સાબિત કરો કે કોઈપણ ગણ $A$ અને $B$ માટે,$A = (A \cap B) \cup (A - B)$ અને $A \cup (B - A) = (A \cup B).$

(N/A) સાબિત કરવા માટે: $A = (A \cap B) \cup (A - B)$
ધારો કે $x \in A.$
આપણે જાણીએ છીએ કે $x$ કાં તો $B$ માં હશે અથવા $B$ માં નહીં હોય.
કિસ્સો $I$: જો $x \in B$ હોય,તો $x \in A \cap B$,તેથી $x \in (A \cap B) \cup (A - B).$
કિસ્સો $II$: જો $x \notin B$ હોય,તો $x \in A - B$,તેથી $x \in (A \cap B) \cup (A - B).$
આમ,$A \subseteq (A \cap B) \cup (A - B).$ ..........$(1)$
કારણ કે $(A \cap B) \subseteq A$ અને $(A - B) \subseteq A$,તેથી તેમનો યોગગણ પણ $A$ નો ઉપગણ જ હોય.
આમ,$(A \cap B) \cup (A - B) \subseteq A.$ ..........$(2)$
$(1)$ અને $(2)$ પરથી,$A = (A \cap B) \cup (A - B).$
સાબિત કરવા માટે: $A \cup (B - A) = A \cup B$
ધારો કે $x \in A \cup (B - A).$
આનો અર્થ એ છે કે $x \in A$ અથવા $(x \in B$ અને $x \notin A).$
વિભાજનના નિયમ મુજબ,આ $(x \in A$ અથવા $x \in B)$ અને $(x \in A$ અથવા $x \notin A)$ છે.
કારણ કે $(x \in A$ અથવા $x \notin A)$ હંમેશા સત્ય છે,તેથી આપણને $x \in A \cup B$ મળે છે.
આમ,$A \cup (B - A) \subseteq A \cup B.$ ..........$(3)$
તેનાથી ઉલટું,ધારો કે $y \in A \cup B.$
આનો અર્થ એ છે કે $y \in A$ અથવા $y \in B.$
જો $y \in A$ હોય,તો $y \in A \cup (B - A).$
જો $y \notin A$ અને $y \in B$ હોય,તો $y \in B - A$,તેથી $y \in A \cup (B - A).$
આમ,$A \cup B \subseteq A \cup (B - A).$ ..........$(4)$
$(3)$ અને $(4)$ પરથી,$A \cup (B - A) = A \cup B.$