$9$ असंरेख बिंदुओं का उपयोग करके कितने त्रिभुज खींचे जा सकते हैं?

एक नियमित $15$-भुजीय बहुभुज में जिसके सभी विकर्ण खींचे गए हैं,एक विकर्ण यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। इसकी प्रायिकता क्या है कि यह न तो सबसे छोटा विकर्ण है और न ही सबसे लंबा विकर्ण है?

$3$ लड़कों और $2$ लड़कियों के एक बेंच पर बैठने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए ताकि कोई भी दो लड़के एक साथ न बैठें।

दी गई आकृति में,$6$ '$A$' को इस प्रकार लिखा जाना चाहिए कि प्रत्येक पंक्ति में कम से कम एक '$A$' हो। यह कितने तरीकों से संभव है

एक सीधी रेखा $AB$ पर $m$ बिंदु हैं और दूसरी रेखा $AC$ पर $n$ बिंदु हैं,जिनमें से कोई भी बिंदु $A$ नहीं है। इन बिंदुओं से त्रिभुज बनाए जाते हैं जब $(i)$ $A$ को बाहर रखा जाता है $(ii)$ $A$ को शामिल किया जाता है। तब दोनों स्थितियों में त्रिभुजों की संख्या का अनुपात क्या है?

मान लीजिए $P_1, P_2, \ldots, P_{15}$ एक वृत्त पर $15$ बिंदु हैं। बिंदुओं $P_i, P_j, P_k$ द्वारा निर्मित उन भिन्न त्रिभुजों की संख्या ज्ञात कीजिए जिनके लिए $i+j+k \neq 15$ है।