Pressure and Energy Questions in Hindi

(C) एक गैस में,अणु त्रि-आयामी स्थान में सभी दिशाओं में यादृच्छिक रूप से गति करते हैं। अणु के वेग सदिश को $x$,$y$ और $z$ अक्षों के अनुदिश तीन परस्पर लंबवत घटकों में विभाजित किया जा सकता है।
सांख्यिकीय रूप से,अणु इन दिशाओं के बीच समान रूप से वितरित होते हैं।
किसी भी एक विशिष्ट दिशा के लिए (उदाहरण के लिए,धनात्मक $x$-दिशा),उस दिशा में गति करने वाले अणुओं का अंश कुल अणुओं की संख्या $n$ का $1/6$ होता है।
अतः,एक निश्चित दिशा में गति करने वाले अणुओं की औसत संख्या $n/6$ है।

(A) गैसों के गतिज सिद्धांत (Kinetic Theory of Gases) के अनुसार,एक आदर्श गैस का तापमान उसके अणुओं की औसत स्थानांतरण गतिज ऊर्जा के सीधे आनुपातिक होता है।
यह संबंध निम्नलिखित समीकरण द्वारा दिया जाता है:
$KE_{\text{avg}} = \frac{3}{2} k_{B} T$
जहाँ:
$KE_{\text{avg}}$ औसत स्थानांतरण गतिज ऊर्जा है,
$k_{B}$ बोल्ट्जमैन स्थिरांक है,
$T$ गैस का परम तापमान है।
अतः,तापमान गैस के अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा का माप है।

(C) गैसों के गतिज सिद्धांत के अनुसार,गैस के एक अणु की औसत गतिज ऊर्जा $(K_{avg})$ का सूत्र $K_{avg} = \frac{3}{2} k_B T$ है,जहाँ $k_B$ बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है और $T$ परम तापमान है।
चूंकि $k_B$ एक सार्वभौमिक स्थिरांक है और दिए गए तापमान के लिए $T$ स्थिर है,इसलिए औसत गतिज ऊर्जा केवल तापमान पर निर्भर करती है।
अतः,दिए गए तापमान पर,सभी गैस अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा उनके द्रव्यमान से स्वतंत्र होकर समान होती है।

(A) गैसों के अणुगति सिद्धांत के अनुसार,दाब $P$ का सूत्र $P = \frac{1}{3} \rho \langle v^2 \rangle$ है।
चूंकि घनत्व $\rho = \frac{M}{V}$ है,इसलिए $P = \frac{1}{3} \frac{M}{V} \langle v^2 \rangle$ होगा।
समीकरण को $2$ से गुणा और भाग करने पर,$P = \frac{2}{3V} (\frac{1}{2} M \langle v^2 \rangle)$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$E = \frac{1}{2} M \langle v^2 \rangle$ गैस के अणुओं की कुल आंतरिक गतिज ऊर्जा को दर्शाता है।
अतः,$P = \frac{2}{3} \frac{E}{V}$ होता है।
नियत आयतन $V$ के लिए,दाब $P$ गैस की कुल आंतरिक ऊर्जा $E$ के समानुपाती होता है।

(A) गैस का $rms$ वेग $V_{rms} = \sqrt{\frac{3P}{\rho}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $P$ दाब है और $\rho$ गैस का घनत्व है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $V_{rms}^2 = \frac{3P}{\rho}$ प्राप्त होता है।
दाब के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$P = \frac{1}{3} \rho V_{rms}^2$ प्राप्त होता है।
चूंकि पात्र में गैस के निश्चित द्रव्यमान के लिए घनत्व $\rho$ स्थिर रहता है,इसलिए $P \propto V_{rms}^2$ होता है।
यदि $rms$ वेग को दोगुना कर दिया जाए $(V'_{rms} = 2V_{rms})$,तो नया दाब $P'$ इस प्रकार होगा: $P' \propto (2V_{rms})^2 = 4V_{rms}^2$।
अतः,दाब मूल दाब का $4$ गुना हो जाएगा।

(D) गैसों के गतिज सिद्धांत के अनुसार,एक आदर्श गैस के प्रति अणु की औसत गतिज ऊर्जा $E_{avg} = \frac{3}{2}kT$ होती है,जहाँ $k$ बोल्ट्जमैन नियतांक है और $T$ परम ताप है।
$1$ मोल गैस के लिए,अणुओं की संख्या आवोगाद्रो संख्या $N_A$ के बराबर होती है।
इसलिए,$1$ मोल के लिए कुल गतिज ऊर्जा $E = N_A \times (\frac{3}{2}kT)$ होगी।
चूँकि $k = \frac{R}{N_A}$,इसलिए $E = N_A \times \frac{3}{2} \times (\frac{R}{N_A}) \times T$ होगा।
इसे सरल करने पर,हमें $E = \frac{3}{2}RT$ प्राप्त होता है।
अतः,$1$ ग्राम-मोल गैस की औसत गतिज ऊर्जा $\frac{3RT}{2}$ होती है।

(C) गैस के अणु की औसत गतिज ऊर्जा का सूत्र $K.E. = \frac{3}{2} k_B T$ है,जहाँ $k_B$ बोल्ट्ज़मान नियतांक है और $T$ परम तापमान है।
चूंकि औसत गतिज ऊर्जा केवल तापमान $T$ पर निर्भर करती है,न कि गैस के अणु के द्रव्यमान या प्रकृति पर,इसलिए समान तापमान $T$ पर किसी भी गैस के लिए औसत गतिज ऊर्जा समान रहती है।
यहाँ $H_2$ और $O_2$ दोनों के लिए तापमान $300 \, K$ दिया गया है,इसलिए $O_2$ की औसत गतिज ऊर्जा भी $E$ ही होगी।

(B) गैसों के अणुगति सिद्धांत के अनुसार,एक आदर्श गैस के एक अणु की औसत गतिज ऊर्जा $(E_k)$ का सूत्र है:
$E_k = \frac{3}{2} k_B T$
जहाँ $k_B$ बोल्ट्जमान नियतांक है और $T$ गैस का परम तापमान है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि औसत गतिज ऊर्जा गैस के परम तापमान $(T)$ के सीधे समानुपाती होती है।
अतः,$E_k \propto T$.

(A) एक आदर्श गैस के लिए,प्रति मोल औसत गतिज ऊर्जा का सूत्र $E = \frac{f}{2}RT$ है,जहाँ $f$ स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) की संख्या है।
एक-परमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f = 3$ होती है ($x, y,$ और $z$ अक्षों के अनुदिश स्थानांतरण गति के अनुरूप)।
सूत्र में $f = 3$ रखने पर,हमें $E = \frac{3}{2}RT$ प्राप्त होता है।

(D) एक मोल आदर्श गैस की गतिज ऊर्जा $(E)$ का सूत्र है: $E = \frac{3}{2}RT$।
मानक तापमान $(T)$ $273 \ K$ होता है।
दिया गया है $R = 8.31 \ J/mol \cdot K$।
मान रखने पर: $E = \frac{3}{2} \times 8.31 \times 273$।
$E = 1.5 \times 8.31 \times 273 = 3402.855 \ J$।
दो सार्थक अंकों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $E \approx 3.4 \times 10^3 \ J$ प्राप्त होता है।

(C) एक आदर्श गैस की कुल गतिज ऊर्जा $(E)$ का सूत्र $E = N \times \frac{f}{2} kT$ है,जहाँ $N$ अणुओं की संख्या है,$f$ स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) है,$k$ बोल्ट्जमैन नियतांक है और $T$ तापमान है।
$H_2$ (द्वि-परमाणुक गैस) के लिए,$300 \ K$ पर स्वतंत्रता की कोटि $f = 5$ है।
$O_2$ (द्वि-परमाणुक गैस) के लिए,$300 \ K$ पर स्वतंत्रता की कोटि $f = 5$ है।
दिया गया है कि $N_{H_2} = 2N_{O_2}$।
कुल गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{E_{H_2}}{E_{O_2}} = \frac{N_{H_2} \times \frac{f}{2} kT}{N_{O_2} \times \frac{f}{2} kT} = \frac{N_{H_2}}{N_{O_2}}$ होगा।
मान रखने पर,$\frac{E_{H_2}}{E_{O_2}} = \frac{2N_{O_2}}{N_{O_2}} = 2$।
अतः,अनुपात $2:1$ है।

(B) अणुओं के बीच की औसत दूरी $d$,संख्या घनत्व $n$ से $d \propto n^{-1/3}$ के रूप में संबंधित है।
यदि दूरी $d$ को दोगुना कर दिया जाए $(d' = 2d)$,तो संख्या घनत्व $n$ बदलकर $n' = n/8$ हो जाएगा।
आदर्श गैस नियम के अनुसार,$P = nkT$ होता है। चूंकि तापमान $T$ स्थिर है,इसलिए दबाव $P$,संख्या घनत्व $n$ के सीधे आनुपातिक है $(P \propto n)$।
अतः,$P' = P \times (n'/n) = P \times (1/8) = P/8$।
इस प्रकार,दबाव $P/8$ हो जाएगा।

(B) प्रारंभिक तापमान $T_1 = -73^{\circ}C = (-73 + 273) K = 200 K$ है।
गैस के अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा $E = \frac{3}{2} kT$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है कि $E \propto T$ है।
इसलिए,$\frac{E_2}{E_1} = \frac{T_2}{T_1}$ होगा।
दिया गया है कि गतिज ऊर्जा दोगुनी हो जाती है,इसलिए $E_2 = 2E_1$,यानी $\frac{2E_1}{E_1} = \frac{T_2}{200 K}$।
$T_2 = 2 \times 200 K = 400 K$।
सेल्सियस में बदलने पर: $T_2(^{\circ}C) = 400 - 273 = 127^{\circ}C$।

(D) गैस की $rms$ चाल का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3P}{\rho}}$ है।
दिया गया है: $v_{rms} = 3180 \ m/s$,$\rho = 8.99 \times 10^{-2} \ kg/m^3$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$v_{rms}^2 = \frac{3P}{\rho}$ प्राप्त होता है।
दबाव $P$ के लिए सूत्र: $P = \frac{v_{rms}^2 \times \rho}{3}$.
मान रखने पर: $P = \frac{(3180)^2 \times 8.99 \times 10^{-2}}{3}$.
$P = \frac{10112400 \times 0.0899}{3} \approx \frac{909104.76}{3} \approx 303034.92 \ N/m^2$.
वायुमंडल में बदलने के लिए: $P_{atm} = \frac{303034.92}{1.01 \times 10^5} \approx \frac{303034.92}{101000} \approx 3.0 \ atm$.

(C) $1 \ g$ आदर्श गैस की गतिज ऊर्जा का सूत्र है: $K.E. = \frac{3}{2} nRT$,जहाँ $n = \frac{m}{M_w}$.
दिया गया है: द्रव्यमान $m = 1 \ g$,$He$ का मोलर द्रव्यमान $M_w = 4 \ g/mol$,तापमान $T = 272 + 273 = 545 \ K$,और गैस नियतांक $R = 8.314 \ J/(mol \cdot K)$.
मान रखने पर: $K.E. = \frac{3}{2} \times \frac{1}{4} \times 8.314 \times 545 = 1699.1 \ J$.
नोट: दिए गए विकल्पों के अनुसार,यदि तापमान $27^{\circ}C$ $(300 \ K)$ लिया जाए तो: $K.E. = \frac{3}{2} \times \frac{8.314 \times 300}{4} = 935.3 \ J \approx 933.75 \ J$.

(B) आदर्श गैस की कुल गतिज ऊर्जा $E_T$ का सूत्र है: $E_T = \frac{f}{2} nRT$
यहाँ $n$ मोलों की संख्या है,$f$ स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) है,$R$ गैस नियतांक है और $T$ केल्विन में तापमान है।
दिया गया है: $n = 1 \text{ mole}$,$T = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \text{ K}$,$R = 2 \text{ cal/mol K}$।
$N_2$ एक द्वि-परमाणुक गैस है,इसलिए इसके लिए स्वतंत्रता की कोटि $f = 5$ होती है।
मान रखने पर: $E_T = \frac{5}{2} \times 1 \times 2 \times 300$
$E_T = 5 \times 300 = 1500 \text{ cal}$।

(A) गैसों के गतिज सिद्धांत के अनुसार,एक आदर्श गैस का दाब $P$ और प्रति इकाई आयतन गतिज ऊर्जा $(E/V)$ के बीच संबंध इस प्रकार है: $P = \frac{2}{3} \left( \frac{E}{V} \right)$.
प्रति इकाई आयतन गतिज ऊर्जा ज्ञात करने के लिए इस सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{E}{V} = \frac{3}{2} P$.
यहाँ दिया गया दाब $P = 6 \times 10^4 \ N/m^2$ है।
समीकरण में $P$ का मान रखने पर: $\frac{E}{V} = \frac{3}{2} \times (6 \times 10^4 \ N/m^2)$.
$\frac{E}{V} = 3 \times 3 \times 10^4 \ J/m^3 = 9 \times 10^4 \ J/m^3$.

(C) गैस के अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा परम तापमान के सीधे आनुपातिक होती है: $E \propto T$।
दिया गया है,$T_1 = 27^\circ C = 27 + 273 = 300 \ K$।
मान लीजिए $T_1$ पर गतिज ऊर्जा $E_1 = E$ है।
हम चाहते हैं कि $T_2$ पर गतिज ऊर्जा $E_2 = 2E$ हो।
संबंध $\frac{E_1}{E_2} = \frac{T_1}{T_2}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{E}{2E} = \frac{300}{T_2}$
$\frac{1}{2} = \frac{300}{T_2}$
$T_2 = 600 \ K$।
सेल्सियस में बदलने पर: $T_2(^\circ C) = 600 - 273 = 327^\circ C$।

(C) गैस की औसत गतिज ऊर्जा $(E_k)$ उसके परम तापमान ($T$ केल्विन में) के सीधे समानुपाती होती है।
$E_k = \frac{3}{2} k_B T$
यह दिया गया है कि तापमान $T$ पर गतिज ऊर्जा $20^\circ C$ $(293 \, K)$ पर गतिज ऊर्जा की दोगुनी है:
$E_k(T) = 2 \times E_k(293 \, K)$
$T = 2 \times 293 \, K = 586 \, K$
इस तापमान को सेल्सियस में बदलने पर:
$T(^\circ C) = 586 - 273 = 313^\circ C$

(A) गैसों के अणुगति सिद्धांत के अनुसार,एक आदर्श गैस द्वारा लगाया गया दाब $P$ इस संबंध द्वारा दिया जाता है: $P = \frac{1}{3} \rho \langle v^2 \rangle$,जहाँ $\rho$ घनत्व है और $\langle v^2 \rangle$ माध्य वर्ग चाल है।
हम इसे $P = \frac{2}{3} \left( \frac{1}{2} \rho \langle v^2 \rangle \right)$ के रूप में लिख सकते हैं।
प्रति इकाई आयतन गतिज ऊर्जा $(E)$ को कुल गतिज ऊर्जा और आयतन $V$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो $E = \frac{1}{2} \frac{M}{V} \langle v^2 \rangle = \frac{1}{2} \rho \langle v^2 \rangle$ है।
इस मान को दाब के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $P = \frac{2}{3} E$ प्राप्त होता है।

(C) गैस के $rms$ वेग का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3P}{\rho}}$ होता है।
दाब $P$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $P = \frac{1}{3} \rho v_{rms}^2$ प्राप्त होता है।
दिए गए मान $v_{rms} = 1840 \ m/s$ और $\rho = 8.99 \times 10^{-2} \ kg/m^3$ हैं।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$P = \frac{1}{3} \times (8.99 \times 10^{-2}) \times (1840)^2$
$P = \frac{1}{3} \times (8.99 \times 10^{-2}) \times 3385600$
$P = \frac{1}{3} \times 304365.44$
$P \approx 101455.15 \ N/m^2$
$P \approx 1.01 \times 10^5 \ N/m^2$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा $U = \frac{f}{2} PV$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $f$ स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) है,$P$ दबाव है और $V$ आयतन है।
द्वि-परमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f = 5$ है।
आयतन $V = \frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{घनत्व}} = \frac{1 \, kg}{4 \, kg/m^3} = 0.25 \, m^3$ है।
मान रखने पर: $U = \frac{5}{2} \times (8 \times 10^4 \, N/m^2) \times (0.25 \, m^3)$.
$U = 2.5 \times 8 \times 10^4 \times 0.25 = 20 \times 10^4 \times 0.25 = 5 \times 10^4 \, J$.

(A) एक आदर्श गैस के $n$ मोल की औसत गतिज ऊर्जा $E = \frac{n f}{2} RT$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $f$ स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) है।
एक परमाण्विक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f = 3$ होती है।
$1$ मोल गैस के लिए $(n = 1)$,औसत गतिज ऊर्जा $E = \frac{1 \times 3}{2} RT = \frac{3}{2} RT$ होती है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) आदर्श गैस द्वारा लगाया गया दबाव इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $P = \frac{1}{3} \rho v_{rms}^2 = \frac{1}{3} \frac{M}{V} v_{rms}^2$.
यहाँ $P \propto M \cdot v^2$,जहाँ $M$ गैस का कुल द्रव्यमान है और $v$ वर्ग माध्य मूल वेग (rms velocity) है।
दिया गया है: $M_2 = \frac{M_1}{2}$ और $v_2 = 2v_1$.
अतः,दबाव का अनुपात: $\frac{P_2}{P_1} = \frac{M_2}{M_1} \left( \frac{v_2}{v_1} \right)^2$.
मान रखने पर: $\frac{P_2}{P_0} = \left( \frac{M_1/2}{M_1} \right) \left( \frac{2v_1}{v_1} \right)^2 = \frac{1}{2} \times (2)^2 = \frac{1}{2} \times 4 = 2$.
इस प्रकार,$P_2 = 2P_0$.

(D) आदर्श गैस की कुल आंतरिक ऊर्जा (औसत गतिज ऊर्जा) का सूत्र $E = \frac{3}{2} PV$ है।
दिया गया है:
आयतन $V = 20 \, L = 20 \times 10^{-3} \, m^3$.
कुल गतिज ऊर्जा $E = 1.5 \times 10^5 \, J$.
दबाव $P$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$P = \frac{2E}{3V}$.
मान रखने पर:
$P = \frac{2 \times (1.5 \times 10^5)}{3 \times (20 \times 10^{-3})}$.
$P = \frac{3 \times 10^5}{60 \times 10^{-3}} = \frac{3 \times 10^5}{6 \times 10^{-2}} = 0.5 \times 10^7 = 5 \times 10^6 \, N/m^2$.

(B) आदर्श गैस के $1$ मोल की गतिज ऊर्जा का सूत्र $K.E. = \frac{3}{2}RT$ है।
यहाँ,$R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$R = 8.314 \, J \cdot mol^{-1} \cdot K^{-1}$ (गणना में अक्सर $8.3 \, J \cdot mol^{-1} \cdot K^{-1}$ लिया जाता है)।
केल्विन में तापमान $T = 27 + 273 = 300 \, K$ है।
मान रखने पर: $K.E. = \frac{3}{2} \times 8.3 \times 300$.
$K.E. = 1.5 \times 8.3 \times 300 = 3735 \, J$.

(D) सिलेंडर का आयतन $V = 200 \ L = 200 \times 10^{-3} \ m^3 = 0.2 \ m^3$ है।
कुल स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $E_k = 1.52 \times 10^5 \ J$ दी गई है।
गैसों के गतिज सिद्धांत के अनुसार,दाब $P$ और प्रति इकाई आयतन गतिज ऊर्जा के बीच संबंध $P = \frac{2}{3} \frac{E_k}{V}$ है।
इस सूत्र में मान रखने पर:
$P = \frac{2}{3} \times \frac{1.52 \times 10^5}{0.2}$.
$P = \frac{2}{3} \times 7.6 \times 10^5$.
$P \approx 5.06 \times 10^5 \ N \ m^{-2}$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,दाब $5 \times 10^5 \ N \ m^{-2}$ है।

(D) गैस के अणु की औसत गतिज ऊर्जा $K_{avg} = \frac{3}{2}kT$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $k$ बोल्ट्ज़मैन नियतांक है और $T$ केल्विन में तापमान है।
$1 \, V$ के विभवांतर के माध्यम से त्वरित इलेक्ट्रॉन द्वारा प्राप्त ऊर्जा $E = qV = 1 \, eV$ है।
दोनों को बराबर करने पर: $\frac{3}{2}kT = 1 \, eV$।
मान रखने पर $e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$ और $k = 1.38 \times 10^{-23} \, J/K$:
$T = \frac{2 \times 1.6 \times 10^{-19}}{3 \times 1.38 \times 10^{-23}} \, K$।
$T = \frac{3.2 \times 10^{-19}}{4.14 \times 10^{-23}} \, K \approx 0.7729 \times 10^4 \, K = 7.7 \times 10^3 \, K$।

(B) गैस के अणुओं की वर्ग माध्य मूल चाल का सूत्र है: $\upsilon_{rms} = \sqrt{\frac{3P}{\rho}} = \sqrt{\frac{3PV}{M}}$,जहाँ $P$ दाब है,$V$ आयतन है और $M$ गैस का कुल द्रव्यमान है।
चूँकि आयतन $V$ स्थिर है,इसलिए $\upsilon_{rms} \propto \sqrt{\frac{P}{M}}$ होगा।
माना प्रारंभिक स्थिति $(\upsilon_1, P_1, M_1) = (\upsilon, P_0, M)$ है और अंतिम स्थिति $(\upsilon_2, P_2, M_2) = (2\upsilon, P_2, M/2)$ है।
समानुपातिकता का उपयोग करने पर: $\frac{\upsilon_1}{\upsilon_2} = \sqrt{\frac{P_1}{P_2} \times \frac{M_2}{M_1}}$.
मान रखने पर: $\frac{\upsilon}{2\upsilon} = \sqrt{\frac{P_0}{P_2} \times \frac{M/2}{M}}$.
$\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{P_0}{P_2} \times \frac{1}{2}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{1}{4} = \frac{P_0}{P_2} \times \frac{1}{2}$.
$\frac{1}{4} = \frac{P_0}{2P_2} \Rightarrow 2P_2 = 4P_0 \Rightarrow P_2 = 2P_0$.

(C) गैस के एक अणु की औसत गतिज ऊर्जा केवल परम तापमान $T$ पर निर्भर करती है और इसे $K_{avg} = \frac{3}{2} k_B T$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि दोनों गैसें समान तापमान पर हैं,इसलिए हाइड्रोजन और ऑक्सीजन दोनों के लिए प्रति अणु औसत गतिज ऊर्जा समान होगी।
मान लीजिए हाइड्रोजन के अणुओं की संख्या $N_H$ है और ऑक्सीजन के अणुओं की संख्या $N_O$ है। दिया गया है कि $N_H = 2N_O$ है।
कुल गतिज ऊर्जा $E$ का मान $E = N \times K_{avg}$ द्वारा प्राप्त होता है।
इसलिए,कुल गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{E_H}{E_O} = \frac{N_H \times K_{avg}}{N_O \times K_{avg}} = \frac{N_H}{N_O}$ होगा।
$N_H = 2N_O$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{E_H}{E_O} = \frac{2N_O}{N_O} = \frac{2}{1}$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $2 : 1$ है।

(D) आदर्श गैस की औसत गतिज ऊर्जा $(E)$ उसके परम तापमान $(T)$ के सीधे आनुपातिक होती है,जिसे संबंध $E = \frac{3}{2} k_B T$ द्वारा दर्शाया जाता है।
इसलिए,गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{E_1}{E_2} = \frac{T_1}{T_2}$ होगा।
सेल्सियस में दिया गया तापमान: $T_1 = 27^{\circ}C$ और $T_2 = 927^{\circ}C$ है।
केल्विन में बदलने पर: $T_1 = 27 + 273 = 300 \ K$ और $T_2 = 927 + 273 = 1200 \ K$ होगा।
मान रखने पर: $\frac{E_1}{E_2} = \frac{300}{1200} = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,$E_2 = 4 E_1$,जिसका अर्थ है कि गतिज ऊर्जा प्रारंभिक मान की चार गुनी हो जाएगी।

(C) गैस के $r.m.s.$ वेग का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3P}{\rho}}$ होता है।
दाब $P$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$P = \frac{\rho v_{rms}^2}{3}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $P = \frac{8.99 \times 10^{-2} \times (1840)^2}{3}$.
$P = \frac{8.99 \times 10^{-2} \times 3385600}{3}$.
$P = \frac{304365.44}{3} \approx 101455.15 \ N/m^2$.
उचित सार्थक अंकों में लेने पर,$P \approx 1.01 \times 10^5 \ N/m^2$ प्राप्त होता है।

(A) आदर्श गैस की औसत गतिज ऊर्जा का सूत्र $E = \frac{3}{2}kT$ है,जिसका अर्थ है $E \propto T$।
सबसे पहले,तापमान को सेल्सियस से केल्विन में बदलें:
$T_1 = 27 + 273 = 300 \ K$
$T_2 = 327 + 273 = 600 \ K$
$E \propto T$ के संबंध का उपयोग करते हुए:
$\frac{E_2}{E_1} = \frac{T_2}{T_1}$
$\frac{E_2}{E_1} = \frac{600 \ K}{300 \ K} = 2$
अतः,$E_2 = 2E_1$।

(C) तापमान $T = 127^{\circ}C = 273 + 127 = 400 \ K$ है।
आर्गन एक एकपरमाणुक गैस है, इसलिए इसकी स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f = 3$ है।
आदर्श गैस के $1$ मोल की गतिज ऊर्जा का सूत्र $KE = \frac{f}{2} RT$ है।
मान रखने पर: $KE = \frac{3}{2} \times 8.31 \times 400$.
$KE = 3 \times 8.31 \times 200 = 6 \times 831 = 4986 \ J$.

(D) आदर्श गैस के गतिज सिद्धांत के अनुसार दाब $P = \frac{1}{3} \frac{N m}{V} v_{rms}^2$ होता है,जहाँ $N$ अणुओं की संख्या है,$m$ प्रत्येक अणु का द्रव्यमान है,$V$ आयतन है और $v_{rms}$ अणुओं की वर्ग-माध्य-मूल चाल है।
यहाँ दिया गया है कि प्रत्येक अणु का द्रव्यमान आधा $(m' = m/2)$ और चाल दोगुनी $(v' = 2v)$ कर दी जाती है।
नया दाब $P'$ इस प्रकार होगा: $P' = \frac{1}{3} \frac{N m'}{V} (v')^2$.
नए दाब और प्रारंभिक दाब का अनुपात लेने पर:
$\frac{P'}{P} = \frac{m'}{m} \times \frac{(v')^2}{v^2} = \frac{m/2}{m} \times \frac{(2v)^2}{v^2} = \frac{1}{2} \times 4 = 2$.
अतः,$P' = 2P$.

(A) एक परमाण्विक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f = 3$ होती है।
प्रति अणु औसत गतिज ऊर्जा $E_{avg} = \frac{f}{2}kT = \frac{3}{2}kT$ द्वारा दी जाती है।
$1$ मोल गैस के लिए,अणुओं की संख्या आवोगाद्रो संख्या $N_A$ के बराबर होती है।
इसलिए,$1$ मोल के लिए कुल औसत गतिज ऊर्जा $E = N_A \times \frac{3}{2}kT$ होगी।
चूंकि $R = N_A k$,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है और $k$ बोल्ट्जमैन नियतांक है,इसलिए हमें $E = \frac{3}{2}RT$ प्राप्त होता है।

(A) एक मोल आदर्श गैस की औसत गतिज ऊर्जा का सूत्र $E = \frac{3}{2} RT$ होता है।
चूंकि $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है और गैस की मात्रा (एक मोल) स्थिर है,इसलिए गतिज ऊर्जा $E$ निरपेक्ष तापमान $T$ के सीधे समानुपाती होती है $(E \propto T)$।
अतः,दो अलग-अलग तापमानों $T$ और $T'$ पर गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{E'}{E} = \frac{T'}{T}$ द्वारा प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $T = 300 \, K$ और $T' = 400 \, K$,इन मानों को अनुपात में रखने पर:
$\frac{E'}{E} = \frac{400 \, K}{300 \, K} = \frac{4}{3} = 1.33$.

(D) सिलेंडर का आयतन $V = 20 \, L = 20 \times 10^{-3} \, m^3$ है।
आदर्श गैस की कुल स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $E$ का सूत्र $E = \frac{3}{2} PV$ है,जहाँ $P$ दबाव है और $V$ आयतन है।
यहाँ $E = 1.5 \times 10^5 \, J$ और $V = 20 \times 10^{-3} \, m^3$ दिया गया है।
दबाव $P$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$P = \frac{2E}{3V}$
मान रखने पर:
$P = \frac{2 \times (1.5 \times 10^5)}{3 \times (20 \times 10^{-3})}$
$P = \frac{3 \times 10^5}{60 \times 10^{-3}}$
$P = \frac{3 \times 10^5}{6 \times 10^{-2}}$
$P = 0.5 \times 10^7 = 5 \times 10^6 \, N/m^2$.

(D) दिया गया है: गतिज ऊर्जा $E = 1.5 \times 10^5 \, J$ और आयतन $V = 20 \, L = 20 \times 10^{-3} \, m^3$.
आदर्श गैस के लिए दाब $P$,गतिज ऊर्जा $E$ और आयतन $V$ के बीच संबंध $P = \frac{2}{3} \frac{E}{V}$ होता है।
मान रखने पर:
$P = \frac{2}{3} \left( \frac{1.5 \times 10^5}{20 \times 10^{-3}} \right)$
$P = \frac{2}{3} \times \frac{1.5}{20} \times 10^8$
$P = \frac{2}{3} \times 0.075 \times 10^8$
$P = 0.05 \times 10^8 = 5 \times 10^6 \, N/m^2$.

(A) दिया गया है: आयतन $V = 10^{-3} \ m^3$,अणुओं की संख्या $N = 3.0 \times 10^{22}$,एक अणु का द्रव्यमान $m = 5.3 \times 10^{-26} \ kg$,$rms$ चाल $v_{rms} = 400 \ m/s$.
आदर्श गैस द्वारा लगाए गए दाब का सूत्र $P = \frac{1}{3} \frac{N m}{V} v_{rms}^2$ है।
मान रखने पर:
$P = \frac{1}{3} \times \frac{(3.0 \times 10^{22}) \times (5.3 \times 10^{-26})}{10^{-3}} \times (400)^2$
$P = \frac{1}{3} \times \frac{15.9 \times 10^{-4}}{10^{-3}} \times 160000$
$P = 5.3 \times 10^{-1} \times 160000$
$P = 0.53 \times 160000 = 84800 \ N/m^2 = 8.48 \times 10^4 \ N/m^2$.

(B) आदर्श गैस का दाब गतिज सिद्धांत के सूत्र द्वारा दिया जाता है: $P = \frac{1}{3} \frac{N m}{V} v_{rms}^2$.
इस समीकरण से हम देख सकते हैं कि $P \propto m \cdot v_{rms}^2$,जहाँ $m$ अणु का द्रव्यमान है और $v_{rms}$ $rms$ चाल है।
मान लीजिए प्रारंभिक स्थिति $P_1 = P_0$,$m_1 = m$,और $v_{rms,1} = v$ है।
अंतिम स्थिति में,द्रव्यमान आधा $(m_2 = m/2)$ और $rms$ चाल दोगुनी $(v_{rms,2} = 2v)$ हो जाती है।
दाब का अनुपात लेने पर:
$\frac{P_2}{P_1} = \frac{m_2}{m_1} \times \left( \frac{v_{rms,2}}{v_{rms,1}} \right)^2$
मान रखने पर:
$\frac{P_2}{P_0} = \left( \frac{m/2}{m} \right) \times \left( \frac{2v}{v} \right)^2 = \frac{1}{2} \times (2)^2 = \frac{1}{2} \times 4 = 2$.
अतः,नया दाब $P_2 = 2P_0$ होगा।

(D) एक मोल एकपरमाणुक गैस की गतिज ऊर्जा $E$ का सूत्र $E = \frac{3}{2} RT$ होता है।
यहाँ,$R = 8.31 \, J/mol \cdot K$ और तापमान $T = 0 \, ^\circ C = 273 \, K$ है।
मान रखने पर:
$E = \frac{3}{2} \times 8.31 \times 273$
$E = 1.5 \times 8.31 \times 273$
$E = 3402.845 \, J \approx 3.4 \times 10^3 \, J$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) गैस के अणु की औसत गतिज ऊर्जा का सूत्र $K.E. = \frac{3}{2} k_B T$ है,जहाँ $k_B$ बोल्ट्ज़मैन नियतांक है और $T$ परम तापमान है।
चूंकि औसत गतिज ऊर्जा केवल तापमान $T$ पर निर्भर करती है और गैस के अणुओं के द्रव्यमान पर नहीं,इसलिए समान तापमान पर $N_2$ की गतिज ऊर्जा $O_2$ के समान ही होगी।
यह दिया गया है कि $O_2$ की औसत गतिज ऊर्जा $0.048 \ eV$ है,इसलिए समान तापमान पर $N_2$ की औसत गतिज ऊर्जा भी $0.048 \ eV$ होगी।

(B) एक आदर्श गैस की कुल गतिज ऊर्जा $E = \frac{3}{2} NkT$ द्वारा दी जाती है।
यह दिया गया है कि कुल गतिज ऊर्जा स्थिर रहती है,इसलिए $E_1 = E_2$ है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{3}{2} N_1 k T_1 = \frac{3}{2} N_2 k T_2$।
चूंकि $N_2 = 2N_1$ है,हमें $N_1 T_1 = (2N_1) T_2$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $T_2 = \frac{T_1}{2}$ हो जाता है।
आदर्श गैस नियम से,$PV = NkT$। चूंकि बॉक्स का आयतन $V$ स्थिर है,इसलिए $P = \frac{NkT}{V}$ होगा।
अतः,$P_2 = \frac{N_2 k T_2}{V} = \frac{(2N_1) k (T_1/2)}{V} = \frac{N_1 k T_1}{V} = P_1$।
इस प्रकार,नया दबाव $P_2 = P_1$ और नया तापमान $T_2 = \frac{T_1}{2}$ है।

(C) गैस के अणु की औसत गतिज ऊर्जा $E$ को $E = \frac{3}{2}kT$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ केल्विन में परम तापमान है और $k$ बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है।
चूँकि $T = t + 273$,जहाँ $t$ डिग्री सेल्सियस में तापमान है,हम लिख सकते हैं:
$E = \frac{3}{2}k(t + 273)$
$E = \frac{3}{2}kt + \frac{3}{2}k(273)$
यह समीकरण एक रैखिक समीकरण $y = mx + c$ के रूप में है,जहाँ $y = E$,$x = t$,$m = \frac{3}{2}k$ (ढाल),और $c = \frac{3}{2}k(273)$ (y-अंतःखंड) है।
चूँकि y-अंतःखंड $c$ धनात्मक है,ग्राफ एक सीधी रेखा है जो मूल बिंदु से नहीं गुजरती है बल्कि y-अक्ष को एक धनात्मक मान पर काटती है।
इसलिए,सही ग्राफ वह है जहाँ रेखा y-अक्ष पर एक धनात्मक मान से शुरू होती है।

(D) गैस के एक अणु की औसत गतिज ऊर्जा $E = \frac{3}{2}kT$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $k$ बोल्ट्जमैन नियतांक है और $T$ परम तापमान है।
इससे,हम बोल्ट्जमैन नियतांक को $k = \frac{2E}{3T}$ के रूप में लिख सकते हैं।
आवोगाद्रो नियतांक $N_A$,सार्वत्रिक गैस नियतांक $R$ और बोल्ट्जमैन नियतांक $k$ के साथ $R = N_A k$ संबंध से जुड़ा है,जिसका अर्थ है $N_A = \frac{R}{k}$।
$N_A$ के समीकरण में $k$ का मान रखने पर,हमें $N_A = \frac{R}{(2E/3T)}$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर,हमें $N_A = \frac{3RT}{2E}$ प्राप्त होता है।

(B) आदर्श गैस का दाब गतिज सिद्धांत के सूत्र द्वारा दिया जाता है: $P = \frac{1}{3} \frac{N m}{V} v_{rms}^2$.
इस व्यंजक से हम देख सकते हैं कि $P \propto m v_{rms}^2$.
माना प्रारंभिक द्रव्यमान $m_1 = m$ और प्रारंभिक चाल $v_1 = v$ है।
अंतिम द्रव्यमान $m_2 = \frac{m}{2}$ और अंतिम चाल $v_2 = 2v$ है।
अंतिम दाब $P_2$ और प्रारंभिक दाब $P_1 = P_0$ का अनुपात लेने पर:
$\frac{P_2}{P_1} = \frac{m_2}{m_1} \times \left( \frac{v_2}{v_1} \right)^2 = \left( \frac{m/2}{m} \right) \times \left( \frac{2v}{v} \right)^2$.
$\frac{P_2}{P_0} = \frac{1}{2} \times (2)^2 = \frac{1}{2} \times 4 = 2$.
अतः,परिणामी दाब $P_2 = 2P_0$ होगा।

(C) एक आदर्श गैस अणु की औसत गतिज ऊर्जा का सूत्र $E = \frac{3}{2} k_B T$ है,जहाँ $k_B$ बोल्ट्ज़मान नियतांक है और $T$ केल्विन में निरपेक्ष तापमान है।
चूंकि औसत गतिज ऊर्जा केवल निरपेक्ष तापमान $T$ पर निर्भर करती है,इसलिए ${O_2}$ अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा को ${H_2}$ अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा के बराबर होने के लिए,उनके निरपेक्ष तापमान समान होने चाहिए।
यह दिया गया है कि ${H_2}$ का तापमान $-73^\circ C$ है,इसलिए उनकी औसत गतिज ऊर्जा समान रहने के लिए ${O_2}$ का तापमान भी $-73^\circ C$ होना चाहिए।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) ऊर्जा घनत्व $E$ का मान $300 \ J/litre$ दिया गया है।
चूंकि $1 \ litre = 10^{-3} \ m^3$,इसलिए $SI$ मात्रक में ऊर्जा घनत्व $E = \frac{300 \ J}{10^{-3} \ m^3} = 300 \times 10^3 \ J/m^3$ होगा।
एक आदर्श गैस के लिए,दाब $P$ और ऊर्जा घनत्व $E$ के बीच संबंध $P = \frac{2}{3}E$ होता है।
$E$ का मान रखने पर:
$P = \frac{2}{3} \times (300 \times 10^3) \ N/m^2$.
$P = 200 \times 10^3 \ N/m^2 = 2 \times 10^5 \ N/m^2$.

(D) गैसों के गतिज सिद्धांत के अनुसार,गैस के अणुओं की औसत स्थानांतरणीय गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$K.E. = \frac{3}{2} k_B T$
जहाँ $k_B$ बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है और $T$ निरपेक्ष तापमान है।
यह समीकरण दर्शाता है कि औसत स्थानांतरणीय गतिज ऊर्जा निरपेक्ष तापमान के सीधे समानुपाती होती है $(K.E. \propto T)$।
इसलिए,जैसे-जैसे निरपेक्ष तापमान बढ़ता है,गैस के अणुओं की औसत स्थानांतरणीय गतिज ऊर्जा भी बढ़ती है,चाहे गैस एकपरमाणुक हो या द्विपरमाणुक।