Mix Examples-Thermometry, Thermal Expansion and Calorimetry Questions in Hindi

(D) थर्मोकपल में थर्मो $e.m.f.$ $(E)$ को निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया जाता है: $E = \alpha t + \frac{1}{2} \beta t^2$,जहाँ $t$ जंक्शनों के बीच का तापमान अंतर है।
यह समीकरण एक परवलय (parabola) को दर्शाता है।
जैसे-जैसे तापमान का अंतर $t$ बढ़ता है,$e.m.f.$ $(E)$ पहले बढ़ता है,एक अधिकतम मान तक पहुँचता है,और फिर घटता है।
इसलिए,जो ग्राफ इस परिवर्तन को दर्शाता है वह नीचे की ओर खुलने वाला एक परवलयाकार वक्र है,जो ग्राफ $D$ में दिखाए गए आकार के अनुरूप है।

(A) एक थर्मोकपल में थर्मोइलेक्ट्रिक इलेक्ट्रोमोटिव फोर्स $(E)$ का संबंध $E = \alpha \theta + \frac{1}{2} \beta \theta^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ गर्म और ठंडे जंक्शनों के बीच तापमान का अंतर है।
थर्मोइलेक्ट्रिक पावर $(P)$ को तापमान के अंतर के सापेक्ष थर्मोइलेक्ट्रिक $EMF$ के परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया गया है:
$P = \frac{dE}{d\theta} = \frac{d}{d\theta} (\alpha \theta + \frac{1}{2} \beta \theta^2) = \alpha + \beta \theta$.
इस समीकरण की तुलना रैखिक समीकरण $y = mx + c$ से करने पर,जहाँ $y = P$,$x = \theta$,$m = \beta$ (जो थर्मोकपल के लिए ऋणात्मक है),और $c = \alpha$,हम देख सकते हैं कि थर्मोइलेक्ट्रिक पावर तापमान के अंतर $\theta$ के साथ रैखिक रूप से बदलती है।
इसलिए,इस रैखिक संबंध को दर्शाने वाला ग्राफ ऋणात्मक ढलान वाली एक सीधी रेखा है,जो विकल्प $A$ के अनुरूप है।

(D) थर्मो $e.m.f.$ का सूत्र $E = \alpha\theta + \frac{1}{2}\beta\theta^2$ है।
दिए गए समीकरण $E = 40\theta - \frac{\theta^2}{20}$ की तुलना मानक समीकरण से करने पर,हमें $\alpha = 40$ और $\frac{1}{2}\beta = -\frac{1}{20}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\beta = -\frac{1}{10}$।
तटस्थ तापमान $\theta_n$ वह तापमान है जहाँ थर्मो $e.m.f.$ अधिकतम होता है,जो $\frac{dE}{d\theta} = 0$ की शर्त द्वारा दिया जाता है।
$\frac{d}{d\theta}(40\theta - \frac{\theta^2}{20}) = 40 - \frac{2\theta}{20} = 40 - \frac{\theta}{10} = 0$।
$\theta$ के लिए हल करने पर,हमें $\theta = 40 \times 10 = 400\,^oC$ प्राप्त होता है।

(A) तापीय प्रसार के कारण आयतन में परिवर्तन $\Delta V_{thermal} = V \alpha \Delta \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\Delta \theta$ तापमान में परिवर्तन है।
दबाव $P$ के कारण आयतन में परिवर्तन बल्क मॉडुलस की परिभाषा से दिया जाता है: $\beta = -\frac{P}{\Delta V / V}$,जिसका अर्थ है $\Delta V_{pressure} = -\frac{PV}{\beta}$.
घन के अपना मूल आयतन पुनः प्राप्त करने के लिए,आयतन में कुल परिवर्तन शून्य होना चाहिए: $\Delta V_{thermal} + \Delta V_{pressure} = 0$.
$V \alpha \Delta \theta - \frac{PV}{\beta} = 0$.
$V \alpha \Delta \theta = \frac{PV}{\beta}$.
$\Delta \theta = \frac{P}{\alpha \beta}$.

(A) कुल आवश्यक ऊष्मा $Q$ चार चरणों की ऊष्मा का योग है:
$1$. बर्फ को $-10^{\circ}C$ से $0^{\circ}C$ तक गर्म करने के लिए: $Q_1 = m \cdot c_{ice} \cdot \Delta T = 1 \cdot 0.5 \cdot 10 = 5\,cal$.
$2$. $0^{\circ}C$ पर बर्फ को पिघलाने के लिए: $Q_2 = m \cdot L_{f} = 1 \cdot 80 = 80\,cal$.
$3$. पानी को $0^{\circ}C$ से $100^{\circ}C$ तक गर्म करने के लिए: $Q_3 = m \cdot c_{water} \cdot \Delta T = 1 \cdot 1 \cdot 100 = 100\,cal$.
$4$. $100^{\circ}C$ पर पानी को भाप में बदलने के लिए: $Q_4 = m \cdot L_{v} = 1 \cdot 540 = 540\,cal$.
कुल ऊष्मा $Q = 5 + 80 + 100 + 540 = 725\,cal$.
जूल में परिवर्तन करने पर: $Q = 725 \cdot 4.2 = 3045\,J$.

(D) थर्मोकपल में थर्मो $EMF$ का समीकरण $E = a\theta + \frac{1}{2}b\theta^2$ होता है।
दिए गए समीकरण $E = 40\theta - \frac{1}{20}\theta^2$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = 40$ और $b = -\frac{1}{10}$ प्राप्त होता है।
उदासीन तापमान $\theta_n$ वह तापमान है जहाँ $EMF$ अधिकतम होता है,जो तब होता है जब $\frac{dE}{d\theta} = 0$ हो।
$\frac{dE}{d\theta} = 40 - \frac{2\theta}{20} = 40 - \frac{\theta}{10}$।
$\frac{dE}{d\theta} = 0$ रखने पर,हमें $40 - \frac{\theta}{10} = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$\theta = 400\;^oC$।

(B) $0 \, ^oC$ और $100 \, ^oC$ के बीच उत्पन्न कुल थर्मोइलेक्ट्रिक $emf$ मध्यवर्ती तापमान अंतराल में उत्पन्न $emf$ के योग के बराबर होता है।
दिया गया है:
$e_0^{100} = 200 \, \mu V$
$e_0^{32} = 64 \, \mu V$
$e_{32}^{70} = 76 \, \mu V$
थर्मोइलेक्ट्रिक $emf$ के योगात्मक गुण का उपयोग करते हुए:
$e_0^{100} = e_0^{32} + e_{32}^{70} + e_{70}^{100}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$200 = 64 + 76 + e_{70}^{100}$
$200 = 140 + e_{70}^{100}$
$e_{70}^{100} = 200 - 140 = 60 \, \mu V$
अतः,$(70 \, ^oC - 100 \, ^oC)$ के बीच उत्पन्न $emf$ $60 \, \mu V$ है।

(D) एक थर्मोकपल द्वारा उत्पन्न थर्मो-emf $(E)$ को $E = \alpha \Delta T$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\alpha$ सीबेक गुणांक है और $\Delta T$ तापमान का अंतर है।
दिया गया है $\alpha = 40 \, \mu V/K$।
तापमान का अंतर $\Delta T = |40 \, ^\circ C - 20 \, ^\circ C| = 20 \, ^\circ C = 20 \, K$।
अतः,$E = 40 \, \mu V/K \times 20 \, K = 800 \, \mu V$।
श्रेणीक्रम में जुड़े $N = 150$ थर्मोकपल के लिए,कुल emf $(E_{total})$ का मान $E_{total} = N \times E$ होगा।
$E_{total} = 150 \times 800 \, \mu V = 120,000 \, \mu V$।
चूंकि $1 \, mV = 1000 \, \mu V$,इसलिए $E_{total} = 120 \, mV$।

(A) जब किसी पदार्थ को स्थिर दर पर गर्म किया जाता है,तो उसका तापमान तब तक बढ़ता है जब तक वह अवस्था परिवर्तन बिंदु (गलनांक या क्वथनांक) तक नहीं पहुँच जाता। अवस्था परिवर्तन के दौरान,तापमान स्थिर रहता है क्योंकि दी गई ऊष्मा का उपयोग पदार्थ की अवस्था बदलने के लिए किया जाता है (गुप्त ऊष्मा)।
ऑक्सीजन के लिए,गलनांक लगभग $54 \, K$ है और क्वथनांक लगभग $90 \, K$ है।
जैसे ही पदार्थ को $50 \, K$ से $300 \, K$ तक गर्म किया जाता है,यह अवस्था परिवर्तनों (गलनांक और क्वथनांक) से गुजरेगा।
$1$. प्रारंभ में,ठोस/द्रव ऑक्सीजन का तापमान समय के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है।
$2$. गलनांक पर,तापमान स्थिर रहता है जबकि ठोस पिघलता है।
$3$. इसके बाद,द्रव का तापमान क्वथनांक तक पहुँचने तक बढ़ता है।
$4$. क्वथनांक पर,तापमान स्थिर रहता है जबकि द्रव उबलकर गैस में बदलता है।
$5$. अंत में,गैस का तापमान बढ़ता है।
जो ग्राफ अवस्था परिवर्तन के दौरान इन पठारों (स्थिर तापमान क्षेत्रों) को दर्शाता है,वह सही है। दिए गए विकल्पों में से,रैखिक वृद्धि,एक पठार और फिर से रैखिक वृद्धि दर्शाने वाला ग्राफ अवस्था परिवर्तन से गुजरने वाले पदार्थ के गर्म होने के वक्र के अनुरूप है।

(B) $h$ ऊँचाई पर बर्फ की स्थितिज ऊर्जा $PE = mgh$ है।
प्रश्न के अनुसार, गिरने के दौरान यह पूरी ऊर्जा ऊष्मा में परिवर्तित हो जाती है।
इस ऊष्मा का केवल एक-चौथाई भाग बर्फ को पूरी तरह पिघलाने के लिए अवशोषित किया जाता है।
$m$ द्रव्यमान की बर्फ को पिघलाने के लिए आवश्यक ऊष्मा $Q = mL$ है, जहाँ $L$ गलन की गुप्त ऊष्मा है।
अतः, ऊर्जा संतुलन समीकरण $\frac{1}{4} (mgh) = mL$ है।
दोनों पक्षों से $m$ को हटाने पर, हमें $\frac{gh}{4} = L$ प्राप्त होता है।
$h$ के लिए हल करने पर, $h = \frac{4L}{g}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मान रखने पर: $h = \frac{4 \times 3.4 \times 10^{5}}{10} \text{ m}$।
$h = 4 \times 3.4 \times 10^{4} \text{ m} = 13.6 \times 10^{4} \text{ m} = 136,000 \text{ m}$।
किलोमीटर में बदलने पर, $h = 136 \text{ km}$।

(B) जब नमक के क्रिस्टल घुलते हैं,तो क्रिस्टल जालक नष्ट हो जाता है। इस प्रक्रिया के लिए एक निश्चित मात्रा में ऊर्जा (घुलन की गुप्त ऊष्मा) की आवश्यकता होती है,जो पानी से अवशोषित की जाती है,जिससे तापमान में गिरावट आती है।
पात्र $B$ में,नमक पाउडर के रूप में है,जिसका अर्थ है कि पीसने की प्रक्रिया के दौरान अंतर-आणविक बंधनों का एक महत्वपूर्ण हिस्सा पहले ही नष्ट हो चुका है। परिणामस्वरूप,पात्र $A$ में बड़े क्रिस्टल की तुलना में पाउडर को घोलने के लिए कम ऊर्जा की आवश्यकता होती है। चूंकि पात्र $B$ में पानी से कम ऊर्जा अवशोषित होती है,इसलिए पात्र $B$ में विलयन का अंतिम तापमान पात्र $A$ की तुलना में अधिक होगा।

(D) $100^\circ C$ पर $x \, g$ भाप के $100^\circ C$ पर पानी में संघनित होने पर मुक्त ऊष्मा $Q_{released} = x \times L_v$ है,जहाँ $L_v = 540 \, cal/g$ है।
अतः,$Q_{released} = 540x \, cal$.
$0^\circ C$ पर $y \, g$ बर्फ को $100^\circ C$ पर पानी में बदलने के लिए आवश्यक ऊष्मा दो चरणों में होती है: बर्फ का पिघलना और पानी का गर्म होना।
$Q_{absorbed} = (y \times L_f) + (y \times c_w \times \Delta T)$,जहाँ $L_f = 80 \, cal/g$,$c_w = 1 \, cal/g^\circ C$,और $\Delta T = 100^\circ C$ है।
$Q_{absorbed} = 80y + 100y = 180y \, cal$.
मुक्त ऊष्मा और अवशोषित ऊष्मा को बराबर करने पर: $540x = 180y$.
इसलिए,$\frac{y}{x} = \frac{540}{180} = \frac{3}{1}$.
अतः अनुपात $y:x$ का मान $3:1$ है।

(B) मान लीजिए कि द्रव का प्रारंभिक आयतन $V_0 = A_0 l_0$ है,जहाँ $A_0$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $l_0$ द्रव स्तंभ की लंबाई है।
जब निकाय को तापमान परिवर्तन $\Delta T$ द्वारा गर्म किया जाता है,तो द्रव का नया आयतन $V_L = V_0(1 + \gamma \Delta T)$ होता है।
कांच की नली के अनुप्रस्थ काट का नया क्षेत्रफल $A = A_0(1 + 2\alpha \Delta T)$ है,जहाँ $2\alpha$ क्षेत्रीय प्रसार गुणांक है।
चूंकि द्रव स्तंभ की लंबाई $l_0$ स्थिर रहती है,इसलिए द्रव का नया आयतन $l_0$ ऊंचाई तक नली के नए आयतन के बराबर होना चाहिए,जो $V_{tube} = A \times l_0 = A_0(1 + 2\alpha \Delta T)l_0 = V_0(1 + 2\alpha \Delta T)$ है।
दोनों आयतनों की तुलना करने पर: $V_0(1 + \gamma \Delta T) = V_0(1 + 2\alpha \Delta T)$।
इसे सरल करने पर $1 + \gamma \Delta T = 1 + 2\alpha \Delta T$ प्राप्त होता है,जिससे $\gamma = 2\alpha$ मिलता है।

(C) शीर्ष पर पानी की स्थितिज ऊर्जा तल पर ऊष्मीय ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
$mgh = mc\Delta \theta$
यहाँ,$m$ पानी का द्रव्यमान है,$g = 9.8 \ m/s^2$,$h = 500 \ m$,और $c = 4200 \ J/kg \cdot ^\circ C$ है।
दोनों पक्षों से $m$ को हटाने पर,हमें $\Delta \theta = \frac{gh}{c}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $\Delta \theta = \frac{9.8 \times 500}{4200} = \frac{4900}{4200} = \frac{49}{42} = \frac{7}{6} \approx 1.166 \ ^\circ C$.
निकटतम विकल्प के अनुसार,तापमान में वृद्धि $1.16 \ ^\circ C$ है।

(B) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,गेंद की स्थितिज ऊर्जा में हुई हानि ऊष्मीय ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है,जो गेंद द्वारा अवशोषित कर ली जाती है,जिससे उसके तापमान में वृद्धि होती है।
स्थितिज ऊर्जा में हुई हानि इस प्रकार है:
$\Delta PE = mg(h_1 - h_2)$
यह ऊर्जा गेंद द्वारा अवशोषित ऊष्मा के बराबर है:
$Q = mc\Delta \theta$
दोनों को बराबर करने पर:
$mg(h_1 - h_2) = mc\Delta \theta$
तापमान में वृद्धि $\Delta \theta$ के लिए हल करने पर:
$\Delta \theta = \frac{g(h_1 - h_2)}{c}$
दिया गया है:
$g = 10 \, m \, s^{-2}$
$h_1 = 10 \, m$
$h_2 = 5.4 \, m$
$c = 460 \, J \, kg^{-1} \, ^\circ C^{-1}$
$\Delta \theta = \frac{10 \times (10 - 5.4)}{460}$
$\Delta \theta = \frac{10 \times 4.6}{460}$
$\Delta \theta = \frac{46}{460} = 0.1 \, ^\circ C$

(C) $0^\circ C$ पर बर्फ को $100^\circ C$ पर पानी में बदलने की प्रक्रिया दो चरणों में होती है:
चरण $1$: $0^\circ C$ पर बर्फ का $0^\circ C$ पर पानी में पिघलना।
आवश्यक ऊष्मा $Q_1 = m \cdot L_f$,जहाँ $m = 1 \, g$ और $L_f = 80 \, cal/g$ है।
$Q_1 = 1 \times 80 = 80 \, cal$।
चरण $2$: पानी को $0^\circ C$ से $100^\circ C$ तक गर्म करना।
आवश्यक ऊष्मा $Q_2 = m \cdot c \cdot \Delta T$,जहाँ $m = 1 \, g$,$c = 1 \, cal/g^\circ C$,और $\Delta T = (100 - 0) = 100^\circ C$ है।
$Q_2 = 1 \times 1 \times 100 = 100 \, cal$।
कुल आवश्यक ऊष्मा $Q = Q_1 + Q_2 = 80 + 100 = 180 \, cal$।

(B) दी गई ऊष्मा $\Delta Q = mc\Delta T$ द्वारा प्राप्त होती है।
मान रखने पर: $20000 = 1 \times 400 \times \Delta T$.
अतः,$\Delta T = \frac{20000}{400} = 50\,^oC$.
स्थिर वायुमंडलीय दाब पर किया गया कार्य $W = P\Delta V$ है।
चूंकि $\Delta V = V_0 \gamma \Delta T$,इसलिए $W = P V_0 \gamma \Delta T$.
प्रारंभिक आयतन $V_0 = \frac{m}{\rho} = \frac{1}{9000}\,m^3$.
मान रखने पर: $W = (10^5) \times (\frac{1}{9000}) \times (9 \times 10^{-5}) \times 50$.
$W = 10^5 \times \frac{1}{9 \times 10^3} \times 9 \times 10^{-5} \times 50 = 10^5 \times 10^{-8} \times 50 = 10^{-3} \times 50 = 0.05\,J$.

(D) तापमान का अंतर $\Delta T = T_{hot} - T_{cold} = 40\,^{\circ}C - 20\,^{\circ}C = 20\,^{\circ}C = 20\,K$ है।
एक थर्मोकपल द्वारा विकसित emf $E_1 = \alpha \times \Delta T = 40\,\mu V/K \times 20\,K = 800\,\mu V$ है।
चूंकि $150$ थर्मोकपल श्रेणीक्रम में जुड़े हैं,इसलिए कुल emf $E_{total} = n \times E_1 = 150 \times 800\,\mu V$ होगा।
$E_{total} = 120,000\,\mu V = 120\,mV$.

(C) पात्र का आयतन प्रसार गुणांक $\gamma_{\text{vessel}} = 3 \alpha_{\text{vessel}} = 3 \times 10^{-3} \ ^\circ C^{-1}$ है।
द्रव का आयतन प्रसार गुणांक $\gamma_{\text{liquid}} = 10^{-3} \ ^\circ C^{-1}$ है।
चूंकि $\gamma_{\text{vessel}} > \gamma_{\text{liquid}}$,गर्म करने पर पात्र का आयतन द्रव के आयतन से अधिक बढ़ जाता है। इससे द्रव का स्तर नीचे गिर जाता है,जिसके परिणामस्वरूप तल पर दबाव में कमी आती है।
द्रव के सापेक्ष पात्र के आयतन में परिवर्तन $\Delta V_{\text{rel}} = V(\gamma_{\text{vessel}} - \gamma_{\text{liquid}}) \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\Delta V_{\text{rel}} = V(3 \times 10^{-3} - 1 \times 10^{-3}) \times 10 = V(2 \times 10^{-3}) \times 10 = 0.02 V$.
बेलन का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A$ भी बढ़ता है,इसलिए ऊंचाई में परिवर्तन $\Delta h$ आयतन में परिवर्तन से संबंधित है। पतली दीवार वाले पात्र के लिए,ऊंचाई में आंशिक परिवर्तन $\frac{\Delta h}{h} \approx \frac{\Delta V}{V} = 0.02$ है।
दबाव $P = h \rho g$। दबाव में आंशिक परिवर्तन $\frac{\Delta P}{P} = \frac{\Delta h}{h} = 0.02$ है।
अतः,दबाव में $0.02 \times 100\% = 2\%$ की कमी आती है।

(C) माना $T$ संतुलन तापमान है।
संतुलन पर,तांबे की अंगूठी का व्यास और एल्यूमीनियम के गोले का व्यास बराबर हो जाता है:
$D_{Cu}(T) = D_{Al}(T) \implies 25(1 + \alpha_{Cu}T) = 25.05(1 + \alpha_{Al}(T - 100))$.
मान रखने पर: $25(1 + 17 \times 10^{-6}T) = 25.05(1 + 2.3 \times 10^{-5}(T - 100))$.
$T$ के लिए हल करने पर: $25 + 4.25 \times 10^{-4}T = 25.05 + 5.7615 \times 10^{-4}(T - 100)$.
$25 + 4.25 \times 10^{-4}T = 25.05 + 5.7615 \times 10^{-4}T - 0.057615$.
$0.007615 = 1.5115 \times 10^{-4}T \implies T \approx 50.38^o C$.
कैलोरीमिति के सिद्धांत से: $m_{Cu} s_{Cu} (T - 0) = m_{Al} s_{Al} (100 - T)$.
$m_{Cu} (0.0923)(50.38) = m_{Al} (0.215)(100 - 50.38)$.
$m_{Cu} (4.65) = m_{Al} (10.67)$.
अनुपात $m_{Al} / m_{Cu} = 4.65 / 10.67 \approx 0.435 \approx 23/54$.

(C) द्रव में डूबी वस्तु का आभासी भार $W_{app} = W_{actual} - F_B$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $F_B$ उत्प्लावन बल है।
उत्प्लावन बल $F_B = V_{sub} \cdot \rho_{liquid} \cdot g$ होता है,जहाँ $V_{sub}$ वस्तु का आयतन है और $\rho_{liquid}$ द्रव का घनत्व है।
जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,धातु की गेंद का आयतन $V_m(T) = V_0(1 + \gamma_m \Delta T)$ के अनुसार बढ़ता है और अल्कोहल का घनत्व $\rho_{Al}(T) = \frac{\rho_0}{1 + \gamma_{Al} \Delta T}$ के अनुसार घटता है।
तापमान $T$ पर उत्प्लावन बल $F_B(T) = V_m(T) \cdot \rho_{Al}(T) \cdot g = V_0(1 + \gamma_m \Delta T) \cdot \frac{\rho_0}{1 + \gamma_{Al} \Delta T} \cdot g$ होगा।
चूंकि यह दिया गया है कि $\gamma_{Al} > \gamma_m$,इसलिए हर $(1 + \gamma_{Al} \Delta T)$ अंश $(1 + \gamma_m \Delta T)$ की तुलना में अधिक तेजी से बढ़ता है। परिणामस्वरूप,तापमान बढ़ने पर उत्प्लावन बल $F_B$ कम हो जाता है।
अतः,चूंकि $W_{app} = W_{actual} - F_B$ है और $F_B$ घट रहा है,इसलिए आभासी भार $W_{app}$ बढ़ जाएगा। इस प्रकार,$W_2 > W_1$ या $W_1 < W_2$ होगा।

(B) $4$ मिनट $(240 \, s)$ में दी गई कुल ऊष्मा $Q = 100 \, cal/s \times 240 \, s = 24000 \, cal$ है।
चरण $1$: निकाय का तापमान $-20^{\circ} C$ से $0^{\circ} C$ तक बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मा:
$Q_1 = m_{Al} c_{Al} \Delta T + m_{ice} c_{ice} \Delta T = (100 \times 0.2 \times 20) + (200 \times 0.5 \times 20) = 400 + 2000 = 2400 \, cal$.
इस प्रक्रिया में लगा समय $= 2400 / 100 = 24 \, s$.
चरण $2$: $0^{\circ} C$ पर बर्फ को पिघलाने के लिए आवश्यक ऊष्मा:
$Q_2 = m_{ice} L = 200 \times 80 = 16000 \, cal$.
इस प्रक्रिया में लगा समय $= 16000 / 100 = 160 \, s$.
कुल व्यतीत समय $= 24 + 160 = 184 \, s$. शेष समय $= 240 - 184 = 56 \, s$.
शेष उपलब्ध ऊष्मा $= 24000 - (2400 + 16000) = 5600 \, cal$.
चरण $3$: निकाय (पानी + कंटेनर) का तापमान $0^{\circ} C$ से $\theta$ तक बढ़ाने के लिए उपयोग की गई ऊष्मा:
$Q_3 = (m_{Al} c_{Al} + m_{water} c_{water}) \Delta \theta = (100 \times 0.2 + 200 \times 1) \theta = (20 + 200) \theta = 220 \theta$.
$220 \theta = 5600 \implies \theta = 5600 / 220 \approx 25.45^{\circ} C \approx 25.5^{\circ} C$.

(A) मान लीजिए कि $m_1$ जमे हुए पानी का द्रव्यमान है और $m_2$ वाष्पित हुए पानी का द्रव्यमान है。
चूंकि पात्र ऊष्मीय रूप से पृथक है, इसलिए जमे हुए पानी द्वारा मुक्त की गई ऊष्मा, वाष्पित होने वाले पानी द्वारा अवशोषित ऊष्मा के बराबर होती है。
$m_1 L_f = m_2 L_v$
यहाँ $L_f = 3.36 \times 10^5 \text{ J/kg}$ और $L_v = 21 \times 10^5 \text{ J/kg}$ दिया गया है。
$m_1 (3.36 \times 10^5) = m_2 (21 \times 10^5)$
$m_2 = \frac{3.36}{21} m_1 = 0.16 m_1$
पानी का कुल प्रारंभिक द्रव्यमान $M = m_1 + m_2 = m_1 + 0.16 m_1 = 1.16 m_1$ है。
जमे हुए पानी का प्रतिशत $\frac{m_1}{M} \times 100\% = \frac{m_1}{1.16 m_1} \times 100\%$.
$= \frac{100}{1.16} \% \approx 86.2 \%$.

(D) कुल आवश्यक ऊष्मा में बर्फ को पिघलाने के लिए ऊष्मा,परिणामी पानी और कैलोरीमीटर के तापमान को $100^{\circ} C$ तक बढ़ाने के लिए ऊष्मा,और पानी के वाष्पीकरण के लिए ऊष्मा शामिल है।
$1$. $10 \, g$ बर्फ को पिघलाने के लिए ऊष्मा: $Q_1 = m L_f = 10 \, g \times 80 \, cal/g = 800 \, cal$.
$2$. $10 \, g$ पानी (बर्फ से बना) और $10 \, g$ जल तुल्यांक (कैलोरीमीटर) के तापमान को $0^{\circ} C$ से $100^{\circ} C$ तक बढ़ाने के लिए ऊष्मा: $Q_2 = (m_{water} + m_{eq}) C \Delta T = (10 + 10) \times 1 \times 100 = 2000 \, cal$.
$3$. $100^{\circ} C$ पर $10 \, g$ पानी के वाष्पीकरण के लिए ऊष्मा: $Q_3 = m L_v = 10 \, g \times 540 \, cal/g = 5400 \, cal$.
कुल ऊष्मा $Q = Q_1 + Q_2 + Q_3 = 800 + 2000 + 5400 = 8200 \, cal$.

(A) $100 \, s$ में पिघली हुई बर्फ का द्रव्यमान $m = 0.1 \, g/s \times 100 \, s = 10 \, g$ है।
बर्फ को पिघलाने के लिए दी गई ऊष्मा $Q = m L_f$ है,जहाँ $L_f = 80 \, cal/g$ (बर्फ की गलन की गुप्त ऊष्मा)।
$Q = 10 \, g \times 80 \, cal/g = 800 \, cal$।
ऊष्मा आपूर्ति की दर $P = Q / t = 800 \, cal / 100 \, s = 8 \, cal/s$ है।
बर्फ के पिघलने के बाद,हमारे पास $10 \, g$ पानी है। तापमान बढ़ने की दर $P = m_{water} c_{water} (dT/dt)$ द्वारा दी जाती है।
$8 \, cal/s = 10 \, g \times 1 \, cal/(g \cdot ^\circ C) \times (dT/dt)$।
$(dT/dt) = 8 / 10 = 0.8 \, ^\circ C/s$।

(B) दिया गया है: पावर रेटिंग $P = 2000 \, W$,दक्षता $\eta = 0.8$,प्रवाह दर $v = 100 \, cc/s$,इनलेट तापमान $T_i = 10^{\circ} C$ है।
चूंकि $1 \, cc$ पानी का द्रव्यमान $1 \, g$ होता है,इसलिए द्रव्यमान प्रवाह दर $m = 100 \, g/s = 0.1 \, kg/s$ है।
पानी को दी गई प्रभावी ऊष्मा शक्ति $Q = P \times \eta = 2000 \times 0.8 = 1600 \, J/s$ है।
ऊष्मा स्थानांतरण का सूत्र $Q = m \cdot c \cdot \Delta T$ है,जहाँ $c$ पानी की विशिष्ट ऊष्मा धारिता $(4200 \, J/kg \cdot ^{\circ} C)$ है।
मान रखने पर: $1600 = 0.1 \times 4200 \times (T_o - 10)$.
$1600 = 420 \times (T_o - 10)$.
$T_o - 10 = 1600 / 420 \approx 3.81$.
$T_o = 13.81^{\circ} C$। अतः,आउटलेट तापमान लगभग $13.8^{\circ} C$ है।

(C) माना कि $x$ ग्राम बर्फ पिघलकर पानी में परिवर्तित होती है।
जब बर्फ पानी में पिघलती है,तो आयतन कम हो जाता है क्योंकि पानी का घनत्व बर्फ से अधिक होता है।
$x \, g$ बर्फ का आयतन $V_{ice} = \frac{x}{\rho_{ice}} = \frac{x}{0.9 \rho_{water}}$ है।
$x \, g$ पानी का आयतन $V_{water} = \frac{x}{\rho_{water}}$ है।
आयतन में परिवर्तन $\Delta V = V_{ice} - V_{water} = \frac{x}{0.9 \rho_{water}} - \frac{x}{\rho_{water}} = 1 \, cm^3$ है।
यदि हम $\rho_{water} = 1 \, g/cm^3$ लें,तो $\frac{x}{0.9} - x = 1$ प्राप्त होता है।
$x(1.111 - 1) = 1 \Rightarrow x(0.1/0.9) = 1 \Rightarrow x = 9 \, g$।
$9 \, g$ बर्फ को पिघलाने के लिए आवश्यक ऊष्मा $Q = m \times L = 9 \, g \times 80 \, cal/g = 720 \, cal$ है।

(B) ऊष्मा अवशोषण की दर गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल $A$ के समानुपाती है।
$Q = mL$,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $L$ संलयन की गुप्त ऊष्मा है।
ऊष्मा अवशोषण की दर $\frac{dQ}{dt} = L \frac{dm}{dt} = L \rho \frac{dV}{dt}$,जहाँ $\rho$ घनत्व है और $V$ आयतन है।
चूंकि $V = \frac{4}{3} \pi r^3$,इसलिए $\frac{dV}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$ है।
दिया गया है कि $\frac{dQ}{dt} \propto A$,जहाँ $A = 4 \pi r^2$,इसलिए $L \rho (4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}) = -k (4 \pi r^2)$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
इसे सरल करने पर,हमें $\frac{dr}{dt} = -\frac{k}{L \rho} = -C$ प्राप्त होता है,जहाँ $C$ एक धनात्मक स्थिरांक है।
इसका समाकलन करने पर,$r(t) = R - Ct$ प्राप्त होता है।
यह समय के साथ त्रिज्या में रैखिक कमी को दर्शाता है,जिसे ग्राफ $B$ द्वारा दर्शाया गया है।

(D) यह प्रक्रिया दो चरणों में होती है:
$1$. बर्फ को $-5^oC$ से $0^oC$ तक गर्म करना: $Q_1 = m_{ice} \cdot c_{ice} \cdot \Delta T$.
यहाँ $m$ ग्राम में है, इसलिए $m_{ice} = m \times 10^{-3} \ kg$.
$Q_1 = (m \times 10^{-3}) \times 2100 \times 5 = 10.5m \ J$.
$2$. $0^oC$ पर $1 \ gm$ बर्फ को पिघलाना: $Q_2 = m_{melted} \cdot L_f$.
$Q_2 = (1 \times 10^{-3}) \times 3.36 \times 10^5 = 336 \ J$.
दी गई कुल ऊष्मा $Q = Q_1 + Q_2 = 420 \ J$.
$10.5m + 336 = 420$.
$10.5m = 84$.
$m = 84 / 10.5 = 8 \ gm$.

(C) माना ऊष्मा आपूर्ति की स्थिर दर $P$ $(J/s)$ है।
गलन के लिए आवश्यक ऊष्मा $Q_f = P \times (90 - 10) = 80P$ है। चूँकि $Q_f = mL_f$,इसलिए $mL_f = 80P$ है।
वाष्पन के लिए आवश्यक ऊष्मा $Q_v = P \times (120 - 100) = 20P$ है। चूँकि $Q_v = mL_v$,इसलिए $mL_v = 20P$ है।
दोनों की तुलना करने पर,$mL_f = 80P$ और $mL_v = 20P$,अतः $L_f > L_v$ प्राप्त होता है।
तापमान-समय ग्राफ के लिए,ढाल $\frac{dT}{dt} = \frac{P}{mS}$ द्वारा दी जाती है। अतः,$S = \frac{P}{m(dT/dt)}$.
ठोस अवस्था के लिए ढाल $m_s = \frac{30 - 10}{10} = 2 \, ^\circ C/s$ है।
द्रव अवस्था के लिए ढाल $m_l = \frac{200 - 30}{100 - 90} = \frac{170}{10} = 17 \, ^\circ C/s$ है।
चूँकि $m_l > m_s$,और $S \propto \frac{1}{\text{ढाल}}$,इसलिए $S_s > S_l$ या $S_l < S_s$ प्राप्त होता है।
अतः,$L_f > L_v$ और $S_l < S_s$ सही है।

(A) $2 \ kg$ बर्फ का तापमान $-20^{\circ} C$ से $0^{\circ} C$ तक बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मा $Q_1 = m_i c_i \Delta T = 2000 \ g \times 0.5 \ cal/g^{\circ} C \times 20^{\circ} C = 20000 \ cal$ है।
$5 \ kg$ पानी द्वारा $20^{\circ} C$ से $0^{\circ} C$ तक ठंडा होने पर मुक्त ऊष्मा $Q_2 = m_w c_w \Delta T = 5000 \ g \times 1 \ cal/g^{\circ} C \times 20^{\circ} C = 100000 \ cal$ है।
बर्फ को पिघलाने के लिए उपलब्ध शेष ऊष्मा $Q_{rem} = Q_2 - Q_1 = 100000 - 20000 = 80000 \ cal$ है।
पिघलने वाली बर्फ का द्रव्यमान $m = Q_{rem} / L_f = 80000 \ cal / 80 \ cal/g = 1000 \ g = 1 \ kg$ है।
पानी की अंतिम मात्रा $= \text{प्रारंभिक पानी} + \text{पिघली हुई बर्फ} = 5 \ kg + 1 \ kg = 6 \ kg$.

(D) माना बीकर का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A$ है। द्रव का प्रारंभिक आयतन $V_0 = A H$ है।
जब $T$ तापमान तक गर्म किया जाता है,तो द्रव का नया आयतन $V_L = V_0(1 + \gamma_L T) = AH(1 + \alpha T)$ होता है,जहाँ $\gamma_L = \alpha$ द्रव का आयतन प्रसार गुणांक है।
बीकर का नया अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A' = A(1 + 2\alpha_s T)$ होता है,जहाँ $\alpha_s = 3\alpha$ बीकर के पदार्थ का रेखीय प्रसार गुणांक है। अतः,$A' = A(1 + 2(3\alpha)T) = A(1 + 6\alpha T)$।
बीकर की नई ऊँचाई $H' = H(1 + \alpha_s T) = H(1 + 3\alpha T)$ होती है।
बीकर में द्रव की नई ऊँचाई $H_L = V_L / A' = AH(1 + \alpha T) / [A(1 + 6\alpha T)]$ होती है।
द्विपद सन्निकटन $(1 + x)^{-1} \approx 1 - x$ का उपयोग करने पर,हमें $H_L \approx H(1 + \alpha T)(1 - 6\alpha T) \approx H(1 + \alpha T - 6\alpha T) = H(1 - 5\alpha T)$ प्राप्त होता है।
द्रव के स्तर में कमी $\Delta H = H' - H_L = H(1 + 3\alpha T) - H(1 - 5\alpha T) = H(1 + 3\alpha T - 1 + 5\alpha T) = 8\alpha TH$ होगी।

(A) माना पदार्थ का कुल द्रव्यमान $m$ है, गलन की गुप्त ऊष्मा $L$ है और द्रव की विशिष्ट ऊष्मा $s$ है।
प्रक्रिया-$1$ में, $Q$ ऊर्जा $\frac{2}{3}$ द्रव्यमान को पिघलाती है:
$Q = \frac{2}{3} m L$ --- (समीकरण $1$)
प्रक्रिया-$2$ में, अतिरिक्त $Q$ ऊर्जा दी जाती है। यह ऊर्जा पहले शेष $\frac{1}{3}$ ठोस को पिघलाती है और फिर पूरे द्रव द्रव्यमान $m$ का तापमान $0^\circ C$ से $40^\circ C$ तक बढ़ाती है:
$Q = \frac{1}{3} m L + m s (40 - 0)$
$Q = \frac{1}{3} m L + 40 m s$ --- (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ और समीकरण $2$ की तुलना करने पर:
$\frac{2}{3} m L = \frac{1}{3} m L + 40 m s$
$\frac{1}{3} m L = 40 m s$
$\frac{L}{s} = 40 \times 3 = 120$
अतः, गलन की गुप्त ऊष्मा और द्रव की विशिष्ट ऊष्मा का अनुपात $120$ है।

(D) माना संतुलन तापमान $T$ है। चूंकि निकाय रुद्धोष्म है,लोहे की छड़ द्वारा खोई गई कुल ऊष्मा = हवा और बर्तन-पिस्टन असेंबली द्वारा प्राप्त कुल ऊष्मा।
लोहे की छड़ द्वारा खोई गई ऊष्मा = $C(8T_0 - T)$.
बर्तन और पिस्टन द्वारा प्राप्त ऊष्मा = $2C(T - T_0)$.
$2$ मोल द्वि-परमाणुक गैस द्वारा प्राप्त ऊष्मा (स्थिर दबाव पर,क्योंकि पिस्टन गतिशील है और वायुमंडलीय दबाव $P_0$ स्थिर है) = $n C_p (T - T_0) = 2 \times \frac{7R}{2} (T - T_0) = 7R(T - T_0)$.
खोई गई और प्राप्त ऊष्मा को बराबर करने पर: $C(8T_0 - T) = 2C(T - T_0) + 7R(T - T_0)$.
$8CT_0 - CT = 2CT - 2CT_0 + 7RT - 7RT_0$.
$8CT_0 + 2CT_0 + 7RT_0 = CT + 2CT + 7RT$.
$T_0(10C + 7R) = T(3C + 7R)$.
$T = \left( \frac{10C + 7R}{3C + 7R} \right) T_0$.

(A) माना गोली का द्रव्यमान $m\ g$ है।
गोली को पिघलने के लिए आवश्यक कुल ऊष्मा $Q_1 = mc\Delta T + mL$ है।
मान रखने पर: $Q_1 = m \times 0.03 \times (327 - 27) + m \times 6 = m \times 0.03 \times 300 + 6m = 9m + 6m = 15m\ cal$.
इसे जूल में बदलने पर: $Q_1 = 15m \times 4.2 = 63m\ J$.
जब गोली रुकती है,तो उसकी गतिज ऊर्जा में हानि $\Delta K = \frac{1}{2} m_{kg} v^2 = \frac{1}{2} (m \times 10^{-3}) v^2\ J$ होती है।
चूंकि $25\%$ ऊष्मा बाधा द्वारा अवशोषित होती है,इसलिए $75\%$ गतिज ऊर्जा गोली द्वारा अवशोषित होती है।
गोली द्वारा अवशोषित ऊर्जा $Q_2 = 0.75 \times \frac{1}{2} \times m \times 10^{-3} \times v^2 = \frac{3}{8} \times 10^{-3} \times m v^2\ J$.
गोली के पिघलने के लिए $Q_2 = Q_1$ होना चाहिए।
$\frac{3}{8} \times 10^{-3} \times m v^2 = 63m$.
$v^2 = \frac{63 \times 8 \times 1000}{3} = 21 \times 8000 = 168000$.
$v = \sqrt{168000} \approx 409.87\ m/s \approx 410\ m/s$.

(A) चरण $1$: $0^o C$ पर $1 \ gm$ बर्फ को $0^o C$ पर पानी में बदलने के लिए आवश्यक ऊष्मा: $Q_1 = m \cdot L_f = 1 \ gm \times 80 \ cal/gm = 80 \ cal$.
चरण $2$: $100^o C$ पर $1 \ gm$ वाष्प को $100^o C$ पर पानी में बदलने के लिए मुक्त ऊष्मा: $Q_2 = m \cdot L_v = 1 \ gm \times 540 \ cal/gm = 540 \ cal$.
चरण $3$: चूंकि $Q_2 > Q_1$,बर्फ पूरी तरह से पिघल जाएगी और शेष ऊष्मा पानी का तापमान बढ़ाएगी।
चरण $4$: पानी का तापमान बढ़ाने के लिए उपलब्ध ऊष्मा: $Q_{rem} = Q_2 - Q_1 = 540 - 80 = 460 \ cal$.
चरण $5$: पानी का कुल द्रव्यमान $2 \ gm$ है। मान लीजिए अंतिम तापमान $T$ है। $2 \ gm$ पानी द्वारा $T$ तापमान तक पहुँचने के लिए अवशोषित ऊष्मा $Q = m \cdot c \cdot \Delta T = 2 \ gm \times 1 \ cal/gm^o C \times (T - 0) = 2T$.
चरण $6$: ऊष्मा संतुलन करने पर: $2T = 460$,जिससे $T = 230^o C$ प्राप्त होता है। हालांकि,चूंकि वाष्प का तापमान $100^o C$ है,इसलिए अंतिम तापमान $100^o C$ से अधिक नहीं हो सकता। अतः,मिश्रण का अंतिम तापमान $100^o C$ होगा।

(B) यह प्रक्रिया दो चरणों में पूरी होती है:
$1$. $0\ ^oC$ पर $5\ kg$ बर्फ को $0\ ^oC$ पर पानी में बदलने के लिए। बर्फ की गलन की गुप्त ऊष्मा $L_f = 80\ kcal/kg$ है।
आवश्यक ऊष्मा $Q_1 = m \times L_f = 5\ kg \times 80\ kcal/kg = 400\ kcal$।
$2$. $5\ kg$ पानी को $0\ ^oC$ से $100\ ^oC$ तक गर्म करने के लिए। पानी की विशिष्ट ऊष्मा धारिता $c = 1\ kcal/(kg \cdot ^oC)$ है।
आवश्यक ऊष्मा $Q_2 = m \times c \times \Delta T = 5\ kg \times 1\ kcal/(kg \cdot ^oC) \times (100\ ^oC - 0\ ^oC) = 500\ kcal$।
कुल आवश्यक ऊष्मा $Q = Q_1 + Q_2 = 400\ kcal + 500\ kcal = 900\ kcal$।

(B) $0^{\circ} C$ पर $1 \ kg$ बर्फ को पानी में पिघलाने के लिए आवश्यक ऊष्मा $= 80 \ kcal$ है।
$1 \ kg$ पानी का तापमान $0^{\circ} C$ से $100^{\circ} C$ तक बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मा $= mS \Delta t = (1 \ kg) \times (1 \ kcal/kg^{\circ} C) \times (100 - 0) = 100 \ kcal$ है।
$100^{\circ} C$ पर $1 \ kg$ उबलते पानी को भाप में बदलने के लिए आवश्यक ऊष्मा $= mL = 1 \ kg \times 540 \ kcal/kg = 540 \ kcal$ है।
अतः,$0^{\circ} C$ पर $1 \ kg$ बर्फ को $100^{\circ} C$ पर भाप में बदलने के लिए आवश्यक कुल ऊष्मा $= 80 + 100 + 540 = 720 \ kcal$ है।

(B) फ्लास्क और पारे का प्रारंभिक आयतन $V_0 = 10^3 \ cc$ है।
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = 100 \, ^oC - 0 \, ^oC = 100 \, ^oC$ है।
कांच के फ्लास्क के आयतन में वृद्धि $\Delta V_g = V_0 \gamma_g \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
$\Delta V_g = 10^3 \times 40 \times 10^{-6} \times 100 = 4 \, cc$.
पारे के आयतन में वृद्धि $\Delta V_m = V_0 \gamma_m \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
$\Delta V_m = 10^3 \times 180 \times 10^{-6} \times 100 = 18 \, cc$.
बाहर निकलने वाले पारे का आयतन,पारे के प्रसार और फ्लास्क के प्रसार के बीच का अंतर है:
$\Delta V_{overflow} = \Delta V_m - \Delta V_g = 18 \, cc - 4 \, cc = 14 \, cc$.

(C) पानी का घनत्व $4^{\circ}C$ पर अधिकतम होता है,जिसका अर्थ है कि इस तापमान पर पानी के एक निश्चित द्रव्यमान का आयतन न्यूनतम होता है।
जब तापमान $4^{\circ}C$ से ऊपर बढ़ता है,तो पानी फैलता है,जिससे आयतन बढ़ जाता है और पानी बाहर निकल जाता है।
जब तापमान $4^{\circ}C$ से नीचे गिरता है,तब भी पानी फैलता है (पानी का असामान्य प्रसार),जिससे आयतन बढ़ जाता है और फिर से पानी बाहर निकल जाता है।
इसलिए,$4^{\circ}C$ से गर्म करने और ठंडा करने दोनों स्थितियों में पानी बाहर निकलता है।

(A) यह प्रक्रिया चार चरणों में होती है:
$1$. बर्फ को $-10\,^{\circ}C$ से $0\,^{\circ}C$ तक गर्म करना: $Q_1 = m \cdot s_{ice} \cdot \Delta T = 1 \times 0.5 \times 10 = 5\,cal$.
$2$. $0\,^{\circ}C$ पर बर्फ को $0\,^{\circ}C$ पर पानी में पिघलाना: $Q_2 = m \cdot L_f = 1 \times 80 = 80\,cal$.
$3$. पानी को $0\,^{\circ}C$ से $100\,^{\circ}C$ तक गर्म करना: $Q_3 = m \cdot s_{water} \cdot \Delta T = 1 \times 1 \times 100 = 100\,cal$.
$4$. $100\,^{\circ}C$ पर पानी को $100\,^{\circ}C$ पर भाप में बदलना: $Q_4 = m \cdot L_v = 1 \times 540 = 540\,cal$.
कुल ऊष्मा $Q = Q_1 + Q_2 + Q_3 + Q_4 = 5 + 80 + 100 + 540 = 725\,cal$.
जूल में बदलने पर: $Q = 725 \times 4.2 = 3045\,J$.

(B) लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ द्वारा दिया जाता है। तापमान परिवर्तन के कारण आवर्तकाल में परिवर्तन $\Delta t = \frac{1}{2} \alpha \Delta \theta t$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\alpha$ रेखीय प्रसार गुणांक है,$\Delta \theta$ तापमान में परिवर्तन है और $t$ कुल समय है।
मान लीजिए $\theta$ वह तापमान है जिस पर घड़ी सही समय देती है।
$15 \ ^oC$ पर,घड़ी $5 \ s$ तेज है,इसलिए $\Delta t_1 = 5 = \frac{1}{2} \alpha (\theta - 15) \times (24 \times 3600) \quad ...(1)$
$30 \ ^oC$ पर,घड़ी $10 \ s$ धीमी है,इसलिए $\Delta t_2 = 10 = \frac{1}{2} \alpha (30 - \theta) \times (24 \times 3600) \quad ...(2)$
समीकरण $(1)$ को समीकरण $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{5}{10} = \frac{\theta - 15}{30 - \theta}$
$\frac{1}{2} = \frac{\theta - 15}{30 - \theta}$
$30 - \theta = 2(\theta - 15)$
$30 - \theta = 2\theta - 30$
$3\theta = 60$
$\theta = 20 \ ^oC$.

(B) जब गेंदों को गर्म किया जाता है,तो वे फैलती हैं और उनकी त्रिज्या बढ़ जाती है। इसके कारण प्रत्येक गेंद का द्रव्यमान केंद्र (center of mass) स्थानांतरित हो जाता है।
गेंद $A$ के लिए,जो छत से लटकी हुई है,विस्तार के कारण इसका द्रव्यमान केंद्र नीचे की ओर खिसकता है। जैसे-जैसे द्रव्यमान केंद्र नीचे जाता है,गेंद $A$ की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा कम हो जाती है। स्थितिज ऊर्जा में यह कमी आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है,जो गेंद को अतिरिक्त ऊष्मा प्रदान करती है।
गेंद $B$ के लिए,जो फर्श पर रखी है,विस्तार के कारण इसका द्रव्यमान केंद्र ऊपर की ओर खिसकता है। जैसे-जैसे द्रव्यमान केंद्र ऊपर जाता है,गेंद $B$ की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा बढ़ जाती है। स्थितिज ऊर्जा में इस वृद्धि के लिए ऊर्जा की आवश्यकता होती है,जो अवशोषित ऊष्मा से ली जाती है,जिससे गेंद के तापमान को बढ़ाने के लिए उपलब्ध ऊर्जा प्रभावी रूप से कम हो जाती है।
चूँकि गेंद $A$ अपनी गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन से अतिरिक्त आंतरिक ऊर्जा प्राप्त करती है जबकि गेंद $B$ अपनी गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा को बढ़ाने के लिए अपनी अवशोषित ऊष्मा का कुछ हिस्सा खर्च करती है,इसलिए गेंद $A$ का अंतिम तापमान गेंद $B$ से अधिक होगा। अतः,$T_A > T_B$.

(A) जब झील की सतह जम जाती है,तो बर्फ एक कुचालक के रूप में कार्य करती है।
चूँकि पानी का घनत्व $4\,^oC$ पर अधिकतम होता है,इसलिए झील के तल पर पानी $4\,^oC$ पर बना रहता है क्योंकि संवहन धाराएँ वहाँ रुक जाती हैं।
बर्फ की निचली सतह के सीधे संपर्क में पानी की परत बर्फ के साथ तापीय संतुलन में होती है,जो $0\,^oC$ पर होती है।
इसलिए,तापमान प्रवणता बर्फ-पानी इंटरफ़ेस पर $0\,^oC$ से लेकर झील के तल पर $4\,^oC$ तक होती है।

(D) कुल निकाली गई ऊष्मा $(Q)$ तीन भागों में विभाजित है:
$1$. पानी को $25\,^{\circ}C$ से $0\,^{\circ}C$ तक ठंडा करने के लिए ऊष्मा: $Q_1 = m \cdot c_w \cdot \Delta T = 500 \times 1 \times 25 = 12500\,cal$.
$2$. $0\,^{\circ}C$ के पानी को $0\,^{\circ}C$ की बर्फ में बदलने के लिए ऊष्मा: $Q_2 = m \cdot L_f = 500 \times 80 = 40000\,cal$.
$3$. बर्फ को $0\,^{\circ}C$ से $-10\,^{\circ}C$ तक ठंडा करने के लिए ऊष्मा: $Q_3 = m \cdot c_i \cdot \Delta T = 500 \times 0.5 \times 10 = 2500\,cal$.
कुल ऊष्मा $Q = Q_1 + Q_2 + Q_3 = 12500 + 40000 + 2500 = 55000\,cal$.
कुल समय $t = 3\,\text{घंटे}\,40\,\text{मिनट }= (3 \times 60) + 40 = 220\,\text{मिनट}$.
प्रति मिनट निकाली गई ऊष्मा = $\frac{Q}{t} = \frac{55000}{220} = 250\,cal/min$.

(B) बाइमेटैलिक स्ट्रिप दो अलग-अलग धातुओं से बनी होती है जिन्हें एक साथ जोड़ा जाता है,और इन धातुओं के रेखीय प्रसार गुणांक अलग-अलग होते हैं।
जब तापमान बदलता है,तो ऊष्मीय प्रसार $(iv)$ के सिद्धांत के कारण दोनों धातुएं अलग-अलग मात्रा में फैलती या सिकुड़ती हैं।
प्रसार में इस अंतर के कारण पट्टी मुड़ जाती है,जो ऊर्जा रूपांतरण $(ii)$ का एक रूप है जहाँ ऊष्मीय ऊर्जा यांत्रिक कार्य में परिवर्तित हो जाती है।
इसलिए,बाइमेटैलिक स्ट्रिप का कार्य ऊर्जा रूपांतरण और ऊष्मीय प्रसार दोनों पर निर्भर करता है।

(A) $2\, kg$ बर्फ का तापमान $-20\,^oC$ से $0\,^oC$ तक बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मा $Q_1 = m_i c_i \Delta T = 2000 \, g \times 0.5 \, cal/g^oC \times 20^oC = 20,000 \, cal$ है।
$3\, kg$ पानी का तापमान $15\,^oC$ से $0\,^oC$ तक कम करने पर मुक्त ऊष्मा $Q_2 = m_w c_w \Delta T = 3000 \, g \times 1 \, cal/g^oC \times 15^oC = 45,000 \, cal$ है।
$0\,^oC$ पर बर्फ को पिघलाने के लिए उपलब्ध शुद्ध ऊष्मा $Q_{net} = Q_2 - Q_1 = 45,000 - 20,000 = 25,000 \, cal$ है।
पूरी बर्फ को पिघलाने के लिए आवश्यक ऊष्मा $Q_{melt} = m_i L_f = 2000 \, g \times 80 \, cal/g = 160,000 \, cal$ है।
चूंकि $Q_{net} < Q_{melt}$,बर्फ पूरी तरह से नहीं पिघलेगी। निकाय $0\,^oC$ पर बर्फ और पानी के मिश्रण के साथ संतुलन की स्थिति प्राप्त करेगा।

(B) माना तापमान $T$ पर कांच के पात्र का आयतन $V_g$ है और द्रव का आयतन $V_l$ है। माना $\gamma_g$ और $\gamma_l$ क्रमशः कांच और द्रव के आयतन प्रसार गुणांक हैं।
दिया गया है $\gamma_g : \gamma_l = 1 : 4$,इसलिए $\gamma_l = 4\gamma_g$ है।
खाली स्थान $V_v = V_g - V_l$ है।
खाली स्थान का आयतन सभी तापमानों पर समान रहने के लिए,पात्र के आयतन में परिवर्तन द्रव के आयतन में परिवर्तन के बराबर होना चाहिए।
$\Delta V_g = \Delta V_l$
$V_g \gamma_g \Delta T = V_l \gamma_l \Delta T$
$V_g \gamma_g = V_l (4\gamma_g)$
$V_g = 4V_l$
अतः,द्रव द्वारा घेरा गया आयतन का अंश $\frac{V_l}{V_g} = \frac{1}{4}$ है।

(B) $1$. $100\,^{\circ}C$ पर $10\, g$ भाप द्वारा $100\,^{\circ}C$ के पानी में बदलने पर मुक्त ऊष्मा: $Q_1 = m_s L_v = 10 \times 540 = 5400\, cal$.
$2$. $100\,^{\circ}C$ पर $10\, g$ गर्म पानी द्वारा $0\,^{\circ}C$ तक ठंडा होने पर मुक्त ऊष्मा: $Q_2 = m_s c_w \Delta T = 10 \times 1 \times 100 = 1000\, cal$.
$3$. बर्फ को पिघलाने के लिए उपलब्ध कुल ऊष्मा: $Q_{total} = 5400 + 1000 = 6400\, cal$.
$4$. $0\,^{\circ}C$ पर $100\, g$ बर्फ को पिघलाने के लिए आवश्यक ऊष्मा: $Q_{ice} = m_i L_f = 100 \times 80 = 8000\, cal$.
$5$. चूंकि $Q_{total} < Q_{ice}$,इसलिए केवल कुछ बर्फ पिघलेगी। पिघली हुई बर्फ का द्रव्यमान: $m_{melted} = Q_{total} / L_f = 6400 / 80 = 80\, g$.
$6$. कैलोरीमीटर में कुल पानी = (प्रारंभिक पानी) + (पिघली हुई बर्फ का द्रव्यमान) + (भाप से बना पानी) = $500 + 80 + 10 = 590\, g$.

(D) माना कि $m$ ग्राम पानी वाष्पित होता है।
चूंकि प्रक्रिया रुद्धोष्म है और बाहर से कोई ऊष्मा नहीं दी जाती है,इसलिए पानी के एक हिस्से के जमने से मुक्त हुई ऊष्मा,वाष्पित होने वाले हिस्से द्वारा अवशोषित ऊष्मा के बराबर होनी चाहिए।
बर्फ में बदलने वाले पानी का द्रव्यमान $= (150 - m)\, g$.
जमने के दौरान मुक्त हुई ऊष्मा $\Delta Q_{rel} = (150 - m) \times L_f$.
वाष्पीकरण के दौरान अवशोषित ऊष्मा $\Delta Q_{req} = m \times L_v$.
दोनों को बराबर करने पर: $(150 - m) \times L_f = m \times L_v$.
मान रखने पर $L_f = 3.36 \times 10^5\, J/kg$ और $L_v = 2.10 \times 10^6\, J/kg$:
$(150 - m) \times 3.36 \times 10^5 = m \times 21.0 \times 10^5$.
$150 \times 3.36 = m \times (21.0 + 3.36)$.
$504 = m \times 24.36$.
$m = 504 / 24.36 \approx 20.69\, g$.
वाष्पित पानी का द्रव्यमान $20\, g$ के सबसे निकट है।