Mix Examples-Trigonometrical Ratios, Functions and Identities Questions in Hindi

(B) दिया गया है: $\cos x + \cos y = \frac{2}{3}$ $(i)$
$\sin x - \sin y = \frac{3}{4}$ $(ii)$
योग-से-गुणनफल सूत्रों का उपयोग करने पर:
$2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{2}{3}$ $(iii)$
$2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \sin \left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{3}{4}$ $(iv)$
$(iv)$ को $(iii)$ से विभाजित करने पर:
$\tan \left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{3/4}{2/3} = \frac{9}{8}$
माना $\theta = \frac{x-y}{2}$,अतः $\tan \theta = \frac{9}{8}$.
तब $\sin(x-y) = \sin(2\theta) = \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} = \frac{2(9/8)}{1 + (81/64)} = \frac{144}{145}$.
$\cos(x-y) = \cos(2\theta) = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} = \frac{1 - (81/64)}{1 + (81/64)} = -\frac{17}{145}$.
अतः,$\sin(x-y) + \cos(x-y) = \frac{144}{145} - \frac{17}{145} = \frac{127}{145}$.

(A) हम जानते हैं कि $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ और $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ होता है।
दिया गया है $\sinh x = \frac{12}{5}$,अतः $\frac{e^x - e^{-x}}{2} = \frac{12}{5}$,जिसका अर्थ है $e^x - e^{-x} = \frac{24}{5}$।
माना $e^x = t$ है। तब $t - \frac{1}{t} = \frac{24}{5}$।
$5t$ से गुणा करने पर,हमें $5t^2 - 24t - 5 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(5t + 1)(t - 5) = 0$।
चूंकि $e^x = t$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $t = 5$,अर्थात $e^x = 5$।
हमें $\sinh 3x + \cosh 3x$ का मान ज्ञात करना है।
परिभाषा के अनुसार,$\sinh 3x + \cosh 3x = \frac{e^{3x} - e^{-3x}}{2} + \frac{e^{3x} + e^{-3x}}{2} = e^{3x}$।
चूंकि $e^x = 5$,इसलिए $e^{3x} = (e^x)^3 = 5^3 = 125$।

(A) दिया गया है $\cosh x = \frac{4}{3}$।
हम जानते हैं कि $\cosh 2x = 2 \cosh^2 x - 1$।
$\cosh 2x = 2 \left(\frac{4}{3}\right)^2 - 1 = 2 \left(\frac{16}{9}\right) - 1 = \frac{32}{9} - 1 = \frac{23}{9}$।
हम जानते हैं कि $\cosh 3x = 4 \cosh^3 x - 3 \cosh x$।
$\cosh 3x = 4 \left(\frac{4}{3}\right)^3 - 3 \left(\frac{4}{3}\right) = 4 \left(\frac{64}{27}\right) - 4 = \frac{256}{27} - 4 = \frac{256 - 108}{27} = \frac{148}{27}$।
अब,इन मानों को व्यंजक $3 \cosh x + 9 \cosh 2x + 27 \cosh 3x$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$= 3 \left(\frac{4}{3}\right) + 9 \left(\frac{23}{9}\right) + 27 \left(\frac{148}{27}\right)$
$= 4 + 23 + 148 = 175$।

(C) दिया गया है $A+B+C+D=2 \pi$.
हम जानते हैं कि $\cos A - \cos B + \cos C - \cos D = (\cos A - \cos B) + (\cos C - \cos D)$.
सूत्र $\cos X - \cos Y = -2 \sin \frac{X+Y}{2} \sin \frac{X-Y}{2}$ का उपयोग करने पर:
$= -2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2} - 2 \sin \frac{C+D}{2} \sin \frac{C-D}{2}$.
चूंकि $A+B+C+D=2 \pi$,इसलिए $\frac{C+D}{2} = \pi - \frac{A+B}{2}$,जिससे $\sin \frac{C+D}{2} = \sin \frac{A+B}{2}$ प्राप्त होता है।
सरल करने पर अंतिम परिणाम है:
$-4 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A+C}{2} \sin \frac{A+D}{2}$.

(B) दिया है: $\sin x \cdot \cosh y = \cos \theta$ $(i)$
$\cos x \cdot \sinh y = \sin \theta$ $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(\sin x \cdot \cosh y)^2 + (\cos x \cdot \sinh y)^2 = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta$
$\sin^2 x \cosh^2 y + \cos^2 x \sinh^2 y = 1$
$\cosh^2 y = 1 + \sinh^2 y$ और $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ का उपयोग करने पर:
$\sin^2 x (1 + \sinh^2 y) + (1 - \sin^2 x) \sinh^2 y = 1$
$\sin^2 x + \sin^2 x \sinh^2 y + \sinh^2 y - \sin^2 x \sinh^2 y = 1$
$\sin^2 x + \sinh^2 y = 1$
चूँकि $\cosh^2 y = 1 + \sinh^2 y$,इसलिए $\sinh^2 y = \cosh^2 y - 1$ है।
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$\sin^2 x + (\cosh^2 y - 1) = 1$
$\sin^2 x + \cosh^2 y = 2$

(B) दिया गया है,$\tanh x = \frac{1}{2}$.
हम जानते हैं कि $\tanh^2 x = 1 - \text{sech}^2 x$,इसलिए $\text{sech}^2 x = 1 - (\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
अतः,$\text{sech } x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $\cosh x = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
चूंकि $\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}$,इसलिए $\sinh x = \tanh x \cdot \cosh x = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
अब,$\sinh 2x = 2 \sinh x \cosh x = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{4}{3}$.
और $\text{sech } 2x = \frac{1}{\cosh 2x} = \frac{1}{\cosh^2 x + \sinh^2 x} = \frac{1}{(\frac{2}{\sqrt{3}})^2 + (\frac{1}{\sqrt{3}})^2} = \frac{1}{\frac{4}{3} + \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{5}{3}} = \frac{3}{5}$.
इसलिए,$\sinh 2x - \text{sech } 2x = \frac{4}{3} - \frac{3}{5} = \frac{20 - 9}{15} = \frac{11}{15}$.

(A) दी गई व्यंजक: $E = \frac{e^{4x} + e^{-4x} + 14}{4(e^x - e^{-x})^2}$.
हम जानते हैं कि $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$,इसलिए $(e^x - e^{-x})^2 = 4\sinh^2 x$.
अतः हर $4(4\sinh^2 x) = 16\sinh^2 x$ है।
विकल्प $A$ की जाँच करने पर: $\sinh^2 x + \coth^2 x$.
$\sinh^2 x + \coth^2 x = \left(\frac{e^x - e^{-x}}{2}\right)^2 + \left(\frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}}\right)^2$
$= \frac{(e^x - e^{-x})^4 + 4(e^x + e^{-x})^2}{4(e^x - e^{-x})^2}$
$= \frac{(e^{4x} + e^{-4x} + 14)}{4(e^x - e^{-x})^2}$.
अतः सही विकल्प $A$ है।

(C) दिया गया है $|\sin \alpha - \cos \alpha| = \frac{3}{4}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = (\frac{3}{4})^2$.
$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{9}{16}$.
$1 - \sin 2\alpha = \frac{9}{16}$,जिसका अर्थ है $\sin 2\alpha = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$.
चूंकि $\sin 2\alpha = \frac{7}{16}$,लंब $P = 7$ और कर्ण $H = 16$ है।
आधार $B = \sqrt{H^2 - P^2} = \sqrt{16^2 - 7^2} = \sqrt{256 - 49} = \sqrt{207} = 3\sqrt{23}$.
अतः,$\cos 2\alpha = \frac{B}{H} = \frac{3\sqrt{23}}{16}$.
अब,$|\sec 2\alpha - \tan 2\alpha| = |\frac{1}{\cos 2\alpha} - \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha}| = |\frac{1 - \sin 2\alpha}{\cos 2\alpha}|$.
मान रखने पर,$|\frac{1 - 7/16}{3\sqrt{23}/16}| = |\frac{9/16}{3\sqrt{23}/16}| = \frac{9}{3\sqrt{23}} = \frac{3}{\sqrt{23}}$.
इसलिए,विकल्प $C$ सही है।

(A) दिया गया है $\sinh x = \tan A$.
हम जानते हैं कि $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} = \tan A$,इसलिए $e^x - e^{-x} = 2 \tan A$.
माना $e^x = t$. तब $t - \frac{1}{t} = 2 \tan A$,जिसका अर्थ है $t^2 - 2 \tan A \cdot t - 1 = 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करके $t$ के लिए हल करने पर: $t = \frac{2 \tan A \pm \sqrt{4 \tan^2 A + 4}}{2} = \tan A \pm \sec A$.
चूंकि $e^x > 0$,हम $e^x = \tan A + \sec A$ लेते हैं।
तब $e^{-x} = \frac{1}{\sec A + \tan A} = \sec A - \tan A$.
अब,$\tanh x = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} = \frac{(\tan A + \sec A) - (\sec A - \tan A)}{(\tan A + \sec A) + (\sec A - \tan A)} = \frac{2 \tan A}{2 \sec A} = \frac{\tan A}{\sec A} = \sin A$.
अतः,$|\tanh x| = |\sin A|$.

(A) दिया गया व्यंजक: $(1-\cos \theta)(1+\cos \theta)(1+\cot^2 \theta)$
सर्वसमिका $(1-x)(1+x) = 1-x^2$ का उपयोग करने पर:
$(1-\cos^2 \theta)(1+\cot^2 \theta)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $1-\cos^2 \theta = \sin^2 \theta$ और $1+\cot^2 \theta = \operatorname{cosec}^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$= \sin^2 \theta \cdot \operatorname{cosec}^2 \theta$
$= \sin^2 \theta \cdot \frac{1}{\sin^2 \theta} = 1$
अतः,$\theta$ के किसी भी मान के लिए (जहाँ $\sin \theta \neq 0$ हो),व्यंजक का मान $1$ होता है। इसलिए,$\theta = \frac{\pi}{15}$ के लिए उत्तर $1$ है.

(A) माना $S = \sum_{k=1}^{8} \cos^4 \frac{k\pi}{8}$.
गुणधर्म $\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta$ का उपयोग करने पर,$\cos^4(\pi - \theta) = \cos^4 \theta$ प्राप्त होता है।
अतः,$\cos^4 \frac{7\pi}{8} = \cos^4 \frac{\pi}{8}$,$\cos^4 \frac{6\pi}{8} = \cos^4 \frac{2\pi}{8}$,और $\cos^4 \frac{5\pi}{8} = \cos^4 \frac{3\pi}{8}$.
साथ ही,$\cos \frac{4\pi}{8} = 0$ और $\cos \frac{8\pi}{8} = -1$.
अतः,$S = 2(\cos^4 \frac{\pi}{8} + \cos^4 \frac{2\pi}{8} + \cos^4 \frac{3\pi}{8}) + 0^4 + (-1)^4$.
$S = 2(\cos^4 \frac{\pi}{8} + \sin^4 \frac{\pi}{8} + (\frac{1}{\sqrt{2}})^4) + 1$.
सूत्र $\cos^4 \theta + \sin^4 \theta = 1 - \frac{1}{2}\sin^2(2\theta)$ का उपयोग करने पर:
$S = 2(1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4}) + 1 = 2(1) + 1 = 3$.

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$\sin 2\theta + \sin 2\phi = \frac{1}{2}$ $(i)$
$\cos 2\theta + \cos 2\phi = \frac{3}{2}$ $(ii)$
दोनों समीकरणों का वर्ग करने पर:
$(\sin 2\theta + \sin 2\phi)^2 = \frac{1}{4}$
$\sin^2 2\theta + \sin^2 2\phi + 2\sin 2\theta \sin 2\phi = \frac{1}{4}$ $(iii)$
$(\cos 2\theta + \cos 2\phi)^2 = \frac{9}{4}$
$\cos^2 2\theta + \cos^2 2\phi + 2\cos 2\theta \cos 2\phi = \frac{9}{4}$ $(iv)$
$(iii)$ और $(iv)$ को जोड़ने पर:
$(\sin^2 2\theta + \cos^2 2\theta) + (\sin^2 2\phi + \cos^2 2\phi) + 2(\cos 2\theta \cos 2\phi + \sin 2\theta \sin 2\phi) = \frac{1}{4} + \frac{9}{4}$
$1 + 1 + 2\cos(2\theta - 2\phi) = \frac{10}{4}$
$2 + 2\cos 2(\theta - \phi) = \frac{5}{2}$
$2\cos 2(\theta - \phi) = \frac{5}{2} - 2 = \frac{1}{2}$
$\cos 2(\theta - \phi) = \frac{1}{4}$
सर्वसमिका $\cos 2A = 2\cos^2 A - 1$ का उपयोग करने पर:
$2\cos^2(\theta - \phi) - 1 = \frac{1}{4}$
$2\cos^2(\theta - \phi) = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$
$\cos^2(\theta - \phi) = \frac{5}{8}$

(D) दिया गया समीकरण है: $\cos \left(\frac{\pi}{4}-x\right) \cos 2 x+\sin x \sin 2 x \sec x = \cos x \sin 2 x \sec x+\cos \left(\frac{\pi}{4}+x\right) \cos 2 x$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\cos 2 x \left[ \cos \left(\frac{\pi}{4}-x\right) - \cos \left(\frac{\pi}{4}+x\right) \right] = \sin 2 x \sec x (\cos x - \sin x)$
सूत्र $\cos(A-B) - \cos(A+B) = 2 \sin A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$\cos 2 x \left[ 2 \sin \frac{\pi}{4} \sin x \right] = \sin 2 x \sec x (\cos x - \sin x)$
चूंकि $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\sin 2 x = 2 \sin x \cos x$:
$\cos 2 x \left( \frac{2}{\sqrt{2}} \sin x \right) = (2 \sin x \cos x) \sec x (\cos x - \sin x)$
$\sqrt{2} \cos 2 x \sin x = 2 \sin x (\cos x - \sin x)$
$\sin x \neq 0$ मानते हुए,$\sin x$ से विभाजित करने पर:
$\sqrt{2} (\cos^2 x - \sin^2 x) = 2 (\cos x - \sin x)$
$\sqrt{2} (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x) = 2 (\cos x - \sin x)$
यदि $\cos x - \sin x \neq 0$,तो $\sqrt{2} (\cos x + \sin x) = 2$,जिसका अर्थ है $\cos x + \sin x = \sqrt{2}$।
$\sqrt{2}$ से विभाजित करने पर,$\frac{1}{\sqrt{2}} \cos x + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x = 1$,जो $\cos \left(x - \frac{\pi}{4}\right) = 1$ है।
अतः,$x - \frac{\pi}{4} = 0$,इसलिए $x = \frac{\pi}{4}$।
अतः $\sec x = \sec \frac{\pi}{4} = \sqrt{2}$।

(B) दिया गया है,$\alpha = \frac{\sin^3 x}{\cos^2 x}$ और $\beta = \frac{\cos^3 x}{\sin^2 x}$.
$\alpha \sin x + \beta \cos x + 3 = \frac{\sin^4 x}{\cos^2 x} + \frac{\cos^4 x}{\sin^2 x} + 3$.
$= \frac{\sin^6 x + \cos^6 x + 3 \sin^2 x \cos^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x}$.
सर्वसमिका $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = \sin^2 x$ और $b = \cos^2 x$:
$= \frac{(\sin^2 x + \cos^2 x)(\sin^4 x - \sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x) + 3 \sin^2 x \cos^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x}$.
$= \frac{(\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 3 \sin^2 x \cos^2 x + 3 \sin^2 x \cos^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x} = \frac{1}{\sin^2 x \cos^2 x}$.
दिया गया है $\sin x + \cos x = k$,दोनों पक्षों का वर्ग करने पर $1 + 2 \sin x \cos x = k^2$,इसलिए $\sin x \cos x = \frac{k^2 - 1}{2}$.
अतः,$\frac{1}{\sin^2 x \cos^2 x} = \frac{1}{(\frac{k^2 - 1}{2})^2} = \frac{4}{(k^2 - 1)^2}$.

(C) दिए गए समीकरण हैं: $\sin \theta \cosh \alpha = \tan x$ और $\cos \theta \sinh \alpha = \sec x$.
वर्ग करके घटाने पर: $\sec^2 x - \tan^2 x = (\cos \theta \sinh \alpha)^2 - (\sin \theta \cosh \alpha)^2$.
चूंकि $\sec^2 x - \tan^2 x = 1$,इसलिए: $\cos^2 \theta \sinh^2 \alpha - \sin^2 \theta \cosh^2 \alpha = 1$.
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ और $\sinh^2 \alpha = \cosh^2 \alpha - 1$ का उपयोग करने पर:
$\cos^2 \theta (\cosh^2 \alpha - 1) - (1 - \cos^2 \theta) \cosh^2 \alpha = 1$.
$\cos^2 \theta \cosh^2 \alpha - \cos^2 \theta - \cosh^2 \alpha + \cos^2 \theta \cosh^2 \alpha = 1$.
$2 \cos^2 \theta \cosh^2 \alpha - \cos^2 \theta - \cosh^2 \alpha = 1$.
सर्वसमिका $\cosh 2 \alpha = 2 \cosh^2 \alpha - 1$ और $\cos 2 \theta = 2 \cos^2 \theta - 1$ का उपयोग करने पर:
$\cos 2 \theta \cosh 2 \alpha = 3$ प्राप्त होता है।

(A) . $\sin^2 x$ का आवर्तकाल $\pi$ है। अतः,$A-V$.
$B$. $a \cos \theta + b \sin \theta$ का अधिकतम मान $\sqrt{a^2+b^2}$ होता है। यहाँ,$\frac{\pi}{3} \sqrt{(\sqrt{3})^2+(1)^2} = \frac{\pi}{3} \times 2 = \frac{2\pi}{3}$। अतः,$B-I$.
$C$. $\sin \frac{x}{3}$ का आवर्तकाल $\frac{2\pi}{1/3} = 6\pi$ है और $\cos \frac{x}{2}$ का आवर्तकाल $\frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$ है। योग का आवर्तकाल $LCM(6\pi, 4\pi) = 12\pi$ है। अतः,$C-II$.
$D$. $y=|\sin x|$ और $y=1$ के लिए,$|\sin x|=1$,इसलिए $\sin x = \pm 1$। अंतराल $(0, \pi)$ में,$x = \frac{\pi}{2}$ पर $\sin x = 1$ होता है। अतः,$D-III$.
अतः,सही मिलान $A-V, B-I, C-II, D-III$ है।

(B) दिया गया है,$\cos x - \sin x = \sqrt{a} \sin x$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\cos x = \sin x(\sqrt{a} + 1)$.
दोनों पक्षों को $(\sqrt{a} - 1)$ से गुणा करने पर:
$(\sqrt{a} - 1) \cos x = \sin x(\sqrt{a} + 1)(\sqrt{a} - 1)$.
सर्वसमिका $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$ का उपयोग करने पर:
$(\sqrt{a} - 1) \cos x = \sin x(a - 1)$.
$\sqrt{a} \cos x - \cos x = a \sin x - \sin x$.
$a \sin x + \cos x - \sin x$ के लिए हल करने पर:
$a \sin x + \cos x - \sin x = \sqrt{a} \cos x$.

(D) माना $S = \cos \frac{\pi}{7} - \cos \frac{2\pi}{7} + \cos \frac{3\pi}{7} - \cos \frac{4\pi}{7} + \cos \frac{5\pi}{7} - \cos \frac{6\pi}{7}$ है।
गुणधर्म $\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\cos \frac{6\pi}{7} = -\cos \frac{\pi}{7}$,$\cos \frac{5\pi}{7} = -\cos \frac{2\pi}{7}$,और $\cos \frac{4\pi}{7} = -\cos \frac{3\pi}{7}$।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$S = \cos \frac{\pi}{7} - \cos \frac{2\pi}{7} + \cos \frac{3\pi}{7} - (-\cos \frac{3\pi}{7}) + (-\cos \frac{2\pi}{7}) - (-\cos \frac{\pi}{7})$
$S = \cos \frac{\pi}{7} - \cos \frac{2\pi}{7} + \cos \frac{3\pi}{7} + \cos \frac{3\pi}{7} - \cos \frac{2\pi}{7} + \cos \frac{\pi}{7}$
$S = 2 \cos \frac{\pi}{7} - 2 \cos \frac{2\pi}{7} + 2 \cos \frac{3\pi}{7}$।
$2 \sin \frac{\pi}{7}$ से गुणा और भाग करने पर:
$S = \frac{2 \sin \frac{\pi}{7} \cos \frac{\pi}{7} - 2 \sin \frac{\pi}{7} \cos \frac{2\pi}{7} + 2 \sin \frac{\pi}{7} \cos \frac{3\pi}{7}}{\sin \frac{\pi}{7}}$
$2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$S = \frac{\sin \frac{2\pi}{7} - (\sin \frac{3\pi}{7} - \sin \frac{\pi}{7}) + (\sin \frac{4\pi}{7} - \sin \frac{2\pi}{7})}{\sin \frac{\pi}{7}}$
$S = \frac{\sin \frac{2\pi}{7} - \sin \frac{3\pi}{7} + \sin \frac{\pi}{7} + \sin \frac{4\pi}{7} - \sin \frac{2\pi}{7}}{\sin \frac{\pi}{7}}$
चूँकि $\sin \frac{4\pi}{7} = \sin(\pi - \frac{4\pi}{7}) = \sin \frac{3\pi}{7}$,इसलिए पद कट जाएंगे:
$S = \frac{\sin \frac{\pi}{7}}{\sin \frac{\pi}{7}} = 1$।

(B) दिया गया है: $\sin x + \sin y = p$ $(i)$ और $\cos x + \cos y = q$ (ii).
$(i)$ और (ii) का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(\sin x + \sin y)^2 + (\cos x + \cos y)^2 = p^2 + q^2$
$2 + 2 \cos(x - y) = p^2 + q^2$ (iii).
अब,$q^2 - p^2 = (\cos x + \cos y)^2 - (\sin x + \sin y)^2$
$= \cos 2x + \cos 2y + 2 \cos(x + y) = 2 \cos(x + y) [\cos(x - y) + 1]$.
(iii) से,$\cos(x - y) + 1 = \frac{p^2 + q^2}{2}$.
अतः,$q^2 - p^2 = 2 \cos(x + y) \cdot \frac{p^2 + q^2}{2} = \cos(x + y)(p^2 + q^2)$.
इसलिए,$\sec(x + y) = \frac{p^2 + q^2}{q^2 - p^2}$.
अतः,विकल्प $B$ सही है.

(C) दिया गया है: $\cosh \beta = \sec \alpha \cos \theta$ और $\sinh \beta = \operatorname{cosec} \alpha \sin \theta$.
दूसरे समीकरण से,$\sin \theta = \sinh \beta \sin \alpha$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\sin^2 \theta = \sinh^2 \beta \sin^2 \alpha$.
हम जानते हैं कि $\cosh^2 \beta - \sinh^2 \beta = 1$,इसलिए $\cosh^2 \beta = 1 + \sinh^2 \beta$.
$\cosh \beta = \sec \alpha \cos \theta$ को सर्वसमिका में रखने पर:
$\sec^2 \alpha \cos^2 \theta = 1 + \sinh^2 \beta$.
$\sec^2 \alpha (1 - \sin^2 \theta) = 1 + \sinh^2 \beta$.
$\sin^2 \theta = \sinh^2 \beta \sin^2 \alpha$ रखने पर:
$\sec^2 \alpha (1 - \sinh^2 \beta \sin^2 \alpha) = 1 + \sinh^2 \beta$.
$\sec^2 \alpha - \sec^2 \alpha \sin^2 \alpha \sinh^2 \beta = 1 + \sinh^2 \beta$.
चूंकि $\sec^2 \alpha \sin^2 \alpha = \tan^2 \alpha$:
$\sec^2 \alpha - \tan^2 \alpha \sinh^2 \beta = 1 + \sinh^2 \beta$.
$\sec^2 \alpha - 1 = \sinh^2 \beta (1 + \tan^2 \alpha)$.
$\tan^2 \alpha = \sinh^2 \beta \sec^2 \alpha$.
$\sinh^2 \beta = \frac{\tan^2 \alpha}{\sec^2 \alpha} = \sin^2 \alpha$.

(B) सबसे पहले,$m = \sin 10^{\circ} \sin 50^{\circ} \sin 60^{\circ} \sin 70^{\circ}$ की गणना करें।
सर्वसमिका $\sin \theta \sin(60^{\circ}-\theta) \sin(60^{\circ}+\theta) = \frac{1}{4} \sin 3\theta$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है $\sin 10^{\circ} \sin 50^{\circ} \sin 70^{\circ} = \frac{1}{4} \sin(3 \times 10^{\circ}) = \frac{1}{4} \sin 30^{\circ} = \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$।
चूंकि $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए $m = \frac{1}{8} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{16}$।
अगला,$n = \tan 20^{\circ} \tan 40^{\circ} \tan 60^{\circ} \tan 80^{\circ}$ की गणना करें।
सर्वसमिका $\tan \theta \tan(60^{\circ}-\theta) \tan(60^{\circ}+\theta) = \tan 3\theta$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है $\tan 20^{\circ} \tan 40^{\circ} \tan 80^{\circ} = \tan(3 \times 20^{\circ}) = \tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$।
चूंकि $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$,इसलिए $n = \sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3$।
अंत में,$\frac{n}{m} = \frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{16}} = \frac{3 \times 16}{\sqrt{3}} = 16 \sqrt{3}$।

(C) दिया गया है,$\sin \frac{\pi}{2n} + \cos \frac{\pi}{2n} = \frac{\sqrt{n}}{2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\left(\sin \frac{\pi}{2n} + \cos \frac{\pi}{2n}\right)^2 = \frac{n}{4}$
$1 + \sin \frac{\pi}{n} = \frac{n}{4}$
$\sin \frac{\pi}{n} = \frac{n-4}{4}$.
चूंकि $n > 2$,$\frac{\pi}{n} \in (0, \frac{\pi}{2}]$,इसलिए $\sin \frac{\pi}{n} > 0$,जिसका अर्थ है $n-4 > 0$,अर्थात $n > 4$.
साथ ही,$\sin \frac{\pi}{2n} + \cos \frac{\pi}{2n} = \sqrt{2} \sin \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2n}\right) = \frac{\sqrt{n}}{2}$.
$\sin \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2n}\right) = \frac{\sqrt{n}}{2\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{n}{8}}$.
चूंकि $\sin \theta \le 1$,हमारे पास $\sqrt{\frac{n}{8}} \le 1 \Rightarrow n \le 8$ है।
$n=8$ के लिए,$\sin \frac{\pi}{16} = \frac{8-4}{4} = 1$,जो असंभव है क्योंकि $\frac{\pi}{16} \neq \frac{\pi}{2}$.
अतः,$4 < n < 8$,इसलिए $n \in \{5, 6, 7\}$.
पूर्णांक मानों की संख्या $3$ है।

(C) दी गई असमिका $|\sqrt{3} \cos x - \sin x| \geq 2$ है।
हम जानते हैं कि $a \cos x + b \sin x$ का अधिकतम मान $\sqrt{a^2 + b^2}$ होता है।
यहाँ,$a = \sqrt{3}$ और $b = -1$ है,इसलिए $\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = 2$ है।
अतः,$|\sqrt{3} \cos x - \sin x|$ का मान $2$ या उससे अधिक तभी हो सकता है जब यह ठीक $2$ के बराबर हो।
इसका अर्थ है $2 \cos(x + \frac{\pi}{6}) = 2$ या $2 \cos(x + \frac{\pi}{6}) = -2$।
$\cos(x + \frac{\pi}{6}) = 1 \implies x + \frac{\pi}{6} = 0, 2\pi \implies x = \frac{11\pi}{6}$ ($[0, 2\pi]$ के भीतर)।
$\cos(x + \frac{\pi}{6}) = -1 \implies x + \frac{\pi}{6} = \pi \implies x = \frac{5\pi}{6}$।
अतः,$A = \{\frac{5\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}\}$ है।
$x_1 = \frac{5\pi}{6}$ और $x_2 = \frac{11\pi}{6}$ लेने पर,हमें $\frac{x_1}{x_2} = \frac{5\pi/6}{11\pi/6} = \frac{5}{11}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है,$\cos x+\cos y=-\cos \alpha$ $(i)$
सूत्र $\cos C + \cos D = 2 \cos \left(\frac{C+D}{2}\right) \cos \left(\frac{C-D}{2}\right)$ का उपयोग करने पर:
$2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = -\cos \alpha$
साथ ही,$\sin x+\sin y=-\sin \alpha$ (ii)
सूत्र $\sin C + \sin D = 2 \sin \left(\frac{C+D}{2}\right) \cos \left(\frac{C-D}{2}\right)$ का उपयोग करने पर:
$2 \sin \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = -\sin \alpha$
समीकरण $(i)$ को समीकरण (ii) से विभाजित करने पर:
$\frac{2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right)}{2 \sin \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right)} = \frac{-\cos \alpha}{-\sin \alpha}$
$\cot \left(\frac{x+y}{2}\right) = \cot \alpha$

(C) दी गई व्यंजक: $\frac{\cos 13^{\circ}-\sin 13^{\circ}}{\cos 13^{\circ}+\sin 13^{\circ}}+\frac{1}{\cot 148^{\circ}}$
प्रथम पद के अंश और हर को $\cos 13^{\circ}$ से विभाजित करने पर:
$= \frac{1-\tan 13^{\circ}}{1+\tan 13^{\circ}} + \tan 148^{\circ}$
सूत्र $\tan(A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1+\tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $A=45^{\circ}$ और $B=13^{\circ}$:
$= \tan(45^{\circ}-13^{\circ}) + \tan(180^{\circ}-32^{\circ})$
$= \tan 32^{\circ} - \tan 32^{\circ} = 0$

(B) दिया गया है: $a \sin^2 \theta + b \cos^2 \theta = c$
दोनों पक्षों को $\cos^2 \theta$ से विभाजित करने पर:
$a \tan^2 \theta + b = c \sec^2 \theta$
सर्वसमिका $\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$a \tan^2 \theta + b = c(1 + \tan^2 \theta)$
$a \tan^2 \theta + b = c + c \tan^2 \theta$
$\tan^2 \theta$ को अलग करने पर:
$a \tan^2 \theta - c \tan^2 \theta = c - b$
$(a - c) \tan^2 \theta = c - b$
$\tan^2 \theta = \frac{c - b}{a - c}$

(D) हमारे पास है,$\cos 12^{\circ} + \cos 84^{\circ} + \cos 132^{\circ} + \cos 156^{\circ}$.
योग-से-गुणनफल सूत्र $\cos C + \cos D = 2 \cos \frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2}$ का उपयोग करते हुए:
$= (\cos 132^{\circ} + \cos 12^{\circ}) + (\cos 156^{\circ} + \cos 84^{\circ})$
$= 2 \cos 72^{\circ} \cos 60^{\circ} + 2 \cos 120^{\circ} \cos 36^{\circ}$
$= 2 \left( \frac{\sqrt{5}-1}{4} \right) \left( \frac{1}{2} \right) + 2 \left( -\frac{1}{2} \right) \left( \frac{\sqrt{5}+1}{4} \right)$
$= \frac{\sqrt{5}-1}{4} - \frac{\sqrt{5}+1}{4}$
$= \frac{\sqrt{5}-1-\sqrt{5}-1}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$.

(A) हम जानते हैं कि $\tan 63^{\circ} = \cot 27^{\circ}$ और $\tan 81^{\circ} = \cot 9^{\circ}$ होता है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\tan 9^{\circ} - \tan 27^{\circ} - \cot 27^{\circ} + \cot 9^{\circ} = (\tan 9^{\circ} + \cot 9^{\circ}) - (\tan 27^{\circ} + \cot 27^{\circ})$
सर्वसमिका $\tan \theta + \cot \theta = \frac{2}{\sin 2\theta}$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{2}{\sin 18^{\circ}} - \frac{2}{\sin 54^{\circ}}$
चूंकि $\sin 18^{\circ} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$ और $\sin 54^{\circ} = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$ है:
$= \frac{2}{(\sqrt{5}-1)/4} - \frac{2}{(\sqrt{5}+1)/4} = \frac{8}{\sqrt{5}-1} - \frac{8}{\sqrt{5}+1}$
$= 8 \left( \frac{\sqrt{5}+1 - (\sqrt{5}-1)}{5-1} \right) = 8 \left( \frac{2}{4} \right) = 4$.

(C) हमारे पास $\sum_{k=1}^3 \cos ^2\left((2 k-1) \frac{\pi}{12}\right) = \cos ^2 \frac{\pi}{12} + \cos ^2 \frac{3 \pi}{12} + \cos ^2 \frac{5 \pi}{12}$ है।
चूँकि $\frac{3 \pi}{12} = \frac{\pi}{4}$,इसलिए $\cos ^2 \frac{\pi}{4} = (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{1}{2}$ होगा।
अतः,व्यंजक $\cos ^2 \frac{\pi}{12} + \frac{1}{2} + \cos ^2 \frac{5 \pi}{12}$ बन जाता है।
सर्वसमिका $\cos(\frac{\pi}{2} - \theta) = \sin \theta$ का उपयोग करने पर,$\cos \frac{5 \pi}{12} = \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{12}) = \sin \frac{\pi}{12}$ प्राप्त होता है।
यह मान रखने पर,हमें $\frac{1}{2} + \cos ^2 \frac{\pi}{12} + \sin ^2 \frac{\pi}{12}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\cos ^2 \theta + \sin ^2 \theta = 1$,इसलिए व्यंजक का सरल रूप $\frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$ है।

(A) दिया गया है $\operatorname{cosec} \theta = \frac{p+q}{p-q}$.
हम जानते हैं कि $\sin \theta = \frac{p-q}{p+q}$.
सूत्र $\sin \theta = \frac{2 \tan(\theta/2)}{1 + \tan^2(\theta/2)}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{2 \tan(\theta/2)}{1 + \tan^2(\theta/2)} = \frac{p-q}{p+q}$
योगान्तरानुपात (componendo and dividendo) नियम लगाने पर:
$\frac{1 + \tan^2(\theta/2) + 2 \tan(\theta/2)}{1 + \tan^2(\theta/2) - 2 \tan(\theta/2)} = \frac{(p+q) + (p-q)}{(p+q) - (p-q)}$
$\frac{(1 + \tan(\theta/2))^2}{(1 - \tan(\theta/2))^2} = \frac{2p}{2q} = \frac{p}{q}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{1 + \tan(\theta/2)}{1 - \tan(\theta/2)} = \sqrt{\frac{p}{q}}$
चूंकि $\tan(\pi/4) = 1$,व्यंजक इस प्रकार होगा:
$\tan\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2}\right) = \sqrt{\frac{p}{q}}$
अतः,$\cot\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2}\right) = \frac{1}{\tan(\pi/4 + \theta/2)} = \sqrt{\frac{q}{p}}$.

(A) दी गई असमिका: $|\sin x-\cos ^2 x| \geq|3-3 \sin x+\sin ^2 x|+4|\sin x-1|$
$\cos ^2 x = 1-\sin ^2 x$ प्रतिस्थापित करने पर:
$|\sin ^2 x+\sin x-1| \geq|\sin ^2 x-3 \sin x+3|+|4 \sin x-4|$
माना $a = \sin ^2 x-3 \sin x+3$ और $b = 4 \sin x-4$ है। असमिका $|a+b| \geq |a|+|b|$ के रूप में है।
यह तभी संभव है जब $ab \geq 0$ हो।
यहाँ $a > 0$ है,इसलिए $b \geq 0$ होना चाहिए,अर्थात $\sin x \geq 1$।
चूँकि $\sin x$ का अधिकतम मान $1$ होता है,इसलिए $\sin x = 1$।
अतः,$x = (4n+1)\frac{\pi}{2}, n \in Z$।

(C) दिया गया है $\sinh x = -\frac{1}{2}$.
हम जानते हैं कि $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$.
मान रखने पर: $\cosh^2 x = 1 + (-\frac{1}{2})^2 = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$.
चूंकि $\cosh x > 0$,इसलिए $\cosh x = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
अब,$\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{-1/2}{\sqrt{5}/2} = -\frac{1}{\sqrt{5}}$.
डबल एंगल सूत्र $\tanh 2x = \frac{2 \tanh x}{1 + \tanh^2 x}$ का उपयोग करने पर:
$\tanh 2x = \frac{2(-1/\sqrt{5})}{1 + (-1/\sqrt{5})^2} = \frac{-2/\sqrt{5}}{1 + 1/5} = \frac{-2/\sqrt{5}}{6/5} = -\frac{2}{\sqrt{5}} \times \frac{5}{6} = -\frac{\sqrt{5}}{3}$.

(B) मान लीजिए $a$ भुजा की लंबाई है और $b$ एक वृत्त में अंकित एक नियमित पंचभुज के विकर्ण की लंबाई है।
एक नियमित पंचभुज में,आंतरिक कोण $\frac{3\pi}{5}$ होता है।
दो भुजाओं और एक विकर्ण द्वारा निर्मित त्रिभुज पर विचार करें। एक नियमित पंचभुज के गुणों के अनुसार,विकर्ण $b$ केंद्र पर $\frac{2\pi}{5}$ का कोण बनाता है,और एक भुजा और विकर्ण के बीच का कोण $\frac{\pi}{5}$ होता है।
शीर्ष $C$ से विकर्ण $AB$ पर बिंदु $D$ तक एक लंब खींचने पर,हमें एक समकोण त्रिभुज $\triangle ACD$ प्राप्त होता है।
$\triangle ACD$ में,कोण $\angle CAD = \frac{\pi}{5}$ और कर्ण $AC = a$ है।
अतः,$\cos \frac{\pi}{5} = \frac{AD}{AC} = \frac{AD}{a}$,जिसका अर्थ है $AD = a \cos \frac{\pi}{5}$।
एक नियमित पंचभुज में विकर्ण $b$ विपरीत शीर्ष से खींचे गए लंब द्वारा समद्विभाजित होता है,इसलिए $b = 2AD$।
अतः,$b = 2a \cos \frac{\pi}{5}$,जिससे $\frac{b}{a} = 2 \cos \frac{\pi}{5}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि $\operatorname{Sinh}^{-1} x = \log(1+\sqrt{2})$.
परिभाषा $\operatorname{Sinh}^{-1} x = \log(x + \sqrt{x^2+1})$ का उपयोग करते हुए,हमें $x + \sqrt{x^2+1} = 1+\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
पदों की तुलना करने पर,हमें $x = 1$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\operatorname{Cosh}^{-1} y = \log(1+\sqrt{2})$.
परिभाषा $\operatorname{Cosh}^{-1} y = \log(y + \sqrt{y^2-1})$ का उपयोग करते हुए,हमें $y + \sqrt{y^2-1} = 1+\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
इससे $y = \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
अब,हमें $\operatorname{Tan}^{-1}(x+y) = \operatorname{Tan}^{-1}(1+\sqrt{2})$ ज्ञात करना है।
हम जानते हैं कि $\tan(67.5^{\circ}) = \tan(\frac{135^{\circ}}{2}) = \frac{1-\cos(135^{\circ})}{\sin(135^{\circ})} = \frac{1 - (-1/\sqrt{2})}{1/\sqrt{2}} = \sqrt{2}+1$.
अतः,$\operatorname{Tan}^{-1}(1+\sqrt{2}) = 67.5^{\circ} = 67 \frac{1}{2}^{\circ}$।

(D) माना $y = \operatorname{sech}^{-1}(\sin \theta)$.
अतः,$\operatorname{sech} y = \sin \theta$.
चूंकि $\operatorname{sech} y = \frac{1}{\cosh y}$,इसलिए $\cosh y = \frac{1}{\sin \theta} = \operatorname{cosec} \theta$.
अतः,$y = \cosh^{-1}(\operatorname{cosec} \theta)$.
प्रतिलोम हाइपरबोलिक कोसाइन फलन के लघुगणकीय रूप का उपयोग करते हुए,$\cosh^{-1}(x) = \log(x + \sqrt{x^2 - 1})$,हमें प्राप्त होता है:
$y = \log(\operatorname{cosec} \theta + \sqrt{\operatorname{cosec}^2 \theta - 1})$.
चूंकि $\operatorname{cosec}^2 \theta - 1 = \cot^2 \theta$,इसलिए:
$y = \log(\operatorname{cosec} \theta + \cot \theta)$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\operatorname{cosec} \theta = \frac{1}{\sin \theta} = \frac{1}{2 \sin(\theta/2) \cos(\theta/2)}$ और $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{\cos^2(\theta/2) - \sin^2(\theta/2)}{2 \sin(\theta/2) \cos(\theta/2)}$ का उपयोग करने पर:
$y = \log\left(\frac{1 + \cos^2(\theta/2) - \sin^2(\theta/2)}{2 \sin(\theta/2) \cos(\theta/2)}\right) = \log\left(\frac{2 \cos^2(\theta/2)}{2 \sin(\theta/2) \cos(\theta/2)}\right) = \log(\cot(\theta/2))$.
अतः,$\operatorname{sech}^{-1}(\sin \theta) = \log \cot \frac{\theta}{2}$.

(B) हमारे पास है,$\sinh ^{-1}(\sqrt{8})+\sinh ^{-1}(\sqrt{24})=\alpha$.
माना $\sinh ^{-1}(\sqrt{8})=x$,तो $\sinh x = \sqrt{8}$.
चूंकि $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$,इसलिए $\cosh x = \sqrt{1 + \sinh^2 x} = \sqrt{1 + 8} = \sqrt{9} = 3$.
माना $\sinh ^{-1}(\sqrt{24})=y$,तो $\sinh y = \sqrt{24}$.
इसी प्रकार,$\cosh y = \sqrt{1 + \sinh^2 y} = \sqrt{1 + 24} = \sqrt{25} = 5$.
सर्वसमिका $\sinh(x+y) = \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y$ का उपयोग करने पर:
$\sinh(x+y) = (\sqrt{8})(5) + (3)(\sqrt{24}) = 5(2\sqrt{2}) + 3(2\sqrt{6}) = 10\sqrt{2} + 6\sqrt{6}$.
चूंकि $\alpha = x+y$,इसलिए $\sinh \alpha = 6\sqrt{6} + 10\sqrt{2}$.

(A) हम जानते हैं कि प्रतिलोम अतिपरवलयिक ज्या (inverse hyperbolic sine) फलन का सूत्र $\sinh ^{-1}(y) = \log \left(y + \sqrt{1 + y^2}\right)$ है।
इस सूत्र में $y = \cot x$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\sinh ^{-1}(\cot x) = \log \left(\cot x + \sqrt{1 + \cot ^2 x}\right)$
चूंकि $1 + \cot ^2 x = \operatorname{cosec}^2 x$,इसलिए:
$\sinh ^{-1}(\cot x) = \log \left(\cot x + \sqrt{\operatorname{cosec}^2 x}\right) = \log (\cot x + \operatorname{cosec} x)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$ और $\operatorname{cosec} x = \frac{1}{\sin x}$ का उपयोग करने पर:
$\log \left(\frac{\cos x + 1}{\sin x}\right)$
अर्ध-कोण सूत्रों $1 + \cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$ और $\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\log \left(\frac{2 \cos^2 \frac{x}{2}}{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}\right) = \log \left(\frac{\cos \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}\right) = \log \left(\cot \frac{x}{2}\right)$.

(B) दिया गया है कि,$x = \log \left[ \cot \left( \frac{\pi}{4} + \theta \right) \right]$.
इसका अर्थ है $e^x = \cot \left( \frac{\pi}{4} + \theta \right)$ और $e^{-x} = \tan \left( \frac{\pi}{4} + \theta \right)$.
हम जानते हैं कि $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$.
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\sinh x = \frac{\cot \left( \frac{\pi}{4} + \theta \right) - \tan \left( \frac{\pi}{4} + \theta \right)}{2}$
सर्वसमिका $\cot A - \tan A = 2 \cot 2A$ का उपयोग करते हुए:
$\sinh x = \frac{1}{2} \left[ 2 \cot \left( 2 \left( \frac{\pi}{4} + \theta \right) \right) \right]$
$\sinh x = \cot \left( \frac{\pi}{2} + 2\theta \right)$
चूंकि $\cot \left( \frac{\pi}{2} + \alpha \right) = -\tan \alpha$,हमें प्राप्त होता है:
$\sinh x = -\tan 2\theta$.

(A) दिया गया है,$e^{\sin x}-e^{-\sin x}-4=0$।
मान लीजिए $e^{\sin x}=t$। चूँकि $e^{\sin x} > 0$,इसलिए $t > 0$ होगा।
समीकरण $t - \frac{1}{t} - 4 = 0$ हो जाता है,जो $t^2 - 4t - 1 = 0$ में सरल हो जाता है।
द्विघात सूत्र का उपयोग करके $t$ का मान: $t = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$।
चूँकि $t > 0$,इसलिए $t = 2 + \sqrt{5}$ होगा (क्योंकि $2 - \sqrt{5} < 0$)।
अतः,$e^{\sin x} = 2 + \sqrt{5}$।
हम जानते हैं कि $-1 \leq \sin x \leq 1$,जिसका अर्थ है $e^{-1} \leq e^{\sin x} \leq e^1$।
संख्यात्मक रूप से,$e \approx 2.718$ और $2 + \sqrt{5} \approx 4.236$।
चूँकि $4.236 > 2.718$,इसलिए समीकरण $e^{\sin x} = 2 + \sqrt{5}$ का $x$ के लिए कोई हल नहीं है।
अतः,$x$ के वास्तविक मानों की संख्या $0$ है।

(A) दिया गया है,$0 \leq P, Q \leq \frac{\pi}{2}$ और $\sin P + \cos Q = 2.$
चूंकि $\sin P$ का अधिकतम मान $1$ है और $\cos Q$ का अधिकतम मान $1$ है,इसलिए समीकरण $\sin P + \cos Q = 2$ केवल तभी सत्य है जब $\sin P = 1$ और $\cos Q = 1$ हो।
$0 \leq P \leq \frac{\pi}{2}$ के लिए,$\sin P = 1$ का अर्थ है $P = \frac{\pi}{2}.$
$0 \leq Q \leq \frac{\pi}{2}$ के लिए,$\cos Q = 1$ का अर्थ है $Q = 0.$
अतः,$\tan \left(\frac{P + Q}{2}\right) = \tan \left(\frac{\frac{\pi}{2} + 0}{2}\right) = \tan \left(\frac{\pi}{4}\right) = 1.$

(D) दिया गया है,$\sin ^{2} \theta+3 \cos \theta=2$
$\Rightarrow 1-\cos ^{2} \theta+3 \cos \theta=2$
$\Rightarrow \cos ^{2} \theta-3 \cos \theta+1=0$
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$\cos \theta = \frac{3 \pm \sqrt{9-4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$
चूँकि $-1 \leq \cos \theta \leq 1$ और $\frac{3+\sqrt{5}}{2} > 1$,इसलिए $\cos \theta = \frac{3-\sqrt{5}}{2}$ होगा।
तब $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} = \frac{2}{3-\sqrt{5}} = \frac{2(3+\sqrt{5})}{9-5} = \frac{3+\sqrt{5}}{2}$।
अब,$\cos \theta + \sec \theta = \frac{3-\sqrt{5}}{2} + \frac{3+\sqrt{5}}{2} = \frac{6}{2} = 3$।
साथ ही,$\cos \theta \cdot \sec \theta = 1$।
हम जानते हैं कि $\cos ^{3} \theta+\sec ^{3} \theta = (\cos \theta+\sec \theta)^{3} - 3 \cos \theta \sec \theta (\cos \theta+\sec \theta)$।
मान रखने पर: $(3)^{3} - 3(1)(3) = 27 - 9 = 18$।

(C) दिया गया है $\sin \theta = \frac{2t}{1+t^2}$.
हम जानते हैं कि $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - \left(\frac{2t}{1+t^2}\right)^2$.
$\cos^2 \theta = 1 - \frac{4t^2}{(1+t^2)^2} = \frac{(1+t^2)^2 - 4t^2}{(1+t^2)^2} = \frac{1 + 2t^2 + t^4 - 4t^2}{(1+t^2)^2} = \frac{1 - 2t^2 + t^4}{(1+t^2)^2} = \frac{(1-t^2)^2}{(1+t^2)^2}$.
वर्गमूल लेने पर,$|\cos \theta| = \frac{|1-t^2|}{1+t^2}$.
चूंकि $\theta$ द्वितीय चतुर्थांश में स्थित है,इसलिए $\cos \theta$ ऋणात्मक होना चाहिए।
अतः,$\cos \theta = -\frac{|1-t^2|}{1+t^2}$.