Set Based probability Questions in Hindi

(A) प्रतिदर्श समष्टि $S$ में $6 \times 6 = 36$ परिणाम हैं।
$E_1 = \{(1, 1)\} \implies p_1 = \frac{1}{36}$.
$E_4 = \{(1, 4), (2, 2), (4, 1)\} \implies p_4 = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$.
$E_{10} = \{(2, 5), (5, 2)\} \implies p_{10} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$.
मानों की तुलना करने पर: $p_1 = \frac{1}{36} \approx 0.0277$,$p_{10} = \frac{2}{36} \approx 0.0555$,$p_4 = \frac{3}{36} \approx 0.0833$.
अतः,$p_1 < p_{10} < p_4$ सही है।

(B) एक गैर-लीप वर्ष में कुल दिनों की संख्या $365$ होती है।
एक गैर-लीप वर्ष में $52$ सप्ताह और $1$ अतिरिक्त दिन होता है ($52 \times 7 = 364$ दिन)।
अतः,एक गैर-लीप वर्ष में हमेशा $52$ रविवार होते हैं।
शेष $1$ दिन रविवार,सोमवार,मंगलवार,बुधवार,गुरुवार,शुक्रवार या शनिवार में से कोई भी हो सकता है।
इन $7$ संभावित परिणामों में से,केवल $1$ परिणाम रविवार है।
$\therefore$ कुल परिणामों की संख्या $= 7$।
अनुकूल परिणामों की संख्या $= 1$।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{1}{7}$ है।

(B) दिया गया समीकरण $ax^{2} + bx + 1 = 0$ है।
समीकरण के वास्तविक मूल होने के लिए,विविक्तकर $D \geq 0$ होना चाहिए।
$D = b^{2} - 4ac \geq 0$.
यहाँ $c = 1$ है,इसलिए $b^{2} - 4a \geq 0$ प्राप्त होता है।
$(a, b)$ के लिए संभावित युग्म $(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)$ हैं,जिनमें से प्रत्येक की प्रायिकता $1/4$ है।
प्रत्येक युग्म के लिए शर्त $b^{2} - 4a \geq 0$ की जाँच करने पर:
$1$. $(1, 1)$ के लिए: $1^{2} - 4(1) = -3 < 0$ (वास्तविक नहीं)।
$2$. $(1, 2)$ के लिए: $2^{2} - 4(1) = 0 \geq 0$ (वास्तविक है)।
$3$. $(2, 1)$ के लिए: $1^{2} - 4(2) = -7 < 0$ (वास्तविक नहीं)।
$4$. $(2, 2)$ के लिए: $2^{2} - 4(2) = -4 < 0$ (वास्तविक नहीं)।
केवल युग्म $(1, 2)$ शर्त को पूरा करता है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $1/4$ है।

(A) माना $X$ वह घटना है कि छात्र सफल होता है। $X_1, X_2, X_3$ क्रमशः परीक्षा $I, II, III$ में उत्तीर्ण होने की घटनाएँ हैं।
दिया गया है $P(X_1) = p$,$P(X_2) = q$,और $P(X_3) = 1/2$।
छात्र सफल होता है यदि $(X_1 \cap X_2)$ या $(X_1 \cap X_3)$ हो।
सूत्र $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ का उपयोग करते हुए:
$P(X) = P(X_1 \cap X_2) + P(X_1 \cap X_3) - P(X_1 \cap X_2 \cap X_3)$।
चूँकि परीक्षाएँ स्वतंत्र हैं:
$P(X) = p \cdot q + p \cdot (1/2) - p \cdot q \cdot (1/2)$।
$P(X) = 1/2$ दिया गया है:
$1/2 = pq + p/2 - pq/2$।
$1/2 = p/2 + pq/2$।
$2$ से गुणा करने पर:
$1 = p + pq$।
$1 = p(1+q)$।

(D) माना $A$ पहले पासे पर सम संख्या प्राप्त करने की घटना है। $A$ के लिए संभावित परिणाम $18$ हैं।
माना $B$ योग $8$ प्राप्त करने की घटना है। $B$ के लिए संभावित परिणाम $(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)$ हैं,अर्थात $|B| = 5$.
सर्वनिष्ठ $A \cap B$ में वे परिणाम हैं जहाँ पहला पासा सम है और योग $8$ है,जो $(2,6), (4,4), (6,2)$ हैं। अतः,$|A \cap B| = 3$.
सूत्र $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ का उपयोग करते हुए:
$P(A \cup B) = \frac{18}{36} + \frac{5}{36} - \frac{3}{36} = \frac{20}{36} = \frac{5}{9}$.

(A) दिया गया है कि $P(A \cap B) = \frac{1}{6}$,$P(A \cup B) = \frac{31}{45}$,और $P(\bar{B}) = \frac{7}{10}$ है।
चूंकि $P(B) = 1 - P(\bar{B})$,इसलिए $P(B) = 1 - \frac{7}{10} = \frac{3}{10}$ है।
सूत्र $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{31}{45} = P(A) + \frac{3}{10} - \frac{1}{6}$.
$P(A) = \frac{31}{45} + \frac{1}{6} - \frac{3}{10} = \frac{62 + 15 - 27}{90} = \frac{50}{90} = \frac{5}{9}$.
अब,स्वतंत्रता की जाँच करते हैं: $P(A) \times P(B) = \frac{5}{9} \times \frac{3}{10} = \frac{15}{90} = \frac{1}{6}$.
चूंकि $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ है,इसलिए घटनाएँ $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं।

(A) दिया गया है कि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए $P(A \cap B) = P(A)P(B) = \frac{1}{12} \dots (1)$
न तो $A$ और न ही $B$ के होने की प्रायिकता $P(A' \cap B') = \frac{1}{2}$ है।
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$P(A' \cap B') = P((A \cup B)') = 1 - P(A \cup B) = \frac{1}{2}$,इसलिए $P(A \cup B) = \frac{1}{2}$।
सूत्र $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ का उपयोग करने पर:
$P(A) + P(B) - \frac{1}{12} = \frac{1}{2} \implies P(A) + P(B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{12} = \frac{7}{12} \dots (2)$
$(1)$ और $(2)$ से,$P(A)$ और $P(B)$ द्विघात समीकरण $x^2 - (P(A)+P(B))x + P(A)P(B) = 0$ के मूल हैं।
$x^2 - \frac{7}{12}x + \frac{1}{12} = 0 \implies 12x^2 - 7x + 1 = 0$।
गुणनखंड करने पर: $12x^2 - 4x - 3x + 1 = 0 \implies 4x(3x - 1) - 1(3x - 1) = 0 \implies (4x - 1)(3x - 1) = 0$।
अतः,$x = \frac{1}{4}$ या $x = \frac{1}{3}$।
इसलिए,प्रायिकताएँ $P(A) = \frac{1}{3}$ और $P(B) = \frac{1}{4}$ हैं (या इसके विपरीत)।

(C) मान लीजिए $P(A) = \frac{1}{2}, P(B) = \frac{1}{3}, P(C) = \frac{1}{4},$ और $P(D) = \frac{1}{5}$ उन $4$ छात्रों की व्यक्तिगत रूप से समस्या हल करने की प्रायिकताएं हैं।
समस्या के कम से कम एक छात्र द्वारा हल किए जाने की प्रायिकता $1 - P(\text{कोई भी छात्र समस्या हल नहीं कर पाता})$ द्वारा दी जाती है।
छात्र के समस्या हल करने में विफल होने की प्रायिकता $P(\bar{X}) = 1 - P(X)$ है।
अतः,$P(\bar{A}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}, P(\bar{B}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}, P(\bar{C}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4},$ और $P(\bar{D}) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ है।
चूंकि घटनाएं स्वतंत्र हैं,इसलिए प्रायिकता कि उनमें से कोई भी समस्या हल नहीं कर पाता है,$P(\bar{A} \cap \bar{B} \cap \bar{C} \cap \bar{D}) = P(\bar{A}) \times P(\bar{B}) \times P(\bar{C}) \times P(\bar{D})$ है।
$P(\text{कोई नहीं}) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$ है।
इसलिए,समस्या के कम से कम एक छात्र द्वारा हल किए जाने की प्रायिकता $1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ है।

(B) सिक्का उछालना एक स्वतंत्र घटना है।
एक निष्पक्ष सिक्के के प्रत्येक उछाल में दो समान रूप से संभावित परिणाम होते हैं: चित $(H)$ और पट $(T)$।
किसी भी एक उछाल में चित आने की प्रायिकता $P(H) = \frac{1}{2}$ होती है।
चौथे उछाल का परिणाम पिछले तीन उछालों के परिणामों पर निर्भर नहीं करता है।
इसलिए,चौथे उछाल में चित आने की प्रायिकता $\frac{1}{2}$ ही रहती है।

(C) मान लीजिए $S = \{a, b, c, d, e\}$ एक समुच्चय है जिसमें $n = 5$ तत्व हैं।
किसी भी तत्व $x \in S$ के लिए,समुच्चय $A$ और $B$ में इसकी सदस्यता के लिए $4$ संभावनाएँ हैं ताकि $A \cap B = \varnothing$ हो:
$1$. $x \in A$ और $x \notin B$
$2$. $x \notin A$ और $x \in B$
$3$. $x \notin A$ और $x \notin B$
($A \cap B = \varnothing$ होने के कारण $x \in A$ और $x \in B$ संभव नहीं है)
चूंकि $5$ तत्व हैं,इसलिए कुल क्रमित युग्मों $(A, B)$ की संख्या $(2^n) \times (2^n) = 2^5 \times 2^5 = 2^{10} = 4^5$ है।
अनुकूल युग्मों $(A, B)$ की संख्या जिनमें $A \cap B = \varnothing$ है,$3^5$ है (क्योंकि प्रत्येक तत्व के पास $3$ विकल्प हैं)।
अतः,प्रायिकता $P(E) = \frac{3^5}{4^5} = \frac{3^5}{(2^2)^5} = \frac{3^5}{2^{10}}$ है।
इसे $\frac{3^p}{2^q}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $p = 5$ और $q = 10$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$p + q = 5 + 10 = 15$।