Harmonic progression Questions in Hindi

(B) माना हरात्मक श्रेणी $\frac{1}{a}, \frac{1}{a+d}, \frac{1}{a+2d}, \dots$ है।
अतः,$u = \frac{1}{a+(p-1)d}$,$v = \frac{1}{a+(q-1)d}$,और $w = \frac{1}{a+(r-1)d}$ है।
इसका अर्थ है कि $\frac{1}{u} = a+(p-1)d$,$\frac{1}{v} = a+(q-1)d$,और $\frac{1}{w} = a+(r-1)d$ है।
इन समीकरणों को घटाने पर:
$\frac{1}{u} - \frac{1}{v} = (p-q)d \implies \frac{v-u}{uv} = (p-q)d$
$\frac{1}{v} - \frac{1}{w} = (q-r)d \implies \frac{w-v}{vw} = (q-r)d$
$\frac{1}{w} - \frac{1}{u} = (r-p)d \implies \frac{u-w}{wu} = (r-p)d$
पदों का गुणा करने पर,हम पाते हैं कि $(q-r)vw + (r-p)wu + (p-q)uv = 0$।

(C) दो संख्याओं $x$ और $y$ का हरात्मक माध्य $H = \frac{2xy}{x + y}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $x = \frac{a}{1 - ab}$ और $y = \frac{a}{1 + ab}$ है।
सबसे पहले,गुणनफल $xy = \left(\frac{a}{1 - ab}\right) \left(\frac{a}{1 + ab}\right) = \frac{a^2}{1 - a^2b^2}$ ज्ञात करें।
इसके बाद,योग $x + y = \frac{a}{1 - ab} + \frac{a}{1 + ab} = \frac{a(1 + ab) + a(1 - ab)}{(1 - ab)(1 + ab)} = \frac{a + a^2b + a - a^2b}{1 - a^2b^2} = \frac{2a}{1 - a^2b^2}$ ज्ञात करें।
अब,$H = \frac{2 \left(\frac{a^2}{1 - a^2b^2}\right)}{\frac{2a}{1 - a^2b^2}} = \frac{2a^2}{2a} = a$।

(A) हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में,पद समांतर श्रेणी $(A.P.)$ के व्युत्क्रम होते हैं।
माना $A.P.$ का प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $d$ है।
$H.P.$ का $5^{th}$ पद $1/45$ है,अतः $A.P.$ का $5^{th}$ पद $a + 4d = 45 \dots (i)$ है।
$H.P.$ का $11^{th}$ पद $1/69$ है,अतः $A.P.$ का $11^{th}$ पद $a + 10d = 69 \dots (ii)$ है।
$(ii)$ में से $(i)$ को घटाने पर:
$(a + 10d) - (a + 4d) = 69 - 45$
$6d = 24 \implies d = 4$.
$d = 4$ को $(i)$ में रखने पर:
$a + 4(4) = 45 \implies a + 16 = 45 \implies a = 29$.
$A.P.$ का $16^{th}$ पद $a + 15d = 29 + 15(4) = 29 + 60 = 89$ है।
अतः,$H.P.$ का $16^{th}$ पद $1/89$ है।

(A) दिया गया है कि $x = \frac{1}{1-a}$,$y = \frac{1}{1-b}$,और $z = \frac{1}{1-c}$।
चूँकि $a, b, c$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $2b = a + c$ है।
हमें यह जांचना है कि $x, y, z$ हरात्मक श्रेणी में हैं या नहीं,जिसके लिए $\frac{1}{x}, \frac{1}{y}, \frac{1}{z}$ का समांतर श्रेणी में होना आवश्यक है।
यहाँ $\frac{1}{x} = 1-a$,$\frac{1}{y} = 1-b$,और $\frac{1}{z} = 1-c$ है।
माना $A = 1-a$,$B = 1-b$,और $C = 1-c$ है।
तब $2B = 2(1-b) = 2 - 2b = 2 - (a+c) = (1-a) + (1-c) = A + C$ है।
चूँकि $A, B, C$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए उनके व्युत्क्रम $\frac{1}{A}, \frac{1}{B}, \frac{1}{C}$ अर्थात $x, y, z$ हरात्मक श्रेणी में हैं।

(B) दिया गया है कि $(y - x), 2(y - a), (y - z)$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं।
इसका अर्थ है कि उनके व्युत्क्रम $\frac{1}{y - x}, \frac{1}{2(y - a)}, \frac{1}{y - z}$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं।
अतः,सार्व अंतर समान होगा:
$\frac{1}{2(y - a)} - \frac{1}{y - x} = \frac{1}{y - z} - \frac{1}{2(y - a)}$
$\frac{2}{2(y - a)} = \frac{1}{y - x} + \frac{1}{y - z}$
$\frac{1}{y - a} = \frac{(y - z) + (y - x)}{(y - x)(y - z)}$
$(y - x)(y - z) = (y - a)(2y - x - z)$
$y^2 - yz - xy + xz = 2y^2 - xy - yz - 2ay + ax + az$
$y^2 - xz = 2ay - ax - az$
$y^2 - 2ay + a^2 = xz - ax - az + a^2$
$(y - a)^2 = (x - a)(z - a)$
यह शर्त दर्शाती है कि $(x - a), (y - a), (z - a)$ गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ में हैं।

(A) दी गई श्रेणी $\frac{1}{7}, \frac{1}{14}, \frac{1}{21}, \frac{1}{28}, \dots$ है।
यह एक हरात्मक श्रेणी (Harmonic Progression) है क्योंकि इसके पदों के व्युत्क्रम एक समांतर श्रेणी बनाते हैं: $7, 14, 21, 28, \dots$
समांतर श्रेणी के लिए,प्रथम पद $a = 7$ और सार्व अंतर $d = 14 - 7 = 7$ है।
समांतर श्रेणी का $n^{th}$ पद $a_n = a + (n - 1)d$ द्वारा दिया जाता है।
$n = 9$ के लिए,$a_9 = 7 + (9 - 1) \times 7 = 7 + 8 \times 7 = 7 + 56 = 63$।
अतः,हरात्मक श्रेणी का $9^{th}$ पद $a_9$ का व्युत्क्रम होगा,जो $\frac{1}{63}$ है।

(B) दिया गया है कि $a, b, c$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं,इसलिए $b^2 = ac$ $(1)$.
माना $a^x = b^y = c^z = k$.
तब $a = k^{1/x}, b = k^{1/y}, c = k^{1/z}$.
इन मानों को समीकरण $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(k^{1/y})^2 = k^{1/x} \cdot k^{1/z}$
$k^{2/y} = k^{1/x + 1/z}$
घातांकों की तुलना करने पर: $\frac{2}{y} = \frac{1}{x} + \frac{1}{z}$.
यह दर्शाता है कि $\frac{1}{x}, \frac{1}{y}, \frac{1}{z}$ समांतर श्रेणी में हैं।
अतः,$x, y, z$ हरात्मक श्रेणी में हैं।

(C) यदि $a, b, c$ हरात्मक श्रेणी $(HP)$ में हैं,तो उनके व्युत्क्रम $1/a, 1/b, 1/c$ समांतर श्रेणी $(AP)$ में होंगे।
चूंकि वे $AP$ में हैं,सार्व अंतर समान होगा:
$1/b - 1/a = 1/c - 1/b$
$(a-b)/(ab) = (b-c)/(bc)$
दोनों पक्षों को $(b-c)$ से विभाजित करने और $ab$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(a-b)/(b-c) = (ab)/(bc) = a/c$

(A) दो संख्याओं $x$ और $y$ का हरात्मक माध्य $(HM)$ ज्ञात करने का सूत्र $HM = \frac{2xy}{x+y}$ है।
यहाँ,$x = \frac{a}{b}$ और $y = \frac{b}{a}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$HM = \frac{2(\frac{a}{b})(\frac{b}{a})}{\frac{a}{b} + \frac{b}{a}}$
$HM = \frac{2(1)}{\frac{a^2+b^2}{ab}}$
$HM = \frac{2ab}{a^2+b^2}$.

(D) दिया गया है कि $\frac{1}{b + c}, \frac{1}{c + a}, \frac{1}{a + b}$ $AP$ में हैं।
इसका अर्थ है कि $b + c, c + a, a + b$ हरात्मक श्रेणी $(HP)$ में हैं।
प्रत्येक पद से $a + b + c$ घटाने पर,हमें $(b + c) - (a + b + c), (c + a) - (a + b + c), (a + b) - (a + b + c)$ $HP$ में प्राप्त होते हैं।
इसे सरल करने पर $-a, -b, -c$ $HP$ में हैं।
$-1$ से गुणा करने पर,$a, b, c$ $HP$ में हैं।
यदि $a, b, c$ $HP$ में हैं,तो $a^2, b^2, c^2$ किसी मानक श्रेणी में नहीं होते हैं।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) माना दी गई संख्याएँ $a = log_{3}{2}$,$b = log_{6}{2}$,और $c = log_{12}{2}$ हैं।
हम जानते हैं कि $log_{x}{y} = \frac{1}{log_{y}{x}}$.
इसलिए,$\frac{1}{a} = log_{2}{3}$,$\frac{1}{b} = log_{2}{6}$,और $\frac{1}{c} = log_{2}{12}$.
अब,व्युत्क्रमों का अंतर ज्ञात करें:
$\frac{1}{b} - \frac{1}{a} = log_{2}{6} - log_{2}{3} = log_{2}(\frac{6}{3}) = log_{2}{2} = 1$.
$\frac{1}{c} - \frac{1}{b} = log_{2}{12} - log_{2}{6} = log_{2}(\frac{12}{6}) = log_{2}{2} = 1$.
चूँकि क्रमागत व्युत्क्रमों का अंतर समान है,इसलिए व्युत्क्रम समांतर श्रेणी में हैं।
अतः,मूल संख्याएँ हरात्मक श्रेणी में हैं।

(D) दिया गया है $X = \sum_{n=0}^\infty a^n = \frac{1}{1-a}$ जहाँ $|a| < 1$ है।
इसी प्रकार,$Y = \frac{1}{1-b}$ और $Z = \frac{1}{1-c}$ है।
इससे हमें $a = 1 - \frac{1}{X}$,$b = 1 - \frac{1}{Y}$,और $c = 1 - \frac{1}{Z}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $a, b, c$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $2b = a + c$ होगा।
मान रखने पर: $2(1 - \frac{1}{Y}) = (1 - \frac{1}{X}) + (1 - \frac{1}{Z})$।
$2 - \frac{2}{Y} = 2 - (\frac{1}{X} + \frac{1}{Z})$।
$\frac{2}{Y} = \frac{1}{X} + \frac{1}{Z}$।
यह दर्शाता है कि $\frac{1}{X}, \frac{1}{Y}, \frac{1}{Z}$ समांतर श्रेणी में हैं।
अतः,$X, Y, Z$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं।

(C) दिया गया समीकरण: $\frac{1}{b - a} + \frac{1}{b - c} = \frac{1}{a} + \frac{1}{c}$.
बाएँ पक्ष का सरलीकरण: $\frac{(b - c) + (b - a)}{(b - a)(b - c)} = \frac{2b - a - c}{b^2 - ab - bc + ac}$.
दाएँ पक्ष का सरलीकरण: $\frac{a + c}{ac}$.
दोनों पक्षों की तुलना करने पर: $\frac{2b - a - c}{b^2 - b(a + c) + ac} = \frac{a + c}{ac}$.
वज्र गुणन करने पर: $ac(2b - a - c) = (a + c)(b^2 - b(a + c) + ac)$.
इस समीकरण को हल करने पर $b = \frac{2ac}{a + c}$ प्राप्त होता है,जो दर्शाता है कि $a, b, c$ हरात्मक श्रेणी में हैं।

(D) हरात्मक श्रेणी $(HP)$ में,पदों के व्युत्क्रम एक समांतर श्रेणी $(AP)$ बनाते हैं।
माना $AP$ $b_1, b_2, b_3, \dots$ है जहाँ $b_n = \frac{1}{a_n}$ है।
दिया है $a_1 = 5 \implies b_1 = \frac{1}{5}$ और $a_{20} = 25 \implies b_{20} = \frac{1}{25}$ है।
$AP$ के $n$-वें पद का सूत्र $b_n = b_1 + (n - 1)d$ है।
$n = 20$ के लिए: $\frac{1}{25} = \frac{1}{5} + (20 - 1)d$.
$\frac{1}{25} - \frac{1}{5} = 19d \implies \frac{1 - 5}{25} = 19d \implies -\frac{4}{25} = 19d \implies d = -\frac{4}{475}$ है।
हमें $a_n < 0$ चाहिए,जिसका अर्थ है $b_n < 0$ क्योंकि $a_n = \frac{1}{b_n}$ है।
$b_n = \frac{1}{5} + (n - 1)(-\frac{4}{475}) < 0$.
$\frac{1}{5} < (n - 1)(\frac{4}{475})$.
$475$ से गुणा करने पर: $95 < 4(n - 1)$.
$23.75 < n - 1$.
$n > 24.75$.
अतः,सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक $n = 25$ है।

(A) और $b$ के बीच हरात्मक माध्य $H = \frac{2ab}{a+b}$ है।
$\frac{1}{H - a} + \frac{1}{H - b}$ में मान रखने पर:
$\frac{1}{\frac{2ab}{a+b} - a} + \frac{1}{\frac{2ab}{a+b} - b} = \frac{a+b}{2ab - a^2 - ab} + \frac{a+b}{2ab - ab - b^2}$
$= \frac{a+b}{ab - a^2} + \frac{a+b}{ab - b^2} = \frac{a+b}{a(b-a)} - \frac{a+b}{b(b-a)}$
$= \frac{b(a+b) - a(a+b)}{ab(b-a)} = \frac{(a+b)(b-a)}{ab(b-a)} = \frac{a+b}{ab} = \frac{1}{b} + \frac{1}{a}$.

(D) दिया गया है कि $X = \sum_{n=0}^\infty a^n = \frac{1}{1-a}$,$Y = \sum_{n=0}^\infty b^n = \frac{1}{1-b}$,और $Z = \sum_{n=0}^\infty c^n = \frac{1}{1-c}$.
चूंकि $a, b, c$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $2b = a + c$ है।
हमें यह जांचना है कि क्या $X, Y, Z$ हरात्मक श्रेणी में हैं,जिसके लिए $\frac{2}{Y} = \frac{1}{X} + \frac{1}{Z}$ होना चाहिए।
मान रखने पर: $\frac{1}{X} = 1-a$,$\frac{1}{Y} = 1-b$,और $\frac{1}{Z} = 1-c$.
अतः $\frac{1}{X} + \frac{1}{Z} = (1-a) + (1-c) = 2 - (a+c)$.
चूंकि $a+c = 2b$,यह $2 - 2b = 2(1-b) = 2(\frac{1}{Y}) = \frac{2}{Y}$ हो जाता है।
इस प्रकार,$X, Y, Z$ हरात्मक श्रेणी में हैं।

(C) दिया गया है $\frac{a_2 a_3}{a_1 a_4} = \frac{a_2 + a_3}{a_1 + a_4}$,जिसे हम $\frac{a_1 + a_4}{a_1 a_4} = \frac{a_2 + a_3}{a_2 a_3}$ लिख सकते हैं।
इसका अर्थ है $\frac{1}{a_4} + \frac{1}{a_1} = \frac{1}{a_3} + \frac{1}{a_2}$ या $\frac{1}{a_4} - \frac{1}{a_3} = \frac{1}{a_2} - \frac{1}{a_1} \quad (1)$.
साथ ही,$\frac{a_2 a_3}{a_1 a_4} = 3\left( \frac{a_2 - a_3}{a_1 - a_4} \right)$ से,$\frac{a_1 - a_4}{a_1 a_4} = 3\left( \frac{a_2 - a_3}{a_2 a_3} \right)$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $\frac{1}{a_4} - \frac{1}{a_1} = 3\left( \frac{1}{a_3} - \frac{1}{a_2} \right) \quad (2)$.
माना $x_n = \frac{1}{a_n}$। तब $(1)$ से $x_4 - x_3 = x_2 - x_1 = d$ (सार्व अंतर)।
अतः,$\frac{1}{a_1}, \frac{1}{a_2}, \frac{1}{a_3}, \frac{1}{a_4}$ समांतर श्रेणी में हैं।
इसलिए,$a_1, a_2, a_3, a_4$ हरात्मक श्रेणी में हैं।

(A) यदि $x, y, z$ हरात्मक श्रेणी में हैं,तो $y = \frac{2xz}{x + z}$ होगा।
अब,व्यंजक $\log(x + z) + \log(x - 2y + z)$ पर विचार करें।
$= \log[(x + z)(x - 2y + z)]$
$= \log[(x + z)(x + z - 2(\frac{2xz}{x + z}))]$
$= \log[(x + z)(x + z - \frac{4xz}{x + z})]$
$= \log[(x + z)^2 - 4xz]$
$= \log[x^2 + 2xz + z^2 - 4xz]$
$= \log[x^2 - 2xz + z^2]$
$= \log[(x - z)^2]$
$= 2 \log |x - z|$

(C) प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याएँ $1, 2, 3, \dots, n$ हैं।
उनके व्युत्क्रम $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots, \frac{1}{n}$ हैं।
$n$ संख्याओं $x_1, x_2, \dots, x_n$ का हरात्मक माध्य $(HM)$ $HM = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_i}}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$x_i = \frac{1}{i}$ जहाँ $i = 1, 2, \dots, n$ है।
अतः,$\frac{1}{x_i} = i$।
इसलिए,$HM = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} i} = \frac{n}{\frac{n(n+1)}{2}} = \frac{2n}{n(n+1)} = \frac{2}{n+1}$।

(C) दिया गया अनुक्रम $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots, \frac{1}{17}$ है।
यहाँ,पदों की संख्या $n = 16$ है।
हरात्मक माध्य $(H.M.)$ का सूत्र:
$H.M. = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_i}}$
मान रखने पर:
$H.M. = \frac{16}{\frac{1}{1/2} + \frac{1}{1/3} + \dots + \frac{1}{1/17}}$
$H.M. = \frac{16}{2 + 3 + 4 + \dots + 17}$
समांतर श्रेणी $2, 3, \dots, 17$ का योग $S_n = \frac{n}{2}(a + l) = \frac{16}{2}(2 + 17) = 8 \times 19 = 152$ है।
अतः,$H.M. = \frac{16}{152} = \frac{2}{19}$.

(C) $n$ संख्याओं $x_1, x_2, ..., x_n$ का हरात्मक माध्य $(HM)$ ज्ञात करने का सूत्र: $HM = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_i}}$ है।
यहाँ $2, 3, 4$ के लिए $n = 3$ है।
$HM = \frac{3}{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}}$.
हर का योग करने पर: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{6 + 4 + 3}{12} = \frac{13}{12}$.
अतः,$HM = \frac{3}{\frac{13}{12}} = 3 \times \frac{12}{13} = \frac{36}{13}$.

(C) मान लीजिए घर और स्कूल के बीच की दूरी $S \text{ km}$ है।
घर से स्कूल जाने में लगा समय $t_1 = \frac{S}{x} \text{ घंटे}$ है।
स्कूल से घर वापस आने में लगा समय $t_2 = \frac{S}{y} \text{ घंटे}$ है।
औसत गति $= \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}}$.
कुल दूरी $= S + S = 2S \text{ km}$.
कुल समय $= \frac{S}{x} + \frac{S}{y} = S \left( \frac{x + y}{xy} \right) \text{ घंटे}$.
औसत गति $= \frac{2S}{S \left( \frac{x + y}{xy} \right)} = \frac{2xy}{x + y} \text{ km/hr}$.

(C) माना $1$ और $\frac{1}{31}$ के बीच $n$ हरात्मक माध्य $H_1, H_2, \dots, H_n$ हैं।
अतः $1, H_1, H_2, \dots, H_n, \frac{1}{31}$ हरात्मक श्रेणी $(HP)$ में हैं।
इसलिए $1, \frac{1}{H_1}, \frac{1}{H_2}, \dots, \frac{1}{H_n}, 31$ समांतर श्रेणी $(AP)$ में हैं।
माना इस $AP$ का सार्व अंतर $d$ है। $(n+2)^{th}$ पद $31 = 1 + (n+1)d$ है,इसलिए $(n+1)d = 30$,अर्थात $d = \frac{30}{n+1}$।
$k^{th}$ हरात्मक माध्य $H_k$ के लिए $\frac{1}{H_k} = 1 + kd$ होता है।
दिया गया है कि $\frac{H_7}{H_{n-1}} = \frac{9}{5}$,इसलिए $\frac{1 + (n-1)d}{1 + 7d} = \frac{9}{5}$।
$d = \frac{30}{n+1}$ रखने पर:
$5(1 + (n-1)\frac{30}{n+1}) = 9(1 + 7\frac{30}{n+1})$
$5(31n - 29) = 9(n + 211)$
$146n = 2044$
$n = 14$।

(D) दिया गया है कि $\ln(a+c), \ln(c-a), \ln(a-2b+c)$ $A.P.$ में हैं।
अतः,$(a+c), (c-a), (a-2b+c)$ $G.P.$ में हैं।
इसका अर्थ है कि $(c-a)^2 = (a+c)(a-2b+c)$।
पदों का विस्तार करने पर: $c^2 - 2ac + a^2 = a^2 - 2ab + ac + ac - 2bc + c^2$।
सरल करने पर: $-2ac = -2ab + 2ac - 2bc$।
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $2ab + 2bc = 4ac$।
$2b(a+c)$ से विभाजित करने पर: $b = \frac{2ac}{a+c}$।
यह $a, b, c$ के $H.P.$ में होने की शर्त है।

(A) दिया गया है कि $(b+c), (c+a), (a+b)$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं।
अतः,उनके व्युत्क्रम $\frac{1}{b+c}, \frac{1}{c+a}, \frac{1}{a+b}$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं।
इसका अर्थ है: $\frac{2}{c+a} = \frac{1}{b+c} + \frac{1}{a+b}$
$\frac{2}{c+a} = \frac{a+b+b+c}{(b+c)(a+b)} = \frac{a+2b+c}{(b+c)(a+b)}$
$2(b+c)(a+b) = (c+a)(a+2b+c)$
$2(ab+b^2+ac+bc) = ac+2bc+c^2+a^2+2ab+ac$
$2ab+2b^2+2ac+2bc = a^2+c^2+2ac+2ab+2bc$
$2b^2 = a^2+c^2$
चूंकि $2b^2 = a^2+c^2$,इसलिए $a^2, b^2, c^2$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं।

(D) चूंकि $a, b, c$ $H.P.$ में हैं,इसलिए $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ $A.P.$ में हैं।
अतः $\frac{2}{b} = \frac{1}{a} + \frac{1}{c}$ होता है।
इस मान को व्यंजक में रखने पर,हमें $\frac{3}{b^2} - \frac{2}{ab}$ प्राप्त होता है।
अतः सही विकल्प $D$ है।

(C) समान दूरियों को अलग-अलग गति से तय करने पर औसत गति,गतियों के हरात्मक माध्य (Harmonic Mean) द्वारा दी जाती है।
मान लीजिए भुजा की लंबाई $d = 100 \text{ मील}$ है।
प्रत्येक भुजा के लिए लिया गया समय $t_i = \frac{d}{v_i}$ है।
कुल दूरी $D = 4d$.
कुल समय $T = \frac{d}{100} + \frac{d}{200} + \frac{d}{300} + \frac{d}{400} = d \left( \frac{1}{100} + \frac{1}{200} + \frac{1}{300} + \frac{1}{400} \right)$.
औसत गति $V_{avg} = \frac{D}{T} = \frac{4d}{d \left( \frac{1}{100} + \frac{1}{200} + \frac{1}{300} + \frac{1}{400} \right)}$.
$V_{avg} = \frac{4}{\frac{12+6+4+3}{1200}} = \frac{4 \times 1200}{25} = \frac{4800}{25} = 192 \text{ mph}$.
अतः,$(c)$ सही उत्तर है।

(D) यदि $a_1, a_2, \ldots$ हरात्मक श्रेणी में हैं,तो उनके व्युत्क्रम $\frac{1}{a_1}, \frac{1}{a_2}, \ldots$ समांतर श्रेणी में होंगे।
माना समांतर श्रेणी $b_n = \frac{1}{a_n} = A + (n-1)D$ है।
दिया है $a_1 = 5 \Rightarrow b_1 = \frac{1}{5}$ और $a_{20} = 25 \Rightarrow b_{20} = \frac{1}{25}$.
$b_{20} = b_1 + 19D \Rightarrow \frac{1}{25} = \frac{1}{5} + 19D$.
$19D = \frac{1}{25} - \frac{1}{5} = -\frac{4}{25}$.
$D = -\frac{4}{475}$.
$a_n < 0$ के लिए,$b_n = \frac{1}{5} - (n-1)\frac{4}{475} < 0$.
$\frac{1}{5} < (n-1)\frac{4}{475}$.
$\frac{475}{20} < n-1$.
$23.75 < n-1$.
$n > 24.75$.
अतः,$n$ का न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक मान $25$ है।

(A) दिया गया है कि $\sin (\theta-\alpha), \sin \theta, \sin (\theta+\alpha)$ $H.P.$ में हैं।
$\Rightarrow \frac{1}{\sin (\theta-\alpha)}, \frac{1}{\sin \theta}, \frac{1}{\sin (\theta+\alpha)}$ $A.P.$ में हैं।
$\therefore \frac{2}{\sin \theta} = \frac{1}{\sin (\theta-\alpha)} + \frac{1}{\sin (\theta+\alpha)}$
$\Rightarrow \frac{2}{\sin \theta} = \frac{\sin (\theta+\alpha) + \sin (\theta-\alpha)}{\sin (\theta-\alpha) \sin (\theta+\alpha)}$
सूत्र $\sin (A+B) + \sin (A-B) = 2 \sin A \cos B$ और $\sin (A-B) \sin (A+B) = \sin^2 A - \sin^2 B$ का उपयोग करने पर:
$\Rightarrow \frac{2}{\sin \theta} = \frac{2 \sin \theta \cos \alpha}{\sin^2 \theta - \sin^2 \alpha}$
$\Rightarrow \sin^2 \theta - \sin^2 \alpha = \sin^2 \theta \cos \alpha$
$\Rightarrow \sin^2 \theta (1 - \cos \alpha) = \sin^2 \alpha$
$1 - \cos \alpha = 2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}$ और $\sin \alpha = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\Rightarrow \sin^2 \theta (2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}) = 4 \sin^2 \frac{\alpha}{2} \cos^2 \frac{\alpha}{2}$
$\Rightarrow \sin^2 \theta = 2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}$
चूंकि $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$:
$1 - \cos^2 \theta = 2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}$
$\Rightarrow \cos^2 \theta = 1 - 2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}$

(C) हरात्मक श्रेणी $(HP)$ में,पदों के व्युत्क्रम एक समांतर श्रेणी $(AP)$ बनाते हैं।
मान लीजिए कि संबंधित $AP$ का प्रथम पद $A$ और सार्व अंतर $D$ है।
दिया गया है $t_{7} = \frac{1}{10} \Rightarrow T_{7} = 10$,जहाँ $T_{n}$ $AP$ का $n$-वाँ पद है।
दिया गया है $t_{12} = \frac{1}{25} \Rightarrow T_{12} = 25$।
सूत्र $T_{n} = A + (n-1)D$ का उपयोग करने पर:
$A + 6D = 10$ (समीकरण $1$)
$A + 11D = 25$ (समीकरण $2$)
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ घटाने पर: $5D = 15 \Rightarrow D = 3$।
$D = 3$ को समीकरण $1$ में रखने पर: $A + 6(3) = 10$ $\Rightarrow A + 18 = 10$ $\Rightarrow A = -8$।
अब,$AP$ का $20$-वाँ पद ज्ञात करें: $T_{20} = A + 19D = -8 + 19(3) = -8 + 57 = 49$।
अतः,$HP$ का $20$-वाँ पद $t_{20} = \frac{1}{T_{20}} = \frac{1}{49}$ है।

(A) दिया गया है कि $\frac{1}{4}, a, b, \frac{1}{19}$ एक $H.P.$ में हैं।
इसलिए,उनके व्युत्क्रम $4, \frac{1}{a}, \frac{1}{b}, 19$ एक $A.P.$ में हैं।
माना $A.P.$ के पद $4, 4+d, 4+2d, 4+3d$ हैं।
यहाँ,$4+3d = 19 \implies 3d = 15 \implies d = 5$ है।
अतः,पद $4, 4+5, 4+10, 19$ यानी $4, 9, 14, 19$ हैं।
पदों की तुलना करने पर,$\frac{1}{a} = 9 \implies a = \frac{1}{9}$ और $\frac{1}{b} = 14 \implies b = \frac{1}{14}$ है।

(A) दिया गया है कि $x_1, x_2, x_3, x_4$ हरात्मक श्रेणी $(HP)$ में हैं,इसलिए उनके व्युत्क्रम $\frac{1}{x_1}, \frac{1}{x_2}, \frac{1}{x_3}, \frac{1}{x_4}$ समांतर श्रेणी $(AP)$ में हैं।
माना ये पद $a-3d, a-d, a+d, a+3d$ हैं।
$A x^2 - 4 x + 1 = 0$ से,$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_3} = 4$ और $\frac{1}{x_1} \cdot \frac{1}{x_3} = A$ है।
$AP$ के पदों को रखने पर: $(a-3d) + (a+d) = 4 \implies a-d=2$।
साथ ही,$(a-3d)(a+d) = A$।
$B x^2 - 6 x + 1 = 0$ से,$\frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_4} = 6$ और $\frac{1}{x_2} \cdot \frac{1}{x_4} = B$ है।
$AP$ के पदों को रखने पर: $(a-d) + (a+3d) = 6 \implies a+d=3$।
समीकरणों को हल करने पर $a=2.5$ और $d=0.5$ प्राप्त होता है।
अतः $A = (2.5-1.5)(3) = 3$ और $B = (2)(4) = 8$।
अंततः,$\frac{B+A}{B-A} = \frac{8+3}{8-3} = \frac{11}{5}$।

(D) माना $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $x^3 - ax^2 + bx - c = 0$ के मूल हैं।
विएटा के सूत्रों से:
$\alpha + \beta + \gamma = a$
$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = b$
$\alpha\beta\gamma = c$
यह दिया गया है कि $\alpha, \beta, \gamma$ $HP$ में हैं,इसलिए उनके व्युत्क्रम $\frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta}, \frac{1}{\gamma}$ $AP$ में हैं।
तीन संख्याओं $\alpha, \beta, \gamma$ का हरात्मक माध्य $(HM)$ $HM = \frac{3}{\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma}}$ के रूप में परिभाषित है।
मान रखने पर:
$HM = \frac{3}{\frac{\beta\gamma + \alpha\gamma + \alpha\beta}{\alpha\beta\gamma}} = \frac{3(\alpha\beta\gamma)}{\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha} = \frac{3c}{b}$.

(D) यदि $a, b, c$ हरात्मक श्रेणी में हैं,तो $b = \frac{2ac}{a+c}$ होता है।
दिया गया है कि $\cos \left(x-\frac{\pi}{3}\right), \cos x, \cos \left(x+\frac{\pi}{3}\right)$ हरात्मक श्रेणी में हैं,इसलिए:
$\cos x = \frac{2 \cos \left(x-\frac{\pi}{3}\right) \cos \left(x+\frac{\pi}{3}\right)}{\cos \left(x-\frac{\pi}{3}\right) + \cos \left(x+\frac{\pi}{3}\right)}$
सर्वसमिका $\cos(A-B)\cos(A+B) = \cos^2 A - \sin^2 B$ और $\cos(A-B) + \cos(A+B) = 2 \cos A \cos B$ का उपयोग करने पर:
$\cos x = \frac{2 \left(\cos^2 x - \sin^2 \frac{\pi}{3}\right)}{2 \cos x \cos \frac{\pi}{3}}$
$\cos x = \frac{\cos^2 x - \sin^2 \frac{\pi}{3}}{\cos x \cdot \frac{1}{2}}$
$\frac{1}{2} \cos^2 x = \cos^2 x - \sin^2 \frac{\pi}{3}$
$\sin^2 \frac{\pi}{3} = \cos^2 x - \frac{1}{2} \cos^2 x$
$\frac{3}{4} = \frac{1}{2} \cos^2 x$
$\cos^2 x = \frac{3}{2}$
$\cos x = \pm \sqrt{\frac{3}{2}}$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) दिया गया समीकरण $16x^3 - 44x^2 + 36x - 9 = 0$ है।
माना मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हरात्मक श्रेणी ($H$.$P$.) में हैं।
तब $\frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta}, \frac{1}{\gamma}$ समांतर श्रेणी ($A$.$P$.) में हैं।
इसका अर्थ है $\frac{2}{\beta} = \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\gamma}$।
मूलों के गुणों से,$\sum \alpha\beta = \frac{36}{16} = \frac{9}{4}$ और $\alpha\beta\gamma = \frac{9}{16}$।
साथ ही,$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma} = \frac{\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha}{\alpha\beta\gamma} = \frac{9/4}{9/16} = 4$।
$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\gamma} = \frac{2}{\beta}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{2}{\beta} + \frac{1}{\beta} = 4$ $\Rightarrow \frac{3}{\beta} = 4$ $\Rightarrow \beta = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।
अब,$\alpha + \gamma = \frac{44}{16} - \frac{3}{4} = 2$ और $\alpha\gamma = \frac{3}{4}$।
$t^2 - 2t + \frac{3}{4} = 0$ को हल करने पर,$4t^2 - 8t + 3 = 0 \Rightarrow (2t - 1)(2t - 3) = 0$।
अतः,मूल $\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{3}{2}$ हैं।
सबसे बड़ा मूल $\frac{3}{2}$ है।

(A) दिया गया है कि $\cos (\theta-\alpha), \cos \theta, \cos (\theta+\alpha)$ हरात्मक श्रेणी $(HP)$ में हैं।
इसलिए,$\frac{1}{\cos (\theta-\alpha)}, \frac{1}{\cos \theta}, \frac{1}{\cos (\theta+\alpha)}$ समांतर श्रेणी $(AP)$ में हैं।
अतः,$\frac{2}{\cos \theta} = \frac{1}{\cos (\theta-\alpha)} + \frac{1}{\cos (\theta+\alpha)}$.
$\frac{2}{\cos \theta} = \frac{\cos (\theta+\alpha) + \cos (\theta-\alpha)}{\cos (\theta-\alpha) \cos (\theta+\alpha)}$.
सूत्र $\cos (A+B) + \cos (A-B) = 2 \cos A \cos B$ का उपयोग करने पर:
$\frac{2}{\cos \theta} = \frac{2 \cos \theta \cos \alpha}{\cos (\theta-\alpha) \cos (\theta+\alpha)}$.
$\cos^2 \theta \cos \alpha = \cos (\theta-\alpha) \cos (\theta+\alpha)$.
$\cos (A-B) \cos (A+B) = \cos^2 A - \sin^2 B$ का उपयोग करने पर:
$\cos^2 \theta \cos \alpha = \cos^2 \theta - \sin^2 \alpha$.
$\sin^2 \alpha = \cos^2 \theta (1 - \cos \alpha)$.
$\cos^2 \theta = \frac{\sin^2 \alpha}{1 - \cos \alpha} = \frac{4 \sin^2 \frac{\alpha}{2} \cos^2 \frac{\alpha}{2}}{2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}} = 2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}$.
अब,$\tan^2 \theta = \sec^2 \theta - 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta} - 1 = \frac{1}{2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}} - 1 = \frac{1}{2} \sec^2 \frac{\alpha}{2} - 1$.
$2 \tan^2 \theta = \sec^2 \frac{\alpha}{2} - 2 = (1 + \tan^2 \frac{\alpha}{2}) - 2 = \tan^2 \frac{\alpha}{2} - 1$.

(B) दिया गया है $\tan B = \frac{2 \sin A \sin C}{\sin (A+C)}$.
दोनों पक्षों का व्युत्क्रम लेने पर,$\frac{1}{\tan B} = \frac{\sin (A+C)}{2 \sin A \sin C}$.
$\sin (A+C) = \sin A \cos C + \cos A \sin C$ का उपयोग करने पर,$\frac{1}{\tan B} = \frac{\sin A \cos C + \cos A \sin C}{2 \sin A \sin C}$.
इसे सरल करने पर $\frac{1}{\tan B} = \frac{1}{2} (\cot A + \cot C) = \frac{1}{2} (\frac{1}{\tan A} + \frac{1}{\tan C})$.
$2$ से गुणा करने पर,$\frac{2}{\tan B} = \frac{1}{\tan A} + \frac{1}{\tan C}$.
यह शर्त दर्शाती है कि $\tan A, \tan B, \tan C$ हरात्मक श्रेणी में हैं।

(C) दिया गया समीकरण $k x^3 - 18 x^2 - 36 x + 8 = 0$ है।
माना मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हरात्मक श्रेणी $(HP)$ में हैं।
इसका अर्थ है कि $\frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta}, \frac{1}{\gamma}$ समांतर श्रेणी $(AP)$ में हैं।
मूल समीकरण में $x$ को $\frac{1}{x}$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें $8 x^3 - 36 x^2 - 18 x + k = 0$ प्राप्त होता है।
माना इस नए समीकरण के मूल $a-d, a, a+d$ हैं।
मूलों के योग से,$3a = \frac{36}{8} = \frac{9}{2} \Rightarrow a = \frac{3}{2}$।
चूंकि $a = \frac{3}{2}$,$8 x^3 - 36 x^2 - 18 x + k = 0$ का एक मूल है,मान रखने पर:
$8(\frac{3}{2})^3 - 36(\frac{3}{2})^2 - 18(\frac{3}{2}) + k = 0$।
$27 - 81 - 27 + k = 0$।
$k = 81$।

(A) माना समीकरण $x^3+3px^2+3qx+r=0$ के मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं। चूँकि वे हरात्मक श्रेणी में हैं,उनके व्युत्क्रम $\frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta}, \frac{1}{\gamma}$ समांतर श्रेणी में हैं।
$x = \frac{1}{y}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $ry^3 + 3qy^2 + 3py + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
चूँकि इस समीकरण के मूल समांतर श्रेणी में हैं,मूलों का योग $3a = -\frac{3q}{r}$ है,इसलिए $a = -\frac{q}{r}$।
चूँकि $a$,$ry^3 + 3qy^2 + 3py + 1 = 0$ का एक मूल है,इसलिए $r(-\frac{q}{r})^3 + 3q(-\frac{q}{r})^2 + 3p(-\frac{q}{r}) + 1 = 0$।
इसे सरल करने पर $2q^3 = r(3pq-r)$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए $a^{p} = b^{q} = c^{r} = k$ है।
चूँकि $a, b, c$ धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं,हम $a = k^{1/p}$,$b = k^{1/q}$,और $c = k^{1/r}$ लिख सकते हैं।
दिया गया है कि $a, b, c$ $GP$ में हैं,इसलिए $\frac{b}{a} = \frac{c}{b}$ है।
$a, b, c$ के मान रखने पर,हमें $\frac{k^{1/q}}{k^{1/p}} = \frac{k^{1/r}}{k^{1/q}}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $k^{(1/q - 1/p)} = k^{(1/r - 1/q)}$।
घातांकों की तुलना करने पर,हमें $\frac{1}{q} - \frac{1}{p} = \frac{1}{r} - \frac{1}{q}$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\frac{2}{q} = \frac{1}{p} + \frac{1}{r}$ हो जाता है।
यह दर्शाता है कि $\frac{1}{p}, \frac{1}{q}, \frac{1}{r}$ $A.P.$ में हैं।
अतः,$p, q, r$ $H.P.$ में हैं।

(C) दिया गया है कि $a, b, c$ $G$.$P$. में हैं,इसलिए $b^2 = ac$ है।
दोनों पक्षों का आधार $x$ पर लघुगणक लेने पर,हमें $2 \log_x b = \log_x a + \log_x c$ प्राप्त होता है।
यह दर्शाता है कि $\log_x a, \log_x b, \log_x c$ $A$.$P$. में हैं।
आधार परिवर्तन सूत्र का उपयोग करते हुए,$\log_a x = \frac{1}{\log_x a}$,$\log_b x = \frac{1}{\log_x b}$,और $\log_c x = \frac{1}{\log_x c}$ है।
चूंकि $\log_x a, \log_x b, \log_x c$ के व्युत्क्रम $A$.$P$. में हैं,इसलिए $\log_a x, \log_b x, \log_c x$ $H$.$P$. में होने चाहिए।

(C) दिया गया है कि $\frac{a_r - a_{r+1}}{a_r a_{r+1}} = K$ (जहाँ $K$ एक स्थिरांक है)।
पदों को विभाजित करने पर,हमें $\frac{a_r}{a_r a_{r+1}} - \frac{a_{r+1}}{a_r a_{r+1}} = K$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $\frac{1}{a_{r+1}} - \frac{1}{a_r} = K$ हो जाता है।
चूंकि क्रमिक पदों के व्युत्क्रमों का अंतर स्थिर है,इसलिए अनुक्रम $\frac{1}{a_1}, \frac{1}{a_2}, \frac{1}{a_3}, \ldots$ एक $A$.$P$. है।
अतः,अनुक्रम $a_1, a_2, a_3, \ldots$ $H$.$P$. में है।

(A) दिया गया है,$f(x) = x + \frac{1}{2} = \frac{2x+1}{2}$.
$f(2x) = 2x + \frac{1}{2} = \frac{4x+1}{2}$.
$f(4x) = 4x + \frac{1}{2} = \frac{8x+1}{2}$.
चूंकि $f(x), f(2x), f(4x)$ $HP$ में हैं,इसलिए उनके व्युत्क्रम $\frac{1}{f(x)}, \frac{1}{f(2x)}, \frac{1}{f(4x)}$ $AP$ में होंगे।
अतः,$\frac{2}{f(2x)} = \frac{1}{f(x)} + \frac{1}{f(4x)}$.
मान रखने पर: $\frac{4}{4x+1} = \frac{2}{2x+1} + \frac{2}{8x+1}$.
$\frac{2}{4x+1} = \frac{10x+2}{(2x+1)(8x+1)}$.
$2(2x+1)(8x+1) = (4x+1)(10x+2)$.
$32x^2 + 20x + 2 = 40x^2 + 18x + 2$.
$8x^2 - 2x = 0 \Rightarrow 2x(4x - 1) = 0$.
$x = 0$ या $x = 1/4$.
यदि $x = 0$ है,तो पद $1/2, 1/2, 1/2$ हैं,जो समान हैं।
यदि $x = 1/4$ है,तो पद $3/4, 1, 3/2$ हैं,जो $HP$ में हैं।
अतः,$x$ का केवल $1$ वास्तविक मान संभव है।

(A) माना कि $HP$ में पाँच पद $\frac{1}{a-2d}, \frac{1}{a-d}, \frac{1}{a}, \frac{1}{a+d}, \frac{1}{a+2d}$ हैं।
दिया गया है कि मध्य पद $1$ है,इसलिए $\frac{1}{a} = 1$,जिसका अर्थ है $a = 1$.
दूसरे पद और चौथे पद का अनुपात $\frac{2}{1}$ है,इसलिए $\frac{\frac{1}{a-d}}{\frac{1}{a+d}} = 2$.
यह सरल होकर $\frac{a+d}{a-d} = 2$ बनता है,इसलिए $a+d = 2a - 2d$,जिससे $3d = a$ प्राप्त होता है।
चूँकि $a = 1$,इसलिए $d = \frac{1}{3}$ है।
पहले तीन पद $\frac{1}{1-2(\frac{1}{3})}, \frac{1}{1-(\frac{1}{3})}, \frac{1}{1}$ हैं।
ये पद $3, \frac{3}{2}, 1$ हैं।
पहले तीन पदों का योग $3 + \frac{3}{2} + 1 = 4 + 1.5 = \frac{11}{2}$ है।