Pressure and Energy Questions in Gujarati

(B) વાયુના અણુની સરેરાશ સ્થાનાંતરીય ગતિઊર્જાનું સૂત્ર $K = \frac{3}{2} k_B T$ છે,જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ કેલ્વિનમાં નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
સંબંધ $K \propto T$ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે ગતિઊર્જા નિરપેક્ષ તાપમાનના સમપ્રમાણમાં છે.
પ્રારંભિક તાપમાન $T_i = -78^{\circ} C$ આપેલ છે. તેને કેલ્વિનમાં ફેરવતા: $T_i = 273 + (-78) = 195 \ K$.
આપણે નવી ગતિઊર્જા $K' = 2K$ મેળવવા માંગીએ છીએ. કારણ કે $K \propto T$,જો ગતિઊર્જા બમણી થાય,તો નિરપેક્ષ તાપમાન પણ બમણું થવું જોઈએ.
તેથી,નવું નિરપેક્ષ તાપમાન $T_f = 2 \times T_i = 2 \times 195 \ K = 390 \ K$.
અંતિમ તાપમાનને ફરીથી સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T_f(^{\circ} C) = 390 - 273 = 117^{\circ} C$.

(B) $N$ અણુઓની સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા $K = \frac{3}{2} N k_B T = \frac{3}{2} n R T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ મોલની સંખ્યા છે.
આપેલ દળ $m = 50 \text{ g}$,$\text{CO}_2$ નું મોલર દળ $M = 44 \text{ g/mol}$.
મોલની સંખ્યા $n = \frac{m}{M} = \frac{50}{44} \approx 1.136 \text{ mol}$.
તાપમાન $T = 17 + 273.15 = 290.15 \text{ K}$.
$R = 8.314 \text{ J/(mol K)}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$K = \frac{3}{2} \times \left( \frac{50}{44} \right) \times 8.314 \times 290.15$.
$K = 1.5 \times 1.13636 \times 8.314 \times 290.15 \approx 4108.6 \text{ J}$.
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સૌથી નજીકની કિંમત $4102.8 \text{ J}$ છે.

(B) આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા $U = n C_v T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો $f = 5$ છે,તેથી $C_v = \frac{fR}{2} = \frac{5R}{2}$.
આને આંતરિક ઉર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા: $U = n \left( \frac{5R}{2} \right) T = \frac{5}{2} nRT$.
આદર્શ વાયુના સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $nRT$ ને $PV$ વડે બદલી શકીએ છીએ: $U = \frac{5}{2} PV$.
આપેલ છે: દબાણ $P = 1 \text{ atm} \approx 10^5 \text{ Pa}$,કદ $V = 4 \times 4 \times 3 = 48 \text{ m}^3$.
$U$ ની ગણતરી કરતા: $U = \frac{5}{2} \times 10^5 \times 48 = 5 \times 10^5 \times 24 = 120 \times 10^5 \text{ J} = 12 \times 10^6 \text{ J}$.

(D) આદર્શ વાયુની સરેરાશ ગતિ ઊર્જા (પ્રતિ અણુ) નું સૂત્ર $K.E. = \frac{3}{2} k_B T$ છે,જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
હિલિયમ $(He)$ અને આર્ગોન $(Ar)$ બંને એકપરમાણ્વિક વાયુઓ હોવાથી,તેમની મુક્તિની માત્રા (degrees of freedom) સમાન $(f = 3)$ છે.
આપેલ છે કે બંને વાયુઓ સમાન તાપમાને $(T = 300 \ K)$ છે,તેથી પ્રતિ અણુ સરેરાશ ગતિ ઊર્જા માત્ર તાપમાન પર આધાર રાખે છે.
તેથી,સરેરાશ ગતિ ઊર્જાનો ગુણોત્તર: $\frac{K.E._{He}}{K.E._{Ar}} = \frac{\frac{3}{2} k_B T}{\frac{3}{2} k_B T} = 1: 1$ થાય છે.

(D) વાયુના અણુની સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા માત્ર તેની સ્થાનાંતરિત મુક્તિની માત્રાઓ (degrees of freedom) પર આધાર રાખે છે,જે કોઈપણ વાયુના અણુ (એકપરમાણ્વિક,દ્વિપરમાણ્વિક અથવા બહુપરમાણ્વિક) માટે $3$ હોય છે.
વાયુના ગતિવાદ મુજબ,આદર્શ વાયુનું દબાણ $P = \frac{1}{3} \frac{N}{V} m v_{rms}^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આને $PV = \frac{1}{3} N m v_{rms}^2 = \frac{2}{3} (\frac{1}{2} N m v_{rms}^2)$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
કુલ સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા $K_{trans} = \frac{1}{2} N m v_{rms}^2$ હોવાથી,આપણને $PV = \frac{2}{3} K_{trans}$ મળે છે.
તેથી,$K_{trans} = \frac{3}{2} PV$.
આ સંબંધ વાયુની પરમાણ્વિકતાથી સ્વતંત્ર છે કારણ કે તે માત્ર સ્થાનાંતરિત ગતિને ધ્યાનમાં લે છે.

(B) આદર્શ વાયુમાં,અણુઓને બિંદુવત દળ તરીકે ગણવામાં આવે છે,જેમાં અણુઓ વચ્ચે કોઈ આંતર-આણ્વીય આકર્ષણ કે અપાકર્ષણ બળ હોતું નથી.
આંતર-આણ્વીય બળો ન હોવાથી,અણુઓ વચ્ચેની આંતરક્રિયા સાથે સંકળાયેલી સ્થિતિજ ઉર્જા શૂન્ય હોય છે.
તેથી,આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા સંપૂર્ણપણે તેના અણુઓની તેમની યાદચ્છિક સ્થાનાંતરિત ગતિને કારણે ઉદ્ભવતી ગતિજ ઉર્જાનો બનેલો હોય છે.
એક-પરમાણ્વીય આદર્શ વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જા $U = \frac{3}{2} nRT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે કુલ સ્થાનાંતરિત ગતિજ ઉર્જા દર્શાવે છે.

(A) વાયુના ગતિવાદ મુજબ,આદર્શ વાયુનું નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ એ તેના અણુઓની સરેરાશ સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જાના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,પ્રતિ અણુ સરેરાશ ગતિઊર્જા $K_{avg} = \frac{3}{2} k_B T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે.
તેથી,તાપમાન એ વાયુના અણુઓની સરેરાશ ગતિઊર્જાનું માપ છે.

(A) વાયુના અણુની સરેરાશ ગતિઊર્જા $(E_{avg})$ નું સૂત્ર $E_{avg} = \frac{3}{2} k_B T$ છે,જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
$k_B$ અચળ હોવાથી,સરેરાશ ગતિઊર્જા એ નિરપેક્ષ તાપમાનના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(E_{avg} \propto T)$.
આપેલ તાપમાન $T_A = 350 \ K$ અને $T_B = 420 \ K$ છે.
વાયુ $B$ અને વાયુ $A$ ની સરેરાશ ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{E_B}{E_A} = \frac{T_B}{T_A}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{E_B}{E_A} = \frac{420}{350} = \frac{42}{35} = \frac{6}{5}$ મળે.
આમ,ગુણોત્તર $6: 5$ છે.

(A) વાયુના ગતિવાદ મુજબ આદર્શ વાયુ દ્વારા પાત્રની દીવાલો પર લાગતું દબાણ $P = \frac{1}{3} \rho v_{rms}^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આદર્શ વાયુના સમીકરણ $PV = nRT$ પરથી,આપણને $P = \frac{nRT}{V}$ મળે છે.
બંધ પાત્ર માટે $n$,$R$ અને $V$ અચળ હોવાથી,દબાણ $P$ એ તાપમાન $T$ ના સમપ્રમાણમાં છે,એટલે કે $P \propto T$.
દીવાલો પર લાગતું બળ $F = P \times A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ દીવાલનું ક્ષેત્રફળ છે.
બંધ પાત્ર માટે $A$ અચળ હોવાથી,$F \propto P$.
તેથી,$F \propto T$,જેનો અર્થ છે કે $F \propto T^{1}$.
આને $T^{x}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 1$ મળે છે.

(D) આદર્શ વાયુના અણુની સરેરાશ ગતિઊર્જા $(K)$ નું સૂત્ર $K = \frac{3}{2} k_B T$ છે,જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ કેલ્વિનમાં નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
આ સંબંધ પરથી આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $K \propto T$.
આપેલ છે કે,$T_1 = 399^{\circ} C = (399 + 273) K = 672 K$ તાપમાને,ગતિઊર્જા $E_1 = E$ છે.
આપણે તે તાપમાન $T_2$ શોધવાનું છે કે જ્યાં ગતિઊર્જા $E_2 = E/2$ થાય.
પ્રમાણસરતા $E_1 / E_2 = T_1 / T_2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$E / (E/2) = 672 / T_2$
$2 = 672 / T_2$
$T_2 = 672 / 2 = 336 K$.
આને સેલ્સિયસમાં ફેરવવા માટે: $T_2(^{\circ} C) = 336 - 273 = 63^{\circ} C$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) વાયુના ગતિવાદ મુજબ,વાયુના અણુની સરેરાશ ગતિ ઉર્જા વાયુના નિરપેક્ષ તાપમાનના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે.
ચોક્કસ રીતે,સરેરાશ ગતિ ઉર્જાનું સૂત્ર $K_{avg} = \frac{3}{2} k_B T$ છે,જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
તાપીય સંતુલનમાં રહેલા વાયુના તમામ અણુઓ માટે તાપમાન $T$ સમાન હોવાથી,સરેરાશ ગતિ ઉર્જા તમામ અણુઓ માટે સમાન રહે છે.
વેગ,વેગમાન અને કોણીય વેગમાન જેવી અન્ય રાશિઓ અથડામણો અને મેક્સવેલ-બોલ્ટ્ઝમેન ઝડપ વિતરણને કારણે અણુએ અણુએ બદલાતી રહે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આદર્શ વાયુના અણુની સરેરાશ ગતિઊર્જા $(K_{avg})$ તેના નિરપેક્ષ તાપમાન $(T)$ (કેલ્વિનમાં) ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,જેનું સૂત્ર: $K_{avg} = \frac{3}{2} k_B T$ છે.
આપેલ છે:
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$.
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા = $E$.
અંતિમ તાપમાન $T_2 = 327^{\circ} C = 327 + 273 = 600 \ K$.
કારણ કે $K_{avg} \propto T$,તેથી:
$\frac{K_2}{K_1} = \frac{T_2}{T_1}$
$\frac{K_2}{E} = \frac{600 \ K}{300 \ K}$
$\frac{K_2}{E} = 2$
$K_2 = 2 E$.
તેથી,અંતિમ સરેરાશ ગતિઊર્જા $2 E$ થશે.

(D) વાયુના અણુની સરેરાશ સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જાનું સૂત્ર: $E = \frac{3}{2} k_B T$ છે,જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા માત્ર તાપમાન $T$ પર આધાર રાખે છે અને તે વાયુના મોલર દળથી સ્વતંત્ર છે.
નાઈટ્રોજન $(N_2)$ માટે આપેલ છે: $E_1 = 0.042 \ eV$,તાપમાન $T_1 = T$.
ઓક્સિજન $(O_2)$ માટે: તાપમાન બમણું કરવામાં આવે છે,તેથી $T_2 = 2T$.
જેમ કે $E \propto T$,તેથી:
$\frac{E_2}{E_1} = \frac{T_2}{T_1} = \frac{2T}{T} = 2$
તેથી,$E_2 = 2 \times E_1 = 2 \times 0.042 \ eV = 0.084 \ eV$.

(A) આદર્શ વાયુનું દબાણ $P$,તેની કુલ સ્થાનાંતરિત ગતિ ઉર્જા $E$ અને કદ $V$ સાથે નીચે મુજબ સંબંધિત છે: $P = \frac{2}{3} \frac{E}{V}$.
અહીં,$E = 7.5 \times 10^3 \text{ J}$ અને $V = 10 \text{ litre} = 10 \times 10^{-3} \text{ m}^3 = 10^{-2} \text{ m}^3$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$P = \frac{2}{3} \times \frac{7.5 \times 10^3}{10^{-2}}$
$P = \frac{2}{3} \times 7.5 \times 10^5$
$P = 5 \times 10^5 \text{ N/m}^2$.

(D) આદર્શ વાયુ દ્વારા પાત્રમાં લાગતું દબાણ $P$ એ આદર્શ વાયુના સમીકરણ $PV = N K_B T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N$ એ અણુઓની સંખ્યા છે,$K_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $V$ એ કદ છે.
દબાણ $P$ એ એકમ ક્ષેત્રફળ $A$ પર લાગતા બળ $F$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ હોવાથી,$P = F/A$ થાય.
આ કિંમતને આદર્શ વાયુના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(F/A) V = N K_B T$
$F = (N K_B T A) / V$
આપેલ પાત્ર અને વાયુના નમૂના માટે $N$,$K_B$,$A$ અને $V$ અચળ હોવાથી,બળ $F$ એ તાપમાન $T$ ના સમપ્રમાણમાં છે.
$F \propto T^1$
આને $F \propto T^x$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 1$ મળે છે.

(B) વાયુના ગતિવાદ મુજબ,આદર્શ વાયુ દ્વારા લાગતું દબાણ $P$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$P = \frac{1}{3} \rho v_{rms}^2$
જ્યાં $\rho = \frac{M}{V}$ એ વાયુની ઘનતા છે અને $v_{rms}$ એ સરેરાશ વર્ગિત વેગનું વર્ગમૂળ છે.
સમીકરણમાં $\rho$ ની કિંમત મૂકતા:
$P = \frac{1}{3} \left( \frac{M}{V} \right) v_{rms}^2$
જમણી બાજુને $2$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$P = \frac{2}{3} \left( \frac{1}{2} \frac{M}{V} v_{rms}^2 \right)$
કુલ ગતિ ઊર્જા $K.E. = \frac{1}{2} M v_{rms}^2$ હોવાથી,એકમ કદ દીઠ ગતિ ઊર્જા $u = \frac{K.E.}{V} = \frac{1}{2} \rho v_{rms}^2$ થાય.
તેથી,$P = \frac{2}{3} u$.

(D) આદર્શ વાયુ માટે દબાણ $P$ અને કદ $V$ નો અણુઓની સંખ્યા $N$ અને અણુ દીઠ સરેરાશ ગતિઊર્જા $\langle K \rangle$ સાથેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$PV = \frac{2}{3} N \langle K \rangle$
આપેલ છે:
$V = 500 \text{ c.c.} = 500 \times 10^{-6} \text{ m}^3 = 5 \times 10^{-4} \text{ m}^3$
$P = 2 \times 10^5 \text{ N/m}^2$
$\langle K \rangle = 6 \times 10^{-21} \text{ J}$
$N$ શોધવા માટે સૂત્રને કર્તા બનાવતા:
$N = \frac{3PV}{2\langle K \rangle}$
કિંમતો મુકતા:
$N = \frac{3 \times (2 \times 10^5) \times (5 \times 10^{-4})}{2 \times (6 \times 10^{-21})}$
$N = \frac{3 \times 10^2}{12 \times 10^{-21}} = \frac{300}{12} \times 10^{21} = 25 \times 10^{21} = 2.5 \times 10^{22}$
આમ,વાયુના અણુઓની સંખ્યા $2.5 \times 10^{22}$ છે.

(B) આદર્શ વાયુનું દબાણ $P$ ગતિવાદના સિદ્ધાંત મુજબ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$P = \frac{1}{3} \frac{N m}{V} v_{rms}^2$
જ્યાં $N$ એ અણુઓની સંખ્યા છે,$m$ એ દરેક અણુનું દળ છે,$V$ એ કદ છે,અને $v_{rms}$ એ સરેરાશ વર્ગમૂળ ઝડપ છે.
આ સંબંધ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $P \propto m \cdot v_{rms}^2$.
ધારો કે પ્રારંભિક દળ $m_1 = m$ અને પ્રારંભિક ઝડપ $v_1 = v$ છે. પ્રારંભિક દબાણ $P_1 = P$ છે.
આપેલ નવી શરતો મુજબ:
$m_2 = \frac{m}{2}$
$v_2 = 2v$
હવે,નવું દબાણ $P_2$ ની ગણતરી કરતા:
$\frac{P_2}{P_1} = \frac{m_2}{m_1} \times \left( \frac{v_2}{v_1} \right)^2$
$\frac{P_2}{P} = \left( \frac{m/2}{m} \right) \times \left( \frac{2v}{v} \right)^2$
$\frac{P_2}{P} = \left( \frac{1}{2} \right) \times (2)^2$
$\frac{P_2}{P} = \frac{1}{2} \times 4 = 2$
તેથી,$P_2 = 2P$.

(B) આદર્શ વાયુનું દબાણ ગતિવાદના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $P = \frac{1}{3} \frac{N m}{V} v_{rms}^2$.
આ સમીકરણ પરથી જોઈ શકાય છે કે દબાણ $P$ એ અણુઓના દળ $m$ અને તેમના સરેરાશ વર્ગિત વેગના વર્ગ $v_{rms}^2$ ના સમપ્રમાણમાં છે,જો અણુઓની સંખ્યા $N$ અને કદ $V$ અચળ રહે: $P \propto m v_{rms}^2$.
ધારો કે પ્રારંભિક સ્થિતિ $P_1 = P_0$,દળ $m_1 = m$,અને વેગ $v_1 = v$ છે.
અંતિમ સ્થિતિમાં,દળ અડધું થાય છે: $m_2 = \frac{m}{2}$,અને વેગ બમણો થાય છે: $v_2 = 2v$.
અંતિમ દબાણ $P_2$ અને પ્રારંભિક દબાણ $P_1$ નો ગુણોત્તર નીચે મુજબ છે:
$\frac{P_2}{P_1} = \frac{m_2 v_2^2}{m_1 v_1^2} = \frac{(\frac{m}{2}) (2v)^2}{m v^2}$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{P_2}{P_1} = \frac{(\frac{m}{2}) (4v^2)}{m v^2} = \frac{2 m v^2}{m v^2} = 2$.
તેથી,અંતિમ દબાણ $P_2 = 2 P_1 = 2 P_0$ થશે.

(C) વાયુના અણુની સરેરાશ ગતિઊર્જા $K$ નું સૂત્ર $K = \frac{3}{2} k_B T$ છે,જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
અહીં $K \propto T$ હોવાથી,વાયુ $B$ અને વાયુ $A$ ની સરેરાશ ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K_B}{K_A} = \frac{T_B}{T_A}$ થશે.
આપેલ છે કે $T_A = 360 \ K$ અને $T_B = 420 \ K$.
આ કિંમતો મૂકતા,$\frac{K_B}{K_A} = \frac{420}{360} = \frac{7}{6}$ મળે છે.
આમ,ગુણોત્તર $7: 6$ છે.

(B) આદર્શ વાયુની પ્રતિ મોલ ગતિઊર્જાનું સૂત્ર $E = \frac{3}{2} RT$ છે,જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
$R$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$R = \frac{2 E}{3 T}$

(D) વાયુના અણુની સરેરાશ સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા $K$ નું સૂત્ર $K = \frac{3}{2} k_B T$ છે,જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $K \propto T$.
જો આપણે ગતિઊર્જાને બમણી $(K' = 2K)$ કરવા માંગતા હોઈએ,તો તાપમાન $T' = 2T$ હોવું જોઈએ.
તેથી,તાપમાન વધારીને $2T$ કરવું પડે.

(B) વાયુના અણુની સ્થાનાંતરીય ગતિઊર્જાનું સૂત્ર $E = \frac{3}{2}kT$ છે,જ્યાં $k$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે ગતિઊર્જા $E$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ના સમપ્રમાણમાં છે $(E \propto T)$.
ગતિઊર્જાને બમણી કરવા માટે $(E' = 2E)$,આપણે નિરપેક્ષ તાપમાનને પણ બમણું કરવું પડે $(T' = 2T)$.
તેથી,તાપમાનને વધારીને $2T$ કરવું જોઈએ.

(A) વાયુના અણુની સરેરાશ સ્થાનાંતરીય ગતિઊર્જા $K.E. = \frac{3}{2} kT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $k = \frac{R}{N}$ હોવાથી,$K.E. = \frac{3}{2} \frac{RT}{N}$ થાય.
$V$ વોલ્ટના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત થયેલા ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $K.E. = eV$ છે.
બંને ઊર્જાઓને સરખાવતા:
$\frac{3}{2} \frac{RT}{N} = eV$
$T$ માટે ઉકેલતા:
$T = \frac{2 eVN}{3 R}$ મળે છે.

(B) વાયુના ગતિવાદ મુજબ,આદર્શ વાયુ દ્વારા પાત્રની દીવાલો પર લાગતું દબાણ $P = \frac{1}{3} \rho v_{rms}^2$ છે,જ્યાં $\rho$ એ ઘનતા છે અને $v_{rms}$ એ સરેરાશ વર્ગિત વેગ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે એકમ કદ દીઠ ગતિ ઊર્જા $(u)$ એ $u = \frac{1}{2} \rho v_{rms}^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$\rho v_{rms}^2 = 2u$ થાય.
આ કિંમતને દબાણના સમીકરણમાં મૂકતા: $P = \frac{1}{3} (2u) = \frac{2}{3} u$.
આમ,આદર્શ વાયુ દ્વારા લાગતું દબાણ એ વાયુની એકમ કદ દીઠ ગતિ ઊર્જાના $2/3$ ગણું હોય છે.

(B) વાયુ દ્વારા લાગતું દબાણ $p$ એ વાયુના ગતિવાદ મુજબ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$p = \frac{1}{3} \rho \bar{v}^2$
જ્યાં $\rho$ એ ઘનતા છે અને $\bar{v}^2$ એ સરેરાશ વર્ગ ઝડપ છે.
ઘનતા $\rho = \frac{M}{V}$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ:
$p = \frac{1}{3} \frac{M}{V} \bar{v}^2$
$2$ વડે ગુણતા અને ભાગતા,આપણને મળે છે:
$p = \frac{2}{3} \left( \frac{1}{2} \frac{M}{V} \bar{v}^2 \right)$
અહીં,$\frac{1}{2} M \bar{v}^2$ એ વાયુના અણુઓની કુલ ગતિઊર્જા છે.
આમ,$\frac{1}{2} \frac{M}{V} \bar{v}^2$ એ એકમ કદ દીઠ ગતિઊર્જા દર્શાવે છે,જે $E$ તરીકે આપવામાં આવી છે.
તેથી,$p = \frac{2}{3} E$.

(D) દીવાલ સાથે અથડાઈને પાછા ફરતા એક અણુના વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta p = 2mv \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $m$ એ દળ છે, $v$ એ વેગ છે અને $\theta$ એ લંબ સાથેનો ખૂણો છે.
આપેલ છે: $m = 3 \times 10^{-27} \,kg$, $v = 500 \,m/s$, $\theta = 60^{\circ}$, $N = 10^{23}$ અણુઓ/સેકન્ડ, અને $A = 1 \,cm^2 = 10^{-4} \,m^2$.
દબાણ $P = \frac{F}{A} = \frac{1}{A} \times \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{N \times (2mv \cos 60^{\circ})}{A}$.
કિંમતો મૂકતા: $P = \frac{10^{23} \times 2 \times (3 \times 10^{-27}) \times 500 \times \cos 60^{\circ}}{10^{-4}}$.
$\cos 60^{\circ} = 0.5$ હોવાથી, $P = \frac{10^{23} \times 6 \times 10^{-27} \times 500 \times 0.5}{10^{-4}} = \frac{3000 \times 10^{-4} \times 0.5}{10^{-4}} = 1500 \,N/m^2$.

(B) વાયુના ગતિવાદ મુજબ,આદર્શ વાયુ દ્વારા લગાડવામાં આવતું દબાણ $P$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $P = \frac{1}{3} \rho v_{rms}^2$,જ્યાં $\rho$ એ ઘનતા છે અને $v_{rms}$ એ વર્ગમૂળ સરેરાશ ઝડપ છે.
કારણ કે $\rho = \frac{M}{V}$,આપણે લખી શકીએ $P = \frac{1}{3} \frac{N m}{V} v_{rms}^2$.
વળી,સરેરાશ વર્ગ ઝડપને $\langle v^2 \rangle = \frac{1}{N} \sum v_i^2 = v_{rms}^2$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
તેથી,દબાણ $P$ એ વાયુના અણુઓની ઝડપના વર્ગની સરેરાશ એટલે કે $\langle v^2 \rangle$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.

(D) વાયુના ગતિવાદ મુજબ,આદર્શ વાયુનું દબાણ $P$ એ સંબંધ $P = \frac{2}{3} \frac{N}{V} \langle K \rangle$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\langle K \rangle$ એ અણુઓની સરેરાશ ગતિ ઉર્જા છે.
અહીં કદ $V$ અને અણુઓની સંખ્યા $N$ અચળ હોવાથી,દબાણ $P$ એ અણુઓની સરેરાશ ગતિ ઉર્જાના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,$P \propto \langle K \rangle$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) આદર્શ વાયુની સરેરાશ ગતિઊર્જા $(E)$ તેના નિરપેક્ષ તાપમાન ($T$ કેલ્વિનમાં) ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,જેનું સૂત્ર $E = \frac{3}{2} k_B T$ છે.
તેથી,$E \propto T$.
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$ આપેલ છે.
અંતિમ તાપમાન $T_2 = 327^{\circ} C = 327 + 273 = 600 \ K$ આપેલ છે.
સમપ્રમાણતાના ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{E_2}{E_1} = \frac{T_2}{T_1}$.
કિંમતો મૂકતા: $E_2 = E_1 \times \frac{600}{300}$.
$E_2 = 2 E_1$.

(C) આદર્શ વાયુના અણુઓની સરેરાશ ગતિઊર્જા $(K)$ તેના નિરપેક્ષ તાપમાન $(T)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,જે સંબંધ $K = \frac{3}{2} k_B T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે.
કારણ કે તાપમાન $(T)$ અચળ રાખવામાં આવે છે,તેથી દબાણમાં ફેરફાર થયા હોવા છતાં અણુઓની ગતિઊર્જા સમાન રહે છે.

(B) વાયુઓના ગતિવાદ મુજબ,આદર્શ વાયુના એક અણુની સરેરાશ ગતિઊર્જા 'ઇક્વિપાર્ટિશન' (equipartition) પ્રમેય દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એક પરમાણ્વીય આદર્શ વાયુ માટે,અણુ પાસે $3$ સ્વતંત્રતાના અંશો (degrees of freedom) હોય છે.
અણુ દીઠ સરેરાશ ઊર્જા $E = \frac{f}{2} k_{B} T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f$ એ સ્વતંત્રતાના અંશોની સંખ્યા છે.
એક પરમાણ્વીય વાયુ માટે,$f = 3$ હોવાથી,સરેરાશ ઊર્જા $E = \frac{3}{2} k_{B} T$ થાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) વાયુના અણુની સરેરાશ સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા $(K_{avg})$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $K_{avg} = \frac{3}{2} k_B T$.
આપેલ છે:
તાપમાન $T = 127^{\circ} C = 127 + 273 = 400 \,K$.
બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક $k_B = 1.38 \times 10^{-23} \,J \,K^{-1}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$K_{avg} = \frac{3}{2} \times (1.38 \times 10^{-23}) \times 400$.
$K_{avg} = 1.5 \times 1.38 \times 400 \times 10^{-23}$.
$K_{avg} = 1.5 \times 552 \times 10^{-23}$.
$K_{avg} = 828 \times 10^{-23} \,J$.
$K_{avg} = 8.28 \times 10^{-21} \,J$.

(C) એક-પરમાણ્વીય વાયુની આંતરિક ઊર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{3}{2} nRT$ છે,જ્યાં $n$ એ મોલની સંખ્યા છે,$R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,અને $T$ એ કેલ્વિનમાં તાપમાન છે.
આપેલ છે: $n = 4$ મોલ,$T = 77^{\circ} C = 77 + 273 = 350 \ K$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$U = \frac{3}{2} \times 4 \times R \times 350$
$U = 6 \times R \times 350$
$U = 2100 R$.

(C) આદર્શ વાયુ માટે, આંતરિક ઉર્જા $U$ નું સૂત્ર એક-પરમાણ્વિક વાયુ માટે $U = \frac{3}{2} PV$ છે.
આપેલ કિંમતો $V = 3 \,m^3$ અને $P = 3 \times 10^5 \,Pa$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$U = \frac{3}{2} \times (3 \times 10^5 \,Pa) \times (3 \,m^3)$
$U = \frac{3}{2} \times 9 \times 10^5 \,J$
$U = 1.5 \times 9 \times 10^5 \,J$
$U = 13.5 \times 10^5 \,J$.

(B) દબાણ $P$,કદ $V$ અને કુલ સ્થાનાંતરીય ગતિઊર્જા $E$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $P = \frac{2}{3} \frac{E}{V}$.
આપેલ છે:
કદ $V = 10 \text{ liters} = 10 \times 10^{-3} \text{ m}^3 = 10^{-2} \text{ m}^3$.
કુલ ગતિઊર્જા $E = 4.5 \times 10^5 \text{ J}$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$P = \frac{2}{3} \times \frac{4.5 \times 10^5}{10^{-2}}$
$P = \frac{2}{3} \times 4.5 \times 10^7$
$P = 3 \times 10^7 \text{ Nm}^{-2} = 30 \times 10^6 \text{ Nm}^{-2}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) આદર્શ વાયુની સરેરાશ ગતિઊર્જા $(E)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$E = \frac{3}{2} nRT$
$n = 1$ મોલ વાયુ માટે,સમીકરણ આ મુજબ બને છે:
$E = \frac{3}{2} RT$
આદર્શ વાયુના સમીકરણ પરથી,આપણે જાણીએ છીએ કે $PV = nRT$. $n = 1$ માટે,આ સમીકરણ નીચે મુજબ થાય છે:
$PV = RT$
ગતિઊર્જાના સમીકરણમાં $RT = PV$ મૂકતા:
$E = \frac{3}{2} PV$
દબાણ $(P)$ ને કર્તા બનાવતા:
$P = \frac{2}{3} \frac{E}{V}$

(C) વાયુના અણુની સરેરાશ ગતિઊર્જા $(E)$ તેના નિરપેક્ષ તાપમાન $(T)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે, જે સંબંધ $E = \frac{3}{2} k_B T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
તેથી, બે અલગ-અલગ તાપમાને ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{E_2}{E_1} = \frac{T_2}{T_1}$ થાય।
આપેલ છે: $T_1 = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$, $E_1 = 3.3 \times 10^{-20} \ J$, અને $T_2 = 127^{\circ} C = 127 + 273 = 400 \ K$.
કિંમતો મૂકતા: $E_2 = E_1 \times \frac{T_2}{T_1} = 3.3 \times 10^{-20} \times \frac{400}{300}$.
$E_2 = 3.3 \times 10^{-20} \times \frac{4}{3} = 1.1 \times 4 \times 10^{-20} = 4.4 \times 10^{-20} \ J$.

(C) તાપમાન,$T = 77^{\circ} C = 273 + 77 = 350 \,K$.
બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક,$K_{B} = 1.38 \times 10^{-23} \,J/K$.
એક પરમાણ્વીય વાયુના પરમાણુની સરેરાશ ગતિઊર્જા $E = \frac{3}{2} K_{B} T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
કિંમતો મૂકતા:
$E = \frac{3}{2} \times 1.38 \times 10^{-23} \times 350 \,J$.
ઊર્જાને જુલમાંથી ઇલેક્ટ્રોન-વોલ્ટ $(eV)$ માં રૂપાંતરિત કરવા માટે,ઇલેક્ટ્રોનના વિદ્યુતભાર $(1.6 \times 10^{-19} \,C)$ વડે ભાગાકાર કરો:
$E(eV) = \frac{1.5 \times 1.38 \times 350 \times 10^{-23}}{1.6 \times 10^{-19}} \,eV$.
$E(eV) = \frac{724.5 \times 10^{-23}}{1.6 \times 10^{-19}} \,eV$.
$E(eV) \approx 4.52 \times 10^{-2} \,eV$.

(C) વાયુના ગતિવાદ મુજબ,આદર્શ વાયુ દ્વારા લાગતું દબાણ $P$ એ સંબંધ $P = \frac{2}{3} \frac{K}{V}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $K$ એ વાયુના અણુઓની કુલ ગતિજ ઊર્જા છે અને $V$ એ કદ છે.
ચોક્કસ જથ્થાના વાયુ માટે કદ $V$ અચળ હોવાથી,દબાણ $P$ એ વાયુના અણુઓની કુલ ગતિજ ઊર્જા $K$ ના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે.
આ એટલા માટે છે કારણ કે દબાણ પાત્રની દીવાલો સાથે વાયુના અણુઓની અથડામણને કારણે ઉદ્ભવે છે,અને આ અથડામણોનું બળ અણુઓની ગતિજ ઊર્જા પર આધાર રાખે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) વાયુના અણુની સરેરાશ ગતિઊર્જા $(K_{avg})$ નું સૂત્ર $K_{avg} = \frac{3}{2} k_B T$ છે,જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે સરેરાશ ગતિઊર્જા માત્ર નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ પર આધાર રાખે છે અને તે વાયુના અણુના દળ કે પ્રકાર પર આધાર રાખતી નથી.
આપેલ છે કે $300 \ K$ તાપમાને $H_2$ અણુઓની સરેરાશ ગતિઊર્જા $E$ છે,અને $O_2$ અણુઓ માટે પણ તાપમાન $300 \ K$ હોવાથી,$O_2$ અણુઓની સરેરાશ ગતિઊર્જા પણ $E$ જ રહેશે.

(A) આદર્શ વાયુના અણુ દીઠ સરેરાશ ગતિઊર્જાનું સૂત્ર $\bar{E} = \frac{3}{2} K_B T$ છે,જ્યાં $K_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
બંને વાયુઓ એક જ પાત્રમાં હોવાથી,તેઓ તાપીય સંતુલનમાં છે,જેનો અર્થ છે કે તેમનું તાપમાન $T$ સમાન છે.
સરેરાશ ગતિઊર્જા $\bar{E}$ માત્ર તાપમાન $T$ પર આધાર રાખે છે અને તે વાયુના અણુઓના દળ કે પ્રકાર પર આધાર રાખતી નથી,તેથી હાઇડ્રોજન અને ઓક્સિજનની સરેરાશ ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $1: 1$ થશે.

(D) વાયુના અણુની સરેરાશ સ્થાનાંતરીય ગતિઊર્જાનું સૂત્ર $E = \frac{3}{2} k T$ છે,જ્યાં $k$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ કેલ્વિનમાં નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
આપેલ છે,$E = 0.69 \ eV = 0.69 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$0.69 \times 1.6 \times 10^{-19} = \frac{3}{2} \times 1.38 \times 10^{-23} \times T$
$T = \frac{0.69 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 2}{3 \times 1.38 \times 10^{-23}}$
$T = \frac{2.208 \times 10^{-19}}{4.14 \times 10^{-23}} \approx 5333 \ K$
તાપમાનને સેલ્સિયસમાં ફેરવવા માટે,આપણે $T(^{\circ}C) = T(K) - 273.15$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$T(^{\circ}C) = 5333 - 273 = 5060^{\circ} C$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) વાયુના અણુની સરેરાશ સ્થાનાંતરીય ગતિઊર્જાનું સૂત્ર: $K_{avg} = \frac{3}{2} k_B T$ છે,જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
સરેરાશ સ્થાનાંતરીય ગતિઊર્જા માત્ર તાપમાન $T$ પર આધાર રાખે છે,વાયુના અણુઓના પ્રકાર કે દળ પર નહીં,તેથી સમાન તાપમાને તમામ આદર્શ વાયુઓ માટે તે સમાન હોય છે.
આપેલ છે કે તાપમાન $T$ પર $O_2$ અણુઓની સરેરાશ સ્થાનાંતરીય ગતિઊર્જા $0.048 \ eV$ છે,તેથી સમાન તાપમાન $T$ પર $N_2$ અણુઓની સરેરાશ સ્થાનાંતરીય ગતિઊર્જા પણ $0.048 \ eV$ જ હશે.

(C) આદર્શ વાયુનું તાપમાન તેના અણુઓની સરેરાશ સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જાના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે,જે $K.E. = \frac{3}{2} k_B T$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આમ,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
જોકે,આપેલું કારણ ખોટું છે. ઉષ્મીય ઊર્જા અથડામણો દ્વારા ઉત્પન્ન થતી નથી; વાસ્તવમાં,અણુઓની ગતિઊર્જા એ જ વાયુની ઉષ્મીય ઊર્જા છે. આદર્શ વાયુમાં અણુઓ વચ્ચેની અથડામણો સ્થિતિસ્થાપક હોય છે,જેનો અર્થ છે કે તેમાં ગતિઊર્જાનો કોઈ વ્યય કે વધારો થતો નથી જે 'ઉષ્મીય ઊર્જા ઉત્પન્ન' કરે; તેઓ ફક્ત અસ્તિત્વમાં રહેલી ગતિઊર્જાનું પુનઃવિતરણ કરે છે. તેથી,કારણ $(R)$ ખોટું છે.

(B) હિલિયમ $(He)$ એક પરમાણ્વીય વાયુ છે. એક પરમાણ્વીય વાયુ માટે મુક્તિના અંશો $(f)$ $3$ છે.
આદર્શ વાયુની કુલ યાદચ્છિક ગતિઊર્જા $(U)$ નું સૂત્ર: $U = \frac{f}{2} nRT$,જ્યાં $n$ મોલની સંખ્યા છે,$R$ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે અને $T$ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
આપેલ છે: દળ $(m)$ = $1 \,g$,હિલિયમનું આણ્વીય દળ $(M)$ = $4 \,g/mol$,તાપમાન $(T)$ = $100 \,K$,$R = 8.3 \,J \,mol^{-1} \,K^{-1}$.
મોલની સંખ્યા $(n)$ = $\frac{m}{M} = \frac{1}{4} = 0.25 \,mol$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $U = \frac{3}{2} \times 0.25 \times 8.3 \times 100$.
$U = 1.5 \times 0.25 \times 830$.
$U = 0.375 \times 830 = 311.25 \,J$.
તેથી,કુલ યાદચ્છિક ગતિઊર્જા $311.25 \,J$ છે.

(D) વાયુના અણુની સરેરાશ સ્થાનાંતરીય ગતિઊર્જા $KE = \frac{3}{2} k_B T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
$V$ જેટલા વિદ્યુતસ્થિતિમાન તફાવત હેઠળ પ્રવેગિત થતા ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા પ્રાપ્ત થતી ગતિઊર્જા $KE = eV$ છે।
પ્રશ્ન મુજબ, આ બંને ઊર્જાઓ સમાન છે:
$\frac{3}{2} k_B T = eV$
$V = 10 \,V$, $e = 1.6 \times 10^{-19} \,C$, અને $k_B = 1.38 \times 10^{-23} \,JK^{-1}$ ની કિંમતો મૂકતા:
$T = \frac{2eV}{3k_B} = \frac{2 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 10}{3 \times 1.38 \times 10^{-23}}$
$T = \frac{32 \times 10^{-19}}{4.14 \times 10^{-23}} \approx 7.73 \times 10^4 \,K = 77.3 \times 10^3 \,K$.

(A) વાયુના અણુની સરેરાશ ગતિઊર્જાનું સૂત્ર $KE_{av} = \frac{3}{2} k_B T$ છે,જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ વાયુનું નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
આર્ગોન અને ક્લોરિન વાયુઓ એક જ ફ્લાસ્કમાં હોવાથી અને ઉષ્મીય સંતુલનમાં હોવાથી,તેઓ સમાન તાપમાન $T = 27^{\circ} C = 300 \ K$ પર છે.
અણુ દીઠ સરેરાશ ગતિઊર્જા માત્ર તાપમાન $T$ પર આધાર રાખે છે અને તે વાયુના દળ કે અણુઓના પ્રકાર પર આધાર રાખતી નથી,તેથી બંને વાયુઓની સરેરાશ ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $1:1$ થાય છે.