Mix Examples-Trigonometrical Ratios, Functions and Identities Questions in Hindi

(B) हमें योग $S = \sum_{k=1}^3 \cos^2 \left((2k-1) \frac{\pi}{12}\right)$ का मूल्यांकन करना है।
$k=1, 2, 3$ के लिए योग का विस्तार करने पर:
$S = \cos^2 \left(\frac{\pi}{12}\right) + \cos^2 \left(\frac{3\pi}{12}\right) + \cos^2 \left(\frac{5\pi}{12}\right)$.
कोणों को सरल करने पर:
$S = \cos^2 \left(\frac{\pi}{12}\right) + \cos^2 \left(\frac{\pi}{4}\right) + \cos^2 \left(\frac{5\pi}{12}\right)$.
चूंकि $\cos \left(\frac{5\pi}{12}\right) = \cos \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{12}\right) = \sin \left(\frac{\pi}{12}\right)$,इसलिए $\cos^2 \left(\frac{5\pi}{12}\right) = \sin^2 \left(\frac{\pi}{12}\right)$.
इस मान को योग में रखने पर:
$S = \cos^2 \left(\frac{\pi}{12}\right) + \sin^2 \left(\frac{\pi}{12}\right) + \cos^2 \left(\frac{\pi}{4}\right)$.
सर्वसमिका $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर:
$S = 1 + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

(D) दी गई असमिका $2^{\sqrt{\sin^2 x - 2 \sin x + 5}} \cdot 2^{-2 \sin^2 y} \leq 1$ है।
इसे $2^{\sqrt{(\sin x - 1)^2 + 4}} \leq 2^{2 \sin^2 y}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
आधार $2 > 1$ है,इसलिए $\sqrt{(\sin x - 1)^2 + 4} \leq 2 \sin^2 y$।
हम जानते हैं कि $(\sin x - 1)^2 \geq 0$,इसलिए $\sqrt{(\sin x - 1)^2 + 4} \geq 2$।
अतः $2 \sin^2 y \geq 2$,जिसका अर्थ है $\sin^2 y \geq 1$।
$\sin^2 y$ का अधिकतम मान $1$ है,इसलिए $\sin^2 y = 1$ अर्थात $\sin y = \pm 1$।
$\sin^2 y = 1$ रखने पर,$\sqrt{(\sin x - 1)^2 + 4} \leq 2$ प्राप्त होता है।
इससे $(\sin x - 1)^2 + 4 \leq 4$,अर्थात $(\sin x - 1)^2 \leq 0$।
अतः $\sin x = 1$।
इस प्रकार,$\sin x = |\sin y|$ प्राप्त होता है।

(A) समुच्चय $A$ के लिए: $\tan x - \tan^2 x > 0 \Rightarrow \tan x(1 - \tan x) > 0$. इसका अर्थ है $0 < \tan x < 1$. अंतराल $[0, 2\pi]$ में,यह तब होता है जब $x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) \cup \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right)$ हो।
समुच्चय $B$ के लिए: $|\sin x| < \frac{1}{2} \Rightarrow -\frac{1}{2} < \sin x < \frac{1}{2}$. अंतराल $[0, 2\pi]$ में,यह तब होता है जब $x \in \left[0, \frac{\pi}{6}\right) \cup \left(\frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}\right) \cup \left(\frac{11\pi}{6}, 2\pi\right]$ हो।
$A \cap B$ ज्ञात करने के लिए,हम इन अंतरालों का सर्वनिष्ठ (intersection) ज्ञात करते हैं:
$A \cap B = \left( \left(0, \frac{\pi}{4}\right) \cup \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) \right) \cap \left( \left[0, \frac{\pi}{6}\right) \cup \left(\frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}\right) \cup \left(\frac{11\pi}{6}, 2\pi\right] \right)$.
सर्वनिष्ठ: $\left(0, \frac{\pi}{6}\right) \cup \left(\pi, \frac{7\pi}{6}\right)$.

(C) दिया गया है $5 \sinh x - \cosh x = 5$.
अतः $5(\sinh x - 1) = \cosh x$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$25(\sinh^2 x + 1 - 2 \sinh x) = \cosh^2 x$.
$\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ का उपयोग करने पर,$25 \sinh^2 x + 25 - 50 \sinh x = 1 + \sinh^2 x$.
$24 \sinh^2 x - 50 \sinh x + 24 = 0$.
$12 \sinh^2 x - 25 \sinh x + 12 = 0$.
गुणनखंड करने पर,$(3 \sinh x - 4)(4 \sinh x - 3) = 0$.
अतः $\sinh x = \frac{4}{3}$ या $\sinh x = \frac{3}{4}$.
यदि $\sinh x = \frac{4}{3}$ है,तो $\tanh x = \frac{4}{5}$.
यदि $\sinh x = \frac{3}{4}$ है,तो $\tanh x = -\frac{3}{5}$.

(B) दिया गया है,$3 \sin A + 4 \cos B = 6$ और $4 \sin B + 3 \cos A = 1$।
दोनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(3 \sin A + 4 \cos B)^2 + (4 \sin B + 3 \cos A)^2 = 6^2 + 1^2$
$9 \sin^2 A + 16 \cos^2 B + 24 \sin A \cos B + 16 \sin^2 B + 9 \cos^2 A + 24 \sin B \cos A = 37$
$9(\sin^2 A + \cos^2 A) + 16(\sin^2 B + \cos^2 B) + 24(\sin A \cos B + \cos A \sin B) = 37$
सर्वसमिका $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ और $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$9(1) + 16(1) + 24 \sin(A + B) = 37$
$25 + 24 \sin(A + B) = 37$
$24 \sin(A + B) = 12$
$\sin(A + B) = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$

(D) दिया है $\cos A = -\frac{60}{61}$ और $\tan B = -\frac{7}{24}$। चूंकि $A$ और $B$ दूसरे चतुर्थांश में नहीं हैं,$A$ तीसरे चतुर्थांश में और $B$ चौथे चतुर्थांश में होगा।
$A \in (\pi, \frac{3\pi}{2})$ के लिए,$\tan A = \frac{11}{60}$।
$B \in (\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$ के लिए,$\frac{B}{2} \in (\frac{3\pi}{4}, \pi)$,जो दूसरे चतुर्थांश में है।
$\tan B = \frac{2 \tan(B/2)}{1 - \tan^2(B/2)} = -\frac{7}{24}$ का उपयोग करने पर,हमें $\tan(B/2) = -7$ प्राप्त होता है।
अब,$\tan(A + \frac{B}{2}) = \frac{\tan A + \tan(B/2)}{1 - \tan A \tan(B/2)} = \frac{11/60 - 7}{1 + (11/60)(7)} = \frac{-409}{137} < 0$।
चूंकि $A \in (\pi, \frac{3\pi}{2})$ और $\frac{B}{2} \in (\frac{3\pi}{4}, \pi)$,इसलिए $A + \frac{B}{2} \in (\frac{7\pi}{4}, \frac{5\pi}{2})$,जो चौथे चतुर्थांश में है।

(A) दिया गया है कि $\angle C = 90^{\circ}$,इसलिए $A + B = 90^{\circ}$,जिसका अर्थ है $B = 90^{\circ} - A$.
इसे प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\sin B = \sin(90^{\circ} - A) = \cos A$ प्राप्त होता है।
अतः,$\sin^2 B = \cos^2 A$.
व्यंजक $\frac{\sin^2 A + \cos^2 A}{\sin^2 A - \cos^2 A} \sin(A - (90^{\circ} - A))$ बन जाता है।
चूंकि $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ और $\sin^2 A - \cos^2 A = -\cos(2A)$,व्यंजक $\frac{1}{-\cos(2A)} \sin(2A - 90^{\circ})$ है।
$\sin(2A - 90^{\circ}) = -\cos(2A)$ का उपयोग करने पर,व्यंजक $\frac{1}{-\cos(2A)} \times (-\cos(2A)) = 1$ में सरल हो जाता है।

(D) हम प्रतिलोम हाइपरबोलिक फलनों के लिए सर्वसमिकाएँ जानते हैं:
$\tanh^{-1}(x) = \operatorname{sech}^{-1}\left(\sqrt{1-x^2}\right)$ और $\coth^{-1}(x) = \operatorname{cosech}^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\right)$.
पहले पद के लिए: $\tanh^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \operatorname{sech}^{-1}\left(\sqrt{1-(\frac{1}{2})^2}\right) = \operatorname{sech}^{-1}\left(\sqrt{\frac{3}{4}}\right) = \operatorname{sech}^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.
अतः,$\operatorname{sech}^2\left(\tanh^{-1} \frac{1}{2}\right) = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}$.
दूसरे पद के लिए: $\coth^{-1}(3) = \operatorname{cosech}^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3^2-1}}\right) = \operatorname{cosech}^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{8}}\right)$.
अतः,$\operatorname{cosech}^2\left(\coth^{-1} 3\right) = \left(\frac{1}{\sqrt{8}}\right)^{-2} = 8$.
दोनों पदों को जोड़ने पर: $\frac{3}{4} + 8 = \frac{3+32}{4} = \frac{35}{4}$.

(D) हम जानते हैं कि $|x| > 1$ के लिए $\operatorname{Coth}^{-1}(x) = \operatorname{Tanh}^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)$ होता है।
दी गई अभिव्यक्ति $\operatorname{Tanh}^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) + \operatorname{Coth}^{-1}(3)$ है।
चूंकि $\operatorname{Coth}^{-1}(3) = \operatorname{Tanh}^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$,इसलिए अभिव्यक्ति $\operatorname{Tanh}^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) + \operatorname{Tanh}^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) = 2 \operatorname{Tanh}^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$ हो जाती है।
लघुगणकीय रूप $\operatorname{Tanh}^{-1}(x) = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$ का उपयोग करने पर:
$2 \operatorname{Tanh}^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) = 2 \times \frac{1}{2} \ln\left(\frac{1+1/3}{1-1/3}\right) = \ln\left(\frac{4/3}{2/3}\right) = \ln(2)$.
चूंकि $\ln(2) = \operatorname{Sinh}^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$ (क्योंकि $\operatorname{Sinh}^{-1}(x) = \ln(x + \sqrt{x^2+1})$ और $\ln(3/4 + \sqrt{9/16 + 1}) = \ln(3/4 + 5/4) = \ln(2)$),इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(B) दिया गया है $\operatorname{sech}^{-1} x = \log 2$.
परिभाषा के अनुसार,$\operatorname{sech}^{-1} x = \cosh^{-1} (\frac{1}{x}) = \log 2$.
अतः,$\cosh^{-1} (\frac{1}{x}) = \log 2$,जिसका अर्थ है $\frac{1}{x} = \cosh(\log 2)$.
चूंकि $\cosh(\theta) = \frac{e^{\theta} + e^{-\theta}}{2}$,इसलिए $\frac{1}{x} = \frac{e^{\log 2} + e^{-\log 2}}{2} = \frac{2 + \frac{1}{2}}{2} = \frac{5/2}{2} = \frac{5}{4}$.
अतः,$x = \frac{4}{5}$.
दिया गया है $\operatorname{cosech}^{-1} y = -\log 3$.
परिभाषा के अनुसार,$\operatorname{cosech}^{-1} y = \sinh^{-1} (\frac{1}{y}) = -\log 3$.
अतः,$\frac{1}{y} = \sinh(-\log 3) = -\sinh(\log 3)$.
चूंकि $\sinh(\theta) = \frac{e^{\theta} - e^{-\theta}}{2}$,इसलिए $\frac{1}{y} = -(\frac{e^{\log 3} - e^{-\log 3}}{2}) = -(\frac{3 - 1/3}{2}) = -(\frac{8/3}{2}) = -\frac{4}{3}$.
अतः,$y = -\frac{3}{4}$.
इसलिए,$x + y = \frac{4}{5} - \frac{3}{4} = \frac{16 - 15}{20} = \frac{1}{20}$.

(C) दिया गया है $\cosh x = K$ और $\sinh x = \tan \theta$।
हम जानते हैं कि हाइपरबोलिक फलनों के लिए सर्वसमिका: $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ होती है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $K^2 - \sinh^2 x = 1$।
अतः,$\sinh^2 x = K^2 - 1$,जिसका अर्थ है $\sinh x = \sqrt{K^2 - 1}$।
चूंकि $\sinh x = \tan \theta$,इसलिए $\tan \theta = \sqrt{K^2 - 1} = \frac{\sqrt{K^2 - 1}}{1}$।
एक समकोण त्रिभुज में,$\tan \theta = \frac{\text{लंब}}{\text{आधार}} = \frac{\sqrt{K^2 - 1}}{1}$।
कर्ण $H = \sqrt{(\sqrt{K^2 - 1})^2 + 1^2} = \sqrt{K^2 - 1 + 1} = \sqrt{K^2} = K$।
इस प्रकार,$\sin \theta = \frac{\text{लंब}}{\text{कर्ण}} = \frac{\sqrt{K^2 - 1}}{K}$।

(D) दिया गया है $\tan x = \frac{3}{4}$.
चूंकि $\tan^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{9}{16}$,इसलिए $\sin^2 x = \frac{9}{25}$ और $\cos^2 x = \frac{16}{25}$ है।
हमें $\sin x \cosh y = \cos \theta$ और $\cos x \sinh y = \sin \theta$ दिया गया है।
सर्वसमिका $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ का उपयोग करते हुए:
$(\sin x \cosh y)^2 + (\cos x \sinh y)^2 = 1$
$\sin^2 x \cosh^2 y + \cos^2 x \sinh^2 y = 1$
$\cosh^2 y = 1 + \sinh^2 y$ रखने पर:
$\sin^2 x (1 + \sinh^2 y) + \cos^2 x \sinh^2 y = 1$
$\frac{9}{25}(1 + \sinh^2 y) + \frac{16}{25} \sinh^2 y = 1$
$25$ से गुणा करने पर:
$9 + 9 \sinh^2 y + 16 \sinh^2 y = 25$
$25 \sinh^2 y = 25 - 9$
$25 \sinh^2 y = 16$
$\sinh^2 y = \frac{16}{25}$.

(D) दिया गया है $\operatorname{Sinh}^{-1}(2)+\operatorname{Sinh}^{-1}(3)=\alpha$।
माना $x = \operatorname{Sinh}^{-1}(2)$ और $y = \operatorname{Sinh}^{-1}(3)$।
तब $\sinh x = 2$ और $\sinh y = 3$।
हम जानते हैं कि $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$,इसलिए $\cosh x = \sqrt{1 + \sinh^2 x} = \sqrt{1 + 2^2} = \sqrt{5}$।
इसी प्रकार,$\cosh y = \sqrt{1 + \sinh^2 y} = \sqrt{1 + 3^2} = \sqrt{10}$।
हमें $\sinh \alpha = \sinh(x+y)$ ज्ञात करना है।
सर्वसमिका $\sinh(x+y) = \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y$ का उपयोग करने पर:
$\sinh \alpha = (2)(\sqrt{10}) + (\sqrt{5})(3) = 2 \sqrt{10} + 3 \sqrt{5}$।

(A) हम जानते हैं कि $\sinh^{-1}(y) = \log(y + \sqrt{1+y^2})$.
माना $y = \frac{a}{\sqrt{1-a^2}}$. तब $\sqrt{1+y^2} = \sqrt{1 + \frac{a^2}{1-a^2}} = \sqrt{\frac{1-a^2+a^2}{1-a^2}} = \frac{1}{\sqrt{1-a^2}}$.
अतः,$\sinh^{-1}\left(\frac{a}{\sqrt{1-a^2}}\right) = \log\left(\frac{a}{\sqrt{1-a^2}} + \frac{1}{\sqrt{1-a^2}}\right) = \log\left(\frac{a+1}{\sqrt{1-a^2}}\right) = \log\left(\frac{1+a}{\sqrt{(1-a)(1+a)}}\right) = \log\left(\sqrt{\frac{1+a}{1-a}}\right) = \frac{1}{2} \log\left(\frac{1+a}{1-a}\right)$.
दिया गया समीकरण $2 \sinh^{-1}\left(\frac{a}{\sqrt{1-a^2}}\right) = \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$ है।
मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $2 \times \frac{1}{2} \log\left(\frac{1+a}{1-a}\right) = \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$.
$\log\left(\frac{1+a}{1-a}\right) = \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$.
दोनों पक्षों की तुलना करने पर,हमें $x = a$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि $\cos \alpha = \operatorname{sech} \beta$.
चूंकि $\operatorname{sech} \beta = \frac{1}{\cosh \beta}$,इसलिए $\cosh \beta = \frac{1}{\cos \alpha} = \sec \alpha$.
हाइपरबोलिक कोसाइन की परिभाषा के अनुसार,$\cosh \beta = \frac{e^{\beta} + e^{-\beta}}{2} = \sec \alpha$.
मान लीजिए $e^{\beta} = x$. तब $x + \frac{1}{x} = 2 \sec \alpha$,जिसका अर्थ है $x^2 - (2 \sec \alpha) x + 1 = 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करके $x$ के लिए हल करने पर: $x = \frac{2 \sec \alpha \pm \sqrt{4 \sec^2 \alpha - 4}}{2} = \sec \alpha \pm \tan \alpha$.
चूंकि $e^{\beta} = \sec \alpha + \tan \alpha$ (वास्तविक $\beta$ के लिए धनात्मक मूल लेने पर),हमें $\beta = \log (\sec \alpha + \tan \alpha)$ प्राप्त होता है।

(C) हम जानते हैं कि $\operatorname{Sech}^{-1}(x) = \log \left( \frac{1 + \sqrt{1 - x^2}}{x} \right)$.
$x = \sin \alpha$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\operatorname{Sech}^{-1}(\sin \alpha) = \log \left( \frac{1 + \sqrt{1 - \sin^2 \alpha}}{\sin \alpha} \right)$
$= \log \left( \frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha} \right)$
अर्ध-कोण सूत्रों $1 + \cos \alpha = 2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}$ और $\sin \alpha = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}$ का उपयोग करने पर:
$= \log \left( \frac{2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}}{2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}} \right)$
$= \log \left( \frac{\cos \frac{\alpha}{2}}{\sin \frac{\alpha}{2}} \right)$
$= \log \left( \cot \frac{\alpha}{2} \right)$.

(A) दिया गया है $\operatorname{Sinh}^{-1} x = \log 3$।
चूंकि $\operatorname{Sinh}^{-1} x = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$ होता है,इसलिए $x + \sqrt{x^2 + 1} = 3$ है।
अतः $x + \sqrt{x^2 + 1} = e^{\log 3} = 3$।
तब $\sqrt{x^2 + 1} = 3 - x$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $x^2 + 1 = 9 - 6x + x^2$,जिससे $6x = 8$ प्राप्त होता है,अतः $x = \frac{4}{3}$।
दिया गया है $\operatorname{Cosh}^{-1} y = \log \frac{3}{2}$।
चूंकि $\operatorname{Cosh}^{-1} y = \ln(y + \sqrt{y^2 - 1})$ होता है,इसलिए $y + \sqrt{y^2 - 1} = \frac{3}{2}$ है।
तब $\sqrt{y^2 - 1} = \frac{3}{2} - y$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $y^2 - 1 = \frac{9}{4} - 3y + y^2$,जिससे $3y = \frac{9}{4} + 1 = \frac{13}{4}$ प्राप्त होता है,अतः $y = \frac{13}{12}$।
अब,$x - y = \frac{4}{3} - \frac{13}{12} = \frac{16 - 13}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$।
हमें $\operatorname{Tanh}^{-1}(\frac{1}{4})$ का मान ज्ञात करना है।
सूत्र $\operatorname{Tanh}^{-1} z = \frac{1}{2} \log \left( \frac{1+z}{1-z} \right)$ का उपयोग करने पर:
$\operatorname{Tanh}^{-1}(\frac{1}{4}) = \frac{1}{2} \log \left( \frac{1 + 1/4}{1 - 1/4} \right) = \frac{1}{2} \log \left( \frac{5/4}{3/4} \right) = \frac{1}{2} \log \left( \frac{5}{3} \right) = \log \sqrt{\frac{5}{3}}$।

(D) $I$. $(S1)$ का मूल्यांकन: $\sin 55^{\circ} + \sin 53^{\circ} - \sin 19^{\circ} - \sin 17^{\circ}$
$\sin C - \sin D = 2 \cos \frac{C+D}{2} \sin \frac{C-D}{2}$ का उपयोग करते हुए:
$= (\sin 55^{\circ} - \sin 17^{\circ}) + (\sin 53^{\circ} - \sin 19^{\circ})$
$= 2 \cos 36^{\circ} \sin 19^{\circ} + 2 \cos 36^{\circ} \sin 17^{\circ}$
$= 2 \cos 36^{\circ} (\sin 19^{\circ} + \sin 17^{\circ})$
$= 2 \cos 36^{\circ} (2 \sin 18^{\circ} \cos 1^{\circ})$
चूंकि $\cos 36^{\circ} = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$ और $\sin 18^{\circ} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$:
$= 2 \left(\frac{\sqrt{5}+1}{4}\right) \cdot 2 \left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right) \cos 1^{\circ}$
$= 4 \left(\frac{5-1}{16}\right) \cos 1^{\circ} = \cos 1^{\circ}$.
अतः,$(S1)$ असत्य है क्योंकि $\cos 1^{\circ} \neq \cos 2^{\circ}$.
$II$. $(S2)$ का मूल्यांकन: $f(x) = \frac{1}{3 - \cos 2x}$
चूंकि $-1 \leq \cos 2x \leq 1$,इसलिए $-1 \leq -\cos 2x \leq 1$.
$3$ जोड़ने पर: $2 \leq 3 - \cos 2x \leq 4$.
व्युत्क्रम लेने पर: $\frac{1}{4} \leq \frac{1}{3 - \cos 2x} \leq \frac{1}{2}$.
अतः,$(S2)$ सत्य है।

(A) दिया गया है $f(x) = \frac{\cos^2 x + \sin^4 x}{\sin^2 x + \cos^4 x}$.
हम जानते हैं कि $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$,इसलिए $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ और $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$.
अंश और हर में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
अंश: $\cos^2 x + \sin^4 x = \cos^2 x + \sin^2 x \cdot \sin^2 x = \cos^2 x + \sin^2 x(1 - \cos^2 x) = \cos^2 x + \sin^2 x - \sin^2 x \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \cos^2 x$.
हर: $\sin^2 x + \cos^4 x = \sin^2 x + \cos^2 x \cdot \cos^2 x = \sin^2 x + \cos^2 x(1 - \sin^2 x) = \sin^2 x + \cos^2 x - \cos^2 x \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \sin^2 x$.
अतः,$f(x) = \frac{1 - \sin^2 x \cos^2 x}{1 - \cos^2 x \sin^2 x} = 1$.
चूंकि $f(x) = 1$ सभी $x \in R$ के लिए है,इसलिए $f(2023) = 1$ होगा।

(A) दिया गया फलन $f(x) = \frac{\cos^2 x + \sin^4 x}{\sin^2 x + \cos^4 x}$ है।
हम जानते हैं कि $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ और $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ होता है।
अंश में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
अंश $= \cos^2 x + \sin^4 x = \cos^2 x + \sin^2 x (\sin^2 x) = \cos^2 x + \sin^2 x (1 - \cos^2 x) = \cos^2 x + \sin^2 x - \sin^2 x \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \cos^2 x$.
इसी प्रकार,हर के लिए:
हर $= \sin^2 x + \cos^4 x = \sin^2 x + \cos^2 x (\cos^2 x) = \sin^2 x + \cos^2 x (1 - \sin^2 x) = \sin^2 x + \cos^2 x - \sin^2 x \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \cos^2 x$.
अतः,$f(x) = \frac{1 - \sin^2 x \cos^2 x}{1 - \sin^2 x \cos^2 x} = 1$,सभी $x \in R$ के लिए।
इसलिए,$f(2002) = 1$.

(C) माना $f(x) = \cos^2 x + \cos^2(x + \frac{\pi}{3}) - \cos x \cdot \cos(x + \frac{\pi}{3})$.
इस व्यंजक को सरल करने पर,हमें $f(x) = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।
चूंकि सभी $x \in R$ के लिए $f(x) = \frac{3}{4}$ है,इसलिए यह एक अचर फलन है।

(C) दिया गया समीकरण: $\sin x \sqrt{4 \cos^2 x} = \frac{2+x-[x]}{1-x+[x]}$.
चूंकि $x-[x] = \{x\}$,समीकरण $\sin x \cdot 2|\cos x| = \frac{2+\{x\}}{1-\{x\}}$ बन जाता है।
$x \in \left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}\right]$ के लिए,$\cos x > 0$ है,इसलिए $|\cos x| = \cos x$.
समीकरण $\sin 2x = \frac{2+\{x\}}{1-\{x\}}$ में सरल हो जाता है।
अंतराल $x \in \left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}\right]$ में,$\sin 2x$ का अधिकतम मान $\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$ है।
व्यंजक $f(\{x\}) = \frac{2+\{x\}}{1-\{x\}}$ के लिए $\{x\} \in [0, 1)$,न्यूनतम मान $\{x\} = 0$ पर प्राप्त होता है,जो $f(0) = \frac{2+0}{1-0} = 2$ है।
चूंकि बाईं ओर का अधिकतम मान $(0.866)$ दाईं ओर के न्यूनतम मान $(2)$ से कम है,इसलिए दिए गए अंतराल में $x$ के लिए कोई हल नहीं है।
अतः,$k = 0$.
इसलिए,$x \in \left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}\right]$ के लिए $k^{\tan^2 x} = 0^{\tan^2 x} = 0$ होता है।

(B) दिया गया है कि $\cos (\theta-\alpha), \cos \theta, \cos (\theta+\alpha)$ $HP$ में हैं।
अतः,इनके व्युत्क्रम $AP$ में होंगे:
$\frac{1}{\cos (\theta-\alpha)}, \frac{1}{\cos \theta}, \frac{1}{\cos (\theta+\alpha)}$ $AP$ में हैं।
इसलिए,$\frac{2}{\cos \theta} = \frac{1}{\cos (\theta-\alpha)} + \frac{1}{\cos (\theta+\alpha)}$.
$\frac{2}{\cos \theta} = \frac{\cos (\theta+\alpha) + \cos (\theta-\alpha)}{\cos (\theta-\alpha) \cos (\theta+\alpha)}$.
सर्वसमिका $\cos (A+B) + \cos (A-B) = 2 \cos A \cos B$ का उपयोग करने पर:
$\frac{2}{\cos \theta} = \frac{2 \cos \theta \cos \alpha}{\cos^2 \theta - \sin^2 \alpha}$.
$\cos^2 \theta - \sin^2 \alpha = \cos^2 \theta \cos \alpha$.
$\cos^2 \theta (1 - \cos \alpha) = \sin^2 \alpha$.
$\cos^2 \theta (1 - \cos \alpha) = 1 - \cos^2 \alpha = (1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha)$.
चूंकि $\theta, \alpha \in Q_3$,$(1 - \cos \alpha)$ से विभाजित करने पर:
$\cos^2 \theta = 1 + \cos \alpha = 2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}$.
वर्गमूल लेने पर,$\cos \theta = \pm \sqrt{2} \cos \frac{\alpha}{2}$.
चतुर्थांश $Q_3$ के अनुसार,$\cos \theta \sec \frac{\alpha}{2} = \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $\sinh x = -\frac{4}{3}$.
हम जानते हैं कि $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$,जिसका अर्थ है $\cosh^2 x = 1 + \sinh^2 x$.
$\cosh^2 x = 1 + (-\frac{4}{3})^2 = 1 + \frac{16}{9} = \frac{25}{9}$.
चूंकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $\cosh x \geq 1$ होता है,इसलिए हम धनात्मक मान लेते हैं: $\cosh x = \frac{5}{3}$.
अब,$\sinh 2x + \cosh 2x = (2 \sinh x \cosh x) + (\cosh^2 x + \sinh^2 x)$.
मान रखने पर: $2(-\frac{4}{3})(\frac{5}{3}) + (\frac{25}{9} + \frac{16}{9})$.
$= -\frac{40}{9} + \frac{41}{9} = \frac{1}{9}$.

(C) माना $E = \cos ^2 76^{\circ}+\sin ^2 46^{\circ}+\sin 76^{\circ} \cos 46^{\circ}$ है।
सर्वसमिका $2\cos^2 \theta = 1 + \cos 2\theta$ और $2\sin^2 \theta = 1 - \cos 2\theta$ का उपयोग करने पर:
$E = \frac{1 + \cos 152^{\circ}}{2} + \frac{1 - \cos 92^{\circ}}{2} + \frac{1}{2} (2 \sin 76^{\circ} \cos 46^{\circ})$
$E = 1 + \frac{1}{2} (\cos 152^{\circ} - \cos 92^{\circ}) + \frac{1}{2} (\sin(76^{\circ} + 46^{\circ}) + \sin(76^{\circ} - 46^{\circ}))$
$E = 1 + \frac{1}{2} (-2 \sin 122^{\circ} \sin 30^{\circ}) + \frac{1}{2} (\sin 122^{\circ} + \sin 30^{\circ})$
चूंकि $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$ है,इसलिए:
$E = 1 - \frac{1}{2} \sin 122^{\circ} + \frac{1}{2} \sin 122^{\circ} + \frac{1}{4}$
$E = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$.

(C) दी गई अभिव्यक्ति: $\frac{\sin 9 \theta}{\cos 27 \theta}+\frac{\sin 3 \theta}{\cos 9 \theta}+\frac{\sin \theta}{\cos 3 \theta}=k(\tan 27 \theta-\tan \theta)$.
$\theta = \frac{\pi}{3}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\sin 9(\frac{\pi}{3})}{\cos 27(\frac{\pi}{3})} + \frac{\sin 3(\frac{\pi}{3})}{\cos 9(\frac{\pi}{3})} + \frac{\sin(\frac{\pi}{3})}{\cos 3(\frac{\pi}{3})} = k(\tan 27(\frac{\pi}{3}) - \tan(\frac{\pi}{3}))$.
चूंकि $\sin(3\pi) = 0$,$\sin(\pi) = 0$,और $\cos(9\pi) = -1$,$\cos(3\pi) = -1$,$\cos(\pi) = -1$:
$0 + 0 + \frac{\sqrt{3}/2}{-1} = k(0 - \sqrt{3})$.
$-\frac{\sqrt{3}}{2} = -k\sqrt{3}$.
अतः,$k = \frac{1}{2}$.

(C) माना $E = \cos ^2 76^{\circ}+\cos ^2 16^{\circ}-\cos 76^{\circ} \cos 16^{\circ}$.
$\cos^2 \theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
$E = \frac{1+\cos 152^{\circ}}{2} + \frac{1+\cos 32^{\circ}}{2} - \cos 76^{\circ} \cos 16^{\circ}$
$\cos C + \cos D = 2\cos\frac{C+D}{2}\cos\frac{C-D}{2}$ सूत्र के अनुसार:
$\cos 152^{\circ} + \cos 32^{\circ} = \cos 92^{\circ}$ होता है।
अतः,$E = 1 + \frac{1}{2}(\cos 92^{\circ}) - \frac{1}{2}(\cos 92^{\circ} + \cos 60^{\circ})$
$E = 1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

(A) दी गई अभिव्यक्ति: $K = \cos ^2 84^{\circ}+\sin ^2 126^{\circ}-\sin 84^{\circ} \cos 126^{\circ}$.
सर्वसमिका का उपयोग करने पर,$K = \frac{5}{4}$ प्राप्त होता है।
अब,$\cot A + \tan A = 2K = 2(\frac{5}{4}) = \frac{5}{2}$.
$\frac{1}{\tan A} + \tan A = \frac{5}{2} \Rightarrow 2\tan^2 A - 5\tan A + 2 = 0$.
इस समीकरण को हल करने पर,$\tan A = \frac{1}{2}$ या $\tan A = 2$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया व्यंजक: $\sin 20^{\circ}(4+\sec 20^{\circ})$
$= \sin 20^{\circ} \left(4 + \frac{1}{\cos 20^{\circ}}\right)$
$= \frac{4 \sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ} + \sin 20^{\circ}}{\cos 20^{\circ}}$
$= \frac{2(2 \sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ}) + \sin 20^{\circ}}{\cos 20^{\circ}}$
$= \frac{2 \sin 40^{\circ} + \sin 20^{\circ}}{\cos 20^{\circ}}$
$= \frac{2 \sin(60^{\circ} - 20^{\circ}) + \sin 20^{\circ}}{\cos 20^{\circ}}$
$= \frac{2(\sin 60^{\circ} \cos 20^{\circ} - \cos 60^{\circ} \sin 20^{\circ}) + \sin 20^{\circ}}{\cos 20^{\circ}}$
$= \frac{2(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos 20^{\circ} - \frac{1}{2} \sin 20^{\circ}) + \sin 20^{\circ}}{\cos 20^{\circ}}$
$= \frac{\sqrt{3} \cos 20^{\circ} - \sin 20^{\circ} + \sin 20^{\circ}}{\cos 20^{\circ}}$
$= \frac{\sqrt{3} \cos 20^{\circ}}{\cos 20^{\circ}} = \sqrt{3}$

(C) दिया गया है $8 \cos \theta + 15 \sin \theta = 15$।
माना $x = 15 \cos \theta - 8 \sin \theta$।
सर्वसमिका $(8 \cos \theta + 15 \sin \theta)^2 + (15 \cos \theta - 8 \sin \theta)^2 = (8^2 + 15^2)(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)$ पर विचार करें।
मान रखने पर,हमें $15^2 + x^2 = (64 + 225)(1) = 289$ प्राप्त होता है।
$225 + x^2 = 289$।
$x^2 = 289 - 225 = 64$।
$x = \pm 8$।
चूंकि $0 < \theta < \frac{\pi}{4}$,इसलिए $\cos \theta > \sin \theta$।
इस अंतराल में $\theta$ के लिए,$15 \cos \theta > 8 \sin \theta$ है,अतः $x$ धनात्मक होना चाहिए।
इसलिए,$15 \cos \theta - 8 \sin \theta = 8$।

(B) दिया गया है $\sin \alpha + \cos \alpha = m$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = m^2$.
$1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha = m^2 \Rightarrow 2 \sin \alpha \cos \alpha = m^2 - 1$.
अब,$\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha = (\sin^2 \alpha)^3 + (\cos^2 \alpha)^3$.
सर्वसमिका $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ का उपयोग करने पर:
$= (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)(\sin^4 \alpha - \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha)$.
चूंकि $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$,यह सरल होकर प्राप्त होता है:
$= (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)^2 - 3 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$.
$= 1 - 3(\sin \alpha \cos \alpha)^2$.
$= 1 - 3(\frac{m^2-1}{2})^2$.
$= 1 - \frac{3(m^2-1)^2}{4} = \frac{4 - 3(m^2-1)^2}{4}$.

(A) दिया गया है $81^{\sin ^2 x}+81^{\cos ^2 x}=30$।
चूंकि $\cos ^2 x = 1 - \sin ^2 x$,हमारे पास $81^{\sin ^2 x}+81^{1-\sin ^2 x}=30$ है।
$81^{\sin ^2 x}+\frac{81}{81^{\sin ^2 x}}=30$।
माना $t = 81^{\sin ^2 x}$। तब $t + \frac{81}{t} = 30$,जिसका अर्थ है $t^2 - 30t + 81 = 0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,$(t-3)(t-27) = 0$,अतः $t = 3$ या $t = 27$।
स्थिति $1$: $81^{\sin ^2 x} = 3$ $\Rightarrow 3^{4 \sin ^2 x} = 3^1$ $\Rightarrow 4 \sin ^2 x = 1$ $\Rightarrow \sin ^2 x = \frac{1}{4}$ $\Rightarrow \sin x = \frac{1}{2}$ ($x \in [0, \pi]$ के लिए)।
अतः,$x = \frac{\pi}{6}$ या $x = \frac{5\pi}{6}$।
स्थिति $2$: $81^{\sin ^2 x} = 27$ $\Rightarrow 3^{4 \sin ^2 x} = 3^3$ $\Rightarrow 4 \sin ^2 x = 3$ $\Rightarrow \sin ^2 x = \frac{3}{4}$ $\Rightarrow \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$।
अतः,$x = \frac{\pi}{3}$ या $x = \frac{2\pi}{3}$।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$x = \frac{\pi}{6}$ सही विकल्प है।

(A) दिया गया है $\frac{\sin^4 x}{2} + \frac{\cos^4 x}{3} = \frac{1}{5}$.
$6$ से गुणा करने पर,$3 \sin^4 x + 2 \cos^4 x = \frac{6}{5}$ प्राप्त होता है।
$15 \sin^4 x + 10 \cos^4 x = 6$.
चूंकि $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$,इसलिए $15 \sin^4 x + 10(1 - \sin^2 x)^2 = 6$.
$15 \sin^4 x + 10(1 - 2 \sin^2 x + \sin^4 x) = 6$.
$15 \sin^4 x + 10 - 20 \sin^2 x + 10 \sin^4 x = 6$.
$25 \sin^4 x - 20 \sin^2 x + 4 = 0$.
$(5 \sin^2 x - 2)^2 = 0$,जिसका अर्थ है $\sin^2 x = \frac{2}{5}$.
अतः $\cos^2 x = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$.
इस प्रकार,$\sec^2 x = \frac{5}{3}$ और $\operatorname{cosec}^2 x = \frac{5}{2}$.
अब,$27 \sec^6 x + 8 \operatorname{cosec}^6 x = 27(\frac{5}{3})^3 + 8(\frac{5}{2})^3$.
$= 27 \times \frac{125}{27} + 8 \times \frac{125}{8} = 125 + 125 = 250$.

(C) दी गई श्रेणी $S = \sum_{k=0}^{44} \frac{1}{\sin(45^{\circ}+k) \sin(46^{\circ}+k)}$ है।
सर्वसमिका $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ का उपयोग करते हुए,हम $\sin 1^{\circ}$ से गुणा और भाग करते हैं:
$S = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} \sum_{k=0}^{44} \frac{\sin((46^{\circ}+k) - (45^{\circ}+k))}{\sin(45^{\circ}+k) \sin(46^{\circ}+k)}$
$S = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} \sum_{k=0}^{44} (\cot(45^{\circ}+k) - \cot(46^{\circ}+k))$
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है:
$S = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} [(\cot 45^{\circ} - \cot 46^{\circ}) + (\cot 46^{\circ} - \cot 47^{\circ}) + \ldots + (\cot 89^{\circ} - \cot 90^{\circ})]$
$S = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} [\cot 45^{\circ} - \cot 90^{\circ}]$
चूंकि $\cot 45^{\circ} = 1$ और $\cot 90^{\circ} = 0$,इसलिए $S = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} [1 - 0] = \frac{1}{\sin 1^{\circ}}$.
दिया गया है $S = \frac{1}{\sin x^{\circ}}$,इसलिए $x = 1$.
अतः,$\sin \left(\frac{\pi}{2} x\right) = \sin \left(\frac{\pi}{2} \times 1\right) = \sin \left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$.

(B) माना $P = \cot \frac{\pi}{16} \cdot \cot \frac{2 \pi}{16} \cdot \cot \frac{3 \pi}{16} \cdot \cot \frac{4 \pi}{16} \cdot \cot \frac{5 \pi}{16} \cdot \cot \frac{6 \pi}{16} \cdot \cot \frac{7 \pi}{16}$.
गुणधर्म $\cot(\frac{\pi}{2} - \theta) = \tan \theta$ का उपयोग करते हुए,हम अंतिम तीन पदों को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\cot \frac{5 \pi}{16} = \tan \frac{3 \pi}{16}$,$\cot \frac{6 \pi}{16} = \tan \frac{2 \pi}{16}$,$\cot \frac{7 \pi}{16} = \tan \frac{\pi}{16}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$P = (\cot \frac{\pi}{16} \cdot \tan \frac{\pi}{16}) \cdot (\cot \frac{2 \pi}{16} \cdot \tan \frac{2 \pi}{16}) \cdot (\cot \frac{3 \pi}{16} \cdot \tan \frac{3 \pi}{16}) \cdot \cot \frac{4 \pi}{16}$
चूंकि $\cot \theta \cdot \tan \theta = 1$:
$P = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cot \frac{\pi}{4} = 1$.

(B) दिया गया है $\frac{2 \sin \alpha}{1+\cos \alpha+\sin \alpha}=x$।
अंश और हर को $(1-(\cos \alpha+\sin \alpha))$ से गुणा करने पर:
$\frac{2 \sin \alpha(1-\cos \alpha-\sin \alpha)}{(1+\cos \alpha+\sin \alpha)(1-(\cos \alpha+\sin \alpha))}=x$
$\Rightarrow \frac{2 \sin \alpha(1-\cos \alpha-\sin \alpha)}{1^2-(\cos \alpha+\sin \alpha)^2}=x$
$\Rightarrow \frac{2 \sin \alpha(1-\cos \alpha-\sin \alpha)}{1-(\cos^2 \alpha+\sin^2 \alpha+2 \cos \alpha \sin \alpha)}=x$
$\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha=1$ का उपयोग करने पर:
$\Rightarrow \frac{2 \sin \alpha(1-\cos \alpha-\sin \alpha)}{1-(1+2 \cos \alpha \sin \alpha)}=x$
$\Rightarrow \frac{2 \sin \alpha(1-\cos \alpha-\sin \alpha)}{-2 \cos \alpha \sin \alpha}=x$
$\Rightarrow \frac{1-\cos \alpha-\sin \alpha}{-\cos \alpha}=x$
$\Rightarrow \frac{1-\cos \alpha-\sin \alpha}{\cos \alpha}=-x$

(C) दिया गया है,$A = \sin \theta |\sin \theta|$,$B = \cos \theta |\cos \theta|$ और $\frac{99 \pi}{2} \leq \theta \leq \frac{100 \pi}{2}$.
चूँकि $\frac{99 \pi}{2} = 49 \pi + \frac{\pi}{2}$ और $\frac{100 \pi}{2} = 50 \pi$,अतः कोण $\theta$ चौथे $(4^{\text{th}})$ चतुर्थांश में स्थित है।
चौथे चतुर्थांश में,$\sin \theta < 0$ और $\cos \theta > 0$ होता है।
इसलिए,$|\sin \theta| = -\sin \theta$ और $|\cos \theta| = \cos \theta$ होगा।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$A = \sin \theta (-\sin \theta) = -\sin^2 \theta$ और $B = \cos \theta (\cos \theta) = \cos^2 \theta$ प्राप्त होता है।
अतः,$B - A = \cos^2 \theta - (-\sin^2 \theta) = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$।

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$1) \ 3 \cos^2 A + 2 \cos^2 B = 4$
$2) \ \frac{3 \sin A}{\sin B} = \frac{2 \cos B}{\cos A}$ $\Rightarrow 3 \sin A \cos A = 2 \sin B \cos B$ $\Rightarrow \frac{3}{2} \sin 2A = \sin 2B$
$(1)$ से:
$3(1 - \sin^2 A) + 2(1 - \sin^2 B) = 4$
$5 - 3 \sin^2 A - 2 \sin^2 B = 4$
$3 \sin^2 A + 2 \sin^2 B = 1$
$3 \sin^2 A = 1 - 2 \sin^2 B = \cos 2B$
$\cos(A + 2B) = \cos A \cos 2B - \sin A \sin 2B$ पर विचार करें।
$\cos 2B = 3 \sin^2 A$ और $\sin 2B = \frac{3}{2} \sin 2A = 3 \sin A \cos A$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos(A + 2B) = \cos A (3 \sin^2 A) - \sin A (3 \sin A \cos A)$
$\cos(A + 2B) = 3 \sin^2 A \cos A - 3 \sin^2 A \cos A = 0$
चूंकि $A, B$ न्यून कोण हैं,इसलिए $A + 2B = 90^{\circ}$ होगा।

(C) माना व्यंजक $E = \left(1+\cos \frac{\pi}{8}\right)\left(1+\cos \frac{3 \pi}{8}\right)\left(1+\cos \frac{5 \pi}{8}\right)\left(1+\cos \frac{7 \pi}{8}\right)$ है।
सर्वसमिका $\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta$ का उपयोग करते हुए,हमें $\cos \frac{5\pi}{8} = -\cos \frac{3\pi}{8}$ और $\cos \frac{7\pi}{8} = -\cos \frac{\pi}{8}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$E = \left(1+\cos \frac{\pi}{8}\right)\left(1+\cos \frac{3 \pi}{8}\right)\left(1-\cos \frac{3 \pi}{8}\right)\left(1-\cos \frac{\pi}{8}\right)$
$E = \left(1-\cos^2 \frac{\pi}{8}\right)\left(1-\cos^2 \frac{3 \pi}{8}\right)$
$E = \sin^2 \frac{\pi}{8} \sin^2 \frac{3 \pi}{8}$
चूंकि $\frac{3\pi}{8} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{8}$,इसलिए $\sin \frac{3\pi}{8} = \cos \frac{\pi}{8}$ होता है।
$E = \sin^2 \frac{\pi}{8} \cos^2 \frac{\pi}{8} = \left(\sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8}\right)^2$
$2 \sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta$ का उपयोग करते हुए,$\sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8} = \frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
$E = \left(\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1}{8}$.

(B) दिया गया है $A(n) = \sin^n \alpha + \cos^n \alpha$.
$A(1) A(4) + A(2) A(5) = (\sin \alpha + \cos \alpha)(\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha) + (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)(\sin^5 \alpha + \cos^5 \alpha)$.
चूँकि $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$,यह $(\sin \alpha + \cos \alpha)(\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha) + (\sin^5 \alpha + \cos^5 \alpha)$ हो जाता है।
अब $A(1) A(6) + A(2) A(3)$ पर विचार करने पर,सरल करने पर यह $A(1) A(4) + A(2) A(5)$ के बराबर प्राप्त होता है।
अतः,$A(1) A(4) + A(2) A(5) = A(1) A(6) + A(2) A(3)$.

(D) दिया गया है $\sin \theta + \sin^2 \theta = 1$.
चूंकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,हमारे पास $\sin \theta = 1 - \sin^2 \theta = \cos^2 \theta$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\sin^2 \theta = \cos^4 \theta$,जिसका अर्थ है $1 - \cos^2 \theta = \cos^4 \theta$,या $\cos^4 \theta + \cos^2 \theta = 1$।
दोनों पक्षों का घन करने पर: $(\cos^4 \theta + \cos^2 \theta)^3 = 1^3$।
$(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$ का उपयोग करके विस्तार करने पर:
$(\cos^4 \theta)^3 + 3(\cos^4 \theta)^2(\cos^2 \theta) + 3(\cos^4 \theta)(\cos^2 \theta)^2 + (\cos^2 \theta)^3 = 1$।
$\cos^{12} \theta + 3 \cos^{10} \theta + 3 \cos^8 \theta + \cos^6 \theta = 1$।
$\cos^{12} \theta + 3 \cos^{10} \theta + 3 \cos^8 \theta + \cos^6 \theta - 1 = 0$।
इसे $\cos^{12} \theta + a \cos^{10} \theta + b \cos^8 \theta + c \cos^6 \theta + d = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = 3, b = 3, c = 1, d = -1$ प्राप्त होता है।
अतः,$ac + bd = (3)(1) + (3)(-1) = 3 - 3 = 0$।

(D) दिया गया है,$\tan 20^{\circ}=\lambda$।
सूत्र $\tan(A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर,व्यंजक $\tan(160^{\circ}-110^{\circ}) = \tan 50^{\circ}$ हो जाता है।
पदों को सरल करने पर:
$\tan 160^{\circ} = \tan(180^{\circ}-20^{\circ}) = -\tan 20^{\circ} = -\lambda$।
$\tan 110^{\circ} = \tan(90^{\circ}+20^{\circ}) = -\cot 20^{\circ} = -\frac{1}{\lambda}$।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{-\lambda - (-1/\lambda)}{1 + (-\lambda)(-1/\lambda)} = \frac{-\lambda + 1/\lambda}{1 + 1} = \frac{\frac{1-\lambda^2}{\lambda}}{2} = \frac{1-\lambda^2}{2\lambda}$।

(D) दिया गया है,$\sin \theta + \cos \theta = p$ $(i)$ और $\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = q$ (ii).
सर्वसमिका $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ का उपयोग करने पर:
$(\sin \theta + \cos \theta)(\sin^2 \theta - \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta) = q$.
चूंकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,यह $p(1 - \sin \theta \cos \theta) = q$ बन जाता है।
अतः,$1 - \sin \theta \cos \theta = \frac{q}{p}$,जिसका अर्थ है $\sin \theta \cos \theta = 1 - \frac{q}{p}$ (iii).
समीकरण $(i)$ का वर्ग करने पर: $(\sin \theta + \cos \theta)^2 = p^2$.
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta = p^2$.
$1 + 2 \sin \theta \cos \theta = p^2$.
(iii) को इसमें प्रतिस्थापित करने पर: $1 + 2(1 - \frac{q}{p}) = p^2$.
$1 + 2 - \frac{2q}{p} = p^2$.
$3 - \frac{2q}{p} = p^2$.
$p$ से गुणा करने पर: $3p - 2q = p^3$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर $p^3 - 3p = -2q$,अर्थात $p(p^2 - 3) = -2q$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया व्यंजक: $\sqrt{3} \operatorname{cosec} 20^{\circ} - \sec 20^{\circ}$
$= \frac{\sqrt{3}}{\sin 20^{\circ}} - \frac{1}{\cos 20^{\circ}}$
$= \frac{\sqrt{3} \cos 20^{\circ} - \sin 20^{\circ}}{\sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ}}$
$2$ से गुणा और भाग करने पर:
$= 2 \left( \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} \cos 20^{\circ} - \frac{1}{2} \sin 20^{\circ}}{\sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ}} \right)$
$= 2 \left( \frac{\sin 60^{\circ} \cos 20^{\circ} - \cos 60^{\circ} \sin 20^{\circ}}{\sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ}} \right)$
$= 2 \left( \frac{\sin(60^{\circ} - 20^{\circ})}{\sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ}} \right)$
$= 2 \left( \frac{\sin 40^{\circ}}{\sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ}} \right)$
$= 2 \left( \frac{\sin 40^{\circ}}{\frac{1}{2} \sin 40^{\circ}} \right)$
$= 2 \times 2 = 4$