Pressure and Energy Questions in Gujarati

(C) વાયુમાં,અણુઓ ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં બધી દિશાઓમાં યાદચ્છિક રીતે ગતિ કરે છે. અણુના વેગ સદિશને $x$,$y$ અને $z$ અક્ષો પર ત્રણ પરસ્પર લંબ ઘટકોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે.
આંકડાકીય રીતે,અણુઓ આ દિશાઓ વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાયેલા હોય છે.
કોઈપણ એક ચોક્કસ દિશા માટે (દા.ત.,ધન $x$-દિશા),તે દિશામાં ગતિ કરતા અણુઓનો અંશ કુલ અણુઓની સંખ્યા $n$ ના $1/6$ ભાગ જેટલો હોય છે.
તેથી,નિશ્ચિત દિશામાં ગતિ કરતા અણુઓની સરેરાશ સંખ્યા $n/6$ છે.

(A) વાયુના ગતિવાદ (Kinetic Theory of Gases) મુજબ,આદર્શ વાયુનું તાપમાન તેના અણુઓની સરેરાશ સ્થાનાંતરિત ગતિ ઊર્જાના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે.
આ સંબંધ નીચેના સમીકરણ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે:
$KE_{\text{avg}} = \frac{3}{2} k_{B} T$
જ્યાં:
$KE_{\text{avg}}$ એ સરેરાશ સ્થાનાંતરિત ગતિ ઊર્જા છે,
$k_{B}$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે,
$T$ એ વાયુનું નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
તેથી,તાપમાન એ વાયુના અણુઓની સરેરાશ ગતિ ઊર્જાનું માપન છે.

(C) વાયુના ગતિવાદ અનુસાર,વાયુના અણુની સરેરાશ ગતિ ઊર્જા $(K_{avg})$ નું સૂત્ર $K_{avg} = \frac{3}{2} k_B T$ છે,જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
અહીં $k_B$ એ સાર્વત્રિક અચળાંક છે અને આપેલા તાપમાન માટે $T$ અચળ છે,તેથી સરેરાશ ગતિ ઊર્જા માત્ર તાપમાન પર જ આધાર રાખે છે.
આથી,આપેલા તાપમાને તમામ વાયુના અણુઓ,તેમના દળને ધ્યાનમાં લીધા વગર,સમાન સરેરાશ ગતિ ઊર્જા ધરાવે છે.

(A) વાયુના ગતિવાદ મુજબ,દબાણ $P$ નું સૂત્ર $P = \frac{1}{3} \rho \langle v^2 \rangle$ છે.
ઘનતા $\rho = \frac{M}{V}$ હોવાથી,$P = \frac{1}{3} \frac{M}{V} \langle v^2 \rangle$ થાય.
સમીકરણને $2$ વડે ગુણતા અને ભાગતા,$P = \frac{2}{3V} (\frac{1}{2} M \langle v^2 \rangle)$ મળે.
અહીં,$E = \frac{1}{2} M \langle v^2 \rangle$ એ વાયુના અણુઓની કુલ આંતરિક ગતિઊર્જા દર્શાવે છે.
આમ,$P = \frac{2}{3} \frac{E}{V}$ થાય.
અચળ કદ $V$ માટે,દબાણ $P$ એ વાયુની કુલ આંતરિક ઊર્જા $E$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.

(A) વાયુનો $rms$ વેગ $V_{rms} = \sqrt{\frac{3P}{\rho}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $P$ એ દબાણ છે અને $\rho$ એ વાયુની ઘનતા છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $V_{rms}^2 = \frac{3P}{\rho}$ મળે છે.
દબાણ માટે ગોઠવતા,$P = \frac{1}{3} \rho V_{rms}^2$ મળે છે.
પાત્રમાં વાયુના નિશ્ચિત જથ્થા માટે ઘનતા $\rho$ અચળ રહેતી હોવાથી,$P \propto V_{rms}^2$ થાય છે.
જો $rms$ વેગ બમણો કરવામાં આવે $(V'_{rms} = 2V_{rms})$,તો નવું દબાણ $P'$ એ $P' \propto (2V_{rms})^2 = 4V_{rms}^2$ થશે.
તેથી,દબાણ મૂળ દબાણ કરતા $4$ ગણું થશે.

(D) વાયુના ગતિવાદ મુજબ,આદર્શ વાયુના એક અણુની સરેરાશ ગતિ ઊર્જા $E_{avg} = \frac{3}{2}kT$ છે,જ્યાં $k$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
$1$ મોલ વાયુ માટે,અણુઓની સંખ્યા એવોગેડ્રો આંક $N_A$ જેટલી હોય છે.
તેથી,$1$ મોલ માટે કુલ ગતિ ઊર્જા $E = N_A \times (\frac{3}{2}kT)$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $k = \frac{R}{N_A}$,તેથી $E = N_A \times \frac{3}{2} \times (\frac{R}{N_A}) \times T$.
આનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $E = \frac{3}{2}RT$ મળે છે.
આમ,$1$ ગ્રામ-મોલ વાયુની સરેરાશ ગતિ ઊર્જા $\frac{3RT}{2}$ થાય છે.

(C) વાયુના અણુની સરેરાશ ગતિઊર્જાનું સૂત્ર $K.E. = \frac{3}{2} k_B T$ છે,જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
સરેરાશ ગતિઊર્જા માત્ર તાપમાન $T$ પર આધાર રાખે છે,વાયુના અણુના દળ કે પ્રકાર પર નહીં,તેથી સમાન તાપમાન $T$ પર કોઈપણ વાયુ માટે સરેરાશ ગતિઊર્જા સમાન રહે છે.
અહીં $H_2$ અને $O_2$ બંને માટે તાપમાન $300 \, K$ આપેલું હોવાથી,$O_2$ ની સરેરાશ ગતિઊર્જા પણ $E$ જ રહેશે.

(B) વાયુના ગતિવાદ મુજબ,આદર્શ વાયુના એક અણુની સરેરાશ ગતિ ઊર્જા $(E_k)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$E_k = \frac{3}{2} k_B T$
જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ વાયુનું નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે સરેરાશ ગતિ ઊર્જા એ વાયુના નિરપેક્ષ તાપમાન $(T)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,$E_k \propto T$.

(A) આદર્શ વાયુ માટે,પ્રતિ મોલ સરેરાશ ગતિઊર્જાનું સૂત્ર $E = \frac{f}{2}RT$ છે,જ્યાં $f$ એ મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) ની સંખ્યા છે.
એક-પરમાણ્વિક વાયુ માટે,મુક્તિના અંશોની સંખ્યા $f = 3$ હોય છે ($x, y,$ અને $z$ અક્ષો પરની સ્થાનાંતરિત ગતિને અનુરૂપ).
સૂત્રમાં $f = 3$ મૂકતા,આપણને $E = \frac{3}{2}RT$ મળે છે.

(D) એક મોલ આદર્શ વાયુની ગતિઊર્જા $(E)$ શોધવાનું સૂત્ર: $E = \frac{3}{2}RT$ છે.
પ્રમાણિત તાપમાન $(T)$ $273 \ K$ છે.
આપેલ છે કે $R = 8.31 \ J/mol \cdot K$.
કિંમતો મૂકતા: $E = \frac{3}{2} \times 8.31 \times 273$.
$E = 1.5 \times 8.31 \times 273 = 3402.855 \ J$.
બે સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $E \approx 3.4 \times 10^3 \ J$ મળે છે.

(C) આદર્શ વાયુની કુલ ગતિ ઊર્જા $(E)$ નું સૂત્ર $E = N \times \frac{f}{2} kT$ છે,જ્યાં $N$ એ અણુઓની સંખ્યા છે,$f$ એ મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) છે,$k$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ તાપમાન છે.
$H_2$ (દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ) માટે,$300 \ K$ તાપમાને મુક્તિના અંશો $f = 5$ છે.
$O_2$ (દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ) માટે,$300 \ K$ તાપમાને મુક્તિના અંશો $f = 5$ છે.
આપેલ છે કે $N_{H_2} = 2N_{O_2}$.
કુલ ગતિ ઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{E_{H_2}}{E_{O_2}} = \frac{N_{H_2} \times \frac{f}{2} kT}{N_{O_2} \times \frac{f}{2} kT} = \frac{N_{H_2}}{N_{O_2}}$ થશે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{E_{H_2}}{E_{O_2}} = \frac{2N_{O_2}}{N_{O_2}} = 2$.
આમ,ગુણોત્તર $2:1$ છે.

(B) અણુઓ વચ્ચેનું સરેરાશ અંતર $d$ એ સંખ્યા ઘનતા $n$ સાથે $d \propto n^{-1/3}$ મુજબ સંબંધિત છે.
જો અંતર $d$ બમણું કરવામાં આવે $(d' = 2d)$,તો સંખ્યા ઘનતા $n$ બદલાઈને $n' = n/8$ થશે.
આદર્શ વાયુના નિયમ મુજબ,$P = nkT$. તાપમાન $T$ અચળ હોવાથી,દબાણ $P$ એ સંખ્યા ઘનતા $n$ ના સમપ્રમાણમાં છે $(P \propto n)$.
તેથી,$P' = P \times (n'/n) = P \times (1/8) = P/8$.
આમ,દબાણ $P/8$ થશે.

(B) પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = -73^{\circ}C = (-73 + 273) K = 200 K$ છે.
વાયુના અણુઓની સરેરાશ ગતિ ઊર્જા $E = \frac{3}{2} kT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $E \propto T$.
તેથી,$\frac{E_2}{E_1} = \frac{T_2}{T_1}$.
આપેલ છે કે ગતિ ઊર્જા બમણી થાય છે,તેથી $E_2 = 2E_1$,એટલે કે $\frac{2E_1}{E_1} = \frac{T_2}{200 K}$.
$T_2 = 2 \times 200 K = 400 K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T_2(^{\circ}C) = 400 - 273 = 127^{\circ}C$.

(D) વાયુની $rms$ ઝડપનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3P}{\rho}}$ છે.
આપેલ છે: $v_{rms} = 3180 \ m/s$,$\rho = 8.99 \times 10^{-2} \ kg/m^3$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$v_{rms}^2 = \frac{3P}{\rho}$ મળે.
દબાણ $P$ માટે સૂત્ર: $P = \frac{v_{rms}^2 \times \rho}{3}$.
કિંમતો મૂકતા: $P = \frac{(3180)^2 \times 8.99 \times 10^{-2}}{3}$.
$P = \frac{10112400 \times 0.0899}{3} \approx \frac{909104.76}{3} \approx 303034.92 \ N/m^2$.
વાતાવરણમાં ફેરવવા માટે: $P_{atm} = \frac{303034.92}{1.01 \times 10^5} \approx \frac{303034.92}{101000} \approx 3.0 \ atm$.

(C) $1 \ g$ આદર્શ વાયુની ગતિઊર્જાનું સૂત્ર: $K.E. = \frac{3}{2} nRT$,જ્યાં $n = \frac{m}{M_w}$.
આપેલ છે: દળ $m = 1 \ g$,$He$ નો આણ્વીય દળ $M_w = 4 \ g/mol$,તાપમાન $T = 272 + 273 = 545 \ K$,અને વાયુ અચળાંક $R = 8.314 \ J/(mol \cdot K)$.
કિંમતો મૂકતા: $K.E. = \frac{3}{2} \times \frac{1}{4} \times 8.314 \times 545 = 1699.1 \ J$.
નોંધ: આપેલા વિકલ્પો મુજબ,જો તાપમાન $27^{\circ}C$ $(300 \ K)$ લેવામાં આવે તો: $K.E. = \frac{3}{2} \times \frac{8.314 \times 300}{4} = 935.3 \ J \approx 933.75 \ J$.

(B) આદર્શ વાયુની કુલ ગતિ ઊર્જા $E_T$ શોધવાનું સૂત્ર: $E_T = \frac{f}{2} nRT$
જ્યાં $n$ એ મોલની સંખ્યા છે,$f$ એ મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) છે,$R$ એ વાયુ અચળાંક છે અને $T$ એ કેલ્વિનમાં તાપમાન છે.
આપેલ છે: $n = 1 \text{ mole}$,$T = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \text{ K}$,$R = 2 \text{ cal/mol K}$.
$N_2$ એ દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ હોવાથી,તેના માટે મુક્તિના અંશો $f = 5$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $E_T = \frac{5}{2} \times 1 \times 2 \times 300$
$E_T = 5 \times 300 = 1500 \text{ cal}$.

(A) વાયુના ગતિવાદ મુજબ,આદર્શ વાયુનું દબાણ $P$ અને એકમ કદ દીઠ ગતિ ઊર્જા $(E/V)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $P = \frac{2}{3} \left( \frac{E}{V} \right)$.
એકમ કદ દીઠ ગતિ ઊર્જા શોધવા માટે આ સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{E}{V} = \frac{3}{2} P$.
અહીં આપેલ દબાણ $P = 6 \times 10^4 \ N/m^2$ છે.
સૂત્રમાં $P$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{E}{V} = \frac{3}{2} \times (6 \times 10^4 \ N/m^2)$.
$\frac{E}{V} = 3 \times 3 \times 10^4 \ J/m^3 = 9 \times 10^4 \ J/m^3$.

(C) વાયુના અણુઓની સરેરાશ ગતિઊર્જા નિરપેક્ષ તાપમાનના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $E \propto T$.
આપેલ છે,$T_1 = 27^\circ C = 27 + 273 = 300 \ K$.
ધારો કે $T_1$ તાપમાને ગતિઊર્જા $E_1 = E$ છે.
આપણે $T_2$ તાપમાને ગતિઊર્જા $E_2 = 2E$ મેળવવી છે.
સંબંધ $\frac{E_1}{E_2} = \frac{T_1}{T_2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{E}{2E} = \frac{300}{T_2}$
$\frac{1}{2} = \frac{300}{T_2}$
$T_2 = 600 \ K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T_2(^\circ C) = 600 - 273 = 327^\circ C$.

(C) વાયુની સરેરાશ ગતિ ઊર્જા $(E_k)$ તેના નિરપેક્ષ તાપમાન ($T$ કેલ્વિનમાં) ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
$E_k = \frac{3}{2} k_B T$
અહીં આપેલ છે કે તાપમાન $T$ પરની ગતિ ઊર્જા એ $20^\circ C$ $(293 \, K)$ તાપમાન પરની ગતિ ઊર્જા કરતાં બમણી છે:
$E_k(T) = 2 \times E_k(293 \, K)$
$T = 2 \times 293 \, K = 586 \, K$
આ તાપમાનને સેલ્સિયસમાં ફેરવતા:
$T(^\circ C) = 586 - 273 = 313^\circ C$

(A) વાયુના ગતિવાદ મુજબ,આદર્શ વાયુ દ્વારા લાગતું દબાણ $P$ નીચે મુજબ દર્શાવી શકાય: $P = \frac{1}{3} \rho \langle v^2 \rangle$,જ્યાં $\rho$ એ ઘનતા છે અને $\langle v^2 \rangle$ એ સરેરાશ વર્ગ ઝડપ છે.
આ સમીકરણને આપણે $P = \frac{2}{3} \left( \frac{1}{2} \rho \langle v^2 \rangle \right)$ તરીકે લખી શકીએ.
એકમ કદ દીઠ ગતિઊર્જા $(E)$ એ કુલ ગતિઊર્જા અને કદ $V$ નો ગુણોત્તર છે,એટલે કે $E = \frac{1}{2} \frac{M}{V} \langle v^2 \rangle = \frac{1}{2} \rho \langle v^2 \rangle$.
આ કિંમત દબાણના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $P = \frac{2}{3} E$ મળે છે.

(C) વાયુના $rms$ વેગનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3P}{\rho}}$ છે.
દબાણ $P$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $P = \frac{1}{3} \rho v_{rms}^2$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો $v_{rms} = 1840 \ m/s$ અને $\rho = 8.99 \times 10^{-2} \ kg/m^3$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$P = \frac{1}{3} \times (8.99 \times 10^{-2}) \times (1840)^2$
$P = \frac{1}{3} \times (8.99 \times 10^{-2}) \times 3385600$
$P = \frac{1}{3} \times 304365.44$
$P \approx 101455.15 \ N/m^2$
$P \approx 1.01 \times 10^5 \ N/m^2$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) આદર્શ વાયુની આંતરિક ઊર્જા $U = \frac{f}{2} PV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f$ એ મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) છે,$P$ એ દબાણ છે અને $V$ એ કદ છે.
દ્વિ-આણ્વિય વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો $f = 5$ છે.
કદ $V = \frac{\text{દળ}}{\text{ઘનતા}} = \frac{1 \, kg}{4 \, kg/m^3} = 0.25 \, m^3$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $U = \frac{5}{2} \times (8 \times 10^4 \, N/m^2) \times (0.25 \, m^3)$.
$U = 2.5 \times 8 \times 10^4 \times 0.25 = 20 \times 10^4 \times 0.25 = 5 \times 10^4 \, J$.

(A) આદર્શ વાયુના $n$ મોલની સરેરાશ ગતિ ઊર્જા $E = \frac{n f}{2} RT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f$ એ મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) છે.
એક આણ્વિય વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો $f = 3$ છે.
$1$ મોલ વાયુ માટે $(n = 1)$,સરેરાશ ગતિ ઊર્જા $E = \frac{1 \times 3}{2} RT = \frac{3}{2} RT$ થાય છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) આદર્શ વાયુ દ્વારા લાગતું દબાણ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $P = \frac{1}{3} \rho v_{rms}^2 = \frac{1}{3} \frac{M}{V} v_{rms}^2$.
અહીં $P \propto M \cdot v^2$,જ્યાં $M$ એ વાયુનું કુલ દળ છે અને $v$ એ સરેરાશ વર્ગિત વેગ (rms velocity) છે.
આપેલ છે: $M_2 = \frac{M_1}{2}$ અને $v_2 = 2v_1$.
તેથી,દબાણનો ગુણોત્તર: $\frac{P_2}{P_1} = \frac{M_2}{M_1} \left( \frac{v_2}{v_1} \right)^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{P_2}{P_0} = \left( \frac{M_1/2}{M_1} \right) \left( \frac{2v_1}{v_1} \right)^2 = \frac{1}{2} \times (2)^2 = \frac{1}{2} \times 4 = 2$.
આમ,$P_2 = 2P_0$.

(D) આદર્શ વાયુની કુલ આંતરિક ઊર્જા (સરેરાશ ગતિઊર્જા) માટેનું સૂત્ર $E = \frac{3}{2} PV$ છે.
આપેલ છે:
કદ $V = 20 \, L = 20 \times 10^{-3} \, m^3$.
કુલ ગતિઊર્જા $E = 1.5 \times 10^5 \, J$.
દબાણ $P$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$P = \frac{2E}{3V}$.
કિંમતો મૂકતા:
$P = \frac{2 \times (1.5 \times 10^5)}{3 \times (20 \times 10^{-3})}$.
$P = \frac{3 \times 10^5}{60 \times 10^{-3}} = \frac{3 \times 10^5}{6 \times 10^{-2}} = 0.5 \times 10^7 = 5 \times 10^6 \, N/m^2$.

(B) આદર્શ વાયુના $1$ મોલની ગતિ ઊર્જાનું સૂત્ર $K.E. = \frac{3}{2}RT$ છે.
અહીં,$R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$R = 8.314 \, J \cdot mol^{-1} \cdot K^{-1}$ (ગણતરીમાં સામાન્ય રીતે $8.3 \, J \cdot mol^{-1} \cdot K^{-1}$ લેવામાં આવે છે).
કેલ્વિનમાં તાપમાન $T = 27 + 273 = 300 \, K$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $K.E. = \frac{3}{2} \times 8.3 \times 300$.
$K.E. = 1.5 \times 8.3 \times 300 = 3735 \, J$.

(D) સિલિન્ડરનું કદ $V = 200 \ L = 200 \times 10^{-3} \ m^3 = 0.2 \ m^3$ છે.
કુલ સ્થાનાંતરિત ગતિ ઊર્જા $E_k = 1.52 \times 10^5 \ J$ આપેલ છે.
વાયુના ગતિવાદ મુજબ,દબાણ $P$ અને એકમ કદ દીઠ ગતિ ઊર્જા વચ્ચેનો સંબંધ $P = \frac{2}{3} \frac{E_k}{V}$ છે.
આ સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$P = \frac{2}{3} \times \frac{1.52 \times 10^5}{0.2}$.
$P = \frac{2}{3} \times 7.6 \times 10^5$.
$P \approx 5.06 \times 10^5 \ N \ m^{-2}$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,દબાણ $5 \times 10^5 \ N \ m^{-2}$ થાય છે.

(D) વાયુના અણુની સરેરાશ ગતિઊર્જા $K_{avg} = \frac{3}{2}kT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ કેલ્વિનમાં તાપમાન છે.
$1 \, V$ ના વિદ્યુત સ્થિતિમાનના તફાવત હેઠળ પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા મેળવેલી ઊર્જા $E = qV = 1 \, eV$ છે.
બંનેને સરખાવતા: $\frac{3}{2}kT = 1 \, eV$.
કિંમતો મૂકતા $e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$ અને $k = 1.38 \times 10^{-23} \, J/K$:
$T = \frac{2 \times 1.6 \times 10^{-19}}{3 \times 1.38 \times 10^{-23}} \, K$.
$T = \frac{3.2 \times 10^{-19}}{4.14 \times 10^{-23}} \, K \approx 0.7729 \times 10^4 \, K = 7.7 \times 10^3 \, K$.

(B) વાયુના અણુઓની સરેરાશ વર્ગિત ઝડપ (rms speed) નું સૂત્ર: $\upsilon_{rms} = \sqrt{\frac{3P}{\rho}} = \sqrt{\frac{3PV}{M}}$ છે,જ્યાં $P$ દબાણ છે,$V$ કદ છે અને $M$ વાયુનું કુલ દળ છે.
કદ $V$ અચળ હોવાથી,$\upsilon_{rms} \propto \sqrt{\frac{P}{M}}$ થાય.
ધારો કે પ્રારંભિક સ્થિતિ $(\upsilon_1, P_1, M_1) = (\upsilon, P_0, M)$ છે અને અંતિમ સ્થિતિ $(\upsilon_2, P_2, M_2) = (2\upsilon, P_2, M/2)$ છે.
પ્રમાણસરતાનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{\upsilon_1}{\upsilon_2} = \sqrt{\frac{P_1}{P_2} \times \frac{M_2}{M_1}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\upsilon}{2\upsilon} = \sqrt{\frac{P_0}{P_2} \times \frac{M/2}{M}}$.
$\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{P_0}{P_2} \times \frac{1}{2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{1}{4} = \frac{P_0}{P_2} \times \frac{1}{2}$.
$\frac{1}{4} = \frac{P_0}{2P_2} \Rightarrow 2P_2 = 4P_0 \Rightarrow P_2 = 2P_0$.

(C) વાયુના અણુની સરેરાશ ગતિઊર્જા માત્ર નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ પર આધાર રાખે છે અને તે $K_{avg} = \frac{3}{2} k_B T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને વાયુઓ સમાન તાપમાને હોવાથી,હાઈડ્રોજન અને ઓક્સિજન બંને માટે પ્રતિ અણુ સરેરાશ ગતિઊર્જા સમાન રહેશે.
ધારો કે હાઈડ્રોજનના અણુઓની સંખ્યા $N_H$ છે અને ઓક્સિજનના અણુઓની સંખ્યા $N_O$ છે. આપેલ છે કે $N_H = 2N_O$.
કુલ ગતિઊર્જા $E$ એ $E = N \times K_{avg}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,કુલ ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{E_H}{E_O} = \frac{N_H \times K_{avg}}{N_O \times K_{avg}} = \frac{N_H}{N_O}$ થાય.
$N_H = 2N_O$ મૂકતા,આપણને $\frac{E_H}{E_O} = \frac{2N_O}{N_O} = \frac{2}{1}$ મળે છે.
આમ,ગુણોત્તર $2 : 1$ છે.

(D) આદર્શ વાયુની સરેરાશ ગતિ ઊર્જા $(E)$ તેના નિરપેક્ષ તાપમાન $(T)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,જે સંબંધ $E = \frac{3}{2} k_B T$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
તેથી,ગતિ ઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{E_1}{E_2} = \frac{T_1}{T_2}$ થાય.
સેલ્સિયસમાં આપેલ તાપમાન: $T_1 = 27^{\circ}C$ અને $T_2 = 927^{\circ}C$.
કેલ્વિનમાં રૂપાંતર કરતા: $T_1 = 27 + 273 = 300 \ K$ અને $T_2 = 927 + 273 = 1200 \ K$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{E_1}{E_2} = \frac{300}{1200} = \frac{1}{4}$.
આમ,$E_2 = 4 E_1$,જેનો અર્થ છે કે ગતિ ઊર્જા પ્રારંભિક મૂલ્ય કરતા ચાર ગણી થશે.

(C) વાયુના $r.m.s.$ વેગનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3P}{\rho}}$ છે.
દબાણ $P$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,$P = \frac{\rho v_{rms}^2}{3}$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $P = \frac{8.99 \times 10^{-2} \times (1840)^2}{3}$.
$P = \frac{8.99 \times 10^{-2} \times 3385600}{3}$.
$P = \frac{304365.44}{3} \approx 101455.15 \ N/m^2$.
યોગ્ય સાર્થક અંકોમાં લેતા,$P \approx 1.01 \times 10^5 \ N/m^2$ મળે છે.

(A) આદર્શ વાયુની સરેરાશ ગતિ ઊર્જાનું સૂત્ર $E = \frac{3}{2}kT$ છે,જે દર્શાવે છે કે $E \propto T$.
પ્રથમ,તાપમાનને સેલ્સિયસમાંથી કેલ્વિનમાં ફેરવો:
$T_1 = 27 + 273 = 300 \ K$
$T_2 = 327 + 273 = 600 \ K$
$E \propto T$ ના સંબંધનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{E_2}{E_1} = \frac{T_2}{T_1}$
$\frac{E_2}{E_1} = \frac{600 \ K}{300 \ K} = 2$
તેથી,$E_2 = 2E_1$.

(C) તાપમાન $T = 127^{\circ}C = 273 + 127 = 400 \ K$ છે.
આર્ગોન એક પરમાણ્વિક વાયુ છે, તેથી તેની મુક્તિની માત્રા (degrees of freedom) $f = 3$ છે.
આદર્શ વાયુના $1$ મોલ માટે ગતિઊર્જાનું સૂત્ર $KE = \frac{f}{2} RT$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $KE = \frac{3}{2} \times 8.31 \times 400$.
$KE = 3 \times 8.31 \times 200 = 6 \times 831 = 4986 \ J$.

(D) આદર્શ વાયુના ગતિવાદના સિદ્ધાંત મુજબ દબાણ $P = \frac{1}{3} \frac{N m}{V} v_{rms}^2$ છે,જ્યાં $N$ એ અણુઓની સંખ્યા,$m$ એ દરેક અણુનું દળ,$V$ એ કદ અને $v_{rms}$ એ અણુઓની સરેરાશ ઝડપ છે.
અહીં આપેલ છે કે દરેક અણુનું દળ અડધું $(m' = m/2)$ અને ઝડપ બમણી $(v' = 2v)$ કરવામાં આવે છે.
નવું દબાણ $P'$ નીચે મુજબ મળે: $P' = \frac{1}{3} \frac{N m'}{V} (v')^2$.
નવા દબાણ અને પ્રારંભિક દબાણનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{P'}{P} = \frac{m'}{m} \times \frac{(v')^2}{v^2} = \frac{m/2}{m} \times \frac{(2v)^2}{v^2} = \frac{1}{2} \times 4 = 2$.
તેથી,$P' = 2P$.

(A) એક પરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f = 3$ છે.
દરેક અણુ દીઠ સરેરાશ ગતિઊર્જા $E_{avg} = \frac{f}{2}kT = \frac{3}{2}kT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$1$ મોલ વાયુ માટે,અણુઓની સંખ્યા એવોગેડ્રો આંક $N_A$ જેટલી હોય છે.
તેથી,$1$ મોલ માટે કુલ સરેરાશ ગતિઊર્જા $E = N_A \times \frac{3}{2}kT$ થાય.
જ્યાં $R = N_A k$ છે,જેમાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે અને $k$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે,તેથી આપણને $E = \frac{3}{2}RT$ મળે છે.

(A) એક મોલ આદર્શ વાયુની સરેરાશ ગતિઊર્જાનું સૂત્ર $E = \frac{3}{2} RT$ છે.
અહીં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે અને વાયુનો જથ્થો (એક મોલ) અચળ હોવાથી,ગતિઊર્જા $E$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(E \propto T)$.
તેથી,બે અલગ-અલગ તાપમાન $T$ અને $T'$ પર ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{E'}{E} = \frac{T'}{T}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $T = 300 \, K$ અને $T' = 400 \, K$,આ કિંમતોને ગુણોત્તરમાં મૂકતા:
$\frac{E'}{E} = \frac{400 \, K}{300 \, K} = \frac{4}{3} = 1.33$.

(D) સિલિન્ડરનું કદ $V = 20 \, L = 20 \times 10^{-3} \, m^3$ છે.
આદર્શ વાયુની કુલ સ્થાનાંતરિત ગતિ ઊર્જા $E$ નું સૂત્ર $E = \frac{3}{2} PV$ છે,જ્યાં $P$ એ દબાણ છે અને $V$ એ કદ છે.
અહીં $E = 1.5 \times 10^5 \, J$ અને $V = 20 \times 10^{-3} \, m^3$ આપેલ છે.
દબાણ $P$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$P = \frac{2E}{3V}$
કિંમતો મૂકતા:
$P = \frac{2 \times (1.5 \times 10^5)}{3 \times (20 \times 10^{-3})}$
$P = \frac{3 \times 10^5}{60 \times 10^{-3}}$
$P = \frac{3 \times 10^5}{6 \times 10^{-2}}$
$P = 0.5 \times 10^7 = 5 \times 10^6 \, N/m^2$.

(D) આપેલ છે: ગતિઊર્જા $E = 1.5 \times 10^5 \, J$ અને કદ $V = 20 \, L = 20 \times 10^{-3} \, m^3$.
આદર્શ વાયુ માટે દબાણ $P$,ગતિઊર્જા $E$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $P = \frac{2}{3} \frac{E}{V}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$P = \frac{2}{3} \left( \frac{1.5 \times 10^5}{20 \times 10^{-3}} \right)$
$P = \frac{2}{3} \times \frac{1.5}{20} \times 10^8$
$P = \frac{2}{3} \times 0.075 \times 10^8$
$P = 0.05 \times 10^8 = 5 \times 10^6 \, N/m^2$.

(A) આપેલ છે: કદ $V = 10^{-3} \ m^3$,અણુઓની સંખ્યા $N = 3.0 \times 10^{22}$,એક અણુનું દળ $m = 5.3 \times 10^{-26} \ kg$,$rms$ ઝડપ $v_{rms} = 400 \ m/s$.
આદર્શ વાયુ દ્વારા લાગતા દબાણનું સૂત્ર $P = \frac{1}{3} \frac{N m}{V} v_{rms}^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$P = \frac{1}{3} \times \frac{(3.0 \times 10^{22}) \times (5.3 \times 10^{-26})}{10^{-3}} \times (400)^2$
$P = \frac{1}{3} \times \frac{15.9 \times 10^{-4}}{10^{-3}} \times 160000$
$P = 5.3 \times 10^{-1} \times 160000$
$P = 0.53 \times 160000 = 84800 \ N/m^2 = 8.48 \times 10^4 \ N/m^2$.

(B) આદર્શ વાયુનું દબાણ ગતિવાદના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $P = \frac{1}{3} \frac{N m}{V} v_{rms}^2$.
આ સમીકરણ પરથી જોઈ શકાય છે કે $P \propto m \cdot v_{rms}^2$,જ્યાં $m$ એ અણુનું દળ છે અને $v_{rms}$ એ $rms$ ઝડપ છે.
ધારો કે પ્રારંભિક સ્થિતિ $P_1 = P_0$,$m_1 = m$,અને $v_{rms,1} = v$ છે.
અંતિમ સ્થિતિમાં,દળ અડધું $(m_2 = m/2)$ અને $rms$ ઝડપ બમણી $(v_{rms,2} = 2v)$ થાય છે.
દબાણનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{P_2}{P_1} = \frac{m_2}{m_1} \times \left( \frac{v_{rms,2}}{v_{rms,1}} \right)^2$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{P_2}{P_0} = \left( \frac{m/2}{m} \right) \times \left( \frac{2v}{v} \right)^2 = \frac{1}{2} \times (2)^2 = \frac{1}{2} \times 4 = 2$.
તેથી,નવું દબાણ $P_2 = 2P_0$ થશે.

(D) એક મોલ એકપરમાણ્વિક વાયુની ગતિઊર્જા $E$ શોધવાનું સૂત્ર $E = \frac{3}{2} RT$ છે.
અહીં,$R = 8.31 \, J/mol \cdot K$ અને તાપમાન $T = 0 \, ^\circ C = 273 \, K$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$E = \frac{3}{2} \times 8.31 \times 273$
$E = 1.5 \times 8.31 \times 273$
$E = 3402.845 \, J \approx 3.4 \times 10^3 \, J$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) વાયુના અણુની સરેરાશ ગતિઊર્જાનું સૂત્ર $K.E. = \frac{3}{2} k_B T$ છે,જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
સરેરાશ ગતિઊર્જા માત્ર તાપમાન $T$ પર આધાર રાખે છે અને વાયુના અણુઓના દળ પર આધાર રાખતી નથી,તેથી સમાન તાપમાને $N_2$ ની ગતિઊર્જા $O_2$ જેટલી જ રહેશે.
આપેલ છે કે $O_2$ ની સરેરાશ ગતિઊર્જા $0.048 \ eV$ છે,તેથી સમાન તાપમાને $N_2$ ની સરેરાશ ગતિઊર્જા પણ $0.048 \ eV$ થશે.

(B) આદર્શ વાયુની કુલ ગતિઊર્જા $E = \frac{3}{2} NkT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે કુલ ગતિઊર્જા અચળ રહે છે,તેથી $E_1 = E_2$.
સમીકરણો મૂકતા: $\frac{3}{2} N_1 k T_1 = \frac{3}{2} N_2 k T_2$.
અહીં $N_2 = 2N_1$ હોવાથી,$N_1 T_1 = (2N_1) T_2$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $T_2 = \frac{T_1}{2}$ મળે છે.
આદર્શ વાયુના નિયમ મુજબ,$PV = NkT$. બોક્સનું કદ $V$ અચળ હોવાથી,$P = \frac{NkT}{V}$ થાય.
તેથી,$P_2 = \frac{N_2 k T_2}{V} = \frac{(2N_1) k (T_1/2)}{V} = \frac{N_1 k T_1}{V} = P_1$.
આમ,નવું દબાણ $P_2 = P_1$ અને નવું તાપમાન $T_2 = \frac{T_1}{2}$ છે.

(C) વાયુના અણુની સરેરાશ ગતિઊર્જા $E$ એ $E = \frac{3}{2}kT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ કેલ્વિનમાં નિરપેક્ષ તાપમાન છે અને $k$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે.
કેમ કે $T = t + 273$,જ્યાં $t$ એ સેલ્સિયસમાં તાપમાન છે,આપણે લખી શકીએ:
$E = \frac{3}{2}k(t + 273)$
$E = \frac{3}{2}kt + \frac{3}{2}k(273)$
આ સમીકરણ સુરેખ સમીકરણ $y = mx + c$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $y = E$,$x = t$,$m = \frac{3}{2}k$ (ઢાળ),અને $c = \frac{3}{2}k(273)$ (y-અંતઃખંડ).
y-અંતઃખંડ $c$ ધન હોવાથી,આલેખ એક સીધી રેખા છે જે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી નથી પરંતુ y-અક્ષને ધન મૂલ્ય પર છેદે છે.
તેથી,સાચો આલેખ તે છે જ્યાં રેખા y-અક્ષ પરના ધન મૂલ્યથી શરૂ થાય છે.

(D) વાયુના અણુની સરેરાશ ગતિઊર્જા $E = \frac{3}{2}kT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
આના પરથી,આપણે બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંકને $k = \frac{2E}{3T}$ તરીકે લખી શકીએ.
એવોગ્રેડો અંક $N_A$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક $R$ અને બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક $k$ સાથે $R = N_A k$ સંબંધ ધરાવે છે,જેનો અર્થ છે કે $N_A = \frac{R}{k}$.
$N_A$ ના સમીકરણમાં $k$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $N_A = \frac{R}{(2E/3T)}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $N_A = \frac{3RT}{2E}$ મળે છે.

(B) આદર્શ વાયુનું દબાણ ગતિવાદના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $P = \frac{1}{3} \frac{N m}{V} v_{rms}^2$.
આ સમીકરણ પરથી આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $P \propto m v_{rms}^2$.
ધારો કે પ્રારંભિક દળ $m_1 = m$ અને પ્રારંભિક ઝડપ $v_1 = v$ છે.
અંતિમ દળ $m_2 = \frac{m}{2}$ અને અંતિમ ઝડપ $v_2 = 2v$ છે.
અંતિમ દબાણ $P_2$ અને પ્રારંભિક દબાણ $P_1 = P_0$ નો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{P_2}{P_1} = \frac{m_2}{m_1} \times \left( \frac{v_2}{v_1} \right)^2 = \left( \frac{m/2}{m} \right) \times \left( \frac{2v}{v} \right)^2$.
$\frac{P_2}{P_0} = \frac{1}{2} \times (2)^2 = \frac{1}{2} \times 4 = 2$.
તેથી,પરિણામી દબાણ $P_2 = 2P_0$ થશે.

(C) આદર્શ વાયુના અણુની સરેરાશ ગતિઊર્જાનું સૂત્ર $E = \frac{3}{2} k_B T$ છે,જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ કેલ્વિનમાં નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
સરેરાશ ગતિઊર્જા માત્ર નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ પર આધાર રાખતી હોવાથી,${O_2}$ અણુઓની સરેરાશ ગતિઊર્જા ${H_2}$ અણુઓની સરેરાશ ગતિઊર્જા જેટલી થવા માટે,બંનેના નિરપેક્ષ તાપમાન સમાન હોવા જોઈએ.
આપેલ છે કે ${H_2}$ નું તાપમાન $-73^\circ C$ છે,તેથી તેમની સરેરાશ ગતિઊર્જા સમાન રહે તે માટે ${O_2}$ નું તાપમાન પણ $-73^\circ C$ હોવું જોઈએ.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) ઉર્જા ઘનતા $E$ એ $300 \ J/litre$ તરીકે આપવામાં આવી છે.
કારણ કે $1 \ litre = 10^{-3} \ m^3$,તેથી $SI$ એકમમાં ઉર્જા ઘનતા $E = \frac{300 \ J}{10^{-3} \ m^3} = 300 \times 10^3 \ J/m^3$ થાય.
આદર્શ વાયુ માટે,દબાણ $P$ અને ઉર્જા ઘનતા $E$ વચ્ચેનો સંબંધ $P = \frac{2}{3}E$ છે.
$E$ ની કિંમત મૂકતા:
$P = \frac{2}{3} \times (300 \times 10^3) \ N/m^2$.
$P = 200 \times 10^3 \ N/m^2 = 2 \times 10^5 \ N/m^2$.

(D) વાયુઓના ગતિવાદ અનુસાર,વાયુના અણુઓની સરેરાશ સ્થાનાંતરીય ગતિઊર્જા $(K.E.)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$K.E. = \frac{3}{2} k_B T$
જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
આ સમીકરણ દર્શાવે છે કે સરેરાશ સ્થાનાંતરીય ગતિઊર્જા એ નિરપેક્ષ તાપમાનના સીધા પ્રમાણમાં છે $(K.E. \propto T)$.
તેથી,જેમ નિરપેક્ષ તાપમાન વધે છે,તેમ વાયુના અણુઓની સરેરાશ સ્થાનાંતરીય ગતિઊર્જા પણ વધે છે,પછી ભલે વાયુ એકપરમાણ્વીય હોય કે દ્વિપરમાણ્વીય.