Equation of lines joining the origin to the point of intersection of a curve and a line and Distance between the pair of lines Questions in Hindi

(A) दिए गए वक्रों $x^2+y^2=4$ और $x+y=a$ को समघात बनाने के लिए,हम रेखाओं के युग्म का समीकरण इस प्रकार लिखते हैं:
$x^2+y^2-4\left(\frac{x+y}{a}\right)^2=0$
$a^2$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a^2(x^2+y^2)-4(x^2+y^2+2xy)=0$
$(a^2-4)x^2-8xy+(a^2-4)y^2=0$
चूंकि यह लंबवत सरल रेखाओं का एक युग्म है,इसलिए $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए:
$(a^2-4)+(a^2-4)=0$
$2a^2-8=0$
$a^2=4$
$a=\pm 2$
अतः,$a$ का आवश्यक समुच्चय $\{-2, 2\}$ है।

(A) वक्र का दिया गया समीकरण: $x^2+xy+y^2+x+3y+1=0$ ...$(i)$
रेखा का दिया गया समीकरण: $x+y+2=0 \Rightarrow \frac{x+y}{-2}=1$ ...(ii)
समीकरण (ii) का उपयोग करके समीकरण $(i)$ को समघात बनाने पर:
$x^2+xy+y^2+x(1)+3y(1)+1(1)^2=0$
$1 = \frac{x+y}{-2}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2+xy+y^2+x(\frac{x+y}{-2})+3y(\frac{x+y}{-2})+(\frac{x+y}{-2})^2=0$
हर को हटाने के लिए $4$ से गुणा करने पर:
$4x^2+4xy+4y^2-2x(x+y)-6y(x+y)+(x+y)^2=0$
$3x^2-2xy-y^2=0$
$ax^2+2hxy+by^2=0$ से तुलना करने पर,$a=3, 2h=-2, b=-1$ प्राप्त होता है।
कोण समद्विभाजकों का समीकरण $\frac{x^2-y^2}{a-b} = \frac{xy}{h}$ है।
$\frac{x^2-y^2}{3-(-1)} = \frac{xy}{-1}$
$\frac{x^2-y^2}{4} = -xy$
$x^2+4xy-y^2=0$.

(A) दिया गया समीकरण $4x^2 + 20xy + 25y^2 + 2x + 5y - 12 = 0$ है।
इसे $(2x + 5y)^2 + (2x + 5y) - 12 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मान लीजिए $t = 2x + 5y$। तब समीकरण $t^2 + t - 12 = 0$ हो जाता है।
गुणनखंड करने पर: $(t + 4)(t - 3) = 0$।
अतः,$t = -4$ या $t = 3$।
इससे हमें दो समांतर रेखाएं मिलती हैं: $2x + 5y + 4 = 0$ और $2x + 5y - 3 = 0$।
दो समांतर रेखाओं $Ax + By + C_1 = 0$ और $Ax + By + C_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$A = 2, B = 5, C_1 = 4, C_2 = -3$ है।
$d = \frac{|4 - (-3)|}{\sqrt{2^2 + 5^2}} = \frac{|7|}{\sqrt{4 + 25}} = \frac{7}{\sqrt{29}}$।

(B) दिया गया समीकरण $(x-2y)^2 + k(x-2y) = 0$ है।
समीकरण का गुणनखंड करने पर,$(x-2y)(x-2y+k) = 0$ प्राप्त होता है।
यह दो समांतर रेखाओं को निरूपित करता है: $L_1: x-2y = 0$ और $L_2: x-2y+k = 0$।
दो समांतर रेखाओं $Ax+By+C_1=0$ और $Ax+By+C_2=0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$A=1, B=-2, C_1=0, C_2=k$ है।
अतः,$d = \frac{|k-0|}{\sqrt{1^2+(-2)^2}} = \frac{|k|}{\sqrt{5}}$।
दिया गया है कि $d = 3$,इसलिए $\frac{|k|}{\sqrt{5}} = 3$।
अतः,$|k| = 3\sqrt{5}$,जिसका अर्थ है कि $k = \pm 3\sqrt{5}$।

(B) दिया गया समीकरण $x^2 + 2 \sqrt{2} xy + 2y^2 + 4x + 4 \sqrt{2}y + 1 = 0$ है।
इसे $(x + \sqrt{2}y)^2 + 4(x + \sqrt{2}y) + 1 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना $t = x + \sqrt{2}y$,तो समीकरण $t^2 + 4t + 1 = 0$ हो जाता है।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर $t = -2 \pm \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,दो समांतर रेखाएं $x + \sqrt{2}y + 2 - \sqrt{3} = 0$ और $x + \sqrt{2}y + 2 + \sqrt{3} = 0$ हैं।
दो समांतर रेखाओं $Ax + By + C_1 = 0$ और $Ax + By + C_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ होती है।
यहाँ $A = 1$,$B = \sqrt{2}$,$C_1 = 2 - \sqrt{3}$,और $C_2 = 2 + \sqrt{3}$ है।
$d = \frac{|(2 - \sqrt{3}) - (2 + \sqrt{3})|}{\sqrt{1^2 + (\sqrt{2})^2}} = \frac{|-2 \sqrt{3}|}{\sqrt{3}} = 2$ इकाई।
इसलिए,विकल्प $B$ सही है।

(D) दिया गया समीकरण $9x^2 - 6xy + y^2 + 18x - 6y + 8 = 0$ है।
इसे $(3x - y)^2 + 6(3x - y) + 8 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना $t = 3x - y$. तब समीकरण $t^2 + 6t + 8 = 0$ हो जाता है।
गुणनखंड करने पर,$(t + 4)(t + 2) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$t = -4$ या $t = -2$.
इससे दो समांतर रेखाएँ प्राप्त होती हैं: $3x - y + 4 = 0$ और $3x - y + 2 = 0$.
दो समांतर रेखाओं $ax + by + c_1 = 0$ और $ax + by + c_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ होती है।
यहाँ,$a = 3$,$b = -1$,$c_1 = 4$,और $c_2 = 2$.
$d = \frac{|4 - 2|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{2}{\sqrt{9 + 1}} = \frac{2}{\sqrt{10}}$.

(C) दिया गया समीकरण $x^2+2 \sqrt{2} xy+2y^2+4x+4 \sqrt{2}y+1=0$ है।
इसे व्यापक समीकरण $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,हमें $a=1$,$h=\sqrt{2}$,$b=2$,$g=2$,$f=2 \sqrt{2}$,और $c=1$ प्राप्त होता है।
समांतर रेखाओं के बीच की दूरी $d$ का सूत्र $d=2 \sqrt{\frac{g^2-ac}{a(a+b)}}$ है।
मान रखने पर: $d=2 \sqrt{\frac{2^2-(1)(1)}{1(1+2)}}$.
$d=2 \sqrt{\frac{4-1}{3}} = 2 \sqrt{\frac{3}{3}} = 2 \sqrt{1} = 2$.

(A) दी गई रेखा $x+y-\lambda=0$ है,जिसका अर्थ है $x+y=\lambda$। चूंकि $\lambda \neq 0$,हमारे पास $\frac{x+y}{\lambda}=1$ $(i)$ है।
रेखाओं के युग्म का समीकरण $x^2+y^2-2x-4y+2=0$ है।
मूल बिंदु को $A$ और $B$ से जोड़ने वाली रेखाओं का समीकरण ज्ञात करने के लिए,हम $(i)$ का उपयोग करके समीकरण को समघात बनाते हैं:
$x^2+y^2-2x(1)-4y(1)+2(1)^2=0$
$x^2+y^2-2x(\frac{x+y}{\lambda})-4y(\frac{x+y}{\lambda})+2(\frac{x+y}{\lambda})^2=0$
$\lambda^2$ से गुणा करने पर:
$(\lambda^2-2\lambda+2)x^2 + (4-6\lambda)xy + (\lambda^2-4\lambda+2)y^2 = 0$।
चूंकि $\angle AOB=90^{\circ}$ है,इसलिए $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए:
$(\lambda^2-2\lambda+2) + (\lambda^2-4\lambda+2) = 0$
$2\lambda^2-6\lambda+4 = 0$
$\lambda^2-3\lambda+2 = 0$
$(\lambda-1)(\lambda-2) = 0$।
अतः,$\lambda=1$ या $\lambda=2$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,$2$ सही उत्तर है।

(D) दिया गया वक्र $2x^2 - 2xy + 3y^2 + 2x - y - 1 = 0$ है।
रेखा $x + 2y = k$ है,जिसका अर्थ है $\frac{x + 2y}{k} = 1$।
रेखा के समीकरण का उपयोग करके वक्र के समीकरण को समघात बनाने पर:
$2x^2 - 2xy + 3y^2 + (2x - y)(1) - 1(1)^2 = 0$।
$1 = \frac{x + 2y}{k}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$2x^2 - 2xy + 3y^2 + (2x - y)\left(\frac{x + 2y}{k}\right) - \left(\frac{x + 2y}{k}\right)^2 = 0$।
$k^2$ से गुणा करने पर:
$k^2(2x^2 - 2xy + 3y^2) + k(2x^2 + 4xy - xy - 2y^2) - (x^2 + 4xy + 4y^2) = 0$।
$x^2(2k^2 + 2k - 1) + xy(-2k^2 + 3k - 4) + y^2(3k^2 - 2k - 4) = 0$।
चूंकि रेखाएं समकोण पर हैं,इसलिए $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए:
$(2k^2 + 2k - 1) + (3k^2 - 2k - 4) = 0$।
$5k^2 - 5 = 0$।
$5k^2 = 5 \implies k^2 = 1$।

(NONE) दिया गया समीकरण $2x^2 - 3xy - 2y^2 + 10x + 5y = 0$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करते हैं। समरूप भाग $2x^2 - 3xy - 2y^2 = (2x + y)(x - 2y)$ है।
मान लीजिए रेखाएँ $(2x + y + c_1) = 0$ और $(x - 2y + c_2) = 0$ हैं।
$(2x + y + c_1)(x - 2y + c_2) = 2x^2 - 3xy - 2y^2 + (2c_2 + c_1)x + (c_2 - 2c_1)y + c_1c_2 = 0$ का विस्तार करने पर।
$2x^2 - 3xy - 2y^2 + 10x + 5y = 0$ के साथ गुणांकों की तुलना करने पर,हमें $2c_2 + c_1 = 10$ और $c_2 - 2c_1 = 5$ प्राप्त होता है।
इन समीकरणों को हल करने पर: $c_1 = 0$ और $c_2 = 5$ प्राप्त होता है।
अतः रेखाएँ $2x + y = 0$ और $x - 2y + 5 = 0$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु $2x + y = 0$ और $x - 2y + 5 = 0$ को हल करके प्राप्त होता है। दूसरे समीकरण में $y = -2x$ रखने पर $x - 2(-2x) + 5 = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $5x = -5$,जिसका अर्थ है $x = -1$ और $y = 2$।
रेखा $L$,$(0, 0)$ और $(-1, 2)$ से होकर गुजरती है।
$L$ की ढाल $m_1 = \frac{2 - 0}{-1 - 0} = -2$ है।
चूंकि $L$,$kx + y + 3 = 0$ के लंबवत है,दूसरी रेखा की ढाल $m_2 = -k$ है।
लंबवत रेखाओं के लिए,$m_1 \times m_2 = -1$ होता है।
$-2 \times (-k) = -1 \Rightarrow 2k = -1 \Rightarrow k = -\frac{1}{2}$।

(D) दिया गया वृत्त $x^2+y^2=9$ और रेखा $x+y=3$ है।
मूल बिंदु को प्रतिच्छेदन बिंदुओं से जोड़ने वाली रेखाओं के युग्म का समीकरण ज्ञात करने के लिए,हम रेखा के समीकरण का उपयोग करके वृत्त के समीकरण को समघात (homogenize) बनाते हैं।
चूंकि $x+y=3$,इसलिए $\frac{x+y}{3} = 1$ है।
वृत्त के समीकरण में मान रखने पर:
$x^2+y^2 = 9(1)^2$
$x^2+y^2 = 9\left(\frac{x+y}{3}\right)^2$
$x^2+y^2 = 9\left(\frac{(x+y)^2}{9}\right)$
$x^2+y^2 = (x+y)^2$
$x^2+y^2 = x^2+y^2+2xy$
$2xy = 0$
$xy = 0$

(B) दिया गया समीकरण $2x^2 - 3xy - 2y^2 + 10x + 5y = 0$ है।
गुणनखंड करने पर,$(2x + y)(x - 2y + 5) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,रेखाएं $2x + y = 0$ और $x - 2y + 5 = 0$ हैं।
इन दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $(-1, 2)$ है।
मूल बिंदु $(0, 0)$ और $(-1, 2)$ को जोड़ने वाली रेखा $L$ की ढाल $m_1 = -2$ है।
चूंकि $L$,रेखा $kx + y + 3 = 0$ के लंबवत है,इसलिए उनकी ढाल का गुणनफल $-1$ होगा।
$(-2) \times (-k) = -1$ $\Rightarrow 2k = -1$ $\Rightarrow k = -\frac{1}{2}$.

(A) दिया गया वक्र: $x^2+xy+y^2+x+3y+1=0$ $(i)$ और रेखा: $x+y+2=0$ (ii)।
प्रतिच्छेदन बिंदुओं को मूल बिंदु से जोड़ने वाली रेखाओं का समीकरण प्राप्त करने के लिए,(ii) का उपयोग करके $(i)$ को समघात (homogenize) करें। (ii) से,$\frac{x+y}{-2} = 1$ है।
इसे $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2+xy+y^2+(x+3y)(\frac{x+y}{-2}) + 1(\frac{x+y}{-2})^2 = 0$
हर को हटाने के लिए $4$ से गुणा करने पर:
$4x^2+4xy+4y^2-2(x^2+4xy+3y^2) + (x^2+2xy+y^2) = 0$
$3x^2-2xy-y^2 = 0$
यह रेखाओं के युग्म को दर्शाता है। $ax^2+2hxy+by^2=0$ के लिए कोण समद्विभाजकों का समीकरण $\frac{x^2-y^2}{a-b} = \frac{xy}{h}$ होता है।
यहाँ $a=3, h=-1, b=-1$ है।
$\frac{x^2-y^2}{3-(-1)} = \frac{xy}{-(-1)}$
$\frac{x^2-y^2}{4} = \frac{xy}{1}$
$x^2-y^2 = 4xy$
$x^2-4xy-y^2 = 0$।

(C) रेखा का समीकरण $x + 2y + 1 = 0$ है,जिसे $-(x + 2y) = 1$ लिखा जा सकता है।
इसे वक्र के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $2x^2 - 2xy + 3y^2 + (2x - y)(-(x + 2y)) - (-(x + 2y))^2 = 0$.
सरल करने पर: $2x^2 - 2xy + 3y^2 - (2x^2 + 3xy - 2y^2) - (x^2 + 4xy + 4y^2) = 0$.
$-x^2 - 9xy + y^2 = 0$,अर्थात $x^2 + 9xy - y^2 = 0$.
$ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ से तुलना करने पर,$a = 1, b = -1$ प्राप्त होता है।
यहाँ $a + b = 0$ है,अतः रेखाएँ परस्पर लंबवत हैं।
इसलिए,$\theta = \frac{\pi}{2}$।

(A) रेखा $x+2y+\lambda=0$ और वक्र $2x^2-2xy+3y^2+2x-y-1=0$ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को मूल बिंदु से जोड़ने वाली रेखाओं का समीकरण वक्र के समीकरण को रेखा के समीकरण का उपयोग करके समघात बनाकर प्राप्त किया जाता है:
$2x^2-2xy+3y^2+(2x-y)(\frac{x+2y}{-\lambda}) - (\frac{x+2y}{-\lambda})^2 = 0$.
$\lambda^2$ से गुणा करने पर:
$\lambda^2(2x^2-2xy+3y^2) - \lambda(2x-y)(x+2y) - (x+2y)^2 = 0$.
इसका विस्तार करने पर,$x^2$ का गुणांक $2\lambda^2 - 2\lambda - 1$ और $y^2$ का गुणांक $3\lambda^2 + 2\lambda - 4$ प्राप्त होता है।
चूंकि रेखाओं के बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ है,इसलिए $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए:
$(2\lambda^2 - 2\lambda - 1) + (3\lambda^2 + 2\lambda - 4) = 0$.
$5\lambda^2 - 5 = 0 \implies \lambda^2 = 1 \implies \lambda = \pm 1$.
अतः,$\lambda$ का मान $1$ है।

(C) दिया गया वक्र $x^2+y^2-2x-4y+2=0$ है और रेखा $x+y-2=0$ है।
रेखा के समीकरण को $\frac{x+y}{2}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मूल बिंदु को प्रतिच्छेदन बिंदुओं से जोड़ने वाली रेखाओं का संयुक्त समीकरण प्राप्त करने के लिए,हम रेखा के समीकरण का उपयोग करके वक्र के समीकरण को समघात (homogenize) बनाते हैं:
$x^2+y^2-2x(1)-4y(1)+2(1)^2=0$.
$1 = \frac{x+y}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2+y^2-2x(\frac{x+y}{2})-4y(\frac{x+y}{2})+2(\frac{x+y}{2})^2=0$.
सरल करने पर $x^2-4xy-y^2=0$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $-2$ है।

(C) रेखा का समीकरण $ax+by=1$ है और वक्र का समीकरण $x^2+y^2-x-y-1=0$ है।
रेखा के समीकरण का उपयोग करके वक्र के समीकरण को समघातीय बनाने पर:
$x^2+y^2-(x+y)(ax+by)-(ax+by)^2=0$
$x^2(1-a-a^2)+xy(-a-b-2ab)+y^2(1-b-b^2)=0$
चूंकि रेखाओं का युग्म समकोण पर है,इसलिए $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होगा:
$(1-a-a^2)+(1-b-b^2)=0$
$a^2+b^2+a+b-2=0$
यह $(a, b)$ तल में एक वृत्त को दर्शाता है। मानक रूप $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$g=1/2$,$f=1/2$,और $c=-2$ प्राप्त होता है।
त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{(1/2)^2+(1/2)^2+2} = \sqrt{5/2}$।

(D) $ax^2+2hxy+by^2=0$ और $lx+my+n=0$ रेखाओं द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल $\text{Area} = \frac{n^2\sqrt{h^2-ab}}{|am^2-2hlm+bl^2|}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,रेखाओं का युग्म $x^2-3xy+y^2=0$ है,इसलिए $a=1, h=-\frac{3}{2}, b=1$ है।
तीसरी रेखा $x+y+1=0$ है,इसलिए $l=1, m=1, n=1$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$\text{Area} = \frac{1^2\sqrt{(-\frac{3}{2})^2-(1)(1)}}{|(1)(1)^2-2(-\frac{3}{2})(1)(1)+(1)(1)^2|}$
$\text{Area} = \frac{\sqrt{\frac{9}{4}-1}}{|1+3+1|} = \frac{\sqrt{\frac{5}{4}}}{5} = \frac{\frac{\sqrt{5}}{2}}{5} = \frac{\sqrt{5}}{10} = \frac{1}{2\sqrt{5}}$ वर्ग इकाई।

(C) रेखा $y=mx+1$ और वृत्त $x^2+y^2=1$ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को मूल बिंदु से जोड़ने वाली रेखाओं का समीकरण $y-mx=1$ का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है।
$1 = y-mx$ को $x^2+y^2=1^2$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2+y^2=(y-mx)^2$
$x^2+y^2=y^2-2mxy+m^2x^2$
$(1-m^2)x^2+2mxy=0$
यदि ये रेखाएं लंबवत हैं,तो $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए।
यहाँ,$x^2$ का गुणांक $(1-m^2)$ है और $y^2$ का गुणांक $0$ है।
इसलिए,$(1-m^2)+0=0$
$1-m^2=0$
$m^2=1$
$m=\pm 1$

(D) माना दो वृत्त $S_1: x^2+y^2-4x+8y+5=0$ और $S_2: x^2+y^2+2x+4y-3=0$ हैं।
उभयनिष्ठ जीवा $S_1-S_2=0$ द्वारा दी जाती है।
$(x^2+y^2-4x+8y+5) - (x^2+y^2+2x+4y-3) = 0$
$-6x+4y+8=0 \Rightarrow 3x-2y-4=0$.
अतः,रेखा का समीकरण $3x-2y=4$ या $\frac{3x-2y}{4}=1$ है।
मूल बिंदु को प्रतिच्छेदन बिंदुओं से जोड़ने वाली रेखाओं के युग्म को प्राप्त करने के लिए,हम रेखा समीकरण का उपयोग करके $S_2$ के समीकरण का समघातीकरण (homogenization) करते हैं:
$x^2+y^2+(2x+4y)(1) - 3(1)^2 = 0$
$x^2+y^2+(2x+4y)(\frac{3x-2y}{4}) - 3(\frac{3x-2y}{4})^2 = 0$
हर को हटाने के लिए $16$ से गुणा करने पर:
$16(x^2+y^2) + 4(2x+4y)(3x-2y) - 3(9x^2+4y^2-12xy) = 0$
$16x^2+16y^2 + 4(6x^2+8xy-8y^2) - 27x^2-12y^2+36xy = 0$
$13x^2+68xy-28y^2=0$.

(A) दी गई रेखा: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 2 \Rightarrow \frac{x}{2a} + \frac{y}{2b} = 1$.
दिया गया वृत्त: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \Rightarrow x^2 + y^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2 - r^2 = 0$.
मूल बिंदु को प्रतिच्छेदन बिंदुओं से जोड़ने वाली रेखाओं का युग्म प्राप्त करने के लिए,हम रेखा के समीकरण का उपयोग करके वृत्त के समीकरण को समघात (homogenize) करते हैं:
$x^2 + y^2 - 2(ax + by)(\frac{x}{2a} + \frac{y}{2b}) + (a^2 + b^2 - r^2)(\frac{x}{2a} + \frac{y}{2b})^2 = 0$.
रेखाओं के समकोण पर होने के लिए,$x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए।
यह शर्त लागू करने पर: $a^2 + b^2 - r^2 = 0 \Rightarrow a^2 + b^2 = r^2$.

(C) दी गई रेखा का समीकरण $3x + 4y - 5 = 0$ है,जिसे $\frac{3x + 4y}{5} = 1$ $(i)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
वक्र का समीकरण $2x^2 + 3y^2 = 5$ (ii) है।
$\angle AOB$ ज्ञात करने के लिए,हम रेखा के समीकरण का उपयोग करके वक्र के समीकरण को समघात (homogenize) बनाएंगे:
$2x^2 + 3y^2 = 5(1)^2$
$2x^2 + 3y^2 = 5\left(\frac{3x + 4y}{5}\right)^2$
$2x^2 + 3y^2 = 5\left(\frac{9x^2 + 16y^2 + 24xy}{25}\right)$
$10x^2 + 15y^2 = 9x^2 + 16y^2 + 24xy$
$x^2 - 24xy - y^2 = 0$
यह $OA$ और $OB$ रेखाओं के युग्म को दर्शाने वाला द्विघात समघात समीकरण है। सामान्य रूप $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ है। यहाँ,$a = 1$,$b = -1$,और $h = -12$ है।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left|\frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b}\right|$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $a + b = 1 + (-1) = 0$ है,इसलिए रेखाएं परस्पर लंबवत हैं।
अतः,$\angle AOB = 90^{\circ} = \frac{\pi}{2}$।

(D) दी गई रेखा $2 x+3 y=k \Rightarrow \frac{2 x+3 y}{k}=1 \dots (i)$
साथ ही दिया गया है,$3 x^2-x y+3 y^2+2 x-3 y-4=0$
अब $(i)$ का उपयोग करके समीकरण को समघात बनाने पर:
$3 x^2-x y+3 y^2+(2 x-3 y)\left(\frac{2 x+3 y}{k}\right)-4\left(\frac{2 x+3 y}{k}\right)^2=0$
$k^2$ से गुणा करने पर:
$k^2(3 x^2-x y+3 y^2) + k(4 x^2+6 x y-6 x y-9 y^2) - 4(4 x^2+9 y^2+12 x y) = 0$
$x^2(3 k^2+4 k-16) + x y(-k^2-48) + y^2(3 k^2-9 k-36) = 0$
चूँकि रेखाएँ समकोण पर हैं,$x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए:
$(3 k^2+4 k-16) + (3 k^2-9 k-36) = 0$
$6 k^2-5 k-52 = 0$

(D) रेखा का समीकरण $2x - 3y = 1$ है।
वक्र के समीकरण $x^2 + 2xy + 5y^2 + 2x + 3y - 1 = 0$ को रेखा के समीकरण का उपयोग करके समघात बनाने पर:
$x^2 + 2xy + 5y^2 + (2x + 3y)(1) - (1)^2 = 0$
$1 = 2x - 3y$ रखने पर:
$x^2 + 2xy + 5y^2 + (2x + 3y)(2x - 3y) - (2x - 3y)^2 = 0$
$x^2 + 2xy + 5y^2 + (4x^2 - 9y^2) - (4x^2 - 12xy + 9y^2) = 0$
$x^2 + 14xy - 13y^2 = 0$
यह रेखाओं $OA$ और $OB$ के युग्म को दर्शाता है। $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ के साथ तुलना करने पर,$a = 1$,$h = 7$,और $b = -13$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\tan \theta = \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{|a + b|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\tan \theta = \frac{2\sqrt{49 + 13}}{12} = \frac{\sqrt{62}}{6}$।
$\cos \theta = \frac{3\sqrt{2}}{7}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया समीकरण $(x+7y)^2 + 4\sqrt{2}(x+7y) - 42 = 0$ है।
माना $x+7y = t$।
तब समीकरण $t^2 + 4\sqrt{2}t - 42 = 0$ हो जाता है।
द्विघात सूत्र $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$t = \frac{-4\sqrt{2} \pm \sqrt{32 + 168}}{2} = \frac{-4\sqrt{2} \pm 10\sqrt{2}}{2}$।
अतः,$t = 3\sqrt{2}$ या $t = -7\sqrt{2}$।
दो समांतर रेखाएँ $x+7y - 3\sqrt{2} = 0$ और $x+7y + 7\sqrt{2} = 0$ हैं।
समांतर रेखाओं के बीच की दूरी $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होती है।
यहाँ $A = 1, B = 7, C_1 = -3\sqrt{2}, C_2 = 7\sqrt{2}$।
$d = \frac{|-3\sqrt{2} - 7\sqrt{2}|}{\sqrt{1^2 + 7^2}} = \frac{10\sqrt{2}}{5\sqrt{2}} = 2$।

(B) वक्र का समीकरण $x^2+xy+y^2+x+3y+1=0$ है और रेखा $x+y+2=0$ है।
रेखा का उपयोग करके वक्र के समीकरण को समघात बनाने पर,$\frac{x+y}{-2}=1$ प्राप्त होता है।
वक्र के समीकरण में मान रखने पर:
$x^2+xy+y^2+(x+3y)(\frac{x+y}{-2}) + 1(\frac{x+y}{-2})^2=0$.
हर को हटाने के लिए $4$ से गुणा करने पर:
$4x^2+4xy+4y^2-2(x^2+4xy+3y^2)+(x^2+2xy+y^2)=0$.
$3x^2-2xy-y^2=0$.
इसे $ax^2+2hxy+by^2=0$ से तुलना करने पर,$a=3, h=-1, b=-1$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ के लिए $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b} \right|$.
$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{(-1)^2-3(-1)}}{3-1} \right| = 2$.
अतः,$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{1+\tan^2 \theta}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.

(A) दी गई रेखाएँ हैं:
$L_1 \equiv 4x + 5y - 6 = 0 \dots(1)$
$L_2 \equiv 2x + 3y - 4 = 0 \dots(2)$
$L_3 \equiv 3x - y + 2 = 0 \dots(3)$
बिंदु $A$,$L_1$ और $L_2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है। $(1)$ और $(2)$ को हल करने पर:
$4x + 5y = 6$
$4x + 6y = 8$
घटाने पर $y = 2$ प्राप्त होता है,फिर $x = -1$। अतः,$A = (-1, 2)$।
बिंदु $B$,$L_1$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है। $(1)$ और $(3)$ को हल करने पर:
$4x + 5y = 6$
$15x - 5y = -10$
जोड़ने पर $19x = -4$ प्राप्त होता है,इसलिए $x = -4/19$। फिर $y = 3x + 2 = 3(-4/19) + 2 = 26/19$। अतः,$B = (-4/19, 26/19)$।
रेखा $OA$ का समीकरण (जो $(0,0)$ और $(-1,2)$ से गुजरती है) $y = -2x$ या $2x + y = 0$ है।
रेखा $OB$ का समीकरण (जो $(0,0)$ और $(-4/19, 26/19)$ से गुजरती है) $y = -13/2 x$ या $13x + 2y = 0$ है।
$OA$ और $OB$ का संयुक्त समीकरण $(2x + y)(13x + 2y) = 0$ है।
विस्तार करने पर: $26x^2 + 4xy + 13xy + 2y^2 = 0$,जो सरल होकर $26x^2 + 17xy + 2y^2 = 0$ हो जाता है।

(C) रेखा का समीकरण $x+y=1$ $\ldots(i)$ है और वक्र का समीकरण $x^2+y^2+2hxy+gx+fy+1=0$ $\ldots(ii)$ है।
समीकरण $(i)$ का उपयोग करके समीकरण $(ii)$ को समघातीय बनाने पर,हमें मूल बिंदु को प्रतिच्छेदन बिंदु से जोड़ने वाली रेखाओं का समीकरण प्राप्त होता है:
$x^2+y^2+2hxy+(gx+fy)(x+y)+1(x+y)^2=0$
$\Rightarrow x^2+y^2+2hxy+gx^2+gxy+fxy+fy^2+x^2+y^2+2xy=0$
$\Rightarrow (2+g)x^2+(2+f)y^2+xy(g+f+2h+2)=0$ $\ldots(iii)$
समीकरण $(iii)$ द्वारा निरूपित रेखाएं एक-दूसरे पर लंब होंगी यदि $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य हो:
$(2+g)+(2+f)=0$
$\Rightarrow g+f+4=0$
अतः,$(g, f)$ का बिंदुपथ $x+y+4=0$ है।

(C) दिए गए रेखा युग्म का समीकरण $k x^2+8 x y-3 y^2+2 x-4 y-1=0$ है।
इसके रेखा युग्म होने के लिए सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} k & 4 & 1 \\ 4 & -3 & -2 \\ 1 & -2 & -1 \end{vmatrix} = 0$
$k(3-4) - 4(-4+2) + 1(-8+3) = 0$
$-k + 8 - 5 = 0 \Rightarrow k = 3$.
$x+y=1$ का उपयोग करके समीकरण को समघात बनाने पर:
$3 x^2+8 x y-3 y^2+(2 x-4 y)(x+y) - (x+y)^2 = 0$
$4 x^2+4 x y-8 y^2 = 0 \Rightarrow x^2+x y-2 y^2 = 0$.
यहाँ $A=1, H=1/2, B=-2$ है।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ के लिए $\tan \theta = \left| \frac{2 \sqrt{H^2-A B}}{A+B} \right|$:
$\tan \theta = 3$.
अतः,$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{10}}$ या $\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)$।

(D) वक्रों के समीकरण हैं:
$x^2+y^2+gx+c=0$ $(i)$
$x^2+y^2+2fy-c=0$ $(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ से,रेखाओं के समकोण पर होने की शर्त $g^2+4f^2=8c$ प्राप्त होती है।

(C) वक्र का समीकरण $2x^2 + 3y^2 = 6$ है,जिसे $2x^2 + 3y^2 - 6(1)^2 = 0$ लिखा जा सकता है।
रेखा के समीकरण $x + y = 1$ का उपयोग करते हुए,मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं के युग्म का समीकरण:
$2x^2 + 3y^2 - 6(x + y)^2 = 0$
$2x^2 + 3y^2 - 6(x^2 + y^2 + 2xy) = 0$
$-4x^2 - 3y^2 - 12xy = 0$
$4x^2 + 12xy + 3y^2 = 0$.
इसे $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ से तुलना करने पर,$a = 4$,$2h = 12$ (अतः $h = 6$),और $b = 3$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ के लिए $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$।
$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{6^2 - 4(3)}}{4 + 3} \right| = \left| \frac{2\sqrt{36 - 12}}{7} \right| = \frac{2\sqrt{24}}{7} = \frac{4\sqrt{6}}{7}$।
$\tan \theta = \frac{4\sqrt{6}}{7}$ होने पर,कर्ण $\sqrt{(4\sqrt{6})^2 + 7^2} = \sqrt{145}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\sin \theta = \frac{4\sqrt{6}}{\sqrt{145}} = \sqrt{\frac{96}{145}}$।

(D) वक्र का समीकरण $x^2+xy+y^2+x+3y+1=0$ है और रेखा $x+y+2=0$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदुओं को मूल बिंदु से जोड़ने वाली रेखाओं के युग्म को प्राप्त करने के लिए,हम रेखा के समीकरण $\frac{x+y}{-2}=1$ का उपयोग करके वक्र के समीकरण को समघात (homogenize) बनाते हैं।
मान रखने पर:
$x^2+xy+y^2+(x+3y)(\frac{x+y}{-2}) + 1(\frac{x+y}{-2})^2 = 0$
हर को हटाने के लिए $4$ से गुणा करने पर:
$4x^2+4xy+4y^2 - 2(x^2+4xy+3y^2) + (x^2+2xy+y^2) = 0$
$4x^2+4xy+4y^2 - 2x^2-8xy-6y^2 + x^2+2xy+y^2 = 0$
$3x^2-2xy-y^2 = 0$
यह रेखाओं का युग्म $ax^2+2hxy+by^2=0$ है,जहाँ $a=3, h=-1, b=-1$ है।
कोण समद्विभाजकों का समीकरण $\frac{x^2-y^2}{a-b} = \frac{xy}{h}$ द्वारा दिया जाता है।
$\frac{x^2-y^2}{3-(-1)} = \frac{xy}{-1}$
$\frac{x^2-y^2}{4} = \frac{xy}{-1}$
$-x^2+y^2 = 4xy$
$x^2+4xy-y^2 = 0$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) दी गई रेखा $x+2y=k$ के लिए,$\frac{x+2y}{k}=1$ है।
वक्र के समीकरण $2x^2-2xy+3y^2+(2x-y)(1)-(1)^2=0$ में यह मान रखने पर:
$2x^2-2xy+3y^2+(2x-y)\left(\frac{x+2y}{k}\right)-\left(\frac{x+2y}{k}\right)^2=0$.
$k^2$ से गुणा करने पर:
$k^2(2x^2-2xy+3y^2)+k(2x^2+4xy-xy-2y^2)-(x^2+4xy+4y^2)=0$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$x^2(2k^2+2k-1) - xy(2k^2-3k+4) + y^2(3k^2-2k-4) = 0$.
चूंकि $OA \perp OB$ है,इसलिए $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए:
$(2k^2+2k-1) + (3k^2-2k-4) = 0$.
$5k^2 - 5 = 0$.
$k^2 = 1$.
अतः,$k = \pm 1$.

(C) दिया गया वक्र $x^2+y^2-2x-4y+2=0$ है और रेखा $x+y=k$ है,जिसका अर्थ है $\frac{x+y}{k}=1$।
मूल बिंदु को प्रतिच्छेदन बिंदुओं से जोड़ने वाली रेखाओं का समीकरण ज्ञात करने के लिए,हम रेखा के समीकरण का उपयोग करके वक्र के समीकरण को समघात (homogenize) करते हैं:
$x^2+y^2-2(x+2y)(\frac{x+y}{k})+2(\frac{x+y}{k})^2=0$।
$k^2$ से गुणा करने पर:
$k^2(x^2+y^2)-2k(x+2y)(x+y)+2(x+y)^2=0$।
पदों का विस्तार करने पर:
$k^2x^2+k^2y^2-2k(x^2+3xy+2y^2)+2(x^2+y^2+2xy)=0$।
$x^2$ और $y^2$ के गुणांकों को समूहित करने पर:
$x^2(k^2-2k+2)+y^2(k^2-4k+2)+xy(-6k+4)=0$।
चूंकि रेखाएं समकोण पर हैं,इसलिए $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए:
$(k^2-2k+2)+(k^2-4k+2)=0$।
$2k^2-6k+4=0 \implies k^2-3k+2=0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(k-1)(k-2)=0$,अतः $k=1$ या $k=2$।
$k$ के सभी संभावित मानों का योग $1+2=3$ है।

(D) दी गई रेखाओं के युग्म $S = 3x^2+8xy-3y^2 = 0$ और $S' = 3x^2+8xy-3y^2+2x-4y-1 = 0$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु $P = L_1 \cap L_3$ और $Q = L_2 \cap L_4$ हैं।
रेखाओं के दोनों युग्मों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा $L$,$S' - S = 0$ द्वारा दी जाती है।
अतः,$(3x^2+8xy-3y^2+2x-4y-1) - (3x^2+8xy-3y^2) = 0$।
यह $2x - 4y - 1 = 0$ में सरल हो जाता है।
निर्देशांक अक्षों पर इस रेखा $L$ के अंतःखंड $y=0$ और $x=0$ रखकर प्राप्त किए जाते हैं।
$y=0$ के लिए,$2x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$। बिंदु $(\frac{1}{2}, 0)$ है।
$x=0$ के लिए,$-4y = 1 \Rightarrow y = -\frac{1}{4}$। बिंदु $(0, -\frac{1}{4})$ है।
निर्देशांक अक्षों के साथ बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times |\text{आधार}| \times |\text{ऊंचाई}|$ है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times |\frac{1}{2}| \times |-\frac{1}{4}| = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{16}$ वर्ग इकाई।

(C) सबसे पहले,उभयनिष्ठ रेखा ज्ञात करने के लिए दी गई रेखाओं के युग्मों का गुणनखंड करें।\
$6x^2 - xy - 12y^2 = (3x + 4y)(2x - 3y) = 0$.\
$15x^2 + 14xy - 8y^2 = (5x - 2y)(3x + 4y) = 0$.\
उभयनिष्ठ रेखा $3x + 4y = 0$ है।\
रेखा $L$ बिंदु $(-1, 1)$ से गुजरती है और $3x + 4y = 0$ के समानांतर है,इसलिए इसका समीकरण $3x + 4y - 1 = 0$ अर्थात $3x + 4y = 1$ है।\
वक्र $2x^2 - xy - y^2 + x - y = 0$ और $3x + 4y = 1$ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को मूल बिंदु से जोड़ने वाली रेखाओं के युग्म को ज्ञात करने के लिए,$1 = 3x + 4y$ का उपयोग करके समीकरण को समघात (homogenize) करें:\
$2x^2 - xy - y^2 + (x - y)(3x + 4y) = 0$.\
विस्तार करने पर: $2x^2 - xy - y^2 + 3x^2 + 4xy - 3xy - 4y^2 = 0$.\
समान पदों को जोड़ने पर: $5x^2 - 5y^2 = 0 \Rightarrow x^2 - y^2 = 0$.

(D) रेखाओं के युग्म $x^2+y^2-2x-4y+2=0$ को रेखा $x+y=k$ का उपयोग करके समघात (homogenize) बनाने पर,हम $\frac{x+y}{k}=1$ का उपयोग करते हैं।
समीकरण में मान रखने पर:
$x^2+y^2-2x(\frac{x+y}{k})-4y(\frac{x+y}{k})+2(\frac{x+y}{k})^2=0$.
चूंकि रेखाएं $OA$ और $OB$ लंबवत हैं,इसलिए $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए।
समीकरण का विस्तार करने पर:
$(1-\frac{2}{k}+\frac{2}{k^2})x^2 + (1-\frac{4}{k}+\frac{2}{k^2})y^2 + (\dots)xy = 0$.
$x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य रखने पर:
$(1-\frac{2}{k}+\frac{2}{k^2}) + (1-\frac{4}{k}+\frac{2}{k^2}) = 0$.
$2 - \frac{6}{k} + \frac{4}{k^2} = 0$.
$k^2$ से गुणा करने पर:
$2k^2 - 6k + 4 = 0 \Rightarrow k^2 - 3k + 2 = 0$.
$(k-1)(k-2) = 0$.
अतः,$k=1$ या $k=2$.
चूंकि $k>1$ दिया गया है,इसलिए $k=2$ सही उत्तर है।

(A) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2=4$ है और रेखा $y=3x+c$ है,जिसे $\frac{y-3x}{c}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं के युग्म को प्राप्त करने के लिए,हम वृत्त के समीकरण को समघात (homogenize) करते हैं:
$x^2+y^2=4(1)^2$
$x^2+y^2=4\left(\frac{y-3x}{c}\right)^2$
$c^2(x^2+y^2)=4(y^2+9x^2-6xy)$
$c^2x^2+c^2y^2=4y^2+36x^2-24xy$
$(c^2-36)x^2+24xy+(c^2-4)y^2=0$.
चूंकि रेखाएं लंबवत हैं,इसलिए $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए:
$(c^2-36)+(c^2-4)=0$
$2c^2-40=0$
$2c^2=40$
$c^2=20$.

(A) दिया गया वक्र $3x^2 - 4xy + 5y^2 - 2x + y - 6 = 0$ है।
रेखा $4x - 6y - 2 = 0$ का अर्थ है $2x - 3y = 1$।
मूल बिंदु को प्रतिच्छेदन बिंदुओं से जोड़ने वाली रेखाओं का संयुक्त समीकरण प्राप्त करने के लिए वक्र को रेखा के समीकरण का उपयोग करके समघातीय (homogenize) बनाने पर:
$3x^2 - 4xy + 5y^2 - (2x - y)(2x - 3y) - 6(2x - 3y)^2 = 0$।
विस्तार करने पर:
$f(x, y) = -25x^2 + 76xy - 52y^2 = 0$।
अब,$f(1, -1) = -25 - 76 - 52 = -153$।
और $f(-1, -1) = -25 + 76 - 52 = -1$।
अतः,$\frac{f(1, -1)}{f(-1, -1)} = \frac{-153}{-1} = 153$।

(B) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-3x-6y+3=0$ है। रेखा $x+2y=c$ है,या $\frac{x+2y}{c}=1$ है।
रेखा का उपयोग करके वृत्त के समीकरण को समघात बनाने पर:
$x^2+y^2-(3x+6y)(\frac{x+2y}{c}) + 3(\frac{x+2y}{c})^2 = 0$.
चूंकि $\angle POQ = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग $0$ होना चाहिए।
$x^2$ का गुणांक: $1 - \frac{3}{c} + \frac{3}{c^2}$.
$y^2$ का गुणांक: $1 - \frac{12}{c} + \frac{12}{c^2}$.
योग: $2 - \frac{15}{c} + \frac{15}{c^2} = 0$.
$c^2$ से गुणा करने पर: $2c^2 - 15c + 15 = 0$.
अतः,$2c^2 - 15c = -15$.