Poisson's Ratio and relation between Modulus Questions in Gujarati

(B) પોઈસન ગુણોત્તર $\sigma$ એ પાર્શ્વ વિકૃતિ અને રેખીય વિકૃતિનો ગુણોત્તર છે: $\sigma = -\frac{\Delta D/D}{\Delta L/L}$.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ હોવાથી,ક્ષેત્રફળમાં આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta A}{A} = 2 \frac{\Delta r}{r}$ થાય.
આપેલ છે કે $\frac{\Delta A}{A} = -2\% = -0.02$,તેથી $2 \frac{\Delta r}{r} = -0.02$,એટલે કે $\frac{\Delta r}{r} = -0.01$.
પાર્શ્વ વિકૃતિ $\frac{\Delta r}{r} = -0.01$ છે.
પોઈસન ગુણોત્તરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\sigma = -\frac{\Delta r/r}{\Delta L/L}$.
$0.4 = -\frac{-0.01}{\Delta L/L}$.
$\frac{\Delta L}{L} = \frac{0.01}{0.4} = 0.025$.
તેથી,લંબાઈમાં થતો પ્રતિશત વધારો $0.025 \times 100 = 2.5 \%$ છે.

(B) સ્થિતિસ્થાપકતાના સિદ્ધાંત મુજબ સ્થિતિસ્થાપક અચળાંકો વચ્ચેનો સંબંધ મેળવી શકાય છે. આઈસોટ્રોપિક પદાર્થ માટે,યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$,બલ્ક મોડ્યુલસ $(K)$ અને રિજિડિટી મોડ્યુલસ $(\eta)$ વચ્ચેનો સંબંધ આ મુજબ છે:
$\frac{9}{Y} = \frac{3}{\eta} + \frac{1}{K}$.
આ સૂત્રની મદદથી જો આપણને બે સ્થિતિસ્થાપક અચળાંકોની કિંમત ખબર હોય,તો આપણે ત્રીજો અચળાંક શોધી શકીએ છીએ.

(D) યંગ મોડ્યુલસનું સૂત્ર $Y = \frac{F/A}{\Delta l/l}$ છે, તેથી રેખીય વિકૃતિ $\frac{\Delta l}{l} = \frac{F}{YA}$ થાય.
અહીં $F = 22 \,N$, $Y = 1.1 \times 10^{11} \,N/m^2$, અને $A = 0.01 \,cm^2 = 10^{-6} \,m^2$ આપેલ છે.
રેખીય વિકૃતિની ગણતરી: $\frac{\Delta l}{l} = \frac{22}{1.1 \times 10^{11} \times 10^{-6}} = 2 \times 10^{-4}$.
પોઈસન ગુણોત્તર $\sigma = \frac{\text{પાર્શ્વીય વિકૃતિ}}{\text{રેખીય વિકૃતિ}} = \frac{\Delta r/r}{\Delta l/l}$ છે.
તેથી, $\frac{\Delta r}{r} = \sigma \cdot \frac{\Delta l}{l} = 0.32 \times 2 \times 10^{-4} = 6.4 \times 10^{-5}$.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે. વિકલન લેતા, ક્ષેત્રફળમાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta A}{A} = 2 \frac{\Delta r}{r}$ મળે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta A}{A} = 2 \times 6.4 \times 10^{-5} = 12.8 \times 10^{-5}$.
તેથી, ક્ષેત્રફળમાં થતો ઘટાડો $\Delta A = (12.8 \times 10^{-5}) \times (0.01 \,cm^2) = 1.28 \times 10^{-6} \,cm^2$ થાય.

(C) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$, રિજિડિટી મોડ્યુલસ $(\eta)$ અને પોઈસન ગુણોત્તર $(\sigma)$ વચ્ચેનો સંબંધ $Y = 2\eta(1 + \sigma)$ છે.
આપેલ છે કે $Y / \eta = 2.8$, તેથી $2(1 + \sigma) = 2.8$, જેનો અર્થ છે કે $1 + \sigma = 1.4$, એટલે કે $\sigma = 0.4$.
તારનું કદ $V = A \cdot L$ અચળ રહે છે, તેથી $dV/V = dA/A + dL/L = 0$, જેનો અર્થ છે કે $dL/L = -dA/A$.
ક્ષેત્રફળમાં $2 \%$ નો ઘટાડો આપેલ છે, તેથી $dA/A = -0.02$, એટલે કે $dL/L = 0.02$ (લંબાઈમાં $2 \%$ નો વધારો).
જો કે, લેટરલ સ્ટ્રેન $\epsilon_l = -\sigma \cdot \epsilon_L$ ને ધ્યાનમાં લેતા, જ્યાં $\epsilon_l = (dA/A)/2 = -0.01$.
આમ, $-0.01 = -0.4 \cdot \epsilon_L$, જે આપે છે $\epsilon_L = 0.01 / 0.4 = 0.025$.
તેથી, લંબાઈમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $2.5 \%$ છે.

(A) આપેલ છે:
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = 0.01 \ cm^2 = 10^{-6} \ m^2$.
તણાવ $T = 22 \ N$.
યંગ મોડ્યુલસ $Y = 1.1 \times 10^{11} \ N \ m^{-2}$.
પોઈસન ગુણોત્તર $\sigma = 0.32$.
રેખીય વિકૃતિ $\frac{\Delta l}{l} = \frac{T}{AY} = \frac{22}{10^{-6} \times 1.1 \times 10^{11}} = \frac{22}{1.1 \times 10^5} = 20 \times 10^{-5}$.
પાર્શ્વીય વિકૃતિ $\frac{\Delta r}{r} = -\sigma \frac{\Delta l}{l} = -0.32 \times 20 \times 10^{-5} = -6.4 \times 10^{-5}$.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ હોવાથી,ક્ષેત્રફળમાં ફેરફાર $\Delta A = 2\pi r \Delta r$ થાય,તેથી $\frac{\Delta A}{A} = 2 \frac{\Delta r}{r}$.
ક્ષેત્રફળમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $= |2 \times (-6.4 \times 10^{-5})| \times 100 = 12.8 \times 10^{-3} \%$.

(C) ધારો કે તારની મૂળ ત્રિજ્યા $r$ અને લંબાઈ $L$ છે. આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે.
વિકલન લેતા,$\Delta A = 2 \pi r \Delta r$ મળે.
પોઈસન ગુણોત્તર $\sigma$ ની વ્યાખ્યા મુજબ $\sigma = -\frac{\Delta r / r}{\Delta L / L}$,તેથી $\frac{\Delta r}{r} = -\sigma \frac{\Delta L}{L}$.
આ કિંમત ક્ષેત્રફળના ફેરફારના સમીકરણમાં મૂકતા: $\Delta A = 2 \pi r^2 (-\sigma \frac{\Delta L}{L}) = -2 A \sigma \frac{\Delta L}{L}$.
માનાંક લેતા,$|\Delta A| = 2 A \sigma \frac{\Delta L}{L}$,જે આપણને $\frac{\Delta L}{L} = \frac{\Delta A}{2 A \sigma}$ આપે છે.
યંગ મોડ્યુલસ $Y$ ની વ્યાખ્યા મુજબ $Y = \frac{F/A}{\Delta L/L}$,તેથી $F = Y A \frac{\Delta L}{L}$.
$\frac{\Delta L}{L}$ ની કિંમત મૂકતા: $F = Y A (\frac{\Delta A}{2 A \sigma}) = \frac{Y \Delta A}{2 \sigma}$.

(A) આપેલ છે: તણાવ $F = 20 \,N$,ક્ષેત્રફળ $A = 0.01 \,cm^2 = 10^{-6} \,m^2$,યંગ મોડ્યુલસ $Y = 1.1 \times 10^{11} \,N/m^2$,પોઈસન ગુણોત્તર $\sigma = 0.32$.
લંબાઈમાં વિકૃતિ $\frac{\Delta l}{l} = \frac{F}{AY} = \frac{20}{10^{-6} \times 1.1 \times 10^{11}} = \frac{20}{1.1 \times 10^5} \approx 1.818 \times 10^{-4}$.
પોઈસન ગુણોત્તર $\sigma = -\frac{\Delta r/r}{\Delta l/l}$ હોવાથી,પાર્શ્વ વિકૃતિ $\frac{\Delta r}{r} = -\sigma \frac{\Delta l}{l} = -0.32 \times 1.818 \times 10^{-4} \approx -0.5818 \times 10^{-4}$.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ હોવાથી,$\frac{\Delta A}{A} = 2 \frac{\Delta r}{r}$.
ક્ષેત્રફળમાં ઘટાડો $\Delta A = 2 \times A \times \sigma \times \frac{\Delta l}{l} = 2 \times 10^{-6} \times 0.32 \times 1.818 \times 10^{-4} \approx 1.16 \times 10^{-10} \,m^2$.
$cm^2$ માં રૂપાંતર કરતા: $1.16 \times 10^{-10} \times (10^2 \,cm)^2 = 1.16 \times 10^{-6} \,cm^2$.

(A) પોઈસન ગુણોત્તર $(\sigma) = \frac{\text{પાર્શ્વ વિકૃતિ}}{\text{રેખીય વિકૃતિ}}$.
આપેલ પાર્શ્વ વિકૃતિ $= 0.01 \times 10^{-3} \ m$.
$\sigma = \frac{\text{પાર્શ્વ વિકૃતિ}}{\Delta L / L} = 0.4$.
$\frac{\Delta L}{L} = \frac{0.01 \times 10^{-3}}{0.4} = 0.025 \times 10^{-3} = 2.5 \times 10^{-5}$.
યંગ મોડ્યુલસ $Y = \frac{F/A}{\Delta L/L} = \frac{F \cdot L}{A \cdot \Delta L}$.
$Y = \frac{100 \ N}{0.025 \ m^2 \times (2.5 \times 10^{-5})} = \frac{100}{0.0625 \times 10^{-5}} = \frac{100}{6.25 \times 10^{-7}} = 16 \times 10^7 = 1.6 \times 10^8 \ N/m^2$.

(C) આપેલ છે: લંબાઈમાં આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta l}{l} = -0.01$ (કારણ કે તે $1 \%$ ઘટે છે)।
પોઈસન ગુણોત્તર, $\sigma = 0.2$.
સળિયા માટે, કદ $V = A \times l$, જ્યાં $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે。
કદમાં આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta V}{V} = \frac{\Delta A}{A} + \frac{\Delta l}{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે。
કારણ કે $A = w \times t$ (પહોળાઈ $\times$ જાડાઈ), તેથી $\frac{\Delta A}{A} = \frac{\Delta w}{w} + \frac{\Delta t}{t}$.
પોઈસન ગુણોત્તરની વ્યાખ્યા મુજબ, $\sigma = -\frac{\Delta w / w}{\Delta l / l} = -\frac{\Delta t / t}{\Delta l / l}$.
તેથી, $\frac{\Delta w}{w} = -\sigma \frac{\Delta l}{l}$ અને $\frac{\Delta t}{t} = -\sigma \frac{\Delta l}{l}$.
આ કિંમતોને કદના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{\Delta V}{V} = -\sigma \frac{\Delta l}{l} - \sigma \frac{\Delta l}{l} + \frac{\Delta l}{l} = \frac{\Delta l}{l} (1 - 2\sigma)$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta V}{V} = -0.01 \times (1 - 2 \times 0.2) = -0.01 \times (1 - 0.4) = -0.01 \times 0.6 = -0.006$.
તેથી, કદમાં $0.6 \%$ નો ઘટાડો થાય છે।

(D) રેખીય વિકૃતિ $\epsilon_L = 2 \times 10^{-3}$ આપેલ છે.
પોઈસન ગુણોત્તર $\sigma$ એ પાર્શ્વ વિકૃતિ $\epsilon_d$ અને રેખીય વિકૃતિ $\epsilon_L$ નો ગુણોત્તર છે,એટલે કે $\sigma = -\frac{\epsilon_d}{\epsilon_L}$.
તેથી,પાર્શ્વ વિકૃતિ $\epsilon_d = -\sigma \epsilon_L = -0.50 \times (2 \times 10^{-3}) = -1 \times 10^{-3}$ થાય.
કદ વિકૃતિ $\frac{\Delta V}{V}$ એ રેખીય વિકૃતિ અને બે પાર્શ્વ વિકૃતિઓના સરવાળા જેટલી હોય છે: $\frac{\Delta V}{V} = \epsilon_L + 2\epsilon_d$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta V}{V} = (2 \times 10^{-3}) + 2(-1 \times 10^{-3}) = 2 \times 10^{-3} - 2 \times 10^{-3} = 0$.
કદ વિકૃતિ $0$ હોવાથી,કદમાં થતો પ્રતિશત ફેરફાર $0$ છે.

(D) પોઈસન ગુણોત્તર $\sigma$ એ પાર્શ્વ વિકૃતિ અને રેખીય વિકૃતિનો ગુણોત્તર છે: $\sigma = -\frac{dD/D}{dL/L}$.
આપેલ છે કે $\sigma = 0.5$,તેથી $0.5 = -\frac{dD/D}{dL/L}$,જે સૂચવે છે કે $\frac{dD}{D} = -0.5 \frac{dL}{L}$.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi (D/2)^2 = \frac{\pi D^2}{4}$ છે.
લઘુગણકીય વિકલન લેતા,$\frac{dA}{A} = 2 \frac{dD}{D}$ મળે.
$\frac{dD}{D}$ ની કિંમત મૂકતા,$\frac{dA}{A} = 2 (-0.5 \frac{dL}{L}) = -\frac{dL}{L}$ મળે.
ક્ષેત્રફળમાં $4 \%$ નો ઘટાડો થાય છે,તેથી $\frac{dA}{A} = -0.04$.
આથી,$-0.04 = -\frac{dL}{L}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dL}{L} = 0.04$ અથવા $4 \%$.
આમ,લંબાઈમાં થતો પ્રતિશત વધારો $4 \%$ છે.

(D) આપેલ છે કે પ્રતિબળ $\sigma_{s} = \frac{1}{100} Y$,જ્યાં $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $Y = \frac{\text{પ્રતિબળ}}{\text{લંબાઈમાં વિકૃતિ}} = \frac{\sigma_{s}}{\Delta l / l}$.
પ્રતિબળની કિંમત મૂકતા: $Y = \frac{Y / 100}{\Delta l / l} \implies \frac{\Delta l}{l} = \frac{1}{100} = 0.01$.
પોઈસન ગુણોત્તર $\nu = -\frac{\Delta w / w}{\Delta l / l} = -\frac{\Delta t / t}{\Delta l / l} = 0.3$.
તેથી,પાર્શ્વ વિકૃતિ $\frac{\Delta w}{w} = \frac{\Delta t}{t} = -\nu \left( \frac{\Delta l}{l} \right) = -0.3 \times 0.01 = -0.003$.
લંબચોરસ સળિયાનું કદ $V = l \times w \times t$ છે.
કદમાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta V}{V} \approx \frac{\Delta l}{l} + \frac{\Delta w}{w} + \frac{\Delta t}{t}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta V}{V} = 0.01 + (-0.003) + (-0.003) = 0.01 - 0.006 = 0.004$.
તેથી,કદમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $0.004 \times 100 \% = 0.4 \%$ છે.