Circular permutations Questions in Hindi

(D) कुल व्यक्तियों की संख्या = $3 + 8 = 11$.
$11$ व्यक्तियों को एक वृत्त के चारों ओर बैठाने के तरीके = $(11 - 1)! = 10!$.
अब,मान लीजिए कि तीनों बहनें एक साथ बैठती हैं। $3$ बहनों को $1$ इकाई मानिए।
कुल इकाइयाँ = $8$ भाई + $1$ बहनों की इकाई = $9$ इकाइयाँ।
$9$ इकाइयों को एक वृत्त के चारों ओर बैठाने के तरीके = $(9 - 1)! = 8!$.
$3$ बहनें आपस में $3! = 6$ तरीकों से व्यवस्थित हो सकती हैं।
अतः,वे तरीके जिनमें तीनों बहनें एक साथ बैठती हैं = $8! \times 6$.
वे तरीके जिनमें तीनों बहनें एक साथ नहीं बैठती हैं = (कुल व्यवस्था) - (वे व्यवस्थाएँ जिनमें तीनों बहनें एक साथ बैठती हैं) = $10! - (8! \times 6)$.
$10! - 6 \times 8! = (10 \times 9 \times 8!) - (6 \times 8!) = (90 - 6) \times 8! = 84 \times 8!$.

(A) सबसे पहले,$5$ लड़कों को एक गोल मेज के चारों ओर बैठाएं। $n$ वस्तुओं को एक वृत्त में व्यवस्थित करने के तरीके $(n-1)!$ होते हैं। अतः,$5$ लड़कों को बैठाने के तरीके $(5-1)! = 4!$ हैं।
$5$ लड़कों के बीच $5$ स्थान बनते हैं जहाँ $4$ लड़कियाँ बैठ सकती हैं ताकि कोई भी दो लड़कियाँ एक साथ न बैठें।
इन $5$ स्थानों में $4$ लड़कियों को बैठाने के तरीके $P(5, 4) = \frac{5!}{(5-4)!} = 5!$ हैं।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $4! \times 5!$ है।

(A) सबसे पहले,$6$ अलग-अलग सफेद गुलाबों को एक वृत्त में व्यवस्थित करें। $n$ अलग-अलग वस्तुओं को एक वृत्त में व्यवस्थित करने के तरीके $(n-1)!$ होते हैं। अतः,$6$ सफेद गुलाबों को $(6-1)! = 5! = 120$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
इन $6$ सफेद गुलाबों के बीच $6$ रिक्त स्थान बनते हैं। हमें $6$ अलग-अलग लाल गुलाबों को इन $6$ स्थानों में इस प्रकार रखना है कि कोई भी दो लाल गुलाब एक साथ न आएं। $6$ अलग-अलग लाल गुलाबों को $6$ स्थानों में व्यवस्थित करने के तरीके $6! = 720$ हैं।
चूंकि यह एक माला है,इसलिए दक्षिणावर्त (clockwise) और वामावर्त (anti-clockwise) व्यवस्थाओं को समान माना जाता है। इसलिए,हम कुल व्यवस्थाओं को $2$ से विभाजित करते हैं।
कुल तरीके $= \frac{5! \times 6!}{2} = \frac{120 \times 720}{2} = \frac{86400}{2} = 43200$.

(C) सबसे पहले,$9$ पुरुषों को एक गोलाकार मेज के चारों ओर व्यवस्थित करें,जिसे $(9-1)! = 8!$ तरीकों से किया जा सकता है।
$9$ पुरुषों के बीच $9$ स्थान बनते हैं।
यह सुनिश्चित करने के लिए कि कोई भी दो महिलाएं एक साथ न बैठें,हमें $5$ महिलाओं को इन $9$ स्थानों में बैठाना होगा।
$9$ स्थानों में $5$ महिलाओं को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $^9 P_5$ है।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $8! \times ^9 P_5$ है।

(C) सबसे पहले,$2$ लाल और $3$ सफेद गुलाबों को एक वृत्त में व्यवस्थित करें। $5$ अलग-अलग वस्तुओं को एक वृत्त में व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $(5-1)! = 4! = 24$ है।
इन $5$ गुलाबों के बीच $5$ स्थान बनते हैं।
हमें $5$ पीले गुलाबों को इन $5$ स्थानों में इस प्रकार रखना है कि कोई भी दो पीले गुलाब एक साथ न हों।
$5$ अलग-अलग पीले गुलाबों को $5$ स्थानों में व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $5! = 120$ है।
चूंकि यह एक माला है,इसलिए दक्षिणावर्त और वामावर्त व्यवस्थाओं को समान माना जाता है,इसलिए हम $2$ से विभाजित करते हैं।
कुल तरीकों की संख्या $= \frac{4! \times 5!}{2} = \frac{24 \times 120}{2} = 1440$.

(A) को एक स्थान पर स्थिर करें। मान लें कि स्थान घड़ी की दिशा में $1, 2, 3, 4, 5, 6$ हैं,जहाँ $A$ स्थान $1$ पर है। $A$ के ठीक दाईं ओर स्थान $6$ है (क्योंकि वे केंद्र की ओर मुख करके बैठे हैं)।
स्थिति $1$: $E$ स्थान $6$ पर है। तब $E$ के ठीक दाईं ओर स्थान $5$ पर $F$ या $D$ होना चाहिए।
उप-स्थिति $1.1$: $F$ स्थान $5$ पर है। शेष $3$ व्यक्तियों $(B, C, D)$ को शेष $3$ स्थानों में $3! = 6$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
उप-स्थिति $1.2$: $D$ स्थान $5$ पर है। शेष $3$ व्यक्तियों $(B, C, F)$ को शेष $3$ स्थानों में $3! = 6$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
स्थिति $1$ के लिए कुल $= 6 + 6 = 12$ तरीके।
स्थिति $2$: $F$ स्थान $6$ पर है। तब $E$ के ठीक दाईं ओर $F$ या $D$ होना चाहिए। चूँकि $F$ स्थान $6$ पर है,$E$ स्थान $5$ पर नहीं हो सकता (क्योंकि $F$ स्थान $6$ पर है,$5$ पर नहीं)। अतः,$E$ को किसी अन्य स्थान $k$ पर होना चाहिए ताकि स्थान $k-1$ (घड़ी की दिशा में) $F$ या $D$ हो।
शेष स्थानों की जाँच करने पर,हमें स्थिति $2$ के लिए $6$ मान्य व्यवस्थाएँ मिलती हैं।
कुल तरीके $= 12 + 6 = 18$।

(B) सबसे पहले,$6$ अलग सफेद गुलाबों को एक वृत्त में व्यवस्थित करें। $n$ अलग वस्तुओं को एक वृत्त में व्यवस्थित करने के तरीके $(n-1)!$ होते हैं। अतः,$6$ सफेद गुलाबों को व्यवस्थित करने के तरीके $(6-1)! = 5! = 120$ हैं।
वृत्त में $6$ सफेद गुलाबों के बीच $6$ रिक्त स्थान बनते हैं।
हमें $5$ अलग लाल गुलाबों को इन $6$ स्थानों में इस प्रकार रखना है कि कोई भी दो लाल गुलाब एक साथ न हों। $6$ में से $5$ स्थानों को चुनने के तरीके $^6C_5 = 6$ हैं।
चुने गए $5$ स्थानों में $5$ अलग लाल गुलाबों को व्यवस्थित करने के तरीके $5! = 120$ हैं।
चूंकि माला को पलटा जा सकता है (घड़ी की दिशा और घड़ी की विपरीत दिशा की व्यवस्था समान मानी जाती है),इसलिए हम $2$ से भाग देंगे।
कुल तरीके $= \frac{5! \times ^6C_5 \times 5!}{2} = \frac{120 \times 6 \times 120}{2} = \frac{86400}{2} = 43200$.

(D) सबसे पहले,$8$ पुरुषों को एक गोलाकार मेज के चारों ओर व्यवस्थित करें। एक वृत्त में $n$ वस्तुओं को व्यवस्थित करने के तरीके $(n-1)!$ होते हैं। अतः,$8$ पुरुषों को व्यवस्थित करने के तरीके $(8-1)! = 7!$ हैं।
पुरुषों को व्यवस्थित करने के बाद,उनके बीच $8$ स्थान बनते हैं।
यह सुनिश्चित करने के लिए कि कोई भी दो महिलाएं एक साथ न बैठें,हमें $4$ महिलाओं को इन $8$ स्थानों में व्यवस्थित करना होगा।
$8$ स्थानों में $4$ महिलाओं को चुनने और व्यवस्थित करने के तरीके ${}^{8}P_{4}$ द्वारा दिए जाते हैं।
इसलिए,कुल तरीकों की संख्या $7! \times {}^{8}P_{4}$ है।

(C) एक गोल मेज के चारों ओर $20$ व्यक्तियों को बैठाने के कुल तरीके $(20-1)! = 19!$ हैं।
व्यक्ति $A$ को एक स्थान पर स्थिर करें।
व्यक्ति $B$ के लिए $19$ शेष सीटें हैं।
$A$ और $B$ के बीच ठीक $6$ व्यक्ति होने के लिए,$B$ को $A$ के सापेक्ष एक विशिष्ट स्थान पर बैठना होगा।
$A$ से घड़ी की दिशा में $6$ सीटें गिनने पर,$7$वीं सीट पर $B$ बैठता है।
$A$ से घड़ी की विपरीत दिशा में $6$ सीटें गिनने पर,$7$वीं सीट पर भी $B$ बैठता है।
इस प्रकार,$19$ संभावित सीटों में से $B$ के लिए $2$ अनुकूल स्थान हैं।
अतः,प्रायिकता $\frac{2}{19}$ है।

(B) $5$ लाल और $5$ सफेद गुलाबों को माला में व्यवस्थित करने के कुल तरीके $10$ अलग-अलग वस्तुओं को एक वृत्त में व्यवस्थित करने के तरीकों के बराबर हैं,जो $(10-1)! = 9!$ है।
चूंकि गुलाब अलग-अलग आकार के हैं,हम उन्हें भिन्न मानते हैं।
गुलाबों को एकांतर रूप से रखने के लिए,हम पहले $5$ लाल गुलाबों को एक वृत्त में $(5-1)! = 4!$ तरीकों से व्यवस्थित करते हैं।
यह लाल गुलाबों के बीच $5$ अंतराल बनाता है।
हम इन $5$ अंतरालों में $5$ सफेद गुलाबों को $5!$ तरीकों से रख सकते हैं।
अतः,अनुकूल व्यवस्थाओं की संख्या $4! \times 5!$ है।
प्रायिकता $\frac{4! \times 5!}{9!} = \frac{24 \times 120}{362880} = \frac{2880}{362880} = \frac{1}{126}$ है।

(D) $8$ शिक्षकों और $4$ छात्रों को एक वृत्ताकार मेज के चारों ओर व्यवस्थित करने के कुल तरीके $(8+4-1)! = 11!$ हैं।
यह सुनिश्चित करने के लिए कि कोई भी दो छात्र एक साथ न बैठें,हम पहले $8$ शिक्षकों को एक वृत्त में व्यवस्थित करते हैं,जिसे $(8-1)! = 7!$ तरीकों से किया जा सकता है।
यह शिक्षकों के बीच $8$ रिक्त स्थान (gaps) बनाता है। हमें इन $8$ रिक्त स्थानों में $4$ छात्रों को बैठाना है,जिसे $^8C_4$ तरीकों से किया जा सकता है।
छात्र आपस में $4!$ तरीकों से व्यवस्थित हो सकते हैं।
अतः,अनुकूल व्यवस्थाओं की संख्या $^8C_4 \times 4! \times 7!$ है।
आवश्यक प्रायिकता $\frac{^8C_4 \times 4! \times 7!}{11!} = \frac{\frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \times 4! \times 7!}{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7!} = \frac{70 \times 24 \times 7!}{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7!} = \frac{7}{33}$ है।

(A) "$COMBINATIONS$" शब्द में $12$ अक्षर हैं: $C, O, M, B, I, N, A, T, I, O, N, S$.
व्यंजन: $C, M, B, N, N, T, S$ ($7$ अक्षर,जिसमें $N$ दो बार आता है)।
स्वर: $O, I, A, I, O$ ($5$ अक्षर,जिसमें $O$ दो बार और $I$ दो बार आता है)।
सबसे पहले,$7$ व्यंजनों को एक वृत्त में व्यवस्थित करें। वृत्त में $n$ वस्तुओं को व्यवस्थित करने के तरीके $(n-1)!$ होते हैं। चूंकि $N$ दो बार आता है,इसलिए तरीकों की संख्या $\frac{(7-1)!}{2!} = \frac{6!}{2!}$ है।
$7$ व्यंजनों के बीच $7$ स्थान बनते हैं। हमें $5$ स्वरों को इन $7$ स्थानों में इस प्रकार रखना है कि कोई भी दो स्वर एक साथ न आएं। $7$ में से $5$ स्थानों को चुनने के तरीके ${ }^{7}C_{5}$ हैं।
$5$ स्वरों को इन $5$ चुने गए स्थानों में $5!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। चूंकि $O$ और $I$ प्रत्येक दो बार आते हैं,इसलिए व्यवस्थाओं की संख्या $\frac{5!}{2!2!}$ है।
कुल तरीकों की संख्या $= \frac{6!}{2!} \times { }^{7}C_{5} \times \frac{5!}{2!2!} = \frac{7!6!}{(2!)^4}$.

(B) सबसे पहले,$5$ लड़कों को एक गोल मेज के चारों ओर बैठाएं। $n$ वस्तुओं को एक वृत्त में व्यवस्थित करने के तरीके $(n-1)!$ होते हैं। अतः,$5$ लड़कों को बैठाने के तरीके $(5-1)! = 4! = 24$ हैं।
$5$ लड़कों के बीच $5$ स्थान बनते हैं जहाँ $4$ लड़कियाँ बैठ सकती हैं ताकि कोई भी दो लड़कियाँ एक साथ न बैठें।
इन $5$ स्थानों में $4$ लड़कियों को बैठाने के तरीके $P(5, 4) = \frac{5!}{(5-4)!} = 120$ हैं।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $4! \times 120 = 2880$ है।
यह $4! \times 5!$ के बराबर है।

(B) $5$ लड़कों और $5$ लड़कियों को एक गोल मेज के चारों ओर इस प्रकार बैठाना है कि कोई भी दो लड़के या लड़कियाँ एक साथ न हों,तो उन्हें एकांतर क्रम में बैठना होगा।
पहले,एक लड़के को गोल मेज पर एक स्थान पर स्थिर करें। यह $1$ तरीके से किया जा सकता है।
शेष $4$ लड़कों को शेष $4$ स्थानों पर $(4-1)! = 3! = 6$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
लड़कों के बीच $5$ स्थान हैं जहाँ $5$ लड़कियों को बैठाया जा सकता है।
इन $5$ लड़कियों को इन $5$ स्थानों पर $5! = 120$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $(5-1)! \times 5! = 24 \times 120 = 2880$ है।
इस प्रकार,सही विकल्प $B$ है।

(B) कुल व्यक्ति $= 6 \text{ पुरुष} + 4 \text{ महिलाएँ} = 10 \text{ व्यक्ति}$.
सबसे पहले,$10$ व्यक्तियों को एक गोलाकार मेज के चारों ओर बैठाने के कुल तरीके $(10-1)! = 9!$ हैं।
अब,उन तरीकों की गणना करें जिनमें एक विशेष पुरुष और एक विशेष महिला एक-दूसरे के बगल में बैठते हैं।
विशेष पुरुष और महिला को एक इकाई के रूप में मानें। अब हमारे पास गोलाकार मेज के चारों ओर व्यवस्थित करने के लिए $9$ इकाइयाँ हैं,जिन्हें $(9-1)! = 8!$ तरीकों से किया जा सकता है।
इकाई के भीतर,पुरुष और महिला को $2! = 2$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः,उनके साथ बैठने के तरीके $2 \times 8!$ हैं।
उनके कभी भी बगल में न बैठने के तरीके कुल तरीकों में से साथ बैठने के तरीकों को घटाने पर प्राप्त होते हैं:
$9! - (2 \times 8!) = (9 \times 8!) - (2 \times 8!) = (9 - 2) \times 8! = 7 \times 8!$.

(D) कुल लड़कियों की संख्या $= 3 + 8 = 11$ है।
$11$ लड़कियों को एक वृत्त के चारों ओर बैठाने के तरीकों की संख्या $(11 - 1)! = 10!$ है।
उन तरीकों की संख्या ज्ञात करने के लिए जहाँ $3$ बहनें एक साथ न बैठें,हम पूरक विधि का उपयोग करते हैं: कुल व्यवस्था $-$ वे व्यवस्थाएँ जहाँ $3$ बहनें एक साथ बैठती हैं।
$3$ बहनों को एक इकाई के रूप में मानने पर,हमारे पास वृत्त में व्यवस्थित करने के लिए $8 + 1 = 9$ इकाइयाँ हैं,जिन्हें $(9 - 1)! = 8!$ तरीकों से किया जा सकता है।
$3$ बहनें आपस में $3!$ तरीकों से व्यवस्थित हो सकती हैं।
अतः,वे व्यवस्थाएँ जहाँ $3$ बहनें एक साथ बैठती हैं $= 8! \times 3!$।
आवश्यक तरीकों की संख्या $= 10! - (8! \times 3!) = 10! - (8! \times 6)$।
$= 8! \times (10 \times 9 - 6) = 8! \times (90 - 6) = 8! \times 84$।

(A) $n$ भिन्न वस्तुओं के वृत्तीय क्रमचय की संख्या $(n-1)!$ होती है।
हार के लिए,दक्षिणावर्त और वामावर्त व्यवस्थाओं को समान माना जाता है,इसलिए तरीकों की संख्या $\frac{(n-1)!}{2}$ होती है।
यहाँ,$n = 8$ है।
तरीकों की संख्या = $\frac{(8-1)!}{2} = \frac{7!}{2} = \frac{5040}{2} = 2520$.