Spectral Emissive Power and Wien's Displacement Law Questions in Hindi

(D) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,वह तरंगदैर्ध्य $\lambda_{\max}$ जिस पर विकिरण तीव्रता अधिकतम होती है,कृष्णिका के परम तापमान $T$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है:
$\lambda_{\max} T = b$ (जहाँ $b$ वीन का नियतांक है)।
वस्तु $O_1$ के लिए: $\lambda_1 = 200\,nm$,इसलिए $T_1 = \frac{b}{200}$।
वस्तु $O_2$ के लिए: $\lambda_2 = 600\,nm$,इसलिए $T_2 = \frac{b}{600}$।
स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,प्रति इकाई क्षेत्रफल उत्सर्जित शक्ति (उत्सर्जक शक्ति) $E$ परम तापमान की चौथी घात के समानुपाती होती है:
$E \propto T^4$।
इसलिए,$O_1$ द्वारा प्रति इकाई क्षेत्रफल उत्सर्जित शक्ति का $O_2$ की शक्ति से अनुपात है:
$\frac{E_1}{E_2} = \left( \frac{T_1}{T_2} \right)^4 = \left( \frac{b/200}{b/600} \right)^4 = \left( \frac{600}{200} \right)^4 = (3)^4 = 81$।
अतः,अनुपात $81:1$ है।

(A) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,$\lambda_m T = \text{स्थिरांक}$,इसलिए $\lambda_A T_A = \lambda_B T_B$ है।
दिया गया है $\lambda_A = 500 \,nm$ और $\lambda_B = 1500 \,nm$,अतः $500 T_A = 1500 T_B$,जिसका अर्थ है $T_A / T_B = 3$।
एक कृष्णिका द्वारा विकिरित कुल ऊर्जा की दर $P = \sigma A T^4 = \sigma (4 \pi r^2) T^4$ द्वारा दी जाती है।
इसलिए,$A$ और $B$ द्वारा विकिरित शक्ति का अनुपात $\frac{P_A}{P_B} = \left( \frac{r_A}{r_B} \right)^2 \left( \frac{T_A}{T_B} \right)^4$ होगा।
मान रखने पर: $\frac{P_A}{P_B} = \left( \frac{6}{18} \right)^2 \times (3)^4 = \left( \frac{1}{3} \right)^2 \times 81 = \frac{1}{9} \times 81 = 9$।

(B) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका द्वारा उत्सर्जित शक्ति $P = \sigma A T^4 = \sigma (4\pi R^2) T^4$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि $R_A = 400 R_B$ और $P_A = 10^4 P_B$ है।
इन मानों को शक्ति अनुपात समीकरण में रखने पर: $\frac{P_A}{P_B} = \left(\frac{R_A}{R_B}\right)^2 \left(\frac{T_A}{T_B}\right)^4$.
$10^4 = (400)^2 \left(\frac{T_A}{T_B}\right)^4$.
$10^4 = 160000 \left(\frac{T_A}{T_B}\right)^4 = 1.6 \times 10^5 \left(\frac{T_A}{T_B}\right)^4$.
$\left(\frac{T_A}{T_B}\right)^4 = \frac{10^4}{1.6 \times 10^5} = \frac{1}{16}$.
चौथा मूल लेने पर,$\frac{T_A}{T_B} = \frac{1}{2}$,जिसका अर्थ है $T_B = 2 T_A$।
वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,$\lambda T = \text{स्थिरांक}$,इसलिए $\lambda_A T_A = \lambda_B T_B$।
अतः,$\frac{\lambda_A}{\lambda_B} = \frac{T_B}{T_A} = 2$।

(A) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,$\lambda_{\max} T = b$ (नियतांक),जिसका अर्थ है $T \propto \frac{1}{\lambda}$।
स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन के नियम के अनुसार,उत्सर्जन शक्ति $E$ (या प्रति इकाई क्षेत्रफल विकिरित शक्ति) $E = \sigma T^4$ द्वारा दी जाती है।
स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम में $T \propto \frac{1}{\lambda}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $E \propto \left(\frac{1}{\lambda}\right)^4$ या $E \propto \lambda^{-4}$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए प्रारंभिक स्थिति $(\lambda_1, E_1)$ है और अंतिम स्थिति $(\lambda_2, E_2)$ है।
दिया गया है कि $\lambda_1 = \lambda$ और $\lambda_2 = \frac{2\lambda}{3}$।
अतः,$\frac{E_2}{E_1} = \left(\frac{\lambda_1}{\lambda_2}\right)^4 = \left(\frac{\lambda}{\frac{2\lambda}{3}}\right)^4 = \left(\frac{3}{2}\right)^4 = \frac{81}{16}$।
इस प्रकार,$E_2 = \frac{81}{16} E$।

(D) ग्राफ y-अक्ष पर वर्णक्रमीय उत्सर्जन शक्ति $(E_{\lambda})$ और x-अक्ष पर तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ को दर्शाता है।
वक्र के नीचे का क्षेत्रफल समाकलन $\int_{0}^{\infty} E_{\lambda} d\lambda$ द्वारा दिया जाता है।
वर्णक्रमीय उत्सर्जन शक्ति की परिभाषा के अनुसार,यह समाकलन सभी संभावित तरंगदैर्ध्यों पर कृष्णिका के प्रति इकाई सतह क्षेत्रफल में प्रति इकाई समय में उत्सर्जित कुल विकिरण ऊर्जा को दर्शाता है।
यह स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुरूप है,जो बताता है कि प्रति इकाई क्षेत्रफल में उत्सर्जित कुल शक्ति परम तापमान के चतुर्थ घात $(E = \sigma T^4)$ के समानुपाती होती है।

(B) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,वह तरंगदैर्ध्य $\lambda_m$ जिस पर एक कृष्णिका अधिकतम ऊर्जा का विकिरण करती है,उसके निरपेक्ष तापमान $T$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है,अर्थात $\lambda_m T = b$ (स्थिरांक)।
मान लीजिए $\lambda_A$ और $\lambda_B$ क्रमशः वस्तुओं $A$ और $B$ के लिए अधिकतम उत्सर्जन की तरंगदैर्ध्य हैं,और $T_A$ और $T_B$ उनके तापमान हैं।
दिया गया है: $T_A = 3T_B$।
वीन के नियम से: $\lambda_A T_A = \lambda_B T_B$।
$T_A$ का मान रखने पर: $\lambda_A (3T_B) = \lambda_B T_B$,जिसका अर्थ है $\lambda_B = 3\lambda_A$।
तरंगदैर्ध्य का अंतर दिया गया है: $\lambda_B - \lambda_A = 4 \mu m$।
$\lambda_B = 3\lambda_A$ रखने पर: $3\lambda_A - \lambda_A = 4 \mu m$,इसलिए $2\lambda_A = 4 \mu m$,जिससे $\lambda_A = 2 \mu m$ प्राप्त होता है।
अतः,$\lambda_B = 3 \times 2 \mu m = 6 \mu m$।

(A) वीन के विस्थापन नियम (Wien's Displacement Law) के अनुसार,एक कृष्णिका द्वारा उत्सर्जित विकिरण की अधिकतम तीव्रता के संगत तरंगदैर्ध्य $\lambda_m$ उसके परम तापमान $T$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
गणितीय रूप से,$\lambda_m T = \text{स्थिरांक}$,या $\lambda_1 T_1 = \lambda_2 T_2$.
दिया गया है: $\lambda_1 = \lambda$,$T_1 = T$,और $T_2 = 1.5 \ T = \frac{3}{2} \ T$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\lambda \cdot T = \lambda_2 \cdot (1.5 \ T)$
$\lambda_2 = \frac{\lambda \cdot T}{1.5 \ T} = \frac{\lambda}{1.5} = \frac{\lambda}{3/2} = \frac{2 \lambda}{3}$.
अतः,नई तरंगदैर्ध्य $\frac{2 \lambda}{3}$ होगी।

(D) वीन के विस्थापन नियम (Wien's displacement law) के अनुसार,तापमान $T$ और अधिकतम वर्णक्रमीय उत्सर्जन शक्ति के संगत तरंगदैर्ध्य $\lambda_{m}$ का गुणनफल एक नियतांक होता है।
$\lambda_{m} T = b$ (नियतांक)
दिया गया है:
$T_1 = 2000 \ K$
$T_2 = 3000 \ K$
मान लीजिए कि $T_2$ पर तरंगदैर्ध्य $\lambda'_{m}$ है।
अतः,$\lambda_{m} T_1 = \lambda'_{m} T_2$
$\lambda'_{m} = \lambda_{m} \times \frac{T_1}{T_2}$
$\lambda'_{m} = \lambda_{m} \times \frac{2000}{3000}$
$\lambda'_{m} = \frac{2}{3} \lambda_{m}$
इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(C) वीन के विस्थापन नियम (Wien's displacement law) के अनुसार,अधिकतम ऊर्जा उत्सर्जन के संगत तरंगदैर्घ्य $\lambda_m$ कृष्णिका के परम तापमान $T$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है:
$\lambda_m \propto \frac{1}{T}$
चूंकि आवृत्ति $\nu_m$ तरंगदैर्घ्य से $\nu_m = \frac{c}{\lambda_m}$ संबंध द्वारा जुड़ी है,जहाँ $c$ प्रकाश की गति है,हम $\lambda_m = \frac{c}{\nu_m}$ को समानुपाती संबंध में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$\frac{c}{\nu_m} \propto \frac{1}{T}$
$\nu_m \propto T$
यह इंगित करता है कि आवृत्ति $\nu_m$ तापमान $T$ के सीधे समानुपाती है। दो चरों के बीच सीधा समानुपाती संबंध मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा द्वारा दर्शाया जाता है। दिए गए चित्र में,सीधी रेखा $B$ इस रैखिक संबंध को दर्शाती है।

(B) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,$\lambda_{\text{max}} T = \text{नियतांक}$.
अतः,$\frac{T_1}{T_2} = \frac{\lambda_{\text{max}2}}{\lambda_{\text{max}1}} = \frac{\lambda_0 / 4}{\lambda_0} = \frac{1}{4}$,जिसका अर्थ है $T_2 = 4T_1$.
स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका द्वारा विकिरित शक्ति $P = \sigma A T^4$ होती है।
इसलिए,विकिरित शक्ति का अनुपात $\frac{P_2}{P_1} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4$ है।
मान रखने पर,$\frac{P_2}{P_1} = (4)^4 = 256$.
अतः,नई विकिरित शक्ति $P_2 = 256 P$ होगी।

(B) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,वह तरंगदैर्ध्य $\lambda_m$ जिस पर एक पिंड अधिकतम ऊर्जा विकीर्ण करता है,उसके परम तापमान $T$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है,जिसे $\lambda_m T = b$ (जहाँ $b$ वीन का नियतांक है) द्वारा दिया जाता है।
पिंड $P$ और $Q$ के लिए,हमारे पास $\lambda_P T_P = \lambda_Q T_Q$ है।
यह दिया गया है कि $T_P = 4 T_Q$,इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\lambda_P (4 T_Q) = \lambda_Q T_Q \implies \lambda_Q = 4 \lambda_P$ (समीकरण $1$)।
हमें तरंगदैर्ध्य का अंतर $\lambda_Q - \lambda_P = 3 \mu m$ दिया गया है (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ को समीकरण $2$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$4 \lambda_P - \lambda_P = 3 \mu m$
$3 \lambda_P = 3 \mu m$
$\lambda_P = 1 \mu m$।
अब,समीकरण $1$ का उपयोग करके $\lambda_Q$ ज्ञात करने पर:
$\lambda_Q = 4 \times 1 \mu m = 4 \mu m$।

(A) एक कृष्णिका की उत्सर्जक शक्ति $E$ स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम द्वारा दी जाती है: $E = \sigma T^4$। हालाँकि,एक सतह द्वारा विकीर्ण कुल शक्ति $P = A \sigma T^4$ है।
$P \propto A T^4$।
चूंकि $A = \pi R^2$,इसलिए $A \propto R^2$।
दी गई त्रिज्याओं $R_x = 1 \ m, R_y = 2 \ m, R_z = 3 \ m$ के लिए,क्षेत्रफल का अनुपात $A_x : A_y : A_z = 1^2 : 2^2 : 3^2 = 1 : 4 : 9$ है।
वीन के विस्थापन नियम $\lambda_{max} T = b$ (स्थिरांक) के अनुसार,$T \propto \frac{1}{\lambda_{max}}$।
दी गई $\lambda_{max,x} = 200 \ nm, \lambda_{max,y} = 300 \ nm, \lambda_{max,z} = 400 \ nm$ के लिए,तापमान का अनुपात $T_x : T_y : T_z = \frac{1}{200} : \frac{1}{300} : \frac{1}{400} = 6 : 4 : 3$ है।
अब,$P \propto A T^4$ की गणना करते हुए:
$x$ के लिए: $P_x \propto 1 \times (6)^4 = 1296$।
$y$ के लिए: $P_y \propto 4 \times (4)^4 = 1024$।
$z$ के लिए: $P_z \propto 9 \times (3)^4 = 729$।
अतः,$P_x > P_y > P_z$,जिसका अर्थ है $E_x > E_y > E_z$।

(B) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,$\lambda_{\max} T = b$,जहाँ $b$ वीन का नियतांक है। इसलिए,$T = \frac{b}{\lambda_{\max}}$.
स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका की कुल उत्सर्जक शक्ति $E$ उसके परम तापमान की चौथी घात के समानुपाती होती है: $E = \sigma T^4$.
$T$ के लिए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $E = \sigma \left( \frac{b}{\lambda_{\max}} \right)^4$.
मान लीजिए प्रारंभिक तरंगदैर्ध्य $\lambda_1 = \lambda$ है और अंतिम तरंगदैर्ध्य $\lambda_2 = \frac{2 \lambda}{3}$ है।
चूंकि $E \propto \frac{1}{\lambda_{\max}^4}$,हम उत्सर्जक शक्तियों का अनुपात इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\frac{E'}{E} = \left( \frac{\lambda_1}{\lambda_2} \right)^4$.
मान रखने पर: $\frac{E'}{E} = \left( \frac{\lambda}{\frac{2 \lambda}{3}} \right)^4 = \left( \frac{3}{2} \right)^4$.
मान की गणना करने पर: $\frac{E'}{E} = \frac{81}{16}$.
अतः,नई उत्सर्जक शक्ति $E' = \frac{81}{16} E$ होगी।

(D) वीन के विस्थापन नियम (Wien's displacement law) के अनुसार,$\lambda_m T = b$,जहाँ $b$ वीन का नियतांक है।
यदि $v_m$ तरंगदैर्ध्य $\lambda_m$ के संगत आवृत्ति है,तो $\lambda_m = \frac{c}{v_m}$ होगा।
इसे विस्थापन नियम में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\left(\frac{c}{v_m}\right) T = b$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$v_m = \left(\frac{c}{b}\right) T$ प्राप्त होता है।
चूंकि $c$ (प्रकाश की गति) और $b$ (वीन नियतांक) स्थिर हैं,इसलिए $v_m \propto T$ है।
यह मूल बिंदु से गुजरने वाला एक रैखिक संबंध दर्शाता है,जो ग्राफ में $B$ रेखा द्वारा प्रदर्शित है।
अतः,विकल्प $D$ सही उत्तर है।

(D) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,जिस तरंगदैर्ध्य पर विकिरण ऊर्जा घनत्व अधिकतम होता है $(\lambda_m)$ और परम तापमान $(T)$ का गुणनफल एक नियतांक होता है।
$\lambda_m T = \text{constant}$
दिया गया है कि तापमान $T$ पर,अधिकतम मान $\lambda_0$ पर है,इसलिए:
$\lambda_0 T = \lambda' T'$
यहाँ,$T' = 2T$ है। इस मान को समीकरण में रखने पर:
$\lambda_0 T = \lambda' (2T)$
$\lambda' = \frac{\lambda_0 T}{2T} = \frac{\lambda_0}{2}$
अतः,तापमान $2T$ पर,अधिकतम ऊर्जा घनत्व $\frac{\lambda_0}{2}$ तरंगदैर्ध्य पर प्राप्त होगा।

(C) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,अधिकतम स्पेक्ट्रमी तीव्रता के संगत तरंगदैर्ध्य $\lambda_m$ निरपेक्ष तापमान $T$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है:
$\lambda_m \propto \frac{1}{T}$
चूंकि आवृत्ति $f$ और तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के बीच संबंध $f = \frac{c}{\lambda}$ है,जहाँ $c$ प्रकाश की गति है,इसलिए $\lambda \propto \frac{1}{f}$ होता है।
इसे वीन के नियम में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{f} \propto \frac{1}{T} \Rightarrow f \propto T$
अतः,यदि तापमान $T$ को दोगुना किया जाता है,तो वह आवृत्ति $f$ जिस पर स्पेक्ट्रमी तीव्रता अधिकतम होती है,वह भी दोगुनी हो जाएगी।

(A) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका (black body) की कुल उत्सर्जक शक्ति $E = \sigma T^4$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\sigma$ स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियतांक है और $T$ परम तापमान है।
वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,अधिकतम तीव्रता के संगत तरंगदैर्ध्य $\lambda_m$ परम तापमान $T$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है,अर्थात $T = \frac{b}{\lambda_m}$,जहाँ $b$ वीन का नियतांक है।
$E$ के व्यंजक में $T$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $E \propto (\frac{1}{\lambda_m})^4 = \frac{1}{\lambda_m^4}$ प्राप्त होता है।
ध्यान दें कि एक कृष्णिका की उत्सर्जक शक्ति $E$ केवल उसके तापमान पर निर्भर करती है,न कि उसके सतह के क्षेत्रफल या त्रिज्या पर।
दिया गया है: $\lambda_x = 200 \ nm, \lambda_y = 300 \ nm, \lambda_z = 400 \ nm$.
चूंकि $E \propto \frac{1}{\lambda_m^4}$,हमारे पास है:
$E_x \propto \frac{1}{200^4}$
$E_y \propto \frac{1}{300^4}$
$E_z \propto \frac{1}{400^4}$
मानों की तुलना करने पर,चूंकि $200 < 300 < 400$,इसलिए $\frac{1}{200^4} > \frac{1}{300^4} > \frac{1}{400^4}$ होगा।
अतः,$E_x > E_y > E_z$,जिसका अर्थ है कि $E_x$ अधिकतम है।

(C) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,अधिकतम ऊर्जा उत्सर्जन के संगत तरंगदैर्ध्य $\lambda_m$ परम तापमान $T$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है:
$\lambda_m T = b$ (जहाँ $b$ वीन का नियतांक है)।
अतः,$\lambda_{mA} T_A = \lambda_{mB} T_B$।
दिया गया है कि $T_A = 3 T_B$,इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\lambda_{mA} (3 T_B) = \lambda_{mB} T_B \implies \lambda_{mB} = 3 \lambda_{mA}$।
हमें तरंगदैर्ध्य का अंतर भी दिया गया है:
$\lambda_{mB} - \lambda_{mA} = 4 \mu m$।
$\lambda_{mB} = 3 \lambda_{mA}$ को अंतर वाले समीकरण में रखने पर:
$3 \lambda_{mA} - \lambda_{mA} = 4 \mu m \implies 2 \lambda_{mA} = 4 \mu m \implies \lambda_{mA} = 2 \mu m$।
अब,$\lambda_{mB}$ की गणना करने पर:
$\lambda_{mB} = 3 \lambda_{mA} = 3(2 \mu m) = 6 \mu m$।

(D) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,अधिकतम उत्सर्जन की तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{m})$ और परम तापमान $(T)$ का गुणनफल एक स्थिरांक होता है,अर्थात $\lambda_{m} T = b$.
इसका अर्थ है कि $T \propto \frac{1}{\lambda_{m}}$.
नीले प्रकाश की तरंगदैर्ध्य पीले प्रकाश की तरंगदैर्ध्य से कम होती है $(\lambda_{\text{blue}} < \lambda_{\text{yellow}})$।
चूंकि तारा '$Q$' नीला प्रकाश उत्सर्जित करता है और तारा '$P$' पीला प्रकाश उत्सर्जित करता है,इसलिए $\lambda_{Q} < \lambda_{P}$ है।
अतः,$T_{Q} > T_{P}$,जिसे $T_{P} < T_{Q}$ के रूप में भी लिखा जा सकता है।

(B) वीन के विस्थापन नियम (Wien's displacement law) के अनुसार,अधिकतम उत्सर्जन की तरंगदैर्ध्य और परम तापमान का गुणनफल एक नियतांक होता है:
$\lambda_m T = \text{constant}$
अतः,$\lambda_m \propto \frac{1}{T}$.
यहाँ $T_1 = 2000 \ K$ और $T_2 = 3000 \ K$ दिया गया है,और प्रारंभिक तरंगदैर्ध्य $\lambda_m$ है:
$\frac{\lambda_2}{\lambda_m} = \frac{T_1}{T_2}$
$\frac{\lambda_2}{\lambda_m} = \frac{2000}{3000} = \frac{2}{3}$
$\lambda_2 = \frac{2}{3} \lambda_m$
इस प्रकार,$3000 \ K$ तापमान पर संगत तरंगदैर्ध्य $\frac{2}{3} \lambda_m$ होगी।

(A) उत्सर्जक शक्ति $E$ को प्रति इकाई क्षेत्रफल $A$ और प्रति इकाई समय $t$ में विकिरित ऊष्मा ऊर्जा $Q$ के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिसका सूत्र $E = \frac{Q}{A \cdot t}$ है।
कुल विकिरित ऊष्मा $Q$ ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र को इस प्रकार व्यवस्थित करते हैं: $Q = E \cdot A \cdot t$.
दिए गए मान $E = 0.7 \,kcal \,s^{-1} \,m^{-2}$, $A = 0.04 \,m^2$, और $t = 20 \,s$ हैं।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $Q = 0.7 \times 0.04 \times 20$.
$Q = 0.7 \times 0.8 = 0.56 \,kcal$.
अतः, विकिरित ऊष्मा की मात्रा $0.56 \,kcal$ है।

(A) दिया गया है: सतह का तापमान $T = 6000 \,K$,वीन का नियतांक $b = 2.897 \times 10^{-3} \,m-K$ है।
वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,$\lambda_{max} T = b$ होता है।
इसलिए,$\lambda_{max} = \frac{b}{T} = \frac{2.897 \times 10^{-3}}{6000} \,m$ है।
$\lambda_{max} = 4.828 \times 10^{-7} \,m$ है।
चूंकि $1 \,Å = 10^{-10} \,m$ होता है,इसलिए $4.828 \times 10^{-7} \,m = 4828 \times 10^{-10} \,m = 4828 \,Å$ होगा।

(B) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,$\lambda_{max} T = b$ (नियतांक)।
मान लीजिए $\lambda_A$ और $\lambda_B$ पिंड $A$ और $B$ के लिए अधिकतम ऊर्जा की तरंगदैर्ध्य हैं,और $T_A$ और $T_B$ उनके निरपेक्ष तापमान हैं।
दिया गया है: $T_A = 3 T_B$ और $\lambda_B - \lambda_A = 4 \mu m$ (चूंकि $T_A > T_B$,इसलिए $\lambda_A < \lambda_B$)।
वीन के नियम से: $\lambda_A T_A = \lambda_B T_B$।
$T_A = 3 T_B$ प्रतिस्थापित करने पर: $\lambda_A (3 T_B) = \lambda_B T_B$,जिससे $\lambda_B = 3 \lambda_A$ प्राप्त होता है।
इसे अंतर समीकरण में रखने पर: $3 \lambda_A - \lambda_A = 4 \mu m$।
$2 \lambda_A = 4 \mu m \implies \lambda_A = 2 \mu m$।
अतः,$\lambda_B = 3 \times 2 \mu m = 6 \mu m$।

(D) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,अधिकतम तीव्रता वाली तरंगदैर्ध्य $\lambda_{m}$ और परम तापमान $T$ का गुणनफल एक नियतांक होता है।
$\lambda_{m} T = \text{नियतांक}$
दिया गया है:
$T_{1} = 2200 \ K$
$T_{2} = 3300 \ K$
माना कि नया तरंगदैर्ध्य $\lambda_{m}^{\prime}$ है।
संबंध $\lambda_{m} T_{1} = \lambda_{m}^{\prime} T_{2}$ का उपयोग करने पर:
$\lambda_{m}^{\prime} = \lambda_{m} \times \frac{T_{1}}{T_{2}}$
$\lambda_{m}^{\prime} = \lambda_{m} \times \frac{2200}{3300}$
$\lambda_{m}^{\prime} = \frac{2}{3} \lambda_{m}$

(D) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,$\lambda_{m} T = b$ (नियतांक),इसलिए $T \propto \frac{1}{\lambda_{m}}$.
स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका (black body) की कुल उत्सर्जन शक्ति $E$,$E = \sigma T^{4}$ द्वारा दी जाती है।
$T \propto \frac{1}{\lambda_{m}}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $E \propto \left(\frac{1}{\lambda_{m}}\right)^{4} = \frac{1}{\lambda_{m}^{4}}$ प्राप्त होता है।
ध्यान दें कि उत्सर्जन शक्ति $E$ कृष्णिका के सतह क्षेत्र $A$ से स्वतंत्र है।
इसलिए,उत्सर्जन शक्ति का अनुपात $Ex : Ey : Ez = \frac{1}{\lambda_{x}^{4}} : \frac{1}{\lambda_{y}^{4}} : \frac{1}{\lambda_{z}^{4}}$ है।
दिए गए मानों को रखने पर: $Ex : Ey : Ez = \frac{1}{(200)^{4}} : \frac{1}{(300)^{4}} : \frac{1}{(400)^{4}}$.
चूंकि $200 < 300 < 400$,इसलिए $\frac{1}{200^{4}} > \frac{1}{300^{4}} > \frac{1}{400^{4}}$ होता है।
अतः,$Ex > Ey > Ez$.

(C) दिया गया है,अधिकतम तरंगदैर्ध्य $\lambda_m = 289.8 \ nm = 289.8 \times 10^{-9} \ m = 2.898 \times 10^{-7} \ m$.
स्टीफन नियतांक $\sigma = 5.67 \times 10^{-8} \ W \ m^{-2} \ K^{-4}$.
वीन नियतांक $b = 2898 \ \mu m \ K = 2898 \times 10^{-6} \ m \ K$.
वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,$\lambda_m = \frac{b}{T}$,इसलिए $T = \frac{b}{\lambda_m}$.
मान रखने पर,$T = \frac{2898 \times 10^{-6}}{289.8 \times 10^{-9}} = 10^4 \ K$.
स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,विकिरण की तीव्रता $I = \sigma T^4$ (तारे को कृष्णिका मानते हुए,$e=1$).
मान रखने पर,$I = (5.67 \times 10^{-8}) \times (10^4)^4 = 5.67 \times 10^{-8} \times 10^{16} = 5.67 \times 10^8 \ W \ m^{-2}$.

(D) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,विकिरण की अधिकतम तीव्रता के संगत तरंगदैर्ध्य $\lambda_{m}$ और वस्तु के परम ताप $T$ का गुणनफल एक नियतांक होता है।
गणितीय रूप से,$\lambda_{m} T = b$ है।
यहाँ,$\lambda_{m}$ को मीटर $(m)$ में मापा जाता है और $T$ को केल्विन $(K)$ में मापा जाता है।
इसलिए,वीन के नियतांक $b$ का मात्रक तरंगदैर्ध्य और तापमान के मात्रकों का गुणनफल है,जो कि $m K$ है।

(C) परम शून्य से ऊपर के तापमान पर सभी पिंड विद्युत चुम्बकीय विकिरण उत्सर्जित करते हैं। मानव शरीर,जो लगभग $37^{\circ}C$ $(310 \ K)$ के तापमान पर होता है,तापीय विकिरण उत्सर्जित करता है।
वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,इस विकिरण की अधिकतम तरंगदैर्ध्य विद्युत चुम्बकीय स्पेक्ट्रम के इन्फ्रारेड क्षेत्र के अनुरूप होती है।
मानव शरीर के विकिरण के लिए तरंगदैर्ध्य सीमा आमतौर पर इन्फ्रारेड क्षेत्र में होती है,विशेष रूप से $10 \ \mu m$ के आसपास।
इसलिए,मानव शरीर द्वारा उत्सर्जित विकिरण इन्फ्रारेड क्षेत्र में होता है।

(C) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,अधिकतम उत्सर्जन की तरंगदैर्घ्य और परम तापमान का गुणनफल स्थिर रहता है: $\lambda T = b$।
अतः,$\lambda_A T_A = \lambda_B T_B$।
इसका अर्थ है कि तापमान का अनुपात तरंगदैर्घ्य के अनुपात के व्युत्क्रमानुपाती होता है: $\frac{T_A}{T_B} = \frac{\lambda_B}{\lambda_A}$।
यहाँ $\lambda_A = 360 \ nm$ और $\lambda_B = 480 \ nm$ दिया गया है।
मान रखने पर: $\frac{T_A}{T_B} = \frac{480}{360} = \frac{4}{3}$।
इस प्रकार,$A$ और $B$ के सतह के तापमान का अनुपात $4: 3$ है।

(C) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार, अधिकतम तीव्रता के संगत तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{m})$ परम ताप $(T)$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है, अर्थात $\lambda_{m} T = \text{नियतांक}$.
चूँकि आवृत्ति $\nu_{m}$ तरंगदैर्ध्य से $\nu_{m} = c / \lambda_{m}$ द्वारा संबंधित है, हम विस्थापन नियम में $\lambda_{m} = c / \nu_{m}$ प्रतिस्थापित कर सकते हैं।
इससे $(c / \nu_{m}) T = \text{नियतांक}$ प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर $\nu_{m} / T = \text{नियतांक}'$ या $\nu_{m} \propto T$ प्राप्त होता है।
अतः, एक पूर्णतः कृष्णिका के लिए $\nu_{m}$ बनाम $T$ का ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है, जो दी गई आकृति में रेखा $C$ के अनुरूप है।

(B) तारों के सतह का तापमान वीन के विस्थापन नियम (Wien's displacement law) का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है।
इस नियम के अनुसार,$\lambda_{m} T = b$,जहाँ $\lambda_{m}$ अधिकतम वर्णक्रमीय उत्सर्जन शक्ति के अनुरूप तरंगदैर्ध्य है,$T$ कृष्णिका (black body) का परम तापमान है,और $b$ वीन का नियतांक है।
वीन नियतांक का मान लगभग $2.898 \times 10^{-3} \ m \cdot K$ होता है।
जिस तरंगदैर्ध्य $\lambda_{m}$ पर तारा अधिकतम विकिरण उत्सर्जित करता है,उसे मापकर सतह का तापमान $T = b / \lambda_{m}$ के रूप में ज्ञात किया जा सकता है।

(C) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,अधिकतम उत्सर्जन की तरंगदैर्घ्य $(\lambda_m)$ और परम तापमान $(T)$ का गुणनफल नियत रहता है:
$\lambda_{m1} T_1 = \lambda_{m2} T_2$
दिया गया है:
$\lambda_{m1} = 500 \,nm$,$T_1 = 6000 \,K$
$\lambda_{m2} = 400 \,nm$,$T_2 = ?$
समीकरण में मान रखने पर:
$500 \,nm \times 6000 \,K = 400 \,nm \times T_2$
$T_2 = \frac{500 \times 6000}{400}$
$T_2 = 5 \times 1500$
$T_2 = 7500 \,K$
अतः,तारे का तापमान $7500 \,K$ होगा।

(D) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,कृष्णिका की अधिकतम तीव्रता की तरंगदैर्घ्य $(\lambda_m)$ और परम तापमान $(T)$ का गुणनफल नियत रहता है: $\lambda_m T = b$ (जहाँ $b$ वीन नियतांक है)।
अतः,$T \propto \frac{1}{\lambda_m}$।
दिया गया है: $\lambda_A = 0.5 \mu m = 0.5 \times 10^{-6} \ m$ और $\lambda_B = 0.1 \ mm = 0.1 \times 10^{-3} \ m = 10^{-4} \ m$।
तापमान का अनुपात $\frac{T_A}{T_B} = \frac{\lambda_B}{\lambda_A}$ होगा।
मान रखने पर: $\frac{T_A}{T_B} = \frac{10^{-4}}{0.5 \times 10^{-6}} = \frac{10^{-4}}{5 \times 10^{-7}} = \frac{1000}{5} = 200$।
इस प्रकार,पिंडों $A$ और $B$ के तापमान का अनुपात $200$ है।

(D) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार, उत्सर्जन की अधिकतम तीव्रता के अनुरूप तरंगदैर्ध्य $(\lambda_m)$ वस्तु के परम तापमान $(T)$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है, जिसे $\lambda_m T = b$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $b$ वीन का नियतांक है।
जैसे-जैसे लोहे की छड़ का तापमान बढ़ता है, उत्सर्जित विकिरण की तरंगदैर्ध्य कम होती जाती है।
प्रारंभ में, कम तापमान पर, उत्सर्जित विकिरण दृश्य स्पेक्ट्रम के लाल भाग में होता है।
जैसे-जैसे तापमान और बढ़ता है, शिखर तरंगदैर्ध्य छोटी तरंगदैर्ध्य (पीला, फिर नीला, और अंत में सफेद) की ओर स्थानांतरित हो जाती है, जो सभी दृश्य तरंगदैर्ध्य का मिश्रण है।
इस प्रकार, रंग में परिवर्तन को वीन के विस्थापन नियम द्वारा समझाया जा सकता है।

(A) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार, एक कृष्णिका (black body) द्वारा उत्सर्जित अधिकतम ऊर्जा के संगत तरंगदैर्ध्य $(\lambda_m)$ उसके परम ताप $(T)$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
गणितीय रूप से, $\lambda_m \propto \frac{1}{T}$।
इसे $\lambda_m = \frac{b}{T}$ के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ $b$ वीन का नियतांक है।
अतः, $\lambda_m \cdot T = b$, जो एक नियतांक है।

(A) दिया गया है:
पिंड का तापमान, $T_1 = 3000 \,K$
पिंड के लिए अधिकतम ऊर्जा उत्सर्जन की तरंगदैर्ध्य, $\lambda_1 = 9660 Å$
सूर्य के लिए अधिकतम ऊर्जा उत्सर्जन की तरंगदैर्ध्य, $\lambda_2 = 4950 Å$
वीन के विस्थापन नियम के अनुसार, अधिकतम उत्सर्जन की तरंगदैर्ध्य और परम तापमान का गुणनफल स्थिर रहता है:
$\lambda_1 T_1 = \lambda_2 T_2$
सूर्य का तापमान $(T_2)$ ज्ञात करने के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$T_2 = \frac{\lambda_1 T_1}{\lambda_2}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$T_2 = \frac{9660 Å \times 3000 \,K}{4950 Å}$
$T_2 = \frac{28980000}{4950} \,K$
$T_2 \approx 5854.54 \,K$
निकटतम पूर्णांक में लेने पर, $T_2 \approx 5855 \,K$ प्राप्त होता है।

(D) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,अधिकतम उत्सर्जन की तरंगदैर्ध्य $(\lambda_m)$ और परम तापमान $(T)$ का गुणनफल एक नियतांक होता है,अर्थात $\lambda_m T = b$ (नियतांक)।
इसलिए,$\lambda_{m_1} T_1 = \lambda_{m_2} T_2$।
दिया गया है:
$\lambda_{m_1} = 4.08 \ \mu m$
$T_1 = 700 \ K$
$T_2 = 1400 \ K$
मान रखने पर:
$4.08 \times 700 = \lambda_{m_2} \times 1400$
$\lambda_{m_2} = \frac{4.08 \times 700}{1400}$
$\lambda_{m_2} = \frac{4.08}{2} = 2.04 \ \mu m$।
अतः,नई तरंगदैर्ध्य $2.04 \ \mu m$ होगी।

(A) दिया गया है: $\lambda_m = 289.8 \, nm = 289.8 \times 10^{-9} \, m$, $b = 2898 \, \mu m K = 2898 \times 10^{-6} \, m K$, $\sigma = 5.67 \times 10^{-8} \, W m^{-2} K^{-4}$.
वीन के विस्थापन नियम का उपयोग करने पर: $\lambda_m T = b$.
$T = \frac{b}{\lambda_m} = \frac{2898 \times 10^{-6}}{289.8 \times 10^{-9}} = 10^4 \, K$.
विकिरण तीव्रता (उत्सर्जन शक्ति) $E = \sigma T^4$.
$E = (5.67 \times 10^{-8}) \times (10^4)^4$.
$E = 5.67 \times 10^{-8} \times 10^{16} = 5.67 \times 10^8 \, W/m^2$.

(A) वीन के विस्थापन नियम (Wien's displacement law) के अनुसार,$\lambda_m \cdot T = b$,जहाँ $\lambda_m$ कृष्णिका से अधिकतम ऊर्जा विकिरण के संगत तरंगदैर्ध्य है,$b$ वीन का नियतांक है और $T$ परम तापमान है।
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $\lambda_m = \frac{b}{T}$।
अतः,$\lambda_m \propto \frac{1}{T}$,जिसे $\lambda_m \propto T^{-1}$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(C) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,कृष्णिका की अधिकतम उत्सर्जन की तरंगदैर्ध्य $\lambda_m$ और परम तापमान $T$ के बीच का संबंध $\lambda_m T = b$ है,जहाँ $b$ वीन का नियतांक है।
दिया गया है:
$\lambda_m = 6 \ mm = 6 \times 10^{-3} \ m$
$b = 3 \times 10^{-3} \ mK$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$(6 \times 10^{-3} \ m) \times T = 3 \times 10^{-3} \ mK$
$T = \frac{3 \times 10^{-3}}{6 \times 10^{-3}} \ K$
$T = \frac{1}{2} \ K = 0.5 \ K$
अतः,कृष्णिका का तापमान $0.5 \ K$ है।

(A) वीन के विस्थापन नियम (Wien's displacement law) के अनुसार, कृष्णिका की अधिकतम उत्सर्जन तरंगदैर्ध्य और परम तापमान के बीच का संबंध इस प्रकार है:
$\lambda T = b$
जहाँ:
$\lambda$ विकिरण की तरंगदैर्ध्य है = $1 \,mm = 1 \times 10^{-3} \,m$
$b$ वीन का नियतांक है = $3 \times 10^{-3} \,mK$
$T$ कृष्णिका का तापमान है।
सूत्र में मान रखने पर:
$T = \frac{b}{\lambda} = \frac{3 \times 10^{-3} \,mK}{1 \times 10^{-3} \,m} = 3 \,K$
अतः, कृष्णिका का तापमान $3 \,K$ है।

(D) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,विकिरित शक्ति $P = e A \sigma T^4$ होती है। चूंकि पिंडों का सतह क्षेत्रफल समान है और वे समान दर से ऊर्जा विकिरित कर रहे हैं $(P_A = P_B)$,इसलिए $e_A T_A^4 = e_B T_B^4$ होगा।
यहाँ $e_A = 0.01$,$e_B = 0.81$,और $T_A = 5802 \ K$ दिया गया है।
मान रखने पर: $0.01 \times (5802)^4 = 0.81 \times T_B^4$.
दोनों पक्षों का चतुर्थ मूल लेने पर: $T_B = T_A \times (0.01 / 0.81)^{1/4} = 5802 \times (1/81)^{1/4} = 5802 / 3 = 1934 \ K$.
वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,$\lambda_A T_A = \lambda_B T_B = b$ (जहाँ $b \approx 2898 \ \mu m \cdot K$)।
अतः,$\lambda_A = b / T_A = 2898 / 5802 \approx 0.5 \ \mu m$।
दिया गया है कि $\lambda_B - \lambda_A = 1 \ \mu m$,इसलिए $\lambda_B = 1 + 0.5 = 1.5 \ \mu m = \frac{3}{2} \ \mu m$।

(B) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार, अधिकतम तीव्रता के संगत तरंग दैर्ध्य $(\lambda_m)$ और कृष्णिका के परम ताप $(T)$ का गुणनफल एक नियतांक $(b)$ होता है।
सूत्र: $\lambda_m T = b$
दिए गए मान:
$\lambda_m = 480 \, nm = 480 \times 10^{-9} \, m$
$b = 2.88 \times 10^{-3} \, mK$
गणना:
$T = \frac{b}{\lambda_m}$
$T = \frac{2.88 \times 10^{-3}}{480 \times 10^{-9}}$
$T = \frac{2.88}{480} \times 10^6$
$T = 0.006 \times 10^6 = 6000 \, K$
अतः, सूर्य की सतह का तापमान $6000 \, K$ है।