Newton’s Law of Gravitation Questions in Hindi

(B) नहीं,किसी पिंड का जड़त्वीय द्रव्यमान और गुरुत्वीय द्रव्यमान एक-दूसरे के समान होते हैं। सामान्य सापेक्षता के 'Equivalence Principle' (तुल्यता के सिद्धांत) के अनुसार,जड़त्वीय द्रव्यमान (जो त्वरण के प्रति प्रतिरोध निर्धारित करता है) और गुरुत्वीय द्रव्यमान (जो गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में अनुभव किए गए बल को निर्धारित करता है) सभी वस्तुओं के लिए समान होते हैं।

(N/A) गुरुत्वाकर्षण नियतांक $G$ का मान प्रयोगात्मक रूप से निर्धारित किया जा सकता है,जिसे पहली बार $1798$ में कैवेंडिश द्वारा किया गया था। प्रयुक्त उपकरण को चित्र में योजनाबद्ध रूप से दिखाया गया है।
छड़ $AB$ के सिरों पर दो छोटे सीसे के गोले जुड़े होते हैं। छड़ को एक कठोर आधार से एक महीन तार द्वारा लटकाया जाता है।
दो बड़े सीसे के गोलों को छोटे गोलों के करीब लेकिन विपरीत दिशाओं में लाया जाता है। बड़े गोले पास के छोटे गोलों को समान और विपरीत बलों द्वारा आकर्षित करते हैं। छड़ पर कोई शुद्ध बल नहीं लगता है,लेकिन $F \times L$ के बराबर एक टॉर्क लगता है,जहाँ $F$ एक बड़े गोले और एक छोटे गोले के बीच आकर्षण बल है और $L$ छड़ की लंबाई है। परिणामस्वरूप,छड़ तार $OM$ के चारों ओर घूमती है। तार तब तक मुड़ता है जब तक कि तार का प्रत्यानयन टॉर्क (restoring torque) गुरुत्वाकर्षण टॉर्क के बराबर न हो जाए।
इस संतुलन स्थिति में,मरोड़ कोण $\theta$ को मापा जाता है। यदि $k$ तार का मरोड़ नियतांक (torsion constant) है,तो प्रत्यानयन टॉर्क $\tau = k\theta$ है।
प्रत्येक छोटे गोले पर गुरुत्वाकर्षण बल $F = \frac{GMm}{d^2}$ है,जहाँ $M$ बड़े गोले का द्रव्यमान है,$m$ छोटे गोले का द्रव्यमान है और $d$ उनके केंद्रों के बीच की दूरी है।
गुरुत्वाकर्षण टॉर्क $\tau_g = F \times L = \frac{GMm}{d^2} L$ है।
संतुलन पर,$\tau_g = \tau$,इसलिए $\frac{GMm}{d^2} L = k\theta$ है।
अतः,$G = \frac{k\theta d^2}{MLm}$ प्राप्त होता है।

(A) $M$ और $m$ द्रव्यमान वाले दो पिंडों के बीच $r$ दूरी पर लगने वाला गुरुत्वाकर्षण बल न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार $F = G \frac{Mm}{r^2}$ होता है।
जैसे-जैसे दूरी $r$ अनंत की ओर बढ़ती है $(r \to \infty)$,हर $r^2$ अनंत रूप से बड़ा हो जाता है।
इसलिए,बल $F = G \frac{Mm}{r^2}$ शून्य की ओर अग्रसर होता है।
अतः,पृथ्वी से अनंत दूरी पर किसी पिंड पर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल शून्य होता है।

(N/A) न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार,दो द्रव्यमानों के बीच लगने वाला बल $F = \frac{G m_{1} m_{2}}{r^{2}}$ द्वारा दिया जाता है।
यदि हम $m_{1} = 1 \ kg$,$m_{2} = 1 \ kg$ और $r = 1 \ m$ लें,तो $F = G$ प्राप्त होता है।
अतः,इकाई द्रव्यमान वाली दो वस्तुओं को इकाई दूरी पर रखने पर उनके बीच लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल को सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक कहा जाता है।

(A) $G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक (Universal Gravitational Constant) है।
इसका मान ब्रह्मांड में किसी भी स्थान और किसी भी समय पर समान रहता है।
इसलिए,चंद्रमा पर भी $G$ का मान $6.67 \times 10^{-11} \ Nm^2/kg^2$ ही होगा।

(B) दो वस्तुओं के बीच गुरुत्वाकर्षण बल $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यह सूत्र दर्शाता है कि गुरुत्वाकर्षण बल केवल वस्तुओं के द्रव्यमान और उनके बीच की दूरी पर निर्भर करता है।
यह इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि वस्तुएं किस माध्यम में रखी गई हैं।
इसलिए,हवा और पानी में गुरुत्वाकर्षण बल समान रहता है।
अतः,हवा में बल और पानी में बल का अनुपात $1:1$ है।

(N/A) प्रत्येक गोले का द्रव्यमान $m$,घनत्व $\rho$ और त्रिज्या $r$ के पदों में $m = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
संपर्क में रखे गए दो गोलों के केंद्रों के बीच की दूरी $d = r + r = 2r$ है।
न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार,बल $F = \frac{G m_1 m_2}{d^2}$ होता है।
मान रखने पर,$F = \frac{G (\frac{4}{3} \pi r^3 \rho) (\frac{4}{3} \pi r^3 \rho)}{(2r)^2}$.
$F = \frac{G \cdot \frac{16}{9} \pi^2 r^6 \rho^2}{4r^2}$.
$F = (\frac{4}{9} \pi^2 \rho^2 G) r^4$.
चूंकि $\frac{4}{9} \pi^2 \rho^2 G$ एक स्थिरांक है,इसलिए $F \propto r^4$ सिद्ध होता है।

(B) न्यूटन के सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार,दो पिंडों के बीच का बल $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
यह बल दोनों पिंडों के द्रव्यमान के गुणनफल $(m_1 m_2)$ पर निर्भर करता है।
न्यूटन की गति के तीसरे नियम के अनुसार,पृथ्वी चंद्रमा पर जितना बल लगाती है,चंद्रमा भी पृथ्वी पर उतना ही बल लगाता है।
इसलिए,चंद्रमा द्वारा पृथ्वी पर लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल,पृथ्वी द्वारा चंद्रमा पर लगाए गए गुरुत्वाकर्षण बल के बराबर होता है।

(B) न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$F = ma$,या $a = F/m$ होता है।
चूंकि पृथ्वी द्वारा सेब पर और सेब द्वारा पृथ्वी पर लगाया गया बल $F$ परिमाण में समान है,इसलिए उत्पन्न त्वरण वस्तु के द्रव्यमान के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
पृथ्वी का द्रव्यमान $(M)$ सेब के द्रव्यमान $(m)$ की तुलना में अत्यंत विशाल है।
इसलिए,पृथ्वी का त्वरण $(a_E = F/M)$ इतना सूक्ष्म है कि यह व्यावहारिक रूप से पता लगाने योग्य नहीं है,जबकि सेब का त्वरण $(a_a = F/m)$ महत्वपूर्ण होता है,जिसके कारण वह पृथ्वी की ओर गिरता है।

(C) न्यूटन के सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार,बल $F$ का सूत्र $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$ है।
चूंकि गुरुत्वाकर्षण नियतांक $G$ अत्यंत छोटा $(6.67 \times 10^{-11} \ N \ m^2/kg^2)$ है,इसलिए छोटे द्रव्यमान $m_1$ और $m_2$ वाले दो सामान्य पिंडों के बीच का बल $F$ नगण्य होता है।
चूंकि यह बल बहुत कमजोर होता है,इसलिए यह घर्षण या वायु प्रतिरोध जैसे अन्य बलों को दूर करने के लिए अपर्याप्त है,और यह एक-दूसरे की ओर दृश्य त्वरण उत्पन्न करने के लिए पर्याप्त शक्तिशाली नहीं है।

(A) न्यूटन के सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार,$m_1$ और $m_2$ द्रव्यमान वाली दो वस्तुओं के बीच $r$ दूरी पर लगने वाला बल $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
इसका अर्थ है कि $F \propto \frac{1}{r^2}$।
मान लीजिए कि प्रारंभिक बल $F_1 = 1 \ N$ है जब दूरी $r_1 = r$ है।
जब दूरी दोगुनी कर दी जाती है,तो $r_2 = 2r$ हो जाता है।
नया बल $F_2$ अनुपात द्वारा प्राप्त होता है: $\frac{F_2}{F_1} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2$।
मान रखने पर: $\frac{F_2}{1} = \left(\frac{r}{2r}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$।
अतः,$F_2 = \frac{1}{4} \ N = 0.25 \ N$।

(A) दो वस्तुओं के बीच गुरुत्वाकर्षण बल का सूत्र $F = \frac{G m_1 m_2}{r^2}$ है।
दिया गया है: $m_1 = 1\,kg$,$m_2 = 1\,kg$,$r = 10\,cm = 0.1\,m = 10^{-1}\,m$,और $G = 6.67 \times 10^{-11}\,N\cdot m^2/kg^2$.
सूत्र में मान रखने पर:
$F = \frac{(6.67 \times 10^{-11}) \times (1) \times (1)}{(10^{-1})^2}$
$F = \frac{6.67 \times 10^{-11}}{10^{-2}}$
$F = 6.67 \times 10^{-9}\,N$.

(B) न्यूटन के सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार,सूर्य द्वारा किसी ग्रह पर लगाया गया बल $F = \frac{G M m}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $M$ सूर्य का द्रव्यमान है,$m$ ग्रह का द्रव्यमान है,और $r$ उनके बीच की दूरी है।
मान लीजिए $m_e$ और $m_p$ पृथ्वी और प्लूटो के द्रव्यमान हैं,और $r_e$ और $r_p$ सूर्य से उनकी दूरियाँ हैं।
दिया गया है कि $m_e = m_p$ और $r_p = 40 r_e$ है।
पृथ्वी पर गुरुत्वाकर्षण बल $F_e = \frac{G M m_e}{r_e^2}$ है।
प्लूटो पर गुरुत्वाकर्षण बल $F_p = \frac{G M m_p}{r_p^2}$ है।
बलों का अनुपात $\frac{F_e}{F_p} = \frac{G M m_e / r_e^2}{G M m_p / r_p^2} = \frac{r_p^2}{r_e^2}$ है।
$r_p = 40 r_e$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{F_e}{F_p} = \frac{(40 r_e)^2}{r_e^2} = 40^2 = 1600$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $1600: 1$ है।

(A) व्युत्क्रम वर्ग नियम के अनुसार,$A$ और $B$ के बीच गुरुत्वाकर्षण बल इस प्रकार है:
$F = G \frac{m_A m_B}{r^2}$
वस्तु $A$ का त्वरण $a_A = \frac{F}{m_A} = \frac{G m_B}{r^2}$ ... $(1)$
दूसरे मामले के लिए,जहाँ बल दूरी की चौथी घात के व्युत्क्रमानुपाती है:
$F' = G \frac{m_A m_B}{r^4}$
वस्तु $A$ का नया त्वरण $a_A' = \frac{F'}{m_A} = \frac{G m_B}{r^4}$
समीकरण $(1)$ के मान को नए त्वरण के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$a_A' = \frac{1}{r^2} \left( \frac{G m_B}{r^2} \right) = \frac{a_A}{r^2}$
अतः,वस्तु $A$ का त्वरण $\frac{a_A}{r^2}$ होगा।

(C) दो बिंदु द्रव्यमानों के बीच गुरुत्वाकर्षण बल न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम द्वारा दिया जाता है: $F = \frac{G m_1 m_2}{r^2}$.
यह सूत्र दर्शाता है कि गुरुत्वाकर्षण बल केवल द्रव्यमानों $(m_1, m_2)$ और उनके बीच की दूरी $(r)$ पर निर्भर करता है।
यह द्रव्यमानों के बीच मौजूद माध्यम पर निर्भर नहीं करता है।
इसलिए,जब द्रव्यमानों को पानी में डुबोया जाता है और उनके बीच की दूरी को स्थिर रखा जाता है,तो गुरुत्वाकर्षण बल अपरिवर्तित रहता है।

(N/A) नहीं,हम किसी पिंड को गुरुत्वाकर्षण प्रभाव से परिरक्षित नहीं कर सकते हैं।
गुरुत्वाकर्षण बल एक मौलिक अन्योन्यक्रिया है जो ब्रह्मांड में किन्हीं भी दो द्रव्यमानों के बीच कार्य करती है।
विद्युत क्षेत्रों के विपरीत,जिन्हें एक चालक के अंदर आवेश रखकर परिरक्षित किया जा सकता है (जहाँ आवेश के पुनर्वितरण के कारण आंतरिक क्षेत्र शून्य हो जाता है),गुरुत्वाकर्षण क्षेत्रों को परिरक्षित नहीं किया जा सकता है।
'गुरुत्वाकर्षण कुचालक' जैसी कोई वस्तु नहीं है या ऐसा कोई पदार्थ नहीं है जो गुरुत्वाकर्षण फ्लक्स को रोक सके।
गुरुत्वाकर्षण बल केवल दो पिंडों के द्रव्यमान और उनके बीच की दूरी पर निर्भर करता है,जैसा कि न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम द्वारा दिया गया है: $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$।
इसलिए,किसी पिंड को खोखले गोले के अंदर रखने से बाहरी पदार्थ द्वारा लगाया गया गुरुत्वाकर्षण खिंचाव समाप्त नहीं होता है।

(N/A) गुरुत्वाकर्षण के लिए कोश प्रमेय (shell theorem) के अनुसार:
$1$. जब बिंदु द्रव्यमान $m$ खोखले गोलाकार कोश के बाहर स्थित होता है $(r \geq R)$,तो कोश ऐसे व्यवहार करता है जैसे उसका पूरा द्रव्यमान $M$ उसके केंद्र पर केंद्रित हो। अतः,गुरुत्वाकर्षण बल $F = \frac{GMm}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$2$. जब बिंदु द्रव्यमान $m$ खोखले गोलाकार कोश के अंदर स्थित होता है $(r < R)$,तो कोश द्वारा बिंदु द्रव्यमान पर लगाया गया कुल गुरुत्वाकर्षण बल शून्य होता है,क्योंकि कोश के विभिन्न भागों द्वारा उत्पन्न गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र एक-दूसरे के प्रभाव को निरस्त कर देते हैं। अतः,$F = 0$ है।
$F$ बनाम $r$ का ग्राफ $0 \leq r < R$ के लिए शून्य है और $r \geq R$ के लिए व्युत्क्रम-वर्ग नियम $(F \propto 1/r^2)$ का पालन करता है।

(N/A) मान लीजिए कि नियमित षट्भुज के शीर्ष $A, B, C, D, E, F$ क्रम में हैं। शीर्ष $A$ पर स्थित द्रव्यमान पर विचार करें। अन्य पांच द्रव्यमानों के कारण उस पर लगने वाले बल हैं:
$1$. $B$ पर स्थित द्रव्यमान के कारण बल: $F_1 = \frac{Gm^2}{l^2}$,$\vec{AB}$ की दिशा में।
$2$. $F$ पर स्थित द्रव्यमान के कारण बल: $F_5 = \frac{Gm^2}{l^2}$,$\vec{AF}$ की दिशा में।
$3$. $C$ पर स्थित द्रव्यमान के कारण बल: $F_2 = \frac{Gm^2}{(AC)^2} = \frac{Gm^2}{3l^2}$,$\vec{AC}$ की दिशा में।
$4$. $E$ पर स्थित द्रव्यमान के कारण बल: $F_4 = \frac{Gm^2}{(AE)^2} = \frac{Gm^2}{3l^2}$,$\vec{AE}$ की दिशा में।
$5$. $D$ पर स्थित द्रव्यमान के कारण बल: $F_3 = \frac{Gm^2}{(AD)^2} = \frac{Gm^2}{4l^2}$,$\vec{AD}$ की दिशा में।
सममिति के कारण,विकर्ण $AD$ के लंबवत $F_1$ और $F_5$ के घटक एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं। $AD$ की दिशा में उनके घटक $F_1 \cos 30^{\circ} + F_5 \cos 30^{\circ} = 2 \cdot \frac{Gm^2}{l^2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}Gm^2}{l^2}$ हैं।
इसी प्रकार,$AD$ के लंबवत $F_2$ और $F_4$ के घटक निरस्त हो जाते हैं। $AD$ की दिशा में उनके घटक $F_2 \cos 30^{\circ} + F_4 \cos 30^{\circ} = 2 \cdot \frac{Gm^2}{3l^2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{Gm^2}{\sqrt{3}l^2}$ हैं।
बल $F_3$ पहले से ही $AD$ की दिशा में है।
कुल बल $F_{net} = \frac{\sqrt{3}Gm^2}{l^2} + \frac{Gm^2}{\sqrt{3}l^2} + \frac{Gm^2}{4l^2} = \frac{Gm^2}{l^2} (\frac{16+\sqrt{3}}{4\sqrt{3}})$।

(C) न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार,$r$ दूरी पर स्थित $m$ द्रव्यमान वाली दो वस्तुओं के बीच प्रारंभिक बल $F = \frac{Gm^2}{r^2}$ है।
जब एक वस्तु का एक-तिहाई द्रव्यमान दूसरी वस्तु में स्थानांतरित किया जाता है,तो नए द्रव्यमान $m_1 = m - \frac{1}{3}m = \frac{2}{3}m$ और $m_2 = m + \frac{1}{3}m = \frac{4}{3}m$ हो जाते हैं।
नया गुरुत्वाकर्षण बल $F^{\prime} = \frac{G m_1 m_2}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
नए द्रव्यमानों का मान रखने पर: $F^{\prime} = \frac{G (\frac{2}{3}m) (\frac{4}{3}m)}{r^2} = \frac{8}{9} \frac{Gm^2}{r^2}$।
चूंकि $F = \frac{Gm^2}{r^2}$,इसलिए हमें $F^{\prime} = \frac{8}{9}F$ प्राप्त होता है।

(C) प्रारंभिक गुरुत्वाकर्षण बल $F = \frac{GMm}{R^2}$ द्वारा दिया जाता है।
जब द्रव्यमान तीन गुना $(M' = 3M, m' = 3m)$ और दूरी दोगुनी $(R' = 2R)$ कर दी जाती है,तो नया बल $F'$ होगा:
$F' = \frac{G(3M)(3m)}{(2R)^2} = \frac{9GMm}{4R^2} = 2.25F$।
बल में परिवर्तन $\Delta F = F' - F = 2.25F - F = 1.25F$ है।
प्रतिशत वृद्धि $\frac{\Delta F}{F} \times 100\% = 1.25 \times 100\% = 125\%$ है।

(C) मान लीजिए कि $3x$ द्रव्यमान वाली वस्तु से $2x$ द्रव्यमान वाली वस्तु में $y$ द्रव्यमान स्थानांतरित किया जाता है।
स्थानांतरण के बाद,नए द्रव्यमान $(3x - y)$ और $(2x + y)$ होंगे।
उनके बीच गुरुत्वाकर्षण बल $F' = \frac{G(3x - y)(2x + y)}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
बल को अधिकतम करने के लिए,हम $F'$ का $y$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{dF'}{dy} = \frac{G}{r^2} \frac{d}{dy} [6x^2 + 3xy - 2xy - y^2] = 0$.
$\frac{G}{r^2} [3x - 2x - 2y] = 0$.
$x - 2y = 0$.
$y = \frac{x}{2}$.
अतः,स्थानांतरित किया जाने वाला द्रव्यमान $\frac{x}{2}$ है।

(A) $M$ द्रव्यमान वाले आंतरिक समान गोले के कारण बिंदु द्रव्यमान $m$ पर लगने वाला गुरुत्वाकर्षण बल न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार $F_1 = \frac{G M m}{x^2}$ है,जो केंद्र की ओर कार्य करता है।
$M$ द्रव्यमान और $2R$ त्रिज्या वाले बाहरी गोलीय कोश के कारण बिंदु द्रव्यमान $m$ पर लगने वाला गुरुत्वाकर्षण बल शून्य है। इसका कारण यह है कि,शेल प्रमेय (shell theorem) के अनुसार,एक समान गोलीय कोश के अंदर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र हर जगह शून्य होता है,क्योंकि कोश के विभिन्न हिस्सों द्वारा बिंदु द्रव्यमान पर लगाए गए गुरुत्वाकर्षण बल एक-दूसरे को पूरी तरह से निरस्त कर देते हैं।
इसलिए,कण पर लगने वाला कुल गुरुत्वाकर्षण बल $F_{net} = F_1 + 0 = \frac{G M m}{x^2}$ है।

(D) सही विकल्प $D$ है।
गुरुत्वाकर्षण नियतांक,जिसे $G$ द्वारा दर्शाया जाता है,एक सार्वत्रिक नियतांक है।
यह पिंडों के आकार,उनके गुरुत्वीय द्रव्यमान,उनके बीच की दूरी या उस माध्यम से स्वतंत्र है जिसमें उन्हें रखा गया है।
इसलिए,यह विकल्प $A$,$B$ या $C$ में उल्लिखित किसी भी कारक पर निर्भर नहीं करता है।

(B) गुरुत्वाकर्षण की घटना ब्रह्मांड में किन्हीं भी दो पिंडों के बीच कार्य करने वाला एक सार्वत्रिक आकर्षण बल है,चाहे उनका आकार,माप या द्रव्यमान कुछ भी हो।
हालाँकि न्यूटन का गुरुत्वाकर्षण का नियम विशेष रूप से बिंदु द्रव्यमानों के लिए व्युत्पन्न किया गया है,लेकिन इसे किसी भी मनमाने आकार के पिंडों के लिए भी विस्तारित किया जा सकता है। इसके लिए पिंड को बिंदु द्रव्यमानों के एक समूह के रूप में माना जाता है और प्रत्येक सूक्ष्म तत्व पर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बलों का समाकलन किया जाता है।
अतः,गुरुत्वाकर्षण किसी भी मनमाने आकार के द्रव्यमानों के बीच परस्पर क्रिया की घटना है।

(C) मान लीजिए कि तीसरे बिंदु द्रव्यमान $m_0$ को $m$ द्रव्यमान से $r$ दूरी पर रखा गया है। तब $4m$ द्रव्यमान से इसकी दूरी $(d-r)$ होगी।
$m$ द्रव्यमान के कारण $m_0$ पर लगने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $F_1 = \frac{G m m_0}{r^2}$ है।
$4m$ द्रव्यमान के कारण $m_0$ पर लगने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $F_2 = \frac{G (4m) m_0}{(d-r)^2}$ है।
$m_0$ पर कुल गुरुत्वाकर्षण बल शून्य होने के लिए,इन बलों का परिमाण समान होना चाहिए:
$F_1 = F_2$
$\frac{G m m_0}{r^2} = \frac{4 G m m_0}{(d-r)^2}$
$\frac{1}{r^2} = \frac{4}{(d-r)^2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{1}{r} = \frac{2}{d-r}$
$d - r = 2r$
$d = 3r$
$r = \frac{d}{3}$
अतः,$m$ द्रव्यमान से उस बिंदु की दूरी $\frac{d}{3}$ है।

(B) मान लीजिए $F_1, F_2, F_4, F_8, \dots$ क्रमशः $x = 1, 2, 4, 8, \dots$ पर स्थित द्रव्यमान $m$ द्वारा मूल बिंदु पर स्थित द्रव्यमान पर लगाए गए गुरुत्वाकर्षण बल हैं।
न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम $F = \frac{G m_1 m_2}{r^2}$ का उपयोग करते हुए,बल इस प्रकार हैं:
$F_1 = \frac{G m^2}{1^2} = G m^2$
$F_2 = \frac{G m^2}{2^2} = \frac{G m^2}{4}$
$F_4 = \frac{G m^2}{4^2} = \frac{G m^2}{16}$
$F_8 = \frac{G m^2}{8^2} = \frac{G m^2}{64}$
कुल बल $F_{total}$ इन बलों का योग है:
$F_{total} = G m^2 \left( 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{64} + \dots \right)$
कोष्ठक में दिया गया पद एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी ($G$.$P$.) है,जिसका प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{4}$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1 - r}$ द्वारा दिया जाता है।
$S = \frac{1}{1 - 1/4} = \frac{1}{3/4} = \frac{4}{3}$.
अतः,$F_{total} = G m^2 \left( \frac{4}{3} \right) = \frac{4}{3} G m^2$.

(D) कण $B$ द्वारा कण $A$ पर लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल $F = \frac{G m^2}{L^2}$ है,जो $B$ की दिशा में कार्य करता है।
इसी प्रकार,कण $C$ द्वारा कण $A$ पर लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल $F = \frac{G m^2}{L^2}$ है,जो $C$ की दिशा में कार्य करता है।
चूंकि त्रिभुज समबाहु है,इसलिए इन दो बलों के बीच का कोण $60^{\circ}$ है।
कण $A$ पर परिणामी बल $F_{\text{net}}$ सदिश योग द्वारा दिया जाता है:
$F_{\text{net}} = \sqrt{F^2 + F^2 + 2 F^2 \cos 60^{\circ}} = \sqrt{2 F^2 + 2 F^2 (0.5)} = \sqrt{3 F^2} = \sqrt{3} F$
$F = \frac{G m^2}{L^2}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $F_{\text{net}} = \sqrt{3} \frac{G m^2}{L^2}$ प्राप्त होता है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,कण $A$ का त्वरण $a = \frac{F_{\text{net}}}{m}$ है।
$a = \frac{\sqrt{3} G m^2}{L^2 m} = \sqrt{3} \frac{G m}{L^2}$.

(A) गुरुत्वाकर्षण बल एक संरक्षी बल है।
परिभाषा के अनुसार,दो बिंदुओं के बीच किसी वस्तु को ले जाने में संरक्षी बल द्वारा किया गया कार्य लिए गए पथ पर निर्भर नहीं करता है।
यह केवल वस्तु की प्रारंभिक और अंतिम स्थितियों पर निर्भर करता है।
चूंकि तीनों रास्ते बिंदु $A$ से शुरू होते हैं और बिंदु $B$ पर समाप्त होते हैं,इसलिए प्रत्येक रास्ते पर गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा किया गया कार्य समान होना चाहिए।
अतः,$W_1 = W_2 = W_3$।

(C) दो कणों के बीच गुरुत्वाकर्षण बल वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल के रूप में कार्य करता है।
दोनों कणों के बीच की दूरी $r = 2a$ है।
गुरुत्वाकर्षण बल $F = \frac{G m m}{(2a)^2} = \frac{G m^2}{4a^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$m$ द्रव्यमान के कण के लिए $a$ त्रिज्या के वृत्त में $\omega$ कोणीय चाल से घूमने के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल $F_c = m \omega^2 a$ है।
दोनों बलों को बराबर करने पर: $\frac{G m^2}{4a^2} = m \omega^2 a$.
$\omega^2 = \frac{G m}{4 a^3}$.
अतः,कोणीय चाल $\omega = \sqrt{\frac{G m}{4 a^3}}$ होगी।

(B) मान लीजिए वर्ग की भुजा की लंबाई $a$ है। एक कोने पर स्थित द्रव्यमान पर विचार करें। यह अन्य तीन द्रव्यमानों से गुरुत्वाकर्षण बल का अनुभव करता है।
दो द्रव्यमान $a$ दूरी पर (निकटवर्ती कोनों) हैं,और एक द्रव्यमान $\sqrt{2}a$ दूरी पर (विपरीत कोने) है।
दो निकटवर्ती द्रव्यमानों द्वारा बल $F = \frac{Gm^2}{a^2}$ है,जो $90^\circ$ के कोण पर कार्य करते हैं। उनका परिणामी बल $\sqrt{F^2 + F^2} = \sqrt{2}F = \sqrt{2} \frac{Gm^2}{a^2}$ है।
विपरीत द्रव्यमान द्वारा बल $F' = \frac{Gm^2}{(\sqrt{2}a)^2} = \frac{Gm^2}{2a^2}$ है।
ये दोनों बल वर्ग के विकर्ण के अनुदिश कार्य करते हैं,इसलिए कुल बल:
$F_{\text{net}} = \sqrt{2} \frac{Gm^2}{a^2} + \frac{Gm^2}{2a^2} = \frac{Gm^2}{a^2} \left( \sqrt{2} + \frac{1}{2} \right) = \frac{Gm^2}{a^2} \left( \frac{2\sqrt{2} + 1}{2} \right)$.
दिया गया है कि $F_{\text{net}} = \left( \frac{2\sqrt{2} + 1}{32} \right) \frac{Gm^2}{L^2}$,इसलिए हम दोनों व्यंजकों की तुलना करते हैं:
$\frac{Gm^2}{a^2} \left( \frac{2\sqrt{2} + 1}{2} \right) = \left( \frac{2\sqrt{2} + 1}{32} \right) \frac{Gm^2}{L^2}$.
$\frac{1}{2a^2} = \frac{1}{32L^2} \implies a^2 = 16L^2 \implies a = 4L$.

(D) मान लीजिए कि समबाहु त्रिभुज के शीर्ष $P, Q,$ और $R$ हैं। द्रव्यमान $m_2$ को बिंदु $S$ पर रखा गया है,जो भुजा $QR$ का मध्य बिंदु है।
$Q$ और $R$ पर स्थित द्रव्यमानों द्वारा $S$ पर स्थित $m_2$ पर लगाए गए गुरुत्वाकर्षण बल परिमाण में समान और दिशा में विपरीत हैं क्योंकि $S, QR$ का मध्य बिंदु है। अतः,ये दोनों बल एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं।
$m_2$ पर लगने वाला कुल बल केवल शीर्ष $P$ पर स्थित द्रव्यमान $m_1$ के कारण है।
$\triangle PQS$ में,भुजा $PQ = \frac{L}{3}$ और $\angle PQS = 60^{\circ}$ है। दूरी $h$ (शीर्ष $P$ से $QR$ पर लंब) $h = PQ \sin 60^{\circ} = \frac{L}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{L\sqrt{3}}{6}$ द्वारा दी जाती है।
$P$ पर स्थित $m_1$ के कारण $m_2$ पर लगने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $F$ है:
$F = \frac{G m_1 m_2}{h^2} = \frac{G m_1 m_2}{(\frac{L\sqrt{3}}{6})^2} = \frac{G m_1 m_2}{\frac{3L^2}{36}} = \frac{G m_1 m_2}{\frac{L^2}{12}} = \frac{12 G m_1 m_2}{L^2}$.

(B) $M$ द्रव्यमान वाले और $d$ दूरी पर स्थित दो गोलों के बीच गुरुत्वाकर्षण बल $F = \frac{GM^2}{d^2}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि गोले संपर्क में हैं,उनके केंद्रों के बीच की दूरी $d = 2R$ है।
अतः,$F = \frac{GM^2}{(2R)^2} = \frac{GM^2}{4R^2}$।
प्रत्येक गोले का द्रव्यमान $M = \text{घनत्व} \times \text{आयतन} = \rho \times \frac{4}{3} \pi R^3$ द्वारा प्राप्त होता है।
$M$ का मान बल के समीकरण में रखने पर:
$F = \frac{G}{4R^2} \left( \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3 \right)^2$
$F = \frac{G}{4R^2} \cdot \rho^2 \cdot \frac{16}{9} \pi^2 R^6$
$F = \frac{4}{9} G \pi^2 R^4 \rho^2$
इसलिए,$F \propto R^4 \rho^2$।

(B) $m$ द्रव्यमान वाले दो पिंडों के बीच गुरुत्वाकर्षण बल $F = \frac{G m^2}{d^2}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि गोले संपर्क में हैं,उनके केंद्रों के बीच की दूरी $d = R + R = 2R$ है।
घनत्व $\rho$ वाले प्रत्येक गोले का द्रव्यमान $m = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho$ है।
इन मानों को बल के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$F = \frac{G (\frac{4}{3} \pi R^3 \rho)^2}{(2R)^2}$
$F = \frac{G \times \frac{16}{9} \pi^2 R^6 \rho^2}{4 R^2}$
$F = \frac{4}{9} G \pi^2 \rho^2 R^4$
चूंकि $G$,$\pi$,और $\rho$ स्थिरांक हैं,इसलिए $F \propto R^4$ है।
अतः,$x = 4$।

(A) मान लीजिए कि समबाहु त्रिभुज के शीर्ष $A, B,$ और $C$ हैं। मान लीजिए कि $m_{2}$ द्रव्यमान को भुजा $BC$ के मध्य बिंदु $D$ पर रखा गया है।
$B$ और $C$ पर स्थित $m_{1}$ द्रव्यमानों के कारण $m_{2}$ पर लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल परिमाण में समान और दिशा में विपरीत हैं,इसलिए वे एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं।
बिंदु $D$ की शीर्ष $A$ से दूरी समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई $h$ है।
समकोण त्रिभुज $ABD$ में,कर्ण $AB = \frac{L}{3}$ और $\angle BAD = 30^{\circ}$ है।
अतः,$h = AB \cos 30^{\circ} = \frac{L}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{L}{2\sqrt{3}}$.
$m_{2}$ पर लगने वाला कुल बल $A$ पर स्थित $m_{1}$ द्रव्यमान के कारण लगने वाला बल है:
$F = G \frac{m_{1} m_{2}}{h^{2}} = G \frac{m_{1} m_{2}}{\left(\frac{L}{2\sqrt{3}}\right)^{2}} = G \frac{m_{1} m_{2}}{\frac{L^{2}}{12}} = \frac{12 G m_{1} m_{2}}{L^{2}}$.

(B) गुरुत्वाकर्षण बल $F = \frac{G M m}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{F}{m} = \frac{G M}{r^2}$ है।
अतः,अनुपात $\frac{G}{g}$ को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:
$\frac{G}{g} = \frac{G}{\frac{G M}{r^2}} = \frac{r^2}{M}$.
$r$ का मात्रक $m$ (मीटर) है और $M$ का मात्रक $kg$ (किलोग्राम) है।
इस प्रकार,$\frac{G}{g}$ का $SI$ मात्रक $\frac{m^2}{kg}$ है।

(B) दो द्रव्यमानों के बीच गुरुत्वाकर्षण बल $F = \frac{G m_1 m_2}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $m_A = m_B = 8 \,kg$, $m_G = 2 \,kg$, और $AG = BG = 1 \,m$।
$A$ पर स्थित द्रव्यमान द्वारा $G$ पर स्थित द्रव्यमान पर लगाया गया बल $F_A = \frac{G \times 8 \times 2}{1^2} = 16G$ है।
$B$ पर स्थित द्रव्यमान द्वारा $G$ पर स्थित द्रव्यमान पर लगाया गया बल $F_B = \frac{G \times 8 \times 2}{1^2} = 16G$ है।
$F_A$ और $F_B$ के बीच का कोण $120^{\circ}$ है।
परिणामी बल $F_{AB} = \sqrt{F_A^2 + F_B^2 + 2 F_A F_B \cos 120^{\circ}}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $F_A = F_B = 16G$, इसलिए $F_{AB} = \sqrt{(16G)^2 + (16G)^2 + 2(16G)(16G)(-0.5)} = 16G$।
यह परिणामी बल $F_{AB}$ रेखा $GC$ के अनुदिश $C$ की ओर कार्य करता है।
$2 \,kg$ के पिंड पर नेट बल को शून्य करने के लिए, $4 \,kg$ द्रव्यमान के चौथे पिंड को $GC$ रेखा पर $G$ से $x$ दूरी पर इस प्रकार रखा जाना चाहिए कि इसके द्वारा लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल $F_C$, $F_{AB}$ को संतुलित करे।
$F_C = \frac{G \times 4 \times 2}{x^2} = 16G$।
$\frac{8G}{x^2} = 16G \Rightarrow x^2 = \frac{8}{16} = 0.5$।
$x = \frac{1}{\sqrt{2}} \,m$।
अतः, चौथे पिंड को $CG$ रेखा पर बिंदु $P$ पर इस प्रकार रखा जाना चाहिए कि $PG = \frac{1}{\sqrt{2}} \,m$ हो।

(B) द्रव्यमान पदार्थ का एक मूलभूत गुण है और यह गुरुत्वाकर्षण या स्थान जैसी बाहरी स्थितियों पर निर्भर नहीं करता है।
यह किसी वस्तु में निहित पदार्थ की मात्रा को दर्शाता है।
चूंकि द्रव्यमान एक आंतरिक गुण है,इसलिए यह स्थिर रहता है चाहे वस्तु कहीं भी स्थित हो।
अतः,यदि पृथ्वी की सतह पर पिंड का द्रव्यमान $M$ है,तो चंद्रमा की सतह पर भी उसका द्रव्यमान $M$ ही होगा।

(A) मूलभूत बलों की सापेक्ष शक्ति की तुलना $10^{-15} \ m$ की दूरी पर स्थित दो प्रोटॉन के बीच की परस्पर क्रिया पर विचार करके की जाती है।
गुरुत्वाकर्षण बल $(F_G)$,प्रबल नाभिकीय बल $(F_S)$ की तुलना में लगभग $10^{-36} \ N$ से $10^{-39} \ N$ होता है।
विशेष रूप से,गुरुत्वाकर्षण बल और प्रबल नाभिकीय बल का अनुपात लगभग $10^{-39}$ है।
अतः,गुरुत्वाकर्षण बल,प्रबल नाभिकीय बल का $10^{-39}$ गुना है।

(A) $R$ त्रिज्या और $\rho$ घनत्व वाले एक ठोस गोले का द्रव्यमान $M = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि दोनों गोले समान पदार्थ से बने हैं,इसलिए उनका घनत्व $\rho$ स्थिर है।
अतः,$M \propto R^3$.
संपर्क में रखे गए दो गोलों के केंद्रों के बीच की दूरी $d = R + R = 2R$ है।
दो गोलों के बीच गुरुत्वाकर्षण बल $F$,न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार $F = \frac{G M_1 M_2}{d^2}$ है।
$M_1 = M_2 = M$ और $d = 2R$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $F = \frac{G M^2}{(2R)^2} = \frac{G M^2}{4R^2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $M \propto R^3$,इसलिए $M^2 \propto (R^3)^2 = R^6$.
इसे बल के समीकरण में रखने पर: $F \propto \frac{R^6}{R^2} = R^4$.
इसलिए,$F \propto R^4$.

(D) गुरुत्वाकर्षण के नियम का अदिश रूप $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$ है।
इसे सदिश रूप में व्यक्त करने के लिए,हम परिमाण को बल की दिशा में इकाई सदिश $\hat{r}$ से गुणा करते हैं: $\overrightarrow{F} = G \frac{m_1 m_2}{r^2} \hat{r}$।
चूंकि इकाई सदिश को $\hat{r} = \frac{\overrightarrow{r}}{r}$ के रूप में परिभाषित किया गया है,हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$\overrightarrow{F} = G \frac{m_1 m_2}{r^2} \left( \frac{\overrightarrow{r}}{r} \right)$।
अतः,सदिश रूप $\overrightarrow{F} = G \frac{m_1 m_2}{r^3} \overrightarrow{r}$ है।

(D) $\text{दिया गया है: प्रत्येक पत्थर का द्रव्यमान, } m_1 = m_2 = 2 \,kg$.
$\text{दूरी, } r = 1 \,m$.
$\text{सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक, } G = 6.67 \times 10^{-11} \,N \cdot m^2/kg^2$.
$\text{न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार, बल } F = \frac{G m_1 m_2}{r^2}$.
$\text{मान रखने पर: } F = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 2 \times 2}{1^2}$.
$F = 6.67 \times 10^{-11} \times 4$.
$F = 26.68 \times 10^{-11} \,N = 2.668 \times 10^{-10} \,N$.
$\text{निकटतम मान लेने पर, } F \approx 2.67 \times 10^{-10} \,N$.

(D) मान लीजिए कि एक इकाई द्रव्यमान $m$ पृथ्वी से $x$ दूरी पर स्थित है,जहाँ कुल गुरुत्वाकर्षण बल शून्य है।
इस बिंदु पर,पृथ्वी द्वारा लगाया गया गुरुत्वाकर्षण खिंचाव चंद्रमा द्वारा लगाए गए गुरुत्वाकर्षण खिंचाव के परिमाण में बराबर होना चाहिए।
$\frac{G m M_e}{x^2} = \frac{G m M_m}{(D-x)^2}$ ... $(i)$
जहाँ $M_e$ पृथ्वी का द्रव्यमान है और $M_m$ चंद्रमा का द्रव्यमान है।
दिया गया है कि $M_e = 81 M_m$ है।
समीकरण $(i)$ में यह मान रखने पर:
$\frac{G m (81 M_m)}{x^2} = \frac{G m M_m}{(D-x)^2}$
$\frac{81}{x^2} = \frac{1}{(D-x)^2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{9}{x} = \frac{1}{D-x}$
$9(D - x) = x$
$9D - 9x = x$
$9D = 10x$
$x = \frac{9D}{10}$
अतः,पृथ्वी के केंद्र से $\frac{9D}{10}$ की दूरी पर गुरुत्वाकर्षण बल शून्य होगा।

(A) $r$ दूरी पर स्थित दो द्रव्यमानों $m_1$ और $m_2$ के बीच गुरुत्वाकर्षण बल $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$m_1 = xM$ और $m_2 = (1-x)M$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $F = \frac{G}{r^2} (xM)(1-x)M = \frac{GM^2}{r^2} (x - x^2)$।
$F$ को अधिकतम होने के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन शून्य होना चाहिए: $\frac{dF}{dx} = 0$।
$\frac{d}{dx} [\frac{GM^2}{r^2} (x - x^2)] = 0$।
चूंकि $\frac{GM^2}{r^2}$ स्थिरांक है,इसलिए $\frac{d}{dx} (x - x^2) = 0$।
$1 - 2x = 0$।
अतः,$x = 1/2$।

(C) माना वर्ग की भुजा की लंबाई $a$ है। किसी एक पिंड (मान लीजिए पिंड $4$) पर लगने वाला कुल गुरुत्वाकर्षण बल अन्य तीन पिंडों $(1, 2, 3)$ द्वारा लगाए गए बलों का सदिश योग है।
माना $\vec{F}_{14}$,$\vec{F}_{34}$ और $\vec{F}_{24}$ क्रमशः पिंड $1, 3$ और $2$ द्वारा पिंड $4$ पर लगाए गए बल हैं।
इनके परिमाण $F_{14} = \frac{Gm^2}{a^2}$,$F_{34} = \frac{Gm^2}{a^2}$ और $F_{24} = \frac{Gm^2}{(\sqrt{2}a)^2} = \frac{Gm^2}{2a^2}$ हैं।
$\vec{F}_{14}$ और $\vec{F}_{34}$ का परिणामी बल $F_{13} = \sqrt{F_{14}^2 + F_{34}^2} = \sqrt{\left(\frac{Gm^2}{a^2}\right)^2 + \left(\frac{Gm^2}{a^2}\right)^2} = \sqrt{2} \frac{Gm^2}{a^2}$ है।
यह परिणामी बल $F_{13}$ विकर्ण की दिशा में,$\vec{F}_{24}$ की दिशा में ही कार्य करता है।
अतः,कुल बल $F_{net} = F_{13} + F_{24} = \sqrt{2} \frac{Gm^2}{a^2} + \frac{Gm^2}{2a^2} = \frac{Gm^2}{a^2} \left(\sqrt{2} + \frac{1}{2}\right) = \frac{Gm^2}{a^2} \left(\frac{2\sqrt{2} + 1}{2}\right)$ है।
दिया गया है कि $F_{net} = \left(\frac{2\sqrt{2} + 1}{32}\right) \frac{Gm^2}{L^2}$,अतः दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{Gm^2}{a^2} \left(\frac{2\sqrt{2} + 1}{2}\right) = \left(\frac{2\sqrt{2} + 1}{32}\right) \frac{Gm^2}{L^2}$.
$\frac{1}{2a^2} = \frac{1}{32L^2} \Rightarrow a^2 = 16L^2 \Rightarrow a = 4L$.

(C) दूरी पर स्थित दो द्रव्यमानों $m_0$ और $M-m_0$ के बीच गुरुत्वाकर्षण बल $F$ इस प्रकार दिया जाता है:
$F = \frac{G m_0 (M - m_0)}{D^2}$
अधिकतम बल की स्थिति ज्ञात करने के लिए,हम $F$ का $m_0$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{dF}{dm_0} = \frac{d}{dm_0} \left[ \frac{G}{D^2} (M m_0 - m_0^2) \right] = 0$
$\frac{G}{D^2} (M - 2m_0) = 0$
चूंकि $\frac{G}{D^2} \neq 0$,इसलिए:
$M - 2m_0 = 0$
$M = 2m_0$
$\frac{m_0}{M} = \frac{1}{2} = 0.5$

(C) शेल प्रमेय (Shell Theorem) के अनुसार,एक समान खोखले गोलाकार कोश के अंदर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र $E = 0$ होता है। इसलिए,इसके अंदर रखे गए बिंदु द्रव्यमान पर कोई शुद्ध गुरुत्वाकर्षण बल कार्य नहीं करता है। अतः,कथन $(I)$ गलत है।
एक समान खोखले गोलाकार कोश के बाहर किसी भी बिंदु के लिए,कोश इस तरह व्यवहार करता है जैसे कि उसका पूरा द्रव्यमान उसके केंद्र पर केंद्रित हो। इसलिए,गुरुत्वाकर्षण बल की गणना न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम $F = G M m / r^2$ का उपयोग करके की जाती है,जहाँ $r$ केंद्र से दूरी है। अतः,कथन $(II)$ सही है।

(A) न्यूटन के सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार,ब्रह्मांड का प्रत्येक कण दूसरे कण को एक ऐसे बल से आकर्षित करता है जो उनके द्रव्यमानों के गुणनफल के सीधे आनुपातिक और उनके केंद्रों के बीच की दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
किन्हीं दो वस्तुओं के बीच उनके द्रव्यमान के कारण लगने वाले इस पारस्परिक आकर्षण बल को गुरुत्वाकर्षण बल कहा जाता है।

(C) दो बिंदु द्रव्यमानों के बीच गुरुत्वाकर्षण बल न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम द्वारा दिया जाता है,$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$।
$1$. यह एक संरक्षी बल है,जिसका अर्थ है कि इसके द्वारा किया गया कार्य पथ पर निर्भर नहीं करता है।
$2$. दो द्रव्यमानों के बीच यह हमेशा एक आकर्षक बल होता है।
$3$. यह एक केंद्रीय बल है,क्योंकि यह दो पिंडों के केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश कार्य करता है।
$4$. यह एक गैर-संपर्क बल (या दूरी पर कार्य करने वाला बल) है,जिसका अर्थ है कि इसके लिए पिंडों के बीच भौतिक संपर्क की आवश्यकता नहीं होती है।
इसलिए,यह कथन कि 'केंद्रीय बल नहीं है' गलत है।

(C) प्रकृति में मौजूद चार मूलभूत बलों (गुरुत्वाकर्षण,विद्युतचुंबकीय,प्रबल नाभिकीय और दुर्बल नाभिकीय बल) में से,गुरुत्वाकर्षण बल हमेशा आकर्षक प्रकृति का होता है।
विद्युतचुंबकीय बल आवेशों के आधार पर आकर्षक या प्रतिकर्षी हो सकते हैं।
प्रबल नाभिकीय बल आमतौर पर कम दूरी पर आकर्षक होते हैं जो नाभिक को एक साथ बांधे रखते हैं।
इसलिए,यह कथन कि गुरुत्वाकर्षण बल हमेशा आकर्षक होते हैं,सही है।