Pressure and Energy Questions in Gujarati

(D) આદર્શ વાયુની સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા $(K.E._t)$ નું સૂત્ર $K.E._t = \frac{3}{2} PV$ છે.
આપેલ છે: $K.E._t = 3000 \, J$,$V = 5 \, L$,દબાણ $= P$.
તેથી,$3000 = \frac{3}{2} P(5) \Rightarrow P = 400 \, J/L$.
વિકલ્પ $(B)$ માટે: $Ne$ એક પરમાણ્વિક વાયુ છે. કુલ $K.E. = K.E._t = \frac{3}{2} P'V' = \frac{3}{2} (2P)(1) = 3P = 1200 \, J$.
વિકલ્પ $(C)$ માટે: $O_2$ દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ છે. કુલ $K.E. = \frac{5}{2} PV = \frac{5}{2} (2P)(10) = 25P = 10000 \, J$.

(B) ગેસના અણુની સરેરાશ ગતિઊર્જાનું સૂત્ર $K = \frac{3}{2} k_B T$ છે,જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
હાઇડ્રોજન અને ઓક્સિજન બંને સમાન $N.T.P.$ (સામાન્ય તાપમાન અને દબાણ) પર હોવાથી,તેમના તાપમાન $T$ સમાન છે.
સરેરાશ ગતિઊર્જા માત્ર તાપમાન પર આધારિત હોવાથી,તે બંને વાયુઓ માટે સમાન રહે છે.
જોકે,સરેરાશ વેગમાન અણુઓના દળ પર આધાર રાખે છે $(p = \sqrt{3mk_B T})$,જે હાઇડ્રોજન અને ઓક્સિજન માટે અલગ-અલગ હોય છે.
તે જ રીતે,એકમ કદ દીઠ ગતિઊર્જા અણુઓની સંખ્યા ઘનતા પર આધાર રાખે છે,જે આદર્શ વાયુ સમીકરણ $P = n k_B T$ મુજબ સમાન $N.T.P.$ પર અલગ-અલગ હોય છે.
તેથી,માત્ર અણુ દીઠ સરેરાશ ગતિઊર્જા બંને માટે સમાન છે.

(B) દીવાલ પરનું એક નાનું ક્ષેત્રફળ $A$ ધ્યાનમાં લો. $\Delta t$ સમયમાં આ ક્ષેત્રફળ પર અથડાતા કણોની સંખ્યા એ $A$ પાયાના ક્ષેત્રફળ અને $v \Delta t \cos \theta$ લંબાઈ ધરાવતા નળાકારમાં રહેલા કણોની સંખ્યા જેટલી હોય છે.
આ નળાકારનું કદ $= A \cdot v \Delta t \cos \theta$.
કણોની સંખ્યા $N = n \cdot A \cdot v \Delta t \cos \theta$.
એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ અને એકમ સમયમાં અથડાતા કણોની સંખ્યા $N' = \frac{N}{A \Delta t} = nv \cos \theta$ છે.
જ્યારે $m$ દળનો કણ દીવાલ સાથે લંબની સાપેક્ષે $\theta$ ખૂણે સ્થિતિસ્થાપક રીતે અથડાય છે,ત્યારે દીવાલને સમાંતર તેનો વેગનો ઘટક બદલાતો નથી,જ્યારે દીવાલને લંબ તેનો વેગનો ઘટક દિશા બદલે છે.
એક કણના વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $= m(v \cos \theta) - m(-v \cos \theta) = 2mv \cos \theta$.
દબાણ $P$ એ એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ લાગતું બળ છે,જે એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ વેગમાનમાં થતા ફેરફારના દર જેટલું હોય છે.
$P = N' \times (\text{એક કણના વેગમાનમાં થતો ફેરફાર}) = (nv \cos \theta) \times (2mv \cos \theta) = 2mnv^2 \cos^2 \theta$.

(D) દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{f}{2} PV$ છે,જ્યાં $f$ એ મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) છે.
દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે,$f = 5$.
તેથી,$U = \frac{5}{2} PV$.
આપેલ છે:
દબાણ $P = 8 \times 10^4 \ N/m^2$.
દળ $m = 1 \ kg$.
ઘનતા $\rho = 4 \ kg/m^3$.
કદ $V = \frac{m}{\rho} = \frac{1 \ kg}{4 \ kg/m^3} = 0.25 \ m^3$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$U = \frac{5}{2} \times (8 \times 10^4 \ N/m^2) \times (0.25 \ m^3)$.
$U = 2.5 \times 8 \times 10^4 \times 0.25$.
$U = 20 \times 10^4 \times 0.25 = 5 \times 10^4 \ J$.

(C) વાયુના અણુઓની સરેરાશ ગતિઊર્જા $E$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$E = \frac{f}{2} k T$
જ્યાં $f$ એ મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) છે,$k$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે,અને $T$ એ કેલ્વિનમાં નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
કેમ કે $T = t + 273$,આપણે લખી શકીએ:
$E = \frac{f}{2} k (t + 273) = \left( \frac{f}{2} k \right) t + \left( \frac{f}{2} \times 273 k \right)$
આને સુરેખ રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = E$ અને $x = t$:
ઢાળ $m = \frac{f}{2} k$ (જે ધન છે)
આંતરછેદ $c = \frac{f}{2} \times 273 k$ (જે ધન છે)
આમ,$E$ અને $t$ વચ્ચેનો આલેખ ધન ઢાળ અને $E$-અક્ષ પર ધન આંતરછેદ ધરાવતી એક સુરેખ રેખા છે. આ આલેખ વિકલ્પ $C$ માં દર્શાવેલ છે.

(D) સમવિભાજનના પ્રમેય (Equipartition theorem) મુજબ,દરેક સ્વતંત્રતાના અંશ (degree of freedom) સાથે સંકળાયેલી સરેરાશ ગતિઊર્જા $\frac{1}{2} kT$ હોય છે.
વેગના $x$-ઘટક માટે,આપણી પાસે $\frac{1}{2} m \langle v_x^2 \rangle = \frac{1}{2} kT$ છે,જે સૂચવે છે કે $\langle v_x^2 \rangle = \frac{kT}{m}$.
વાયુ $A$ માટે,દરેક અણુનું દળ $m$ છે,તેથી $x$-ઘટકનો સરેરાશ વર્ગિત વેગ $u_x^2 = \frac{kT}{m}$ થાય.
વાયુ $B$ માટે,દરેક અણુનું દળ $2m$ છે,તેથી $x$-ઘટકનો સરેરાશ વર્ગિત વેગ $v^2 = \frac{kT}{2m}$ થાય.
ગુણોત્તર લેતા,આપણને $\frac{u_x^2}{v^2} = \frac{kT/m}{kT/2m} = \frac{2}{1} = 2:1$ મળે છે.

(A) ઉર્જાના સમવિભાજનના પ્રમેય મુજબ,એક અણુ માટે સ્વતંત્રતાના દરેક અંશ દીઠ સરેરાશ ગતિઊર્જા $\frac{1}{2}kT$ હોય છે,જ્યાં $k$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
$1\, mole$ વાયુ માટે,અણુઓની સંખ્યા એવોગેડ્રો આંક $(N_A)$ જેટલી હોય છે.
તેથી,$1\, mole$ વાયુ માટે સ્વતંત્રતાના દરેક અંશ દીઠ સરેરાશ ગતિઊર્જા $\frac{1}{2}kT \times N_A$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $k \times N_A = R$ (સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક),તેથી આ પદ $\frac{1}{2}RT$ બને છે.

(C) વાયુના અણુની સરેરાશ ગતિઊર્જા માત્ર વાયુના નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ પર આધાર રાખે છે.
વાયુના ગતિવાદ મુજબ,અણુ દીઠ સરેરાશ ગતિઊર્જાનું સૂત્ર $K_{avg} = \frac{3}{2} k_B T$ છે,જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
હાઇડ્રોજન અને ઓક્સિજન બંને સમાન તાપમાન $T = 300\, K$ પર હોવાથી,તેમની સરેરાશ ગતિઊર્જા સમાન હશે.
તેથી,જો હાઇડ્રોજન અણુઓની સરેરાશ ગતિઊર્જા $E$ હોય,તો સમાન તાપમાને ઓક્સિજન અણુઓની સરેરાશ ગતિઊર્જા પણ $E$ જ હશે.

(C) આદર્શ વાયુના અણુની સરેરાશ ગતિઊર્જા $(KE)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $KE = \frac{3}{2} k_B T$,જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
કારણ કે તાપમાન $(T)$ અચળ રાખવામાં આવે છે,તેથી વાયુના અણુઓની સરેરાશ ગતિઊર્જા $(KE)$ અચળ રહે છે.
ભલે દબાણ વધારવામાં આવે (જેનો અર્થ છે કે બોઈલના નિયમ $PV = \text{constant}$ મુજબ નિશ્ચિત જથ્થાના વાયુ માટે કદમાં ઘટાડો થાય છે),ગતિઊર્જા સંપૂર્ણપણે તાપમાન પર આધાર રાખે છે.
તેથી,અણુઓની ગતિઊર્જામાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.

(D) ગતિવાદ મુજબ આદર્શ વાયુનું દબાણ $P = \frac{1}{3} \frac{N m}{V} v_{rms}^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અણુની સરેરાશ ગતિઊર્જા $\frac{1}{2} m v_{rms}^2 = \frac{3}{2} k_B T$ હોવાથી,$v_{rms}^2 \propto T$ થાય.
અણુ દ્વારા દીવાલ પર લાગતું બળ $F$ એ વેગમાનના ફેરફારના દરના સમપ્રમાણમાં હોય છે,જે વેગના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(F \propto v^2)$.
$v_{rms}^2 \propto T$ હોવાથી,બળ $F \propto T^1$ થાય.
આને $F \propto T^q$ સાથે સરખાવતા,આપણને $q = 1$ મળે છે.

(C) મોનોએટોમિક વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જા $U$ એ $U = \frac{3}{2} nRT = \frac{3}{2} PV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ દળ $M = 2\, kg$ અને ઘનતા $\rho = 8\, kg/m^3$ હોવાથી,કદ $V = \frac{M}{\rho} = \frac{2}{8} = 0.25\, m^3$ થાય.
દબાણ $P = 4 \times 10^4\, N/m^2$ છે.
આ કિંમતોને ઉર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$U = \frac{3}{2} \times (4 \times 10^4) \times 0.25$
$U = 1.5 \times 10^4\, J$.
આમ,ઉર્જાનો ક્રમ $10^4\, J$ છે.

(D) આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{f}{2} nRT$ છે,જ્યાં $f$ એ મુક્તિના અંશો (degree of freedom) છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $nRT$ ની જગ્યાએ $PV$ મૂકી શકીએ છીએ,જેથી $U = \frac{f}{2} PV$ મળે.
અહીં $P = 3\times10^6\, Pa$ અને $V = 2\, m^3$ આપેલ છે,તેથી $PV = 6\times10^6\, J$ થાય.
મુક્તિના અંશો $f$ એ વાયુના પ્રકાર (એકપરમાણ્વિક,દ્વિપરમાણ્વિક,વગેરે) પર આધાર રાખે છે અને પ્રશ્નમાં આપેલ નથી,તેથી આંતરિક ઉર્જા ચોક્કસ રીતે નક્કી કરી શકાતી નથી.
તેથી,આપેલી માહિતી અપૂરતી છે.

(D) દબાણ એટલે એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ લાગતું લંબ બળ.
બળ એ વેગમાનમાં થતા ફેરફારના દર જેટલું હોય છે,એટલે કે $F = \frac{\Delta p}{\Delta t}$.
સપાટી સાથેની સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે,એક અણુના વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta p = mv - (-mv) = 2mv$ છે.
આપેલ છે:
દર સેકન્ડે અણુઓની સંખ્યા,$N = 10^{22} \ s^{-1}$
દરેક અણુનું દળ,$m = 10^{-26} \ kg$
દરેક અણુની ઝડપ,$v = 10^4 \ m/s$
ક્ષેત્રફળ,$A = 1 \ m^2$
સપાટી પર લાગતું કુલ બળ $F = N \times (2mv)$ છે.
$F = 10^{22} \times 2 \times 10^{-26} \times 10^4 = 2 \ N$.
દબાણ $P = \frac{F}{A} = \frac{2 \ N}{1 \ m^2} = 2 \ N/m^2$.
ગણતરી કરેલ કિંમત $2 \ N/m^2$ એ આપેલા વિકલ્પોમાંથી કોઈની સાથે મેળ ખાતી નથી,તેથી સાચો વિકલ્પ 'આમાંથી કોઈ નહીં' છે.

(D) આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા $U$ એ $U = \frac{f}{2} PV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f$ એ મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) છે,$P$ એ દબાણ છે અને $V$ એ કદ છે.
દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો $f = 5$ છે.
આપેલ છે: દબાણ $P = 8 \times 10^4\, N/m^2$,દળ $m = 1\, kg$,ઘનતા $\rho = 4\, kg/m^3$.
કદ $V$ ની ગણતરી આ રીતે થાય છે: $V = \frac{m}{\rho} = \frac{1}{4} = 0.25\, m^3$.
ઉર્જાના સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$U = \frac{5}{2} \times (8 \times 10^4) \times (0.25)$
$U = \frac{5}{2} \times 8 \times 10^4 \times \frac{1}{4}$
$U = 5 \times 10^4\, J$.

(D) વાયુની કુલ સ્થાનાંતરીય ગતિઊર્જા $(K_{trans})$ નું સૂત્ર $K_{trans} = \frac{3}{2}nRT$ છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ મુજબ,આપણે જાણીએ છીએ કે $PV = nRT$.
$nRT$ ની જગ્યાએ $PV$ મૂકતા,આપણને $K_{trans} = \frac{3}{2}PV$ મળે છે.
આ અભિવ્યક્તિ માત્ર સ્થાનાંતરીય મુક્તિના અંશો (translational degrees of freedom) પર આધાર રાખે છે,જે કોઈપણ વાયુના અણુ માટે હંમેશા $3$ હોય છે,પછી તે એકપરમાણ્વિક,દ્વિપરમાણ્વિક કે બહુપરમાણ્વિક હોય.
તેથી,તમામ કિસ્સાઓમાં કુલ સ્થાનાંતરીય ગતિઊર્જા $\frac{3}{2}PV$ હોય છે.

(A) આદર્શ વાયુ માટે,કુલ સ્થાનાંતરીય ગતિઊર્જા $(E)$ નું સૂત્ર $E = \frac{3}{2} nRT$ છે.
આદર્શ વાયુના સમીકરણ પરથી,આપણે જાણીએ છીએ કે $PV = nRT$.
ગતિઊર્જાના સમીકરણમાં $nRT$ ની જગ્યાએ $PV$ મૂકતા,આપણને $E = \frac{3}{2} PV$ મળે છે.
તેથી,$E$ એ વાયુના અણુઓની કુલ સ્થાનાંતરીય ગતિઊર્જા દર્શાવે છે.

(B) આદર્શ વાયુની કુલ સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા $(K)$ નું સૂત્ર: $K = \frac{3}{2} nRT$ છે.
આદર્શ વાયુનું સમીકરણ $PV = nRT$ હોવાથી,આપણે $nRT$ ની જગ્યાએ $PV$ મૂકી શકીએ છીએ.
તેથી,$K = \frac{3}{2} PV = 1.5 PV$.
આમ,$Assertion$ સાચું છે.
$Reason$ જણાવે છે કે વાયુના અણુઓ અથડાય છે અને તેમના વેગ બદલાય છે. આ વાયુના ગતિવાદનો એક મૂળભૂત ગુણધર્મ છે,પરંતુ તે એ સમજાવતું નથી કે ગતિઊર્જા $PV$ સાથે આ ચોક્કસ ગુણોત્તરમાં કેમ સંબંધિત છે.
તેથી,બંને વિધાનો સાચા છે,પરંતુ $Reason$ એ $Assertion$ ની સાચી સમજૂતી નથી.

(B) વાયુના ગતિવાદ મુજબ,વાયુના અણુઓની સરેરાશ ગતિઊર્જા $(KE)$ એ વાયુના નિરપેક્ષ તાપમાન $(T)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
આ સંબંધ આ મુજબ છે: $KE = \frac{3}{2} k_B T$,જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે.
તેથી,જેમ વાયુનું તાપમાન વધે છે,તેમ વાયુના અણુઓની સરેરાશ ગતિઊર્જા પણ વધે છે.

(N/A) વાયુના અણુની સરેરાશ ઉષ્મીય ઊર્જાનું સૂત્ર $E = \frac{3}{2} kT$ છે,જ્યાં $k$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક $(1.38 \times 10^{-23} \; J/K)$ છે.
$(i)$ ઓરડાના તાપમાને,$T = 27^{\circ} C = (27 + 273) \; K = 300 \; K$.
સરેરાશ ઉષ્મીય ઊર્જા $= \frac{3}{2} \times (1.38 \times 10^{-23}) \times 300 = 6.21 \times 10^{-21} \; J$.
$(ii)$ સૂર્યની સપાટી પર,$T = 6000 \; K$.
સરેરાશ ઉષ્મીય ઊર્જા $= \frac{3}{2} \times (1.38 \times 10^{-23}) \times 6000 = 1.242 \times 10^{-19} \; J$.
$(iii)$ તારાના કેન્દ્રમાં,$T = 10 \; \text{મિલિયન} \; K = 10^7 \; K$.
સરેરાશ ઉષ્મીય ઊર્જા $= \frac{3}{2} \times (1.38 \times 10^{-23}) \times 10^7 = 2.07 \times 10^{-16} \; J$.

(N/A) ધારો કે એક આદર્શ વાયુ $l$ લંબાઈના સમઘન પાત્રમાં છે જેની દીવાલો સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક છે.
દરેક સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = l^2$ છે.
ધારો કે વાયુના અણુનો વેગ $\vec{v} = (v_x, v_y, v_z)$ છે.
જ્યારે અણુ $X$-અક્ષને લંબ દીવાલ સાથે અથડાય છે,ત્યારે વેગનો $x$-ઘટક $v_x$ થી બદલાઈને $-v_x$ થાય છે,જ્યારે $v_y$ અને $v_z$ બદલાતા નથી.
અણુના વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta p_{molecule} = m(-v_x) - m(v_x) = -2mv_x$ છે.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,દીવાલ પર સ્થાનાંતરિત વેગમાન $\Delta p_{wall} = 2mv_x$ છે.
સમય $\Delta t$ માં,માત્ર $v_x \Delta t$ અંતરની અંદર રહેલા અણુઓ જ દીવાલ સાથે અથડાઈ શકે છે.
સમય $\Delta t$ માં દીવાલ સાથે અથડાતા અણુઓની સંખ્યા $\frac{1}{2} n A v_x \Delta t$ છે,જ્યાં $n$ એ અણુઓની સંખ્યા ઘનતા છે.
દીવાલ પર સ્થાનાંતરિત કુલ વેગમાન $P = (2mv_x) \times (\frac{1}{2} n A v_x \Delta t) = n m A v_x^2 \Delta t$ છે.

(N/A) વાયુના અણુઓ દ્વારા પાત્રની દીવાલો પર સ્થાનાંતરિત વેગમાન $\Delta P = m n V_x^2 A \Delta t$ છે.
લાગતું બળ $F = \frac{\Delta P}{\Delta t} = \frac{m n V_x^2 A \Delta t}{\Delta t} = m n V_x^2 A$ છે.
હવે,દબાણ $P$ ને $P = \frac{F}{A} = \frac{m n V_x^2 A}{A} = m n V_x^2$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
વાયુના તમામ અણુઓનો વેગ સમાન ન હોવાથી,કુલ દબાણ મેળવવા માટે આપણે $V_x^2$ નું સરેરાશ મૂલ્ય લઈએ છીએ:
$P = m n \langle V_x^2 \rangle$.
અહીં,$m n = \rho$ (વાયુની ઘનતા) અને $\langle V_x^2 \rangle$ એ $V_x^2$ નું સરેરાશ મૂલ્ય છે.
તેથી,$P = \rho \langle V_x^2 \rangle$.
વાયુના અણુઓ યાદચ્છિક રીતે ગતિ કરતા હોવાથી,તમામ દિશાઓમાં તેમનું સરેરાશ વર્તન સમાન હોય છે:
$\langle V_x^2 \rangle = \langle V_y^2 \rangle = \langle V_z^2 \rangle$ .... $(1)$
વધુમાં,સરેરાશ વર્ગ ઝડપ $\langle V^2 \rangle = \langle V_x^2 \rangle + \langle V_y^2 \rangle + \langle V_z^2 \rangle$ .... $(2)$
$(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણને $\langle V^2 \rangle = 3 \langle V_x^2 \rangle$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\langle V_x^2 \rangle = \frac{1}{3} \langle V^2 \rangle$.
આને દબાણના સમીકરણમાં મૂકતા:
$P = \rho \left( \frac{1}{3} \langle V^2 \rangle \right) = \frac{1}{3} \rho \langle V^2 \rangle$,જ્યાં $\langle V^2 \rangle$ એ વાયુના અણુઓની સરેરાશ વર્ગ ઝડપ છે.

(N/A) વાયુઓના ગતિવાદના આધારે સમીકરણ મેળવતી વખતે નીચેના મુદ્દાઓ ધ્યાનમાં લેવા જોઈએ:
$(1)$ પ્રથમ મુદ્દો: પાત્રને ઘનાકાર કે નિયમિત આકારનું લેવાની જરૂર નથી. તે અનિયમિત આકારનું પણ હોઈ શકે છે. કારણ કે સમીકરણ $P = \frac{1}{3} \rho \langle v^2 \rangle$ માં ક્ષેત્રફળ કે સમય ધરાવતા પદો હાજર નથી. તેથી,તે દબાણને અસર કરશે નહીં.
$(2)$ બીજો મુદ્દો: પાસ્કલના નિયમ મુજબ,સંતુલનમાં રહેલા વાયુનું દબાણ પાત્રના અન્ય ભાગોમાં સમાન રીતે પ્રસારિત થાય છે.
$(3)$ ત્રીજો મુદ્દો: ગતિવાદના આધારે દબાણની ગણતરીમાં અન્ય પ્રકારની અથડામણોને અવગણવામાં આવે છે. જો અથડામણ સતત ન હોય તો પણ,અથડામણનો સમયગાળો ક્રમિક અથડામણો વચ્ચેના સમયગાળાની સરખામણીમાં નગણ્ય હોય છે,તેથી દબાણ પર તેની કોઈ અસર થતી નથી.

(N/A) તાપમાનનું ગતિવાદ અર્થઘટન દર્શાવે છે કે વાયુના અણુઓની સરેરાશ ગતિઊર્જા એ વાયુના નિરપેક્ષ તાપમાનના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
ધારો કે એક વાયુમાં $N$ અણુઓ છે,જેનું દબાણ $P$,કદ $V$ અને નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ છે.
આદર્શ વાયુ માટે દબાણનું સૂત્ર:
$P = \frac{1}{3} \rho \langle v^2 \rangle$
ઘનતા $\rho = \frac{M}{V}$ અને કુલ દળ $M = N m$ (જ્યાં $m$ એ એક અણુનું દળ છે) હોવાથી:
$P = \frac{1}{3} \left( \frac{N m}{V} \right) \langle v^2 \rangle$
બંને બાજુ $V$ વડે ગુણતા:
$PV = \frac{1}{3} N m \langle v^2 \rangle$
આને નીચે મુજબ લખી શકાય:
$PV = \frac{2}{3} N \left( \frac{1}{2} m \langle v^2 \rangle \right)$
એક અણુની સરેરાશ ગતિઊર્જા $K_{avg} = \frac{1}{2} m \langle v^2 \rangle$ હોવાથી:
$PV = \frac{2}{3} N K_{avg}$
આદર્શ વાયુના સમીકરણ $PV = N k_B T$ (જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે) પરથી:
$N k_B T = \frac{2}{3} N K_{avg}$
તેથી,$K_{avg} = \frac{3}{2} k_B T$.
આ સમીકરણ દર્શાવે છે કે વાયુના અણુઓની સરેરાશ ગતિઊર્જા તેના નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.

(D) આદર્શ વાયુના અણુની સરેરાશ ગતિઊર્જા $(K_{avg})$ નું સૂત્ર $K_{avg} = \frac{3}{2} k_B T$ છે,જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે સરેરાશ ગતિઊર્જા માત્ર નિરપેક્ષ તાપમાન $(T)$ પર જ આધાર રાખે છે.
તે વાયુના પ્રકાર (દા.ત.,એકપરમાણ્વિક કે દ્વિપરમાણ્વિક) અથવા વાયુના દબાણ $(P)$ કે કદ $(V)$ પર આધાર રાખતી નથી.
તેથી,વાયુના અણુઓની સરેરાશ ગતિઊર્જા વાયુના પ્રકાર અથવા દબાણ પર આધાર રાખતી નથી.

(A) વાયુના ગતિવાદ (Kinetic Theory of Gases) મુજબ,આદર્શ વાયુ દ્વારા પાત્રની દીવાલો પર લાગતું દબાણ $P$ નીચે મુજબના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $P = \frac{1}{3} \frac{N m}{V} v_{rms}^2$,જ્યાં $N$ એ અણુઓની સંખ્યા છે,$m$ એ દરેક અણુનું દળ છે,$V$ એ કદ છે,અને $v_{rms}$ એ રૂટ મીન સ્ક્વેર ઝડપ છે.
દબાણ એ એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત હોવાથી $(P = F/A)$,$A$ ક્ષેત્રફળ ધરાવતી દીવાલ પર લાગતું બળ $F = P \times A$ થાય.
દબાણનું સમીકરણ મૂકતા,આપણને $F = (\frac{1}{3} \frac{N m}{V} v_{rms}^2) \times A$ મળે છે.
આમ,બળ એ મૂળભૂત ગતિવાદના દબાણના સમીકરણ $P = \frac{1}{3} \rho v_{rms}^2$ પરથી મેળવી શકાય છે.

(N/A) આદર્શ વાયુના ગતિવાદ મુજબ આદર્શ વાયુનું દબાણ $P$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$P = \frac{1}{3} \rho v_{rms}^2$
જ્યાં:
$P$ એ વાયુનું દબાણ છે,
$\rho$ એ વાયુની ઘનતા છે,
$v_{rms}$ એ વાયુના અણુઓની સરેરાશ વર્ગમૂળ ઝડપ (root mean square speed) છે.
વૈકલ્પિક રીતે,આદર્શ વાયુના સમીકરણ $PV = nRT = \frac{m}{M} RT$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $P = \frac{\rho RT}{M}$ લખી શકીએ છીએ,જ્યાં $M$ એ મોલર દળ છે અને $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે.

(N/A) આદર્શ વાયુ માટે,વાયુના ગતિવાદ મુજબ દબાણ $P$ અને કદ $V$ એ આંતરિક ઉર્જા $U$ સાથે સંબંધિત છે.
ગતિવાદ મુજબ,આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{f}{2} PV$ છે,જ્યાં $f$ એ વાયુના અણુઓની મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) ની સંખ્યા છે.
એકપરમાણ્વિક વાયુ માટે,$f = 3$,તેથી $U = \frac{3}{2} PV$.
દ્વિપરમાણ્વિક વાયુ માટે સામાન્ય તાપમાને,$f = 5$,તેથી $U = \frac{5}{2} PV$.

(N/A) વાયુઓના ગતિવાદ મુજબ,આદર્શ વાયુનું નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ તેના અણુઓની સરેરાશ ગતિઊર્જાના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
એક-પરમાણ્વિક વાયુ માટે,પ્રતિ અણુ સરેરાશ ગતિઊર્જા $\langle K \rangle = \frac{3}{2} k_B T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે.
આનો અર્થ એ છે કે તાપમાન એ વાયુના અણુઓની સરેરાશ સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જાનું માપ છે.
જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ વાયુના અણુઓની સરેરાશ ઝડપ અને ગતિઊર્જા વધે છે,જેના પરિણામે દબાણ વધે છે અને અથડામણો વધુ વારંવાર થાય છે.

(A) આદર્શ વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જા $(U)$ સંપૂર્ણપણે ગતિજ સ્વરૂપની હોય છે કારણ કે તેમાં આંતર-આણ્વિય આકર્ષણ કે અપાકર્ષણ બળો હોતા નથી.
વાયુઓના ગતિવાદ મુજબ,આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા $U = \frac{f}{2} nRT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f$ એ મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) છે,$n$ એ મોલની સંખ્યા છે,$R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
આપેલ વાયુના જથ્થા માટે $f$,$n$ અને $R$ અચળ હોવાથી,આંતરિક ઉર્જા $U$ માત્ર નિરપેક્ષ તાપમાન $(T)$ પર જ આધાર રાખે છે.
તેથી,આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા તેના કદ $(V)$ કે દબાણ $(P)$ પર આધાર રાખતી નથી.

(A) નાઈટ્રોજન $(N_2)$ નું મોલર દળ $M = 28 \ g/mol$ છે.
કેલ્વિનમાં તાપમાન $T = 77 + 273 = 350 \ K$ થાય.
આદર્શ વાયુની ગતિઊર્જા $(KE)$ નું સૂત્ર $KE = \frac{3}{2} nRT$ છે,જ્યાં $n$ એ મોલની સંખ્યા છે.
મોલની સંખ્યા $n = \frac{\text{દળ}}{\text{મોલર દળ}} = \frac{1 \ g}{28 \ g/mol} = \frac{1}{28} \ mol$ થાય.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$KE = \frac{3}{2} \times \left( \frac{1}{28} \right) \times 8.31 \times 350$.
$KE = \frac{3 \times 8.31 \times 350}{56} = \frac{8725.5}{56} \approx 155.8 \ J$.

(N/A) વાયુના ગતિવાદ અનુસાર,આદર્શ વાયુનું નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ એ અણુ દીઠ સરેરાશ સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જાના સમપ્રમાણમાં હોય છે. આ સંબંધ $\bar{K} = \frac{3}{2} k_B T$ સમીકરણ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $\bar{K}$ એ સરેરાશ ગતિઊર્જા છે અને $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે. $1$ મોલ આદર્શ વાયુ માટે,કુલ આંતરિક ગતિઊર્જા $U = \frac{3}{2} RT$ છે,જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે. આમ,તાપમાન એ વાયુના કણોની સરેરાશ ગતિઊર્જાનું માપ છે.

(N/A) એક પરમાણ્વિક વાયુની આંતરિક ઉર્જા $U = \frac{3}{2} nRT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ મોલની સંખ્યા છે,$R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે અને $T$ એ કેલ્વિનમાં તાપમાન છે.
આપેલ છે:
$n = 5.0$ મોલ
$T = 7^{\circ} C = 7 + 273 = 280 \ K$
$N_{A} = 6.022 \times 10^{23} \ \text{atoms/mol}$
$R = 8.314 \ J/(mol \cdot K)$
$(a)$ હિલિયમ પરમાણુઓની સંખ્યા:
$N = n \times N_{A} = 5.0 \times 6.022 \times 10^{23} = 3.011 \times 10^{24} \ \text{પરમાણુઓ}$.
$(b)$ તંત્રની કુલ આંતરિક ઉર્જા:
$U = \frac{3}{2} nRT = \frac{3}{2} \times 5.0 \times 8.314 \times 280$
$U = 1.5 \times 5.0 \times 8.314 \times 280 = 17459.4 \ J \approx 1.75 \times 10^{4} \ J$.

(N/A) ધારો કે $n$ એ વાયુના અણુઓની સંખ્યા ઘનતા છે.
ધારો કે $v$ એ x-દિશામાં વાયુના અણુઓની સરેરાશ ઝડપ છે.
જ્યારે બ્લોક $v_{0}$ ઝડપથી ગતિ કરે છે,ત્યારે આગળની સપાટી સાથે અથડાતા અણુઓનો સાપેક્ષ વેગ $(v + v_{0})$ અને પાછળની સપાટી સાથે અથડાતા અણુઓનો સાપેક્ષ વેગ $(v - v_{0})$ થાય છે.
$\Delta t$ સમયમાં આગળની સપાટી સાથે અથડાતા અણુઓની સંખ્યા $\frac{1}{2} n A (v + v_{0}) \Delta t$ છે.
દરેક અથડામણમાં સ્થાનાંતરિત વેગમાન $2m(v + v_{0})$ છે.
આગળની સપાટી પરનું બળ $F_{front} = \frac{1}{2} n A (v + v_{0}) \cdot 2m(v + v_{0}) = mnA(v + v_{0})^2$ છે.
તે જ રીતે,પાછળની સપાટી પરનું બળ $F_{back} = mnA(v - v_{0})^2$ છે.
પરિણામી ડ્રેગ ફોર્સ $F = F_{front} - F_{back} = mnA[(v + v_{0})^2 - (v - v_{0})^2] = mnA(4vv_{0}) = 4(mn)Avv_{0}$ છે.
ચુંકી $\rho = mn$,તેથી $F = 4\rho Avv_{0}$ મળે છે.
ગતિવાદ મુજબ,એક પરિમાણમાં સરેરાશ ઝડપ $v$ તાપમાન સાથે $\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}kT$ દ્વારા સંબંધિત છે,તેથી $v = \sqrt{\frac{kT}{m}}$.
$v$ ની કિંમત મૂકતા,ડ્રેગ ફોર્સ $F = 4\rho A v_{0} \sqrt{\frac{kT}{m}}$ મળે છે.

(C) દબાણ $P = h \rho g$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h = 2\, cm$,$\rho = 13.6\, g/cm^{3}$,અને $g = 980\, cm/s^{2}$.
$P = 2 \times 13.6 \times 980 = 26656\, dyne/cm^{2}$.
કદ $V = 4\, cm^{3}$.
એકપરમાણ્વિક વાયુના અણુની સરેરાશ ગતિઊર્જા $E = \frac{3}{2} kT = 4 \times 10^{-14}\, erg$ છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ મુજબ,$PV = NkT$,જ્યાં $N$ એ અણુઓની સંખ્યા છે.
આથી $N = \frac{PV}{kT}$.
અહીં $kT = \frac{2}{3} E = \frac{2}{3} \times 4 \times 10^{-14} = \frac{8}{3} \times 10^{-14}\, erg$.
કિંમતો મૂકતા: $N = \frac{26656 \times 4}{\frac{8}{3} \times 10^{-14}} = \frac{106624 \times 3}{8 \times 10^{-14}} = 13328 \times 3 \times 10^{14} = 39984 \times 10^{14} \approx 4.0 \times 10^{18}$.

(D) વાયુઓના ગતિવાદ $(KTG)$ ની ધારણા મુજબ,વાયુના અણુઓ સતત અસ્તવ્યસ્ત ગતિમાં હોય છે.
જ્યારે આ અણુઓ પાત્રની દીવાલો સાથે અથડાય છે,ત્યારે તેમના વેગમાનમાં ફેરફાર થાય છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,વેગમાનમાં થતા ફેરફારનો દર એ લાગતા બળ જેટલો હોય છે.
દબાણ એ એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ લાગતા બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત હોવાથી,આ અથડામણોને કારણે વાયુ પાત્રની દીવાલો પર દબાણ ઉત્પન્ન કરે છે.

(C) આપેલ છે:
કદ $V = 1 \, L = 10^{-3} \, m^3$
તાપમાન $T = 300 \, K$
દબાણ $P = 2 \, atm = 2 \times 1.013 \times 10^5 \, Pa \approx 2.026 \times 10^5 \, Pa$
અણુ દીઠ સરેરાશ ગતિઊર્જા $\bar{E} = 2 \times 10^{-9} \, J$
આદર્શ વાયુના સમીકરણ $PV = NkT$ પરથી,જ્યાં $N$ એ અણુઓની સંખ્યા છે અને $k$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક $(1.38 \times 10^{-23} \, J/K)$ છે.
આપણને અણુ દીઠ સરેરાશ ગતિઊર્જા $\bar{E} = \frac{3}{2}kT$ આપેલ છે. તેથી,$kT = \frac{2}{3}\bar{E}$.
આ કિંમતને આદર્શ વાયુના સમીકરણમાં મૂકતા:
$N = \frac{PV}{kT} = \frac{PV}{\frac{2}{3}\bar{E}} = \frac{3PV}{2\bar{E}}$
$N = \frac{3 \times (2.026 \times 10^5) \times 10^{-3}}{2 \times (2 \times 10^{-9})}$
$N = \frac{6.078 \times 10^2}{4 \times 10^{-9}} \approx 1.5195 \times 10^{11}$
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $1.5 \times 10^{11}$ છે.

(D) આદર્શ વાયુના અણુ દીઠ સરેરાશ ગતિઊર્જાનું સૂત્ર $K.E. = \frac{3}{2} k T$ છે,જ્યાં $k$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
મિશ્રણ તાપીય સંતુલનમાં હોવાથી,આર્ગોન અને ઓક્સિજન બંને સમાન તાપમાન $T = 27^{\circ} C = 300 \ K$ પર છે.
અણુ દીઠ સરેરાશ ગતિઊર્જા માત્ર તાપમાન $T$ પર આધાર રાખે છે,વાયુના દળ કે તેના પ્રકાર પર નહીં.
તેથી,આર્ગોન અને ઓક્સિજન માટે અણુ દીઠ સરેરાશ ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K_{Ar}}{K_{O_2}} = \frac{\frac{3}{2} k T}{\frac{3}{2} k T} = 1: 1$ થશે.

(A) એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ અને એકમ સમય દીઠ સપાટી પર અથડાતા અણુઓની સંખ્યા $N$ માટેનું સૂત્ર $N = \frac{1}{4} n \bar{v}$ છે,જ્યાં $n$ એ અણુઓની સંખ્યા ઘનતા છે અને $\bar{v}$ એ સરેરાશ ઝડપ છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $p = n k_B T$ પરથી,$n = \frac{p}{k_B T}$ મળે છે.
સરેરાશ ઝડપ $\bar{v} = \sqrt{\frac{8 k_B T}{\pi m}}$ છે.
આ કિંમતો $N$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$N = \frac{1}{4} \left( \frac{p}{k_B T} \right) \sqrt{\frac{8 k_B T}{\pi m}} = \frac{p}{\sqrt{2 \pi m k_B T}}$.
અહીં $p = 1.01 \times 10^5 \, Pa$,$T = 293 \, K$,$m = 5 \times 10^{-27} \, kg$,અને $k_B = 1.4 \times 10^{-23} \, J K^{-1}$ આપેલ છે.
ગણતરી કરતા $N \approx 10^{27}$ ના ક્રમની મળે છે.

(B) રૂમમાં રહેલા હવાના અણુઓ ઉષ્મીય ઊર્જાને કારણે સતત યાદચ્છિક ગતિમાં હોય છે. અણુની સરેરાશ ઉષ્મીય ઊર્જા $E_{th} \approx kT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
$h$ ઊંચાઈએ રહેલા અણુની ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિઊર્જા $U_g = mgh$ છે,જ્યાં $m$ એ અણુનું દળ છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
સામાન્ય રૂમમાં (ઊંચાઈ $\approx 3 \ m$) હવાના અણુઓ માટે,ઓરડાના તાપમાને $mgh$ નું મૂલ્ય ઉષ્મીય ઊર્જા $kT$ ની તુલનામાં અત્યંત ઓછું હોય છે. કારણ કે $kT \gg mgh$,યાદચ્છિક ઉષ્મીય ગતિ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ પર પ્રભુત્વ ધરાવે છે,જે અણુઓને જમીન પર સ્થાયી થતા અટકાવે છે. આમ,રૂમમાં ઘનતા લગભગ સમાન રહે છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) સાચો જવાબ $(B)$ છે.
રૂમમાં રહેલા વાયુના અણુઓ સતત અને યાદચ્છિક ઉષ્મીય ગતિમાં હોય છે. આ અણુઓની ઊંચી ઝડપ અને રૂમની પ્રમાણમાં ઓછી ઊંચાઈને કારણે,રૂમની અંદરની હવાની ઘનતાના વિતરણ પર ગુરુત્વાકર્ષણની અસર નહિવત હોય છે.
વાયુના ગતિવાદ મુજબ,દબાણ એ પાત્રની દીવાલો સાથે વાયુના અણુઓની અથડામણને કારણે ઉદ્ભવે છે. રૂમમાં વાયુના અણુઓનું વિતરણ સમાન હોવાથી,આ અથડામણોની આવૃત્તિ અને બળ ભોંયતળિયા,દીવાલો અને છત પર લગભગ સમાન હોય છે.
તેથી,ભોંયતળિયા,દીવાલો અને છત પર હવાનું દબાણ લગભગ સમાન હોય છે.

(B) આદર્શ વાયુની કુલ ગતિઊર્જા $U = \frac{3}{2} N k_B T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N$ એ અણુઓની સંખ્યા છે,$k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
શરૂઆતમાં,કુલ ગતિઊર્જા $U_i = \frac{3}{2} N k_B T$ છે.
અંતમાં,અણુઓની સંખ્યા $N' = 2N$ થાય છે અને કુલ ગતિઊર્જા સમાન રહે છે,તેથી $U_f = U_i$.
ધારો કે નવું તાપમાન $T'$ છે. તો $U_f = \frac{3}{2} (2N) k_B T'$.
ઊર્જાને સરખાવતા: $\frac{3}{2} N k_B T = \frac{3}{2} (2N) k_B T'$.
સમીકરણનું સાદુંરૂપ આપતા: $T = 2T'$.
તેથી,નવું તાપમાન $T' = \frac{T}{2}$ થશે.

(B) આદર્શ વાયુના એક અણુની સરેરાશ ગતિઊર્જાનું સૂત્ર $K_{avg} = \frac{3}{2} k_B T$ છે,જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
કારણ કે ઓક્સિજન અને હાઇડ્રોજન બંને વાયુઓ સમાન તાપમાન $T$ પર છે,તેથી પ્રતિ અણુ સરેરાશ ગતિઊર્જા માત્ર તાપમાન પર આધાર રાખે છે.
તેથી,$E_0 = \frac{3}{2} k_B T$ અને $E_H = \frac{3}{2} k_B T$ થાય.
આ બંનેની સરખામણી કરતા,આપણને $E_0 = E_H$ મળે છે.

(C) નિયોન એક એકપરમાણ્વીય વાયુ છે,તેથી તેની મુક્તિની માત્રા (degrees of freedom) $f = 3$ છે.
એકપરમાણ્વીય વાયુના અણુની સરેરાશ ગતિ ઉર્જા $E = \frac{3}{2} k T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ તાપમાન $T = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \, K$ છે.
બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક $k = 1.38 \times 10^{-23} \, J/K$ છે.
જૂલમાં ઉર્જા $E = \frac{3}{2} \times (1.38 \times 10^{-23}) \times 300 = 6.21 \times 10^{-21} \, J$ થાય.
ઉર્જાને જૂલમાંથી $eV$ માં ફેરવવા માટે,તેને $1.6 \times 10^{-19} \, J/eV$ વડે ભાગતા:
$E = \frac{6.21 \times 10^{-21}}{1.6 \times 10^{-19}} \approx 3.88 \times 10^{-2} \, eV$.

(B) આદર્શ વાયુના પ્રતિ અણુ સરેરાશ ગતિઊર્જાનું સૂત્ર $K_{av} = \frac{3}{2} kT$ છે,જ્યાં $k$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
હાઇડ્રોજન અને ઓક્સિજન બંને એક જ ફ્લાસ્કમાં હોવાથી,તેઓ સમાન તાપમાન $T = 27^{\circ} C = 300 \ K$ પર છે.
પ્રતિ અણુ સરેરાશ ગતિઊર્જા માત્ર તાપમાન $T$ પર આધાર રાખે છે અને તે વાયુના અણુઓના દળ કે પ્રકાર પર આધારિત નથી.
તેથી,હાઇડ્રોજન અને ઓક્સિજનની પ્રતિ અણુ સરેરાશ ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K_{H_2}}{K_{O_2}} = \frac{\frac{3}{2} kT}{\frac{3}{2} kT} = 1: 1$ થાય.

(A) વાયુના ગતિવાદ મુજબ,આદર્શ વાયુના એક અણુની સરેરાશ સ્થાનાંતરીય ગતિઊર્જા $(K.E.)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$K.E. = \frac{3}{2} kT$
જ્યાં $k$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ વાયુનું નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે સરેરાશ ગતિઊર્જા એ વાયુના નિરપેક્ષ તાપમાન $(T)$ ના સીધા સમપ્રમાણમાં હોય છે.
તે દબાણ,કદ અથવા વાયુના સ્વભાવ (આણ્વીય દળ અથવા બંધારણ) પર આધાર રાખતું નથી.

(C) વાયુના અણુની સરેરાશ ગતિઊર્જા $K = \frac{f}{2} kT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f$ એ મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) છે,$k$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ કેલ્વિનમાં નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
$f$ અને $k$ અચળ હોવાથી,ગતિઊર્જા એ નિરપેક્ષ તાપમાનના સમપ્રમાણમાં છે: $K \propto T$.
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 27^{\circ}\,C = 27 + 273 = 300\,K$ આપેલ છે.
ધારો કે $K_1$ એ $T_1$ તાપમાને ગતિઊર્જા છે અને $K_2$ એ $T_2$ તાપમાને ગતિઊર્જા છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$K_2 = 2K_1$.
સમપ્રમાણતા $K_1 / K_2 = T_1 / T_2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1 / 2 = 300 / T_2$
$T_2 = 600\,K$.
તાપમાનને ફરીથી સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T_2 = 600 - 273 = 327^{\circ}\,C$.

(A) આદર્શ વાયુના અણુ દીઠ સરેરાશ ગતિઊર્જાનું સૂત્ર $K = \frac{3}{2} kT$ છે,જ્યાં $k$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
બંને વાયુઓ એક જ ફ્લાસ્કમાં હોવાથી,તેઓ સમાન તાપમાન $T = 30^{\circ} C = 303 \text{ K}$ પર છે.
અણુ દીઠ સરેરાશ ગતિઊર્જા માત્ર વાયુના તાપમાન પર આધાર રાખે છે અને તે વાયુના દળ કે અણુઓના પ્રકાર પર આધાર રાખતી નથી.
તેથી,આર્ગોન અને હાઇડ્રોજનની અણુ દીઠ સરેરાશ ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર:
$\frac{K_{\text{argon}}}{K_{\text{hydrogen}}} = \frac{\frac{3}{2} kT}{\frac{3}{2} kT} = 1$ થાય.

(B) એક પરમાણ્વીય અણુ માટે મુક્તિના અંશો (degree of freedom) $f = 3$ છે.
સરેરાશ ગતિઊર્જા $K_{avg}$ નું સૂત્ર:
$K_{avg} = \frac{3}{2} K_{B} T$
આપેલ છે:
$K_{avg} = 0.414 eV = 0.414 \times 1.6 \times 10^{-19} J$
$K_{B} = 1.38 \times 10^{-23} J/K$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$0.414 \times 1.6 \times 10^{-19} = \frac{3}{2} \times 1.38 \times 10^{-23} \times T$
$T$ માટે ઉકેલતા:
$T = \frac{0.414 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 2}{3 \times 1.38 \times 10^{-23}}$
$T = \frac{1.3248 \times 10^{-19}}{4.14 \times 10^{-23}}$
$T = 0.32 \times 10^4 K = 3200 K$
આમ,તાપમાન $3200 K$ છે.

(A) વાયુના ગતિવાદ મુજબ,વાયુના અણુની સરેરાશ સ્થાનાંતરિત ગતિ ઉર્જાનું સૂત્ર $KE_{avg} = \frac{3}{2} kT$ છે,જ્યાં $k$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
કારણ કે $k$ એક સાર્વત્રિક અચળાંક છે અને $T$ તમામ વાયુઓ માટે સમાન આપેલ છે,તેથી સરેરાશ ગતિ ઉર્જા માત્ર તાપમાન પર આધાર રાખે છે.
આથી,આપેલ તાપમાને વાયુના પ્રકારને ધ્યાનમાં લીધા વિના,તમામ વાયુઓના અણુઓની સરેરાશ ગતિ ઉર્જા સમાન રહે છે.