Spectral Emissive Power and Wien's Displacement Law Questions in Hindi

(A) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,$\lambda_m T = \text{नियतांक}$.
अतः,$\lambda_1 T_1 = \lambda_2 T_2$.
दिया गया है: $\lambda_1 = 11 \times 10^{-5} \ cm$ और $\lambda_2 = 5.5 \times 10^{-5} \ cm$.
माना प्रारंभिक तापमान $T_1 = T$ है और नया तापमान $T_2 = nT$ है।
मान रखने पर: $(11 \times 10^{-5}) \times T = (5.5 \times 10^{-5}) \times (nT)$.
$11 = 5.5 \times n$.
$n = \frac{11}{5.5} = 2$.
अतः,$n$ का मान $2$ है।

(B) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,तापमान $T$ और अधिकतम उत्सर्जन की तरंगदैर्ध्य $\lambda_m$ का गुणनफल नियत रहता है।
$T_1 \lambda_{m1} = T_2 \lambda_{m2}$
दिया गया है: $T_1 = 2000 \ K$,$\lambda_{m1} = \lambda_m$,$T_2 = 3000 \ K$।
मान रखने पर:
$2000 \times \lambda_m = 3000 \times \lambda_{m2}$
$\lambda_{m2} = \frac{2000}{3000} \lambda_m$
$\lambda_{m2} = \frac{2}{3} \lambda_m$

(B) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार, $\lambda_m T = \text{नियतांक}$, जिसका अर्थ है $\lambda_m \propto \frac{1}{T}$।
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 1227 + 273 = 1500 \ K$।
प्रारंभिक तरंगदैर्ध्य $\lambda_1 = 5000 \mathring{A}$।
अंतिम तापमान $T_2 = 1227 + 1000 + 273 = 2500 \ K$।
संबंध $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{T_1}{T_2}$ का उपयोग करने पर:
$\lambda_2 = \lambda_1 \times \frac{T_1}{T_2} = 5000 \times \frac{1500}{2500}$।
$\lambda_2 = 5000 \times \frac{3}{5} = 3000 \mathring{A}$।

(C) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका द्वारा उत्सर्जित अधिकतम ऊर्जा के संगत तरंगदैर्ध्य $\lambda_m$ उसके परम तापमान $T$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है,अर्थात $\lambda_m T = \text{नियतांक}$.
अतः,$\lambda_1 T_1 = \lambda_2 T_2$.
दिया गया है: $\lambda_1 = 14 \; \mu m$,$T_1 = 2000 \; K$,$T_2 = 1000 \; K$.
मान रखने पर: $14 \times 2000 = \lambda_2 \times 1000$.
$\lambda_2 = \frac{14 \times 2000}{1000} = 28 \; \mu m$.

(C) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार, $\lambda_m T = b$, जहाँ $b$ एक नियतांक है。
अतः, $\lambda_{m1} T_1 = \lambda_{m2} T_2$.
दिया गया है: $\lambda_{m1} = 4000 \ \mathring{A}$, $T_1 = 2000^\circ C = 2000 + 273 = 2273 \ K$.
दिया गया है: $\lambda_{m2} = 2000 \ \mathring{A}$, $T_2 = ?$.
मान रखने पर: $4000 \times 2273 = 2000 \times T_2$.
$T_2 = 2 \times 2273 = 4546 \ K$.
सेल्सियस में बदलने पर: $T_2(^\circ C) = 4546 - 273 = 4273^\circ C$.

(A) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार, परम तापमान और अधिकतम उत्सर्जन की तरंगदैर्ध्य का गुणनफल स्थिर होता है: $\lambda_m T = \text{constant}$.
अतः, $\lambda_{m1} T_1 = \lambda_{m2} T_2$.
दिया गया है: $T_1 = 2000 \ K$, $\lambda_{m1} = 4 \ \mu m$, $T_2 = 2400 \ K$.
मान रखने पर: $4 \times 2000 = \lambda_{m2} \times 2400$.
$\lambda_{m2} = \frac{4 \times 2000}{2400} = \frac{8000}{2400} = \frac{80}{24} = \frac{10}{3} \ \mu m$.
$\lambda_{m2} \approx 3.33 \ \mu m$.

(B) दोनों पिंडों द्वारा उत्सर्जित कुल विकिरण शक्ति समान है: $P_A = P_B$।
स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम $P = e \sigma A T^4$ के अनुसार,और चूंकि $A_A = A_B$,इसलिए $e_A T_A^4 = e_B T_B^4$ प्राप्त होता है।
$T_B = T_A \left( \frac{e_A}{e_B} \right)^{1/4} = 5802 \left( \frac{0.01}{0.81} \right)^{1/4} = 5802 \left( \frac{0.1}{0.9} \right) = 644.67 \ K$।
वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,$\lambda_A T_A = \lambda_B T_B$।
$\lambda_B = 1.0 \mu m$ दिया गया है,इसलिए $\lambda_A (5802) = (1.0) (644.67)$।
$\lambda_A = \frac{644.67}{5802} \approx 0.11 \mu m$। यदि प्रश्न में दिए गए समाधान के तर्क का पालन करें,तो सही विकल्प $B$ है।

(A) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,$\lambda_m T = b$,जहाँ $b = 3 \times 10^{-3} \ m \cdot K$ है।
प्रारंभ में,$T_1 = 3000 \ K$ है। प्रारंभिक तरंगदैर्ध्य $\lambda_1 = \frac{b}{T_1} = \frac{3 \times 10^{-3}}{3000} = 1 \times 10^{-6} \ m = 1 \ \mu m$ है।
जैसे-जैसे वस्तु ठंडी होती है,तरंगदैर्ध्य में $\Delta \lambda = 9 \ \mu m$ का परिवर्तन होता है। चूंकि तापमान घट रहा है,इसलिए अधिकतम ऊर्जा घनत्व वाली तरंगदैर्ध्य बढ़ जाएगी: $\lambda_2 = \lambda_1 + \Delta \lambda = 1 \ \mu m + 9 \ \mu m = 10 \ \mu m = 10 \times 10^{-6} \ m$ है।
अब,नया तापमान $T_2$ ज्ञात करने पर: $T_2 = \frac{b}{\lambda_2} = \frac{3 \times 10^{-3}}{10 \times 10^{-6}} = \frac{3 \times 10^{-3}}{10^{-5}} = 300 \ K$।

(B) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,अधिकतम तीव्रता की तरंगदैर्घ्य $(\lambda_m)$ और परम तापमान $(T)$ का गुणनफल नियत रहता है।
$\lambda_m T = \text{नियत}$
अतः,$\lambda_{m1} T_1 = \lambda_{m2} T_2$
दिया गया है: $\lambda_{m1} = 4800 \, \mathring{A}$,$T_1 = 6000 \, K$,$T_2 = 3000 \, K$.
मान रखने पर:
$4800 \times 6000 = \lambda_{m2} \times 3000$
$\lambda_{m2} = \frac{4800 \times 6000}{3000}$
$\lambda_{m2} = 4800 \times 2 = 9600 \, \mathring{A}$.

(B) वीन के विस्थापन नियम (Wien's displacement law) के अनुसार,$\lambda_m T = b$ (नियतांक)।
अतः,$\lambda_{m1} T_1 = \lambda_{m2} T_2$।
यहाँ,$\lambda_{m1} = \lambda_m$,$T_1 = 2000 \, K$,और $T_2 = 3000 \, K$ दिया गया है।
मान रखने पर: $\lambda_m \times 2000 = \lambda_{m2} \times 3000$।
$\lambda_{m2} = \frac{2000}{3000} \lambda_m = \frac{2}{3} \lambda_m$।

(B) तारों द्वारा उत्सर्जित विकिरण का विश्लेषण करके विभिन्न तरंगदैर्ध्यों पर ऊर्जा वितरण निर्धारित किया जा सकता है।
वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,विकिरण की अधिकतम तीव्रता के संगत तरंगदैर्ध्य $\lambda_{m}$ तारे के परम तापमान $T$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है,जिसे संबंध $\lambda_{m} T = b$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $b$ वीन का नियतांक है।
जिस तरंगदैर्ध्य पर तारा अधिकतम विकिरण उत्सर्जित करता है,उसे मापकर खगोलशास्त्री तारे की सतह के तापमान की गणना कर सकते हैं।
अतः,इस उद्देश्य के लिए वीन के विस्थापन नियम का उपयोग किया जाता है।

(D) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,$\lambda_m T = b$ (स्थिरांक),जहाँ $\lambda_m$ अधिकतम तीव्रता वाली तरंगदैर्ध्य है और $T$ निरपेक्ष तापमान है।
इसलिए,$\frac{T_1}{T_2} = \frac{(\lambda_m)_2}{(\lambda_m)_1}$.
यहाँ $(\lambda_m)_1 = 0.5 \times 10^{-6} \ m$ (सूर्य के लिए) और $(\lambda_m)_2 = 10^{-4} \ m$ (चंद्रमा के लिए) दिया गया है।
मान रखने पर: $\frac{T_1}{T_2} = \frac{10^{-4}}{0.5 \times 10^{-6}} = \frac{100 \times 10^{-6}}{0.5 \times 10^{-6}} = \frac{100}{0.5} = 200$.
अतः,उनके तापमान का अनुपात $200$ है।

(B) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,अधिकतम तीव्रता के संगत तरंगदैर्ध्य $\lambda_m$ निरपेक्ष तापमान $T$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है,अर्थात $\lambda_m \propto \frac{1}{T}$।
दिए गए ग्राफ से,हम तीन तापमानों के लिए अधिकतम तीव्रता के संगत तरंगदैर्ध्य का अवलोकन कर सकते हैं:
$\lambda_{m1} < \lambda_{m3} < \lambda_{m2}$।
चूंकि $\lambda_m \propto \frac{1}{T}$,इसलिए छोटी तरंगदैर्ध्य उच्च तापमान के संगत होती है।
अतः,उनके तापमान के बीच का संबंध $T_1 > T_3 > T_2$ है।

(C) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,अधिकतम स्पेक्ट्रमी उत्सर्जन शक्ति के संगत तरंगदैर्घ्य $(\lambda_m)$ पिंड के परम ताप $(T)$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
गणितीय रूप से,$\lambda_m \propto \frac{1}{T}$ या $\lambda_m T = b$,जहाँ $b$ वीन का नियतांक है।
अतः,किसी पिंड से उत्सर्जित विकिरण की तरंगदैर्घ्य सतह के तापमान पर निर्भर करती है।

(C) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,अधिकतम उत्सर्जन की तरंगदैर्ध्य $(\lambda_m)$ और परम तापमान $(T)$ का गुणनफल एक नियतांक होता है।
$\lambda_m T = b$ (नियतांक)
दिया गया है:
$T_1 = 200 \, K$,$(\lambda_m)_1 = 14 \, \mu m$
$T_2 = 1000 \, K$,$(\lambda_m)_2 = ?$
संबंध $\lambda_{m1} T_1 = \lambda_{m2} T_2$ का उपयोग करने पर:
$(\lambda_m)_2 = \frac{(\lambda_m)_1 T_1}{T_2}$
$(\lambda_m)_2 = \frac{14 \, \mu m \times 200 \, K}{1000 \, K}$
$(\lambda_m)_2 = \frac{14 \times 200}{1000} \, \mu m = \frac{2800}{1000} \, \mu m = 2.8 \, \mu m$.

(A) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार, ${\lambda _m T = \text{नियतांक}}$, इसलिए ${\lambda _1 T_1 = \lambda _2 T_2}$.
दिया गया है ${\lambda _1 = \lambda _0}$ और ${\lambda _2 = \frac{3\lambda _0}{4}}$.
अतः, $\frac{T_2}{T_1} = \frac{\lambda _1}{\lambda _2} = \frac{\lambda _0}{3\lambda _0 / 4} = \frac{4}{3}$.
स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार, उत्सर्जन शक्ति $E \propto T^4$ होती है।
इस प्रकार, उत्सर्जन शक्ति का अनुपात $\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$ होगा।
मान रखने पर, $\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{4}{3} \right)^4 = \frac{256}{81}$.

(B) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,अधिकतम उत्सर्जन की तरंगदैर्ध्य $(\lambda_m)$ और वस्तु के परम तापमान $(T)$ का गुणनफल एक नियतांक $(b)$ होता है।
$\lambda_m T = b$
दिया गया है:
$\lambda_m = 2.93 \times 10^{-10} \, m$
$b = 2.93 \times 10^{-3} \, m \cdot K$
सूत्र में मान रखने पर:
$T = \frac{b}{\lambda_m} = \frac{2.93 \times 10^{-3}}{2.93 \times 10^{-10}}$
$T = 10^{(-3 - (-10))} \, K = 10^7 \, K$
अतः,तारे का तापमान $10^7 \, K$ है।

(D) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,अधिकतम स्पेक्ट्रल उत्सर्जक शक्ति के अनुरूप तरंगदैर्ध्य $\lambda_m T = b$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए मानों को रखने पर: $\lambda_m = \frac{b}{T} = \frac{2.88 \times 10^6 \, nm \cdot K}{2880 \, K} = 1000 \, nm$.
चूंकि कृष्णिका विकिरण वक्र का शिखर $\lambda_m = 1000 \, nm$ पर होता है,इसलिए इस तरंगदैर्ध्य पर स्पेक्ट्रल ऊर्जा घनत्व $E_\lambda$ अधिकतम होता है।
एक छोटे तरंगदैर्ध्य अंतराल $\Delta \lambda$ में ऊर्जा $U$,$E_\lambda \Delta \lambda$ के समानुपाती होती है। चूंकि अंतराल समान हैं $(\Delta \lambda = 1 \, nm)$,इसलिए ऊर्जा उस तरंगदैर्ध्य पर वक्र की ऊंचाई के सीधे समानुपाती होती है।
दिए गए अंतरालों पर ऊंचाइयों की तुलना करने पर: $1000 \, nm$ के आसपास का अंतराल (जहां $U_2$ परिभाषित है) शिखर पर है,जबकि $500 \, nm$ और $1500 \, nm$ के आसपास के अंतराल ढलान पर हैं।
अतः,$U_2$ अधिकतम है,और $U_2 > U_1$।

(B) $Wien$ के विस्थापन नियम के अनुसार,अधिकतम तीव्रता की तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{\max})$ और परम तापमान $(T)$ का गुणनफल स्थिर रहता है:
$\lambda_{\max} T = b$ (स्थिरांक)
दिया गया है:
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 1227^{\circ}C = 1227 + 273 = 1500\;K$
प्रारंभिक तरंगदैर्ध्य $\lambda_{\max 1} = 5000\;\mathring{A}$
अंतिम तापमान $T_2 = 1227^{\circ}C + 1000^{\circ}C = 2227^{\circ}C = 2227 + 273 = 2500\;K$
$\lambda_{\max 1} T_1 = \lambda_{\max 2} T_2$ संबंध का उपयोग करते हुए:
$\lambda_{\max 2} = \frac{\lambda_{\max 1} T_1}{T_2}$
$\lambda_{\max 2} = \frac{5000 \times 1500}{2500}$
$\lambda_{\max 2} = 5000 \times 0.6 = 3000\;\mathring{A}$
अतः,अधिकतम तीव्रता $3000\;\mathring{A}$ पर देखी जाएगी।

(B) $Wien$ के विस्थापन नियम के अनुसार, अधिकतम तीव्रता $(\lambda_m)$ के अनुरूप तरंगदैर्ध्य और परम तापमान $(T)$ का गुणनफल स्थिर होता है:
$\lambda_m T = \text{constant}$
$\lambda_m = \frac{\text{constant}}{T}$
जैसे-जैसे लोहे के टुकड़े का तापमान $(T)$ बढ़ता है, अधिकतम तीव्रता वाली तरंगदैर्ध्य $(\lambda_m)$ कम होती जाती है।
प्रारंभ में, कम तापमान पर, उत्सर्जित विकिरण लंबी तरंगदैर्ध्य क्षेत्र (लाल) में होता है। जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है, उत्सर्जन स्पेक्ट्रम का शिखर छोटी तरंगदैर्ध्य (लाल-पीला) की ओर स्थानांतरित हो जाता है। जब तापमान पर्याप्त रूप से उच्च हो जाता है, तो वस्तु पूरे दृश्य स्पेक्ट्रम में विकिरण उत्सर्जित करती है, जिससे वह सफेद-गर्म दिखाई देती है।

(A) $Wien$ के विस्थापन नियम के अनुसार, अधिकतम तीव्रता के संगत तरंगदैर्ध्य $(\lambda_m)$ और निरपेक्ष तापमान $(T)$ का गुणनफल स्थिर होता है:
$\lambda_m T = \text{constant} \implies T \propto \frac{1}{\lambda_m}$
तारे $P$ के लिए, बैंगनी रंग की तीव्रता अधिकतम है। चूंकि बैंगनी रंग की तरंगदैर्ध्य तीनों में सबसे कम होती है $(\lambda_V < \lambda_G < \lambda_R)$, इसलिए तारे $P$ का तापमान सबसे अधिक होगा।
तारे $R$ के लिए, हरे रंग की तीव्रता अधिकतम है। हरे रंग की तरंगदैर्ध्य बैंगनी और लाल के बीच होती है $(\lambda_V < \lambda_G < \lambda_R)$.
तारे $Q$ के लिए, लाल रंग की तीव्रता अधिकतम है। चूंकि लाल रंग की तरंगदैर्ध्य तीनों में सबसे अधिक होती है, इसलिए तारे $Q$ का तापमान सबसे कम होगा।
तरंगदैर्ध्य की तुलना करने पर: $\lambda_V < \lambda_G < \lambda_R$.
अतः, तापमान का क्रम विपरीत होगा: $T_P > T_R > T_Q$.

(C) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,अधिकतम स्पेक्ट्रमी उत्सर्जन शक्ति के संगत तरंगदैर्ध्य निम्न प्रकार दी जाती है:
$\lambda_m = \frac{b}{T} = \frac{2.88 \times 10^6 \ nm \ K}{5760 \ K} = 500 \ nm$
इसका अर्थ है कि कृष्णिका विकिरण वक्र का शिखर $\lambda = 500 \ nm$ पर प्राप्त होता है,जहाँ उत्सर्जित ऊर्जा $U_2$ है।
स्पेक्ट्रमी वितरण वक्र से विभिन्न तरंगदैर्ध्यों पर मानों की तुलना करने पर:
$\lambda = 250 \ nm$ पर,ऊर्जा $U_1$ है।
$\lambda = 500 \ nm$ पर,ऊर्जा $U_2$ (अधिकतम) है।
$\lambda = 1000 \ nm$ पर,ऊर्जा $U_3$ है।
ग्राफ से यह स्पष्ट है कि $U_2$ अधिकतम मान है,इसलिए $U_2 > U_1$ और $U_2 > U_3$ है। साथ ही,ग्राफ से $U_1$ और $U_3$ की तुलना करने पर,$U_3 > U_1$ प्राप्त होता है। अतः,सही संबंध $U_2 > U_1$ है।

(A) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,अधिकतम तीव्रता की तरंग दैर्ध्य $(\lambda_m)$ और वस्तु के निरपेक्ष तापमान $(T)$ का गुणनफल स्थिर रहता है।
$\lambda_m T = b$
खगोलीय पिंड के लिए दिया गया है:
$\lambda_1 = 12 \; \mu m = 12 \times 10^{-6} \; m$
$T_1 = 200 \; K$
तारे के लिए दिया गया है:
$\lambda_2 = 4800 \; \mathring A = 4800 \times 10^{-10} \; m$
$\lambda_1 T_1 = \lambda_2 T_2$ संबंध का उपयोग करते हुए:
$12 \times 10^{-6} \times 200 = 4800 \times 10^{-10} \times T_2$
$T_2 = \frac{12 \times 10^{-6} \times 200}{4800 \times 10^{-10}}$
$T_2 = \frac{2400 \times 10^{-6}}{4800 \times 10^{-10}} = 0.5 \times 10^4 = 5000 \; K$

(D) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,अधिकतम उत्सर्जन की तरंगदैर्ध्य $\lambda_m$ और वस्तु के परम ताप $T$ का गुणनफल एक नियतांक होता है,जिसे वीन का नियतांक $(b)$ कहा जाता है।
$\lambda_m T = b$
दिया गया है:
$b = 2892 \times 10^{-6} \text{ m K}$
$\lambda_m = 14.46 \text{ microns} = 14.46 \times 10^{-6} \text{ m}$
सूत्र में मान रखने पर:
$T = \frac{b}{\lambda_m} = \frac{2892 \times 10^{-6}}{14.46 \times 10^{-6}}$
$T = \frac{2892}{14.46} = 200 \text{ K}$
अतः,चंद्रमा की सतह का तापमान $200 \text{ K}$ है।

(A) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,अधिकतम स्पेक्ट्रल उत्सर्जन शक्ति के अनुरूप तरंगदैर्ध्य निरपेक्ष तापमान के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $\lambda_m \propto \frac{1}{T}$.
इसका अर्थ है $\lambda_{m1} T_1 = \lambda_{m2} T_2$.
दिया गया है: $\lambda_{m1} = 1.4 \times 10^{-6} \ m$,$T_1 = 1000 \ K$,और $\lambda_{m2} = 2.8 \times 10^{-6} \ m$.
समीकरण में मान रखने पर: $T_2 = \frac{\lambda_{m1} T_1}{\lambda_{m2}}$.
$T_2 = \frac{1.4 \times 10^{-6} \times 1000}{2.8 \times 10^{-6}}$.
$T_2 = \frac{1.4}{2.8} \times 1000 = 0.5 \times 1000 = 500 \ K$.

(A) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,$\lambda_{\max} T = b$ होता है।
यहाँ $\lambda_{\max} = 289.8 \, nm = 289.8 \times 10^{-9} \, m$ और $b = 2898 \, \mu m \cdot K = 2898 \times 10^{-6} \, m \cdot K$ दिया गया है।
तापमान $T$ की गणना करने पर:
$T = \frac{b}{\lambda_{\max}} = \frac{2898 \times 10^{-6}}{289.8 \times 10^{-9}} = 10 \times 10^3 = 10^4 \, K$।
स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,विकिरण की तीव्रता (उत्सर्जन शक्ति) $E = \sigma T^4$ होती है।
मान रखने पर:
$E = (5.67 \times 10^{-8}) \times (10^4)^4 = 5.67 \times 10^{-8} \times 10^{16} = 5.67 \times 10^8 \, W/m^2$।

(D) वीन का विस्थापन नियम बताता है कि परम तापमान $(T)$ और वह तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{\max})$ जिस पर उत्सर्जक शक्ति अधिकतम होती है, का गुणनफल एक नियतांक होता है।
इसका गणितीय व्यंजक इस प्रकार है:
$\lambda_{\max} T = b$
जहाँ $b$ वीन का नियतांक है।
अतः, यह नियम अधिकतम ऊर्जा के संगत तरंगदैर्ध्य और वस्तु के परम तापमान के बीच संबंध को व्यक्त करता है।

(A) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,$\lambda_m T = \text{नियतांक}$.
अतः,$\lambda_m T = \lambda_m' T'$.
यहाँ $\lambda_m = 20,000 \ \mathring{A}$,$T = 1500 \ K$,और $\lambda_m' = 5500 \ \mathring{A}$ दिया गया है।
मान रखने पर,$T' = \frac{\lambda_m}{\lambda_m'} \times T$.
$T' = \frac{20,000 \ \mathring{A}}{5500 \ \mathring{A}} \times 1500 \ K$.
$T' = \frac{200}{55} \times 1500 \ K = \frac{40}{11} \times 1500 \ K \approx 5454.54 \ K$.
निकटतम पूर्णांक में,सूर्य का तापमान $5454 \ K$ है।

(A) वीन का विस्थापन नियम बताता है कि:
$\lambda_{m} T = b$ (नियतांक)
इसका अर्थ है कि अधिकतम उत्सर्जन की तरंगदैर्ध्य और परम तापमान का गुणनफल एक कृष्णिका (black body) के लिए स्थिर रहता है।
इसलिए,$\lambda_{1} T_{S_{1}} = \lambda_{2} T_{S_{2}}$
तापमान का अनुपात ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{T_{S_{1}}}{T_{S_{2}}} = \frac{\lambda_{2}}{\lambda_{1}}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{T_{S_{1}}}{T_{S_{2}}} = \frac{560 \, nm}{420 \, nm} = \frac{56}{42} = \frac{4}{3}$
अतः,$S_1$ और $S_2$ के तापमान का अनुपात $4/3$ है।

(D) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,कुल उत्सर्जन शक्ति (जो स्पेक्ट्रमी उत्सर्जन शक्ति वक्र के नीचे का क्षेत्रफल है) परम तापमान की चौथी घात के सीधे आनुपातिक होती है।
$E = \sigma T^4$
यह दिया गया है कि क्षेत्रफल $A \propto T^4$,इसलिए:
$A_1 = k T_1^4 = A$
$A_2 = k T_2^4 = 9A$
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर:
$\frac{A_2}{A_1} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4 = 9$
दो बार वर्गमूल लेने पर:
$\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^2 = 3$
$\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{3}$
वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,अधिकतम उत्सर्जन के अनुरूप तरंगदैर्ध्य और परम तापमान का गुणनफल स्थिर रहता है:
$\lambda_1 T_1 = \lambda_2 T_2$
अतः,अनुपात है:
$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{T_2}{T_1} = \sqrt{3}$

(B) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,अधिकतम तीव्रता के संगत तरंगदैर्ध्य $\lambda_m$ कृष्णिका के परम तापमान $T$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है,अर्थात $\lambda_m \propto \frac{1}{T}$।
दिए गए ग्राफ से,हम तीन तापमानों के लिए अधिकतम तीव्रता के संगत तरंगदैर्ध्य को $\lambda_{m1} < \lambda_{m3} < \lambda_{m2}$ के रूप में देख सकते हैं।
चूंकि $\lambda_m \propto \frac{1}{T}$,इसलिए छोटी तरंगदैर्ध्य उच्च तापमान के संगत होती है।
अतः,तापमानों के बीच का संबंध $T_1 > T_3 > T_2$ है।

(D) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,$\lambda_m T = b$,जहाँ $\lambda_m$ अधिकतम तीव्रता के संगत तरंगदैर्ध्य है,$T$ परम तापमान है,और $b$ वीन विस्थापन नियतांक है।
दिए गए ग्राफ से,अधिकतम तीव्रता $\lambda_m = 2 \ \mu m = 2 \times 10^{-6} \ m$ पर होती है।
दिया गया है $b = 2.9 \times 10^{-3} \ mK$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $T = \frac{b}{\lambda_m} = \frac{2.9 \times 10^{-3}}{2 \times 10^{-6}} = 1.45 \times 10^3 \ K = 1450 \ K$।
दिए गए विकल्पों में निकटतम मान लेने पर,अनुमानित तापमान $1500 \ K$ है।

(D) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,अधिकतम उत्सर्जन की तरंगदैर्ध्य और परम तापमान का गुणनफल एक नियतांक होता है: $\lambda_m T = b$ (नियतांक)।
अतः,$\lambda_1 T_1 = \lambda_2 T_2$।
दिया गया है: $\lambda_1 = \lambda_m$,$T_1 = 2000\,K$,और $T_2 = 3000\,K$।
मान रखने पर: $\lambda_m \times 2000 = \lambda_2 \times 3000$।
$\lambda_2$ के लिए हल करने पर: $\lambda_2 = \frac{2000}{3000} \lambda_m = \frac{2}{3} \lambda_m$।

(C) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,अधिकतम उत्सर्जन की तरंगदैर्ध्य और कृष्णिका (black body) के निरपेक्ष तापमान का गुणनफल स्थिर होता है,अर्थात $\lambda_m T = \text{स्थिरांक}$.
इसका अर्थ है कि $\lambda_{m1} T_1 = \lambda_{m2} T_2$.
इसलिए,उनके तापमान का अनुपात $\frac{T_1}{T_2} = \frac{\lambda_{m2}}{\lambda_{m1}}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $\lambda_{m1} = 3600 \ \mathring{A}$ और $\lambda_{m2} = 4800 \ \mathring{A}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{T_1}{T_2} = \frac{4800}{3600} = \frac{48}{36} = \frac{4}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,उनके तापमान का अनुपात $4 : 3$ है।

(D) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,$\lambda_{m} T = \text{नियतांक}$.
दिया गया है:
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 1227 + 273 = 1500\,K$.
प्रारंभिक तरंगदैर्ध्य $\lambda_1 = 5000\,\mathring{A}$.
अंतिम तापमान $T_2 = T_1 + 1000 = 1500 + 1000 = 2500\,K$.
संबंध $\lambda_1 T_1 = \lambda_2 T_2$ का उपयोग करने पर:
$5000 \times 1500 = \lambda_2 \times 2500$.
$\lambda_2$ के लिए हल करने पर:
$\lambda_2 = \frac{5000 \times 1500}{2500} = 2 \times 1500 = 3000\,\mathring{A}$.
अतः,अधिकतम तीव्रता $3000\,\mathring{A}$ पर होगी।

(C) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार, $\lambda_{m} T = \text{नियतांक}$, जहाँ $\lambda_{m}$ अधिकतम ऊर्जा के संगत तरंगदैर्ध्य है और $T$ परम तापमान है।
अतः, $\lambda_{1} T_{1} = \lambda_{2} T_{2}$.
यहाँ $\lambda_{1} = 11 \times 10^{-5} \ cm$ और $\lambda_{2} = 5.5 \times 10^{-5} \ cm$ दिया गया है।
हमें $T_{1} = n T_{2}$ दिया गया है।
समीकरण में मान रखने पर: $(11 \times 10^{-5}) \times (n T_{2}) = (5.5 \times 10^{-5}) \times T_{2}$.
$n = \frac{5.5 \times 10^{-5}}{11 \times 10^{-5}} = \frac{5.5}{11} = 0.5$.

(D) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,अधिकतम तीव्रता की तरंगदैर्घ्य $(\lambda_m)$ और वस्तु के परम तापमान $(T)$ का गुणनफल एक नियतांक होता है।
$\lambda_m T = b$ (नियतांक)
अतः,सूर्य और चंद्रमा के लिए:
$\lambda_1 T_1 = \lambda_2 T_2$
जहाँ $\lambda_1 = 0.5 \times 10^{-6} \ m$ (सूर्य) और $\lambda_2 = 10^{-4} \ m$ (चंद्रमा) है।
तापमान का अनुपात $(T_1 / T_2)$ ज्ञात करने के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{10^{-4}}{0.5 \times 10^{-6}} = \frac{10^{-4}}{5 \times 10^{-7}} = \frac{10^3}{5} = 200$
अतः,उनके तापमान का अनुपात $200$ है।

(B) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,$\lambda_{m} T = \text{नियतांक}$,जिसका अर्थ है $\lambda_{m1} T_1 = \lambda_{m2} T_2$।
दिया गया है:
$T_1 = 200^{\circ}C = 200 + 273 = 473\,K$
$\lambda_{m1} = 400\,\mathring{A}$
$\lambda_{m2} = 200\,\mathring{A}$
संबंध $\frac{\lambda_{m2}}{\lambda_{m1}} = \frac{T_1}{T_2}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{200}{400} = \frac{473}{T_2}$
$\frac{1}{2} = \frac{473}{T_2} \Rightarrow T_2 = 473 \times 2 = 946\,K$।
तापमान को $^{\circ}C$ में बदलने के लिए:
$T_2(^{\circ}C) = 946 - 273 = 673^{\circ}C$।

(B) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,अधिकतम तीव्रता की तरंगदैर्घ्य $(\lambda_m)$ और परम तापमान $(T)$ का गुणनफल एक स्थिरांक होता है:
$\lambda_m T = b$ (स्थिरांक)
दिया गया है:
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 6000\,K$
प्रारंभिक अधिकतम तरंगदैर्घ्य $\lambda_{m1} = 4800\,\mathring{A}$
अंतिम तापमान $T_2 = 3000\,K$
$\lambda_{m1} T_1 = \lambda_{m2} T_2$ संबंध का उपयोग करने पर:
$4800 \times 6000 = \lambda_{m2} \times 3000$
$\lambda_{m2}$ के लिए हल करने पर:
$\lambda_{m2} = \frac{4800 \times 6000}{3000}$
$\lambda_{m2} = 4800 \times 2$
$\lambda_{m2} = 9600\,\mathring{A}$

(C) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार, अधिकतम उत्सर्जन की तरंगदैर्ध्य $(\lambda_m)$ और परम तापमान $(T)$ का गुणनफल एक नियतांक होता है।
गणितीय रूप से, $\lambda_m T = \text{नियतांक}$.
सूर्य और तारे के लिए, हम लिख सकते हैं:
$\lambda_{m1} T_1 = \lambda_{m2} T_2$
दिया गया है:
$\lambda_{m1} = 500 \, nm$, $T_1 = 6000 \, K$
$\lambda_{m2} = 400 \, nm$, $T_2 = ?$
मान रखने पर:
$500 \times 6000 = 400 \times T_2$
$T_2$ के लिए हल करने पर:
$T_2 = \frac{500 \times 6000}{400}$
$T_2 = 5 \times 1500 = 7500 \, K$.

(D) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार, अधिकतम उत्सर्जन की तरंगदैर्ध्य $(\lambda_m)$ और वस्तु के परम तापमान $(T)$ का गुणनफल एक नियतांक $(b)$ होता है।
$\lambda_m \times T = b$
दिया गया है:
$\lambda_m = 2.93 \times 10^{-10} \, m$
$b = 2.93 \times 10^{-3} \, mK$
सूत्र में मान रखने पर:
$T = \frac{b}{\lambda_m} = \frac{2.93 \times 10^{-3}}{2.93 \times 10^{-10}}$
$T = 1 \times 10^{(-3 - (-10))} \, K$
$T = 10^7 \, K$

(C) वीन के विस्थापन नियम (Wien's displacement law) के अनुसार, $\lambda_m T = \text{नियतांक}$.
इसका अर्थ है कि $\lambda_m \propto 1/T$। इसलिए, जैसे-जैसे तापमान $T$ बढ़ता है, अधिकतम उत्सर्जन तरंगदैर्ध्य $\lambda_m$ घटती है। अतः, कथन सही है।
स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार, प्रति इकाई क्षेत्रफल और प्रति इकाई समय में उत्सर्जित कुल ऊर्जा $E = \sigma T^4$ होती है। यह नियम ऊर्जा और तापमान के बीच संबंध बताता है, न कि अधिकतम तरंगदैर्ध्य के साथ। अधिकतम तरंगदैर्ध्य वीन के विस्थापन नियम द्वारा निर्धारित होती है, न कि तापमान की चौथी घात द्वारा। अतः, कारण गलत है।

(N/A) एक निश्चित तापमान पर कोई वस्तु तरंगदैर्ध्य का एक निरंतर स्पेक्ट्रम उत्पन्न करती है। एक कृष्णिका (black body) के मामले में,अधिकतम तीव्रता के विकिरण के अनुरूप तरंगदैर्ध्य वीन के विस्थापन नियम द्वारा दी जाती है: $\lambda_{m} = \frac{0.29}{T} \; cm \cdot K$.
जहाँ,$\lambda_{m}$ अधिकतम तीव्रता की तरंगदैर्ध्य है और $T$ निरपेक्ष तापमान है।
इस संबंध का उपयोग करके,हम विभिन्न तरंगदैर्ध्य के लिए तापमान की गणना कर सकते हैं:
$1$. $\lambda_{m} = 10^{-4} \; cm$ (अवरक्त क्षेत्र) के लिए,$T = \frac{0.29}{10^{-4}} = 2900 \; K$.
$2$. $\lambda_{m} = 5 \times 10^{-5} \; cm$ (दृश्य प्रकाश क्षेत्र) के लिए,$T = \frac{0.29}{5 \times 10^{-5}} = 5800 \; K$.
$3$. $\lambda_{m} = 10^{-6} \; cm$ (पराबैंगनी क्षेत्र) के लिए,$T = \frac{0.29}{10^{-6}} = 290000 \; K$.
प्राप्त संख्याएँ यह बताती हैं कि विद्युतचुंबकीय स्पेक्ट्रम के विभिन्न भागों में विकिरण प्राप्त करने के लिए विशिष्ट तापमान रेंज की आवश्यकता होती है। जैसे-जैसे तरंगदैर्ध्य घटती है,उस विकिरण को उत्पन्न करने के लिए आवश्यक तापमान बढ़ता जाता है।

(N/A) किसी पिंड द्वारा उत्सर्जित तापीय विकिरण विभिन्न तरंगदैर्ध्य वाली विद्युत चुम्बकीय तरंगों से बना होता है और ये तरंगें एक सतत स्पेक्ट्रम बनाती हैं, लेकिन कुछ निश्चित आवृत्तियों वाली विद्युत चुम्बकीय तरंगों की मात्रा अधिक होती है।
उदाहरण के लिए, कमरे के तापमान $(300 \; K)$ पर कृष्णिका विकिरण में अधिकांश विकिरण $95,500 \; \mathring{A}$ तरंगदैर्ध्य वाली विद्युत चुम्बकीय तरंगों (इन्फ्रारेड तरंगों) से बना होता है।
तापमान बढ़ाने पर, छोटी तरंगदैर्ध्य वाली तरंगों की मात्रा बढ़ जाती है।
लगभग $1100 \; K$ पर, पिंड लाल दिखाई देता है क्योंकि लाल रंग के अनुरूप तरंगदैर्ध्य वाली तरंगों की मात्रा अधिक होती है।
वीन का विस्थापन नियम: "किसी पिंड की सतह से उत्सर्जित विकिरण की अधिकतम स्पेक्ट्रल उत्सर्जन शक्ति के अनुरूप तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{m})$, उत्सर्जक सतह के निरपेक्ष तापमान $(T)$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है।"
गणितीय रूप से, $\lambda_{m} \propto \frac{1}{T}$ या $\lambda_{m} T = b$, जहाँ $b$ वीन का नियतांक है।
वीन के नियतांक का मान $2.9 \times 10^{-3} \; m \cdot K$ है।
नोट: यहाँ $\lambda_{m}$ अधिकतम तरंगदैर्ध्य नहीं है, बल्कि वह तरंगदैर्ध्य है जिस पर विकिरण ऊर्जा घनत्व अधिकतम होता है।
यह नियम बताता है कि लोहे के टुकड़े को गर्म करने पर वह पहले लाल, फिर हरा-पीला और अंत में सफेद क्यों दिखाई देता है।
वीन का नियम सूर्य, चंद्रमा और तारों जैसे खगोलीय पिंडों की सतह के तापमान का अनुमान लगाने के लिए उपयोगी है।

(A) वीन का विस्थापन नियम $\lambda_m T = b$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $b$ वीन का नियतांक है।
$SI$ मात्रक में,वीन के नियतांक का मान $b \approx 2.898 \times 10^{-3} \ m \cdot K$ होता है।
इसे $CGS$ मात्रक में बदलने के लिए,हम मीटर को सेंटीमीटर में बदलते हैं $(1 \ m = 100 \ cm)$:
$b = 2.898 \times 10^{-3} \ m \cdot K = 2.898 \times 10^{-3} \times 100 \ cm \cdot K = 0.2898 \ cm \cdot K$.
अतः,मान $2.898 \times 10^{-3} \ m \cdot K$ और $0.2898 \ cm \cdot K$ हैं।

(N/A) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,परम तापमान $T$ और अधिकतम स्पेक्ट्रल उत्सर्जन शक्ति के संगत तरंगदैर्ध्य $\lambda_m$ का गुणनफल एक नियतांक होता है,जिसे $\lambda_m T = b$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $b \approx 2.898 \times 10^{-3} \ m \cdot K$ वीन नियतांक है।
$1$. सूर्य के लिए: सूर्य लगभग $500 \ nm$ $(500 \times 10^{-9} \ m)$ के तरंगदैर्ध्य पर अधिकतम विकिरण उत्सर्जित करता है। इस नियम का उपयोग करते हुए,$T = b / \lambda_m = (2.898 \times 10^{-3}) / (500 \times 10^{-9}) \approx 5800 \ K$ प्राप्त होता है।
$2$. चंद्रमा के लिए: चंद्रमा सूर्य के प्रकाश को परावर्तित करता है लेकिन यह तापीय विकिरण भी उत्सर्जित करता है। इसकी सतह का तापमान दिन/रात के चक्र के अनुसार बदलता रहता है,लेकिन औसत सतह का तापमान लगभग $200 \ K$ से $400 \ K$ के बीच होता है,जिसका औसत मान आमतौर पर $250 \ K$ से $300 \ K$ के आसपास माना जाता है।

(A) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,अधिकतम उत्सर्जन की तरंगदैर्ध्य $\lambda_{m}$ और परम तापमान $T$ का गुणनफल नियत रहता है,अर्थात $\lambda_{m} T = b$।
इसका अर्थ है कि $T \propto \frac{1}{\lambda_{m}}$।
रंगों के अनुरूप प्रकाश की तरंगदैर्ध्य का क्रम इस प्रकार है: $\lambda_{\text{blue}} < \lambda_{\text{yellow}} < \lambda_{\text{red}}$।
चूंकि तारा $A$ नीला,तारा $C$ पीला और तारा $B$ लाल है,इसलिए उनकी तरंगदैर्ध्य $\lambda_{A} < \lambda_{C} < \lambda_{B}$ है।
चूंकि तापमान तरंगदैर्ध्य के व्युत्क्रमानुपाती होता है,इसलिए हमें $T_{A} > T_{C} > T_{B}$ प्राप्त होता है।

(A) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार, $\lambda_m T = \text{नियतांक} (b)$.
पहले गोले के लिए: $\lambda T_1 = b \implies T_1 = \frac{b}{\lambda}$.
दूसरे गोले के लिए: $(2\lambda) T_2 = b \implies T_2 = \frac{b}{2\lambda} = \frac{T_1}{2}$.
प्रति सेकंड उत्सर्जित विकिरण ऊर्जा शक्ति $P = \sigma A T^4 = \sigma (4\pi R^2) T^4$ है।
अतः, $P \propto R^2 T^4$.
अनुपात $\frac{P_1}{P_2} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2 \left( \frac{T_1}{T_2} \right)^4$ की गणना करने पर।
मान रखने पर: $\frac{P_1}{P_2} = \left( \frac{r}{2r} \right)^2 \left( \frac{T_1}{T_1/2} \right)^4 = \left( \frac{1}{2} \right)^2 (2)^4 = \frac{1}{4} \times 16 = 4$.
इसलिए, अनुपात $4: 1$ है।

(D) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,कृष्णिका (black body) की अधिकतम तीव्रता की तरंगदैर्घ्य $(\lambda_m)$ और परम तापमान $(T)$ का गुणनफल स्थिर होता है।
$\lambda_m T = b$ (स्थिरांक)
अतः,$\lambda_{Sun} T_{Sun} = \lambda_{Moon} T_{Moon}$.
दिया गया है: $\lambda_{Sun} = 0.5 \times 10^{-6} \, m$ और $\lambda_{Moon} = 10^{-4} \, m$.
$\frac{T_{Sun}}{T_{Moon}} = \frac{\lambda_{Moon}}{\lambda_{Sun}} = \frac{10^{-4}}{0.5 \times 10^{-6}}$.
$\frac{T_{Sun}}{T_{Moon}} = \frac{10^{-4}}{0.5 \times 10^{-6}} = \frac{100 \times 10^{-6}}{0.5 \times 10^{-6}} = \frac{100}{0.5} = 200$.
इस प्रकार,उनके तापमान का अनुपात $200$ है।

(B) सही विकल्प $B$ है।
स्पेक्ट्रमी उत्सर्जन शक्ति $e_\lambda$ को प्रति इकाई समय,प्रति इकाई सतह क्षेत्र और प्रति इकाई तरंगदैर्ध्य अंतराल में उत्सर्जित ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया जाता है।
कुल उत्सर्जन शक्ति $E$ को $0$ से $\infty$ तक सभी संभावित तरंगदैर्ध्यों पर स्पेक्ट्रमी उत्सर्जन शक्ति का समाकलन (integration) करके प्राप्त किया जाता है।
गणितीय रूप से,$E = \int \limits_0^{\infty} e_\lambda d \lambda$ है।
ज्यामितीय रूप से,समाकलन $\int \limits_0^{\infty} e_\lambda d \lambda$ स्पेक्ट्रमी उत्सर्जन शक्ति $(e_\lambda)$ और तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ के बीच खींचे गए ग्राफ के वक्र के नीचे का क्षेत्रफल दर्शाता है।
यह कुल उत्सर्जन शक्ति सतह द्वारा उत्सर्जित विकिरण की कुल तीव्रता को दर्शाती है।