$\frac{1}{\sin 1^{\circ} \sin 2^{\circ}}+\frac{1}{\sin 2^{\circ} \sin 3^{\circ}}+\frac{1}{\sin 3^{\circ} \sin 4^{\circ}}+\ldots+\frac{1}{\sin 89^{\circ} \sin 90^{\circ}} = ?$

જો $\sinh x = \tan A$ હોય,તો $|\tanh x| =$

જો સમીકરણ $\tan^4x - 2\sec^2x + [a]^2 = 0$ ને ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ હોય,તો $a$ (જ્યાં $a \in R$) નો સંપૂર્ણ વિસ્તાર શું છે?
(નોંધ: $[k]$ એ $k$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક દર્શાવે છે)

$\sin ^6(\theta) + \cos ^6(\theta) + 3 \sin ^2(\theta) \cos ^2(\theta)$ નું મૂલ્ય શું છે?

કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે,$S_n: (0, \infty) \rightarrow R$ ને $S_n(x) = \sum_{k=1}^n \cot^{-1}\left(\frac{1+k(k+1)x^2}{x}\right)$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરો,જ્યાં કોઈપણ $x \in R$ માટે,$\cot^{-1} x \in (0, \pi)$ અને $\tan^{-1} x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ છે. તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન $TRUE$ છે?
$(A)$ $S_{10}(x) = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1}\left(\frac{1+11x^2}{10x}\right)$,બધા $x > 0$ માટે
$(B)$ $\lim_{n \rightarrow \infty} \cot(S_n(x)) = x$,બધા $x > 0$ માટે
$(C)$ સમીકરણ $S_3(x) = \frac{\pi}{4}$ ને $(0, \infty)$ માં એક ઉકેલ છે
$(D)$ $\tan(S_n(x)) \leq \frac{1}{2}$,બધા $n \geq 1$ અને $x > 0$ માટે

જો $\theta = \frac{\pi}{6}$ અને $x = \log \left[ \cot \left( \frac{\pi}{4} + \theta \right) \right]$ હોય,તો $\sinh(x) =$