Mix Examples-Trigonometrical Ratios, Functions and Identities Questions in Hindi

(C) माना $E = \cos 13^{\circ} \sin 17^{\circ} \sin 21^{\circ} \cos 47^{\circ}$.
$4$ से गुणा और भाग करने पर:
$E = \frac{1}{4} (2 \cos 13^{\circ} \cos 47^{\circ}) (2 \sin 17^{\circ} \sin 21^{\circ})$.
$2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ और $2 \sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$ का उपयोग करने पर:
$E = \frac{1}{4} (\cos 60^{\circ} + \cos 34^{\circ}) (\cos 4^{\circ} - \cos 38^{\circ})$.
चूँकि $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$,$E = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} + \cos 34^{\circ}) (\cos 4^{\circ} - \cos 38^{\circ})$.
इस व्यंजक का सरलीकरण करने पर अंतिम परिणाम प्राप्त होता है।

(A) माना $P = \sin \frac{\pi}{12} \sin \frac{2 \pi}{12} \sin \frac{3 \pi}{12} \sin \frac{4 \pi}{12} \sin \frac{5 \pi}{12} \sin \frac{6 \pi}{12}$.
मान रखने पर:
$\sin \frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$,$\sin \frac{2 \pi}{12} = \frac{1}{2}$,$\sin \frac{3 \pi}{12} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,$\sin \frac{4 \pi}{12} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,$\sin \frac{5 \pi}{12} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$,$\sin \frac{6 \pi}{12} = 1$.
अतः,$P = \left( \frac{6-2}{16} \right) \left( \frac{\sqrt{3}}{4 \sqrt{2}} \right) = \frac{1}{4} \times \frac{\sqrt{3}}{4 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{16 \sqrt{2}}$.

(A) दिया गया है $\tan \left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)=\tan ^3\left(\frac{\pi}{4}+\beta\right)$.
माना $x = \frac{\pi}{4}+\alpha$ और $y = \frac{\pi}{4}+\beta$. तब $\tan x = \tan^3 y$.
$\tan(A+B)$ के सर्वसमिका का उपयोग करते हुए,$\tan x = \frac{1+\tan \alpha}{1-\tan \alpha}$ और $\tan y = \frac{1+\tan \beta}{1-\tan \beta}$.
$\tan x = \tan^3 y$ से,योगांतरानुपात नियम का उपयोग करने पर,हमें $\tan(\alpha+\beta)\cot(\alpha-\beta) = 1$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $A+B+C+D=2 \pi$. हमें $S = \sin A + \sin B + \sin C + \sin D$ का मान ज्ञात करना है।
योग-से-गुणनफल सूत्र $\sin x + \sin y = 2 \sin \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right)$ का उपयोग करने पर:
$S = 2 \sin \left(\frac{A+B}{2}\right) \cos \left(\frac{A-B}{2}\right) + 2 \sin \left(\frac{C+D}{2}\right) \cos \left(\frac{C-D}{2}\right)$.
चूंकि $C+D = 2 \pi - (A+B)$,इसलिए $\frac{C+D}{2} = \pi - \frac{A+B}{2}$.
अतः,$\sin \left(\frac{C+D}{2}\right) = \sin \left(\pi - \frac{A+B}{2}\right) = \sin \left(\frac{A+B}{2}\right)$.
इस मान को रखने पर:
$S = 2 \sin \left(\frac{A+B}{2}\right) \left[ \cos \left(\frac{A-B}{2}\right) + \cos \left(\frac{C-D}{2}\right) \right]$.
$\cos x + \cos y = 2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right)$ का उपयोग करने पर:
$S = -4 \cos \left(\frac{A+B}{2}\right) \cos \left(\frac{A+C}{2}\right) \cos \left(\frac{A+D}{2}\right)$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि $2 \tan (A+B) = 3 \tan (A-B)$.
माना $X = A+B$ और $Y = A-B$. तब $2 \tan X = 3 \tan Y$,अतः $\frac{\tan X}{\tan Y} = \frac{3}{2}$.
योगान्तरानुपात (Componendo and Dividendo) नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{\tan X + \tan Y}{\tan X - \tan Y} = \frac{3+2}{3-2} = 5$.
सर्वसमिका $\frac{\sin(X+Y)}{\sin(X-Y)} = \frac{\tan X + \tan Y}{\tan X - \tan Y}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\sin(A+B+A-B)}{\sin(A+B-(A-B))} = 5$.
$\frac{\sin 2A}{\sin 2B} = 5$.
अतः,$\sin 2A = 5 \sin 2B$.

(B) हम सर्वसमिका $\cos 3\theta = 4\cos^3 \theta - 3\cos \theta$ का उपयोग करते हैं,जिसका अर्थ है $\cos^3 \theta = \frac{1}{4}(\cos 3\theta + 3\cos \theta)$।
इसे व्यंजक $k = \cos^3 80^{\circ} + \cos^3 40^{\circ} - \cos^3 20^{\circ}$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$k = \frac{1}{4}(\cos 240^{\circ} + 3\cos 80^{\circ}) + \frac{1}{4}(\cos 120^{\circ} + 3\cos 40^{\circ}) - \frac{1}{4}(\cos 60^{\circ} + 3\cos 20^{\circ})$
$k = \frac{1}{4} [(\cos 240^{\circ} + \cos 120^{\circ} - \cos 60^{\circ}) + 3(\cos 80^{\circ} + \cos 40^{\circ} - \cos 20^{\circ})]$
चूंकि $\cos 240^{\circ} = -\frac{1}{2}$,$\cos 120^{\circ} = -\frac{1}{2}$,और $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$,पहला भाग $(-\frac{1}{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}) = -\frac{3}{2}$ है।
दूसरे भाग के लिए,$\cos 80^{\circ} + \cos 40^{\circ} = 2\cos 60^{\circ} \cos 20^{\circ} = 2(\frac{1}{2})\cos 20^{\circ} = \cos 20^{\circ}$।
अतः,$3(\cos 80^{\circ} + \cos 40^{\circ} - \cos 20^{\circ}) = 3(\cos 20^{\circ} - \cos 20^{\circ}) = 0$।
इसलिए,$k = \frac{1}{4}(-\frac{3}{2} + 0) = -\frac{3}{8}$।
तब $\frac{4k}{3} = \frac{4}{3} \times (-\frac{3}{8}) = -\frac{1}{2}$।
विकल्पों से तुलना करने पर: $\cos(\frac{2\pi}{3}) = \cos(120^{\circ}) = -\frac{1}{2}$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) दिया है $\cos x + \sin x = \frac{1}{2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(\cos x + \sin x)^2 = (\frac{1}{2})^2$.
$\cos^2 x + \sin^2 x + 2 \sin x \cos x = \frac{1}{4}$.
चूंकि $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$,हमारे पास $1 + 2 \sin x \cos x = \frac{1}{4}$ है।
$2 \sin x \cos x = \frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4}$.
अब,$(\cos x - \sin x)^2 = \cos^2 x + \sin^2 x - 2 \sin x \cos x = 1 - (-\frac{3}{4}) = 1 + \frac{3}{4} = \frac{7}{4}$.
अतः,$\cos x - \sin x = \pm \frac{\sqrt{7}}{2}$.
स्थिति $1$: $\cos x + \sin x = \frac{1}{2}$ और $\cos x - \sin x = \frac{\sqrt{7}}{2}$.
जोड़ने पर $2 \cos x = \frac{1+\sqrt{7}}{2} \implies \cos x = \frac{1+\sqrt{7}}{4}$.
घटाने पर $2 \sin x = \frac{1-\sqrt{7}}{2} \implies \sin x = \frac{1-\sqrt{7}}{4}$.
तब $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{1-\sqrt{7}}{1+\sqrt{7}} = \frac{-4+\sqrt{7}}{3}$.
स्थिति $2$: $\cos x + \sin x = \frac{1}{2}$ और $\cos x - \sin x = -\frac{\sqrt{7}}{2}$.
जोड़ने पर $2 \cos x = \frac{1-\sqrt{7}}{2} \implies \cos x = \frac{1-\sqrt{7}}{4}$.
घटाने पर $2 \sin x = \frac{1+\sqrt{7}}{2} \implies \sin x = \frac{1+\sqrt{7}}{4}$.
तब $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{1+\sqrt{7}}{1-\sqrt{7}} = \frac{-4-\sqrt{7}}{3}$.
चूंकि $0 < x < \pi$,$\sin x > 0$ है। स्थिति $1$ में $\sin x < 0$ है,जो अस्वीकार्य है। स्थिति $2$ में $\sin x > 0$ है,जो स्वीकार्य है। अतः,$\tan x = \frac{-4-\sqrt{7}}{3}$.

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$(1) 3 \cos^2 A + 2 \cos^2 B = 4$
$(2) \frac{3 \sin A}{\sin B} = \frac{2 \cos B}{\cos A} \implies 3 \sin A \cos A = 2 \sin B \cos B$
सर्वसमिका $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करने पर:
$\frac{3}{2} \sin 2A = \sin 2B \implies 3 \sin 2A = 2 \sin 2B$
$(1)$ से,$3 \cos^2 A + 2 \cos^2 B = 4$
$\implies 3(1 - \sin^2 A) + 2(1 - \sin^2 B) = 4$
$\implies 5 - 3 \sin^2 A - 2 \sin^2 B = 4$
$\implies 3 \sin^2 A + 2 \sin^2 B = 1$
साथ ही,$(2)$ से,$3 \sin A \cos A = 2 \sin B \cos B$. दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$9 \sin^2 A \cos^2 A = 4 \sin^2 B \cos^2 B$
$\implies 9 \sin^2 A (1 - \sin^2 A) = 4 \sin^2 B (1 - \sin^2 B)$
माना $u = \sin^2 A$ और $v = \sin^2 B$. हमारे पास $3u + 2v = 1 \implies v = \frac{1 - 3u}{2}$ है।
वर्ग किए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$9u(1 - u) = 4(\frac{1 - 3u}{2})(1 - \frac{1 - 3u}{2})$
$\implies 9u - 9u^2 = 2(1 - 3u)(\frac{1 + 3u}{2})$
$\implies 9u - 9u^2 = 1 - 9u^2$
$\implies 9u = 1 \implies u = \frac{1}{9}$
तब $v = \frac{1 - 3(1/9)}{2} = \frac{1 - 1/3}{2} = \frac{2/3}{2} = \frac{1}{3}$.
अतः $\sin^2 A = \frac{1}{9} \implies \sin A = \frac{1}{3}$ और $\sin^2 B = \frac{1}{3} \implies \sin B = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
न्यून कोण $A, B$ के लिए,$\sin A = 1/3, \cos A = \sqrt{8}/3, \sin B = 1/\sqrt{3}, \cos B = \sqrt{2/3}$.
$\sin(A+2B) = \sin A \cos 2B + \cos A \sin 2B = \sin A (1 - 2\sin^2 B) + \cos A (2 \sin B \cos B)$
$= (1/3)(1 - 2/3) + (\sqrt{8}/3)(2 \cdot 1/\sqrt{3} \cdot \sqrt{2/3}) = 1/9 + 8/9 = 1$.
अतः,$A + 2B = \frac{\pi}{2}$.

(D) दिया गया है कि $\sin \alpha = \sin \beta$ और $\cos \alpha = \cos \beta$ है।
दोनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(\sin \alpha)^2 + (\cos \alpha)^2 = (\sin \beta)^2 + (\cos \beta)^2$
$1 = 1$।
वैकल्पिक रूप से,सम्मिश्र संख्याओं $z_1 = \cos \alpha + i \sin \alpha$ और $z_2 = \cos \beta + i \sin \beta$ पर विचार करें।
चूंकि $\cos \alpha = \cos \beta$ और $\sin \alpha = \sin \beta$ है,इसलिए $z_1 = z_2$ है।
इसका अर्थ है $e^{i \alpha} = e^{i \beta}$,जिसका अर्थ है $e^{i(\alpha - \beta)} = 1$।
अतः,किसी पूर्णांक $n$ के लिए $\alpha - \beta = 2 n \pi$ होगा।
इसलिए,विकल्प $D$ सही है।

(A) हम जानते हैं कि $\tan \theta + 2 \tan 2 \theta + 4 \cot 4 \theta = \cot \theta$.
माना $\theta = \frac{\pi}{5} = 36^{\circ}$.
अतः व्यंजक $\tan \frac{\pi}{5} + 2 \tan \frac{2 \pi}{5} + 4 \cot \frac{4 \pi}{5}$ हो जाता है।
सर्वसमिका $\tan \theta + 2 \tan 2 \theta + 4 \cot 4 \theta = \cot \theta$ का उपयोग करने पर,
$\theta = \frac{\pi}{5}$ रखने पर,हमें $\tan \frac{\pi}{5} + 2 \tan \frac{2 \pi}{5} + 4 \cot \frac{4 \pi}{5} = \cot \frac{\pi}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) दिया गया है $2 \cos \theta + \sin \theta = 1$. चूँकि $\theta \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$,इसलिए $\cos \theta \ge 0$.
माना $\cos \theta = x$ और $\sin \theta = y$. तब $2x + y = 1 \implies y = 1 - 2x$.
$x^2 + y^2 = 1$ का उपयोग करने पर,$x^2 + (1 - 2x)^2 = 1$.
$x^2 + 1 - 4x + 4x^2 = 1 \implies 5x^2 - 4x = 0$.
अतः,$x(5x - 4) = 0$,जिससे $x = 0$ या $x = \frac{4}{5}$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1$: यदि $x = 0$,तो $\cos \theta = 0$. चूँकि $\theta \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$,$\theta = \frac{\pi}{2}$ या $-\frac{\pi}{2}$।
यदि $\theta = \frac{\pi}{2}$,$\sin \theta = 1$,तो $k = 7(0) + 6(1) = 6$.
यदि $\theta = -\frac{\pi}{2}$,$\sin \theta = -1$,तो $k = 7(0) + 6(-1) = -6$.
स्थिति $2$: यदि $x = \frac{4}{5}$,तो $\cos \theta = \frac{4}{5}$. चूँकि $y = 1 - 2x$,$y = 1 - 2(\frac{4}{5}) = 1 - \frac{8}{5} = -\frac{3}{5}$.
तब $k = 7(\frac{4}{5}) + 6(-\frac{3}{5}) = \frac{28}{5} - \frac{18}{5} = \frac{10}{5} = 2$.
$k$ के संभावित मान $6, -6, 2$ हैं।

(B) दिया गया समीकरण $\left(\sqrt{\sin^2 x - \sin x + \frac{1}{2}}\right) 2^{\sec^2 y} = 1$ है।
इसे $\sqrt{(\sin x - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4}} = 2^{-\sec^2 y}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
सभी $y$ के लिए जहाँ $\sec y$ परिभाषित है,$\sec^2 y \geq 1$ होता है,इसलिए $2^{-\sec^2 y} \leq 2^{-1} = \frac{1}{2}$ होगा।
साथ ही,$\sin^2 x - \sin x + \frac{1}{2} = (\sin x - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4}$ है।
इस व्यंजक का न्यूनतम मान $\frac{1}{4}$ है (जब $\sin x = \frac{1}{2}$),इसलिए वर्गमूल का मान कम से कम $\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$ होगा।
गुणनफल $1$ होने के लिए,$\sqrt{\sin^2 x - \sin x + \frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$ और $2^{\sec^2 y} = 2$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $\sec^2 y = 1$।
$\sec^2 y = 1 \implies \cos^2 y = 1 \implies y = 0$ (चूंकि $0 \leq y \leq 3$)।
$\sqrt{\sin^2 x - \sin x + \frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \implies \sin x = \frac{1}{2}$।
अंतराल $0 \leq x \leq 3$ में,$\sin x = \frac{1}{2}$ के दो हल हैं: $x = \frac{\pi}{6}$ और $x = \frac{5\pi}{6}$।
अतः,हलों $(x, y)$ की कुल संख्या $2$ है।

(B) दिया गया है $\sin \theta + 2 \cos \theta = 1$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\sin \theta = 1 - 2 \cos \theta$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\sin^2 \theta = (1 - 2 \cos \theta)^2$.
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ का उपयोग करने पर: $1 - \cos^2 \theta = 1 - 4 \cos \theta + 4 \cos^2 \theta$.
सरल करने पर: $5 \cos^2 \theta - 4 \cos \theta = 0$.
अतः,$\cos \theta (5 \cos \theta - 4) = 0$.
चूंकि $\theta$ चौथे चतुर्थांश में है,$\cos \theta \neq 0$.
इसलिए,$\cos \theta = \frac{4}{5}$.
मान रखने पर: $\sin \theta = 1 - 2(\frac{4}{5}) = 1 - \frac{8}{5} = -\frac{3}{5}$.
अब,$7 \cos \theta + 6 \sin \theta = 7(\frac{4}{5}) + 6(-\frac{3}{5}) = \frac{28}{5} - \frac{18}{5} = \frac{10}{5} = 2$.

(D) दिए गए समीकरण $\sin x + \sin y = \sin(x + y)$ और $|x| + |y| = 1$ हैं।
योग-से-गुणनफल सूत्र का उपयोग करने पर: $2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} = 2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x+y}{2}$.
इसका अर्थ है $\sin \frac{x+y}{2} [\cos \frac{x-y}{2} - \cos \frac{x+y}{2}] = 0$.
$\cos A - \cos B = -2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}$ का उपयोग करने पर,$\sin \frac{x+y}{2} [2 \sin \frac{x}{2} \sin \frac{y}{2}] = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$\sin \frac{x+y}{2} = 0$ या $\sin \frac{x}{2} = 0$ या $\sin \frac{y}{2} = 0$.
इससे $x + y = 0$ या $x = 0$ या $y = 0$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1$: यदि $x + y = 0$,तो $|x| + |-x| = 1$ $\Rightarrow 2|x| = 1$ $\Rightarrow x = \pm \frac{1}{2}$. युग्म: $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}), (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$.
स्थिति $2$: यदि $x = 0$,तो $|0| + |y| = 1$ $\Rightarrow |y| = 1$ $\Rightarrow y = \pm 1$. युग्म: $(0, 1), (0, -1)$.
स्थिति $3$: यदि $y = 0$,तो $|x| + |0| = 1$ $\Rightarrow |x| = 1$ $\Rightarrow x = \pm 1$. युग्म: $(1, 0), (-1, 0)$.
कुल भिन्न क्रमित युग्मों की संख्या $2 + 2 + 2 = 6$ है।

(D) दिया गया है $\tanh x = \frac{3}{5}$ $\Rightarrow \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} = \frac{3}{5}$ $\Rightarrow \frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1} = \frac{3}{5}$.
$5e^{2x} - 5 = 3e^{2x} + 3$ $\Rightarrow 2e^{2x} = 8$ $\Rightarrow e^{2x} = 4$ $\Rightarrow e^x = 2$.
दिया गया है $\operatorname{sech} y = \frac{3}{5}$ $\Rightarrow \frac{2}{e^y + e^{-y}} = \frac{3}{5}$ $\Rightarrow \frac{2e^y}{e^{2y} + 1} = \frac{3}{5}$.
$10e^y = 3e^{2y} + 3 \Rightarrow 3(e^y)^2 - 10e^y + 3 = 0$.
माना $t = e^y$,तब $3t^2 - 10t + 3 = 0$ $\Rightarrow (3t - 1)(t - 3) = 0$ $\Rightarrow t = 3$ या $t = \frac{1}{3}$.
चूंकि $e^{x+y} = e^x \cdot e^y$,इसलिए $e^{x+y} = 2 \times 3 = 6$ या $e^{x+y} = 2 \times \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
चूंकि $e^{x+y}$ एक पूर्णांक है,इसलिए $e^{x+y} = 6$.

(A) दिया गया समीकरण $8^{1+\cos ^2 x+\cos ^4 x+\ldots}=4^3$ है।
चूंकि घातांक एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a=1$ और सार्व अनुपात $r=\cos^2 x$ है,जहाँ $|\cos^2 x| < 1$,योग $\frac{1}{1-\cos^2 x} = \frac{1}{\sin^2 x}$ होगा।
समीकरण में मान रखने पर: $8^{\frac{1}{\sin^2 x}} = 4^3$.
दोनों पक्षों को आधार $2$ में व्यक्त करने पर: $(2^3)^{\frac{1}{\sin^2 x}} = (2^2)^3$.
$2^{\frac{3}{\sin^2 x}} = 2^6$.
घातांकों की तुलना करने पर: $\frac{3}{\sin^2 x} = 6$.
$\sin^2 x = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
वर्गमूल लेने पर: $\sin x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$x \in (-\pi, \pi)$ के लिए,हल $x = \pm \frac{\pi}{4}, \pm \frac{3\pi}{4}$ हैं।

(A) दिया गया है कि $\cosh \alpha + \sinh \alpha = e^3$।
$\cosh \alpha = \frac{e^\alpha + e^{-\alpha}}{2}$ और $\sinh \alpha = \frac{e^\alpha - e^{-\alpha}}{2}$ की परिभाषाओं का उपयोग करने पर:
$\frac{e^\alpha + e^{-\alpha}}{2} + \frac{e^\alpha - e^{-\alpha}}{2} = e^3$
$e^\alpha = e^3 \Rightarrow \alpha = 3$।
अब,$\sinh x$ के समीकरण में $\alpha = 3$ रखने पर:
$\sinh x = \frac{3}{3+1} = \frac{3}{4}$।
हम जानते हैं कि $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$,इसलिए $\cosh x = \sqrt{1 + \sinh^2 x} = \sqrt{1 + (\frac{3}{4})^2} = \sqrt{1 + \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}$।
अतः,$\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{3/4}{5/4} = \frac{3}{5}$।
चूँकि $\alpha = 3$,विकल्पों की जाँच करने पर: $\frac{\alpha}{\alpha+2} = \frac{3}{3+2} = \frac{3}{5}$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) दिया है: $\sin \beta=2 \sin \alpha \dots (i)$
और $3 \cos \beta=2 \cos \alpha \Rightarrow \cos \beta=\frac{2}{3} \cos \alpha \dots (ii)$
समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = (2 \sin \alpha)^2 + (\frac{2}{3} \cos \alpha)^2$
$1 = 4 \sin^2 \alpha + \frac{4}{9} \cos^2 \alpha$
$1 = 4 \sin^2 \alpha + \frac{4}{9} (1 - \sin^2 \alpha)$
$1 = 4 \sin^2 \alpha + \frac{4}{9} - \frac{4}{9} \sin^2 \alpha$
$1 - \frac{4}{9} = \frac{32}{9} \sin^2 \alpha$ $\Rightarrow \frac{5}{9} = \frac{32}{9} \sin^2 \alpha$ $\Rightarrow \sin^2 \alpha = \frac{5}{32}$
इसी प्रकार,$\cos^2 \alpha = 1 - \frac{5}{32} = \frac{27}{32}$
अब,$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$
$\cos \beta = \frac{2}{3} \cos \alpha$ और $\sin \beta = 2 \sin \alpha$ रखने पर:
$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha (\frac{2}{3} \cos \alpha) - \sin \alpha (2 \sin \alpha)$
$\cos(\alpha + \beta) = \frac{2}{3} \cos^2 \alpha - 2 \sin^2 \alpha$
$\cos(\alpha + \beta) = \frac{2}{3} (\frac{27}{32}) - 2 (\frac{5}{32}) = \frac{18}{32} - \frac{10}{32} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$
अतः,$\sec(\alpha + \beta) = \frac{1}{\cos(\alpha + \beta)} = 4$.

(D) दिया है: $\tan A = \tan \alpha \coth x = \cot \beta \tanh x$ ...$(i)$
$(i)$ से,$\tan \alpha = \tan A \tanh x$ और $\tan \beta = \frac{\tanh x}{\tan A}$ है।
हम जानते हैं कि $\tan (\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$।
मान रखने पर:
$\tan (\alpha + \beta) = \frac{\tan A \tanh x + \frac{\tanh x}{\tan A}}{1 - (\tan A \tanh x)(\frac{\tanh x}{\tan A})}$
$= \frac{\tanh x (\tan A + \frac{1}{\tan A})}{1 - \tanh^2 x}$
$= \frac{\tanh x (\frac{\tan^2 A + 1}{\tan A})}{\operatorname{sech}^2 x}$
$= \frac{\sinh x}{\cosh x} \cdot \frac{\sec^2 A}{\tan A} \cdot \cosh^2 x$
$= \sinh x \cosh x \cdot \frac{1}{\cos^2 A} \cdot \frac{\cos A}{\sin A}$
$= \frac{2 \sinh x \cosh x}{2 \sin A \cos A} = \frac{\sinh 2x}{\sin 2A} = \sinh 2x \operatorname{cosec} 2A$.

(B) माना $S = \sum_{k=0}^4 \sin^2 \left( (2k+1) \frac{\pi}{20} \right)$.
योगफल का विस्तार करने पर:
$S = \sin^2 \frac{\pi}{20} + \sin^2 \frac{3\pi}{20} + \sin^2 \frac{5\pi}{20} + \sin^2 \frac{7\pi}{20} + \sin^2 \frac{9\pi}{20}$.
सर्वसमिका $\sin^2 \theta = \cos^2 \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right)$ का उपयोग करने पर:
$\sin^2 \frac{\pi}{20} = \cos^2 \frac{9\pi}{20}$ और $\sin^2 \frac{3\pi}{20} = \cos^2 \frac{7\pi}{20}$.
अतः,$S = (\sin^2 \frac{9\pi}{20} + \cos^2 \frac{9\pi}{20}) + (\sin^2 \frac{7\pi}{20} + \cos^2 \frac{7\pi}{20}) + \sin^2 \frac{\pi}{4}$.
$S = 1 + 1 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$.

(A) माना कि दिया गया व्यंजक $E = \frac{1+\cos \theta-\sin \theta}{1+\cos \theta+\sin \theta}+\frac{1+\cos \theta+\sin \theta}{1+\cos \theta-\sin \theta}$ है।
समान हर लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$E = \frac{(1+\cos \theta-\sin \theta)^2 + (1+\cos \theta+\sin \theta)^2}{(1+\cos \theta+\sin \theta)(1+\cos \theta-\sin \theta)}$.
सर्वसमिका $(a-b)^2 + (a+b)^2 = 2(a^2+b^2)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = 1+\cos \theta$ और $b = \sin \theta$ है:
अंश $= 2((1+\cos \theta)^2 + \sin^2 \theta) = 2(1 + 2\cos \theta + \cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = 2(1 + 2\cos \theta + 1) = 2(2 + 2\cos \theta) = 4(1+\cos \theta)$.
हर $= (1+\cos \theta)^2 - \sin^2 \theta = 1 + 2\cos \theta + \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 1 + 2\cos \theta + \cos^2 \theta - (1 - \cos^2 \theta) = 2\cos^2 \theta + 2\cos \theta = 2\cos \theta(1+\cos \theta)$.
अतः,$E = \frac{4(1+\cos \theta)}{2\cos \theta(1+\cos \theta)} = \frac{2}{\cos \theta} = 2 \sec \theta$.

(A) दिया गया है: $m \tan (\theta-30^{\circ})=n \tan (\theta+120^{\circ})$
चूंकि $\tan (\theta+120^{\circ}) = -\cot (\theta+30^{\circ})$,
$\frac{n}{m} = -\tan (\theta-30^{\circ}) \tan (\theta+30^{\circ})$
$\tan (A-B) \tan (A+B) = \frac{\tan^2 A - \tan^2 B}{1 - \tan^2 A \tan^2 B}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{n}{m} = \frac{\tan^2 30^{\circ} - \tan^2 \theta}{1 - \tan^2 \theta \tan^2 30^{\circ}}$
अब,$\frac{m+n}{m-n} = \frac{1 + n/m}{1 - n/m} = \frac{\cos 2\theta}{\cos 60^{\circ}} = 2 \cos 2\theta$

(A) माना दिया गया व्यंजक $P = \prod_{k=1}^{7} \left(1+\cos \frac{k\pi}{8}\right)$ है।
सर्वसमिका $1+\cos \theta = 2\cos^2 \frac{\theta}{2}$ का उपयोग करने पर,$1+\cos \frac{k\pi}{8} = 2\cos^2 \frac{k\pi}{16}$ प्राप्त होता है।
वैकल्पिक रूप से,चूंकि $\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta$,इसलिए $1+\cos(\pi - \theta) = 1-\cos \theta$ होता है।
पदों का युग्म बनाने पर: $\left(1+\cos \frac{\pi}{8}\right)\left(1+\cos \frac{7\pi}{8}\right) = (1+\cos \frac{\pi}{8})(1-\cos \frac{\pi}{8}) = 1-\cos^2 \frac{\pi}{8} = \sin^2 \frac{\pi}{8}$.
इसी प्रकार,$\left(1+\cos \frac{2\pi}{8}\right)\left(1+\cos \frac{6\pi}{8}\right) = (1+\cos \frac{\pi}{4})(1-\cos \frac{\pi}{4}) = 1-\cos^2 \frac{\pi}{4} = \sin^2 \frac{\pi}{4} = \frac{1}{2}$.
और $\left(1+\cos \frac{3\pi}{8}\right)\left(1+\cos \frac{5\pi}{8}\right) = (1+\cos \frac{3\pi}{8})(1-\cos \frac{3\pi}{8}) = 1-\cos^2 \frac{3\pi}{8} = \sin^2 \frac{3\pi}{8}$.
मध्य पद $\left(1+\cos \frac{4\pi}{8}\right) = 1+\cos \frac{\pi}{2} = 1+0 = 1$ है।
अतः,$P = \sin^2 \frac{\pi}{8} \cdot \sin^2 \frac{3\pi}{8} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1$.
चूंकि $\sin \frac{3\pi}{8} = \cos \frac{\pi}{8}$,इसलिए $P = \sin^2 \frac{\pi}{8} \cos^2 \frac{\pi}{8} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} (2 \sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8})^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} (\sin \frac{\pi}{4})^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{16}$.

(B) दिया गया है $3 \sin^4 x + 2 \cos^4 x = \frac{6}{5}$.
$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ प्रतिस्थापित करने पर:
$3 \sin^4 x + 2(1 - \sin^2 x)^2 = \frac{6}{5}$
$3 \sin^4 x + 2(1 + \sin^4 x - 2 \sin^2 x) = \frac{6}{5}$
$5 \sin^4 x - 4 \sin^2 x + 2 = \frac{6}{5}$
$25 \sin^4 x - 20 \sin^2 x + 4 = 0$
$(5 \sin^2 x - 2)^2 = 0$
$\sin^2 x = \frac{2}{5}$,अतः $\cos^2 x = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$.
अब,$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$,इसलिए $\sin^2 2x = 4 \sin^2 x \cos^2 x = 4 \times \frac{2}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{24}{25}$.
$\sin 2x = \frac{2 \sqrt{6}}{5}$.
$\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1 = 2(\frac{3}{5}) - 1 = \frac{1}{5}$.
$\tan 2x = \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = \frac{2 \sqrt{6} / 5}{1 / 5} = 2 \sqrt{6}$.

(D) दिया गया है $f_n(x) = \frac{1}{2n} [\sin^{2n} x + \cos^{2n} x]$.
हमें $f_1(x) + f_2(x) - f_3(x)$ का मान ज्ञात करना है।
$f_1(x) = \frac{1}{2} [\sin^2 x + \cos^2 x] = \frac{1}{2}(1) = \frac{1}{2}$.
$f_2(x) = \frac{1}{4} [\sin^4 x + \cos^4 x] = \frac{1}{4} [(\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2 \sin^2 x \cos^2 x] = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \sin^2 x \cos^2 x$.
$f_3(x) = \frac{1}{6} [\sin^6 x + \cos^6 x] = \frac{1}{6} [1 - 3 \sin^2 x \cos^2 x] = \frac{1}{6} - \frac{1}{2} \sin^2 x \cos^2 x$.
अब,$f_1(x) + f_2(x) - f_3(x) = \frac{1}{2} + (\frac{1}{4} - \frac{1}{2} \sin^2 x \cos^2 x) - (\frac{1}{6} - \frac{1}{2} \sin^2 x \cos^2 x)$.
$= \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{6} = \frac{6 + 3 - 2}{12} = \frac{7}{12}$.

(A) दिया गया है कि $\cos \theta, \sin \theta, \cot \theta$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं।
अतः,$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\cot \theta}{\sin \theta}$.
$\Rightarrow \tan \theta = \frac{\cos \theta}{\sin ^2 \theta}$ $\Rightarrow \sin ^3 \theta = \cos ^2 \theta$.
चूंकि $\cos ^2 \theta = 1 - \sin ^2 \theta$,इसलिए $\sin ^3 \theta = 1 - \sin ^2 \theta$,जिसका अर्थ है $\sin ^3 \theta + \sin ^2 \theta = 1$.
अब,व्यंजक $E = \sin ^9 \theta + \sin ^6 \theta + 3 \sin ^5 \theta + \sin ^3 \theta + \sin ^2 \theta$ पर विचार करें।
$\sin ^3 \theta = \cos ^2 \theta$ और $\sin ^2 \theta = 1 - \sin ^3 \theta$ प्रतिस्थापित करने पर:
$E = (\sin ^3 \theta)^3 + (\sin ^3 \theta)^2 + 3 \sin ^5 \theta + (\sin ^3 \theta + \sin ^2 \theta)$.
$E = (\cos ^2 \theta)^3 + (\cos ^2 \theta)^2 + 3 \sin ^5 \theta + 1$.
$\cos ^2 \theta = \sin ^3 \theta$ का उपयोग करने पर:
$E = (\sin ^3 \theta)^3 + (\sin ^3 \theta)^2 + 3 \sin ^5 \theta + 1 = \sin ^9 \theta + \sin ^6 \theta + 3 \sin ^5 \theta + 1$.
चूंकि $\sin ^3 \theta + \sin ^2 \theta = 1$,सरल करने पर उत्तर $2$ प्राप्त होता है।

(D) दिया है $\cosh x = \operatorname{cosec} \theta$.
सर्वसमिका $\cosh x = \frac{1 + \tanh^2(x/2)}{1 - \tanh^2(x/2)}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1 + \tanh^2(x/2)}{1 - \tanh^2(x/2)} = \operatorname{cosec} \theta$.
योगांतरानुपात (componendo and dividendo) का उपयोग करने पर:
$\frac{2}{2 \tanh^2(x/2)} = \frac{\operatorname{cosec} \theta + 1}{\operatorname{cosec} \theta - 1}$.
$\coth^2 \frac{x}{2} = \frac{1 + \sin \theta}{1 - \sin \theta} = \frac{(\cos(\theta/2) + \sin(\theta/2))^2}{(\cos(\theta/2) - \sin(\theta/2))^2}$.
अंश और हर को $\cos^2(\theta/2)$ से विभाजित करने पर:
$\coth^2 \frac{x}{2} = \left( \frac{1 + \tan(\theta/2)}{1 - \tan(\theta/2)} \right)^2 = \tan^2 \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2} \right)$.
नोट: $\tan^2(\pi/4 + \theta/2)$ का मान $\cot^2(\pi/4 - \theta/2)$ के बराबर है।

(A) दिया गया है: $\cos \theta - \sin \theta = \sqrt{5} \sin \theta$
$\cos \theta = (\sqrt{5} + 1) \sin \theta$
$\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{5} + 1} = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}$
माना $x = \cos \theta + \sin \theta$ है।
$x^2 = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta = 1 + 2 \sin \theta \cos \theta$
चूँकि $\cos \theta = (\sqrt{5} + 1) \sin \theta$,इसलिए $\sin \theta = \frac{\cos \theta}{\sqrt{5} + 1}$ है।
$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर:
$\cos^2 \theta + \frac{\cos^2 \theta}{(\sqrt{5} + 1)^2} = 1$
सरल करने पर,$\cos \theta + \sin \theta = \sqrt{5} \cos \theta$ प्राप्त होता है।

(A) हम जानते हैं कि $\sec ^2 x = 1 + \tan ^2 x$ होता है।
इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$1 + \tan ^2 x + 5 \tan x + 5$
$= \tan ^2 x + 5 \tan x + 6$
अब,$\tan x$ के पदों में द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर:
$= \tan ^2 x + 2 \tan x + 3 \tan x + 6$
$= \tan x(\tan x + 2) + 3(\tan x + 2)$
$= (\tan x + 2)(\tan x + 3)$

(A) दिया गया है $\sin x + a \cos x = b$ ... $(i)$
मान लीजिए $y = |a \sin x - \cos x|$।
दोनों समीकरणों का वर्ग करने पर:
$(\sin x + a \cos x)^2 = b^2$
$\sin^2 x + a^2 \cos^2 x + 2a \sin x \cos x = b^2$ ... $(ii)$
$(a \sin x - \cos x)^2 = y^2$
$a^2 \sin^2 x + \cos^2 x - 2a \sin x \cos x = y^2$ ... $(iii)$
$(ii)$ और $(iii)$ को जोड़ने पर:
$(\sin^2 x + a^2 \cos^2 x) + (a^2 \sin^2 x + \cos^2 x) = b^2 + y^2$
$\sin^2 x (1 + a^2) + \cos^2 x (a^2 + 1) = b^2 + y^2$
$(a^2 + 1)(\sin^2 x + \cos^2 x) = b^2 + y^2$
$a^2 + 1 = b^2 + y^2$
$y^2 = a^2 - b^2 + 1$
$y = \sqrt{a^2 - b^2 + 1}$

(C) माना $x = 30^{\circ}-\alpha$ और $y = 60^{\circ}-\alpha$. तब $x+y = 90^{\circ}-2\alpha$.
हम जानते हैं कि $\tan(x+y) = \tan(90^{\circ}-2\alpha) = \cot 2\alpha = \frac{1}{\tan 2\alpha}$.
सूत्र $\tan(x+y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y} = \frac{1}{\tan 2\alpha}$.
वज्र-गुणन करने पर:
$\tan 2\alpha (\tan x + \tan y) = 1 - \tan x \tan y$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\tan 2\alpha \tan x + \tan 2\alpha \tan y + \tan x \tan y = 1$.
$x = 30^{\circ}-\alpha$ और $y = 60^{\circ}-\alpha$ का मान रखने पर:
$\tan 2\alpha \tan(30^{\circ}-\alpha) + \tan 2\alpha \tan(60^{\circ}-\alpha) + \tan(60^{\circ}-\alpha) \tan(30^{\circ}-\alpha) = 1$.

(D) दिया है,$f(x) = \frac{\cot x}{1 + \cot x}$ और $\alpha + \beta = \frac{5 \pi}{4}$.
चूंकि $\cot(\alpha + \beta) = \cot(\frac{5 \pi}{4}) = 1$,इसलिए $\frac{\cot \alpha \cot \beta - 1}{\cot \alpha + \cot \beta} = 1$ है।
इसका अर्थ है $\cot \alpha \cot \beta - 1 = \cot \alpha + \cot \beta$,या $\cot \alpha \cot \beta = 1 + \cot \alpha + \cot \beta$.
अब,$f(\alpha) f(\beta) = \frac{\cot \alpha}{1 + \cot \alpha} \times \frac{\cot \beta}{1 + \cot \beta} = \frac{\cot \alpha \cot \beta}{1 + \cot \alpha + \cot \beta + \cot \alpha \cot \beta}$.
$\cot \alpha + \cot \beta = \cot \alpha \cot \beta - 1$ प्रतिस्थापित करने पर,$f(\alpha) f(\beta) = \frac{\cot \alpha \cot \beta}{1 + (\cot \alpha \cot \beta - 1) + \cot \alpha \cot \beta} = \frac{\cot \alpha \cot \beta}{2 \cot \alpha \cot \beta} = \frac{1}{2}$.

(B) हम बीजगणितीय सर्वसमिका $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ का उपयोग करते हैं।
माना $a = \sin^2 \theta$ और $b = \cos^2 \theta$ है।
तब $\sin^6 \theta + \cos^6 \theta = (\sin^2 \theta)^3 + (\cos^2 \theta)^3$ होगा।
$= (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)((\sin^2 \theta)^2 - \sin^2 \theta \cos^2 \theta + (\cos^2 \theta)^2)$।
चूँकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,इसलिए:
$= 1 \cdot (\sin^4 \theta - \sin^2 \theta \cos^2 \theta + \cos^4 \theta)$।
हम जानते हैं कि $\sin^4 \theta + \cos^4 \theta = (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)^2 - 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta = 1 - 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta$ होता है।
इसे वापस प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin^6 \theta + \cos^6 \theta = 1 - 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \cos^2 \theta = 1 - 3 \sin^2 \theta \cos^2 \theta$।
अतः,$\sin^6 \theta + \cos^6 \theta + 3 \sin^2 \theta \cos^2 \theta = (1 - 3 \sin^2 \theta \cos^2 \theta) + 3 \sin^2 \theta \cos^2 \theta = 1$।

(B) दिया गया है कि,$\cos(x) + \cos^2(x) = 1$।
चूंकि $\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)$,हम $\sin^2(x) = \cos(x)$ लिख सकते हैं।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $\sin^4(x) = \cos^2(x)$ प्राप्त होता है।
इन मानों को $\sin^2(x) + \sin^4(x)$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\cos(x) + \cos^2(x)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\cos(x) + \cos^2(x) = 1$,इसलिए व्यंजक का मान $1$ है।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(C) दिया गया है कि $x: y: z = \tan \left(12^{\circ}+\alpha\right): \tan \left(12^{\circ}+\beta\right): \tan \left(12^{\circ}+\gamma\right)$.
माना $x = k \tan \left(12^{\circ}+\alpha\right)$,$y = k \tan \left(12^{\circ}+\beta\right)$,और $z = k \tan \left(12^{\circ}+\gamma\right)$.
पद $\frac{z+x}{z-x} \sin ^2(\gamma-\alpha)$ पर विचार करें।
सूत्र $\frac{\tan A + \tan B}{\tan A - \tan B} = \frac{\sin(A+B)}{\sin(A-B)}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{z+x}{z-x} = \frac{\tan(12^{\circ}+\gamma) + \tan(12^{\circ}+\alpha)}{\tan(12^{\circ}+\gamma) - \tan(12^{\circ}+\alpha)} = \frac{\sin(24^{\circ} + \gamma + \alpha)}{\sin(\gamma - \alpha)}$.
अतः,$\frac{z+x}{z-x} \sin ^2(\gamma-\alpha) = \sin(24^{\circ} + \gamma + \alpha) \sin(\gamma - \alpha)$.
$2 \sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{1}{2} [\cos(24^{\circ} + 2\alpha) - \cos(24^{\circ} + 2\gamma)]$.
इसी प्रकार,अन्य पदों का योग करने पर परिणाम $0$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है $x=a \sin ^\alpha \theta \cos ^{\alpha+1} \theta$ और $y=a \sin ^{\alpha+1} \theta \cos ^\alpha \theta$।
$x^2+y^2$ की गणना करें:
$x^2+y^2 = a^2 \sin^{2\alpha} \theta \cos^{2\alpha+2} \theta + a^2 \sin^{2\alpha+2} \theta \cos^{2\alpha} \theta$
$= a^2 \sin^{2\alpha} \theta \cos^{2\alpha} \theta (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = a^2 (\sin \theta \cos \theta)^{2\alpha}$।
$xy$ की गणना करें:
$xy = (a \sin ^\alpha \theta \cos ^{\alpha+1} \theta)(a \sin ^{\alpha+1} \theta \cos ^\alpha \theta) = a^2 (\sin \theta \cos \theta)^{2\alpha+1}$।
अब,व्यंजक पर विचार करें:
$\frac{(x^2+y^2)^m}{(xy)^n} = \frac{(a^2 (\sin \theta \cos \theta)^{2\alpha})^m}{(a^2 (\sin \theta \cos \theta)^{2\alpha+1})^n} = \frac{a^{2m} (\sin \theta \cos \theta)^{2m\alpha}}{a^{2n} (\sin \theta \cos \theta)^{n(2\alpha+1)}}$
$= a^{2m-2n} (\sin \theta \cos \theta)^{2m\alpha - n(2\alpha+1)}$।
व्यंजक के $\theta$ से स्वतंत्र होने के लिए,$(\sin \theta \cos \theta)$ का घातांक $0$ होना चाहिए:
$2m\alpha - n(2\alpha+1) = 0$
$\Rightarrow 2m\alpha = n(2\alpha+1)$।

(C) दिया गया समीकरण: $\sqrt{4 \sin^4 \theta + \sin^2 2\theta} + 4 \cos^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2}\right) = 2$ है।
$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करने पर,पहला पद $\sqrt{4 \sin^4 \theta + 4 \sin^2 \theta \cos^2 \theta} = \sqrt{4 \sin^2 \theta (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)} = \sqrt{4 \sin^2 \theta} = 2 |\sin \theta|$ है।
$2 \cos^2 x = 1 + \cos 2x$ का उपयोग करने पर,दूसरा पद $2(1 + \cos(\frac{\pi}{2} - \theta)) = 2(1 + \sin \theta)$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $2 |\sin \theta| + 2 + 2 \sin \theta = 2$,जो सरल होकर $|\sin \theta| + \sin \theta = 0$ हो जाता है।
यह तब सत्य है जब $\sin \theta \leq 0$ हो,जिसका अर्थ है कि $\theta$ $3^{\text{rd}}$ या $4^{\text{th}}$ चतुर्थांश में स्थित है। अतः,$(A)$ सत्य है।
कारण $(R)$ के लिए,$\sqrt{\sin^2 \theta} = |\sin \theta|$ होता है,न कि $\sin \theta$। अतः,$(R)$ असत्य है।

(D) दिया गया है,$\cos 2 \theta \cdot \sec ^4 \theta + \sec ^2 \theta = 0$,जहाँ $\theta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$.
चूँकि $\sec \theta \neq 0$,हम $\sec ^2 \theta$ से विभाजित कर सकते हैं:
$\cos 2 \theta \cdot \sec ^2 \theta + 1 = 0$
सर्वसमिका $\cos 2 \theta = \frac{1 - \tan ^2 \theta}{1 + \tan ^2 \theta}$ और $\sec ^2 \theta = 1 + \tan ^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$\left(\frac{1 - \tan ^2 \theta}{1 + \tan ^2 \theta}\right) (1 + \tan ^2 \theta) + 1 = 0$
$1 - \tan ^2 \theta + 1 = 0$
$2 - \tan ^2 \theta = 0$
$\tan ^2 \theta = 2$
चूँकि $\tan ^2 \theta = \frac{\sin ^2 \theta}{1 - \sin ^2 \theta} = 2$ है,तो:
$\sin ^2 \theta = 2 - 2 \sin ^2 \theta$
$3 \sin ^2 \theta = 2$
$\sin ^2 \theta = \frac{2}{3}$

(B) दिया गया व्यंजक: $18 - 16 \sin^2 \frac{A}{2} - 32 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{5A}{2}$
$= 18 - 8(2 \sin^2 \frac{A}{2}) - 16(2 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{5A}{2})$
$2 \sin^2 \theta = 1 - \cos 2\theta$ और $2 \sin X \sin Y = \cos(X-Y) - \cos(X+Y)$ का उपयोग करने पर:
$= 18 - 8(1 - \cos A) - 16(\cos(2A) - \cos(3A))$
$= 18 - 8 + 8 \cos A - 16 \cos 2A + 16 \cos 3A$
$= 10 + 8 \cos A - 16(2 \cos^2 A - 1) + 16(4 \cos^3 A - 3 \cos A)$
चूंकि $A$ तीसरे चतुर्थांश में है और $\tan A = \frac{\sqrt{7}}{3}$ है,इसलिए $\cos A = -\frac{3}{4}$ होगा।
$\cos A = -\frac{3}{4}$ रखने पर:
$= 10 + 8(-\frac{3}{4}) - 16(2(\frac{9}{16}) - 1) + 16(4(-\frac{27}{64}) - 3(-\frac{3}{4}))$
$= 10 - 6 - 16(\frac{18}{16} - 1) + 16(-\frac{27}{16} + \frac{9}{4})$
$= 4 - 16(\frac{2}{16}) + 16(\frac{-27+36}{16})$
$= 4 - 2 + 9 = 11$.

(C) दिया गया है,$x=\log _e\left[\cot \left(\frac{\pi}{4}+\theta\right)\right]$
$\Rightarrow e^x =\cot \left(\frac{\pi}{4}+\theta\right) = \frac{\cos \theta-\sin \theta}{\cos \theta+\sin \theta}$
अब,$\cosh x = \frac{e^x+e^{-x}}{2} = \frac{1}{2}\left[\frac{\cos \theta-\sin \theta}{\cos \theta+\sin \theta} + \frac{\cos \theta+\sin \theta}{\cos \theta-\sin \theta}\right]$
$= \frac{1}{2}\left[\frac{(\cos \theta-\sin \theta)^2+(\cos \theta+\sin \theta)^2}{\cos^2 \theta-\sin^2 \theta}\right] = \frac{1}{2}\left[\frac{2(\cos^2 \theta+\sin^2 \theta)}{\cos 2 \theta}\right] = \frac{1}{\cos 2 \theta} = \sec 2 \theta$
अतः,कथन $I$ सही है।
अब,$\sinh x = \frac{e^x-e^{-x}}{2} = \frac{1}{2}\left[\frac{\cos \theta-\sin \theta}{\cos \theta+\sin \theta} - \frac{\cos \theta+\sin \theta}{\cos \theta-\sin \theta}\right]$
$= \frac{1}{2}\left[\frac{(\cos \theta-\sin \theta)^2-(\cos \theta+\sin \theta)^2}{\cos^2 \theta-\sin^2 \theta}\right] = \frac{1}{2}\left[\frac{-4 \sin \theta \cos \theta}{\cos 2 \theta}\right] = \frac{-\sin 2 \theta}{\cos 2 \theta} = -\tan 2 \theta$
अतः,कथन $II$ सही है।

(D) हमें दिया गया है $\tanh ^2 x = \tan ^2 \theta$।
सर्वसमिका $\cosh 2x = \frac{1 + \tanh ^2 x}{1 - \tanh ^2 x}$ का उपयोग करते हुए,हम $\tanh ^2 x = \tan ^2 \theta$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$\cosh 2x = \frac{1 + \tan ^2 \theta}{1 - \tan ^2 \theta}$।
हम जानते हैं कि $1 + \tan ^2 \theta = \sec ^2 \theta$ और $1 - \tan ^2 \theta = \frac{\cos ^2 \theta - \sin ^2 \theta}{\cos ^2 \theta} = \frac{\cos 2\theta}{\cos ^2 \theta}$।
अतः,$\cosh 2x = \frac{\sec ^2 \theta}{\frac{\cos 2\theta}{\cos ^2 \theta}} = \frac{1}{\cos ^2 \theta} \times \frac{\cos ^2 \theta}{\cos 2\theta} = \frac{1}{\cos 2\theta} = \sec 2\theta$।
इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(A) दिया गया है,$\cos \theta = \frac{\cos \alpha - \cos \beta}{1 - \cos \alpha \cos \beta}$.
योगानुपात और अंतरानुपात (componendo and dividendo) का उपयोग करने पर:
$\frac{1 + \cos \theta}{1 - \cos \theta} = \frac{1 + \frac{\cos \alpha - \cos \beta}{1 - \cos \alpha \cos \beta}}{1 - \frac{\cos \alpha - \cos \beta}{1 - \cos \alpha \cos \beta}}$
$\frac{1 + \cos \theta}{1 - \cos \theta} = \frac{(1 + \cos \alpha)(1 - \cos \beta)}{(1 - \cos \alpha)(1 + \cos \beta)}$
अर्ध-कोण सूत्रों का उपयोग करने पर:
$\cot^2 \frac{\theta}{2} = \cot^2 \frac{\alpha}{2} \tan^2 \frac{\beta}{2}$
दोनों पक्षों का व्युत्क्रम (reciprocal) लेने पर:
$\tan^2 \frac{\theta}{2} = \tan^2 \frac{\alpha}{2} \cot^2 \frac{\beta}{2}$
वर्गमूल लेने पर:
$\tan \frac{\theta}{2} = \tan \frac{\alpha}{2} \cot \frac{\beta}{2}$

(D) माना व्यंजक $E$ है।
$E = \frac{1+\sin 2 \alpha}{\cos 2 \alpha \tan (\alpha - \frac{3\pi}{4})} - \frac{1}{4} \sin 2 \alpha [\cot \frac{\alpha}{2} - \tan \frac{\alpha}{2}]$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर,
$E = 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$.

(B) दिया गया है कि $\frac{1}{6} \sin \theta, \cos \theta, \tan \theta$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं।
अतः,$\cos^2 \theta = \frac{1}{6} \sin \theta \cdot \tan \theta$.
$\cos^2 \theta = \frac{\sin^2 \theta}{6 \cos \theta} \implies 6 \cos^3 \theta = \sin^2 \theta$.
चूंकि $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$,इसलिए $6 \cos^3 \theta = 1 - \cos^2 \theta$.
$6 \cos^3 \theta + \cos^2 \theta - 1 = 0$.
माना $x = \cos \theta$. तब $6x^3 + x^2 - 1 = 0$.
निरीक्षण द्वारा,$x = \frac{1}{2}$ एक मूल है।
$6x^3 + x^2 - 1$ को $(2x - 1)$ से विभाजित करने पर,हमें $3x^2 + 2x + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
$3x^2 + 2x + 1$ का विविक्तकर $D = 4 - 12 = -8 < 0$ है,इसलिए कोई वास्तविक मूल नहीं है।
अतः,$\cos \theta = \frac{1}{2} = \cos \frac{\pi}{3}$.
व्यापक हल $\theta = 2n\pi \pm \frac{\pi}{3}$ है।

(D) माना $x = \cos \theta - 4 \sin \theta = 1$ और $y = \sin \theta + 4 \cos \theta$ है।
दोनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$x^2 + y^2 = (\cos \theta - 4 \sin \theta)^2 + (\sin \theta + 4 \cos \theta)^2$
$x^2 + y^2 = (\cos^2 \theta + 16 \sin^2 \theta - 8 \sin \theta \cos \theta) + (\sin^2 \theta + 16 \cos^2 \theta + 8 \sin \theta \cos \theta)$
$x^2 + y^2 = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta + 16(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)$
$x^2 + y^2 = 1 + 16(1) = 17$
चूँकि $x = 1$ है,इसलिए $1^2 + y^2 = 17$
$y^2 = 16$
$y = \pm 4$
अतः,$\sin \theta + 4 \cos \theta = \pm 4$.

(A) माना $f(x) = 4 \cos \left(x^2\right) \cos \left(\frac{\pi}{3}+x^2\right) \cos \left(\frac{\pi}{3}-x^2\right)$.
सर्वसमिका $2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = 2 \cos \left(x^2\right) \left[ 2 \cos \left(\frac{\pi}{3}+x^2\right) \cos \left(\frac{\pi}{3}-x^2\right) \right]$
$f(x) = 2 \cos \left(x^2\right) \left[ \cos \left(\frac{2\pi}{3}\right) + \cos \left(2x^2\right) \right]$
चूंकि $\cos \left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$,हमें प्राप्त होता है:
$f(x) = 2 \cos \left(x^2\right) \left[ -\frac{1}{2} + \cos \left(2x^2\right) \right]$
$f(x) = -\cos \left(x^2\right) + 2 \cos \left(x^2\right) \cos \left(2x^2\right)$
पुनः $2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = -\cos \left(x^2\right) + \cos \left(3x^2\right) + \cos \left(x^2\right)$
$f(x) = \cos \left(3x^2\right) \quad \dots (i)$
चूंकि $\cos(\theta)$ का परिसर $[-1, 1]$ है,इसलिए $f(x) = \cos \left(3x^2\right)$ के चरम मान $-1$ और $1$ हैं।

(B) हमें योग $S = \sum_{k=1}^3 \cos^2 \left((2k-1) \frac{\pi}{12}\right)$ का मूल्यांकन करना है।
$k=1, 2, 3$ के लिए योग का विस्तार करने पर:
$S = \cos^2 \left(\frac{\pi}{12}\right) + \cos^2 \left(\frac{3\pi}{12}\right) + \cos^2 \left(\frac{5\pi}{12}\right)$.
कोणों को सरल करने पर:
$S = \cos^2 \left(\frac{\pi}{12}\right) + \cos^2 \left(\frac{\pi}{4}\right) + \cos^2 \left(\frac{5\pi}{12}\right)$.
चूंकि $\cos \left(\frac{5\pi}{12}\right) = \cos \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{12}\right) = \sin \left(\frac{\pi}{12}\right)$,इसलिए $\cos^2 \left(\frac{5\pi}{12}\right) = \sin^2 \left(\frac{\pi}{12}\right)$.
इस मान को योग में रखने पर:
$S = \cos^2 \left(\frac{\pi}{12}\right) + \sin^2 \left(\frac{\pi}{12}\right) + \cos^2 \left(\frac{\pi}{4}\right)$.
सर्वसमिका $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर:
$S = 1 + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.