Heat Capacity, Specific Heat and Molar Specific Heat Questions in Hindi

(C) ऊष्मा विनिमय का सूत्र $Q = m \cdot c \cdot \Delta \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $Q$ ऊष्मा है,$m$ द्रव्यमान है,$c$ विशिष्ट ऊष्मा है और $\Delta \theta$ तापमान में परिवर्तन है।
विशिष्ट ऊष्मा के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $c = \frac{Q}{m \cdot \Delta \theta}$ प्राप्त होता है।
यदि विशिष्ट ऊष्मा $c$ अनंत $(c = \infty)$ है,तो हर (denominator) $m \cdot \Delta \theta$ शून्य होना चाहिए।
चूंकि द्रव्यमान $m$ शून्य नहीं हो सकता,इसलिए इसका अर्थ है कि $\Delta \theta = 0$ है।
इसका मतलब यह है कि पदार्थ द्वारा ऊष्मा का अवशोषण हो या उत्सर्जन,तापमान में कोई परिवर्तन नहीं होता है,जो कि अवस्था परिवर्तन (phase change) की प्रक्रिया की विशेषता है।

(C) जब अवस्था में परिवर्तन नहीं होता है,तो ऊष्मा की हानि या लाभ का सूत्र $\Delta Q = mc \Delta \theta$ होता है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है,$c$ विशिष्ट ऊष्मा धारिता है,और $\Delta \theta$ तापमान में परिवर्तन है।
चूँकि यह सूत्र द्रव्यमान $(m)$,विशिष्ट ऊष्मा $(c)$,और तापमान में परिवर्तन $(\Delta \theta)$ पर निर्भर करता है,इसलिए इस गणना के लिए 'सापेक्ष घनत्व' कारक की आवश्यकता नहीं है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) पानी का उपयोग इंजन रेडिएटर में शीतलक (coolant) के रूप में मुख्य रूप से इसलिए किया जाता है क्योंकि इसकी विशिष्ट ऊष्मा धारिता $(c \approx 4186 \ J/kg \cdot K)$ बहुत अधिक होती है।
यह गुण पानी को अपने तापमान में अपेक्षाकृत बहुत कम वृद्धि के साथ इंजन से बड़ी मात्रा में ऊष्मा ऊर्जा को अवशोषित करने की अनुमति देता है।
परिणामस्वरूप,यह इंजन के घटकों से रेडिएटर तक ऊष्मा को स्थानांतरित करने में अत्यधिक कुशल है,जहाँ इसे वातावरण में छोड़ा जा सकता है।

(A) ऊष्मीय ऊर्जा प्राप्त करने का सूत्र $Q = m \cdot c \cdot \Delta \theta$ है।
दिया गया है:
पानी का द्रव्यमान,$m = 5\, kg$.
पानी की विशिष्ट ऊष्मा,$c = 4.2\, kJ\, kg^{-1} {^{\circ}C}^{-1}$.
प्रारंभिक तापमान,$\theta_1 = 20^{\circ}C$.
अंतिम तापमान (क्वथनांक),$\theta_2 = 100^{\circ}C$.
तापमान में परिवर्तन,$\Delta \theta = \theta_2 - \theta_1 = 100^{\circ}C - 20^{\circ}C = 80^{\circ}C$.
सूत्र में मान रखने पर:
$Q = 5\, kg \times 4.2\, kJ\, kg^{-1} {^{\circ}C}^{-1} \times 80^{\circ}C$.
$Q = 5 \times 4.2 \times 80\, kJ$.
$Q = 21 \times 80\, kJ$.
$Q = 1680\, kJ$.

(B) ऊष्मीय क्षमता (Thermal capacity) द्रव्यमान $(m)$ और विशिष्ट ऊष्मा $(c)$ का गुणनफल है।
ऊष्मीय क्षमता $= m \times c = (V \times \rho) \times c$,जहाँ $V$ आयतन है,$\rho$ घनत्व है और $c$ विशिष्ट ऊष्मा है।
चूंकि दोनों गोले एक ही पदार्थ से बने हैं,इसलिए उनका घनत्व $(\rho)$ और विशिष्ट ऊष्मा $(c)$ समान हैं।
अतः,ऊष्मीय क्षमताओं का अनुपात उनके आयतन के अनुपात के बराबर होगा।
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ द्वारा दिया जाता है।
व्यासों का अनुपात $1:2$ दिया गया है,इसलिए त्रिज्याओं का अनुपात $(r_1:r_2)$ भी $1:2$ होगा।
ऊष्मीय क्षमताओं का अनुपात $= \frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3}\pi r_1^3}{\frac{4}{3}\pi r_2^3} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$.
इस प्रकार,अनुपात $1:8$ है।

(B) $m$ द्रव्यमान और $c$ विशिष्ट ऊष्मा वाले किसी पिंड का तापमान $\Delta \theta$ तक बदलने के लिए आवश्यक ऊष्मीय ऊर्जा $Q$ का सूत्र है: $Q = m \cdot c \cdot \Delta \theta$।
यदि हम तापमान में परिवर्तन $\Delta \theta = 1^oC$ (या $1\,K$) लेते हैं,तो समीकरण $Q = m \cdot c$ हो जाता है।
गुणनफल $m \cdot c$ को पिंड की ऊष्मीय धारिता (Thermal capacity) के रूप में परिभाषित किया गया है।
अतः,किसी पिंड का तापमान $1^oC$ बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मा की मात्रा उसकी ऊष्मीय धारिता कहलाती है।

(D) ऊष्मीय धारिता को पदार्थ के द्रव्यमान $(m)$ और उसकी विशिष्ट ऊष्मा $(c)$ के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दिया गया है:
द्रव्यमान $(m)$ $= 40\, g$
विशिष्ट ऊष्मा $(c)$ $= 0.2\, cal/g/^{\circ}C$
ऊष्मीय धारिता $= m \times c$
ऊष्मीय धारिता $= 40\, g \times 0.2\, cal/g/^{\circ}C = 8\, cal/^{\circ}C$.
अतः, सही विकल्प $D$ है।

(B) ऊष्मीय ऊर्जा का सूत्र $Q = m \cdot c \cdot \Delta \theta$ है, जहाँ $c$ विशिष्ट ऊष्मा धारिता है。
$c$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें $c = \frac{Q}{m \cdot \Delta \theta}$ प्राप्त होता है。
यहाँ, $Q$ ऊष्मीय ऊर्जा (स्थिरांक) है और $m$ द्रव्यमान (स्थिरांक) है。
इसलिए, $c \propto \frac{1}{\Delta \theta}$。
चूंकि फारेनहाइट पैमाने पर एक डिग्री का आकार सेल्सियस पैमाने पर एक डिग्री के आकार से छोटा होता है $(1^\circ C = 1.8^\circ F)$, इसलिए $^\circ F$ में व्यक्त किया गया तापमान अंतराल $\Delta \theta$, $^\circ C$ में व्यक्त किए गए समान अंतराल की तुलना में संख्यात्मक रूप से बड़ा होगा。
चूंकि $^\circ C$ से $^\circ F$ में बदलने पर हर (denominator) $\Delta \theta$ बढ़ जाता है, इसलिए विशिष्ट ऊष्मा $c$ का संख्यात्मक मान घट जाएगा。

(B) पानी के $m$ द्रव्यमान का तापमान $\Delta T$ तक बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मीय ऊर्जा $Q$ का सूत्र $Q = mc\Delta T$ है।
यहाँ,पानी की विशिष्ट ऊष्मा धारिता $c = 4200\, J/(kg \cdot ^{\circ}C)$ या $4.2\, J/(g \cdot ^{\circ}C)$ है।
विकल्प $(B)$ के लिए: $m = 100\, g = 0.1\, kg$ और $\Delta T = 10^{\circ}C$ है।
$Q = 0.1\, kg \times 4200\, J/(kg \cdot ^{\circ}C) \times 10^{\circ}C = 4200\, J$।
अतः,$100\, g$ पानी का तापमान $10^{\circ}C$ बढ़ाने के लिए $4200\, J$ ऊर्जा की आवश्यकता होती है।

(A) विशिष्ट ऊष्मा धारिता $(c)$ का सूत्र $c = \frac{Q}{m \cdot \Delta \theta}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $Q$ ऊष्मीय ऊर्जा है,$m$ द्रव्यमान है,और $\Delta \theta$ तापमान में परिवर्तन है।
$SI$ मात्रकों को प्रतिस्थापित करने पर: $Q$ को जूल $(J)$ में मापा जाता है,$m$ को किलोग्राम $(kg)$ में मापा जाता है,और $\Delta \theta$ को डिग्री सेल्सियस $(^\circ C)$ या केल्विन $(K)$ में मापा जाता है।
अतः,विशिष्ट ऊष्मा का मात्रक $\frac{J}{kg \cdot ^\circ C}$ या $J/kg\,^\circ C$ है।

(A) विशिष्ट ऊष्मा धारिता को किसी पदार्थ के $1 \ kg$ द्रव्यमान का तापमान $1 \ K$ बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मा की मात्रा के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दिए गए विकल्पों में से,जल की विशिष्ट ऊष्मा धारिता सबसे अधिक होती है,जो लगभग $4186 \ J/(kg \cdot K)$ है।
अल्कोहल,ग्लिसरीन और तेल की विशिष्ट ऊष्मा धारिता जल की तुलना में काफी कम होती है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) स्थिर आयतन पर एक प्रक्रिया के लिए,दी गई ऊष्मा $(\Delta Q)_V$ आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $(\Delta U)$ के बराबर होती है।
दिया गया है: $\Delta U = 80 \ J$,$\Delta T = 120^{\circ}C - 100^{\circ}C = 20 \ K$.
स्थिर आयतन पर कुल ऊष्मा धारिता $(C_{total})$ को $C_{total} = \frac{(\Delta Q)_V}{\Delta T}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चूंकि $(\Delta Q)_V = \Delta U$,इसलिए $C_{total} = \frac{\Delta U}{\Delta T}$.
मान रखने पर: $C_{total} = \frac{80 \ J}{20 \ K} = 4 \ J/K$.

(D) इंजन के रेडिएटर को ठंडा करने के लिए पानी का उपयोग किया जाता है क्योंकि पानी की विशिष्ट ऊष्मा धारिता $(c = 4186 \ J/kg \cdot K)$ बहुत अधिक होती है।
इस उच्च विशिष्ट ऊष्मा के कारण,पानी अपने तापमान में बहुत कम परिवर्तन करके इंजन से बड़ी मात्रा में ऊष्मीय ऊर्जा को अवशोषित कर सकता है।
यह गुण इसे इंजन के परिचालन तापमान को बनाए रखने के लिए एक अत्यंत कुशल शीतलक (coolant) बनाता है।

(B) किसी वस्तु का तापमान $1^{\circ}C$ (या $1 \ K$) बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मा को उस वस्तु की ऊष्मीय धारिता (Thermal capacity) कहा जाता है।
गणितीय रूप से,$C = m \times s$,जहाँ $m$ वस्तु का द्रव्यमान है और $s$ पदार्थ की विशिष्ट ऊष्मा धारिता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) किसी पिंड का तापमान बदलने के लिए आवश्यक ऊष्मा का सूत्र $Q = m \cdot c \cdot \Delta \theta$ है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है,$c$ विशिष्ट ऊष्मा धारिता है,और $\Delta \theta$ तापमान में परिवर्तन है।
यदि तापमान में परिवर्तन $\Delta \theta = 1 ^\circ C$ (या $1 \, K$) है,तो आवश्यक ऊष्मा $Q = m \cdot c$ होगी।
इस गुणनफल $m \cdot c$ को पिंड की ऊष्मीय धारिता (Thermal capacity) के रूप में परिभाषित किया जाता है।

(B) ऊष्माधारिता $H_C$ को द्रव्यमान $m$ और विशिष्ट ऊष्मा $c$ के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है,अर्थात $H_C = m \cdot c$।
चूंकि दोनों गोले एक ही पदार्थ से बने हैं,इसलिए उनकी विशिष्ट ऊष्मा $c$ समान होगी।
अतः,ऊष्माधारिता द्रव्यमान के सीधे समानुपाती होती है: $H_C \propto m$।
चूंकि $m = V \cdot \rho$ (जहाँ $V$ आयतन है और $\rho$ घनत्व है),और दोनों के लिए घनत्व $\rho$ समान है,इसलिए $H_C \propto V$ होगा।
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ होता है,इसलिए $H_C \propto r^3$ होगा।
व्यास का अनुपात $d_1 : d_2 = 1 : 2$ दिया गया है,इसलिए त्रिज्या का अनुपात $r_1 : r_2$ भी $1 : 2$ होगा।
इस प्रकार,ऊष्माधारिता का अनुपात $\frac{(H_C)_1}{(H_C)_2} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^3 = \left( \frac{1}{2} \right)^3 = \frac{1}{8}$ होगा।

(B) ऊष्मा हानि की दर $P = \frac{dQ}{dt}$ द्वारा दी जाती है।
हम जानते हैं कि $dQ = C \cdot dT$,जहाँ $C$ ऊष्मा धारिता है और $dT$ तापमान में परिवर्तन है।
इसलिए,ऊष्मा हानि की दर $P = C \cdot \frac{dT}{dt}$ है।
यह दिया गया है कि दोनों वस्तुओं के लिए ऊष्मा हानि की दर $P$ समान है,इसलिए $C_1 \cdot \left(\frac{dT}{dt}\right)_1 = C_2 \cdot \left(\frac{dT}{dt}\right)_2$ होगा।
इसका अर्थ है कि $\frac{(\frac{dT}{dt})_1}{(\frac{dT}{dt})_2} = \frac{C_2}{C_1}$।
चूँकि ऊष्मा धारिताओं का अनुपात $\frac{C_1}{C_2} = \frac{1}{4}$ दिया गया है,इसलिए $\frac{C_2}{C_1} = \frac{4}{1}$ होगा।
अतः,तापमान में गिरावट की दर का अनुपात $4:1$ है।

(B) किसी पदार्थ का तापमान $dT$ बदलने के लिए आवश्यक ऊष्मा $dQ = m C dT$ द्वारा दी जाती है।
विशिष्ट ऊष्मा $C = \alpha T^2 + \beta T + \gamma$ का मान रखने पर:
$dQ = m (\alpha T^2 + \beta T + \gamma) dT$
तापमान को $0^{\circ}C$ से $T_o^{\circ}C$ तक बढ़ाने के लिए आवश्यक कुल ऊष्मा $Q$ ज्ञात करने के लिए,हम समाकलन (integration) करेंगे:
$Q = \int_{0}^{T_o} m (\alpha T^2 + \beta T + \gamma) dT$
$Q = m \left[ \frac{\alpha T^3}{3} + \frac{\beta T^2}{2} + \gamma T \right]_{0}^{T_o}$
$Q = m \left( \frac{\alpha T_o^3}{3} + \frac{\beta T_o^2}{2} + \gamma T_o \right)$
$Q = \frac{m \alpha T_o^3}{3} + \frac{m \beta T_o^2}{2} + m \gamma T_o$

(C) दी गई ऊष्मा $Q$ को $Q = mc\Delta T$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है,$c$ विशिष्ट ऊष्मा है और $\Delta T$ तापमान में परिवर्तन है।
यह मानते हुए कि ऊष्मा आपूर्ति की दर $P = Q/t$ स्थिर है,हमारे पास $P \cdot t = mc\Delta T$ है।
इसलिए,$c = \frac{P \cdot t}{m \cdot \Delta T}$।
दिए गए द्रव्यमान $m$ और निश्चित तापमान परिवर्तन $\Delta T$ के लिए,विशिष्ट ऊष्मा $c$ लिए गए समय $t$ के सीधे आनुपातिक है $(c \propto t)$।
ग्राफ से,तापमान में दिए गए वृद्धि $\Delta T$ के लिए,पदार्थ $C$ सबसे अधिक समय $t$ लेता है।
अतः,पदार्थ $C$ की विशिष्ट ऊष्मा सबसे अधिक है।

(C) विशिष्ट ऊष्मा धारिता $C$ को $C = \frac{dQ}{m \cdot dT}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
यदि विशिष्ट ऊष्मा $C$ अनंत है,तो किसी भी गैर-शून्य ऊष्मा विनिमय $dQ$ के लिए $dT$ शून्य होना चाहिए।
इसका तात्पर्य यह है कि ऊष्मा जोड़ने या निकालने पर भी पदार्थ का तापमान स्थिर रहता है।
यह अवस्था परिवर्तन (जैसे गलनांक या क्वथनांक) की विशेषता है,जहाँ पदार्थ तापमान में परिवर्तन किए बिना गुप्त ऊष्मा को अवशोषित या उत्सर्जित करता है।

(B) दिया गया है: मोलर द्रव्यमान $M_w = 50 \, g/mol$,नमूने का द्रव्यमान $m = 25 \, g$,दी गई ऊष्मा $Q = 300 \, J$,तापमान में परिवर्तन $\Delta \theta = 50^{\circ}C - 30^{\circ}C = 20^{\circ}C$.
सबसे पहले,विशिष्ट ऊष्मा धारिता $(S)$ की गणना करें:
$Q = m \cdot S \cdot \Delta \theta$
$300 = 25 \cdot S \cdot 20$
$300 = 500 \cdot S$
$S = \frac{300}{500} = 0.6 \, J/g \cdot ^{\circ}C$.
अब,मोलर ऊष्मा धारिता $(C_m)$ की गणना करें:
$C_m = M_w \cdot S$
$C_m = 50 \, g/mol \cdot 0.6 \, J/g \cdot ^{\circ}C$
$C_m = 30 \, J/mol \cdot ^{\circ}C$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) पानी का द्रव्यमान $m = 5 \, kg$ है।
प्रारंभिक तापमान $T_i = 20^oC$ है।
अंतिम तापमान (क्वथनांक) $T_f = 100^oC$ है।
पानी की विशिष्ट ऊष्मा धारिता $c = 4.2 \, kJ \, kg^{-1} \, ^oC^{-1}$ है।
आवश्यक ऊष्मा $Q$ के लिए सूत्र $Q = mc\Delta T$ है।
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = T_f - T_i = 100^oC - 20^oC = 80^oC$ है।
मान रखने पर: $Q = 5 \, kg \times 4.2 \, kJ \, kg^{-1} \, ^oC^{-1} \times 80^oC$ है।
$Q = 5 \times 4.2 \times 80 = 1680 \, kJ$ है।

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 25 \, g = 0.025 \, kg$,ऊष्मा $Q = 300 \, J$,तापमान में परिवर्तन $\Delta T = 50^{\circ}C - 30^{\circ}C = 20^{\circ}C$.
सबसे पहले,विशिष्ट ऊष्मा धारिता $(s)$ की गणना करें:
$Q = ms\Delta T \implies s = \frac{Q}{m\Delta T} = \frac{300 \, J}{0.025 \, kg \times 20^{\circ}C} = \frac{300}{0.5} = 600 \, J/kg^{\circ}C$.
इसके बाद,ऊष्मा धारिता $(C)$ की गणना करें:
$C = ms = 0.025 \, kg \times 600 \, J/kg^{\circ}C = 15 \, J/^{\circ}C$.
अतः,ऊष्मा धारिता $15 \, J/^{\circ}C$ है और विशिष्ट ऊष्मा धारिता $600 \, J/kg^{\circ}C$ है।

(B) किसी वस्तु की ऊष्मा धारिता $C = mc$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $c$ विशिष्ट ऊष्मा धारिता है।
चूंकि दोनों गोले समान पदार्थ से बने हैं,इसलिए उनकी विशिष्ट ऊष्मा धारिता $c$ समान होगी।
द्रव्यमान $m$ को $m = V \rho$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $V$ आयतन है और $\rho$ घनत्व है।
गोले के लिए,$V = \frac{4}{3} \pi r^3$ होता है।
इसलिए,ऊष्मा धारिता का अनुपात $\frac{C_1}{C_2} = \frac{m_1 c}{m_2 c} = \frac{m_1}{m_2} = \frac{V_1 \rho}{V_2 \rho} = \frac{V_1}{V_2}$ होगा।
आयतन का सूत्र रखने पर,$\frac{C_1}{C_2} = \frac{\frac{4}{3} \pi r_1^3}{\frac{4}{3} \pi r_2^3} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^3$ प्राप्त होता है।
व्यास का अनुपात $1:2$ दिया गया है,इसलिए त्रिज्या का अनुपात भी $r_1:r_2 = 1:2$ होगा।
अतः,$\frac{C_1}{C_2} = \left( \frac{1}{2} \right)^3 = \frac{1}{8}$।
उनकी ऊष्मा धारिता का अनुपात $1:8$ है।

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 25 \, g = 0.025 \, kg$,ऊष्मा $Q = 300 \, J$,तापमान में परिवर्तन $\Delta T = 45^{\circ}C - 25^{\circ}C = 20^{\circ}C$.
ऊष्मा धारिता $(C)$ को $C = \frac{Q}{\Delta T} = \frac{300}{20} = 15 \, J/^{\circ}C$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
विशिष्ट ऊष्मा धारिता $(c)$ को $c = \frac{C}{m} = \frac{15}{0.025} = 600 \, J/kg \cdot ^{\circ}C$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
अतः,ऊष्मा धारिता $15 \, J/^{\circ}C$ है और विशिष्ट ऊष्मा धारिता $600 \, J/kg \cdot ^{\circ}C$ है।

(C) आवश्यक ऊष्मा $Q$ को समाकलन $Q = \int m c \, dt$ द्वारा प्राप्त किया जाता है।
यहाँ $m = 2 \, g$,$c = 0.20 + 0.14t + 0.023t^2$,और तापमान की सीमा $t_1 = 5 \, ^\circ C$ से $t_2 = 15 \, ^\circ C$ है।
$Q = \int_{5}^{15} 2 \times (0.20 + 0.14t + 0.023t^2) \, dt$
$Q = 2 \times [0.20t + 0.07t^2 + \frac{0.023}{3}t^3]_{5}^{15}$
$Q = 2 \times [(0.20(15) + 0.07(15^2) + \frac{0.023}{3}(15^3)) - (0.20(5) + 0.07(5^2) + \frac{0.023}{3}(5^3))]$
$Q = 2 \times [(3 + 15.75 + 25.875) - (1 + 1.75 + 0.9583)]$
$Q = 2 \times [44.625 - 3.7083] = 2 \times 40.9167 \approx 81.83 \, cal$.
निकटतम पूर्णांक में,उत्तर $82 \, cal$ है।

(B) पानी का तापमान बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मीय ऊर्जा $Q = mc\Delta\theta$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,द्रव्यमान $m = 1\, kg$ ($1\, litre$ पानी का द्रव्यमान $1\, kg$ होता है),विशिष्ट ऊष्मा धारिता $c = 4180\, J/(kg\cdot ^oC)$,और तापमान में परिवर्तन $\Delta\theta = 40\, ^oC - 20\, ^oC = 20\, ^oC$ है।
अतः,$Q = 1 \times 4180 \times 20 = 83600\, J$।
हीटर की शक्ति $P = 836\, W$ है।
आवश्यक समय $t = \frac{Q}{P}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$t = \frac{83600}{836} = 100\, sec$।

(B) सबसे पहले,तापमान को फारेनहाइट से सेल्सियस में बदलने के लिए $C = (F - 32) \times \frac{5}{9}$ सूत्र का उपयोग करें।
सामान्य तापमान: $98.6^\circ F = (98.6 - 32) \times \frac{5}{9} = 66.6 \times \frac{5}{9} = 37^\circ C$.
बुखार का तापमान: $102.2^\circ F = (102.2 - 32) \times \frac{5}{9} = 70.2 \times \frac{5}{9} = 39^\circ C$.
तापमान में परिवर्तन $\Delta \theta = 39^\circ C - 37^\circ C = 2^\circ C$ है।
व्यक्ति का द्रव्यमान $m = 80 \, kg = 80,000 \, g$ है।
पानी की विशिष्ट ऊष्मा धारिता $s = 1 \, cal/g^\circ C$ है।
आवश्यक ऊष्मा $\Delta Q = m \cdot s \cdot \Delta \theta$ द्वारा दी जाती है।
$\Delta Q = 80,000 \, g \times 1 \, cal/g^\circ C \times 2^\circ C = 160,000 \, cal$.
चूंकि $1,000 \, cal = 1 \, kcal$,इसलिए $\Delta Q = 160 \, kcal$ है।

(B) इकाई द्रव्यमान $(m = 1)$ का तापमान $dT$ बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मीय ऊर्जा $dQ = m \cdot S \cdot dT$ द्वारा दी जाती है।
$S = aT^3$ और $m = 1$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $dQ = aT^3 \ dT$ प्राप्त होता है।
तापमान $T_1 = 1 \ K$ से $T_2 = 2 \ K$ तक बढ़ाने के लिए आवश्यक कुल ऊष्मीय ऊर्जा $Q$ ज्ञात करने के लिए,हम समाकलन करते हैं:
$Q = \int_{1}^{2} aT^3 \ dT$
$Q = a \left[ \frac{T^4}{4} \right]_{1}^{2}$
$Q = \frac{a}{4} (2^4 - 1^4)$
$Q = \frac{a}{4} (16 - 1)$
$Q = \frac{15 \ a}{4}$

(D) ऊष्मा धारिता $(C)$ को द्रव्यमान $(m)$ और विशिष्ट ऊष्मा धारिता $(c)$ के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है,अर्थात $C = mc$।
द्रव्यमान घनत्व $(\rho)$ और आयतन $(V)$ के गुणनफल द्वारा प्राप्त होता है,अर्थात $m = \rho V$।
पदार्थ $A$ के लिए: घनत्व $\rho_A = 1500 \ kg/m^3$,आयतन $V_A = 8 \ units$। द्रव्यमान $m_A = 1500 \times 8 = 12000 \ units$।
पदार्थ $B$ के लिए: घनत्व $\rho_B = 2000 \ kg/m^3$,आयतन $V_B = 12 \ units$। द्रव्यमान $m_B = 2000 \times 12 = 24000 \ units$।
दिया गया है कि $A$ के $8$ आयतन की ऊष्मा धारिता $B$ के $12$ आयतन की ऊष्मा धारिता के बराबर है:
$m_A \times c_A = m_B \times c_B$
$12000 \times c_A = 24000 \times c_B$
$c_A = 2 c_B$
अतः,विशिष्ट ऊष्मा का अनुपात $c_A : c_B = 2 : 1$ होगा।

(A) पानी के विस्तार को नजरअंदाज करते हुए,गर्म होने वाले तरल के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ आपूर्ति की गई ऊष्मा $\Delta Q$ के बराबर होता है।
दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 100 \ g = 0.1 \ kg$
विशिष्ट ऊष्मा $c = 4184 \ J/kg/K$
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = 50^\circ C - 30^\circ C = 20 \ K$
सूत्र $\Delta U = mc\Delta T$ का उपयोग करते हुए:
$\Delta U = 0.1 \ kg \times 4184 \ J/kg/K \times 20 \ K$
$\Delta U = 8368 \ J$
$kJ$ में बदलने पर:
$\Delta U = 8.368 \ kJ \approx 8.4 \ kJ$.

(C) ऊष्मा आपूर्ति की दर स्थिर है, इसलिए $\frac{dQ}{dt} = P$ (जहाँ $P$ एक स्थिरांक है)।
परिभाषा के अनुसार, $C = \frac{dQ}{dT}$, इसलिए $dQ = C \cdot dT = aT^3 \cdot dT$।
इसे दर समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{dQ}{dt} = aT^3 \frac{dT}{dt} = P$।
पुनर्व्यवस्थित करने पर $T^3 \cdot dT = \frac{P}{a} \cdot dt$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int T^3 \cdot dT = \int \frac{P}{a} \cdot dt$।
इससे $\frac{T^4}{4} = \frac{P}{a} \cdot t + \text{स्थिरांक}$ प्राप्त होता है।
यह मानते हुए कि $t = 0$ पर $T = 0$ है, स्थिरांक $0$ है, इसलिए $T^4 = \frac{4P}{a} \cdot t$।
अतः, $T = \left( \frac{4P}{a} \right)^{1/4} \cdot t^{1/4}$।
चूंकि $T \propto t^{1/4}$, इसलिए $T$ बनाम $t$ का ग्राफ एक वक्र होगा जो मूल बिंदु से शुरू होता है और जैसे-जैसे $t$ बढ़ता है, इसका ढाल कम होता जाता है (नीचे की ओर अवतल), जो ग्राफ $C$ के अनुरूप है।

(B) किसी पिंड की ऊष्मा धारिता को उस ऊष्मा की मात्रा के रूप में परिभाषित किया जाता है जो पूरे पिंड के तापमान को $1\ ^oC$ बढ़ाने के लिए आवश्यक होती है।
गणितीय रूप से,इसे $C = \frac{Q}{\Delta T}$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $Q$ दी गई ऊष्मा है और $\Delta T$ तापमान में परिवर्तन है।
चूंकि प्रश्न में पिंड के तापमान को $1\ ^oC$ बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मा (प्रति इकाई द्रव्यमान नहीं) के बारे में पूछा गया है,इसलिए सही शब्द ऊष्मा धारिता है।

(B) ठंडा होने की दर $P = \frac{dQ}{dt} = mS \left| \frac{dT}{dt} \right|$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $P$ स्थिर शक्ति है,$m$ द्रव्यमान है,और $S$ विशिष्ट ऊष्मा धारिता है।
अतः,$S = \frac{P}{m} \left| \frac{dt}{dT} \right|$। चूँकि $P$ और $m$ स्थिर हैं,$S \propto \left| \frac{dt}{dT} \right|$।
गैस अवस्था के लिए ($t=0$ से $t=10$ s,$T=100^{\circ}C$ से $70^{\circ}C$): $\Delta t = 10$ s,$\Delta T = 30^{\circ}C$. अतः,$S_{gas} \propto \frac{10}{30} = \frac{1}{3}$.
द्रव अवस्था के लिए ($t=20$ से $t=40$ s,$T=70^{\circ}C$ से $50^{\circ}C$): $\Delta t = 20$ s,$\Delta T = 20^{\circ}C$. अतः,$S_{liquid} \propto \frac{20}{20} = 1$.
ठोस अवस्था के लिए ($t=80$ से $t=100$ s,$T=50^{\circ}C$ से $10^{\circ}C$): $\Delta t = 20$ s,$\Delta T = 40^{\circ}C$. अतः,$S_{solid} \propto \frac{20}{40} = \frac{1}{2}$.
अब,$S_{solid} : S_{liquid} : S_{gas} = \frac{1}{2} : 1 : \frac{1}{3}$.
$6$ से गुणा करने पर,हमें $3 : 6 : 2$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए ऊष्मा आपूर्ति की स्थिर दर $\frac{dQ}{dt} = K$ है।
कैलोरीमिति के सिद्धांत के अनुसार,$dQ = ms \Delta \theta$ होता है।
चूंकि $\theta_0 = 0$ है,इसलिए $dQ = ms \theta$ प्राप्त होता है।
दर पर विचार करने पर,$K t = ms \theta$,जिससे $\theta = \left( \frac{K}{ms} \right) t$ प्राप्त होता है।
इसे रेखा के समीकरण $y = mx$ के साथ तुलना करने पर,ढाल $\text{slope} = \frac{K}{ms} = \tan \alpha$ है,जहाँ $\alpha$ वह कोण है जो ग्राफ समय अक्ष के साथ बनाता है।
इस प्रकार,$S = \frac{K}{m \tan \alpha}$ है।
पिंड $A$ के लिए (द्रव्यमान $m$,कोण $60^{\circ}$): $S_A = \frac{K}{m \tan 60^{\circ}} = \frac{K}{m \sqrt{3}}$।
पिंड $B$ के लिए (द्रव्यमान $m$,कोण $45^{\circ}$): $S_B = \frac{K}{m \tan 45^{\circ}} = \frac{K}{m}$।
पिंड $C$ के लिए (द्रव्यमान $\sqrt{3}m$,कोण $30^{\circ}$): $S_C = \frac{K}{(\sqrt{3}m) \tan 30^{\circ}} = \frac{K}{\sqrt{3}m \times \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{K}{m}$।
मानों की तुलना करने पर,हमें $S_B = S_C = \frac{K}{m}$ और $S_A = \frac{K}{m \sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sqrt{3} > 1$ है,इसलिए $\frac{K}{m \sqrt{3}} < \frac{K}{m}$ होता है।
अतः,$S_A < S_B = S_C$,जो $S_B = S_C > S_A$ के बराबर है।

(A) तांबे को दी गई ऊष्मा $Q = m_C c_C \Delta \theta_C$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है: $m_C = 50\,g = 0.05\,kg$,$c_C = 420\,J\,kg^{-1}\,^{\circ}C^{-1}$,$\Delta \theta_C = 10\,^{\circ}C$.
$Q = 0.05 \times 420 \times 10 = 210\,J$.
अब,वही ऊष्मा $Q$ $10\,g$ पानी $(m_W = 0.01\,kg)$ को दी जाती है।
$Q = m_W c_W \Delta \theta_W$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $c_W = 4200\,J\,kg^{-1}\,^{\circ}C^{-1}$:
$\Delta \theta_W = \frac{Q}{m_W c_W} = \frac{210}{0.01 \times 4200} = \frac{210}{42} = 5\,^{\circ}C$.

(D) कार के रेडिएटर में पानी का उपयोग कूलेंट के रूप में किया जाता है क्योंकि इसकी विशिष्ट ऊष्मा धारिता $(4200 \, J/kg \cdot K)$ बहुत अधिक होती है।
यह गुण पानी को अपने तापमान में अपेक्षाकृत कम वृद्धि के साथ इंजन से बड़ी मात्रा में ऊष्मीय ऊर्जा को अवशोषित करने की अनुमति देता है,जिससे यह इंजन ब्लॉक से गर्मी को दूर करने में अत्यधिक प्रभावी हो जाता है।

(C) ऊष्मीय धारिता $(C')$ को किसी पिंड के तापमान को $1^{\circ}C$ या $1 \ K$ तक बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मा की मात्रा के रूप में परिभाषित किया जाता है।
इसे गणितीय रूप से $C' = m \times s$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,जहाँ $m$ पिंड का द्रव्यमान है और $s$ पदार्थ की विशिष्ट ऊष्मा धारिता है।
चूंकि विशिष्ट ऊष्मा धारिता $(s)$ पदार्थ का एक गुण है,इसलिए किसी विशिष्ट पिंड की ऊष्मीय धारिता सीधे उसके द्रव्यमान $(m)$ पर निर्भर करती है।

(D) ड्रिलिंग मशीन की शक्ति,$P = 10\, kW = 10 \times 10^{3}\, W$.
एल्युमीनियम ब्लॉक का द्रव्यमान,$m = 8.0\, kg = 8 \times 10^{3}\, g$.
मशीन का उपयोग करने का समय,$t = 2.5\, min = 2.5 \times 60 = 150\, s$.
एल्युमीनियम की विशिष्ट ऊष्मा,$c = 0.91\, J\, g^{-1}\, K^{-1}$.
ड्रिलिंग मशीन द्वारा प्रदान की गई कुल ऊर्जा $= P \times t = 10 \times 10^{3} \times 150 = 1.5 \times 10^{6}\, J$.
चूंकि $50\, \%$ शक्ति नष्ट हो जाती है,इसलिए ब्लॉक को गर्म करने के लिए उपयोग की जाने वाली उपयोगी ऊर्जा $\Delta Q$ कुल ऊर्जा का $50\, \%$ है।
$\Delta Q = 0.50 \times 1.5 \times 10^{6} = 7.5 \times 10^{5}\, J$.
सूत्र $\Delta Q = m c \Delta T$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\Delta T$ तापमान में वृद्धि है:
$\Delta T = \frac{\Delta Q}{m c} = \frac{7.5 \times 10^{5}}{8 \times 10^{3} \times 0.91} = \frac{750}{8 \times 0.91} = \frac{750}{7.28} \approx 103\, ^{\circ}C$.
अतः,ब्लॉक के तापमान में $103\, ^{\circ}C$ की वृद्धि होगी।

(D) किसी पदार्थ को दी गई या उससे ली गई ऊष्मा $(Q)$ का सूत्र $Q = mc\Delta T$ होता है।
यहाँ, $m$ पदार्थ का द्रव्यमान है, $c$ पदार्थ की विशिष्ट ऊष्मा धारिता है, और $\Delta T$ तापमान में परिवर्तन है।
अतः, ऊष्मा इन तीनों कारकों पर निर्भर करती है।
इसलिए, सही विकल्प $D$ है।

(A) कोयले को जलाने से उत्पन्न ऊर्जा उसके कैलोरी मान (calorific value) द्वारा निर्धारित की जाती है।
कोयले का कैलोरी मान लगभग $30 \, MJ/kg$ या $3 \times 10^7 \, J/kg$ होता है।
इसलिए,$1\, kg$ कोयले को जलाने पर $3 \times 10^7 \, J$ ऊर्जा उत्पन्न होती है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) किसी दिए गए पदार्थ को गर्म करने के लिए आवश्यक ऊष्मा की मात्रा उसके द्रव्यमान $(m)$,तापमान में परिवर्तन $(\Delta T)$ और पदार्थ की प्रकृति पर निर्भर करती है।
जब कोई पदार्थ ऊष्मा का अवशोषण या उत्सर्जन करता है,तो उसके तापमान में होने वाले परिवर्तन को जिस भौतिक राशि द्वारा दर्शाया जाता है,उसे उस पदार्थ की ऊष्मा धारिता कहते हैं।
ऊष्मा धारिता $(S)$: पदार्थ को दी गई ऊष्मा $(\Delta Q)$ और उसके तापमान में होने वाले संगत परिवर्तन $(\Delta T)$ के अनुपात को ऊष्मा धारिता कहते हैं।
गणितीय रूप में:
$S = \frac{\Delta Q}{\Delta T}$
यहाँ $\Delta Q$ पदार्थ का तापमान $T$ से $T + \Delta T$ तक बदलने के लिए दी गई ऊष्मा की मात्रा है।
ऊष्मा धारिता का मान पदार्थ के प्रकार और उसके द्रव्यमान पर निर्भर करता है। समान पदार्थ के लेकिन अलग द्रव्यमान वाले पदार्थों की ऊष्मा धारिता भिन्न हो सकती है।
ऊष्मा धारिता का $SI$ मात्रक $J K^{-1}$ या $J/K$ है।

(D) किसी पदार्थ का तापमान बदलने के लिए आवश्यक ऊष्मा की मात्रा $Q$ को सूत्र $Q = mc\Delta T$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ पदार्थ का द्रव्यमान है,$c$ विशिष्ट ऊष्मा धारिता है (जो पदार्थ की प्रकृति पर निर्भर करती है),और $\Delta T$ तापमान में परिवर्तन है।
$1$. द्रव्यमान $(m)$: आवश्यक ऊष्मा पदार्थ के द्रव्यमान के सीधे आनुपातिक होती है। समान तापमान वृद्धि के लिए द्रव्यमान को दोगुना करने पर दोगुनी ऊष्मा की आवश्यकता होती है।
$2$. तापमान में परिवर्तन $(\Delta T)$: आवश्यक ऊष्मा तापमान में परिवर्तन के सीधे आनुपातिक होती है। समान द्रव्यमान के लिए तापमान वृद्धि को दोगुना करने पर दोगुनी ऊष्मा की आवश्यकता होती है।
$3$. पदार्थ की प्रकृति $(c)$: विभिन्न पदार्थों की विशिष्ट ऊष्मा धारिता अलग-अलग होती है। समान द्रव्यमान और समान तापमान वृद्धि के लिए,अलग-अलग पदार्थों को अलग-अलग मात्रा में ऊष्मा की आवश्यकता होती है।
अतः,आवश्यक ऊष्मा की मात्रा द्रव्यमान,तापमान में परिवर्तन और पदार्थ की प्रकृति,इन तीनों कारकों पर निर्भर करती है।

(N/A) विशिष्ट ऊष्मा धारिता को किसी पदार्थ के इकाई द्रव्यमान के तापमान को एक इकाई (डिग्री) तक बदलने के लिए आवश्यक ऊष्मा ऊर्जा की मात्रा के रूप में परिभाषित किया जाता है।
यदि $m$ द्रव्यमान वाले पदार्थ में $\Delta T$ तापमान परिवर्तन करने के लिए अवशोषित या उत्सर्जित ऊष्मा की मात्रा $\Delta Q$ है,तो विशिष्ट ऊष्मा धारिता $s$ को इस प्रकार दिया जाता है:
$s = \frac{\Delta Q}{m \Delta T}$
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें समीकरण प्राप्त होता है: $\Delta Q = m s \Delta T$।
विशिष्ट ऊष्मा धारिता पदार्थ का एक अभिलक्षणिक गुण है। यह पदार्थ की प्रकृति और उसके तापमान पर निर्भर करती है।
विशिष्ट ऊष्मा धारिता का $SI$ मात्रक $J \ kg^{-1} \ K^{-1}$ है।
इसका विमीय सूत्र $[M^0 L^2 T^{-2} K^{-1}]$ है।

(D) किसी पदार्थ को दी गई ऊष्मा $Q$ निम्नलिखित कारकों पर निर्भर करती है:
$1$. पदार्थ के द्रव्यमान $(m)$ पर: $Q \propto m$
$2$. तापमान में परिवर्तन $(\Delta T)$ पर: $Q \propto \Delta T$
$3$. पदार्थ की विशिष्ट ऊष्मा धारिता $(c)$ पर,जो पदार्थ की प्रकृति पर निर्भर करती है: $Q \propto c$
इन तीनों कारकों को मिलाने पर,हमें सूत्र प्राप्त होता है: $Q = mc\Delta T$।
अतः,आवश्यक ऊष्मा उपरोक्त सभी कारकों पर निर्भर करती है।

(N/A) ऊष्मा धारिता $(C)$ को किसी वस्तु के तापमान को $1 \ K$ (या $1 \ ^\circ C$) तक बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मा ऊर्जा की मात्रा के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से, $C = \frac{Q}{\Delta T}$, जहाँ $Q$ ऊष्मा ऊर्जा है और $\Delta T$ तापमान में परिवर्तन है।
$1$. $SI$ मात्रक: चूँकि ऊष्मा ऊर्जा $(Q)$ को जूल $(J)$ में मापा जाता है और तापमान $(\Delta T)$ को केल्विन $(K)$ में, इसलिए ऊष्मा धारिता का $SI$ मात्रक $J/K$ या $J \cdot K^{-1}$ है।
$2$. विमीय सूत्र: ऊष्मा ऊर्जा $(Q)$ की विमा $[ML^2T^{-2}]$ है और तापमान $(\Delta T)$ की विमा $[K]$ है।
अतः, ऊष्मा धारिता का विमीय सूत्र $\frac{[ML^2T^{-2}]}{[K]} = [ML^2T^{-2}K^{-1}]$ है।

(N/A) मोलर विशिष्ट ऊष्मा को किसी पदार्थ के $1 \ mole$ का तापमान $1 \ K$ (या $1 \ ^\circ C$) बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मा ऊर्जा की मात्रा के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,इसे $C = \frac{1}{n} \frac{dQ}{dT}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,जहाँ $n$ मोलों की संख्या है,$dQ$ दी गई ऊष्मा है,और $dT$ तापमान में परिवर्तन है।
मोलर विशिष्ट ऊष्मा का $SI$ मात्रक $\text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}$ है।

(A) ऑटोमोबाइल रेडिएटर में पानी का उपयोग कूलेंट के रूप में मुख्य रूप से इसलिए किया जाता है क्योंकि इसकी विशिष्ट ऊष्मा धारिता $(c = 4186 \ J/kg \cdot K)$ बहुत अधिक होती है।
इसका अर्थ यह है कि पानी अपने तापमान में अपेक्षाकृत कम वृद्धि के साथ बड़ी मात्रा में ऊष्मीय ऊर्जा को अवशोषित कर सकता है।
इस गुण के कारण,पानी इंजन ब्लॉक से ऊष्मा को रेडिएटर तक ले जाने में अत्यधिक प्रभावी है,जहाँ इसे वातावरण में विसर्जित किया जा सकता है।
इसके अतिरिक्त,पानी आसानी से उपलब्ध है,सस्ता है और इसकी ऊष्मीय चालकता उच्च है,जो इसे ऊष्मा स्थानांतरण के लिए एक आदर्श तरल बनाता है।

(N/A) पानी की विशिष्ट ऊष्मा धारिता (specific heat capacity) भूमि की तुलना में काफी अधिक होती है। गर्मियों के दौरान,पानी गर्मी को अवशोषित करता है और इसका तापमान भूमि की तुलना में बहुत धीरे-धीरे बढ़ता है। परिणामस्वरूप,समुद्र के ऊपर की हवा भूमि के ऊपर की हवा की तुलना में कम तापमान पर रहती है। इसलिए,जब यह हवा समुद्र से भूमि की ओर चलती है,तो यह ठंडी हवा के रूप में महसूस होती है।

(B) पानी की विशिष्ट ऊष्मा धारिता लगभग $4186 \ J/(kg \cdot K)$ है,जबकि रेत की विशिष्ट ऊष्मा धारिता लगभग $830 \ J/(kg \cdot K)$ है।
चूंकि $4186 \ J/(kg \cdot K) > 830 \ J/(kg \cdot K)$,इसलिए पानी की विशिष्ट ऊष्मा धारिता रेत की तुलना में काफी अधिक है।