Trigonometrical ratios of multiple and sub-multiple angles Questions in Hindi

(A) गुणनफल $P = \cos A \cos 2 A \cos 2^2 A \ldots \cos 2^{n-1} A$ का मूल्यांकन करने के लिए,$2 \sin A$ से गुणा और भाग करें:
$P = \frac{1}{2 \sin A} (2 \sin A \cos A) \cos 2 A \cos 4 A \ldots \cos 2^{n-1} A$
सर्वसमिका $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करने पर:
$P = \frac{1}{2 \sin A} (\sin 2 A \cos 2 A) \cos 4 A \ldots \cos 2^{n-1} A$
$2$ से गुणा और भाग करने पर:
$P = \frac{1}{2^2 \sin A} (2 \sin 2 A \cos 2 A) \cos 4 A \ldots \cos 2^{n-1} A = \frac{\sin 4 A}{2^2 \sin A} \cos 4 A \ldots \cos 2^{n-1} A$
इस प्रक्रिया को $n$ बार दोहराने पर,हमें प्राप्त होता है:
$P = \frac{\sin 2^n A}{2^n \sin A}$

(B) दिया गया है $\tan \theta = \frac{-3}{4}$। चूंकि $\tan \theta < 0$ है और $\theta$ दूसरे चतुर्थांश में नहीं है,इसलिए $\theta$ चौथे चतुर्थांश में होना चाहिए।
चौथे चतुर्थांश में,$\sin \theta = \frac{-3}{5}$ और $\cos \theta = \frac{4}{5}$ होता है।
अर्ध-कोण सूत्र का उपयोग करते हुए,$\tan \frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta} = \frac{1 - 4/5}{-3/5} = \frac{1/5}{-3/5} = \frac{-1}{3}$।
साथ ही,$\sin 2 \theta = 2 \sin \theta \cos \theta = 2 \times (\frac{-3}{5}) \times (\frac{4}{5}) = \frac{-24}{25}$।
अतः,$\tan \frac{\theta}{2} + \sin 2 \theta = \frac{-1}{3} + (\frac{-24}{25}) = \frac{-25 - 72}{75} = \frac{-97}{75}$।

(B) सर्वसमिका $\cos 3x = 4 \cos^3 x - 3 \cos x$ का उपयोग करते हुए,$\cos^3 x = \frac{\cos 3x + 3 \cos x}{4}$ प्राप्त होता है।
प्रत्येक पद के लिए इसे लागू करने पर:
$\frac{\cos 3 \theta + 3 \cos \theta}{4} + \frac{\cos(2 \pi + 3 \theta) + 3 \cos(\frac{2 \pi}{3} + \theta)}{4} + \frac{\cos(4 \pi + 3 \theta) + 3 \cos(\frac{4 \pi}{3} + \theta)}{4} = \alpha \cos 3 \theta$
चूंकि $\cos(2 \pi + 3 \theta) = \cos 3 \theta$ और $\cos(4 \pi + 3 \theta) = \cos 3 \theta$,समीकरण इस प्रकार होगा:
$\frac{3 \cos 3 \theta + 3 \cos \theta + 3 \cos(\frac{2 \pi}{3} + \theta) + 3 \cos(\frac{4 \pi}{3} + \theta)}{4} = \alpha \cos 3 \theta$
योग-से-गुणनफल सूत्र $\cos A + \cos B = 2 \cos(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})$ का उपयोग करते हुए:
$\cos(\frac{2 \pi}{3} + \theta) + \cos(\frac{4 \pi}{3} + \theta) = 2 \cos(\pi + \theta) \cos(-\frac{\pi}{3}) = 2(-\cos \theta)(\frac{1}{2}) = -\cos \theta$
इस मान को वापस रखने पर:
$\frac{3 \cos 3 \theta + 3 \cos \theta + 3(-\cos \theta)}{4} = \alpha \cos 3 \theta$
$\frac{3 \cos 3 \theta}{4} = \alpha \cos 3 \theta$
अतः,$\alpha = \frac{3}{4}$।

(B) दिया गया है $\frac{\tan 3A}{\tan A} = a$.
हम जानते हैं कि $\tan 3A = \frac{3\tan A - \tan^3 A}{1 - 3\tan^2 A}$.
अतः,$\frac{3\tan A - \tan^3 A}{\tan A(1 - 3\tan^2 A)} = a$.
$\frac{3 - \tan^2 A}{1 - 3\tan^2 A} = a$.
$3 - \tan^2 A = a - 3a\tan^2 A$.
$\tan^2 A(3a - 1) = a - 3$.
$\tan^2 A = \frac{a - 3}{3a - 1}$.
अब,$\frac{\sin 3A}{\sin A} = \frac{3\sin A - 4\sin^3 A}{\sin A} = 3 - 4\sin^2 A$.
$\sin^2 A = \frac{\tan^2 A}{1 + \tan^2 A} = \frac{\frac{a-3}{3a-1}}{1 + \frac{a-3}{3a-1}} = \frac{a-3}{4(a-1)}$ का उपयोग करने पर.
अतः,$\frac{\sin 3A}{\sin A} = 3 - 4\left(\frac{a-3}{4(a-1)}\right) = 3 - \frac{a-3}{a-1} = \frac{3a - 3 - a + 3}{a-1} = \frac{2a}{a-1}$.

(D) हम जानते हैं कि $(1 + \sec \theta) = \frac{1 + \cos \theta}{\cos \theta} = \frac{2 \cos^2 \frac{\theta}{2}}{\cos \theta}$ होता है।
साथ ही,$\tan \frac{\theta}{2} (1 + \sec \theta) = \frac{\sin \frac{\theta}{2}}{\cos \frac{\theta}{2}} \cdot \frac{2 \cos^2 \frac{\theta}{2}}{\cos \theta} = \frac{2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}}{\cos \theta} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$ होता है।
इसे बार-बार लागू करने पर,$f_n(x) = \tan \frac{x}{2} (1 + \sec x) (1 + \sec 2x) \dots (1 + \sec 2^n x) = \tan 2^n x$ प्राप्त होता है।
$x = \frac{\pi}{16}$ के लिए:
$f_2\left(\frac{\pi}{16}\right) = \tan \left(2^2 \cdot \frac{\pi}{16}\right) = \tan \left(4 \cdot \frac{\pi}{16}\right) = \tan \frac{\pi}{4} = 1$ होता है।
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(B) हम जानते हैं कि $\cot x - \tan x = \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\sin x \cos x}$.
$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ और $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\cot x - \tan x = \frac{\cos 2x}{\frac{1}{2} \sin 2x} = 2 \cot 2x$.
अतः,$\frac{\cot x - \tan x}{\cot 2x} = \frac{2 \cot 2x}{\cot 2x} = 2$.

(B) दी गई अभिव्यक्ति: $\cos 15^{\circ} \cos 7.5^{\circ} \sin 7.5^{\circ}$.
सर्वसमिका $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करते हुए,$\sin 7.5^{\circ} \cos 7.5^{\circ} = \frac{1}{2} \sin(2 \times 7.5^{\circ}) = \frac{1}{2} \sin 15^{\circ}$.
इस मान को मूल अभिव्यक्ति में रखने पर:
$\cos 15^{\circ} \times (\frac{1}{2} \sin 15^{\circ}) = \frac{1}{2} \sin 15^{\circ} \cos 15^{\circ}$.
पुनः,$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करते हुए,$\sin 15^{\circ} \cos 15^{\circ} = \frac{1}{2} \sin(2 \times 15^{\circ}) = \frac{1}{2} \sin 30^{\circ}$.
अतः,अभिव्यक्ति $\frac{1}{2} \times (\frac{1}{2} \sin 30^{\circ}) = \frac{1}{4} \sin 30^{\circ}$ हो जाती है।
चूंकि $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,अंतिम मान $\frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$ है।

(A) दी गई व्यंजक: $\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+2 \cos 4x}}}}$
सर्वसमिका $1 + \cos 2\theta = 2 \cos^2 \theta$ का उपयोग करते हुए,$2 + 2 \cos 4x = 2(1 + \cos 4x) = 2(2 \cos^2 2x) = 4 \cos^2 2x$ प्राप्त होता है।
इसे सबसे अंदर वाले वर्गमूल में रखने पर: $\sqrt{2+2 \cos 4x} = \sqrt{4 \cos^2 2x} = 2 \cos 2x$।
अब व्यंजक बनता है: $\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+2 \cos 2x}}}$।
पुनः,$2 + 2 \cos 2x = 2(1 + \cos 2x) = 2(2 \cos^2 x) = 4 \cos^2 x$ का उपयोग करते हुए।
इसे रखने पर: $\sqrt{2+2 \cos 2x} = \sqrt{4 \cos^2 x} = 2 \cos x$।
अब व्यंजक बनता है: $\frac{2}{\sqrt{2+2 \cos x}}$।
$2 + 2 \cos x = 2(1 + \cos x) = 2(2 \cos^2 \frac{x}{2}) = 4 \cos^2 \frac{x}{2}$ का उपयोग करते हुए।
अतः,$\sqrt{2+2 \cos x} = 2 \cos \frac{x}{2}$।
अंत में,व्यंजक का सरलतम रूप $\frac{2}{2 \cos \frac{x}{2}} = \frac{1}{\cos \frac{x}{2}} = \sec \frac{x}{2}$ है।

(B) दिया गया है,$\cot \frac{2x}{3} + \tan \frac{x}{3} = \operatorname{cosec} \frac{kx}{3}$.
माना $\theta = \frac{x}{3}$.
तब,$\cot 2\theta + \tan \theta = \operatorname{cosec} k\theta$.
सर्वसमिकाओं $\cot 2\theta = \frac{\cos 2\theta}{\sin 2\theta}$ और $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\cos 2\theta}{\sin 2\theta} + \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \operatorname{cosec} k\theta$.
$\frac{\cos 2\theta \cos \theta + \sin 2\theta \sin \theta}{\sin 2\theta \cos \theta} = \operatorname{cosec} k\theta$.
$\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{\cos(2\theta - \theta)}{\sin 2\theta \cos \theta} = \operatorname{cosec} k\theta$.
$\frac{\cos \theta}{\sin 2\theta \cos \theta} = \operatorname{cosec} k\theta$.
$\frac{1}{\sin 2\theta} = \operatorname{cosec} k\theta$.
$\operatorname{cosec} 2\theta = \operatorname{cosec} k\theta$.
अतः,$k = 2$.

(B) सर्वसमिका $\cos ^2 A - \sin ^2 B = \cos(A+B) \cos(A-B)$ और $\sin ^2 A - \sin ^2 B = \sin(A+B) \sin(A-B)$ का उपयोग करने पर:
अंश: $\cos ^2 48^{\circ} - \sin ^2 12^{\circ} = \cos 60^{\circ} \cos 36^{\circ}$.
हर: $\sin ^2 24^{\circ} - \sin ^2 6^{\circ} = \sin 30^{\circ} \sin 18^{\circ}$.
मान रखने पर: $\frac{(1/2) \times ((\sqrt{5}+1)/4)}{(1/2) \times ((\sqrt{5}-1)/4)} = \frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}$.
हर का परिमेयकरण करने पर: $\frac{6+2\sqrt{5}}{4} = \frac{3+\sqrt{5}}{2}$.
तुलना करने पर,$\alpha = 3$ और $\beta = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha+\beta = 4$.

(A) हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin \theta \sin(60^\circ - \theta) \sin(60^\circ + \theta) = \frac{1}{4} \sin 3\theta$ का उपयोग करेंगे।
यहाँ,$\theta = 10^\circ = \frac{\pi}{18}$ है।
अतः,$K = \sin 10^\circ \sin 50^\circ \sin 70^\circ = \frac{1}{4} \sin(3 \times 10^\circ) = \frac{1}{4} \sin 30^\circ = \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$।
अब,हमें $\sin(\frac{10K\pi}{3})$ का मान ज्ञात करना है।
$K = \frac{1}{8}$ रखने पर,हमें $\sin(\frac{10 \times (1/8) \times \pi}{3}) = \sin(\frac{10\pi}{24}) = \sin(\frac{5\pi}{12})$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\frac{5\pi}{12} = 75^\circ$,इसलिए $\sin(75^\circ) = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ$।
$= (\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3}}{2}) + (\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$।