text{ Pa}$ ના ક્રમમાં હોય છે.
પોઈસન ગુણોત્તર $(\sigma)$ એ પરિમાણરહિત રાશિ છે જે પાર્શ્વ વિકૃતિ અને રેખીય વિકૃતિનો ગુણોત્તર દર્શાવે છે. મોટાભાગના સ્થિર,આઈસોટ્રોપિક પદાર્થો માટે,પોઈસન ગુણોત્તરનું મૂલ્ય $-1.0$ અને $0.5$ ની વચ્ચે હોય છે.
જેহেতু $Y$ એ દબાણના એકમ (પાસ્કલ) ધરાવતી ભૌતિક રાશિ છે અને $\sigma$ એ પરિમાણરહિત ગુણોત્તર છે,તેથી તેમના મૂલ્યોની સીધી સરખામણી વપરાયેલા એકમો પર આધાર રાખે છે. જોકે,પ્રમાણભૂત ભૌતિક સંદર્ભોમાં જ્યાં $Y$ ને પાસ્કલમાં દર્શાવવામાં આવે છે,ત્યારે $Y$ નું મૂલ્ય $\sigma$ કરતા ઘણું મોટું હોય છે. તેથી,$Y > \sigma$ એ સાચો સંબંધ છે.

(D) પોઈસન ગુણોત્તર $(
u)$ એ પાર્શ્વ વિકૃતિ અને રેખીય વિકૃતિના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
મોટાભાગની ધાતુઓ માટે,જ્યારે રેખીય દિશામાં બળ લગાડવામાં આવે છે,ત્યારે પાર્શ્વ પરિમાણ ઘટે છે,જેના પરિણામે પોઈસન ગુણોત્તર માટે ધન મૂલ્ય મળે છે.
સ્થિર,આઈસોટ્રોપિક પદાર્થો માટે પોઈસન ગુણોત્તરની સૈદ્ધાંતિક મર્યાદાઓ $-1.0$ અને $0.5$ ની વચ્ચે હોય છે.
જો કે,મોટાભાગની વ્યવહારુ ધાતુઓ માટે,આ મૂલ્ય ધન હોય છે અને સામાન્ય રીતે $0$ થી $0.5$ ની વચ્ચે હોય છે.
તેથી,ધાતુઓ માટે સાચી શ્રેણી $0$ થી $0.5$ છે.

(A) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$,બલ્ક મોડ્યુલસ $(K)$,અને રિજિડિટી મોડ્યુલસ $(\eta)$ સાથે પોઈઝન ગુણોત્તર $(\sigma)$ નો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$Y = 3K(1 - 2\sigma)$
$Y = 2\eta(1 + \sigma)$
સ્થિર પદાર્થ માટે,સ્થિતિસ્થાપકતાના મોડ્યુલસ ધન હોવા જોઈએ $(Y, K, \eta > 0)$.
$Y = 3K(1 - 2\sigma) > 0$ પરથી,આપણને $1 - 2\sigma > 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\sigma < \frac{1}{2}$.
$Y = 2\eta(1 + \sigma) > 0$ પરથી,આપણને $1 + \sigma > 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\sigma > -1$.
તેથી,પોઈઝન ગુણોત્તર માટે સૈદ્ધાંતિક શ્રેણી $-1 < \sigma < \frac{1}{2}$ છે.

(A) પોઈસન ગુણોત્તર $(\sigma)$ એ પાર્શ્વ વિકૃતિ (lateral strain) અને રેખીય વિકૃતિ (longitudinal strain) નો ગુણોત્તર છે.
મોટાભાગના પદાર્થો માટે,પોઈસન ગુણોત્તરની સૈદ્ધાંતિક મર્યાદા $-1.0$ થી $0.5$ ની વચ્ચે હોય છે.
ચોક્કસ રીતે કહીએ તો,સ્થિર અને સમદિગ્ધર્મી પદાર્થો માટે આ મૂલ્ય $-1.0$ થી વધુ અને $0.5$ કે તેથી ઓછું હોવું જોઈએ.
અહીં $0.7$ એ $0.5$ ની મહત્તમ સૈદ્ધાંતિક મર્યાદા કરતા વધારે હોવાથી,તે પોઈસન ગુણોત્તર માટે શક્ય મૂલ્ય નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) $r$ ત્રિજ્યા અને $l$ લંબાઈ ધરાવતા તારનું કદ $V = \pi r^2 l$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તારને ખેંચતી વખતે કદમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી,તેથી $dV = 0$.
કદના સમીકરણનું વિકલન કરતા,$dV = 2\pi rl dr + \pi r^2 dl = 0$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,$2\pi rl dr = -\pi r^2 dl$ મળે.
આને સાદું રૂપ આપતા $\frac{dr}{r} = -\frac{1}{2} \frac{dl}{l}$ મળે છે.
પોઈસન ગુણોત્તર $\sigma$ એ પાર્શ્વ વિકૃતિ અને રેખીય વિકૃતિનો ગુણોત્તર છે: $\sigma = -\frac{dr/r}{dl/l}$.
આપણા સમીકરણમાંથી કિંમત મૂકતા,$\sigma = -(-\frac{1}{2}) = 0.5$ મળે છે.

(D) રેખીય વિકૃતિ $\epsilon_l = \frac{dL}{L}$ હેઠળના સળિયા માટે કદમાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{dV}{V}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{dV}{V} = (1 - 2\sigma) \frac{dL}{L}$,જ્યાં $\sigma$ એ પોઈસન ગુણોત્તર છે.
અહીં $\sigma = 0.50$ અને $\frac{dL}{L} = 2 \times 10^{-3}$ આપેલ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $\frac{dV}{V} = (1 - 2 \times 0.50) \times (2 \times 10^{-3})$.
$\frac{dV}{V} = (1 - 1) \times (2 \times 10^{-3}) = 0$.
તેથી,કદમાં થતો પ્રતિશત ફેરફાર $0\%$ છે.

(C) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$,દ્રઢતા મોડ્યુલસ $(\eta)$ અને પોઈસન ગુણોત્તર $(\sigma)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $Y = 2\eta(1 + \sigma)$.
કોઈપણ ધાતુ માટે,પોઈસન ગુણોત્તર $(\sigma)$ નું મૂલ્ય $0$ અને $0.5$ ની વચ્ચે હોય છે (સામાન્ય રીતે $0.3$ ની આસપાસ).
કારણ કે $(1 + \sigma) > 1$,તેથી $Y = 2\eta(1 + \sigma) > 2\eta$ થાય.
આમ,ધાતુઓ માટે $Y > \eta$ હંમેશા સાચું છે.

(A) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$,રિજિડિટી મોડ્યુલસ $(\eta)$ અને પોઈસન ગુણોત્તર $(\sigma)$ વચ્ચેનો સંબંધ $Y = 2\eta(1 + \sigma)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં કોઈ અનુપ્રસ્થ વિકૃતિ નથી,તેથી પોઈસન ગુણોત્તર $\sigma = 0$ થશે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $Y = 2\eta(1 + 0) = 2\eta$ મળે છે.
તેથી,$\eta = Y / 2$.
આપેલ $Y = 6 \times 10^{12} \ N/m^2$ હોવાથી,$\eta = (6 \times 10^{12}) / 2 = 3 \times 10^{12} \ N/m^2$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે યંગ મોડ્યુલસ $Y = 3\eta$,જ્યાં $\eta$ એ રિજિડિટી મોડ્યુલસ છે.
આપણે સંબંધ જાણીએ છીએ $Y = 2\eta(1 + \sigma)$,જ્યાં $\sigma$ એ પોઈસન ગુણોત્તર છે.
સંબંધમાં $Y = 3\eta$ મૂકતા: $3\eta = 2\eta(1 + \sigma) \implies 1.5 = 1 + \sigma \implies \sigma = 0.5$.
હવે,આપણે યંગ મોડ્યુલસ $Y$,બલ્ક મોડ્યુલસ $K$ અને પોઈસન ગુણોત્તર $\sigma$ વચ્ચેનો સંબંધ વાપરીએ: $Y = 3K(1 - 2\sigma)$.
સમીકરણમાં $\sigma = 0.5$ મૂકતા: $Y = 3K(1 - 2(0.5)) = 3K(1 - 1) = 3K(0) = 0$.
જો કે,$K$ માટે ઉકેલતા: $K = \frac{Y}{3(1 - 2\sigma)}$.
જેમ $\sigma \to 0.5$,છેદ $3(1 - 2(0.5)) = 0$ થાય છે.
તેથી,$K = \frac{Y}{0} = \infty$.

(D) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$,મોડ્યુલસ ઓફ રિજિડિટી $(\eta)$ અને પોઈસન રેશિયો $(\sigma)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$Y = 2\eta(1 + \sigma)$.
અહીં આપેલ છે કે $Y = 2.4\eta$,તેથી સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$2.4\eta = 2\eta(1 + \sigma)$.
બંને બાજુ $2\eta$ વડે ભાગતા:
$1.2 = 1 + \sigma$.
$\sigma$ માટે ઉકેલતા:
$\sigma = 1.2 - 1 = 0.2$.
આમ,દ્રવ્યનો પોઈસન રેશિયો $0.2$ છે.

(A) તારનું કદ $V$,લંબાઈ $L$ અને ત્રિજ્યા $r$ હોય તો $V = \pi r^2 L$ થાય.
લઘુગણકીય વિકલન લેતા,$\frac{dV}{V} = 2\frac{dr}{r} + \frac{dL}{L}$ મળે.
કદ બદલાતું ન હોવાથી,$\frac{dV}{V} = 0$,તેથી $2\frac{dr}{r} = -\frac{dL}{L}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dr/r}{dL/L} = -\frac{1}{2}$.
પોઇસન ગુણોત્તર $\sigma$ ની વ્યાખ્યા મુજબ $\sigma = -\frac{\text{પાર્શ્વીય વિકૃતિ}}{\text{રેખીય વિકૃતિ}} = -\frac{dr/r}{dL/L}$ થાય.
આ કિંમત મૂકતા,$\sigma = -(-0.5) = 0.5$ મળે.

(C) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$,બલ્ક મોડ્યુલસ $(K)$ અને પોઈસન ગુણોત્તર $(\sigma)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $Y = 3K(1 - 2\sigma)$.
આપેલ છે:
$Y = 8 \times 10^{10} \ N/m^2$
$K = 10 \times 10^{10} \ N/m^2$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$8 \times 10^{10} = 3 \times (10 \times 10^{10}) \times (1 - 2\sigma)$
બંને બાજુ $10^{10}$ વડે ભાગતા:
$8 = 30 \times (1 - 2\sigma)$
$8/30 = 1 - 2\sigma$
$0.2667 = 1 - 2\sigma$
$\sigma$ માટે સાદું રૂપ આપતા:
$2\sigma = 1 - 0.2667$
$2\sigma = 0.7333$
$\sigma = 0.7333 / 2$
$\sigma \approx 0.3666 \approx 0.37$.

(A) પોઈસન ગુણોત્તર $(\sigma)$ એ પાર્શ્વ વિકૃતિ અને રેખીય વિકૃતિનો ગુણોત્તર છે.
$\sigma = \frac{\text{પાર્શ્વ વિકૃતિ}}{\text{રેખીય વિકૃતિ}}$
આપેલ છે:
રેખીય વિકૃતિ $(\frac{\Delta L}{L})$ = $0.05\% = 0.0005$
પોઈસન ગુણોત્તર $(\sigma)$ = $0.4$
પાર્શ્વ વિકૃતિ = $\sigma \times \text{રેખીય વિકૃતિ}$
પાર્શ્વ વિકૃતિ = $0.4 \times 0.05\% = 0.02\%$
તારને ખેંચવામાં આવતો હોવાથી,લંબાઈ વધે છે,જેના કારણે વ્યાસમાં ઘટાડો થાય છે.
તેથી,વ્યાસ $0.02\%$ જેટલો ઘટશે.

(A) કદમાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{dV}{V}$ એ લંબાઈની વિકૃતિ $\frac{dL}{L}$ અને પોઈસન ગુણોત્તર $\sigma$ સાથે નીચે મુજબ સંબંધિત છે: $\frac{dV}{V} = (1 - 2\sigma) \frac{dL}{L}$.
જો $\sigma = 0.5$ હોય,તો $\frac{dV}{V} = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે પદાર્થ અદબનીય છે.
જો $\sigma = -0.5$ હોય,તો $\frac{dV}{V} = (1 - 2(-0.5)) \frac{dL}{L} = 2 \frac{dL}{L}$,જે દર્શાવે છે કે પદાર્થ દબનીય છે.

(C) એકમ ઘન (બાજુની લંબાઈ $L = 1$) માટે,દરેક સપાટી પરનું તણાવ (stress) $\sigma_{stress} = \frac{F}{A} = \frac{F}{1^2} = F$ છે.
તે અક્ષ પરના બળને કારણે તે અક્ષની દિશામાં રેખીય વિકૃતિ (longitudinal strain) $\epsilon_{long} = \frac{F}{Y}$ છે.
અન્ય બે લંબ સપાટીઓ પરના ખેંચાણ બળોને કારણે,પાર્શ્વ વિકૃતિ (lateral strain) ઉદ્ભવશે. એક લંબ બળને કારણે પાર્શ્વ વિકૃતિ $-\sigma \epsilon_{long} = -\sigma \frac{F}{Y}$ છે.
આવી બે લંબ સપાટીઓ હોવાથી,કુલ પાર્શ્વ વિકૃતિ $2 \times (-\sigma \frac{F}{Y}) = -\frac{2\sigma F}{Y}$ થશે.
ચોખ્ખી વિકૃતિ (લંબાઈમાં ફેરફાર $\Delta L$,જ્યાં $L=1$) એ રેખીય વિકૃતિ અને પાર્શ્વ વિકૃતિઓનો સરવાળો છે:
$\Delta L = \frac{F}{Y} - \frac{2\sigma F}{Y} = \frac{F(1 - 2\sigma)}{Y}$.

(D) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $r = 1\, mm = 10^{-3}\, m$,લંબાઈ $L = 1\, m$,બળ $F = 100\, N$,યંગ મોડ્યુલસ $Y = 2 \times 10^{11}\, N/m^2$,પોઈસન ગુણોત્તર $\mu = \pi / 10$,ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi \times (10^{-3})^2 = \pi \times 10^{-6}\, m^2$.
$1$. લોન્ગીટ્યુડિનલ સ્ટ્રેન $(\epsilon_L)$ ની ગણતરી:
$\epsilon_L = \frac{\Delta L}{L} = \frac{F}{AY} = \frac{100}{(\pi \times 10^{-6}) \times (2 \times 10^{11})} = \frac{100}{2\pi \times 10^5} = \frac{1}{2\pi} \times 10^{-3}$.
$2$. લેટરલ સ્ટ્રેન $(\epsilon_d)$ ની ગણતરી:
પોઈસન ગુણોત્તર $\mu = - \frac{\text{લેટરલ સ્ટ્રેન}}{\text{લોન્ગીટ્યુડિનલ સ્ટ્રેન}} = - \frac{\Delta r / r}{\Delta L / L}$.
$\frac{\Delta r}{r} = - \mu \times \epsilon_L = - (\frac{\pi}{10}) \times (\frac{1}{2\pi} \times 10^{-3}) = - \frac{1}{20} \times 10^{-3} = - 0.05 \times 10^{-3} = - 5 \times 10^{-5}$.
$3$. ત્રિજ્યામાં ફેરફાર $(\Delta r)$ ની ગણતરી:
$\Delta r = - 5 \times 10^{-5} \times r = - 5 \times 10^{-5} \times 1\, mm = - 0.00005\, mm$.
$4$. નવી ત્રિજ્યા $(r')$:
$r' = r + \Delta r = 1\, mm - 0.00005\, mm = 0.99995\, mm$.

(A) ધારો કે પ્રારંભિક લંબાઈ $L$ અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે. કદ $V = A \times L$.
ખેંચાણ દરમિયાન કદ અચળ રહેતું હોવાથી,$dV = 0$.
વિકલન લેતા,$d(AL) = A \cdot dL + L \cdot dA = 0$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\frac{dA}{A} = -\frac{dL}{L}$.
પોઈસન ગુણોત્તર $\sigma$ એ પાર્શ્વ વિકૃતિ અને રેખીય વિકૃતિનો ગુણોત્તર છે:
$\sigma = -\frac{dA/A}{dL/L}$.
સૂત્રમાં $\frac{dA}{A} = -\frac{dL}{L}$ મૂકતા:
$\sigma = -\frac{-dL/L}{dL/L} = 0.5$.

(C) તારની લંબાઈ $\ell$ અને વ્યાસ $D$ હોય ત્યારે તેનું કદ $V = \ell \cdot \frac{\pi D^2}{4}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિકલન લેતા,આપણને $dV = \frac{\pi D^2}{4} d\ell + \ell \cdot \frac{\pi}{2} D dD$ મળે છે.
કદ અચળ રહેતું હોવાથી,$dV = 0$.
તેથી,$\frac{\pi D^2}{4} d\ell = -\ell \cdot \frac{\pi}{2} D dD$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $\frac{d\ell}{\ell} = -2 \frac{dD}{D}$ મળે છે.
પોઈસન ગુણોત્તર $\sigma$ એ પાર્શ્વ વિકૃતિ અને રેખીય વિકૃતિનો ગુણોત્તર છે: $\sigma = -\frac{dD/D}{d\ell/\ell}$.
$\frac{dD}{D} = -\frac{1}{2} \frac{d\ell}{\ell}$ સંબંધ મૂકતા,આપણને $\sigma = -\frac{-\frac{1}{2} \frac{d\ell}{\ell}}{\frac{d\ell}{\ell}} = 0.5$ મળે છે.

(C) આઈસોટ્રોપિક પદાર્થો માટે, સ્થિતિસ્થાપક મોડ્યુલસ પોઈસન ગુણોત્તર $\sigma$ દ્વારા નીચે મુજબ સંબંધિત છે:
$Y = 2n(1 + \sigma)$
$Y = 3k(1 - 2\sigma)$
જ્યાં $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે, $n$ એ શિયર મોડ્યુલસ (દ્રઢતા) છે, અને $k$ એ બલ્ક મોડ્યુલસ છે.
એલ્યુમિનિયમ અને કોપર જેવી મોટાભાગની ધાતુઓ માટે, પોઈસન ગુણોત્તર $\sigma$ એ $0$ અને $0.5$ ની વચ્ચે હોય છે (સામાન્ય રીતે $0.3$ ની આસપાસ).
કારણ કે $0 < \sigma < 0.5$, આપણે સંબંધ મેળવી શકીએ છીએ:
$Y = 2n(1 + \sigma)$ પરથી, કારણ કે $(1 + \sigma) > 1$, આપણને $Y > n$ મળે છે.
$Y = 3k(1 - 2\sigma)$ પરથી, કારણ કે $(1 - 2\sigma) < 1$, આપણને $Y < 3k$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $k > Y/3$.
સામાન્ય ધાતુઓ માટે મૂલ્યોની સરખામણી કરતા, સંબંધ $n < Y < k$ મળે છે.
તેથી, સાચો ક્રમ શિયર મોડ્યુલસ < યંગ મોડ્યુલસ < બલ્ક મોડ્યુલસ છે.

(D) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$,બલ્ક મોડ્યુલસ $(K)$ અને રિજિડિટી મોડ્યુલસ $(\eta)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $Y = 2\eta(1 + \sigma)$.
પોઈસન ગુણોત્તર $(\sigma)$ માટે આ સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા:
$Y = 2\eta + 2\eta\sigma$
$Y - 2\eta = 2\eta\sigma$
$\sigma = \frac{Y - 2\eta}{2\eta}$
$\sigma = \frac{Y}{2\eta} - \frac{2\eta}{2\eta}$
$\sigma = \frac{0.5Y}{\eta} - 1$
આમ,$\sigma = \frac{0.5Y - \eta}{\eta}$ એ વિકલ્પ $D$ સાથે સુસંગત છે.

(N/A) જ્યારે કોઈ પદાર્થ પર તણાવ અથવા દબાણ બળ લગાડવામાં આવે ત્યારે ઉદ્ભવતા પાર્શ્વ વિકૃતિ (lateral strain) અને રેખીય વિકૃતિ (longitudinal strain) ના ગુણોત્તરને પોઈસન ગુણોત્તર કહેવામાં આવે છે.
જ્યારે તાર પર તણાવ બળ લગાડવામાં આવે છે,ત્યારે તેની લંબાઈમાં વધારો થાય છે (રેખીય વિકૃતિ),જ્યારે તેના આડછેદનો વ્યાસ ઘટે છે (પાર્શ્વ વિકૃતિ).
તેનાથી વિપરીત,જ્યારે દબાણ બળ લગાડવામાં આવે છે,ત્યારે લંબાઈ ઘટે છે અને વ્યાસ વધે છે.
ગાણિતિક રીતે,પોઈસન ગુણોત્તર $(\mu)$ નીચે મુજબ છે:
$\mu = -\frac{\text{પાર્શ્વ વિકૃતિ}}{\text{રેખીય વિકૃતિ}}$
જો મૂળ વ્યાસ $d$ હોય અને વ્યાસમાં ફેરફાર $\Delta d$ હોય,તો પાર્શ્વ વિકૃતિ $\frac{\Delta d}{d}$ છે. જો મૂળ લંબાઈ $L$ હોય અને લંબાઈમાં ફેરફાર $\Delta L$ હોય,તો રેખીય વિકૃતિ $\frac{\Delta L}{L}$ છે.
તેથી,$\mu = -\frac{(\Delta d / d)}{(\Delta L / L)}$.
તે બે વિકૃતિઓનો ગુણોત્તર હોવાથી,તે પરિમાણરહિત અને એકમરહિત રાશિ છે.
પોઈસન ગુણોત્તરનું મૂલ્ય સંપૂર્ણપણે પદાર્થના પ્રકાર (દ્રવ્ય) પર આધાર રાખે છે.

(N/A) પોઈસન ગુણોત્તર એટલે પાર્શ્વ વિકૃતિ અને સંગત વિકૃતિનો ગુણોત્તર.
ધારો કે એક નળાકાર સળિયાની લંબાઈ $l$ અને ત્રિજ્યા $r$ છે. જ્યારે સળિયાને ખેંચવામાં આવે છે,ત્યારે તેની લંબાઈમાં $\Delta l$ જેટલો વધારો થાય છે અને ત્રિજ્યામાં $\Delta r$ જેટલો ઘટાડો થાય છે.
પાર્શ્વ વિકૃતિ $\epsilon_{lat} = -\frac{\Delta r}{r}$ અને સંગત વિકૃતિ $\epsilon_{long} = \frac{\Delta l}{l}$ છે.
પોઈસન ગુણોત્તર $\mu = \frac{\epsilon_{lat}}{\epsilon_{long}} = -\frac{\Delta r / r}{\Delta l / l}$.
તેથી,$\frac{\Delta r}{r} = -\mu \frac{\Delta l}{l} \quad \dots (1)$
સળિયાનું કદ $V = \pi r^2 l$ છે.
કદમાં થતો ફેરફાર શોધવા માટે વિકલન કરતા:
$\frac{\Delta V}{V} = 2 \frac{\Delta r}{r} + \frac{\Delta l}{l} \quad \dots (2)$
સમીકરણ $(1)$ ને $(2)$ માં મૂકતા:
$\frac{\Delta V}{V} = 2(-\mu \frac{\Delta l}{l}) + \frac{\Delta l}{l} = \frac{\Delta l}{l} (1 - 2\mu)$
કારણ કે જ્યારે પદાર્થને ખેંચવામાં આવે ત્યારે તેનું કદ વધી શકતું નથી $(\Delta V \ge 0)$,તેથી $(1 - 2\mu) \ge 0$ હોવું જોઈએ.
તેથી,$1 \ge 2\mu$,જેનો અર્થ છે કે $\mu \le 0.5$.

(D) આઈસોટ્રોપિક સ્થિતિસ્થાપક પદાર્થ માટે,યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$,શીયર મોડ્યુલસ $(G)$ અને પોઈસન રેશિયો $(\sigma)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $Y = 2G(1 + \sigma)$.
આ સૂત્રને શીયર મોડ્યુલસ $(G)$ માટે ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે: $G = \frac{Y}{2(1 + \sigma)}$.
તેથી,બંને સમીકરણો આ સ્થિતિસ્થાપક અચળાંકો વચ્ચેનો સાચો ભૌતિક સંબંધ દર્શાવે છે.

(B) જ્યારે કોઈ પદાર્થ પર લંબવર્તી પ્રતિબળ (longitudinal stress) લગાડવામાં આવે,ત્યારે તેના પાર્શ્વિક પરિમાણમાં (જેમ કે વ્યાસ અથવા પહોળાઈ) થતા ફેરફાર અને તેના મૂળ પાર્શ્વિક પરિમાણના ગુણોત્તરને પાર્શ્વિક વિકૃતિ કહે છે.
જો $D$ વ્યાસ ધરાવતા તાર પર બળ લગાડવાથી તેના વ્યાસમાં $\Delta D$ જેટલો ફેરફાર થાય,તો પાર્શ્વિક વિકૃતિનું સૂત્ર: $\text{Lateral Strain} = \frac{\Delta D}{D}$ થાય છે.
તે પરિમાણરહિત છે અને સામાન્ય રીતે પોઈસન ગુણોત્તર (Poisson's ratio) સાથે સંકળાયેલ છે,જે પાર્શ્વિક વિકૃતિ અને લંબવર્તી વિકૃતિ વચ્ચેનો સંબંધ દર્શાવે છે.

(C) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$,બલ્ક મોડ્યુલસ $(K)$ અને મોડ્યુલસ ઓફ રિજિડિટી $(\eta)$ વચ્ચેનો સંબંધ પોઈસન ગુણોત્તર $(\sigma)$ નો ઉપયોગ કરીને મેળવવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે:
$Y = 3K(1 - 2\sigma) \implies 1 - 2\sigma = \frac{Y}{3K} \implies 2\sigma = 1 - \frac{Y}{3K} \implies \sigma = \frac{1}{2} - \frac{Y}{6K} \dots (i)$
$Y = 2\eta(1 + \sigma) \implies 1 + \sigma = \frac{Y}{2\eta} \implies \sigma = \frac{Y}{2\eta} - 1 \dots (ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા:
$\frac{1}{2} - \frac{Y}{6K} = \frac{Y}{2\eta} - 1$
$1 + \frac{1}{2} = \frac{Y}{2\eta} + \frac{Y}{6K}$
$\frac{3}{2} = \frac{3KY + Y\eta}{6K\eta}$
$9K\eta = 3KY + Y\eta$
$9K\eta = Y(3K + \eta)$
$Y = \frac{9K\eta}{3K + \eta}$
આમ,સાચો સંબંધ $Y = \frac{9K\eta}{3K + \eta}$ છે.

(A) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$, રિજિડિટી મોડ્યુલસ $(\eta)$ અને પોઈસન ગુણોત્તર $(\sigma)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $Y = 2\eta(1 + \sigma)$.
આપેલ છે કે યંગ મોડ્યુલસ તેના રિજિડિટી મોડ્યુલસ કરતા $2.4$ ગણો છે, તેથી: $Y = 2.4\eta$.
$Y$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$2.4\eta = 2\eta(1 + \sigma)$
બંને બાજુ $2\eta$ વડે ભાગતા:
$1.2 = 1 + \sigma$
$\sigma$ માટે ઉકેલતા:
$\sigma = 1.2 - 1 = 0.2$.
તેથી, પોઈસન ગુણોત્તર $0.2$ છે.

(D) પોઈસન ગુણોત્તર $\sigma$ એ પાર્શ્વ વિકૃતિ અને લંબાઈની વિકૃતિનો ગુણોત્તર છે: $\sigma = -\frac{\Delta r/r}{\Delta l/l} = 0.5$.
આપેલ લંબાઈની વિકૃતિ $\frac{\Delta l}{l} = 3 \times 10^{-3}$ છે.
તેથી, પાર્શ્વ વિકૃતિ $\frac{\Delta r}{r} = -\sigma \times \frac{\Delta l}{l} = -0.5 \times 3 \times 10^{-3} = -1.5 \times 10^{-3}$.
નળાકાર સળિયાનું કદ $V = \pi r^2 l$ છે.
લોગેરિધમિક વિકલન લેતા, કદમાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta V}{V} = 2\frac{\Delta r}{r} + \frac{\Delta l}{l}$ મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta V}{V} = 2(-1.5 \times 10^{-3}) + (3 \times 10^{-3}) = -3 \times 10^{-3} + 3 \times 10^{-3} = 0$.
આમ, કદમાં થતો ટકાવારી વધારો $0\%$ છે.

(D) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ અને રિજિડિટી મોડ્યુલસ (શીયર મોડ્યુલસ,$\eta$) વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$Y = 2\eta(1 + \sigma)$
જ્યાં $\sigma$ એ પોઈસન ગુણોત્તર (Poisson's ratio) છે.
મોટાભાગના પદાર્થો માટે પોઈસન ગુણોત્તર $(\sigma)$ ની વ્યવહારુ શ્રેણી $0 < \sigma \leq 0.5$ છે.
$\sigma$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $(0)$ મૂકતા:
$Y = 2\eta(1 + 0) = 2\eta$
$\sigma$ ની મહત્તમ કિંમત $(0.5)$ મૂકતા:
$Y = 2\eta(1 + 0.5) = 2\eta(1.5) = 3\eta$
આમ,સ્થિતિસ્થાપક પદાર્થો માટે $Y$ ની કિંમત $2\eta$ થી $3\eta$ ની વચ્ચે રહે છે,તેથી તે સ્પષ્ટ છે કે $Y > \eta$ હંમેશા સાચું છે.

(A) આપેલ છે:
પોઈસન ગુણોત્તર $(\sigma)$ = $1/4 = 0.25$
યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ = $8 \times 10^{10} \, N/m^2$
પાર્શ્વીય વિકૃતિ = $0.02 \% = 0.02 / 100 = 2 \times 10^{-4}$
પોઈસન ગુણોત્તરનું સૂત્ર:
$\sigma = \frac{\text{પાર્શ્વીય વિકૃતિ}}{\text{સંગત વિકૃતિ}}$
સંગત વિકૃતિ $(\epsilon)$ ની ગણતરી:
$\epsilon = \frac{\text{પાર્શ્વીય વિકૃતિ}}{\sigma} = \frac{2 \times 10^{-4}}{0.25} = 8 \times 10^{-4}$
એકમ કદ દીઠ સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઊર્જા $(u)$:
$u = \frac{1}{2} \times Y \times \epsilon^2$
કિંમતો મૂકતા:
$u = \frac{1}{2} \times (8 \times 10^{10}) \times (8 \times 10^{-4})^2$
$u = 4 \times 10^{10} \times 64 \times 10^{-8}$
$u = 256 \times 10^2 = 2.56 \times 10^4 \, J/m^3$

(A) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$,બલ્ક મોડ્યુલસ $(K)$,મોડ્યુલસ ઓફ રિજિડિટી $(\eta)$ અને પોઈસન ગુણોત્તર $(\sigma)$ વચ્ચેના સંબંધો નીચે મુજબ છે:
$Y = 2\eta(1+\sigma)$ --- $(1)$
$Y = 3K(1-2\sigma)$ --- $(2)$
$Y$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$2\eta(1+\sigma) = 3K(1-2\sigma)$
$2\eta + 2\eta\sigma = 3K - 6K\sigma$
$2\eta\sigma + 6K\sigma = 3K - 2\eta$
$\sigma(6K + 2\eta) = 3K - 2\eta$
$\sigma = \frac{3K - 2\eta}{6K + 2\eta}$

(B) આપેલ છે: લંબાઈ $L = 2 \ m$,યંગ મોડ્યુલસ $Y = 2.0 \times 10^{11} \ N/m^2$,પોઈસન ગુણોત્તર $\mu = 0.2$,અને ટ્રાન્સવર્સ સ્ટ્રેન $\epsilon_t = \frac{\Delta r}{r} = 10^{-3}$.
પોઈસન ગુણોત્તરની વ્યાખ્યા મુજબ $\mu = -\frac{\text{ટ્રાન્સવર્સ સ્ટ્રેન}}{\text{લોન્ગીટ્યુડિનલ સ્ટ્રેન}} = -\frac{\epsilon_t}{\epsilon_l}$.
મૂલ્ય લેતા,$\epsilon_l = \frac{\epsilon_t}{\mu} = \frac{10^{-3}}{0.2} = 5 \times 10^{-3}$.
સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઊર્જા ઘનતા $u = \frac{1}{2} Y \epsilon_l^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $u = \frac{1}{2} \times (2.0 \times 10^{11}) \times (5 \times 10^{-3})^2$.
$u = 1.0 \times 10^{11} \times 25 \times 10^{-6} = 25 \times 10^5 \ J/m^3$.
આમ,જવાબ $25$ છે.

(B) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$,રિજિડિટી મોડ્યુલસ $(\eta)$ અને પોઈસન ગુણોત્તર $(\sigma)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $Y = 2\eta(1 + \sigma)$.
અહીં આપેલ છે કે $Y = 2.6\eta$,તેથી આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$2.6\eta = 2\eta(1 + \sigma)$.
બંને બાજુ $2\eta$ વડે ભાગતા:
$1.3 = 1 + \sigma$.
$\sigma$ માટે ઉકેલતા:
$\sigma = 1.3 - 1 = 0.3$.
આમ,પોઈસન ગુણોત્તર $0.3$ છે.

(D) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$,રિજિડિટી મોડ્યુલસ $(\eta)$ અને પોઈસન રેશિયો $(\sigma)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$Y = 2 \eta (1 + \sigma)$
તેથી,સાચો સંબંધ $Y = 2 \eta (1 + \sigma)$ છે.

(D) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$,રિજિડિટી મોડ્યુલસ $(\eta)$ અને પોઈસન ગુણોત્તર $(\sigma)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $Y = 2\eta(1 + \sigma)$.
આપેલ છે કે $Y = 2.4\eta$,તેથી આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$2.4\eta = 2\eta(1 + \sigma)$.
બંને બાજુ $2\eta$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$1.2 = 1 + \sigma$.
$\sigma$ માટે ઉકેલતા:
$\sigma = 1.2 - 1 = 0.2$.
તેથી,પોઈસન ગુણોત્તર $0.2$ છે.

(B) રેખીય વિકૃતિ $\epsilon_L = \frac{\Delta L}{L} = \frac{F}{AY} = \frac{Mg}{\pi r^2 Y}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પોઈસન ગુણોત્તર $\sigma$ ને પાર્શ્વ વિકૃતિ અને રેખીય વિકૃતિના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: $\sigma = -\frac{\epsilon_D}{\epsilon_L} = -\frac{\Delta r / r}{\Delta L / L}$.
તેથી,પાર્શ્વ વિકૃતિ $\frac{\Delta r}{r} = -\sigma \epsilon_L$ થાય.
ત્રિજ્યામાં થતા ઘટાડાનું મૂલ્ય $\Delta r = r \sigma \epsilon_L$ છે.
$\epsilon_L$ ની કિંમત મૂકતા: $\Delta r = r \sigma \left( \frac{Mg}{\pi r^2 Y} \right) = \frac{Mg \sigma}{\pi r Y}$.

(D) સમઘર્મી આઈસોટ્રોપિક પદાર્થ માટે પોઈસન ગુણોત્તર $(\sigma)$ સૈદ્ધાંતિક રીતે એ જરૂરિયાત દ્વારા મર્યાદિત છે કે યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$, શીયર મોડ્યુલસ $(G)$ અને બલ્ક મોડ્યુલસ $(K)$ બધા જ ધન મૂલ્યો હોવા જોઈએ।
આના પરિણામે પોઈસન ગુણોત્તર માટેની સૈદ્ધાંતિક શ્રેણી $-1.0 < \sigma < 0.5$ મળે છે।
મોટાભાગના સામાન્ય પદાર્થો માટે પોઈસન ગુણોત્તર $0$ અને $0.5$ ની વચ્ચે હોય છે।
તેથી, $0.8$ એ આ માન્ય શ્રેણીની બહાર હોવાથી, તે સમઘર્મી આઈસોટ્રોપિક પદાર્થ માટે પોઈસન ગુણોત્તરનું મૂલ્ય હોઈ શકે નહીં।

(B) પોઈસન ગુણોત્તર $\sigma$ એ અનુપ્રસ્થ વિકૃતિ અને રેખીય વિકૃતિના ગુણોત્તરનું ઋણ મૂલ્ય છે: $\sigma = -\frac{\Delta D/D}{\Delta L/L}$.
$L$ લંબાઈ અને $D$ વ્યાસ ધરાવતા તાર માટે,કદ $V = \frac{\pi D^2 L}{4}$ છે.
કદ $V$ અચળ રહેતું હોવાથી,$\frac{\Delta V}{V} = 2\frac{\Delta D}{D} + \frac{\Delta L}{L} = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $2\frac{\Delta D}{D} = -\frac{\Delta L}{L}$,અથવા $\frac{\Delta D/D}{\Delta L/L} = -0.5$.
પોઈસન ગુણોત્તરની વ્યાખ્યામાં આ કિંમત મૂકતા: $\sigma = -(-0.5) = 0.5$.
તેથી,ખેંચાણ દરમિયાન અચળ કદ ધરાવતા દ્રવ્ય માટે પોઈસન ગુણોત્તર $0.5$ છે.
આમ,વિકલ્પ $(B)$ સાચો છે.

(B) રેખીય વિકૃતિ $\epsilon_L = 0.2 \% = 0.002$ છે.
પોઈસન ગુણોત્તર $\sigma$ એ પાર્શ્વ વિકૃતિ (lateral strain) $\epsilon_d$ અને રેખીય વિકૃતિ $\epsilon_L$ નો ગુણોત્તર છે,તેથી $\epsilon_d = -\sigma \cdot \epsilon_L$.
અહીં,$\sigma = 0.3$ છે,તેથી પાર્શ્વ વિકૃતિ $\epsilon_d = -0.3 \times 0.002 = -0.0006$ થાય.
તાર માટે કદ વિકૃતિ $\frac{\Delta V}{V}$ એ રેખીય વિકૃતિ અને બે પાર્શ્વ વિકૃતિઓના સરવાળા જેટલી હોય છે: $\frac{\Delta V}{V} = \epsilon_L + 2\epsilon_d$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta V}{V} = 0.002 + 2(-0.0006) = 0.002 - 0.0012 = 0.0008$.
ટકાવારીમાં ફેરવતા: $0.0008 \times 100 \% = 0.08 \%$.

(C) સ્ટીલના તારની લંબાઈ,$l = 3 \ m$.
લંબાઈમાં વધારો,$\Delta l = 0.3 \ cm = 0.3 \times 10^{-2} \ m = 3 \times 10^{-3} \ m$.
પોઈસન ગુણોત્તર $(\sigma)$ $= 0.26$.
વ્યાખ્યા મુજબ,પોઈસન ગુણોત્તર એ પાર્શ્વ વિકૃતિ અને સંગત વિકૃતિનો ગુણોત્તર છે:
$\sigma = \frac{\text{પાર્શ્વ વિકૃતિ}}{\text{સંગત વિકૃતિ}} = 0.26$.
સંગત વિકૃતિ $= \frac{\Delta l}{l} = \frac{3 \times 10^{-3} \ m}{3 \ m} = 10^{-3}$.
તેથી,પાર્શ્વ વિકૃતિ $= 0.26 \times \text{સંગત વિકૃતિ} = 0.26 \times 10^{-3}$.

(D) આપેલ છે,પોઈસન ગુણોત્તર,$\sigma = 0.5$.
રેખીય વિકૃતિ,$\frac{\Delta l}{l} = 2 \times 10^{-3}$.
કદ વિકૃતિ $\left(\frac{\Delta V}{V}\right)$ અને રેખીય વિકૃતિ $\left(\frac{\Delta l}{l}\right)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$\frac{\Delta V}{V} = (1 - 2\sigma) \frac{\Delta l}{l}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\Delta V}{V} = (1 - 2 \times 0.5) \times 2 \times 10^{-3}$
$\frac{\Delta V}{V} = (1 - 1) \times 2 \times 10^{-3} = 0 \times 2 \times 10^{-3} = 0$
તેથી,કદમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $\frac{\Delta V}{V} \times 100 = 0 \times 100\% = 0\%$ છે.

(C) આપેલ છે: તારની લંબાઈ $L = 10 \ m$,વ્યાસ $D = 0.6 \times 10^{-3} \ m$,પોઈસન ગુણોત્તર $\sigma = 0.3$ અને તારની લંબાઈમાં ફેરફાર $\Delta L = 6 \times 10^{-3} \ m$.
પોઈસન ગુણોત્તર એ પાર્શ્વ વિકૃતિ અને રેખીય વિકૃતિનો ગુણોત્તર છે:
$\sigma = \frac{\text{પાર્શ્વ વિકૃતિ}}{\text{રેખીય વિકૃતિ}} = \frac{\Delta D / D}{\Delta L / L}$
વ્યાસમાં થતા ફેરફાર $\Delta D$ માટે સૂત્રને ગોઠવતા:
$\Delta D = \sigma \times D \times \frac{\Delta L}{L}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\Delta D = 0.3 \times (0.6 \times 10^{-3} \ m) \times \frac{6 \times 10^{-3} \ m}{10 \ m}$
$\Delta D = 0.3 \times 0.6 \times 10^{-3} \times 6 \times 10^{-4} \ m$
$\Delta D = 1.08 \times 10^{-7} \ m = 10.8 \times 10^{-8} \ m$
તેથી,તારના વ્યાસમાં થતો ફેરફાર $10.8 \times 10^{-8} \ m$ છે. સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) કદમાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta V}{V}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{\Delta V}{V} = \epsilon_l (1 - 2\sigma)$,જ્યાં $\epsilon_l$ એ રેખીય વિકૃતિ છે અને $\sigma$ એ પોઈસન ગુણોત્તર છે.
આપેલ છે કે,$\epsilon_l = 2 \times 10^{-3}$ અને $\sigma = 0.5$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{\Delta V}{V} = (2 \times 10^{-3}) \times (1 - 2 \times 0.5)$
$\frac{\Delta V}{V} = (2 \times 10^{-3}) \times (1 - 1)$
$\frac{\Delta V}{V} = (2 \times 10^{-3}) \times 0 = 0$.
તેથી,કદમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $0 \times 100 = 0\%$ છે.

(A) આપેલ છે: તણાવ $F = 22 \,N$,ક્ષેત્રફળ $A = 0.02 \,cm^2 = 0.02 \times 10^{-4} \,m^2$,યંગ મોડ્યુલસ $Y = 1.1 \times 10^{11} \,N/m^2$,પોઈસન ગુણોત્તર $\sigma = 0.32$.
રેખીય વિકૃતિ $\frac{\Delta l}{l} = \frac{F}{AY} = \frac{22}{(0.02 \times 10^{-4}) \times (1.1 \times 10^{11})} = \frac{22}{2.2 \times 10^4} = 10^{-4}$.
પોઈસન ગુણોત્તર $\sigma = -\frac{\Delta r/r}{\Delta l/l}$ છે. પાર્શ્વ વિકૃતિ $\frac{\Delta r}{r} = -\sigma \frac{\Delta l}{l} = -0.32 \times 10^{-4}$.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ હોવાથી,$\frac{\Delta A}{A} = 2 \frac{\Delta r}{r}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{\Delta A}{A} = 2 \times (-0.32 \times 10^{-4}) = -0.64 \times 10^{-4}$.
ક્ષેત્રફળમાં થતો ઘટાડો $\Delta A = |\frac{\Delta A}{A}| \times A = (0.64 \times 10^{-4}) \times (0.02 \,cm^2) = 1.28 \times 10^{-6} \,cm^2$.

(B) પોઈસન ગુણોત્તર $\sigma$ એ પાર્શ્વ વિકૃતિ અને રેખીય વિકૃતિનો ગુણોત્તર છે: $\sigma = -\frac{\Delta D/D}{\Delta L/L}$.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ હોવાથી,ક્ષેત્રફળમાં આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta A}{A} = 2 \frac{\Delta r}{r}$ થાય.
આપેલ છે કે $\frac{\Delta A}{A} = -2\% = -0.02$,તેથી $2 \frac{\Delta r}{r} = -0.02$,એટલે કે $\frac{\Delta r}{r} = -0.01$.
પાર્શ્વ વિકૃતિ $\frac{\Delta r}{r} = -0.01$ છે.
પોઈસન ગુણોત્તરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\sigma = -\frac{\Delta r/r}{\Delta L/L}$.
$0.4 = -\frac{-0.01}{\Delta L/L}$.
$\frac{\Delta L}{L} = \frac{0.01}{0.4} = 0.025$.
તેથી,લંબાઈમાં થતો પ્રતિશત વધારો $0.025 \times 100 = 2.5 \%$ છે.