Pressure and Energy Questions in Hindi

(B) गैस के अणु की औसत स्थानांतरण गतिज ऊर्जा का सूत्र $K = \frac{3}{2} k_B T$ है,जहाँ $k_B$ बोल्ट्ज़मैन नियतांक है और $T$ केल्विन में निरपेक्ष तापमान है।
संबंध $K \propto T$ से,हम देख सकते हैं कि गतिज ऊर्जा निरपेक्ष तापमान के सीधे आनुपातिक होती है।
प्रारंभिक तापमान $T_i = -78^{\circ} C$ दिया गया है। इसे केल्विन में बदलने पर: $T_i = 273 + (-78) = 195 \ K$।
हम नई गतिज ऊर्जा $K' = 2K$ चाहते हैं। चूँकि $K \propto T$,यदि गतिज ऊर्जा दोगुनी हो जाती है,तो निरपेक्ष तापमान भी दोगुना हो जाना चाहिए।
इसलिए,नया निरपेक्ष तापमान $T_f = 2 \times T_i = 2 \times 195 \ K = 390 \ K$।
अंतिम तापमान को वापस सेल्सियस में बदलने पर: $T_f(^{\circ} C) = 390 - 273 = 117^{\circ} C$।

(B) $N$ अणुओं की स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $K = \frac{3}{2} N k_B T = \frac{3}{2} n R T$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n$ मोलों की संख्या है।
दिया गया द्रव्यमान $m = 50 \text{ g}$,$\text{CO}_2$ का मोलर द्रव्यमान $M = 44 \text{ g/mol}$ है।
मोलों की संख्या $n = \frac{m}{M} = \frac{50}{44} \approx 1.136 \text{ mol}$ है।
तापमान $T = 17 + 273.15 = 290.15 \text{ K}$ है।
$R = 8.314 \text{ J/(mol K)}$ का उपयोग करने पर:
$K = \frac{3}{2} \times \left( \frac{50}{44} \right) \times 8.314 \times 290.15$.
$K = 1.5 \times 1.13636 \times 8.314 \times 290.15 \approx 4108.6 \text{ J}$ है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,निकटतम मान $4102.8 \text{ J}$ है।

(B) आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा $U = n C_v T$ द्वारा दी जाती है।
द्वि-परमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f = 5$ है,इसलिए $C_v = \frac{fR}{2} = \frac{5R}{2}$।
इसे आंतरिक ऊर्जा समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $U = n \left( \frac{5R}{2} \right) T = \frac{5}{2} nRT$।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,हम $nRT$ को $PV$ से बदल सकते हैं: $U = \frac{5}{2} PV$।
दिया गया है: दबाव $P = 1 \text{ atm} \approx 10^5 \text{ Pa}$,आयतन $V = 4 \times 4 \times 3 = 48 \text{ m}^3$।
$U$ की गणना करने पर: $U = \frac{5}{2} \times 10^5 \times 48 = 5 \times 10^5 \times 24 = 120 \times 10^5 \text{ J} = 12 \times 10^6 \text{ J}$।

(D) आदर्श गैस की औसत गतिज ऊर्जा (प्रति अणु) का सूत्र $K.E. = \frac{3}{2} k_B T$ है,जहाँ $k_B$ बोल्ट्ज़मान नियतांक है और $T$ परम तापमान है।
चूंकि हीलियम $(He)$ और आर्गन $(Ar)$ दोनों एकपरमाणुक गैसें हैं,इसलिए उनकी स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) समान $(f = 3)$ है।
यह दिया गया है कि दोनों गैसें समान तापमान $(T = 300 \ K)$ पर हैं,इसलिए प्रति अणु औसत गतिज ऊर्जा केवल तापमान पर निर्भर करती है।
अतः,औसत गतिज ऊर्जा का अनुपात: $\frac{K.E._{He}}{K.E._{Ar}} = \frac{\frac{3}{2} k_B T}{\frac{3}{2} k_B T} = 1: 1$ है।

(D) गैस के अणु की स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा केवल उसकी स्थानांतरीय स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) पर निर्भर करती है,जो किसी भी गैस अणु (एकपरमाणुक,द्विपरमाणुक या बहुपरमाणुक) के लिए $3$ होती है।
गैसों के अणुगति सिद्धांत के अनुसार,एक आदर्श गैस का दाब $P = \frac{1}{3} \frac{N}{V} m v_{rms}^2$ द्वारा दिया जाता है।
इसे $PV = \frac{1}{3} N m v_{rms}^2 = \frac{2}{3} (\frac{1}{2} N m v_{rms}^2)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि कुल स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा $K_{trans} = \frac{1}{2} N m v_{rms}^2$ है,इसलिए हमें $PV = \frac{2}{3} K_{trans}$ प्राप्त होता है।
अतः,$K_{trans} = \frac{3}{2} PV$।
यह संबंध गैस की परमाणुकता से स्वतंत्र है क्योंकि यह केवल स्थानांतरीय गति पर विचार करता है।

(B) एक आदर्श गैस में,अणुओं को बिंदु द्रव्यमान माना जाता है जिनके बीच कोई अंतर-आणविक आकर्षण या प्रतिकर्षण बल नहीं होता है।
चूंकि कोई अंतर-आणविक बल नहीं होता है,इसलिए अणुओं के बीच परस्पर क्रिया से जुड़ी स्थितिज ऊर्जा शून्य होती है।
इसलिए,एक आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा पूरी तरह से उसके अणुओं की उनकी यादृच्छिक स्थानांतरण गति के कारण होने वाली गतिज ऊर्जा से बनी होती है।
एक-परमाण्विक आदर्श गैस के लिए,आंतरिक ऊर्जा $U = \frac{3}{2} nRT$ द्वारा दी जाती है,जो कुल स्थानांतरण गतिज ऊर्जा को दर्शाती है।

(A) गैसों के गतिज सिद्धांत के अनुसार,एक आदर्श गैस का परम तापमान $T$ उसके अणुओं की औसत स्थानांतरण गतिज ऊर्जा के सीधे आनुपातिक होता है।
गणितीय रूप से,प्रति अणु औसत गतिज ऊर्जा $K_{avg} = \frac{3}{2} k_B T$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $k_B$ बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है।
इसलिए,तापमान गैस के अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा का एक माप है।

(A) गैस के एक अणु की औसत गतिज ऊर्जा $(E_{avg})$ का सूत्र $E_{avg} = \frac{3}{2} k_B T$ है,जहाँ $k_B$ बोल्ट्जमैन नियतांक है और $T$ परम तापमान है।
चूंकि $k_B$ एक नियतांक है,इसलिए औसत गतिज ऊर्जा परम तापमान के सीधे आनुपातिक होती है $(E_{avg} \propto T)$।
दिए गए तापमान $T_A = 350 \ K$ और $T_B = 420 \ K$ हैं।
गैस $B$ और गैस $A$ की औसत गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{E_B}{E_A} = \frac{T_B}{T_A}$ होगा।
मान रखने पर,$\frac{E_B}{E_A} = \frac{420}{350} = \frac{42}{35} = \frac{6}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $6: 5$ है।

(A) गैसों के गतिज सिद्धांत के अनुसार एक आदर्श गैस द्वारा पात्र की दीवारों पर लगाया गया दबाव $P = \frac{1}{3} \rho v_{rms}^{2}$ द्वारा दिया जाता है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ से,हमारे पास $P = \frac{nRT}{V}$ है।
चूंकि एक बंद पात्र के लिए $n$,$R$ और $V$ स्थिर हैं,इसलिए दबाव $P$ तापमान $T$ के सीधे आनुपातिक है,अर्थात $P \propto T$।
दीवारों पर लगाया गया बल $F = P \times A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ दीवार का सतह क्षेत्र है।
चूंकि एक बंद पात्र के लिए $A$ स्थिर है,इसलिए $F \propto P$।
अतः,$F \propto T$,जिसका अर्थ है $F \propto T^{1}$।
इसे $T^{x}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 1$ प्राप्त होता है।

(D) एक आदर्श गैस के अणु की औसत गतिज ऊर्जा $(K)$ का सूत्र $K = \frac{3}{2} k_B T$ है,जहाँ $k_B$ बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है और $T$ केल्विन में निरपेक्ष तापमान है।
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $K \propto T$ है।
दिया गया है,$T_1 = 399^{\circ} C = (399 + 273) K = 672 K$ पर,गतिज ऊर्जा $E_1 = E$ है।
हमें वह तापमान $T_2$ ज्ञात करना है जिस पर गतिज ऊर्जा $E_2 = E/2$ हो।
समानुपातिकता $E_1 / E_2 = T_1 / T_2$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$E / (E/2) = 672 / T_2$
$2 = 672 / T_2$
$T_2 = 672 / 2 = 336 K$.
इसे सेल्सियस में बदलने के लिए: $T_2(^{\circ} C) = 336 - 273 = 63^{\circ} C$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) गैसों के गतिज सिद्धांत के अनुसार,गैस के अणु की औसत गतिज ऊर्जा गैस के परम तापमान के सीधे आनुपातिक होती है।
विशेष रूप से,औसत गतिज ऊर्जा का सूत्र $K_{avg} = \frac{3}{2} k_B T$ है,जहाँ $k_B$ बोल्ट्जमैन स्थिरांक है और $T$ परम तापमान है।
चूंकि तापीय संतुलन में गैस के सभी अणुओं के लिए तापमान $T$ समान होता है,इसलिए औसत गतिज ऊर्जा सभी अणुओं के लिए समान रहती है।
वेग,संवेग और कोणीय संवेग जैसी अन्य राशियाँ टक्करों और मैक्सवेल-बोल्ट्जमैन गति वितरण के कारण अणु-दर-अणु बदलती रहती हैं।
इसलिए,सही विकल्प $C$ है।

(B) एक आदर्श गैस अणु की औसत गतिज ऊर्जा $(K_{avg})$ उसके परम तापमान $(T)$ (केल्विन में) के सीधे आनुपातिक होती है,जिसका सूत्र है: $K_{avg} = \frac{3}{2} k_B T$।
दिया गया है:
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$।
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा = $E$।
अंतिम तापमान $T_2 = 327^{\circ} C = 327 + 273 = 600 \ K$।
चूंकि $K_{avg} \propto T$,इसलिए:
$\frac{K_2}{K_1} = \frac{T_2}{T_1}$
$\frac{K_2}{E} = \frac{600 \ K}{300 \ K}$
$\frac{K_2}{E} = 2$
$K_2 = 2 E$।
अतः,अंतिम औसत गतिज ऊर्जा $2 E$ होगी।

(D) गैस के अणु की औसत स्थानांतरण गतिज ऊर्जा का सूत्र है: $E = \frac{3}{2} k_B T$,जहाँ $k_B$ बोल्ट्ज़मान नियतांक है और $T$ परम तापमान है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि स्थानांतरण गतिज ऊर्जा केवल तापमान $T$ पर निर्भर करती है और यह गैस के मोलर द्रव्यमान से स्वतंत्र है।
नाइट्रोजन $(N_2)$ के लिए दिया गया है: $E_1 = 0.042 \ eV$,तापमान $T_1 = T$ पर।
ऑक्सीजन $(O_2)$ के लिए: तापमान दोगुना कर दिया गया है,इसलिए $T_2 = 2T$ है।
चूँकि $E \propto T$,इसलिए:
$\frac{E_2}{E_1} = \frac{T_2}{T_1} = \frac{2T}{T} = 2$
अतः,$E_2 = 2 \times E_1 = 2 \times 0.042 \ eV = 0.084 \ eV$.

(A) आदर्श गैस का दाब $P$,उसकी कुल स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $E$ और आयतन $V$ के साथ इस सूत्र द्वारा संबंधित है: $P = \frac{2}{3} \frac{E}{V}$।
दिया गया है,$E = 7.5 \times 10^3 \text{ J}$ और $V = 10 \text{ litre} = 10 \times 10^{-3} \text{ m}^3 = 10^{-2} \text{ m}^3$।
सूत्र में मान रखने पर:
$P = \frac{2}{3} \times \frac{7.5 \times 10^3}{10^{-2}}$
$P = \frac{2}{3} \times 7.5 \times 10^5$
$P = 5 \times 10^5 \text{ N/m}^2$।

(D) एक आदर्श गैस द्वारा पात्र में लगाया गया दबाव $P$,आदर्श गैस समीकरण $PV = N K_B T$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N$ अणुओं की संख्या है,$K_B$ बोल्ट्ज़मान नियतांक है,और $V$ आयतन है।
चूंकि दबाव $P$ को प्रति इकाई क्षेत्रफल $A$ पर लगने वाले बल $F$ के रूप में परिभाषित किया गया है,इसलिए $P = F/A$ होता है।
इसे आदर्श गैस समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(F/A) V = N K_B T$
$F = (N K_B T A) / V$
दिए गए पात्र और गैस के नमूने के लिए $N$,$K_B$,$A$ और $V$ नियतांक हैं,इसलिए बल $F$ तापमान $T$ के सीधे आनुपातिक है।
$F \propto T^1$
इसे $F \propto T^x$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 1$ प्राप्त होता है।

(B) गैसों के गतिज सिद्धांत के अनुसार,एक आदर्श गैस द्वारा लगाया गया दबाव $P$ इस प्रकार दिया जाता है:
$P = \frac{1}{3} \rho v_{rms}^2$
जहाँ $\rho = \frac{M}{V}$ गैस का घनत्व है और $v_{rms}$ वर्ग-माध्य-मूल वेग है।
समीकरण में $\rho$ का मान रखने पर:
$P = \frac{1}{3} \left( \frac{M}{V} \right) v_{rms}^2$
दाहिनी ओर को $2$ से गुणा और भाग करने पर:
$P = \frac{2}{3} \left( \frac{1}{2} \frac{M}{V} v_{rms}^2 \right)$
चूंकि कुल गतिज ऊर्जा $K.E. = \frac{1}{2} M v_{rms}^2$ है,इसलिए प्रति इकाई आयतन गतिज ऊर्जा $u = \frac{K.E.}{V} = \frac{1}{2} \rho v_{rms}^2$ है।
अतः,$P = \frac{2}{3} u$.

(D) एक आदर्श गैस के लिए दाब $P$ और आयतन $V$ का अणुओं की संख्या $N$ और प्रति अणु औसत गतिज ऊर्जा $\langle K \rangle$ के साथ संबंध इस प्रकार है:
$PV = \frac{2}{3} N \langle K \rangle$
दिया गया है:
$V = 500 \text{ c.c.} = 500 \times 10^{-6} \text{ m}^3 = 5 \times 10^{-4} \text{ m}^3$
$P = 2 \times 10^5 \text{ N/m}^2$
$\langle K \rangle = 6 \times 10^{-21} \text{ J}$
$N$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$N = \frac{3PV}{2\langle K \rangle}$
मान रखने पर:
$N = \frac{3 \times (2 \times 10^5) \times (5 \times 10^{-4})}{2 \times (6 \times 10^{-21})}$
$N = \frac{3 \times 10^2}{12 \times 10^{-21}} = \frac{300}{12} \times 10^{21} = 25 \times 10^{21} = 2.5 \times 10^{22}$
अतः,गैस के अणुओं की संख्या $2.5 \times 10^{22}$ है।

(B) आदर्श गैस का दाब $P$ गतिज सिद्धांत के सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$P = \frac{1}{3} \frac{N m}{V} v_{rms}^2$
जहाँ $N$ अणुओं की संख्या है,$m$ प्रत्येक अणु का द्रव्यमान है,$V$ आयतन है,और $v_{rms}$ वर्ग माध्य मूल चाल है।
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $P \propto m \cdot v_{rms}^2$।
माना प्रारंभिक द्रव्यमान $m_1 = m$ और प्रारंभिक चाल $v_1 = v$ है। प्रारंभिक दाब $P_1 = P$ है।
दी गई नई शर्तों के अनुसार:
$m_2 = \frac{m}{2}$
$v_2 = 2v$
अब,नए दाब $P_2$ की गणना करते हुए:
$\frac{P_2}{P_1} = \frac{m_2}{m_1} \times \left( \frac{v_2}{v_1} \right)^2$
$\frac{P_2}{P} = \left( \frac{m/2}{m} \right) \times \left( \frac{2v}{v} \right)^2$
$\frac{P_2}{P} = \left( \frac{1}{2} \right) \times (2)^2$
$\frac{P_2}{P} = \frac{1}{2} \times 4 = 2$
अतः,$P_2 = 2P$।

(B) आदर्श गैस का दाब गतिज सिद्धांत के सूत्र द्वारा दिया जाता है: $P = \frac{1}{3} \frac{N m}{V} v_{rms}^2$.
इस व्यंजक से,हम देख सकते हैं कि दाब $P$ अणुओं के द्रव्यमान $m$ और उनके वर्ग-माध्य-मूल वेग के वर्ग $v_{rms}^2$ के सीधे आनुपातिक है,यदि अणुओं की संख्या $N$ और आयतन $V$ स्थिर रहें: $P \propto m v_{rms}^2$.
मान लीजिए प्रारंभिक स्थिति $P_1 = P_0$,द्रव्यमान $m_1 = m$,और वेग $v_1 = v$ है।
अंतिम स्थिति में,द्रव्यमान आधा हो जाता है: $m_2 = \frac{m}{2}$,और वेग दोगुना हो जाता है: $v_2 = 2v$।
अंतिम दाब $P_2$ और प्रारंभिक दाब $P_1$ का अनुपात इस प्रकार है:
$\frac{P_2}{P_1} = \frac{m_2 v_2^2}{m_1 v_1^2} = \frac{(\frac{m}{2}) (2v)^2}{m v^2}$।
व्यंजक को सरल करने पर:
$\frac{P_2}{P_1} = \frac{(\frac{m}{2}) (4v^2)}{m v^2} = \frac{2 m v^2}{m v^2} = 2$।
अतः,अंतिम दाब $P_2 = 2 P_1 = 2 P_0$ होगा।

(C) गैस के एक अणु की औसत गतिज ऊर्जा $K$ का सूत्र $K = \frac{3}{2} k_B T$ है,जहाँ $k_B$ बोल्ट्ज़मान नियतांक है और $T$ परम ताप है।
चूंकि $K \propto T$,इसलिए गैस $B$ और गैस $A$ की औसत गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{K_B}{K_A} = \frac{T_B}{T_A}$ होगा।
दिया गया है कि $T_A = 360 \ K$ और $T_B = 420 \ K$ है।
इन मानों को रखने पर,$\frac{K_B}{K_A} = \frac{420}{360} = \frac{7}{6}$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $7: 6$ है।

(B) एक आदर्श गैस की प्रति मोल गतिज ऊर्जा का सूत्र $E = \frac{3}{2} RT$ होता है,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है और $T$ परम तापमान है।
$R$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$R = \frac{2 E}{3 T}$

(D) गैस के एक अणु की औसत स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा $K$ का सूत्र $K = \frac{3}{2} k_B T$ है,जहाँ $k_B$ बोल्ट्ज़मान नियतांक है और $T$ परम ताप है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि $K \propto T$ है।
यदि हम गतिज ऊर्जा को दोगुना $(K' = 2K)$ करना चाहते हैं,तो तापमान $T' = 2T$ होना चाहिए।
अतः,तापमान को बढ़ाकर $2T$ करना होगा।

(B) गैस के एक अणु की स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा का सूत्र $E = \frac{3}{2}kT$ है,जहाँ $k$ बोल्ट्ज़मैन नियतांक है और $T$ परम ताप है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि गतिज ऊर्जा $E$,परम ताप $T$ के सीधे समानुपाती होती है $(E \propto T)$।
गतिज ऊर्जा को दोगुना करने के लिए $(E' = 2E)$,हमें परम ताप को भी दोगुना करना होगा $(T' = 2T)$।
अतः,तापमान को $2T$ तक बढ़ाया जाना चाहिए।

(A) गैस के एक अणु की औसत स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा $K.E. = \frac{3}{2} kT$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $k = \frac{R}{N}$,इसलिए $K.E. = \frac{3}{2} \frac{RT}{N}$ होगा।
$V$ वोल्ट के विभवांतर से त्वरित इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $K.E. = eV$ होती है।
दोनों ऊर्जाओं को बराबर करने पर:
$\frac{3}{2} \frac{RT}{N} = eV$
$T$ के लिए हल करने पर:
$T = \frac{2 eVN}{3 R}$ प्राप्त होता है।

(B) गैसों के गतिज सिद्धांत के अनुसार,एक आदर्श गैस द्वारा पात्र की दीवारों पर लगाया गया दबाव $P = \frac{1}{3} \rho v_{rms}^2$ होता है,जहाँ $\rho$ घनत्व है और $v_{rms}$ वर्ग माध्य मूल वेग है।
हम जानते हैं कि प्रति इकाई आयतन गतिज ऊर्जा $(u)$ का मान $u = \frac{1}{2} \rho v_{rms}^2$ होता है।
इसलिए,$\rho v_{rms}^2 = 2u$ होगा।
इस मान को दबाव के समीकरण में रखने पर: $P = \frac{1}{3} (2u) = \frac{2}{3} u$ प्राप्त होता है।
अतः,एक आदर्श गैस द्वारा लगाया गया दबाव गैस की प्रति इकाई आयतन गतिज ऊर्जा का $2/3$ होता है।

(B) गैस के गतिज सिद्धांत के अनुसार गैस द्वारा लगाया गया दबाव $p$ इस प्रकार दिया जाता है:
$p = \frac{1}{3} \rho \bar{v}^2$
जहाँ $\rho$ घनत्व है और $\bar{v}^2$ माध्य वर्ग गति है।
चूंकि घनत्व $\rho = \frac{M}{V}$,हम लिख सकते हैं:
$p = \frac{1}{3} \frac{M}{V} \bar{v}^2$
$2$ से गुणा और भाग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$p = \frac{2}{3} \left( \frac{1}{2} \frac{M}{V} \bar{v}^2 \right)$
यहाँ,$\frac{1}{2} M \bar{v}^2$ गैस के अणुओं की कुल गतिज ऊर्जा है।
इस प्रकार,$\frac{1}{2} \frac{M}{V} \bar{v}^2$ प्रति इकाई आयतन गतिज ऊर्जा को दर्शाता है,जिसे $E$ के रूप में दिया गया है।
इसलिए,$p = \frac{2}{3} E$.

(D) दीवार से टकराकर वापस लौटने वाले एक अणु के संवेग में परिवर्तन $\Delta p = 2mv \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $m$ द्रव्यमान है, $v$ वेग है, और $\theta$ अभिलंब के साथ कोण है।
दिया गया है: $m = 3 \times 10^{-27} \,kg$, $v = 500 \,m/s$, $\theta = 60^{\circ}$, $N = 10^{23}$ अणु/सेकंड, और $A = 1 \,cm^2 = 10^{-4} \,m^2$.
दबाव $P = \frac{F}{A} = \frac{1}{A} \times \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{N \times (2mv \cos 60^{\circ})}{A}$.
मान रखने पर: $P = \frac{10^{23} \times 2 \times (3 \times 10^{-27}) \times 500 \times \cos 60^{\circ}}{10^{-4}}$.
चूंकि $\cos 60^{\circ} = 0.5$, इसलिए $P = \frac{10^{23} \times 6 \times 10^{-27} \times 500 \times 0.5}{10^{-4}} = \frac{3000 \times 10^{-4} \times 0.5}{10^{-4}} = 1500 \,N/m^2$.

(B) गैसों के गतिज सिद्धांत के अनुसार,एक आदर्श गैस द्वारा लगाया गया दबाव $P$ सूत्र $P = \frac{1}{3} \rho v_{rms}^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ घनत्व है और $v_{rms}$ वर्ग माध्य मूल गति है।
चूंकि $\rho = \frac{M}{V}$,हम लिख सकते हैं $P = \frac{1}{3} \frac{N m}{V} v_{rms}^2$।
साथ ही,माध्य वर्ग गति को $\langle v^2 \rangle = \frac{1}{N} \sum v_i^2 = v_{rms}^2$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
इसलिए,दबाव $P$ गैस के अणुओं की गति के वर्ग के माध्य,यानी $\langle v^2 \rangle$ के सीधे आनुपातिक होता है।

(D) गैसों के अणुगति सिद्धांत के अनुसार,एक आदर्श गैस का दाब $P$,संबंध $P = \frac{2}{3} \frac{N}{V} \langle K \rangle$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\langle K \rangle$ अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा है।
चूंकि आयतन $V$ और अणुओं की संख्या $N$ नियत हैं,इसलिए दाब $P$ अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा के सीधे समानुपाती होता है।
गणितीय रूप से,$P \propto \langle K \rangle$।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) आदर्श गैस की औसत गतिज ऊर्जा $(E)$ उसके परम तापमान ($T$ केल्विन में) के सीधे आनुपातिक होती है,जो सूत्र $E = \frac{3}{2} k_B T$ द्वारा दी जाती है।
इसलिए,$E \propto T$ है।
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$ दिया गया है।
अंतिम तापमान $T_2 = 327^{\circ} C = 327 + 273 = 600 \ K$ दिया गया है।
आनुपातिकता अनुपात का उपयोग करते हुए: $\frac{E_2}{E_1} = \frac{T_2}{T_1}$।
मान रखने पर: $E_2 = E_1 \times \frac{600}{300}$।
$E_2 = 2 E_1$।

(C) एक आदर्श गैस के अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा $(K)$ उसके परम तापमान $(T)$ के सीधे आनुपातिक होती है,जिसे संबंध $K = \frac{3}{2} k_B T$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $k_B$ बोल्ट्जमैन स्थिरांक है।
चूंकि तापमान $(T)$ को स्थिर रखा गया है,इसलिए दबाव में परिवर्तन के बावजूद अणुओं की गतिज ऊर्जा अपरिवर्तित रहती है।

(B) गैसों के गतिज सिद्धांत के अनुसार,एक आदर्श गैस के एक अणु की औसत गतिज ऊर्जा 'इक्विपार्टिशन' (equipartition) प्रमेय द्वारा दी जाती है।
एक परमाणुक आदर्श गैस के लिए,अणु के पास $3$ स्वतंत्रता की कोटियाँ (degrees of freedom) होती हैं।
प्रति अणु माध्य ऊर्जा $E = \frac{f}{2} k_{B} T$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $f$ स्वतंत्रता की कोटियों की संख्या है।
एक परमाणुक गैस के लिए,$f = 3$ होता है,इसलिए माध्य ऊर्जा $E = \frac{3}{2} k_{B} T$ होती है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) गैस के अणु की औसत स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $(K_{avg})$ सूत्र द्वारा दी जाती है: $K_{avg} = \frac{3}{2} k_B T$.
दिया गया है:
तापमान $T = 127^{\circ} C = 127 + 273 = 400 \,K$.
बोल्ट्ज़मान नियतांक $k_B = 1.38 \times 10^{-23} \,J \,K^{-1}$.
सूत्र में मान रखने पर:
$K_{avg} = \frac{3}{2} \times (1.38 \times 10^{-23}) \times 400$.
$K_{avg} = 1.5 \times 1.38 \times 400 \times 10^{-23}$.
$K_{avg} = 1.5 \times 552 \times 10^{-23}$.
$K_{avg} = 828 \times 10^{-23} \,J$.
$K_{avg} = 8.28 \times 10^{-21} \,J$.

(C) एक-परमाणुक गैस की आंतरिक ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = \frac{3}{2} nRT$ है,जहाँ $n$ मोलों की संख्या है,$R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,और $T$ केल्विन में तापमान है।
दिया गया है: $n = 4$ मोल,$T = 77^{\circ} C = 77 + 273 = 350 \ K$.
सूत्र में मान रखने पर:
$U = \frac{3}{2} \times 4 \times R \times 350$
$U = 6 \times R \times 350$
$U = 2100 R$.

(C) एक आदर्श गैस के लिए, आंतरिक ऊर्जा $U$ का सूत्र एक-परमाणुक गैस के लिए $U = \frac{3}{2} PV$ होता है।
दिए गए मान $V = 3 \,m^3$ और $P = 3 \times 10^5 \,Pa$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$U = \frac{3}{2} \times (3 \times 10^5 \,Pa) \times (3 \,m^3)$
$U = \frac{3}{2} \times 9 \times 10^5 \,J$
$U = 1.5 \times 9 \times 10^5 \,J$
$U = 13.5 \times 10^5 \,J$.

(B) दाब $P$,आयतन $V$ और कुल स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $E$ के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया जाता है: $P = \frac{2}{3} \frac{E}{V}$.
दिया गया है:
आयतन $V = 10 \text{ liters} = 10 \times 10^{-3} \text{ m}^3 = 10^{-2} \text{ m}^3$.
कुल गतिज ऊर्जा $E = 4.5 \times 10^5 \text{ J}$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$P = \frac{2}{3} \times \frac{4.5 \times 10^5}{10^{-2}}$
$P = \frac{2}{3} \times 4.5 \times 10^7$
$P = 3 \times 10^7 \text{ Nm}^{-2} = 30 \times 10^6 \text{ Nm}^{-2}$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) आदर्श गैस की औसत गतिज ऊर्जा $(E)$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$E = \frac{3}{2} nRT$
$n = 1$ मोल गैस के लिए,समीकरण इस प्रकार बनता है:
$E = \frac{3}{2} RT$
आदर्श गैस समीकरण से,हम जानते हैं कि $PV = nRT$ होता है। $n = 1$ के लिए,यह सरल होकर हो जाता है:
$PV = RT$
गतिज ऊर्जा के समीकरण में $RT = PV$ प्रतिस्थापित करने पर:
$E = \frac{3}{2} PV$
दाब $(P)$ के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$P = \frac{2}{3} \frac{E}{V}$

(C) गैस अणु की औसत गतिज ऊर्जा $(E)$ उसके परम तापमान $(T)$ के सीधे आनुपातिक होती है, जिसे संबंध $E = \frac{3}{2} k_B T$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए, दो अलग-अलग तापमानों पर गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{E_2}{E_1} = \frac{T_2}{T_1}$ होता है।
दिया गया है: $T_1 = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$, $E_1 = 3.3 \times 10^{-20} \ J$, और $T_2 = 127^{\circ} C = 127 + 273 = 400 \ K$।
मान रखने पर: $E_2 = E_1 \times \frac{T_2}{T_1} = 3.3 \times 10^{-20} \times \frac{400}{300}$।
$E_2 = 3.3 \times 10^{-20} \times \frac{4}{3} = 1.1 \times 4 \times 10^{-20} = 4.4 \times 10^{-20} \ J$।

(C) तापमान,$T = 77^{\circ} C = 273 + 77 = 350 \,K$.
बोल्ट्ज़मैन नियतांक,$K_{B} = 1.38 \times 10^{-23} \,J/K$.
एकल-परमाणुक गैस के परमाणु की औसत गतिज ऊर्जा $E = \frac{3}{2} K_{B} T$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर:
$E = \frac{3}{2} \times 1.38 \times 10^{-23} \times 350 \,J$.
ऊर्जा को जूल से इलेक्ट्रॉन-वोल्ट $(eV)$ में बदलने के लिए,इलेक्ट्रॉन के आवेश $(1.6 \times 10^{-19} \,C)$ से विभाजित करें:
$E(eV) = \frac{1.5 \times 1.38 \times 350 \times 10^{-23}}{1.6 \times 10^{-19}} \,eV$.
$E(eV) = \frac{724.5 \times 10^{-23}}{1.6 \times 10^{-19}} \,eV$.
$E(eV) \approx 4.52 \times 10^{-2} \,eV$.

(C) गैसों के गतिज सिद्धांत के अनुसार,एक आदर्श गैस द्वारा लगाया गया दबाव $P$ संबंध $P = \frac{2}{3} \frac{K}{V}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $K$ गैस के अणुओं की कुल गतिज ऊर्जा है और $V$ आयतन है।
चूंकि गैस की एक निश्चित मात्रा के लिए आयतन $V$ स्थिर रहता है,इसलिए दबाव $P$ गैस के अणुओं की कुल गतिज ऊर्जा $K$ के सीधे समानुपाती होता है।
ऐसा इसलिए है क्योंकि दबाव कंटेनर की दीवारों के साथ गैस के अणुओं के टकराव से उत्पन्न होता है,और इन टकरावों का बल अणुओं की गतिज ऊर्जा पर निर्भर करता है।
इसलिए,सही विकल्प $C$ है।

(A) गैस के अणु की औसत गतिज ऊर्जा $(K_{avg})$ का सूत्र $K_{avg} = \frac{3}{2} k_B T$ है,जहाँ $k_B$ बोल्ट्ज़मैन नियतांक है और $T$ परम तापमान है।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि औसत गतिज ऊर्जा केवल परम तापमान $T$ पर निर्भर करती है और गैस के अणु के द्रव्यमान या प्रकृति से स्वतंत्र होती है।
चूंकि $300 \ K$ पर $H_2$ अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा $E$ दी गई है,और $O_2$ अणुओं के लिए भी तापमान $300 \ K$ ही है,इसलिए $O_2$ अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा भी $E$ ही होगी।

(A) एक आदर्श गैस के प्रति अणु औसत गतिज ऊर्जा का सूत्र $\bar{E} = \frac{3}{2} K_B T$ है,जहाँ $K_B$ बोल्ट्जमैन नियतांक है और $T$ परम ताप है।
चूंकि गैसें एक ही पात्र में हैं,वे तापीय साम्यावस्था में हैं,जिसका अर्थ है कि उनका तापमान $T$ समान है।
चूंकि औसत गतिज ऊर्जा $\bar{E}$ केवल तापमान $T$ पर निर्भर करती है और गैस के अणुओं के द्रव्यमान या प्रकृति से स्वतंत्र है,इसलिए हाइड्रोजन और ऑक्सीजन की औसत गतिज ऊर्जा का अनुपात $1: 1$ होगा।

(D) गैस के अणु की औसत स्थानांतरण गतिज ऊर्जा का सूत्र $E = \frac{3}{2} k T$ है,जहाँ $k$ बोल्ट्ज़मैन नियतांक है और $T$ केल्विन में निरपेक्ष तापमान है।
दिया गया है,$E = 0.69 \ eV = 0.69 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J$.
सूत्र में मान रखने पर:
$0.69 \times 1.6 \times 10^{-19} = \frac{3}{2} \times 1.38 \times 10^{-23} \times T$
$T = \frac{0.69 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 2}{3 \times 1.38 \times 10^{-23}}$
$T = \frac{2.208 \times 10^{-19}}{4.14 \times 10^{-23}} \approx 5333 \ K$
तापमान को सेल्सियस में बदलने के लिए,हम $T(^{\circ}C) = T(K) - 273.15$ का उपयोग करते हैं।
$T(^{\circ}C) = 5333 - 273 = 5060^{\circ} C$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) गैस के अणु की औसत स्थानांतरण गतिज ऊर्जा का सूत्र: $K_{avg} = \frac{3}{2} k_B T$ है,जहाँ $k_B$ बोल्ट्जमैन नियतांक है और $T$ परम तापमान है।
चूंकि औसत स्थानांतरण गतिज ऊर्जा केवल तापमान $T$ पर निर्भर करती है,न कि गैस के अणुओं की प्रकृति या द्रव्यमान पर,इसलिए समान तापमान पर सभी आदर्श गैसों के लिए यह समान होती है।
यह दिया गया है कि तापमान $T$ पर $O_2$ अणुओं की औसत स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $0.048 \ eV$ है,इसलिए समान तापमान $T$ पर $N_2$ अणुओं की औसत स्थानांतरण गतिज ऊर्जा भी $0.048 \ eV$ होगी।

(C) एक आदर्श गैस का तापमान उसके अणुओं की औसत स्थानांतरण गतिज ऊर्जा के सीधे आनुपातिक होता है,जिसे $K.E. = \frac{3}{2} k_B T$ संबंध द्वारा दिया जाता है। अतः,कथन $(A)$ सत्य है।
हालाँकि,दिया गया कारण गलत है। ऊष्मीय ऊर्जा टक्करों द्वारा उत्पन्न नहीं होती है; वास्तव में,अणुओं की गतिज ऊर्जा ही गैस की ऊष्मीय ऊर्जा होती है। एक आदर्श गैस में अणुओं के बीच की टक्करें प्रत्यास्थ (elastic) होती हैं,जिसका अर्थ है कि उनमें गतिज ऊर्जा का कोई नुकसान या लाभ नहीं होता है जो 'ऊष्मीय ऊर्जा उत्पन्न' करे; वे केवल मौजूदा गतिज ऊर्जा को पुनर्वितरित करते हैं। इसलिए,कारण $(R)$ असत्य है।

(B) हीलियम $(He)$ एक एकपरमाणुक गैस है। एकपरमाणुक गैस के लिए स्वतंत्रता की कोटि $(f)$ $3$ होती है।
आदर्श गैस की कुल यादृच्छिक गतिज ऊर्जा $(U)$ का सूत्र है: $U = \frac{f}{2} nRT$,जहाँ $n$ मोलों की संख्या है,$R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है और $T$ परम ताप है।
दिया गया है: द्रव्यमान $(m)$ = $1 \,g$,हीलियम का मोलर द्रव्यमान $(M)$ = $4 \,g/mol$,तापमान $(T)$ = $100 \,K$,$R = 8.3 \,J \,mol^{-1} \,K^{-1}$।
मोलों की संख्या $(n)$ = $\frac{m}{M} = \frac{1}{4} = 0.25 \,mol$।
सूत्र में मान रखने पर: $U = \frac{3}{2} \times 0.25 \times 8.3 \times 100$।
$U = 1.5 \times 0.25 \times 830$।
$U = 0.375 \times 830 = 311.25 \,J$।
अतः,कुल यादृच्छिक गतिज ऊर्जा $311.25 \,J$ है।

(D) गैस के एक अणु की औसत स्थानांतरणीय गतिज ऊर्जा $KE = \frac{3}{2} k_B T$ द्वारा दी जाती है।
$V$ विभवांतर से त्वरित इलेक्ट्रॉन द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा $KE = eV$ होती है।
प्रश्न के अनुसार, ये दोनों ऊर्जाएँ बराबर हैं:
$\frac{3}{2} k_B T = eV$
$V = 10 \,V$, $e = 1.6 \times 10^{-19} \,C$, और $k_B = 1.38 \times 10^{-23} \,JK^{-1}$ का मान रखने पर:
$T = \frac{2eV}{3k_B} = \frac{2 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 10}{3 \times 1.38 \times 10^{-23}}$
$T = \frac{32 \times 10^{-19}}{4.14 \times 10^{-23}} \approx 7.73 \times 10^4 \,K = 77.3 \times 10^3 \,K$.

(A) गैस के एक अणु की औसत गतिज ऊर्जा का सूत्र $KE_{av} = \frac{3}{2} k_B T$ है,जहाँ $k_B$ बोल्ट्जमैन नियतांक है और $T$ गैस का परम तापमान है।
चूंकि आर्गन और क्लोरीन गैसें एक ही फ्लास्क में हैं और तापीय संतुलन में हैं,इसलिए वे समान तापमान $T = 27^{\circ} C = 300 \ K$ पर हैं।
चूंकि प्रति अणु औसत गतिज ऊर्जा केवल तापमान $T$ पर निर्भर करती है और गैस के द्रव्यमान या अणुओं की प्रकृति से स्वतंत्र होती है,इसलिए दोनों गैसों की औसत गतिज ऊर्जा का अनुपात $1:1$ है।