Newton’s Law of Gravitation Questions in Hindi

(A) गुरुत्वाकर्षण बल एक सार्वभौमिक बल है। न्यूटन के सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार,ब्रह्मांड का प्रत्येक कण दूसरे प्रत्येक कण को एक ऐसे बल से आकर्षित करता है जो उनके द्रव्यमानों के गुणनफल के सीधे आनुपातिक और उनके केंद्रों के बीच की दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है। इसलिए,गुरुत्वाकर्षण बल ब्रह्मांड की सभी वस्तुओं के बीच कार्य करते हैं।

(A) दिया गया है:
प्रत्येक आकाशगंगा का द्रव्यमान,$m = 8 \times 10^{11} \text{ सौर द्रव्यमान} = 8 \times 10^{11} \times 2.0 \times 10^{30} \text{ kg} = 16 \times 10^{41} \text{ kg}$.
आकाशगंगाओं के बीच की दूरी,$d = 2 \times 10^6 \text{ प्रकाश-वर्ष} = 2 \times 10^6 \times 10^{16} \text{ m} = 2 \times 10^{22} \text{ m}$.
गुरुत्वाकर्षण बल,$F = \frac{G m^2}{d^2}$.
आकाशगंगा का त्वरण,$a = \frac{F}{m} = \frac{G m}{d^2}$.
मान रखने पर:
$a = \frac{10^{-10} \times (16 \times 10^{41})}{(2 \times 10^{22})^2} = \frac{16 \times 10^{31}}{4 \times 10^{44}} = 4 \times 10^{-13} \text{ m/s}^2$.

(A) सीमित द्रव्यमान वाले एक उदासीन कण द्वारा अनुभव किया जाने वाला दीर्घ-परास बल गुरुत्वाकर्षण बल है।
इस ब्रह्मांड में प्रत्येक पिंड दूसरे पिंड को एक ऐसे बल से आकर्षित करता है जो उनके द्रव्यमानों के गुणनफल ($m_1$ और $m_2$) के सीधे आनुपातिक और उनके बीच की दूरी $(r)$ के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
इस बल का सूत्र $F = \frac{G m_1 m_2}{r^2}$ है।
चूंकि गुरुत्वाकर्षण बल अनंत दूरी तक कार्य करता है और केवल द्रव्यमान पर निर्भर करता है,इसलिए यह एकमात्र मौलिक बल है जो लंबी दूरी पर सीमित द्रव्यमान वाले उदासीन कणों पर कार्य करता है।

(C) प्रकृति में चार मूलभूत बल,उनकी सापेक्ष शक्ति के घटते क्रम में इस प्रकार हैं:
$1$. प्रबल नाभिकीय बल $(S)$: सबसे शक्तिशाली बल,जो न्यूक्लियॉन के बीच कार्य करता है।
$2$. विद्युत-चुंबकीय बल $(E)$: आवेशित कणों के बीच कार्य करता है।
$3$. दुर्बल नाभिकीय बल $(W)$: रेडियोधर्मी क्षय प्रक्रियाओं के लिए जिम्मेदार है।
$4$. गुरुत्वाकर्षण बल $(G)$: सबसे कमजोर बल,जो सभी द्रव्यमानों के बीच कार्य करता है।
उनकी सापेक्ष तीव्रता की तुलना करने पर,हमें $S > E > W > G$ प्राप्त होता है।
अतः,सही कथन $S > E > W > G$ है।

(C) मान लीजिए कि छड़ $x$-अक्ष पर स्थित है,जिसका निकटतम सिरा बिंदु द्रव्यमान '$m$' से '$r$' दूरी पर और दूर का सिरा '$r+L$' दूरी पर है।
छड़ पर '$x$' दूरी पर '$dx$' लंबाई का एक छोटा अवयव (element) लें।
इस अवयव का द्रव्यमान $dm = \lambda dx = \frac{M}{L} dx$ है।
इस अवयव द्वारा बिंदु द्रव्यमान '$m$' पर लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल '$dF$' इस प्रकार है:
$dF = \frac{G m dm}{x^2} = \frac{G m (M/L) dx}{x^2} = \frac{G M m}{L} \frac{dx}{x^2}$.
कुल बल '$F$' ज्ञात करने के लिए,हम '$dF$' का $x = r$ से $x = r + L$ तक समाकलन (integration) करेंगे:
$F = \int_{r}^{r+L} \frac{G M m}{L} \frac{dx}{x^2} = \frac{G M m}{L} \left[ -\frac{1}{x} \right]_{r}^{r+L}$.
$F = \frac{G M m}{L} \left( -\frac{1}{r+L} - (-\frac{1}{r}) \right) = \frac{G M m}{L} \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{r+L} \right)$.
$F = \frac{G M m}{L} \left( \frac{r+L-r}{r(r+L)} \right) = \frac{G M m}{L} \left( \frac{L}{r(r+L)} \right) = \frac{G M m}{r(r+L)}$.

(C) $r$ दूरी पर स्थित $m_{1}$ और $m_{2}$ द्रव्यमान वाले दो कणों के बीच कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण नियम द्वारा दिया जाता है:
$F = \frac{G m_{1} m_{2}}{r^{2}}$
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$m_{1}$ द्रव्यमान पर कार्य करने वाला बल $F = m_{1} a_{1}$ है,जहाँ $a_{1}$ द्रव्यमान $m_{1}$ का त्वरण है।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$m_{1} a_{1} = \frac{G m_{1} m_{2}}{r^{2}}$
$a_{1} = \frac{G m_{2}}{r^{2}}$
चूंकि $G$ और $r$ स्थिर हैं,इसलिए $a_{1} \propto m_{2}$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार,$m_{2}$ द्रव्यमान के लिए,$a_{2} = \frac{G m_{1}}{r^{2}}$,जिसका अर्थ है कि $a_{2} \propto m_{1}$।

(A) $r$ दूरी पर स्थित $m_1$ और $m_2$ द्रव्यमानों के बीच गुरुत्वाकर्षण बल $F = \frac{G m_1 m_2}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$m_1 = m$ और $m_2 = (M - m)$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$F = \frac{G m(M - m)}{r^2} = \frac{G}{r^2} (Mm - m^2)$ प्राप्त होता है।
बल को अधिकतम होने के लिए,$F$ का $m$ के सापेक्ष अवकलन शून्य होना चाहिए,अर्थात $\frac{dF}{dm} = 0$।
$\frac{d}{dm} [\frac{G}{r^2} (Mm - m^2)] = 0$।
$\frac{G}{r^2} (M - 2m) = 0$।
चूंकि $\frac{G}{r^2} \neq 0$,इसलिए $M - 2m = 0$,जिसका अर्थ है $m = \frac{M}{2}$।
अतः,दूसरे टुकड़े का द्रव्यमान $(M - m) = M - \frac{M}{2} = \frac{M}{2}$ है।
द्रव्यमानों का अनुपात $\frac{m}{M-m} = \frac{M/2}{M/2} = \frac{1}{1}$ है।